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\begin{document}

\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2008} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

Un espace topologique est \emph{quasi compact} si l'on peut extraire de tout recouvrement ouvert un sous-recouvrement fini. La quasi-compactit\'e du spectre premier d'un anneau est un fait remarquable qui joue un r\^ole crucial en g\'eom\'etrie alg\'ebrique ; dans ce qui suit, on se propose de l'illustrer en montrant que l'on peut en d\'eduire tr\`es simplement l'un des th\'eor\`emes de base de la logique math\'ematique, le \emph{th\'eor\`eme de compacit\'e du calcul propositionnel}. 

\vspace{0.3cm} 
\noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme de compacit\'e du calcul propositionnel}} --- \emph{Soit $\mathcal{A}$ un ensemble de formules du calcul propositionnel. Pour que $\mathcal{A}$ soit non contradictoire, il faut et il suffit que tout sous-ensemble fini de $\mathcal{A}$ soit non contradictoire.}

\vspace{0.2cm} Il convient de pr\'eciser que le calcul propositionnel est extr\^emement rudimentaire et qu'il est n\'ecessaire de l'\'etendre en lui adjoignant des quantificateurs, le r\'esultat obtenu \'etant connu sous le nom de \emph{calcul des pr\'edicats}. Pour tout cela, on pourra consulter l'ouvrage [1].

\vspace{0.1cm}
La troisi\`eme section de ce texte porte sur le \emph{th\'eor\`eme de Stone}, qui est historiquement l'une des premi\`eres apparitions du spectre premier d'un anneau commutatif.

\vspace{0.6cm}

\noindent \begin{center}\textbf{1. Le calcul propositionnel} \end{center}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(1.1)} \emph{Morphologie} --- On consid\`ere un ensemble non vide $\rP$ de \emph{variables propositionnelles}, des symboles $\lnot$, $\lor$, $\land$, $\rightarrow$ et $\leftrightarrow$, appel\'es \emph{connecteurs}, ainsi que des parenth\`eses $($, $)$.

\vspace{0.1cm}

Une \emph{formule propositionnelle} est une suite finie d'\'el\'ements de $\rP$, de connecteurs et de parenth\`eses, obtenue \`a partir des r\`egles de formation suivantes : \begin{itemize} \item tout \'el\'ement de $\rP$ est une formule propositionnelle ; \item si $\F$ est une formule propositionnelle, $\lnot \F$ en est \'egalement une ; \item si $\F$ et $\G$ sont deux formules propositionnelles, $(\F \lor \G)$, $(\F \land \G)$, $(\F \rightarrow \G)$ et $(\F \leftrightarrow \G)$ en sont \'egalement.\end{itemize}

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Exemple}. Si $p$ et $q$ sont des \'el\'ements de $\rP$, $((p \rightarrow q) \lor \lnot q)$ est une formule propositionnelle.

\vspace{0.1cm} On note $\mathcal{F}$ l'ensemble des formules propositionnelles.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(1.2)} \emph{S\'emantique} --- Une \emph{assignation} ou \emph{distribution de valeurs de v\'erit\'e} est une application $v : \rP \rightarrow \{0,1\}$. On d\'emontre que toute assignation $v$ admet un unique prolongement $\tilde{v} : \mathcal{F} \rightarrow \{0,1\}$ satisfaisant aux conditions suivantes : pour toutes formules $\F, \G \in \mathcal{F}$, \begin{itemize}
\item[(i)] $\tilde{v}(\lnot \F) = 1$ si et seulement si $\tilde{v}(\F) = 0$;
\item[(ii)] $\tilde{v}(\F \land \G) = 1$ si et seulement si $\tilde{v}(\F) = \tilde{v}(\G) = 1$;
\item[(iii)] $\tilde{v}(F \lor \G) = 0$ si et seulement si $\tilde{v}(\F) = \tilde{v}(\G) = 0$;
\item[(iv)] $\tilde{v}(\F \rightarrow \G) = 0$ si et seulement si $\tilde{v}(\F) = 1$ et $\tilde{v}(\G) = 0$;
\item[(v)] $\tilde{v}(\F \leftrightarrow \G) = 1$ si et seulement si $\tilde{v}(\F) = \tilde{v}(\G)$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'ee une assignation $v$, une formule $\F \in \mathcal{F}$ est dite \emph{vraie} si $\tilde{v}(\F) = 1$, \emph{fausse} sinon. Les r\`egles qui pr\'ec\`edent signifient que l'on prolonge l'assignation $v$ \`a $\mathcal{F}$ en interpr\'etant respectivement les connecteurs $\land$, $\lor$, $\rightarrow$ et $\leftrightarrow$ par la conjonction, la disjonction, l'implication et l'\'equivalence usuelles.

