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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\begin{flushleft}
\textbf{ENS Lyon} \hfill \textbf{Alg\`ebre approfondie} \\
\textbf{M1} \hfill \textbf{2008-2009}
\end{flushleft}

\vspace{0.4cm}
\begin{center}
{\bfseries {\scshape Corrig\'e de l'examen partiel}}
\end{center}
\vspace{0.4cm}

\noindent \textbf{Exercice A} ---

\vspace{0.2cm} 
\noindent \textbf{1.} En vertu de la propri\'et\'e universelle du produit libre, un homomorphisme de $\G * \A$ dans un groupe $\Hr$ \'equivaut \`a la donn\'ee d'un couple d'homomorphismes de $\G$ et $\A$ dans $\Hr$. 

\vspace{0.1cm}
L'application $\A \rightarrow \G * \langle x \rangle, \ \ a \mapsto x a x^{-1}$ \'etant manifestement un homomorphisme de groupes, il existe un unique homomorphisme de groupes $i : \G * \A \rightarrow \G * \langle x \rangle$ tel que $i_{|\G}$ soit l'injection canonique $\G \rightarrow \G * \langle x \rangle$ et $i(a) = xax^{-1}$ pour tout $a \in \A$.

\vspace{0.1cm} De m\^eme, l'application $\A \rightarrow \G * \langle y \rangle, \ \ a \mapsto y \psi(a) y^{-1}$ \'etant manifestement un homomorphisme de groupes, il existe un unique homomorphisme de groupes $j : \G * \A \rightarrow \G * \langle y \rangle$ tel que $j_{|\G}$ soit l'injection canonique $\G \rightarrow \G * \langle y \rangle$ et $j(a) = y \psi(a) y^{-1}$ pour tout $a \in \A$.


\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{2.} Le groupe $\Gamma = (\G * \langle x \rangle) *_{\G * \A} (\G * \langle y \rangle)$ est le quotient du produit libre $(\G * \langle x \rangle) * (\G * \langle y \rangle)$ par le plus petit sous-groupe distingu\'e contenant les \'el\'ement de la forme $i(t)j(t)^{-1}$, $t \in \G * \A$. Comme $i(g) = j(g)$ pour tout $g \in \G$, les deux applications naturelles de $\G$ dans $\Gamma$ co\"{\i}ncident.

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{3.} D\'esignons par $\iota$ l'injection canonique de $\A$ dans$ \G$ et voyons $\A$ comme un groupe disjoint de $\G$. 

\vspace{0.1cm}Tout \'el\'ement $t \neq e$ de $\G \ast \A$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme d'un mot $t_1 \ldots t_m$, avec $t_{2p+1} \in \G - \{e\}$ et $t_{2p} \in \A - \{e\}$, ou $t_{2p+1} \in \A - \{e\}$ et $t_{2p} \in \G - \{e\}$ (\emph{forme normale}).

On a alors $i(t) = t_1 x \iota(t_2) x^{-1} t_3 \ldots$ ou $i(t) = x \iota(t_1)x^{-1}t_2 x \iota(t_3) x^{-1} \ldots$. Comme l'application $\iota$ est injective, la repr\'esentation obtenue de $i(t)$ est sa forme normale et donc $i(t) \neq e$. Ainsi, l'application $i$ est injective.

\vspace{0.1cm} Si l'application $\psi$ est injective, elle induit un isomorphisme entre $\A$ et un sous-groupe $\A'$ de $\G$. Si l'on note $i'$ l'homomorphisme de $\G * \A'$ dans $\G * \langle y \rangle$ d\'efini comme $i$ apr\`es substitution de $\A'$ \`a $\A$, cette application est injective d'apr\`es ce que l'on vient de dire et il en est alors de m\^eme pour $j$ en vertu du diagramme commutatif $$\xymatrix{\G * \A \ar@{->}[r]^{j} \ar@{->}[d]_{\simeq} & \G * \langle y \rangle \\ \G * \A' \ar@{->}[ru]_{i'} &}$$ 

