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\begin{document}

\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2008} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}
\begin{center} \textbf{6. Th\'eorie de la dimension}
\end{center}

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{(6.1)} Une \emph{cha\^{\i}ne} dans un ensemble ordonn\'e $\I$ est une suite finie strictement croissante $i_0~<~i_1 < \ldots < i_n$ d'\'el\'ements de $\I$ ; le nombre entier $n$ est la \emph{longueur} de cette cha\^{\i}ne.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 6.1}} --- \emph{(i) La \emph{dimension de Krull} d'un espace topologique $\X$ est la borne sup\'erieure des longueurs de cha\^ines de ferm\'es irr\'eductibles de $\X$ ; on la note ${\rm dim}(\X)$. \\
\indent (ii) La \emph{dimension de Krull} d'un anneau $\A$ est la dimension de Krull de son spectre premier ; on la note ${\rm dim}(\A)$.}

\vspace{0.2cm} De mani\`ere \'equivalente, la dimension de Krull d'un anneau $\A$ est la borne sup\'erieure des longueurs des cha\^{\i}nes $$\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_{1} \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n$$ d'id\'eaux premiers de $\A$.


\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarques}}. 1) Si aucune confusion n'est \`a craindre avec une autre notion de dimension pour les espaces topologiques, ont parle plus simplement de la \emph{dimension} d'un anneau ou de son spectre.

2) Tout ferm\'e irr\'eductible d'un espace topologique $\X$ \'etant contenu dans une composante irr\'eductible, la dimension de $\X$ est la borne sup\'erieure des dimensions de ses composantes irr\'eductibles ; c'est de mani\`ere \'equivalente la borne sup\'erieure des dimensions des anneaux $\A/\mathfrak{p}$, o\`u $\mathfrak{p}$ est un id\'eal premier \emph{minimal} de $\A$.

3) Noter que l'on a ${\rm dim}(0) = {\rm dim} (\varnothing) = -\infty$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples}}. On a ${\rm dim}(\mathbb{Z}) = 1$ et, pour tout corps $k$, $${\rm dim}(k) = 0, \ \ {\rm dim}(k[\T]) = 1, \ \ {\rm dim}(k[\T_1,\T_2]) = 2.$$ Ces r\'esultats d\'ecoulent directement de la description explicite du spectre de ces anneaux (cf. t.d.2, exercice 9 pour $k[\T_1,\T_2]$). Plus g\'en\'eralement, la minoration $${\rm dim}(k[\T_1,\ldots, \T_n]) \geqslant n$$ s'obtient en consid\'erant la suite d'id\'eaux premiers $(0) \subset (\T_1) \subset (\T_1,\T_2) \subset \ldots \subset (\T_1,\ldots, \T_n)$ ; comme on va la d\'emontrer, cette in\'egalit\'e est en fait une \'egalit\'e.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 6.2}} --- \emph{Quel que soit l'anneau $\A$, on a $${\rm dim}(\A) +1 \leqslant {\rm dim} (\A[\X]) \leqslant 2{\rm dim}(\A) + 1.$$}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. La premi\`ere in\'egalit\'e s'obtient simplement en observant que, pour toute cha\^{\i}ne $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n$ d'id\'eaux premiers de $\A$, $$\mathfrak{p}_0\A[\X] \subsetneq \mathfrak{p}_{1}\A[\X] \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n\A[\X] \subsetneq \mathfrak{p}_n\A[\X] + (\X)$$ est une cha\^{\i}ne d'id\'eaux premiers de $\A[\X]$. Pour \'etablir la seconde in\'egalit\'e, d\'esignons par $\pi$ l'application canonique de $\mathrm{Spec}(\A[\X])$ dans $\mathrm{Spec}(\A)$. Comme les fibres de $\pi$ sont toutes de dimension $1$, une cha\^{\i}ne $\mathfrak{q}_0 \subsetneq \mathfrak{q}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{q}_n$ d'id\'eaux premiers de $\A[\T]$ donne naissance \`a une suite $\pi(\mathfrak{q}_0) \subset \pi(\mathfrak{q}_1) \subset \ldots \subset \pi(\mathfrak{q}_n)$ d'id\'eaux premiers de $\A$ dans laquelle il ne peut y avoir deux \'egalit\'es cons\'ecutives ; on en d\'eduit que cette suite contient une cha\^{\i}ne de longueur sup\'erieure ou \'egale \`a $[n/2]$, donc ${\rm dim}(\A) \geqslant [({\rm dim}(\A[\X]) + 1)/2]$ et finalement ${\rm dim}(\A[\X]) \leqslant 2{\rm dim}(\A) +1$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}}. Il  existe des anneaux $\A$ tels que ${\rm dim}(\A[\X]) > {\rm dim}(\A) +1$ ; on d\'emontrera toutefois que l'\'egalit\'e ${\rm dim}(\A[\X]) = {\rm dim}(\A) +1$ est v\'erifi\'ee lorsque l'anneau $\A$ est noeth\'erien.

