Algèbre approfondie - Automne 2007 ENS-Lyon

Théorie de Galois III - Corrigé

Exercice 1 — 1. Fixons une racine x de T^{p} − T + a dans L. Quel que soit l’élément u de 𝔽_{p}, (x + u)^{p} − (x + u) = x^{p} + u^{p} − (x + u) = x^{p} − x et les racines de T^{p} − T + a dans L sont donc les p éléments x + u, u ∈ 𝔽_{p}. On en déduit une application injective

Gal(L/K) → 𝔽_{p}, σ ↦ σ(x) − x,

qui est manifestement un homomorphisme de groupes puisque

(στ)(x) − x = σ(τ(x) − x) + σ(x) − x = τ(x) − x + σ(x) − x

car τ(x) − x ∈ 𝔽_{p} ⊂ K.

Il y a deux possibilités :

– si Gal(L/K) = {1}, alors le polynôme T^{p}− T + a est scindé sur K ;

– si Gal(L/K) ≃ 𝔽_{p}, alors [L : K] = p et, puisque L est un corps de rupture du polynôme T^{p} − T + a, celui-ci est irréductible sur K.

2. (i) Le groupe de Galois Gal(L/K) est constitué des p automorphismes σ^{n}: L → L, 0 ≤ n ≤ p − 1. En vertu du lemme de Dedekind, ces automorphismes sont linéairement indépendants sur L et il existe donc un élément y de L tel que

z = ∑_{n=0}^{p−1} σ^{n}(y) ≠ 0.

On a par ailleurs

(σ − id_{L})( ∑_{n=0}^{p−1} σ^{n}(y)) = σ^{p}(y) − y = 0,

ce qui prouve que z est un élément non nul de K ; il reste à poser x = z^{−1} y pour obtenir un élément de L tel que ∑ _{n=0}^{p−1} σ^{n}(x) = 1.

(ii) On a

σ(α) = ∑_{n=0}^{p−1} nσ^{n+1} (x)

= ∑_{n=0}^{p−1}(n + 1)σ^{n+1} (x) − σ_{n=0}^{p−1} σ^{n}(x)

= ∑_{n=0}^{p−1} nσ^{n}(x) − x + σ^{p}(x) − ∑_{n=0}^{p−1} σ^{n}(x)
= α − 1,

ce qui prouve que α n’appartient pas au corps K ; d’autre part, comme

σ(α^{p}− α) = σ(α)^{p}− σ(α) = (α − 1)^{p}− (α − 1) = α^{p}− α,

a = α^{p} − α ∈ K. En vertu de la première question, le corps de décomposition K(α) du polynôme T^{p} − T + a dans L est une extension de K de degré p; puisque [L : K] = p, L = K(α).

Exercice 2 — 1. L’ensemble 𝔅_{p} des permutations de ℤ/pℤ de la forme x ↦ σ_{a,b}(x) = ax+b, a ∈ (ℤ/pℤ)^{×}, b ∈ ℤ/pℤ, est clairement un sous-groupe de 𝔖(ℤ/pℤ) de cardinal p(p − 1).

Vu l’identité

σ_{a,b}σ_{c,d}σ_{a,b}^{−1} = σ_{a,b}σ_{c,d}σ_{a^{−1} ,−a^{−1} b} = σ_{c,ad−bc+b} ,

les permuations σ_{1,b}, b ∈ ℤ/pℤ, constituent un sous-groupe distingué ℭ_{p} de 𝔅_{p}, cyclique et d’ordre p. Le quotient 𝔅_{p}/ℭ_{p} est isomorphe au sous-groupe de 𝔅_{p} constitué des permutations de la forme σ_{a,0}, a ∈ (ℤ/pℤ)× ; il s’agit donc d’un groupe cyclique d’ordre p − 1 et la suite de composition

1 ◁ ℭ_{p}◁ 𝔅_{p}

à quotients cycliques montre que le groupe 𝔅_{p} est résoluble.

Quels que soient a ∈ (ℤ/pℤ)^{×}, b ∈ ℤ/pℤ,

σ_{a,b}^{n} = σ_{a^{n},(a^{n−1} +...+a+1)b}

pour tout entier naturel n ≥ 1. On a donc

σ_{a,b}^{p} = \{ \begin{matrix}σ_{a,b} & si a ≠ 1 \\ σ_{1,0} = 1 & si a = 1 \end{matrix} ,

ce qui prouve que la permutation σ_{a,b} est d’ordre p si et seulement si a = 1 et b ≠ 0.