\vspace{0.2cm} 
\noindent \textbf{4.} Supposons que l'application $\psi$ soit injective. Les homomorphismes $i : \G * \A \rightarrow \G * \langle x \rangle$ et $j : \G * \A \rightarrow \G * \langle y \rangle$ \'etant injectifs, on dispose d'une repr\'esentation sous forme normale des \'el\'ements de $\Gamma$ : ayant choisi un ensemble $\Sr \subset \G * \langle x \rangle$ (resp. $\Sr' \subset \G * \langle y \rangle$) de repr\'esentants des classes \`a droite modulo $\G * \A$ distinctes de $\G * \A$, tout \'el\'ement $\gamma$ de $\Gamma$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme d'un mot $\gamma = h \alpha_1 \ldots \alpha_m$ avec $h \in \G * \A - \{e\}$ et $\alpha_{2p+1} \in \Sr$, $\alpha_{2p} \in \Sr'$ ou $\alpha_{2p} \in \Sr$, $\alpha_{2p+1} \in \Sr'$. 

\vspace{0.1cm} Pour tout $g \in \G$, $u(g) = i(g) \in \G * A$ est une \'ecriture sous forme normale dans $\Gamma$ donc $u(g) = e$ si et seulement si $i(g) =e$, donc si et seulement si $g = e$. Ainsi, l'application $u$ est injective. 

\vspace{0.1cm}
Identifions finalement $\langle x \rangle$, $\langle y \rangle$ et $\G$ \`a des sous-groupes de $\Gamma$ via les injections $i$ et $j$. Quel que soit $a \in \A$, on a $$xax^{-1} = y\psi(a)y^{-1}$$ dans $\Gamma$ et donc $\psi(a) = tat^{-1}$ avec $t = y^{-1}x$. 

\vspace{0.3cm}

\noindent \textbf{Exercice B} --- 

\noindent \textbf{1.} Soient $\A$ un anneau et $\M$, $\N$ deux $\A$-modules.

\textbf{1.1.} Rappelons la propri\'et\'e universelle de la localisation : \'etant donn\'es un $\A$-module $\rP$, un $\Sr^{-1}\A$-module $\Qr$ et une application $\A$-lin\'eaire $f : \rP \rightarrow \Qr$, il existe une unique application $\Sr^{-1}\A$-lin\'eaire $\widetilde{f}$ telle que le diagramme $$\xymatrix{\rP \ar@{->}[r]^{f} \ar@{->}[d]_{i} & \Qr \\ \Sr^{-1}\A \otimes_{\A} \rP = \Sr^{-1}\rP \ar@{->}[ru]_{\widetilde{f}} & }$$ soit commutatif, l'application $i$ \'etant d\'efinie par $i(x) = 1 \otimes x = x/1$. On a $\widetilde{f}(x/s) = f(x)/s$ pour tous $x \in \rP, \ s \in \Sr$.

\vspace{0.1cm} On obtient l'application $\widetilde{\varphi}$ d\'esir\'ee en appliquant ceci \`a $\rP = {\rm Hom}_{\A}(\M,\N)$ et $\Qr = {\rm Hom}_{\Sr^{-1}\A}(\Sr^{-1}\M,\Sr^{-1}\N)$. 

