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\begin{document}

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\textbf{8. et 9.} Commen{\c c}ons par d\'emontrer le fait suivant : \'etant donn\'es $z \in \{e^{i\vartheta} , \ \pi/2 \leqslant \vartheta \leqslant 2\pi/3\}$ et $g \in \G$, le point $g(t)$ appartient au domaine $$\left\{ z' \in \mathfrak{H} \ \big| \ \frac{-1}{2} \leqslant {\rm Re}(z') \leqslant 0 \ \textrm{ et } \ |z'| \geqslant 1 \right\}$$ si et seulement si $t = i$ et $g \in \A$ ou $t = j$ et $g \in \B$.

\vspace{0.1cm} Choisissons une matrice $\left(\begin{array}{ll} p & q \\ r & s \end{array}\right) \in {\rm SL}_2(\mathbb{Z})$ repr\'esentant $g$. Quitte \`a remplacer $z$ par $gz$ et $g$ par $g^{-1}$, on peut supposer ${\rm Im}(g(z)) \geqslant {\rm Im}(z)$ et donc $|rz+s|^2 \leqslant 1$. \begin{itemize} \item Si $r = 0$, alors $g(z) = z \pm q$ et donc $q = 0$, $g = e$.
\item Supposons $r \neq 0$. Comme $|z + \lambda| > 1/2$ pour tout $\lambda \in \mathbb{Q}$, $|r|^2 \leqslant |z + s/r|^{-2} < 4$ et donc $r = \pm 1$. Quitte \`a remplacer la matrice consid\'er\'ee par son oppos\'ee, on peut supposer $r=1$. La condition $|z+s| \leqslant 1$ implique $s=0$ ou ($z = j$ et $s = 0, 1$). 
    \item Si $s = 0$, alors $q = -1$ puisque $ps-qr = 1$ et $r = 1$. On a ainsi $g(z) = p - \frac{1}{z}$, ce qui impossible.
    \item Il reste \`a examiner le cas $z = j$ et $r = s =1$. On a $g(z) = g(j) = 1+q - \frac{1}{1+j} = 1+q +j$, donc $q = -1$, $g(j) = j$ et finalement $g \in \B$ en vertu de la question 6.
        \end{itemize}
Notre assertion est d\'emontr\'ee.

\vspace{0.2cm} Une premi\`ere cons\'equence de cette observation est l'injectivit\'e de l'application $\varphi : \T \rightarrow \mathfrak{H}$. En effet, si $(t_1,g_1)$ et $(t_2,g_2)$ sont deux points de $[0,1] \times \G$ tels que $\gamma_{g_1}(t_1) = \gamma_{g_2}(t_2)$, alors $g_1 \gamma_e(t_1) = g_2 \gamma(t_2)$ et $g_2^{-1}g_1 \gamma_e(t_1) = \gamma_e(t_2)$ ; comme $\gamma_e(t_1), \gamma_e(t_2) \in \{e^{i\vartheta} \ ; \ \pi/2 \leqslant \vartheta \leqslant 2\pi/3\}$, il d\'ecoule de ce que l'on vient de dire que l'on a $$ (\gamma_e(t_1) = \gamma_e(t_2) = i \ \textrm{ et } \ g_2 \A = g_1 \A) \ \textrm{ ou } \ (\gamma_e(t_1) = \gamma_e(t_2) = j \ \textrm{ et } \ g_2\B = g_1\B),$$ ce qui signifie pr\'ecis\'ement que les points $(g_1,t_1)$ et $(g_2, t_2)$ ont la m\^eme image dans $|\Gamma|$.

Toute application continue d'un espace topologique localement compact dans un espace topologique s\'epar\'e \'etant propre, nous concluons de ce qui pr\'ec\`ede que l'application $\varphi$ est un hom\'eomorphisme de $|\Gamma|$ sur $\T$. En particulier, $\T$ est connexe puisque $|\Gamma|$ l'est.

