ENS Lyon Algèbre approfondie M1 2008-2009

Feuille 11

Exercice 1 — Soit f ∈ ℤ[T] un polynôme unitaire de degré n. On suppose qu’il existe trois nombres premiers p_{1}, p_{2} et p_{3} tels que

(i) le polynôme f (modp_{1}) soit irréductible ;

(ii) le polynôme f (modp_{2}) soit le produit d’un facteur irréductible de degré 2 et d’un ou de deux fac-

teur(s) irréductible(s) de degré impair dans 𝔽_{p_{2}}[T] ; (iii) le polynôme f (modp_{3}) soit le produit d’un facteur linéaire et d’un facteur irréductible dans 𝔽_{p_{3}}[T].

1. Démontrer que le groupe de Galois G d’un corps de décomposition de f au-dessus de ℚ est un sousgroupe transitif de 𝔖_{n} contenant une transposition et un cycle de longueurs n − 1 ; en déduire que G = 𝔖_{n}.

2. Lorsque n est un nombre premier, montrer que les conditions (i) et (ii) suffisent à garantir G = 𝔖_{n}.

3. Déterminer les groupes de Galois des polynômes T^{5}− T − 1 et T^{7}− T − 1.

Exercice 2 (L’ubiquité des groupes symétriques comme groupes de Galois sur ℚ) — Soit n ≥ 2 un entier naturel. Étant donné un entier naturel N ≥ 1, on note σ_{n}(N) le nombre des polynômes unitaires f ∈ ℤ[T] de degré n dont les coefficients sont majorés par N en valeur absolue et dont le groupe de Galois est 𝔖_{n}.

Suivant B.L. van der Waerden (Die Seltenheit der Gleichungen mit Affekt, Mathematische Annalen 109 (1934)), cet exercice a pour objet d’établir que la proportion (2N + 1)^{−n} σ_{n}(N) de ces polynômes tend vers 1 lorsque N tend vers +∞.

1. Étant donné un nombre premier p ≥ 3, dénombrer les polynômes unitaires de degré n dans 𝔽_{p}[T] qui sont soit irréductibles (type 1), soit le produit d’un facteur irréductible de degré 2 et d’un ou de deux facteur(s) irréductible(s) de degré impair (type 2), soit le produit d’un facteur linéaire et d’un facteur irréductible (type 3). Dans chaque cas de figure, vérifier qu’il y a au moins p^{n}/k(n) tels polynômes, où k(n) = 8(n − 2).

2. Soit p_{1},...,p_{r} des nombres premiers et P = p_{1}...p_{r}. Quel que soit i ∈ {1,2,3}, vérifier qu’il y a au plus

( 1 − \frac{1}{k(n)}) ^{r}P^{n}

polynômes unitaires et de degré n dans ℤ/Pℤ[T] dont la réduction modulo chacun des nombres premiers p_{1},...,p_{r} ne soit pas de type i.

3. On ordonne les nombres premiers (p_{i})_{i⩾1} par ordre croissant et on note r(N) le plus grand entier tel que p_{1}...p_{r} ⩽ 2N + 1.

(i) Majorer le nombre de polynômes unitaires de degré n dont les coefficients sont majorés par N et dont la réduction modulo P est fixée.

(ii) Démontrer la minoration

\frac{σ_{n}(N)}{(2N + 1)^{n}} ≥ 1 − 3 · 2^{n}( 1 − \frac{1}{k(n)}) ^{r(N)}

et en déduire

lim_{N} \frac{σ_{n}(N)}{(2N + 1)^{n}} = 1.