\vspace{0.2cm} \textbf{1.2.} Pour tous $u \in {\rm Hom}_{\A}(\M,\N)$ et $s \in \Sr$, la condition $\widetilde{\varphi}(u/s) = 0$ \'equivaut \`a $$\forall m \in \M, \ \ u(m)/1 = 0 \ \ \textrm{ dans } \Sr^{-1}\N,$$ c'est-\`a-dire \`a $$\forall m \in \M, \ \ \exists t \in \Sr, \ \ tu(m) = 0 \ \ \textrm{ dans } \N.$$
Supposons que le $\A$-module $\M$ soit de type fini. Si $m_1, \ldots, m_n$ sont des g\'en\'erateurs de $\M$, il existe des \'el\'ements $t_1, \ldots, t_n \in \Sr$ tels que $u(t_i m_i) = t_i u(m_i) = 0$ pour tout $i$. Posant $t = t_1 \ldots t_n$, $t \in \Sr$ par multiplicativit\'e et $u(tm_i) = tu(m_i) = 0$ pour tout $i$, donc $u(tm) = tu(m) = 0$ pour tout $m \in \M$. Ainsi, $tu = 0$ dans ${\rm Hom}_{\A}(\M,\N)$ et donc $u/1 = 0$ dans $\Sr^{-1}{\rm Hom}_{\A}(\M,\N)$. 

\vspace{0.2cm} \textbf{1.3.} Supposons que l'anneau $\A$ soit noeth\'erien et que le $\A$-module $\M$ soit le type fini. Il existe par hypoth\`ese d'une application $\A$-lin\'eaire surjective $p : \A^n \rightarrow \M$ ; comme en outre $\A$ est noth\'erien, le sous-$\A$-module ${\rm ker}(p)$ de $\A^n$ est de type fini et on en d\'eduit une suite exacte $$\xymatrix{\A^m \ar@{->}[r]^q & \A^n \ar@{->}[r]^p & \M \ar@{->}[r] & 0}.$$

\vspace{0.1cm} Consid\'erons une application $\Sr^{-1}\A$-lin\'eaire $v : \Sr^{-1}\M \rightarrow \Sr^{-1}\N$. D\'esignant par $(e_1, \ldots, e_n)$ la base canonique de $\A^n$, il existe un \'el\'ement $s \in \Sr$ tel que, pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, $$(v \circ \Sr^{-1}p)(e_i) = x_i/s$$ avec $x_i \in \N$. Soit $u : \A^n \rightarrow \N$ l'application $\A$-lin\'eaire d\'efinie par $u(e_i) = x_i$  ($1 \leqslant i \leqslant n$) ; par construction, $v \circ \Sr^{-1} p = u/s$. La localisation \'etant un foncteur exact, la suite de $\Sr^{-1}\A$-modules $$\xymatrix{\Sr^{-1}\A^m \ar@{->}[r]^{\Sr^{-1}q} & \Sr^{-1}\A^n \ar@{->}[r]^{\Sr^{-1}p} & \Sr^{-1}\M \ar@{->}[r] & 0}$$ est exacte et donc $$\frac{u \circ q}{s} = \frac{u}{s} \circ \Sr^{-1}q = (v \circ \Sr^{-1}p) \circ \Sr^{-1}q = v \circ \Sr^{-1}(p \circ q) = 0.$$ Par suite, $\frac{(u \circ q) (e_j)}{1} = 0$ dans $\Sr^{-1}\N$ pour tout $j \in \{1, \ldots, m\}$ et il existe donc un \'el\'ement $t$ de $\Sr$ tel que $$t(u \circ q)(e_1) = \ldots = t(u \circ q)(e_m) = 0$$ dans $\N$. On obtient ainsi $(tu) \circ q = t(u \circ q) = 0$, ce qui signifie que l'application $\A$-lin\'eaire $tu : \A^n \rightarrow \N$ se factorise \`a travers $p$ : il existe une application $\A$-lin\'eaire $u' : \M \rightarrow \N$ telle que $tu = u' \circ p$. 

\vspace{0.1cm} En fin de compte, on obtient $$v \circ \Sr^{-1}p = \frac{u}{s} = \frac{tu}{st} = \frac{u' \circ p}{st} = \widetilde{\varphi}\left(\frac{u'}{st}\right) \circ \Sr^{-1}p,$$ d'o\`u $$v = \widetilde{\varphi}\left(\frac{u'}{st}\right)$$ puisque l'application $\Sr^{-1}p$ est surjective.

