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\begin{document}

\vspace{0.5cm} \\begin{flushleft}
\textbf{ENS Lyon} \hfill \textbf{Alg\`ebre approfondie} \\
\textbf{M1} \hfill \textbf{2008-2009}
\end{flushleft}


\vspace{0.8cm}
\begin{center} \textbf{\scshape Feuille 8}
\end{center}

\vspace{0.8cm}


\noindent \textbf{Exercice} --- D\'emontrer que tout groupe de type fini est de pr\'esentation finie.

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Exercice} --- Soit $(\C,s)$ un graphe point\'e connexe d\'enombrable. D\'emontrer qu'il existe un graphe point\'e $(\C',s')$ satisfaisant aux deux conditions suivantes : \begin{itemize}
\item[(i)] $\pi_1(\C',s') \simeq \pi_1(\C,s)$ ; 
\item[(ii)] chaque sommet de $\C'$ appartient \`a trois ar\^etes au plus.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Exercice} --- Cet exercice a pour objet de d\'ecrire un complexe simplicial de dimension 2 dont le groupe fondamental est donn\'e sous forme d'une pr\'esentation $\langle \X, \R \rangle$. On suppose $\R$ fini pour simplifier.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{1.} Soit $n \geqslant 3$ un nombre entier. On d\'esigne par $\D_n$ le complexe ayant $2n+1$ sommets $p, q_1, \ldots, q_{n-1}, r_1, \ldots, r_{n-1}$ et dont les $2$-simplexes sont les $\{p,q_i,q_{i+1}\}$, $\{q_i, q_{i+1}, r_{i+1}\}$ et $\{q_i, r_i, r_{i+1}\}$, o\`u $i$ parcourt $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. On d\'esigne par $\R_n$ le sous-complexe de $\D_n$ obtenu en enlevant $p$ et tous les simplexes le contenant. On note finalement $\partial \D_n$ le sous-complexe plein de $\D_n$ de sommets $\{r_0, \ldots, r_{n-1}\}$.
 
\vspace{5cm}


\textbf{1.1}  D\'eterminer les groupes fondamentaux de $\D_n$ et de $\R_n$. 

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{2.1.} Consid\'erons un complexe simplicial $\K$ ainsi qu'un chemin ferm\'e $c = [a_0,\ldots, a_{n-1},a_0]$ dans $\K$ avec $n \geqslant 3$.
 
\vspace{0.1cm} Soit $\K_c$ le complexe simplicial obtenu en faisant le quotient de $\K \coprod \D_n$ par la relation d'\'equivalence identifiant les points $a_i$ et $r_i$ pour tout $i$. On d\'esigne par $\K_c'$ le sous-complexe image de $\K \cap \R_n$.

\vspace{0.1cm} \textbf{2.1.} D\'emontrer que l'inclusion $\K'_c \hookrightarrow \K_c$ induit un isomorphisme de $\pi_1(\K,a_0)$ sur $\pi_1(\K_c',a_0)$.

\vspace{0.1cm} \textbf{2.2.} Soit $\K''_c$ le sous-complexe plein de $\K_c$ de sommets $\{p,q_0,\ldots, q_{n-1}\}$. D\'eterminer $\K'_c \cup \K_c''$ et $\K_c' \cap \K_c''$.

\vspace{0.1cm} \textbf{2.3.} Calculer $\pi_1(\K_c' \cap \K_c'',a_0)$ et d\'eterminer l'image de l'homomorphisme $\pi_1(\K_c' \cap \K_c'',a_0) \rightarrow \pi_1(\K_c', a_0)$ induit par l'inclusion $\K_c' \cap \K_c'' \hookrightarrow \K_c'$.

\vspace{0.1cm} \textbf{2.4.} En d\'eduire $\pi_1(\K_c,a_0)$ en fonction de $\pi_1(\K,a_0)$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{3.} Soit $\G = \langle \X, \R \rangle$ un groupe d\'efini par g\'en\'erateurs et relations. Pour simplifier, on supposer que $\R$ est un ensemble fini.

\vspace{0.1cm} D\'ecrire un proc\'ed\'e de construction d'un complexe simplicial de dimension 2 dont le groupe fondamental est isomorphe \`a $\G$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice} --- Donner un exemple de complexe simplicial de groupe fondamental $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice} ---

\end{document}