2. (i) Soient G un sous-groupe transitif de 𝔖(ℤ/pℤ) et H un sous-groupe distingué de G. Quel que soient i,j ∈ {1,...,p}, les sous-groupes de H fixant respectivement i et j sont conjugués dans G et on par conséquent le même cardinal ; les orbites de H sur {0,...,p − 1} ont ainsi le même cardinal, lequel doit diviser p. Il en découle que l’opération de H sur {0,...,p − 1} est soit triviale, soit transitive ; en particulier, le sous-groupe H de G opère transitivement sur {1,...p} s’il n’est pas trivial.

En appliquant successivement cet argument aux sous-groupes G_{i+1} et G_{i} à partir de i = r − 1, on en déduit que le sous-groupe G_{1} de 𝔖(ℤ/pℤ) opère transitivement sur {0,...,p − 1}. Soit finalement τ ∈ 𝔖(ℤ/pℤ) une permutation engendrant le groupe G_{1} ; les supports des cycles intervenant dans la décomposition de τ étant manifestement stables sous toutes les puissances de τ, le groupe G_{1} ne peut opérer transitivement sur {1,...,p} que si τ est un p-cycle.

(ii) Si l’on note σ la permutation de ℤ/pℤ définie par σ(i) = τ^{i}(0) (1 ≤ i ≤ p − 1), σ^{−1} G_{1}σ est le sous-groupe cyclique de 𝔖(ℤ/pℤ) engendré par la permutation σ_{1,1} : σ^{−1} G_{1}σ = ℭ_{p}.

Soit λ ∈ σ^{−1} G_{2}σ une permutation dont l’image engendre le groupe cyclique (σ^{−1} G_{2}σ)/(σ^{−1} G_{1}σ). Puisque le sous-groupe σ^{−1} G_{1}σ = ⟨σ_{1,1}⟩ est distingué dans σ^{−1} G_{2}σ, il existe a ∈ (ℤ/pℤ)^{×} tel que λσλ^{−1} = σ_{1,1}^{a} = σ_{1,a} et donc

λ(x + 1) = λσ_{1,1}(x) = σ_{1,a}λ(x) = λ(x) + a

puis λ(x) = ax + λ(0) pour tout x ∈ ℤ/pℤ, ce qui prouve que le sous-groupe σ^{−1} G_{2}σ de 𝔖(ℤ/pℤ) est contenu dans 𝔅_{p}.

(iii) Il est clair que ℭ_{p} est l’unique sous-groupe cyclique d’ordre p de 𝔅_{p}. Vu ce qui précède, on en déduit que G_{1} est l’unique sous-groupe cyclique d’ordre p de G_{2} ; il s’agit donc d’un sous-groupe caractéristique (i.e. stable sous tout automorphisme) de G_{2} et G_{1} est par conséquent un sous-groupe distingué de G_{3}. En appliquant le raisonnement de la question (ii), on établit à partir de là que le groupe σ^{−1} G_{3}σ est contenu dans 𝔅_{p}. En itérant r − 2 fois ce raisonnement, on obtient finalement que G_{1} est un sous-groupe distingué de G, puis que σ^{−1} Gσ est contenu dans le sous-groupe 𝔅_{p} de 𝔖(ℤ/pℤ).

3. (i) Le polynôme minimal de β sur K(α) est un diviseur strict du polynôme P, de sorte que [K(α,β) : K(α)] ≤ p − 1. L’irréductibilité de P sur K garantit par ailleurs que l’on a [K(α) : K] = p, d’où finalement

[L : K] = [K(α,β) : K] = [K(α,β) : K(α)][K(α) : K] ≤ p(p − 1).

(ii) L’extension intermédiaire K(α)/K étant de degré p, l’ordre du groupe Gal(L/K) est de la forme pm avec 1 ≤ m ≤ p − 1. En appliquant le lemme de Cauchy, on en déduit l’existence d’un élément de Gal(L/K) d’ordre p; comme les seules permutations d’ordre p dans 𝔖_{p} sont les permutations circulaires (i.e. les p-cycles), le groupe Gal(L/K), identifié à un groupe de permutations des racines de P dans L, contient une permutation circulaire.