\vspace{0.1cm} Une \emph{tautologie} est une formule $\F \in \mathcal{F}$ vraie pour toute assignation. Deux formules $\F, \G \in \mathcal{F}$ sont dites \emph{logiquement \'equivalentes} si la formule $(\F \leftrightarrow \G)$ est une tautologie, ce qui revient \`a dire que l'on a $\tilde{v}(\F) = \tilde{v}(\G)$ pour toute assignation $v$ ; on note $\F \sim \G$ cette relation d'\'equivalence et on d\'esigne par $\mathrm{cl}(\F)$ la classe d'\'equivalence de la formule $\F$.

\vspace{0.1cm} \noindent\emph{Exemple}. Pour toute variable $p \in \rP$, la formule $(p \rightarrow p)$ est une tautologie.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Remarque}. Vu l'interpr\'etation des connecteurs que l'on vient de d\'ecrire, ceux-ci ne sont bien entendu pas ind\'ependants du point de vue de l'\'equivalence logique. Par exemple, pour toutes formules $\F,\G \in \mathcal{F}$, $(\F \rightarrow \G)$ et $(\G \lor (\lnot\F \land \lnot\G))$ sont deux formules logiquement \'equivalentes ; il en est de m\^eme de $(\F \lor \G)$ et $(\lnot \F \rightarrow \G)$, ainsi que de $(\F \land \G)$ et $\lnot(\F \rightarrow \lnot \G)$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(1.3)} \emph{Satisfaction} --- Un ensemble $\mathcal{A}$ de formules propositionnelles est \emph{satisfait} pour une assignation $v$ si $\tilde{v}(\F) = 1$ pour toute formule $\F \in \mathcal{F}$. On dit que $\mathcal{A}$ est \emph{satisfaisable} ou \emph{non contradictoire} s'il est satisfait pour au moins une assignation, \emph{contradictoire} s'il n'est satisfait pour aucune assignation.

\vspace{0.2cm} L'\'enonc\'e du th\'eor\`eme de compacit\'e fait maintenant sens. Une fa{\c c}on de le d\'emontrer est d'observer que l'ensemble quotient $\mathcal{B} = \mathcal{F}/\sim$ des formules propositionnelles modulo \'equivalence logique est naturellement muni d'une structure d'anneau commutatif et d'invoquer la quasi-compacit\'e de $\mathrm{Spec}(\mathcal{B})$.

\vspace{0.6cm}
\begin{center} \textbf{2. Anneaux de Boole}  \end{center}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(2.1)} \emph{Anneau de Boole} --- On appelle \emph{anneau de Boole} un anneau $\A$, unitaire mais non n\'ecessairement commutatif, dans lequel tout \'el\'ement $a$ est idempotent : $a^2 = a$. On a $2 = 0$ dans $\A$ car $4 = 2^2 = 2$, et $\A$ est en fait commutatif puisque $ab - ba = ab+ba = (a+b)^2 - (a+b) = 0$ pour tous $a, b \in \A$. Ainsi, tout anneau de Boole est une alg\`ebre commutative sur le corps fini $\mathbb{F}_2$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Exemple}. Si $\E$ est un ensemble, les lois $$\A + \B = \A \Delta \B = (\A \cap \B^{\mr c}) \cup (\A^{\mr c} \cap \B) \ \ \textrm{  et  } \ \ \A\B = \A \cap \B$$ font de l'ensemble $\mathcal{P}(\E)$ des parties de $\E$ un anneau de Boole.

