ENS Lyon Algèbre approfondie M1 2008-2009

Corrigé de l’examen partiel

Exercice A —

1. En vertu de la propriété universelle du produit libre, un homomorphisme de G∗A dans un groupe H équivaut à la donnée d’un couple d’homomorphismes de G et A dans H.

L’application A → G ∗ ⟨x⟩, a ↦ xax^{−1} étant manifestement un homomorphisme de groupes, il existe un unique homomorphisme de groupes i : G ∗ A → G ∗ ⟨x⟩ tel que i_{|G} soit l’injection canonique G → G ∗ ⟨x⟩ et i(a) = xax^{−1} pour tout a ∈ A.

De même, l’application A → G ∗ ⟨y⟩, a ↦ yψ(a)y^{−1} étant manifestement un homomorphisme de groupes, il existe un unique homomorphisme de groupes j: G∗A → G∗⟨y⟩ tel que j_{|G} soit l’injection canonique G → G ∗ ⟨y⟩ et j(a) = yψ(a)y^{−1} pour tout a ∈ A.

2. Le groupe Γ = (G∗⟨x⟩)∗_{G∗A}(G∗⟨y⟩) est le quotient du produit libre (G∗⟨x⟩)∗(G∗⟨y⟩) par le plus petit sous-groupe distingué contenant les élément de la forme i(t)j(t)^{−1} , t ∈ G ∗ A. Comme i(g) = j(g) pour tout g ∈ G, les deux applications naturelles de G dans Γ coïncident.

3. Désignons par ι l’injection canonique de A dansG et voyons A comme un groupe disjoint de G.

Tout élément t ≠ e de G ∗ A s’écrit de manière unique sous la forme d’un mot t_{1}...t_{m}, avec t_{2p+1} ∈ G−{e} et t_{2p} ∈ A−{e}, ou t_{2p+1} ∈ A−{e} et t_{2p} ∈ G−{e} (forme normale).

On a alors i(t) = t_{1}xι(t_{2})x^{−1} t_{3}... ou i(t) = xι(t_{1})x^{−1} t_{2}xι(t_{3})x^{−1} .... Comme l’application ι est injective, la représentation obtenue de i(t) est sa forme normale et donc i(t) ≠ e. Ainsi, l’application i est injective.

Si l’application ψ est injective, elle induit un isomorphisme entre A et un sous-groupe A′ de G. Si l’on note i′ l’homomorphisme de G ∗ A′ dans G ∗ ⟨y⟩ défini comme i après substitution de A′à A, cette application est injective d’après ce que l’on vient de dire et il en est alors de même pour j en vertu du diagramme commutatif

\xymatrix{G ∗ A \ar[r]^{j} \ar[d]_{≃} & G ∗ ⟨y⟩ \\ G ∗ A′ \ar[ur]_{i′}}

4. Supposons que l’application ψ soit injective. Les homomorphismes i : G ∗ A → G ∗ ⟨x⟩ et j : G ∗ A → G ∗ ⟨y⟩ étant injectifs, on dispose d’une représentation sous forme normale des éléments de Γ : ayant choisi un ensemble S ⊂ G ∗ ⟨x⟩ (resp. S′⊂ G ∗ ⟨y⟩) de représentants des classes à droite modulo G ∗ A distinctes de G ∗ A, tout élément γ de Γ s’écrit de manière unique sous la forme d’un mot γ = hα_{1}...α_{m} avec h ∈ G ∗ A − {e} et α_{2p+1} ∈ S, α_{2p} ∈ S′ou α_{2p} ∈ S, α_{2p+1} ∈ S′.

Pour tout g ∈ G, u(g) = i(g) ∈ G ∗ A est une écriture sous forme normale dans Γ donc u(g) = e si et seulement si i(g) = e, donc si et seulement si g = e. Ainsi, l’application u est injective.

Identifions finalement ⟨x⟩, ⟨y⟩ et G à des sous-groupes de Γ via les injections i et j. Quel que soit a ∈ A, on a

xax^{−1} = yψ(a)y^{−1}

dans Γ et donc ψ(a) = tat^{−1} avec t = y^{−1} x.