Soient H et H′ deux sous-groupes de G = Gal(L/K) d’ordre p. Si H ≠ H′, H ∩ H′= {1} et la projection canonique G → G/Hrinduit une injection de H′dans G/Hr; comme l’ensemble d’arrivée est de cardinal m < p, ceci est impossible et donc H = H′. Toutes les permutations circulaires contenues dans Gal(L/K) engendrent donc le même sous-groupe.

(iii) Soit τ une permutation circulaire contenue dans Gal(L/K). Le sous-groupe H = Gal(L/K(α)) de Gal(L/K) étant d’ordre m < p, ⟨τ⟩ ∩ H = {1} et donc α,τ(α),...,τ^{p−1} (α) sont les p racines de P dans L ; quitte à remplacer τ par une puissance convenable, on peut en outre supposer que l’on a β = τ(α).

Le groupe Gal(L/K(α)) est abélien : en effet, étant donnés σ_{1},σ_{2} ∈ Gal(L/K(α)), il existe des entiers i_{1},i_{2} ∈ (ℤ/pℤ)^{×} tels que σ_{1}τ = τ^{i_{1}}σ_{1} et σ_{2}τ = τ^{i_{2}}σ_{2} ; on a alors

σ_{1}σ_{2}(α) = σ_{2}σ_{1}(α) = α

et

σ_{1}σ_{2}(β) = σ_{1}σ_{2}τ(α)
= σ_{1}τ^{i_{2}}σ_{2}(α)
= σ_{1}τ^{i_{2}}(α)
= τ^{i_{1}i_{2}}σ_{1}(α)
= τ^{i_{1}i_{2}}(α)
= σ_{2}σ_{1}(β),

donc σ_{1}σ_{2} = σ_{2}σ_{1}.

Nous pouvons maintenant conclure. Notant Z le sous-groupe distingué de Gal(L/K) engendré par les permutations circulaires, Z est cyclique d’ordre p et la projection canonique Gal(L/K) → Gal(L/K)/Z induit un isomorphisme de Gal(L/K(α)) sur le quotient Gal(L/K)/Z ; nous en déduisons que ce dernier groupe est abélien, ce qui établit que le groupe Gal(L/K) est résoluble.

4. Supposons que le groupe Gal(L/K) soit résoluble et considérons deux racines distinctes α,β de P dans L. Vu la question 2, un élément non trivial de Gal(L/K) fixe au plus une racine de P dans L ; il en découle Gal(L/K(α,β)) = {1} et donc L = K(α,β).

Exercice 3 — I. Soit f ∈ K[T] un polynôme séparable et soit R l’ensemble de ses racines dans un corps de décomposition K′; on identifie G = Gal(K′/K) à un sous-groupe de 𝔖(R).

Étant données des indéterminées Y_{i}, i ∈ I, le groupe Gal(K′/K) opère naturellement sur l’anneau K′[(Y_{i})_{i∈I}] via

σ ( ∑_{ν} a_{ν}Y^{ν}) = ∑_{ν} σ(a_{ν})Y^{ν}.

On a clairement K′[(Y_{i})_{i∈I}]^{G} = K[(Y_{i})_{i∈I}] : en effet, l’inclusion évidente K((Y_{i})_{i∈I}) ⊂ K′((Y_{i})_{i∈I})^{G} est une égalité car

[K′((Y_{i})_{i∈I}) : K((Y_{i})_{i∈I})] = [K′: K] = Card(G) = [K′((Y_{i})_{i∈I}) : K′((Y_{i})_{i∈I})^{G}]

et

K′[(Y_{i})_{i∈I}]^{G} = K′[(Y_{i})_{i∈I}] ∩ K′((Y_{i})_{i∈I})^{G} = K[(Y_{i})_{i∈I}].