\newpage

\vspace{0.2cm} Il d\'ecoule \'egalement de l'observation initiale que $i$ est l'unique \'el\'ement de $\T$ de partie r\'eelle nulle. Soit en effet $z$ est un point de $\mathfrak{H}$ v\'erifiant ${\rm Re}(z) = 0$. Comme ${\rm Im}(a z) = {\rm Im}(z)^{-1}$, on peut supposer $|z| = {\rm Im}(z) \geqslant 1$. Il existe par hypoth\`ese un \'el\'ment $z'$ de $\{e^{i\vartheta}, \ \pi/2 \leqslant \vartheta \leqslant 2\pi/3\}$ et $g \in \G$ tels que $z = g(z')$ ; on a alors $z' = i$ et $g \in \A$, d'o\`u $z = g(i) = i$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons un point $t$ dans $\T \cap \{z \in \mathfrak{H}, \ {\rm Re}(z) < 0\}$ et soit $c : [0,1] \rightarrow \T$ un chemin reliant $t$ \`a $i$. On note $t_0$ le plus petit \'el\'ement de $]0,1]$ tel que $c(t_0) = i$. Il y a dans $\Gamma$ exactement deux ar\^etes contenant le sommet $\A$ : l'une, correspondant \`a l'\'el\'ement $e$, relie $\A$ et $\B$ ; l'autre, correspondant \`a l'\'el\'ement $a$, relie $\A$ et $a\B$. Comme $\gamma_a(]0,1]) = \{e^{i\vartheta}, \ \pi/3 < \vartheta \leqslant \pi/2\}$ est enti\`erement contenu dans $\{z \in \mathfrak{H} ; \ {\rm Re}(z) > 0\}$, on en d\'eduit que $\varphi^{-1} \circ c ([0,t_0[)$ doit rencontrer l'int\'erieur de l'ar\^ete de $|\Gamma|$ reliant les sommets $\B$ et $\A$. De mani\`ere \'equivalente, $c([0,t_0[)$ contient un point de la forme $e^{i\vartheta}$ avec $\pi/2 < \vartheta < 2 \pi/3$ et $t$ peut par cons\'equent \^etre reli\'e au point $j$ par un chemin dans $\T \cap \{z \in \mathfrak{H}; \ {\rm Re}(z) < 0\}$. Nous avons ainsi d\'emontr\'e la connexit\'e par arcs de $\T \cap \{z \in \mathfrak{H} ; \ {\rm Re}(z) < 0\}$. Le cas de $\T \cap \{z \in \mathfrak{H} ; \ {\rm Re}(z) > 0\}$ s'en d\'eduit imm\'ediatement puisque $a$ \'echange des deux sous-espaces.

\vspace{0.1cm} \'Ecrivant $\T - \{i\}$ sous la forme $\T \cap \{z \in \mathfrak{H}; \ {\rm Re}(z) < 0\} \cup \T \cap \{z \in \mathfrak{H}; \ {\rm Re}(z) > 0\}$, il est clair que $\T - \{i\}$ n'est pas connexe.

\vspace{0.2cm} \textbf{10.} Consid\'erons un cycle $(g_1, \ldots, g_n)$ dans $\Gamma$. La concat\'enation des chemins $\gamma_{g_1}, \ldots, \gamma_{g_n}$ fournit un lacet non constant $c$ dans $\T$ passant par $g_1(i)$. Par suite, $g^{-1}c - \{i\}$ est enti\`erement contenu dans l'une des deux composantes connexes de $\T - \{i\}$ et finalement, vu la description de $\T$ au voisinage de $i$ que l'on a donn\'ee \`a la question pr\'ec\'edente, il existe un indice $i$ tel que $g_{i+1} = g_{i}$. Nous avons ainsi d\'emontr\'e que le graphe $\Gamma$ ne contient pas de cycle injectif, ce qui signifie pr\'ecis\'ement qu'il s'agit d'un arbre.

\vspace{0.2cm} \textbf{11.} La conclusion d\'ecoule directement des questions 5 et 10 : $\rm{PSL}_2 = \A * \B \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} * \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

\end{document}