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{(6.2)} Rappelons d'un homomorphisme d'anneaux $\varphi : \A \rightarrow \B$ est dit \emph{entier} si tout \'el\'ement de $\B$ est racine d'un polyn\^ome unitaire \`a coefficients dans $\varphi(\A)$. Si $\varphi$ est entier et injectif, on a d\'emontr\'e \begin{itemize} \item que l'application $^{a}\varphi : \mathrm{Spec}(\B) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A)$ est \emph{surjective} (3, Proposition 11 et 4, Lemme 4) ; \item qu'un id\'eal premier $\mathfrak{q}$ de $\B$ est maximal si et seulement si $\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ est un id\'eal maximal de $\A$ (4, Lemme 3). \end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 6.3 (Cohen-Seidenberg)}} --- \emph{Soit $\varphi : \A \hookrightarrow \B$ un homomorphisme d'anneaux entier et injectif.
\begin{itemize} \item[(i)] Soient $\mathfrak{p} \subset \mathfrak{p}'$ deux id\'eaux premiers de $\A$. \'Etant donn\'e un id\'eal premier $\mathfrak{q}$ de $\B$ tel que $^{a}\varphi(\mathfrak{q}) = \mathfrak{p}$, il existe un id\'eal premier $\mathfrak{q}'$ de $\B$ tel que $^{a}\varphi(\mathfrak{q}') = \mathfrak{p}'$.
\item[(ii)] Si $\mathfrak{q} \subset \mathfrak{q}'$ sont deux id\'eaux premiers de $\B$ tels que $^{a}\varphi(\mathfrak{q}) = ^{a}\varphi(\mathfrak{q}')$, alors $\mathfrak{q} = \mathfrak{q}'$.
\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) L'homomorphisme $\A/\mathfrak{p} \rightarrow \B/\mathfrak{q}$ induit par $\varphi$ \'etant entier et injectif, l'application associ\'ee $\mathrm{Spec}(\B/\mathfrak{q}) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A/\mathfrak{p})$ est surjective et il existe donc un id\'eal premier $\mathfrak{q}'$ de $\B$ tel que $\mathfrak{q} \subset \mathfrak{q}'$ et $^{a}\varphi(\mathfrak{q}') = \mathfrak{p}'$.

\vspace{0.1cm} (ii) Posons $\mathfrak{p} = ^{a}\varphi(\mathfrak{q}) = ^{a}\varphi(\mathfrak{q}')$. L'homomorphisme $\A_{\mathfrak{p}} \rightarrow \B_{\mathfrak{p}}$ induit par $\varphi$ est entier et l'id\'eal $\mathfrak{p}\A_{\mathfrak{p}}$ est maximal ; il en d\'ecoule que les id\'eaux $\mathfrak{q}\B_{\mathfrak{p}}$ et $\mathfrak{q}'\B_{\mathfrak{p}}$ sont maximaux, donc \'egaux puisque $\mathfrak{q} \subset \mathfrak{q}'$, et finalement $\mathfrak{q} = \mathfrak{q}'$. \hfill $\Box$


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 6.4}} --- \emph{Soit $\varphi : \A \hookrightarrow \B$ un homomorphisme d'anneaux entier et injectif. Alors $${\rm dim}(\A) = {\rm dim}(\B).$$}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. \'Etant donn\'ee une cha\^{\i}ne $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n$ d'id\'eaux premiers de $\A$, l'application it\'er\'ee de l'assertion (i) du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent permet de construire une suite croissante $\mathfrak{q}_0 \subset \mathfrak{q}_1 \subset \ldots \subset \mathfrak{q}_n$ d'id\'eaux premiers de $\B$ telle que $^{a}\varphi(\mathfrak{q}_i) = \mathfrak{p}_i$ pour tout $i$ ; toutes les inclusions sont strictes, donc cette suite est une cha\^{\i}ne de longueur $n$. On \'etablit ainsi l'in\'egalit\'e $${\rm dim}(\B) \geqslant {\rm dim}(\A).$$

\vspace{0.1cm} R\'eciproquement, pour toute cha\^{\i}ne $\mathfrak{q}_0 \subsetneq \mathfrak{q}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{q}_n$ d'id\'eaux premiers de $\B$, la suite $\varphi(\mathfrak{q}_0) \subset \varphi(\mathfrak{q}_1) \subset \ldots \subset \varphi(\mathfrak{q}_n)$ est une cha\^{\i}ne d'id\'eaux premiers de $\A$ en vertu de l'assertion (ii) du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent. On \'etablit ainsi l'in\'egalit\'e $${\rm dim}(\B) \leqslant {\rm dim}(\A).$$ \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple}}. Pour toute extension finie $\K$ de $\mathbb{Q}$, la fermeture int\'egrale $\mathcal{O}_{\rm \K}$ de $\mathbb{Z}$ dans $\K$ est un anneau de dimension 1.

%\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 6.4}} --- \emph{Quel que soit l'anneau $\A$, $${\rm dim}(\A[\T])  = {\rm dim}(\A) + 1.$$}

%\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Pour toute cha\^{\i}ne $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n$ d'id\'eaux premiers de $\A$, $$\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n \subsetneq \mathfrak{p}_n + (\X)$$ est une cha\^{\i}ne d'id\'eaux premiers de $\A[\X]$ ; on a donc ${\rm dim}(\A[\X]) \geqslant {\rm dim}(\A) + 1$.