1. Quelles que soient les permutations σ,τ ∈ 𝔖(R),

τ(L_{σ}) = ∑_{ξ∈R} τ(ξ)Y_{σ^{−1} (ξ)} = ∑_{ξ∈R} ξY_{σ^{−1} τ^{−1} (ξ)} = ∑_{ξ∈R} ξY_{(τσ)^{−1} (ξ)} = L_{τσ};

on en déduit immédiatement que les polynômes Π_{f} et Θ_{f} appartiennent à l’anneau K′[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ]^{G}= K[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ]. En outre, si l’on désigne par X un ensemble de représentants des classes à gauche modulo G dans 𝔖(R),

Π_{f} = ∏_{σ∈𝔖(R)} (Y − L_{σ}) = ∏_{σ∈X} ∏_{τ∈G}(Y − L_{τσ}) = ∏_{σ∈X} ∏_{τ∈G}(Y − τ(L_{σ}));

chacun des facteurs ∏ _{τ∈G}(Y − τ(L_{σ})) est manifestement invariant sous l’action de G, donc appartient à l’anneau K[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ], et il est irréductible puisque le groupe de Galois G de l’extension K′((Y_{ξ})_{ξ∈R} )/K((Y_{ξ})_{ξ∈R} ) opère transitivement sur l’ensemble de ses racines de ce polynôme dans K′((Y_{ξ})_{ξ∈R} ). En particulier : le polynôme Θ_{f} est un facteur irréductible de Π_{f} dans K[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ].

2. Vu la décomposition de Π_{f} en produit de facteurs irréductibles dans K[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ], il est manifeste que le groupe 𝔖(R) opère transitivement sur l’ensemble des facteurs irréductibles de Π_{f} dans K[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ] et que le sous-groupe G est le fixateur du facteur Θ_{f} dans 𝔖(R).

II. On suppose maintenant K = ℚ et f ∈ ℤ[T], unitaire de degré d.

1. Le polynôme f étant unitaire et à coefficients entiers, ses racines sont des entiers algébriques. Les coefficients des polynômes Π_{f} et Θ_{f} sont par conséquent des entiers algébriques et, comme ils sont par ailleurs rationnels, il s’agit de nombres entiers puisque l’anneau ℤ est intégralement clos.

2. (i) Si l’on considère les racines ξ de f comme des indéterminées, le polynôme

∏_{σ∈𝔖(R)} ( Y − ∑_{ξ∈R} ξY_{σ^{−1} (ξ)})

est à coefficients dans l’anneau ℤ[Σ_{1},...,Σ_{d}], où Σ_{i} est la i-ème fonction symétrique élémentaire des ξ ∈ R :

Σ_{i} = ∑_{I⊂R, Card(I)=1} ∏_{ξ∈I} ξ.

On a de même

∏_{σ∈𝔖(R_{p})} ( Y − ∑_{ζ∈R_{p}} ζY_{σ^{−1} (ζ)}) ∈ ℤ[Z_{1},...,Z_{d}][Y,(Y_{ζ})_{ζ∈R_{p}} ],

où Z_{1},...,Z_{d} sont les fonctions symétriques élémentaires des ζ ∈ R_{p}. Quelle que soit la bijection φ : R → R_{p} permettant d’identifier les anneaux ℤ[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ] et ℤ[Y,(Y_{ζ})_{ζ∈R_{p}} ], Z_{i} est la réduction de Σ_{i} modulo p et le polynôme Π\overline{f} est donc la réduction du polynôme Π_{f} modulo p.

On a vu que le groupe 𝔖(R) opére transitivement sur l’ensemble des facteurs irréductibles de Π_{f} dans ℤ[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ] ; toute bijection φ : R → R_{p} induisant un isomorphisme du groupe 𝔖(R) sur le groupe 𝔖(R_{p}), ce dernier opère donc transitivement sur les réductions modulo p des facteurs irréductibles de Π_{f}.

(ii) Il existe évidemment un unique facteur irréductible de Π_{f} dont la réduction est divisible par Θ\overline{f}. Par suite, si Θ\overline{f} divise la réduction \overline{Θ_{f}} de Θ_{f} modulo p, alors toute permutation de R_{p} fixant le facteur Θ\overline{f} de Π\overline{f} = \overline{Π_{f}} fixe nécessairement le facteur \overline{Θ_{f}} ; ainsi, quelle que soit la bijection admissible φ : R → R_{p}, l’homomorphisme 𝔖(R_{p}) → 𝔖(R), σ ↦ φ^{−1} σφ envoie le stabilisateur de Θ\overline{f} dans celui de Θ_{f}, c’est-à-dire le groupe de Galois Gal(𝔽_{p}(R_{p})/𝔽_{p}) de \overline{f} dans le groupe de Galois Gal(K(R)/K) de f.