\vspace{0.1cm} On v\'erifie sans difficult\'e que l'ensemble $\mathcal{B} = \mathcal{F}/\sim$ est un anneau de Boole pour les lois $$\mathrm{cl}(\F)+\mathrm{cl}(\G) = \mathrm{cl}((\F \land \lnot \G) \lor (\lnot \F \land \G)) = \mathrm{cl}(\lnot (\F \leftrightarrow \G))$$ et $$\mathrm{cl}(\F) \mathrm{cl}(\G) = \mathrm{cl}(\F \land \G),$$ $1$ \'etant la classe d'une quelconque tautologie $\Hr \in \mathcal{F}$ et $0$ celle de $\lnot \Hr$. Par ailleurs, il revient au m\^eme de se donner une assignation $v : \rP \rightarrow \{0,1\}$ ou un homomorphisme d'anneaux $\tilde{v} : \mathcal{B} \rightarrow \mathbb{F}_2$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(2.2)} \emph{Compacit\'e du spectre} --- Dans un anneau de Boole $\A$, tout id\'eal premier est maximal ; ceci est une manifestation du fait que le seul anneau de Boole int\`egre est le corps \`a deux \'el\'ements $\mathbb{F}_2$. Il en d\'ecoule que le spectre de $\A$ est un espace topologique \emph{s\'epar\'e}\footnote{\emph{Le spectre d'un anneau commutatif $\A$ est s\'epar\'e si et seulement si tous ses points sont ferm\'es}. Comme la propri\'et\'e consid\'er\'ee est purement topologique, il est loisible de remplacer $\A$ par $\A/\mathfrak{N}(\A)$ et donc de supposer que l'anneau $\A$ est \emph{r\'eduit}. La condition envisag\'ee est trivialement n\'ecessaire car les points d'un espace s\'epar\'e sont ferm\'es. Supposons r\'eciproquement que tous les points de $\mathrm{Spec}(\A)$ soient ferm\'es, i.e. que tous les id\'eaux premiers de $\A$ soient maximaux. Consid\'erons deux id\'eaux maximaux distincts $\mathfrak{m}$ et $\mathfrak{m}'$ de $\A$ et soit $f$ un \'el\'ement de $\mathfrak{m} \cap (\A  - \mathfrak{m'})$. Les id\'eaux premiers de l'anneau localis\'e $\A_{\mathfrak{m}}$ s'identifiant aux id\'eaux premiers de $\A$ contenus dans $\mathfrak{m}$, $\mathfrak{m}\A_{\mathfrak{m}}$ est le seul id\'eal premier de $\A_{\mathfrak{m}}$. Comme tout localis\'e d'un anneau r\'eduit est r\'eduit, $\mathfrak{m}\A_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{N}(\A_{\mathfrak{m}}) = (0)$, donc $f/1 = 0$ dans $\A_{\mathfrak{m}}$ et il existe par suite $g$ dans $\A - \mathfrak{m}$ tel que $gf=0$. On a alors $\D(f) \cap \D(g) = \varnothing$, $\mathfrak{m} \in \D(g)$ et $\mathfrak{m}' \in \D(f)$, ce qui prouve que $\mathrm{Spec}(\A)$ est s\'epar\'e.}, donc \emph{compact}.

\vspace{0.1cm} Dans la situation qui nous int\'eresse, le spectre de $\mathcal{B}$ s'identifie \`a $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}(\mathcal{B}, \mathbb{F}_2)$, donc \`a l'ensemble des assignations $v : \rP \rightarrow \{0,1\}$.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{(2.3)} \emph{D\'emonstration du th\'eor\`eme de compacit\'e} --- Pour toute formule propositionnelle $\F$, les assignations $v$ telles que $\tilde{v}(\F) = 1$ sont pr\'ecis\'ement les points du ferm\'e $\V(\mathrm{cl}(\lnot \F))$. Par suite, pour qu'un ensemble $\mathcal{A}$ de formules propositionnelles soit non contradictoire, il faut et il suffit que l'intersection de la famille de ferm\'es $\{\V(\mathrm{cl}(\lnot \F))\}_{\F \in \mathcal{A}}$ soit non vide. Comme l'espace topologique $\mathrm{Spec}(\mathcal{B})$ est compact, cette condition \'equivaut \`a la non-vacuit\'e de l'intersection de toute sous-famille finie, c'est-\`a-dire au caract\`ere non contradictoire de tout sous-ensemble fini de $\mathcal{A}$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Remarque}. Le th\'eor\`eme de compactit\'e peut \'egalement se d\'eduire du th\'eor\`eme de Tychonoff, affirmant qu'un produit d'espaces compacts est un espace compact. En effet, si $\{0,1\}$ est muni de la topologie discr\`ete, l'ensemble des assignations $\{0,1\}^{\rP}$ est un espace compact (hom\'eomorphe au spectre de $\mathcal{B}$) et l'argument pr\'ec\'edent s'applique.