%\vspace{0.1cm} D\'esignons par $\pi$ l'application canonique $\mathrm{Spec}(\A[\X]) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A), \ \mathfrak{q} \mapsto \A \cap \mathfrak{q}.$ L'in\'egalit\'e ${\rm dim}(\A[\X]) \leqslant {\rm dim}(\A) + 1$ d\'ecoule imm\'ediatement de l'assertion suivante : \emph{\'etant donn\'ee une cha\^{\i}ne $\mathfrak{q}_0 \subsetneq \mathfrak{q}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{q}_n$ d'id\'eaux premiers de $\A[\X]$, il y a au plus une \'egalit\'e parmi les inclusions $$\pi(\mathfrak{q}_0) \subset \pi(\mathfrak{q}_1) \subset \ldots \subset \pi(\mathfrak{q}_n).$$} C'est ce que nous allons \'etablir.

%\vspace{0.1cm} Soit $\mathfrak{q}$ un id\'eal premier de $\A[\X]$. La fibre $\pi^{-1}(\mathfrak{p})$ de $\pi$ au-dessus de $\mathfrak{p} = \pi(\mathfrak{q})$ s'identifiant canoniquement au spectre de l'anneau $\kappa(\mathfrak{p})[\X]$, nous avons l'alternative suivante : \begin{itemize} \item si $\mathfrak{q}$ est minimal dans $\pi^{-1}(\mathfrak{p})$, alors $\mathfrak{q} = \mathfrak{p}\A[\T]$ ; \item sinon, $\mathfrak{q}$ est maximal dans $\pi^{-1}(\mathfrak{p})$, auquel cas $\mathfrak{q}$ contient un polyn\^ome $f \in \A[\T]$ non nul modulo $\mathfrak{p}$.\end{itemize}

%Consid\'erons alors une cha\^{\i}ne $\mathfrak{q}_0 \subsetneq \mathfrak{q}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{q}_n$ d'id\'eaux premiers dans $\A[\T]$. S'il existe un indice $i \in \{0,1, \ldots,n-1\}$ tel que $\pi(\mathfrak{q}_i) = \pi(\mathfrak{q}_{i+1})$, alors l'id\'eal $\mathfrak{q}_{i+1}$ est maximal dans $\pi^{-1}(\pi(\mathfrak{q}_i))$ et contient donc un polyn\^ome $f \in \A[\X]$ non nul modulo $\pi(\mathfrak{q}_i)$.

%\hfill $\Box$


%\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 6.5}} --- \emph{Quel  que soit le corps $k$, l'anneau $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ est de dimension $n$.}


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Interlude : degr\'e de transcendance d'une extension de corps}} --- \'Etant donn\'ee une extension de corps $\K/k$, une famille $(x_i)_{i \in \I}$ d'\'el\'ements de $\K$ est dite \emph{alg\'ebriquement ind\'ependante} sur $k$ si l'homomorphisme canonique de $k$-alg\`ebres $k[(\X_i)_{i \in \I}] \rightarrow \K, \ \X_i \mapsto x_i$ est injectif. En utilisant le lemme de Zorn, on d\'emontre l'existence d'une \emph{base de transcendance}, c'est-\`a-dire d'une famille alg\'ebriquement ind\'ependante $(x_{i})_{i \in \I}$ d'\'el\'ements de $\K$ telle que tout \'el\'ement de $\K$ soit alg\'ebrique sur le sous-corps $k((x_i)_{i \in \I})$ de $\K$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 6.5}} --- \emph{Soit $\K/k$ une extension de corps. Deux bases de transcendance ont le m\^eme cardinal.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Pour simplifier, nous nous bornons \`a d\'emontrer ce r\'esultat sous l'hypoth\`ese additionnelle qu'il existe une base de transcendance de cardinal \emph{fini} $n$ et nous raisonnons par induction sur ce cardinal.

\vspace{0.1cm} Le cas $n = 0$ est clair : tout \'el\'ement de $\K$ est alg\'ebrique sur $k$ et chaque base de transcendance est donc vide.

\vspace{0.1cm} Supposons $n \geq 1$ et consid\'erons deux bases de transcendance $(x_1, \ldots, x_n)$ et $(t_i)_{i \in \I}$. Par hypoth\`ese, $x_1$ est alg\'ebrique sur le corps $k((t_i)_{i \in \I})$ et il existe un sous-ensemble fini $\J$ de $\I$ tel que $x_1$ soit alg\'ebrique sur $k((t_i)_{i\in\J})$ ; on suppose $\J$ minimal. Comme $x_1$ est transcendant sur $k$, $\J$ est non vide. Soit $a \in \J$ et soit $f \in k[(\T_i)_{i \in \J},\X]$ un polyn\^ome non nul tel que $f((t_i),x_1) = 0$ ; par minimalit\'e de $\J$, on a ${\rm deg}_{\T_{a}} (f) \geqslant 1$ et $f((t_i)_{i \in \J - \{a\}}, \T_a,x_1) \neq 0$, d'o\`u l'on d\'eduit que $t_a$ est alg\'ebrique sur le sous-corps de $\K$ engendr\'e par $x_1$ et les $t_{i}$, $i \in \I - \{a\}$. La famille $(t_i)_{i \in \I - \{a\}} \cup \{x_1\}$ est alg\'ebriquement ind\'ependante sur $k$ : sinon, $x_1$ serait alg\'ebrique sur $k((t_i)_{i \in \I - \{a\}})$ et on en d\'eduirait que $t_a$ l'est \'egalement, ce qui est contraire \`a notre hypoth\`ese. Cette famille est \'egalement maximale pour cette propri\'et\'e : en effet, quel que soit l'\'el\'ement $y$ de $\K$, $y$ est alg\'ebrique sur $k((t_i)_{i \in \I})$, donc sur $k((t_i)_{i \in \I}, x_1)$ puis sur $k((t_i)_{i \in \I - \{a\}}, x_1)$.