\vspace{0.3cm} \emph{Dans tout ce qui suit, l'anneau $\A$ est suppos\'e noeth\'erien.}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{2.} Soit $\M$ un $\A$-module de type fini tel que, pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, $\M_{\mathfrak{p}}$ soit un $\A_{\mathfrak{p}}$-module libre.

\vspace{0.2cm} \textbf{2.1.} Consid\'erons un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ et un isomorphisme $\A_{\mathfrak{p}}$-lin\'eaire $p : (\A)^n_{\mathfrak{p}} \cong \A_{\mathfrak{p}}^n \simeq \M_{\mathfrak{p}}$. D\'esignant par $(e_1, \ldots, e_n)$ la base canonique de $\A^n$, il existe $s \in \A - \mathfrak{p}$ tel que, pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, $$p(e_i/1) = m_i/s$$ avec $m_1, \ldots, m_n \in \M$. Soit $\pi : \A^n \rightarrow \M$ l'application $\A$-lin\'eaire d\'efinie par $\pi(e_i) = m_i$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) ; on a $\pi_{\mathfrak{p}} = sp$ par construction, et cette application $\A_{\mathfrak{p}}$-lin\'eaire est un isomorphisme puisque $s$ est inversible dans $\A_{\mathfrak{p}}$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons maintenant la suite exacte de $\A$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & {\rm ker}(\pi) \ar@{->}[r] & \A^n \ar@{->}[r] & \M \ar@{->}[r] & {\rm coker}(\pi) \ar@{->}[r] & 0}.$$ La localisation \'etant un foncteur exact, la suite de $\A_{\mathfrak{p}}$-modules $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & {\rm ker}(\pi)_{\mathfrak{p}} \ar@{->}[r] & (\A^n)_{\mathfrak{p}} \ar@{->}[r]^{\pi_{\mathfrak{p}}} & \M_{\mathfrak{p}} \ar@{->}[r] & {\rm coker}(\pi)_{\mathfrak{p}} \ar@{->}[r] & 0}$$ est exacte. Comme $\pi_{\mathfrak{p}}$ est un isomorphisme, ${\rm ker}(\pi)_{\mathfrak{p}} = {\rm coker}(\pi)_{\mathfrak{p}} = 0$. Les $\A$-modules ${\rm ker}(\pi)$ et ${\rm coker}(\pi)$ sont de type fini par noeth\'erianit\'e de $\A$. En raisonnant comme pour la question 1.2, on en d\'eduit qu'il existe un \'el\'ement $f$ de $\A - \mathfrak{p}$ tel que $f {\rm ker}(\pi) = f {\rm coker}(\pi) = 0$, d'o\`u  ${\rm ker}(\pi)[f^{-1}] = {\rm coker}(\pi)[f^{-1}] = 0$. Finalement, il d\'ecoule de nouveau de l'exactitude de la localisation que l'application $\A[f^{-1}]$-lin\'eaire $\A[f^{-1}]^n \rightarrow \M[f^{-1}]$ induite par $\pi$ est un isomorphisme.

\vspace{0.2cm} \textbf{2.2.} D'apr\`es la question pr\'ec\'edente, il existe une famille $(f_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{p} \in {\rm Spec}(\A)}$ d'\'el\'ements de $\A$ telle que \begin{itemize} \item[(i)] $f_{\mathfrak{p}} \in \A - \mathfrak{p}$ pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ ; \item[(ii)] le $\A[f_{\mathfrak{p}}^{-1}]$-module $\M[f_{\mathfrak{p}}^{-1}]$ soit libre. \end{itemize}
L'id\'eal $\sum_{\mathfrak{p} \in {\rm Spec}(\A)} \A f_{\mathfrak{p}}$ n'est contenu dans aucun id\'eal premier de $\A$ en vertu de la condition (i), donc $\sum_{\mathfrak{p} \in {\rm Spec}(\A)} \A f_{\mathfrak{p}} = \A$. Il suffit alors de consid\'erer un sous-ensemble fini $\I$ de ${\rm Spec}(\A)$ tel que $1 = \sum_{i \in \I} a_i f_i$, $a_i \in \A$.