Exercice B —

1. Soient A un anneau et M, N deux A-modules.

1.1. Rappelons la propriété universelle de la localisation : étant donnés un A-module P, un S^{−1} A-module Q et une application A-linéaire f : P → Q, il existe une unique application S^{−1} A-linéaire f̃ telle que le diagramme

\xymatrix{P \ar[r]^{f} \ar[d]_{i} & Q \\ S^{−1} A ⊗_{A}P = S^{−1} P \ar[ur]_{f̃}}

soit commutatif, l’application i étant définie par i(x) = 1⊗x = x/1. On a f̃(x/s) = f(x)/s pour tous x ∈ P, s ∈ S.

On obtient l’application φ̃ désirée en appliquant ceci à P = Hom_{A}(M,N) et Q = Hom_{S^{−1} A}(S^{−1} M,S^{−1} N).

1.2. Pour tous u ∈ Hom_{A}(M,N) et s ∈ S, la condition φ̃(u/s) = 0 équivaut à

∀m ∈ M, u(m)/1 = 0 dans S^{−1} N,

c’est-à-dire à

∀m ∈ M, ∃t ∈ S, tu(m) = 0 dans N.

Supposons que le A-module M soit de type fini. Si m_{1},...,m_{n} sont des générateurs de M, il existe des éléments t_{1},...,t_{n} ∈ S tels que u(t_{i}m_{i}) = t_{i}u(m_{i}) = 0 pour tout i. Posant t = t_{1}...t_{n}, t ∈ S par multiplicativité et u(tm_{i}) = tu(m_{i}) = 0 pour tout i, donc u(tm) = tu(m) = 0 pour tout m ∈ M. Ainsi, tu = 0 dans Hom_{A}(M,N) et donc u/1 = 0 dans S^{−1} Hom_{A}(M,N).

1.3. Supposons que l’anneau A soit noethérien et que le A-module M soit le type fini. Il existe par hypothèse d’une application A-linéaire surjective p: A^{n}→ M ; comme en outre A est nothérien, le sous-A-module ker(p) de A^{n} est de type fini et on en déduit une suite exacte

\xymatrix{A^{m} \ar[r]^{q} & A^{n} \ar[r]^{p} & M \ar[r] & 0} .

Considérons une application S^{−1} A-linéaire v : S^{−1} M → S^{−1} N. Désignant par (e_{1},...,e_{n}) la base canonique de A^{n}, il existe un élément s ∈ S tel que, pour tout i ∈ {1,...,n},

(v ∘ S^{−1} p)(e_{i}) = x_{i}/s

avec x_{i} ∈ N. Soit u: A^{n} → N l’application A-linéaire définie par u(e_{i}) = x_{i} (1 ⩽ i ⩽ n) ; par construction, v∘S^{−1} p = u/s. La localisation étant un foncteur exact, la suite de S^{−1} Amodules

\xymatrix{S^{−1} A^{m} \ar[r]^{S^{−1} q} & S^{−1} A^{n} \ar[r]^{S^{−1} p} & S^{−1} M \ar[r] & 0}

est exacte et donc

\frac{u ∘ q}{s} = \frac{u}{s}∘ S^{−1} q = (v ∘ S^{−1} p) ∘ S^{−1} q = v ∘ S^{−1} (p ∘ q) = 0.

Par suite, \frac{(u∘q)(e_{j})}{1} = 0 dans S^{−1} N pour tout j ∈ \{1,...,m\} et il existe donc un élément t de S tel que

t(u ∘ q)(e_{1}) = ... = t(u ∘ q)(e_{m}) = 0

dans N. On obtient ainsi (tu)∘q = t(u∘q) = 0, ce qui signifie que l’application A-linéaire tu: A^{n} → N se factorise à travers p : il existe une application A-linéaire u′: M → N telle que tu = u′∘ p.

En fin de compte, on obtient

v ∘ S^{−1} p = \frac{u}{s} = \frac{tu}{st}= \frac{u′∘ p}{st} = φ̃ ( \frac{u′}{st}) ∘ S^{−1} p,

d’où

v = φ̃ ( \frac{u′}{st})

puisque l’application S^{−1} p est surjective.

Dans tout ce qui suit, l’anneau A est supposé noethérien.