\vspace{0.1cm} Nous obtenons ainsi deux bases de transcendance $(x_2, \ldots, x_n)$ et $(t_i)_{i \in \I - \{a\}}$ pour l'extension $K/k(x_1)$. En vertu de l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, l'ensemble $\I - \{a\}$ est fini et de cardinal $n-1$ ; $\I$ est donc fini et de cardinal $n$, ce qu'il fallait d\'emontrer. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} Ce que l'on vient de dire permet d'introduire la d\'efinition suivante : le \emph{degr\'e de transcendance} d'une extension de corps est l'\'el\'ement de $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ d\'efini comme le cardinal d'une base de transcendance finie s'il en existe, $\infty$ sinon ; on le note ${\rm deg.tr}(\K/k)$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}} --- \'Etant donn\'ees des extensions de corps $\K/k$ et $\K'/\K$, $${\rm deg.tr}(\K'/k) = {\rm deg.tr}(\K'/\K) + {\rm deg tr}(\K/k).$$ Cette \'egalit\'e est \'evidente si ${\rm deg . tr}(\K/k) = \infty$ ou ${\rm deg . tr}(\K'/\K) = \infty$ ; sinon, on v\'erifie sans difficult\'e que pour toutes bases de transcendance $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ de $\K/k$ et $\K'/\K$ respectivement, $\mathcal{B} \cup \mathcal{B}'$ est une base de transcendance de $\K'/k$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 6.6}} --- \emph{Soit $k$ un corps. \begin{itemize} \item[(i)] Pour tout entier $n \geqslant 0$, l'anneau $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ est de dimension $n$. \item[(ii)] Pour toute $k$-alg\`ebre $\A$ de type fini et int\`egre, $${\rm dim}(\A) = {\rm deg . tr}({\rm Frac}(\A)/k).$$\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Observons tout d'abord que les assertions \begin{itemize} \item[($a_n$)] l'anneau $k[\T_1,\ldots, \T_n]$ est de dimension $n$ ; \item[($b_n$)] si $\A$ est une $k$-alg\`ebre de type fini telle que ${\rm deg.tr}({\rm Frac}(\A)/k) = n$, alors ${\rm dim}(\A) = n$; \end{itemize} sont \'equivalentes pour tout entier $n \geq 0$. L'implication $(b_n) \Rightarrow (a_n)$ se d\'eduit trivialement du fait que l'extension de corps $k(\T_1,\ldots,\T_n)/k$ soit de degr\'e de transcendance $n$. Consid\'erons r\'eciproquement une $k$-alg\`ebre de type fini et int\`egre $\A$ telle que ${\rm deg.tr}({\rm Frac}(\A)/k) = n$ et soit $\varphi : k[\T_1, \ldots, \T_m] \hookrightarrow \A$ un homomorphisme surjectif et entier (lemme de normalisation de Noether). La famille $(\varphi(\T_1), \ldots, \varphi(\T_m))$ est une base de transcendance de ${\rm Frac}(\A)/k$, donc $m=n$, puis $${\rm dim}(\A) = {\rm dim}(k[\T_1,\ldots, \T_n]) =n$$ en vertu du corollaire 6.4.

\vspace{0.1cm} Nous allons maintenant d\'emontrer l'assertion (i) en raisonnant par r\'ecurrence sur $n$. La cha\^{\i}ne d'id\'eaux premiers $(0) \subsetneq (\X_1) \subsetneq (\X_1,\X_2) \subsetneq \ldots \subsetneq (\X_1, \ldots, \X_n)$ de $k[\X_1, \ldots, \X_n]$ impliquant la minoration ${\rm dim} (k[\X_1,\ldots, \X_n]) \geqslant n$, il suffit d'\'etablir l'in\'egalit\'e inverse.