\vspace{0.2cm} \textbf{2.3.} Soit $p : \N \rightarrow \N'$ une application $\A$-lin\'eaire surjective et soit $\Qr$ le conoyau de l'application $\A$-lin\'eaire $${\rm Hom}_{\A}(\M, \N) \rightarrow {\rm Hom}_{\A}(\M,\N'), \ \ \ u \mapsto p \circ u.$$ Le $\A$-module $\M$ est projectif si et seulement si $\Qr = 0$. 

\vspace{0.1cm} Il est clair que tout module libre est projectif : \'etant donn\'ee une application $\A$-lin\'eaire $v : \Lr \rightarrow \N'$, on obtient un rel\`evement $u : \Lr \rightarrow \N$ de $v$ en fixant une base $\mathcal{B}$ de $\Lr$ et en choisissant un rel\`evement $u(e) \in \N$ de $v(e)$ pour tout $e \in \mathcal{B}$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons une famille $(f_i)_{i \in \I}$ d'\'el\'ements de $\A$ v\'erifiant les conditions de la question 2.2. Par exactitude du foncteur de localisation, il d\'ecoule de la question 1.3 que l'on a $\Qr[f_i^{-1}]=0$ pour tout $i \in \I$ car le $\A[f_i]^{-1}$-module de type fini $\M[f_i^{-1}]$ est libre, donc projectif. 

Soit $x \in \Qr$. Comme l'ensemble $\I$ est fini, il existe un nombre entier $\N$ tel que $f_i^{\N} x = 0$ pour tout $i \in \I$. On dispose par hypoth\`ese d'une identit\'e $1 = \sum_{i \in \I}a_i f_i$ ; en l'\'elevant \`a la puissance $\N{\rm Card}(\I)$, on obtient une identit\'e $1 = \sum_{i \in \I} a_i' f_i^{\N}$ et donc $x = 0$. Ainsi, $\Qr = 0$ et le $\A$-module $\M$ est donc projectif.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{3.} Soit $\M$ un $\A$-module de type fini et projectif.

\vspace{0.2cm} \textbf{3.1.} Il existe par hypoth\`ese un $\A$-module libre de rang fini $\Lr$ et une application $\A$-lin\'eaire surjective $p : \Lr \rightarrow \M$. Comme $\M$ est projectif, ${\rm id}_{\M}$ se rel\`eve en une application $\A$-lin\'eaire $s : \M \rightarrow \Lr$ et alors $\Lr = {\rm ker}(p) \oplus s(\M) \simeq {\rm ker}(p) \oplus \M$. 

\vspace{0.2cm} \textbf{3.2.} Soit $e : \A_{\mathfrak{p}}^n \rightarrow \Lr_{\mathfrak{p}}$ une application $\A_{\mathfrak{p}}$-lin\'eaire telle que l'application $\kappa(\mathfrak{p})$-lin\'eaire $$e \otimes 1 : \kappa(\mathfrak{p})^n \cong \A_{\mathfrak{p}}^n \otimes_{\A_{\mathfrak{p}}} \kappa(\mathfrak{p}) \rightarrow \Lr_{\mathfrak{p}} \otimes_{\A_{\mathfrak{p}}} \kappa(\mathfrak{p}) \cong \Lr \otimes_{\A} \kappa(\mathfrak{p})$$ soit un isomorphisme. On a par construction $\Lr_{\mathfrak{p}}/{\rm im}(e) = \mathfrak{p} \Lr_{\mathfrak{p}}/{\rm im}(e)$ ; comme $\Lr_{\mathfrak{p}}/{\rm im}(e)$ est un $\A_{\mathfrak{p}}$-module de type fini, on en d\'eduit $\Lr_{\mathfrak{p}} = {\rm im}(e)$ par application du lemme de Nakayama.