\vspace{0.6cm} 
\begin{center} \textbf{3. Le th\'eor\`eme de Stone} \end{center}
\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(3.1)} \emph{Treillis} --- On appelle \emph{treillis} un ensemble non vide et partiellement ordonn\'e dans lequel toute partie finie admet une borne inf\'erieure et une borne sup\'erieure ; un treillis poss\`ede en particulier un plus grand \'el\'ement $1$ et un plus petit \'el\'ement $0$. Un treillis est \emph{distributif} si les inf se distribuent sur les sup (i.e. $\inf(\sup(a,b),c) = \sup(\inf(a,c), \inf(b,c)$) et il est \emph{compl\'ement\'e} s'il existe pour tout \'el\'ement $a$ un \'el\'ement $a^{\mr c}$ tel que $\inf(a,a^{\mr c}) = 0$ et $\sup(a,a^{\mr c})= 1$. On dispose d'une notion \'evidente de morphisme de treillis : c'est une application croissante pr\'eservant les bornes inf\'erieures et sup\'erieures finies.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Exemples}. (1) Si $\E$ est un ensemble, l'ensemble $\mathcal{P}(\E)$ des parties de $\E$ muni de l'inclusion est un treillis distributif compl\'ement\'e. 

\noindent (2) Ordonn\'e par inclusion, l'ensemble des parties ouvertes et ferm\'ees d'un espace topologique est un treillis distributif compl\'ement\'e.

\vspace{0.1cm} La cat\'egorie des anneaux de Boole est \'equivalente (et m\^eme isomorphe) \`a celle des treillis distributifs compl\'ement\'es : \begin{itemize} \item \`a un anneau de Boole $\A$ est associ\'e le treillis distributif compl\'ement\'e $(\A, \leqslant, {\mr c})$, o\`u $a \leqslant b$ ssi $b | a$ et $a^{\mr c} = 1- a$; \item \`a un treillis distributif compl\'ement\'e $(\T,\leqslant, {\mr c})$ correspond l'anneau de Boole $(\T, +, ., 0, 1)$, o\`u $a+b = \sup(\inf(a, b^{\mr c}), \inf(a^{\mr c},b))$ et $a.b=\inf(a,b)$. \end{itemize}

\vspace{0.3cm}  \noindent \textbf{(3.2)} \emph{Le th\'eor\`eme de Stone} --- On voit facilement que l'anneau de Boole $(\mathcal{P}(\E), \Delta, \cap, \varnothing, \E)$ des parties d'un ensemble (non vide) $\E$ n'est pas de la forme la plus g\'en\'erale ; en effet, le treillis correspondant poss\`ede des \'el\'ements minimaux non nuls (les singletons) alors qu'il existe des treillis distributifs compl\'ement\'es n'en poss\'edant aucun.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Exemple}. Si l'ensemble de variables propositionnelles $\rP$ est infini, aucune formule propositionnelle $\F$ ne peut d\'efinir un \'el\'ement minimal non nul dans le treillis correspondant \`a $\mathcal{B}$. En effet, l'hypoth\`ese $\mathrm{cl}(\F) \neq 0$ signifie qu'il existe au moins une distribution de valeurs de v\'erit\'e $v$ sur $\rP$ telle que $\tilde{v}(\F) = 1$; si $p$ est un \'el\'ement de $\rP$ ne figurant pas dans $\F$, on voit alors ais\'ement que l'on peut d\'efinir des distributions de valeurs de v\'erit\'e $w$ et $w'$ sur $\rP$ telles que $\tilde{w}(\F \lor p) = 1 - \tilde{w}(\F) = 0$ et $\tilde{w'}(\F \lor p) = 1$, d'o\`u l'on d\'eduit que $\mathrm{cl}(\F)$ est un diviseur strict de $\mathrm{cl}(\G)$. Ceci montre que $\mathrm{cl}(\F)$ n'est pas minimal dans le treillis correspondant \`a $\mathcal{B}$.

\vspace{0.1cm} L'observation pr\'ec\'edente montre qu'un treillis distributif compl\'ement\'e ne peut en g\'en\'eral pas se r\'ealiser comme le treillis des parties d'un ensemble. Le \emph{th\'eor\`eme de Stone} affirme que tout treillis distributif compl\'ement\'e peut en revanche s'identifier au treillis des parties ouvertes et ferm\'ees d'un espace topologique convenable, espace que l'on peut en outre supposer compact et totalement discontinu (i.e. admettant une base form\'ee d'ouverts ferm\'es).