\vspace{0.1cm} Il n'y a rien \`a d\'emontrer si $n=0$. Soit donc $n \geqslant 1$ et consid\'erons une cha\^{\i}ne $(0) \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_r$ dans $k[\X_1, \ldots, \X_n]$ avec $r \geqslant 1$. L'id\'eal $\mathfrak{p}_1$ \'etant non nul, il contient un polyn\^ome $f$ non nul qui fournit une relation de d\'ependance alg\'ebrique non triviale entre les images de $\X_1, \ldots, \X_n$ dans la $k$-alg\`ebre de type fini int\`egre $\A = k[\T_1, \ldots, \T_n]/\mathfrak{p}_1$ ; plus pr\'ecis\'ement, si l'on suppose par exemple ${\rm deg}_{\X_n}(f) \geqslant 1$, alors $\K = {\rm Frac}(\A)$ est une extension alg\'ebrique du sous-corps engendr\'e par les images de $\X_1, \ldots, \X_{n-1}$ et donc ${\rm deg . tr}(\K/k) \leqslant n-1$. On d\'eduit alors de l'hypoth\`ese de r\'ecurrence la majoration $$r -1 \leq {\rm dim}(\A) = {\rm deg . tr}(\K/k) \leqslant n-1,$$ d'o\`u $${\rm dim}(k[\T_1, \ldots, \T_n]) \leqslant n.$$ \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 6.7}} --- \emph{Toute alg\`ebre de type fini sur un corps est de dimension finie.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Soit $\A$ une alg\`ebre de type fini sur un corps et soit $\mathcal{M}$ l'ensemble de ses id\'eaux premiers minimaux. En vertu du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent, l'anneau $A/\mathfrak{p}$ est de dimension finie pour tout id\'eal premier de $\A$ et donc $${\rm dim}(\A) = \sup_{\mathfrak{p} \in \mathcal{M}} {\rm dim}(\A/\mathfrak{p}) < \infty$$ puisque l'ensemble $\mathcal{M}$ est fini par noeth\'erianit\'e de $\A$. \hfill $\Box$

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{(6.3)} Soit $\X$ un espace topologique et soit $\Y \subset \X$ un ferm\'e irr\'eductible. La \emph{codimension} de $\Y$ dans $\X$ est la borne sup\'erieure des longueurs des cha\^{\i}nes de ferm\'es irr\'eductibles de $\X$ contenant $\Y$. Notation : ${\rm codim}(\Y,\X)$.


\vspace{0.1cm}
Si $\A$ est un anneau la \emph{hauteur} ${\rm ht}(\mathfrak{p})$ d'un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ est par d\'efinition la codimension de $\V(\mathfrak{p})$ dans $\mathrm{Spec}(\A)$; c'est de mani\`ere \'equivalente la borne sup\'erieure des longueurs des cha\^{\i}nes d'id\'eaux premiers de $\A$ contenus dans $\mathfrak{p}$, soit encore la dimension de l'anneau local $\A_{\mathfrak{p}}$ : $${\rm ht}(\mathfrak{p}) = {\rm dim}(\A_{\mathfrak{p}}).$$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 6.8}} --- \emph{Soit $\X$ un espace topologique. Pour tout ferm\'e irr\'eductible $\Y$ de $\X$, $${\rm codim}(\Y,\X) + {\rm dim}(\Y) \leqslant {\rm dim}(\X).$$}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. C'est \'evident. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 6.9}} --- \emph{Soit $k$ un corps et $\X = \mathrm{Spec}(k[\T_1,\ldots, \T_n])$. Les conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout ferm\'e irr\'eductible $\Y$ de $\X$ : \begin{itemize} \item[(i)] ${\rm codim}(\Y,\X) = 1$ ; \item[(ii)] $\Y = \V(f)$ avec $f \in k[\T_1, \ldots, \T_n]$ irr\'eductible.\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. La condition ${\rm codim}(\Y,\X) = 1$ revient \`a dire que $\Y$ est de la forme $\V(\mathfrak{p})$ avec $\mathfrak{p}$ non nul et minimal pour cette propri\'et\'e. L'anneau $k[\T_1,\ldots, \T_n]$ \'etant factoriel, les id\'eaux premiers non nuls minimaux sont pr\'ecis\'ement les id\'eaux principaux engendr\'es par un polyn\^ome irr\'eductible. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 6.10}} --- \emph{Soient $k$ un corps, $\A$ une $k$-alg\`ebre de type fini int\`egre, $\X = {\rm Spec}(\A)$ et $\Y \subset \X$ un ferm\'e irr\'eductible. On a $${\rm codim}(\Y,\X) + {\rm dim}(\Y) = {\rm dim}(\X).$$}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. En raisonnant par r\'ecurrence sur ${\rm codim}(\Y,\X)$, il suffit d'\'etablir cette identit\'e lorsque ${\rm codim}(\Y,\X) = 1$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons un morphisme entier et injectif $k[\T_1, \ldots, \T_n] \hookrightarrow \A$ et soit $\pi : \X \rightarrow \X_0  = \mathrm{Spec}(k[\T_1, \ldots, \T_n])$ l'application associ\'ee. L'image $\pi(\Y)$ de $\Y$ est un ferm\'e irr\'eductible de $\X_0$ et ${\rm codim}(\pi(\Y),\X_0) = {\rm codim}(\Y,\X) = 1$ en vertu du th\'eor\`eme de Cohen-Seidenberg. Vu le lemme pr\'ec\'edent, $\pi(\Y) = \V(f)$ avec $f \in k[\T_1,\ldots, \T_n]$ irr\'eductible. 

