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\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{flushleft}
\textbf{ENS Lyon} \hfill \textbf{Alg\`ebre approfondie} \\
\textbf{M1} \hfill \textbf{2008-2009}
\end{flushleft}


\vspace{0.5cm}
\begin{center} \textbf{\scshape Feuille 11}
\end{center}



\vspace{0.8cm} \noindent \textbf{Exercice 1} --- Soit $f \in \mathbb{Z}[\T]$ un polyn\^ome unitaire de degr\'e $n$. On suppose qu'il existe trois nombres premiers $p_1, \ p_2$ et $p_3$ tels que \begin{itemize} \item[(i)] le polyn\^ome $f \ (\mathrm{mod} \ p_1)$ soit irr\'eductible ; \item[(ii)] le polyn\^ome $f \ (\mathrm{mod} \ p_2)$ soit le produit d'un facteur irr\'eductible de degr\'e $2$ et d'un ou de deux facteur(s) irr\'eductible(s) de degr\'e impair dans $\mathbb{F}_{p_2}[\T]$ ; \item[(iii)] le polyn\^ome $f \ (\mathrm{mod} \ p_3)$ soit le produit d'un facteur lin\'eaire et d'un facteur irr\'eductible dans $\mathbb{F}_{p_3}[\T]$. \end{itemize}


\vspace{0.2cm}
1. D\'emontrer que le groupe de Galois $\G$ d'un corps de d\'ecomposition de $f$ au-dessus de $\mathbb{Q}$ est un sous-groupe transitif de $\mathfrak{S}_n$ contenant une transposition et un cycle de longueurs $n-1$ ; en d\'eduire que $\G = \mathfrak{S}_n$.

\vspace{0.2cm} 2. Lorsque $n$ est un nombre premier, montrer que les conditions (i) et (ii) suffisent \`a garantir $\G = \mathfrak{S}_n$. 

\vspace{0.2cm}
3. D\'eterminer les groupes de Galois des polyn\^omes $\T^5 - \T -1$ et $\T^7 - \T - 1$.

\vspace{0.8cm} \noindent \textbf{Exercice 2} (\emph{L'ubiquit\'e des groupes sym\'etriques comme groupes de Galois sur $\mathbb{Q}$}) --- Soit $n \geq 2$ un entier naturel. \'Etant donn\'e un entier naturel $\N \geq 1$, on note $\sigma_n(\N)$ le nombre des polyn\^omes unitaires $f \in \mathbb{Z}[\T]$ de degr\'e $n$ dont les coefficients sont major\'es par $\N$ en valeur absolue et dont le groupe de Galois est $\mathfrak{S}_n$. 

\vspace{0.2cm}
Suivant B.L. van der Waerden (\emph{Die Seltenheit der Gleichungen mit Affekt}, Mathematische Annalen \textbf{109} (1934)), cet exercice a pour objet d'\'etablir que la proportion $(2\N+1)^{-n}\sigma_n(\N)$ de ces polyn\^omes tend vers $1$ lorsque $\N$ tend vers $+\infty$.

\vspace{0.2cm}
1. \'Etant donn\'e un nombre premier $p \geq 3$, d\'enombrer les polyn\^omes unitaires de degr\'e $n$ dans $\mathbb{F}_p[\T]$ qui sont soit irr\'eductibles (\emph{type 1}), soit le produit d'un facteur irr\'eductible de degr\'e $2$ et d'un ou de deux facteur(s) irr\'eductible(s) de degr\'e impair (\emph{type 2}), soit le produit d'un facteur lin\'eaire et d'un facteur irr\'eductible (\emph{type 3}). Dans chaque cas de figure, v\'erifier qu'il y a au moins $p^{n}/k(n)$ tels polyn\^omes,  o\`u $k(n) = 8(n-2)$.

\vspace{0.2cm}
2. Soit $p_1, \ldots, p_r$ des nombres premiers et ${\rm P} = p_1 \ldots p_r$. Quel que soit $i \in \{1, 2,3\}$, v\'erifier qu'il y a au plus $$\left(1 - \frac{1}{k(n)}\right)^{r} \rP^n$$ polyn\^omes unitaires et de degr\'e $n$ dans $\mathbb{Z}/\rP\mathbb{Z}[\T]$ dont la r\'eduction modulo chacun des nombres premiers $p_1, \ldots, p_r$ ne soit pas de type $i$.

\vspace{0.2cm}
3. On ordonne les nombres premiers $(p_i)_{i \geqslant 1}$ par ordre croissant et on note $r({\rm N})$ le plus grand entier tel que $p_1 \ldots p_r \leqslant 2{\rm N}+1$. 
\begin{itemize}
\item[(i)] Majorer le nombre de polyn\^omes unitaires de degr\'e $n$ dont les coefficients sont major\'es par ${\rm N}$ et dont la r\'eduction modulo ${\rm P}$ est fix\'ee.
\item[(ii)] D\'emontrer la minoration 
$$\frac{\sigma_n (\N)}{(2N+1)^n} \geq 1 - 3 \cdot 2^n\left(1 - \frac{1}{k(n)}\right)^{r(\N)}$$ et en d\'eduire $$ \lim_{\N} \frac{\sigma_n (\N)}{(2\N+1)^n} =1.$$
\end{itemize}
\newpage
\end{document}