2. Soit M un A-module de type fini tel que, pour tout idéal premier 𝔭 de A, M_{𝔭} soit un A_{𝔭}-module libre.

2.1. Considérons un idéal premier 𝔭 de A et un isomorphisme A_{𝔭}-linéaire p : (A)_{𝔭}^{n} ≅ A_{𝔭}^{n} ≃ M_{𝔭}. Désignant par (e_{1},...,e_{n}) la base canonique de A^{n}, il existe s ∈ A − 𝔭 tel que, pour tout i ∈ {1,...,n},

p(e_{i}/1) = m_{i}/s

avec m_{1},...,m_{n}∈ M. Soit π : A^{n}→ M l’application A-linéaire définie par π(e_{i}) = m_{i} (1 ⩽ i ⩽ n) ; on a π_{𝔭} = sp par construction, et cette application A_{𝔭}-linéaire est un isomorphisme puisque s est inversible dans A_{𝔭}.

Considérons maintenant la suite exacte de A-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & ker(π) \ar[r] & A^{n} \ar[r] & M \ar[r] & coker(π) \ar[r] & 0} .

La localisation étant un foncteur exact, la suite de A_{𝔭}-modules

\xymatrix{0 \ar[r] & ker(π)_{𝔭} \ar[r] & (A^{n})_{𝔭} \ar[r]^{π_{𝔭}} & M_{𝔭} \ar[r] & coker(π)_{𝔭} \ar[r] & 0}

est exacte. Comme π_{𝔭} est un isomorphisme, ker(π)_{𝔭} = coker(π)_{𝔭} = 0. Les A-modules ker(π) et coker(π) sont de type fini par noethérianité de A. En raisonnant comme pour la question 1.2, on en déduit qu’il existe un élément f de A − 𝔭 tel que fker(π) = fcoker(π) = 0, d’où ker(π)[f^{−1} ] = coker(π)[f^{−1} ] = 0. Finalement, il découle de nouveau de l’exactitude de la localisation que l’application A[f^{−1} ]-linéaire A[f^{−1} ]^{n} → M[f^{−1} ] induite par π est un isomorphisme.

2.2. D’après la question précédente, il existe une famille (f_{𝔭})_{𝔭∈Spec(A)} d’éléments de A telle que

(i) f_{𝔭} ∈ A − 𝔭 pour tout idéal premier 𝔭 de A ;

(ii) le A[f_{𝔭}^{−1} ]-module M[f_{𝔭}^{−1} ] soit libre.

L’idéal ∑_{𝔭∈Spec(A)} Af_{𝔭} n’est contenu dans aucun idéal premier de A en vertu de la condition (i), donc ∑_{𝔭∈Spec(A)} Af_{𝔭} = A. Il suffit alors de considérer un sous-ensemble fini I de Spec(A) tel que 1 = ∑_{i∈I} a_{i}f_{i}, a_{i} ∈ A.

2.3. Soit p: N → N′une application A-linéaire surjective et soit Q le conoyau de l’application A-linéaire

Hom_{A}(M,N) → Hom_{A}(M,N′), u ↦ p ∘ u.

Le A-module M est projectif si et seulement si Q = 0.

Il est clair que tout module libre est projectif : étant donnée une application A-linéaire v : L → N′, on obtient un relèvement u : L → N de v en fixant une base B de L et en choisissant un relèvement u(e) ∈ N de v(e) pour tout e ∈ B.

Considérons une famille (f_{i})_{i∈I} d’éléments de A vérifiant les conditions de la question 2.2. Par exactitude du foncteur de localisation, il découle de la question 1.3 que l’on a Q[f_{i}^{−1} ] = 0 pour tout i ∈ I car le A[f_{i}]^{−1} -module de type fini M[f_{i}^{−1} ] est libre, donc projectif.

Soit x ∈ Q. Comme l’ensemble I est fini, il existe un nombre entier N tel que f_{i}^{N}x = 0 pour tout i ∈ I. On dispose par hypothèse d’une identité 1 = ∑_{i∈I} a_{i}f_{i}; en l’élevant à la puissance NCard(I), on obtient une identité 1 = ∑_{i∈I} a′_{i}f_{i}^{N} et donc x = 0. Ainsi, Q = 0 et le A-module M est donc projectif.

3. Soit M un A-module de type fini et projectif.

3.1. Il existe par hypothèse un A-module libre de rang fini L et une application Alinéaire surjective p : L → M. Comme M est projectif, id_{M} se relève en une application A-linéaire s: M → L et alors L = ker(p) ⊕ s(M) ≃ ker(p) ⊕ M.