Posant $\B = \k[\T_1, \ldots, \T_n]/(f)$, on a $${\rm dim}(\pi(\Y)) = {\rm deg.tr}({\rm Frac}(\B)/k) = n-1$$
et donc ${\rm dim}(\Y) = {\rm dim}(\pi(\Y)) = n-1.$ \hfill $\Box$

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{(6.4)} Nous allons maintenant relier la codimension d'un ferm\'e irr\'eductible au nombre d'\'equations le d\'efinissant. Ceci va nous permettre en particulier de d\'emontrer que tout anneau local noeth\'erien est de dimension finie.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 6.11}} --- \emph{Soit $\A$ un anneau noeth\'erien. Si $\A$ est de dimension $0$, toute suite d\'ecroissante d'id\'eaux de $\A$ est stationnaire.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Cf. travaux dirig\'es, feuille 4, exercices 3 et 5. \hfill $\Box$

% \noindent \textbf{\emph{Lemme 6.8}} --- \emph{Soit $\A$ un anneau noeth\'erien et soit $\M$ un $\A$-module de type fini non nul. Il existe une suite de composition $$(0) = \M_0 \subset \M_1 \subset \ldots \subset \M_n = \M$$ telle que chaque quotient $\M_{\alpha +1}/\M_{\alpha}$ soit isomorphe au quotient $\A/\mathfrak{p}_{\alpha}$ de $\A$ par un id\'eal premier $\mathfrak{p}_{\alpha}$.}

%\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. L'ensemble $\mathcal{E}$ des id\'eaux de $\A$ de la forme $\mathrm{ann}(x)$ avec $x \in \M -\{0\}$ est non vide et poss\`ede un \'el\'ement maximal $\mathfrak{p} = \mathrm{ann}(x_0)$ par noeth\'erianit\'e de $\A$. L'id\'eal $\mathfrak{p}$ est premier : en effet, pour tous $a, b \in \A$ tels que $ab \in \mathfrak{p}$ et $a \notin \mathfrak{p}$, $ax_0 \neq 0$ et $\mathrm{ann}(x_0) \subset \mathrm{ann}(ax_0)$, donc $\mathrm{ann}(ax_0) = \mathrm{ann}(x_0)$ par maximalit\'e et finalement $b \in \mathfrak{p}$. 

%\vspace{0.1cm} Le sous-module $\M_0 = \A x_0$ de $\M$ est isomorphe \`a $\A/\mathfrak{p}_0$. En rempla{\c c}ant $\M$ par $\M/\M_0$ et en raisonnant par induction, on obtient de la sorte une suite croissante et exhaustive $(\M_\alpha)$ de sous-modules de $\M$ telle que $\M_{\alpha + 1}/\M_{\alpha} \simeq \A/\mathfrak{p}_{\alpha}$ avec $\mathfrak{p}_{\alpha}$ premier. Comme $\A$ est noeth\'erien et $\M$ de type fini, $\M$ est noeth\'erien et cette suite est donc stationnaire, ce qui ach\`eve la d\'emonstration. \hfill $\Box$

%\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 6.8}} --- \emph{Soit $\A$ un anneau noeth\'erien. Si $\A$ est de dimension $0$, toute suite d\'ecroissante d'id\'eaux de $\A$ est stationnaire.}

%\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. En vertu du lemme pr\'ec\'edent, $\A$ admet une suite de composition $$(0) = \mathfrak{I}_0 \subset \mathfrak{I}_1 \subset \ldots \subset \mathfrak{I}_n = \A$$ avec $\mathfrak{I}_{\alpha +1}/\mathfrak{I}_{\alpha} \simeq \A/\mathfrak{p}_{\alpha}$, $\mathfrak{p}_{\alpha}$ premier. Comme $\A$ est de dimension $0$, les id\'eaux $\mathfrak{p}_{\alpha}$ sont maximaux et donc les quotients successifs $\mathfrak{I}_{\alpha +1}/\mathfrak{I}_{\alpha}$ sont des $\A$-modules \emph{simples}, c'est-\`a-dire ne poss\'edant pas de sous-module propre non nul. On en ais\'ement que toute suite d\'ecroissante d'id\'eaux de $\A$ est stationnaire. \hfill $\Box$

%\vspace{0.2cm} \'Etant donn\'e un anneau $\A$, la \emph{hauteur} ${\rm ht}(\mathfrak{p})$ d'un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ est la borne sup\'erieure des longueurs des cha\^{\i}nes d'id\'eaux premiers contenus dans $\mathfrak{p}$ ; on a donc $${\rm ht}(\mathfrak{p}) = {\rm dim}(\A_{\mathfrak{p}}).$$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 6.12 (Hauptidealsatz de Krull)}} --- \emph{Soit $\A$ un anneau noeth\'erien int\`egre et soit $f$ un \'el\'ement non nul de $\A$. Tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ contenant $f$ et minimal pour cette propri\'et\'e est de hauteur $1$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. L'id\'eal $\mathfrak{p}$ est non nul puisqu'il contient $f$ et il nous faut prouver que $(0)$ est le seul id\'eal premier de $\A$ strictement contenu dans $\mathfrak{p}$. Quitte \`a remplacer $\A$ par $\A_{\mathfrak{p}}$, on peut supposer que $\A$ est local, d'id\'eal maximal $\mathfrak{p}$ ; c'est ce que l'on fait. Par hypoth\`ese, $\mathfrak{p}$ est l'unique id\'eal premier de $\A$ contenant $f$ donc l'anneau $\A/f\A$ est de dimension $0$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons un id\'eal premier $\mathfrak{q}$ de $\A$ strictement contenu dans $\mathfrak{p}$. Par hypoth\`ese, $\mathfrak{q}$ ne contient pas $f$. Soit $(\mathfrak{q}_n)$ la suite d\'ecroissante d'id\'eaux de $\A$ d\'efinie par $$\mathfrak{q}_n = \mathfrak{q}^n \A_{\mathfrak{q}} \cap \A = \{a \in \A \ ; \textrm{ il existe } s \in \A - \mathfrak{q} \ \textrm{ tel que } sa \in \mathfrak{q}^n\A_{\mathfrak{q}}\}.$$
L'anneau $\A/\A f$ \'etant noeth\'erien et de dimension $0$, la suite $(\mathfrak{q_n}\A/\A f)$ est stationnaire et il existe donc un entier $n \geqslant 1$ tel que $$\mathfrak{q}_n + \A f = \mathfrak{q}_{n+1} + \A f.$$