\vspace{0.1cm} Comme le $\A_{\mathfrak{p}}$-module $\Lr_{\mathfrak{p}}$ est libre -- donc projectif --,l'application $e$ admet une section $s : \Lr_{\mathfrak{p}} \rightarrow \A_{\mathfrak{p}}^n$. Puisque $e \circ s = {\rm id}_{\Lr}$, l'application $s \otimes 1$ est l'isomorphisme r\'eciproque de $e \otimes 1$ et il d\'ecoule de nouveau du lemme de Nakayama que l'application $s$ est surjective. L'injectivit\'e de $e$ s'en d\'eduit ais\'ement : quel que soit $x \in \ker(e)$, il existe $y \in \Lr$ tel que $x = s(y)$, d'o\`u $0 = e(x) = es(y) = y$ et $x = 0$.

Ainsi, l'application $e$ est un isomorphisme.

\vspace{0.2cm} \textbf{3.3.} Ayant identifi\'e $\Lr$ et ${\rm ker}(p) \oplus \M$, on consid\`ere une famille finie $(e_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ (resp. $(e_{\lambda'})_{\lambda' \in \Lambda'}$) d'\'el\'ements de $\Lr_{\mathfrak{p}}$ relevant une base de $\M \otimes_{\A} \kappa(\mathfrak{p})$ (resp. de ${\rm ker}(p) \otimes_{\A} \kappa(\mathfrak{p})$). La famille $(e_\mu)_{\mu \in \Lambda \cup \Lambda'}$ relevant une base de $\Lr \otimes_{\A} \kappa(\mathfrak{p})$, il s'agit d'une base de $\Lr_{\mathfrak{p}}$ en vertu de la question pr\'ec\'edente. Comme le sous-$\A_{\mathfrak{p}}$-module $\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} \A_{\mathfrak{p}} e_{\lambda}$ de $\M_{\mathfrak{p}}$ co\"{\i}ncide avec $\M$ apr\`es tensorisation par $\kappa(\mathfrak{p})$, une nouvelle application du lemme de Nakayama fournit l'identit\'e $\M_{\mathfrak{p}} = \bigoplus_{\lambda \in \Lambda} \A_{\mathfrak{p}} e_{\lambda}$ et donc $\M_{\mathfrak{p}}$ est un $\A_{\mathfrak{p}}$-module libre.

\vspace{0.2cm} \noindent \emph{Remarque conclusive} : Nous venons de prouver que, pour qu'un $\A$-module de type fini soit projectif, il faut et il suffit que tous son localis\'e en chaque id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ soit un $\A_{\mathfrak{p}}$-module libre.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice C} --- \textbf{1.} Soit $\A$ un anneau local noeth\'erien d'id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ et soient $f_1, \ldots, f_n$ des \'el\'ements de $\mathfrak{m}$.

\vspace{0.2cm} \textbf{1.1.} Les id\'eaux premiers de $\A/(f_1, \ldots, f_n)$ s'identifient canoniquement aux id\'eaux premiers de $\A$ contenant $(f_1, \ldots, f_n)$. S'il existe un nombre entier $\N \geqslant 1$ tel que $\mathfrak{m}^{\N} \subset (f_1, \ldots, f_n)$, alors tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ contenant $(f_1, \ldots, f_n)$ contient $\mathfrak{m}^{\N}$, donc \'egalement $\mathfrak{m}$ par primalit\'e, et par suite $\mathfrak{p} = \mathfrak{m}$. Ceci montre que le spectre de l'anneau $\A/(f_1, \ldots, f_n)$ est r\'eduit \`a un point, d'o\`u ${\rm dim} \left(A/(f_1, \ldots, f_n)\right) = 0$.