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme de Stone}} --- \emph{Le foncteur $\mathrm{Spec} : \mathbf{Ann} \rightarrow \mathbf{Top}^{\mr o}$ induit une anti-\'equivalence entre la cat\'egorie des anneaux de Boole et la cat\'egorie des espaces topologiques compacts totalement discontinus. On obtient un quasi-inverse de $\mathrm{Spec}$ sur cette sous-cat\'egorie de $\mathbf{Top}$ en associant \`a tout espace topologique compact et totalement discontinu $\E$ l'anneau de Boole correspondant au treillis des parties ouvertes et ferm\'ees de $\E$.}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Notons $\mathbf{Boole}$ la cat\'egorie des anneaux de Boole, $\mathbf{Tr_{dc}}$ celle des treillis distributifs compl\'ement\'es et d\'esignons par $\F$ le foncteur $\mathbf{Top}^{\mr o} \rightarrow \mathbf{Tr_{dc}}$ associant \`a un espace topologique le treillis de ses parties ouvertes et ferm\'ees. On dispose d'un diagramme commutatif de foncteurs $$\xymatrix{& \mathbf{Top}^{\mr o} \ar@{->}[rd]^{\F} & \\ \mathbf{Boole} \ar@{->}[ru]^{\mathrm{Spec}} \ar@{->}[rr]_{\iota}^{\sim} & & \mathbf{Tr_{dc}}}$$ dans lequel $\iota$ est l'isomorphisme de cat\'egories d\'efini en (3.1).

\vspace{0.1cm} Pour tout anneau $\A$, l'application $e \mapsto \D(e)$ r\'ealise une bijection entre l'ensemble des \'el\'ements idempotents de $\A$ et l'ensemble des parties ouvertes et ferm\'ees de $\mathrm{Spec}(\A)$.\footnote{Cette assertion fait l'objet de l'exercice 6 de la deuxi\`eme fiche de t.d.} Lorsque $\A$ est un anneau de Boole, on obtient donc une bijection entre $\A$ et l'ensemble des parties ouvertes et ferm\'ees de $\mathrm{Spec}(\A)$.

Quel que soit l'anneau $\A$, $\D(a) \subset \D(b)$ si et seulement si l'homomorphisme canonique $\A \rightarrow \A[a^{-1}]$ se factorise \`a travers $\A[b^{-1}]$, donc si et seulement si $b$ est inversible dans $\A[a^{-1}]$, condition qui \'equivaut \`a une identit\'e de la forme $bc - a^n =0$ dans $\A$ avec $c \in \A$ et $n \geq 0$. Lorsque $\A$ est un anneau de Boole, $a^2 = a$ et il y donc deux cas possibles : $bc = 1$ ou $bc = a$, tous deux impliquant $b | a$, i.e. $a \leqslant b$. Par suite, pour tout anneau de Boole $\A$, l'application $e \mapsto \D(e)$ est un isomorphisme entre le treillis correspondant \`a $\A$ et le treillis des parties ouvertes et ferm\'ees de $\mathrm{Spec}(\A)$, d'o\`u un isomorphisme de foncteurs $\F \circ \mathrm{Spec} \simeq {\mr 1}_{\mathbf{Boole}}$.

\vspace{0.1cm} Pour \'etablir que le foncteur $\mathrm{Spec} \circ \F$ est isomorphe au foncteur identit\'e de la cat\'egorie des espaces topologiques compacts totalement discontinus, il suffit d'observer qu'un tel espace topologique $\E$ se reconstruit ais\'ement \`a partir du treillis $\T$ de ses parties ouvertes et ferm\'ees : les points de $\E$ sont en effet en bijection avec les \emph{ultrafiltres} de $\T$, c'est-\`a-dire les sous-ensembles non vides $\mathfrak{u}$ de $\T$ satisfaisant aux conditions suivantes : \begin{itemize} \item[(i)] pour tous $x \in \mathfrak{u}$ et tout $y \in \T$, $x \leqslant y \Rightarrow y \in \mathfrak{u}$ ; \item[(ii)] pour tous $x,y \in \mathfrak{u}$, $\inf(x,y) \in \mathfrak{u}$; \item[(iii)] pour tout $x \in \T$, $x \in \mathfrak{u}$ ou $x^{\mr c} \in \mathfrak{u}$.\end{itemize} 

\`A tout point $e$ de $\E$ correspond l'ultrafiltre de ses voisinages ouverts et ferm\'es, deux points distincts d\'efinissant des ultrafiltres distincts puisque l'espace toplogique $\E$ est s\'epar\'e et totalement discontinu ; la compacit\'e de $\E$ garantit que tout ultrafiltre est convergent, i.e. provient d'un point de $\E$. \hfill $\Box$

\vspace{0.6cm} \begin{center} \textbf{R\'ef\'erence} \end{center}

\vspace{0.3cm} \noindent [1] R. \textsc{Cori} \& J. \textsc{Lascar}, \emph{Logique math\'ematique}, 2 vol., Masson 1993.

\newpage
\end{document} 