\vspace{0.1cm} Pour tout $x \in \mathfrak{q}_n$, il existe $a \in \A$ tel que $x + af \in \mathfrak{q}_{n+1}$ ; on a $af \in \mathfrak{q}_n$, donc $a \in \mathfrak{q}_n$ puisque $f \in \A - \mathfrak{q}$, et par suite \begin{eqnarray*}\mathfrak{q}_n & = & \mathfrak{q}_{n+1} + f\mathfrak{q}_n \\ & = & \mathfrak{q}_{n+1} + \mathfrak{p}\mathfrak{q}_n.\end{eqnarray*} On a ainsi $\mathfrak{q}_n/\mathfrak{q}_{n+1} = \mathfrak{p}\mathfrak{q}_n/\mathfrak{q}_{n+1}$, donc $\mathfrak{q}_n = \mathfrak{q}_{n+1}$ par application du lemme de Nakayama.

\vspace{0.1cm} Comme $\mathfrak{q}_m \A_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}^m\A_{\mathfrak{q}}$ pour tout $m$,  $$\mathfrak{q}^{n}\A_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}^{n+1}\A_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}\mathfrak{q}^n\A_{\mathfrak{q}}$$ et donc $\mathfrak{q}^n\A_{\mathfrak{q}} = 0$ par une nouvelle application du lemme de Nakayama. L'id\'eal $\mathfrak{q}$ \'etant premier, $\mathfrak{q}\A_{\mathfrak{q}} = 0$ et finalement $\mathfrak{q} = 0$. \hfill $\Box$


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 6.13}} --- \emph{Soit $\A$ un anneau local noeth\'erien d'id\'eal maximal $\mathfrak{m}$. Quels que soient $f_1, \ldots, f_r \in \mathfrak{m}$, $${\rm dim}(\A) \leqslant {\rm dim}(\A/(f_1,\ldots, f_r)) + r.$$ }

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. En raisonnant par r\'ecurrence sur $r$, on se ram\`ene \`a prouver $${\rm dim}(\A) \leqslant {\rm dim}(\A/\A f) + 1$$ pour tout $f \in \mathfrak{m}$.

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'ee une cha\^{\i}ne $\mathfrak{p}_0 \subset \ldots \mathfrak{p}_n$ d'id\'eaux premiers de $\A$ telle que $f \in \mathfrak{p}_n$, nous allons construire une nouvelle cha\^{\i}ne $\mathfrak{p}_0' \subset \ldots \subset \mathfrak{p}_n' = \mathfrak{m}$ telle que $\mathfrak{p}_0' = \mathfrak{p}_0$ et $f \in \mathfrak{p}_1'$. On raisonne par r\'ecurrence sur $n \geqslant 1$, le cas $n = 1$ \'etant trivial. Supposons $n \geqslant 2$ et $f \notin \mathfrak{p}_{n-1}$. Soit $\mathfrak{p}_{n-1}'$ un id\'eal premier contenant $\mathfrak{p}_{n-2} + \A f$ et minimal pour cette propri\'et\'e ; comme $\mathfrak{p}_n$ est de hauteur au moins $2$ dans l'anneau $\A/\mathfrak{p}_{n-2}$, l'inclusion $\mathfrak{p}_{n-1}' \subset \mathfrak{p}_n$ est stricte en vertu du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent et on obtient donc une cha\^{\i}ne $\mathfrak{p}_{n-2} \subset \mathfrak{p}_{n-1}' \subset \mathfrak{p}_n' = \mathfrak{m}$. L'hypoth\`ese de r\'ecurrence appliqu\'ee \`a la cha\^{\i}ne $\mathfrak{p}_0 \subset \ldots \subset \mathfrak{p}_{n-2} \subset \mathfrak{p}_{n-1}'$ fournit une cha\^{\i}ne $\mathfrak{p}_0' \subset \ldots \subset \mathfrak{p}_{n-1}'$ avec $\mathfrak{p}_0' = \mathfrak{p}_0$, $f \in \mathfrak{p}_1'$ et il suffit de consid\'erer la cha\^{\i}ne $\mathfrak{p}'_0 \subset \ldots \subset \mathfrak{p}'_n$ obtenue par concat\'enation.

