\documentclass[12pt, francais]{smfart}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}

\usepackage{mysections}

\input xy
\xyoption{all}

\newcommand{\mr}{\mathrm}
\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\I}{\mathrm{I}}
\newcommand{\X}{\mathrm{X}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\R}{\mathrm{R}}
\newcommand{\Y}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\Z}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\G}{\mathrm{G}}
\newcommand{\Lr}{\mathrm{L}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\Hr}{\mathrm{H}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\J}{\mathrm{J}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}

\addtolength{\hoffset}{-13mm}
\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm} \addtolength{\headsep}{5mm}
\addtolength{\textwidth}{25mm} \addtolength{\textheight}{45mm}


\begin{document}

\vspace{0.5cm} \begin{flushleft}
\textbf{ENS Lyon} \hfill \textbf{Alg\`ebre approfondie} \\
\textbf{M1} \hfill \textbf{2008-2009}
\end{flushleft}


\vspace{0.8cm}
\begin{center} \textbf{\scshape Feuille 8}
\end{center}

\vspace{0.8cm}


\noindent \textbf{Exercice 1.} --- Soit $\G$ un groupe de type fini. D\'emontrer que tout sous-groupe d'indice fini de $\G$ est encore de type fini. 

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Exercice 2.} --- Soit $(\C,s)$ un graphe point\'e connexe d\'enombrable. D\'emontrer qu'il existe un graphe point\'e $(\C',s')$ satisfaisant aux deux conditions suivantes : \begin{itemize}
\item[(i)] $\pi_1(\C',s') \simeq \pi_1(\C,s)$ ; 
\item[(ii)] chaque sommet de $\C'$ appartient \`a trois ar\^etes au plus.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 3.} --- Soit $\C$ un complexe simplicial connexe et soit $\G$ un groupe agissant sur $\C$. On d\'efinit une relation d'\'equivalence sur les sommets de $\C$ par $x \sim y$ si et seulement si $x$ et $y$ sont dans la m\^eme orbite sous $\G$. On suppose que cette relation d'\'equivalence v\'erifie la propri\'et\'e suivante : si $x \sim y$ et $x \neq y$, alors il n'existe pas de simplexe $s$ contenant $x$ et de simplexe $s'$ contenant $y$ tels que $s \cap s'$ soit non vide.

\vspace{0.1cm} D\'emontrer que la projection canonique $\C \rightarrow \C/\sim$ est un rev\^etement.

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Exercice 4.} --- Cet exercice a pour objet de d\'ecrire un complexe simplicial de dimension 2 dont le groupe fondamental est donn\'e sous forme d'une pr\'esentation $\langle \X, \R \rangle$. On suppose $\R$ fini pour simplifier.

\vspace{0.2cm} Soit $n \geqslant 3$ un nombre entier. On d\'esigne par $\D_n$ le complexe ayant $2n+1$ sommets $p, q_1, \ldots, q_{n-1}, r_1, \ldots, r_{n-1}$ et dont les $2$-simplexes sont les $\{p,q_i,q_{i+1}\}$, $\{q_i, q_{i+1}, r_{i+1}\}$ et $\{q_i, r_i, r_{i+1}\}$, o\`u $i$ parcourt $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. On d\'esigne par $\R_n$ le sous-complexe de $\D_n$ obtenu en enlevant $p$ et tous les simplexes le contenant. On note finalement $\partial \D_n$ le sous-complexe plein de $\D_n$ de sommets $\{r_0, \ldots, r_{n-1}\}$.
 
\vspace{5cm}


\textbf{1.}  D\'eterminer les groupes fondamentaux de $\D_n$ et de $\R_n$. 

\vspace{0.2cm}  Consid\'erons maintenant un complexe simplicial $\K$ ainsi qu'un chemin ferm\'e $c = [a_0,\ldots, a_{n-1},a_0]$ dans $\K$ avec $n \geqslant 3$.
 
