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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{flushleft}
\textbf{ENS Lyon} \hfill \textbf{Alg\`ebre approfondie} \\
\textbf{M1} \hfill \textbf{2008-2009}
\end{flushleft}


\vspace{0.5cm}
\begin{center} \textbf{\scshape Feuille 7}
\end{center}

%\vspace{0.8cm} \noindent \textbf{\emph{Rappels}} --- Soit $\C$ un complexe simplicial. Un \emph{chemin} dans $\C$ est la donn\'ee d'un nombre fini de sommets $a_0, \ldots, a_n$ tels que, pour tout $i$,  $\{a_i,a_{i+1}\}$ soit un simplexe.

%\vspace{0.2cm}
%Un \emph{arbre} est un graphe $\T$ satisfaisant aux deux conditions \'equivalentes suivantes :
%\begin{itemize}
%\item il n'existe pas de lacet r\'eduit non trivial dans $\T$ ;
%\item deux sommets quelconques de $\T$ sont reli\'es par un unique chemin.
%\end{itemize}

\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Exercice 1} --- D\'emontrer que les conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout complexe simplicial $\C$ :

\begin{itemize}
\item[(i)] quels que soient les sommets $x, y$ de $\C$, il existe un chemin dans $\C$ reliant $x$ et $y$ ;
\item[(ii)] $\C$ est connexe ;
\item[(iii)] le $1$-squelette $\C^{(1)}$ de $\C$ est connexe.
\end{itemize}

\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Exercice 2} --- Soit $\C$ un complexe simplicial et soit $\C^{(2)}$ son $2$-squelette.

\vspace{0.2cm} \'Etant donn\'e un point $s$ de $\C$, d\'emontrer que l'inclusion canonique $\C^{(2)} \hookrightarrow \C$ induit un isomorphisme de groupes fondamentaux $\pi_1(\C^{(2)},s) \simeq \pi_1(\C,s)$.

\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Exercice 3} --- 1. D\'emontrer qu'une r\'eunion croissante d'arbres est un arbre.

\vspace{0.2cm}
2. Soit $\C = \C(\Sigma, \Sr)$ un complexe simplicial connexe et soit $(\T_i)_{i \in \I}$ une famille de sous-arbres de $\C$ deux \`a deux disjoints. D\'emontrer qu'il existe un sous-arbre de $\C$ contenant tous les $\T_i$. (\emph{Indication} : on pourra consid\'erer la relation d'\'equivalence $\mathcal{R}$ sur $\Sigma$ correspondant \`a la partition $\left\{\{\T_i\}_{i \in \I}, \Sigma - \bigcup_i \T_i\right\}$ ainsi que l'application simpliciale canonique $\C \rightarrow \C/\mathcal{R}$.)

\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Exercice 4} --- Soit $\G$ un graphe.

\vspace{0.2cm} 1. L'objet de cette question est d'\'etablir les deux assertions suivantes : \begin{itemize} \item un chemin $[a_0, a_1, \ldots, a_n]$ de longueur $n \geqslant 2$ est r\'eduit si et seulement s'il ne contient pas de segment de la forme $[a,a]$ ou $[a,b,a]$ ;
\item chaque classe d'homotopie de chemins dans $\G$ contient un \emph{unique} chemin r\'eduit.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} \hspace{0.5cm} 1.1. Soient $\gamma$, $\gamma'$ et $\gamma''$ trois chemins dans $\G$. On suppose $\gamma$ \'el\'ementairement \'equivalent \`a $\gamma'$ et $\gamma''$ avec $$\ell g \ (\gamma') < \ell g \ (\gamma) \ \hspace{0.3cm} \ \textrm{et} \ \hspace{0.3cm} \  \ell g \ (\gamma'') < \ell g \ (\gamma).$$
D\'emontrer qu'il existe un chemin $\tau$ \'el\'ementairement \'equivalent \`a $\gamma'$ et $\gamma''$ avec $$\ell g \ (\tau) < \ell g \ (\gamma') \ \hspace{0.3cm} \ \textrm{et} \ \hspace{0.3cm} \ \ell g \ (\tau) < \ell g \ (\gamma'').$$

\vspace{0.1cm} \hspace{0.5cm} 1.2. Soient $\gamma$ et $\gamma'$ deux chemins distincts dans $\G$, de longueur au moins $2$ et sans segment de la forme $[a,a]$ ou $[a,b,a]$. On suppose que $\gamma$ et $\gamma'$ sont homotopes. Consid\'erons une cha\^{\i}ne de chemins $\gamma = \gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_n  = \gamma'$ dans $\G$ telle que

- les chemins $\gamma_i$ et $\gamma_{i+1}$ soient \'el\'ementairement \'equivalents pour tout $i \in \{1,\ldots, n-1\}$ ;

- la somme $\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \ell g \ (\gamma_i)$ soit minimale.

\vspace{0.1cm}
\noindent(i) Justifier que l'on a $n \geqslant 3$, $\ell g \ (\gamma_2) > \ell g \ (\gamma_1)$ et $\ell g (\gamma_{n-1}) > \ell g (\gamma_n)$.

\noindent (ii) En d\'eduire qu'il existe $i \in \{2, \ldots, n-1\}$ tel que $$\ell g \ (\gamma_{i-1}) < \ell g (\gamma_i) \hspace{0.3cm} \ \textrm{et} \ \hspace{0.4cm}  \ell g \ (\gamma_{i+1}) < \ell g \ (\gamma_i).$$

\noindent(iii) En utilisant la question 1.1, aboutir \`a une contradiction.

\vspace{0.2cm} 1.3. Conclure.

\vspace{0.2cm} 2. Soit $s$ un sommet de $\G$ et soit $\gamma$ un lacet r\'eduit issu de $s$. Si $\ell g \ (\gamma) \geqslant 2$, d\'emontrer que l'image de $\gamma$ dans $\pi_1(\C,s)$ est non triviale.

\vspace{0.8cm} \noindent \textbf{Exercice 5} --- Soit $\C = \C(\Sigma, \Sr)$ le complexe simplicial d\'efini par $\Sigma = \{a, b, c\}$ et $$\Sr = \left\{\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}\right\}.$$

\vspace{0.5cm}
$$\xymatrix{\bullet \ar@{-}[rr] \ar@{-}[rd] & & \bullet \\ & \bullet \ar@{-}[ru] &}$$
\vspace{0.5cm}

On note $\gamma_0$ la classe du lacet $[a,b,c,a]$ dans $\pi_1(\C,a)$. D\'emontrer que l'application $$\mathbb{Z} \rightarrow \pi_1(\C,a), \ \ n \mapsto \gamma_0^n$$ est un isomorphisme de groupes.


\vspace{0.8cm} \noindent \textbf{Exercice 6} --- Soit $\C = \C(\Sigma, \Sr)$ le complexe simplicial d\'efini par $\Sigma = \{a, b, c, d\}$ et $$\Sr = \left\{\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{b,c\}, \{b,d\}, \{c,d\}, \{a,b,c\}, \{b,c,d\}\right\}.$$

\vspace{0.5cm}
$$\xymatrix{\bullet \ar@{-}[rr] \ar@{-}[rd] \ar@{-}[rdd] & & \bullet \ar@{-}[ld] \ar@{-}[ddl] \\ & \bullet \ar@{-}[d] & \\ & \bullet &}$$
\vspace{0.5cm}

\hspace{0.2cm} V\'erifier que les lacets $\gamma = [a, b, d, a]$ et $\gamma' = [a,c,d,a]$ sont r\'eduits et homotopes.

\newpage
\end{document}