\vspace{0.1cm} Appliquant ce que l'on vient de dire \`a toute cha\^{\i}ne de la forme $\mathfrak{p}_0 \subset \ldots \mathfrak{p}_n = \mathfrak{m}$, nous en d\'eduisons ${\rm dim}(\A/f\A) \geqslant n-1$ et donc $${\rm dim}(\A) \leqslant {\rm dim}(\A/\A f) + 1.$$


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 6.14}} --- \emph{Soit $\A$ un anneau local noeth\'erien d'id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ et de corps r\'esiduel $k$. La dimension de $\A$ est finie et $${\rm dim}(\A) \leqslant {\rm dim}_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2.$$}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Le $\A$-module $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ est un espace vectoriel de dimension finie sur $k = \A/\mathfrak{m}$. Si $x_1, \ldots, x_n$ sont des \'el\'ements de $\mathfrak{m}$ relevant une base de $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$, $\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_n) + \mathfrak{m}^2$ et donc $\mathfrak{m} = (x_1, \ldots, x_n)$ en vertu du lemme de Nakayama. Il reste alors \`a appliquer le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}} Un anneau noeth\'erien non local peut \^etre de dimension infinie ; M.\textsc{Nagata} a exhib\'e un exemple.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 6.15}} --- \emph{Soient $k$ un corps et $\A$ une $k$-alg\`ebre int\`egre de type fini sur $k$ de dimension $n$. On pose $\X = \mathrm{Spec}(\A)$.
\begin{itemize} \item[(i)] \'Etant donn\'es des \'el\'ements $f_1, \ldots, f_r$ de $\A$, les composantes irr\'eductibles du ferm\'e $\V(f_1, \ldots, f_r)$ de $\X$ sont de codimension inf\'erieure ou \'egale \`a $r$.
\item[(ii)] \'Etant donn\'e un ferm\'e irr\'eductible $\Y$ de $\X$ de codimension $r$, il existe des \'el\'ements $f_1, \ldots, f_r$ de $\A$ tels que $\Y$ soit une composante irr\'eductible du ferm\'e $\V(f_1,\ldots, f_r)$.
\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) Soit $\Y$ une composante irr\'eductible de $\V(f_1, \ldots, f_r)$ et soit $y$ un point ferm\'e de $\Y$ n'appartenant \`a aucune autre composante irr\'eductible de $\V(f_1, \ldots, f_r)$. Le point $y$ correspond \`a un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$ contenant $\mathfrak{I}(\Y)$ et, en vertu de la proposition 6.10, \begin{eqnarray*} {\rm dim}(\A) & = & {\rm dim}(\A_{\mathfrak{m}}) \\ & \leqslant & {\rm dim}(\A_{\mathfrak{m}}/(f_1, \ldots, f_r)) + r. \end{eqnarray*} Comme $${\rm dim}(\A_{\mathfrak{m}}/(f_1, \ldots, f_r)) = {\rm dim}(\A_{\mathfrak{m}}/\mathfrak{I}(\Y)) = {\rm dim}(\Y),$$ nous en d\'eduisons $${\rm codim}(\Y,\X) = {\rm dim}(\X) - {\rm dim}(\Y) \leqslant n-r.$$

\vspace{0.1cm} (ii) On raisonne par r\'ecurrence sur $r$, le cas $r = 0$ \'etant \'evident. Supposons $r \geqslant 1$, donc $\Y \neq \X$, et soit $f$ un \'el\'ement non nul de $\mathfrak{I}(\Y)$. D'apr\`es le th\'eor\`eme 6.12, toutes les composantes g\'eom\'etriques de $\V(f)$ sont de codimension $1$. Le ferm\'e $\Y$ est contenu dans l'une de ces composantes irr\'eductibles, disons $\Z$, et \begin{eqnarray*} {\rm codim}(\Y,\Z) & = & {\rm dim}(\Z) - {\rm dim}(\Y) \\ & = & {\rm dim}(\X) - 1 - {\rm dim}(\Y) \\ & = & {\rm codim}(\X,\Y) - 1. \end{eqnarray*} D'apr\`es l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, il existe des \'el\'ements $f_1, \ldots, f_{r-1}$ dans $\A$ d'images $\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_{r-1}$ dans $\A/\mathfrak{I}(\Z)$ tels que $\Y$ soit une composante irr\'eductible du ferm\'e $\V(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_{r-1})$ de $\Z$, lequel n'est autre que $\V(f_1, \ldots, f_{r-1},f)$. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}}. Soit $k$ un corps et soit $\mathfrak{I}$ le noyau de l'homomorphisme $$k[\X,\Y,\Z] \rightarrow k[\T], \ (\X,\Y,\Z) \mapsto (\T^3,\T^4,\T^5).$$ C'est un id\'eal premier et $\V(\mathfrak{I})$ est un ferm\'e irr\'eductible de $\mathrm{Spec}(k[\X,\Y,\Z])$ de codimension $2$. On v\'erifie que $\mathfrak{I}$ est engendr\'e par les trois polyn\^omes $\X^2\Y - \Z^2, \ \X\Z - \Y^2$ et $\ \Y\Z - \X^3$ mais qu'il ne peut pas \^etre engendr\'e par deux polyn\^omes seulement.

\end{document} 