\vspace{0.1cm} Soit $\K_c$ le complexe simplicial obtenu en faisant le quotient de $\K \sqcup \D_n$ par la relation d'\'equivalence identifiant les points $a_i$ et $r_i$ pour tout $i$. On d\'esigne par $\K_c'$ le sous-complexe image de $\K \sqcup \R_n$.

\vspace{0.1cm} \textbf{2.} D\'emontrer que l'inclusion $\K'_c \hookrightarrow \K$ induit un isomorphisme de $\pi_1(\K'_c,a_0)$ sur $\pi_1(\K,a_0)$.

\vspace{0.1cm} \textbf{3.} Soit $\K''_c$ le sous-complexe plein de $\K_c$ de sommets $\{p,q_0,\ldots, q_{n-1}\}$. D\'eterminer $\K'_c \cup \K_c''$ et $\K_c' \cap \K_c''$.

\vspace{0.1cm} \textbf{4.} Calculer $\pi_1(\K_c' \cap \K_c'',a_0)$ et d\'eterminer l'image de l'homomorphisme $$\pi_1(\K_c' \cap \K_c'',a_0) \rightarrow \pi_1(\K_c', a_0)$$ induit par l'inclusion $\K_c' \cap \K_c'' \hookrightarrow \K_c'$.

\vspace{0.1cm} \textbf{5.} En d\'eduire $\pi_1(\K_c,a_0)$ en fonction de $\pi_1(\K,a_0)$.

\vspace{0.2cm} Soit $\G = \langle \X, \R \rangle$ un groupe d\'efini par g\'en\'erateurs et relations. Pour simplifier, on supposer que $\R$ est un ensemble fini.

\vspace{0.1cm} \textbf{6.} D\'ecrire un proc\'ed\'e de construction d'un complexe simplicial de dimension 2 dont le groupe fondamental est isomorphe \`a $\G$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 5.} --- Donner un exemple de complexe simplicial de groupe fondamental $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

%\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice} --- Cet exercice a pour objet de d\'emontrer le \emph{th\'eor\`eme de Kurosh} : si $\G = *_{i \in \I} \G_i$ est le produit libre d'une famille de groupes $(\G_i)_{i \in \I}$, tout sous-groupe $\Hr$ de $\G$ est de la forme $\Lr * \left(*_{i \in \I} \Hr_i \right)$, o\`u $\Lr$ est un groupe libre et $\Hr_i$ est un sous-groupe de $\G$ conjugu\'e \`a un sous-groupe de $\G_i$.

%\vspace{0.1cm} On admettra l'existence, pour tout groupe $\G_i$, d'un  
\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 6.} --- Soit $(\C,s)$ un complexe simplicial connexe point\'e de dimension 2 et soit $\Hr$ un sous-groupe de $\pi_1(\C,s)$. On note $\C^{(1)}$ le $1$-squelette de $\C$.

\vspace{0.1cm} \textbf{1.} Montrer que l'inclusion $\C^{(1)} \hookrightarrow \C$ induit un homomorphisme surjectif $\pi_1(\C^{(1)},s) \rightarrow \pi_1(\C,s)$. 

\vspace{0.1cm} Soit $f^1 : ((\C^1)',s') \rightarrow (\C^1, s)$ un  rev\^etement connexe tel que $f^1$ induise un isomorphisme entre $\pi_1((\C^1)',s')$ et le sous-groupe $\Hr^1$ de $\pi_1(\C^1,s)$ image r\'eciproque de $\Hr$. 

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{2.} D\'emontrer que le rev\^etement $f^1 : (\C^1)' \rightarrow \C^1$ s'\'etend de mani\`ere unique en un rev\^etement $f : \C' \rightarrow \C$ tel que $(\C^1)' = (\C')^1$.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{3.} D\'emontrer que l'homomorphisme $f^* : \pi_1(\C',s') \rightarrow \pi_1(\C,s)$ induit par $f$ est un isomorphisme de $\pi_1(\C',s')$ sur $\Hr$.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{4.} \'Etendre la correspondance galoisienne entre rev\^etements et sous-groupes du groupe fondamental aux complexes simpliciaux de dimension 2, puis aux complexes simpliciaux de dimension quelconque.


\end{document}