\vspace{0.2cm} \textbf{1.2.} Supposons r\'eciproquement que l'anneau $\A' = \A/(f_1, \ldots, f_n)$ soit de dimension $0$ et notons $\mathfrak{m'} = \mathfrak{m}/(f_1, \ldots, f_n)$ son id\'eal maximal. Ceci \'equivaut \`a dire que tous les id\'eaux premiers de $\A'$ sont maximaux et, comme $\A'$ est local, son id\'eal maximal $\mathfrak{m}'$ est donc son unique id\'eal premier. Le nilradical d'un anneau \'etant l'intersection de ses id\'eaux premiers, il en d\'ecoule que tout \'el\'ement de $\mathfrak{m}'$ est nilpotent. L'anneau $\A$ \'etant noeth\'erien, $\A'$ l'est \'egalement et l'id\'eal $\mathfrak{m'}$ est donc de type fini, ce qui permet de trouver un nombre entier $\N \geqslant 1$ tel que ${\mathfrak{m}'}^{\N}  = 0$, c'est-\`a-dire tel que $\mathfrak{m}^{\N} \subset (f_1,\ldots, f_n)$.

\vspace{0.2cm} On peut d\'eduire des questions pr\'ec\'edentes une caract\'erisation de la dimension de $\A$ : $${\rm dim}(\A) = \min \{r \ | \ \textrm{ il existe } f_1, \ldots, f_r \in \A \ \textrm{ et un entier $\N$ tels que } \mathfrak{m}^{\N} \subset (f_1, \ldots, f_r) \subset \mathfrak{m}.\}$$
Comme l'anneau $\A$ est noeth\'erien, l'id\'eal $\mathfrak{m}$ est de type fini et le membre de droite est donc bien d\'efini (consid\'erer le cardinal d'une famille g\'en\'eratrice finie de $\mathfrak{m}$).

