ENS Lyon Algèbre approfondie M1 2008-2009

Feuille 8

Exercice 1. — Soit G un groupe de type fini. Démontrer que tout sous-groupe d’indice fini de G est encore de type fini.

Exercice 2. — Soit (C,s) un graphe pointé connexe dénombrable. Démontrer qu’il existe un graphe pointé (C′,s′) satisfaisant aux deux conditions suivantes :

(i) π_{1}(C′,s′) ≃ π_{1}(C,s) ;

(ii) chaque sommet de C′appartient à trois arêtes au plus.

Exercice 3. — Soit C un complexe simplicial connexe et soit G un groupe agissant sur C. On définit une relation d’équivalence sur les sommets de C par x ∼ y si et seulement si x et y sont dans la même orbite sous G. On suppose que cette relation d’équivalence vérifie la propriété suivante : si x ∼ y et x ≠ y, alors il n’existe pas de simplexe s contenant x et de simplexe s′ contenant y tels que s ∩ s′soit non vide.

Démontrer que la projection canonique C → C/ ∼ est un revêtement.

Exercice 4. — Cet exercice a pour objet de décrire un complexe simplicial de dimension 2 dont le groupe fondamental est donné sous forme d’une présentation ⟨X,R⟩. On suppose R fini pour simplifier.

Soit n ⩾ 3 un nombre entier. On désigne par D_{n} le complexe ayant 2n + 1 sommets p,q_{1},...,q_{n−1} ,r_{1},...,r_{n−1} et dont les 2-simplexes sont les {p,q_{i},q_{i+1} }, {q_{i},q_{i+1} ,r_{i+1} } et {q_{i},r_{i},r_{i+1} }, où i parcourt ℤ/nℤ. On désigne par R_{n} le sous-complexe de D_{n} obtenu en enlevant p et tous les simplexes le contenant. On note finalement ∂D_{n} le sous-complexe plein de D_{n} de sommets {r_{0},...,r_{n−1} }.

1. Déterminer les groupes fondamentaux de D_{n} et de R_{n}.

Considérons maintenant un complexe simplicial K ainsi qu’un chemin fermé c = [a_{0},...,a_{n−1} ,a_{0}] dans K avec n ⩾ 3.

Soit K_{c} le complexe simplicial obtenu en faisant le quotient de K ⊔ D_{n} par la relation d’équivalence identifiant les points a_{i} et r_{i} pour tout i. On désigne par K′_{c} le sous-complexe image de K ⊔ R_{n}.

2. Démontrer que l’inclusion K′_{c} ↪ K induit un isomorphisme de π_{1}(K′_{c},a_{0}) sur π_{1}(K,a_{0}).

3. Soit K′′_{c}le sous-complexe plein de K_{c} de sommets {p,q_{0},...,q_{n−1} }. Déterminer K′_{c}∪K′′_{c} et K′_{c}∩ K′′_{c}.

4. Calculer π_{1}(K′_{c}∩ K′′_{c},a_{0}) et déterminer l’image de l’homomorphisme

π_{1}(K′_{c}∩ K′′_{c},a_{0}) → π_{1}(K′_{c},a_{0})

induit par l’inclusion K′_{c}∩ K′′_{c}↪ K′_{c}.

5. En déduire π_{1}(K_{c},a_{0}) en fonction de π_{1}(K,a_{0}).

Soit G = ⟨X,R⟩ un groupe défini par générateurs et relations. Pour simplifier, on supposer que R est un ensemble fini.

6. Décrire un procédé de construction d’un complexe simplicial de dimension 2 dont le groupe fondamental est isomorphe à G.

Exercice 5. — Donner un exemple de complexe simplicial de groupe fondamental ℤ/2ℤ.

Exercice 6. — Soit (C,s) un complexe simplicial connexe pointé de dimension 2 et soit H un sous-groupe de π_{1}(C,s). On note C^{(1)} le 1-squelette de C.

1. Montrer que l’inclusion C^{(1)} ↪ C induit un homomorphisme surjectif π_{1}(C^{(1)},s) → π_{1}(C,s).

Soit f^{1} : ((C^{1})′,s′) → (C^{1},s) un revêtement connexe tel que f^{1} induise un isomorphisme entre π_{1}((C^{1})′,s′) et le sous-groupe H^{1} de π_{1}(C^{1},s) image réciproque de H.

2. Démontrer que le revêtement f^{1} : (C^{1})′→ C^{1} s’étend de manière unique en un revêtement f : C′→ C tel que (C^{1})′= (C′)^{1}.

3. Démontrer que l’homomorphisme f^{∗} : π_{1}(C′,s′) → π_{1}(C,s) induit par f est un isomorphisme de π_{1}(C′,s′) sur H.

4. Étendre la correspondance galoisienne entre revêtements et sous-groupes du groupe fondamental aux complexes simpliciaux de dimension 2, puis aux complexes simpliciaux de dimension quelconque.