3.2. Soit e: A_{𝔭}^{n} → L_{𝔭} une application A_{𝔭}-linéaire telle que l’application κ(𝔭)-linéaire

e ⊗ 1 : κ(𝔭)^{n} ≅ A_{𝔭}^{n} ⊗_{A_{𝔭}} κ(𝔭) → L_{𝔭} ⊗_{A_{𝔭}} κ(𝔭) ≅ L ⊗_{A}κ(𝔭)

soit un isomorphisme. On a par construction L_{𝔭}/im(e) = 𝔭L_{𝔭}/im(e) ; comme L_{𝔭}/im(e) est un A_{𝔭}-module de type fini, on en déduit L_{𝔭} = im(e) par application du lemme de Nakayama.

Comme le A_{𝔭}-module L_{𝔭} est libre – donc projectif –,l’application e admet une section s : L_{𝔭} → A_{𝔭}^{n}. Puisque e ∘ s = id_{L}, l’application s ⊗ 1 est l’isomorphisme réciproque de e ⊗ 1 et il découle de nouveau du lemme de Nakayama que l’application s est surjective. L’injectivité de e s’en déduit aisément : quel que soit x ∈ ker(e), il existe y ∈ L tel que x = s(y), d’où 0 = e(x) = es(y) = y et x = 0.

Ainsi, l’application e est un isomorphisme.

3.3. Ayant identifié L et ker(p) ⊕ M, on considère une famille finie (e_{λ})_{λ∈Λ} (resp. (e_{λ′})_{λ′∈Λ′} ) d’éléments de L_{𝔭} relevant une base de M ⊗_{A}κ(𝔭) (resp. de ker(p) ⊗_{A}κ(𝔭)). La famille (e_{μ})_{μ∈Λ∪Λ′} relevant une base de L ⊗_{A}κ(𝔭), il s’agit d’une base de L_{𝔭} en vertu de la question précédente. Comme le sous-A_{𝔭}-module ⨁ _{λ∈Λ} A_{𝔭}e_{λ} de M_{𝔭} coïncide avec M après tensorisation par κ(𝔭), une nouvelle application du lemme de Nakayama fournit l’identité M_{𝔭} = ⨁ _{λ∈Λ} A_{𝔭}e_{λ} et donc M_{𝔭} est un A_{𝔭}-module libre.

Remarque conclusive : Nous venons de prouver que, pour qu’un A-module de type fini soit projectif, il faut et il suffit que tous son localisé en chaque idéal premier 𝔭 de A soit un A_{𝔭}-module libre.

Exercice C — 1. Soit A un anneau local noethérien d’idéal maximal 𝔪 et soient f_{1},...,f_{n} des éléments de 𝔪.

1.1. Les idéaux premiers de A/(f_{1},...,f_{n}) s’identifient canoniquement aux idéaux premiers de A contenant (f_{1},...,f_{n}). S’il existe un nombre entier N ⩾ 1 tel que 𝔪^{N} ⊂ (f_{1},...,f_{n}), alors tout idéal premier 𝔭 de A contenant (f_{1},...,f_{n}) contient 𝔪^{N}, donc également 𝔪 par primalité, et par suite 𝔭 = 𝔪. Ceci montre que le spectre de l’anneau A/(f_{1},...,f_{n}) est réduit à un point, d’où dim(A/(f_{1},...,f_{n})) = 0.

1.2. Supposons réciproquement que l’anneau A′= A/(f_{1},...,f_{n}) soit de dimension 0 et notons 𝔪′= 𝔪/(f_{1},...,f_{n}) son idéal maximal. Ceci équivaut à dire que tous les idéaux premiers de A′ sont maximaux et, comme A′ est local, son idéal maximal 𝔪′ est donc son unique idéal premier. Le nilradical d’un anneau étant l’intersection de ses idéaux premiers, il en découle que tout élément de 𝔪′est nilpotent. L’anneau A étant noethérien, A′l’est également et l’idéal 𝔪′est donc de type fini, ce qui permet de trouver un nombre entier N ⩾ 1 tel que 𝔪′^{N} = 0, c’est-à-dire tel que 𝔪^{N} ⊂ (f_{1},...,f_{n}).

On peut déduire des questions précédentes une caractérisation de la dimension de A :

dim(A) = min{r | il existe f_{1},...,f_{r} ∈ A et un entier N tels que 𝔪^{N} ⊂ (f_{1},...,f_{r}) ⊂ 𝔪.}

Comme l’anneau A est noethérien, l’idéal 𝔪 est de type fini et le membre de droite est donc bien défini (considérer le cardinal d’une famille génératrice finie de 𝔪).