\vspace{0.1cm} L'in\'egalit\'e $\leqslant$ est une cons\'equence imm\'ediate de 1.1. \emph{Pour obtenir l'in\'egalit\'e $\geqslant$ \`a partir de 1.2., il faut invoquer l'existence d'une famille $(f_1, \ldots, f_d)$ d'\'el\'ements de $\mathfrak{m}$ avec $d = {\rm dim}(\A)$ et ${\rm dim} \left(\A/(f_1, \ldots, f_d)\right) = 0$ ; en raisonnant par r\'ecurrence sur ${\rm dim}(\A)$, il suffit de prouver l'assertion suivante : si ${\rm dim}(\A) \geqslant 1$, alors il existe $f \in \mathfrak{m}$ tel que $${\rm dim}(\A)  = {\rm dim}\left(\A/(f) \right) + 1.$$  Ceci aurait d\^u faire l'objet d'une question ind\'ependante...} \footnote{Si $\A$ est int\`egre, c'est une cons\'equence directe de l'\emph{Hauptidealsatz} de Krull : n'importe quel \'el\'ement $f$ de  $\mathfrak{m} -\{0\}$ convient, et il en existe puisque ${\rm dim}(\A) \geqslant 1$. En g\'en\'eral, on consid\`ere tous les id\'eaux premiers minimaux $\mathfrak{p}$ de $\A$ tels que ${\rm dim}(\A) = {\rm dim}(\A/\mathfrak{p})$, qui sont en nombre fini puisque $\A$ est noeth\'erien. Notant $\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_m$ ces id\'eaux premiers, on a $\mathfrak{p}_i \neq \mathfrak{m}$ pour tout $i$ car ${\rm dim}(\A) \geqslant 1$. Il existe alors $f \in \mathfrak{m}$ n'appartenant \`a aucun $\mathfrak{p}_i$ : c'est clair si $m =1$, et si le r\'esultat est d\'emontr\'e pour $m \geqslant 1$, on l'obtient pour $m+1$ en consid\'erant $f = f' + g_1 \ldots g_m$ ou $f = f'$, avec $f' \in \mathfrak{m}$ n'appartenant pas \`a $\mathfrak{p}_1 \cup \ldots \cup \mathfrak{p}_m$ et $g_i \in \mathfrak{p}_i \cap (\A - \mathfrak{p}_{m+1})$, selon que $f'$ appartienne ou non \`a $\mathfrak{p}_{m+1}$. Avec ce choix de $f$, ${\rm dim}(\A/\mathfrak{p}_i + (f)) = {\rm dim}((\A/\mathfrak{p}_i)/\overline{f}) = {\rm dim}(\A/\mathfrak{p}_i) + 1$ en vertu du \emph{Hauptidealsatz} et donc ${\rm dim}(\A) =  {\rm dim}(\A/(f)) +1$.}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{2.} Posons $d = {\rm dim}(\A)$ et $\delta = {\rm dim}(\B \otimes_{\A} k)$. En vertu de la question pr\'ec\'edente appliqu\'ee aux anneaux locaux noeth\'eriens $\A$ et $\B \otimes_{\A} k = \B/\mathfrak{m}\B$, il existe des \'el\'ements $t_1, \ldots, t_d$ de $\mathfrak{m}$, des \'el\'ements $s_1, \ldots, s_{\delta}$ de $\mathfrak{n}$ et un nombre entier $\N$ tels que $\mathfrak{m}^{\N} \subset (t_1, \ldots, t_d)$ et $\mathfrak{n}^{\N} \subset (s_1, \ldots, s_{\delta}) + f(\mathfrak{m})\B$. On a alors $$\mathfrak{n}^{2\N} \subset (s_1, \ldots, s_\delta) + f(\mathfrak{m}^{\N})\B \subset (s_1, \ldots, s_{\delta}, f(t_1), \ldots, f(t_d)) \subset \mathfrak{n},$$  
donc ${\rm dim}(\B) \leqslant d + \delta$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{3.} Soit $\R$ un anneau noeth\'erien. On consid\`ere un id\'eal premier $\mathfrak{q}$ de $\R[\X]$ et on pose $\mathfrak{p} = \R \cap \mathfrak{q}$. L'homomorphisme canonique $\R \rightarrow \R[\X]$ induit un homomorphisme $f : \R_{\mathfrak{p}} \rightarrow \R[\X]_{\mathfrak{q}}$ tel que $f(\mathfrak{p}) \subset \mathfrak{q}$, d'o\`u $${\rm dim}(\R[\X]_{\mathfrak{q}}) \leqslant {\rm dim}(\R_{\mathfrak{p}}) + {\rm dim}\left(\R[\X]_{\mathfrak{q}} \otimes_{\R} \kappa(\mathfrak{p})\right).$$ L'anneau $\R[\X]_{\mathfrak{q}} \otimes_{\R} \kappa(\mathfrak{p})$ s'identifiant canoniquement au localis\'e de $\kappa(\mathfrak{p})[\X]$ en l'id\'eal premier $\overline{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}/\mathfrak{p}\R[\X]$, $${\rm dim}\left(\R[\X]_{\mathfrak{q}} \otimes_{\R} \kappa(\mathfrak{p})\right) =  {\rm dim}(\kappa(\mathfrak{p})[\X]_{\overline{\mathfrak{q}}}) \leqslant {\rm dim}(\kappa(\mathfrak{p})[\X]) = 1.$$ On obtient ainsi $${\rm dim}(\R[\X]_{\mathfrak{q}}) \leqslant {\rm dim}(\R_{\mathfrak{p}}) + 1 \leqslant {\rm dim}(\R) + 1$$ et donc $${\rm dim}(\R[\X]) = \sup_{\mathfrak{q}} {\rm dim}(\R[\X]_{\mathfrak{q}}) \leqslant {\rm dim}(\R) +1.$$ L'in\'egalit\'e ${\rm dim}(\R)+1 \leqslant {\rm dim}(\R[\X])$ \'etant d\'ej\`a connue (et \'el\'ementaire), il vient finalement $${\rm dim}(\R[\X]) = {\rm dim}(\R) +1.$$ 

\end{document}