L’inégalité ⩽ est une conséquence immédiate de 1.1. Pour obtenir l’inégalité ⩾ à partir de 1.2., il faut invoquer l’existence d’une famille (f_{1},...,f_{d}) d’éléments de 𝔪 avec d = dim(A) et dim(A/(f_{1},...,f_{d})) = 0 ; en raisonnant par récurrence sur dim(A), il suffit de prouver l’assertion suivante : si dim(A) ⩾ 1, alors il existe f ∈ 𝔪 tel que

dim(A) = dim(A/(f)) + 1.

Ceci aurait dû faire l’objet d’une question indépendante...^{(1)}

2. Posons d = dim(A) et δ = dim(B ⊗_{A}k). En vertu de la question précédente appliquée aux anneaux locaux noethériens A et B ⊗_{A}k = B/𝔪B, il existe des éléments t_{1},...,t_{d} de 𝔪, des éléments s_{1},...,s_{δ} de 𝔫 et un nombre entier N tels que 𝔪^{N} ⊂ (t_{1},...,t_{d}) et 𝔫^{N} ⊂ (s_{1},...,s_{δ}) + f(𝔪)B. On a alors

𝔫^{2N} ⊂ (s_{1},...,s_{δ}) + f(𝔪^{N})B ⊂ (s_{1},...,s_{δ},f(t_{1}),...,f(t_{d})) ⊂ 𝔫,

donc dim(B) ⩽ d + δ.

3. Soit R un anneau noethérien. On considère un idéal premier 𝔮 de R[X] et on pose 𝔭 = R∩𝔮. L’homomorphisme canonique R → R[X] induit un homomorphisme f : R_{𝔭} → R[X]_{𝔮} tel que f(𝔭) ⊂ 𝔮, d’où

dim(R[X]_{𝔮}) ⩽ dim(R_{𝔭}) + dim(R[X]_{𝔮} ⊗_{R}κ(𝔭)).

(1)Si A est intègre, c’est une conséquence directe de l’Hauptidealsatz de Krull : n’importe quel élément f de 𝔪 − {0} convient, et il en existe puisque dim(A) ⩾ 1. En général, on considère tous les idéaux premiers minimaux 𝔭 de A tels que dim(A) = dim(A/𝔭), qui sont en nombre fini puisque A est noethérien. Notant 𝔭_{1},...,𝔭_{m}ces idéaux premiers, on a 𝔭_{i} ≠ 𝔪 pour tout i car dim(A) ⩾ 1. Il existe alors f ∈ 𝔪 n’appartenant à aucun 𝔭_{i}: c’est clair si m = 1, et si le résultat est démontré pour m ⩾ 1, on l’obtient pour m+1 en considérant f = f′+g_{1}...g_{m}ou f = f′, avec f′∈ 𝔪 n’appartenant pas à 𝔭_{1}∪...∪𝔭_{m}et g_{i} ∈ 𝔭_{i}∩(A−𝔭_{m+1}), selon que f′appartienne ou non à 𝔭_{m+1}. Avec ce choix de f, dim(A/𝔭_{i}+ (f)) = dim((A/𝔭_{i})/\overline{f} ) = dim(A/𝔭_{i}) + 1 en vertu du Hauptidealsatz et donc dim(A) = dim(A/(f)) + 1.

L’anneau R[X]_{𝔮} ⊗_{R}κ(𝔭) s’identifiant canoniquement au localisé de κ(𝔭)[X] en l’idéal premier \overline{𝔮} = 𝔮/𝔭R[X],

dim(R[X]_{𝔮} ⊗_{R}κ(𝔭)) = dim(κ(𝔭)[X]\overline{𝔮}) ⩽ dim(κ(𝔭)[X]) = 1.

On obtient ainsi

dim(R[X]_{𝔮}) ⩽ dim(R_{𝔭}) + 1 ⩽ dim(R) + 1

et donc

dim(R[X]) = sup_{𝔮}dim(R[X]_{𝔮}) ⩽ dim(R) + 1.

L’inégalité dim(R)+1 ⩽ dim(R[X]) étant déjà connue (et élémentaire), il vient finalement

dim(R[X]) = dim(R) + 1.