(iii) Fixons une bijection φ : R → R_{p} et utilisons-là pour identifier les anneaux ℤ[Y,(Y_{ξ})_{ξ∈R} ] et ℤ[Y,(Y_{ζ})_{ζ∈R_{p}} ]. Si Q est un facteur irréductible de Π\overline{f} divisant la réduction de Θ_{f} modulo p, l’isomorphisme 𝔖(R_{p}) → 𝔖(R), σ ↦ φ^{−1} σφ envoie le stabilisateur H de Q dans Gal(K′/ℚ) ; comme H = τ^{−1} Gal(𝔽_{p}(R_{p})/𝔽_{p})τ pour une permutation convenable τ ∈ 𝔖(R_{p}) en vertu de la question I.1, l’homomorphisme 𝔖(R_{p}) → 𝔖(R), σ ↦ φ^{−1} τ^{−1} στφ envoie Gal(𝔽_{p}(R_{p})/𝔽_{p}) dans Gal(K′/ℚ) et la bijection τ ∘ φ de R sur R_{p} est admissible.

Il est clair que deux bijections admissibles induisent des homomorphismes de 𝔖(R_{p}) dans 𝔖(R) qui envoient Gal(𝔽_{p}(R_{p})/𝔽_{p}) sur deux sous-groupes conjugués de G ⊣↕(K′/ℚ).

III. 1. Soit f ∈ ℤ[T] un polynôme unitaire de degré n et soit G le groupe de Galois d’un corps de décomposition de f, que l’on identifie à un sous-groupe du groupe symétrique 𝔖_{n}.

– L’irréductibilité de f (modp_{1}) implique l’irréductibilité de f dans ℚ[T] et donc la transitivité du sous-groupe G de 𝔖_{n}.

– L’automorphisme de Frobenius σ_{p_{2}} : x ↦ x^{p_{2}} détermine un élément du groupe de Galois du polynôme f(modp_{2}) de la forme tc ou tcc′, t étant une transposition et c, c′étant deux cycles de longueur impaire ; σ_{p_{2}}^{ord(c)ord(c′)} est alors une transposition et, identifiant le groupe de Galois de f(mod p_{2}) à un sous-groupe de G (cf. partie II), nous en déduisons que le groupe G contient une transposition.

– En raisonnant comme précédemment, on déduit de l’hypothèse sur f(modp_{3}) que le groupe G contient un cycle de longueur n − 1.

Tout sous-groupe transitif G de 𝔖_{n} contenant une transposition t et un n − 1-cycle c est nécessairement égal à 𝔖_{n}.

– Si le support de t n’est pas contenu dans celui de c, alors t = (i,j) avec c(i) = i, c^{k}tc^{−k} = (c^{k}(i),c^{k}(j)) = (i,c^{k}(j)) pour tout entier k ≥ 1 et G contient donc toutes les transpositions de la forme (i,ℓ) avec ℓ ∈ {1,...,n}−{i}; ces dernières engendrant le groupe 𝔖_{n}, G = 𝔖_{n}.

– Si le support de t est contenu dans celui de c, la transitivité de G garantit l’existence d’un élément g de G tel que t = (i,j) et g(i) ∉ Supp(c) ; il suffit alors de remplacer t par la transposition gtg^{−1} = (g(i),g(j)) pour être ramené au cas précédent.

Remarque : lorsque n = p est un nombre premier, il suffit d’avoir la première et la deuxième des trois conditions précédentes car une transposition t et un p-cycle c engendrent le groupe 𝔖_{p} : en effet, si t = (1,2), il existe un entier k ≥ 1 tel que c^{k}(1) = 2 et donc, quitte à remplacer c par c^{k}, on peut supposer c = (1,2,...) ; on a alors t_{j} = c^{j}tc^{−j} = (c^{j}(1),c^{j}(2)) = (c^{j−1} (2),c^{j}(2)) pout tout j ≥ 1 et, comme les p entiers c^{0}(2),c(2),...,c^{p−1} (2) sont tous distincts, il existe une permutation σ ∈ 𝔖_{p} telle que t_{j} = σ(j + 1,j + 2) pour tout j ∈ {0,...,p − 2}, ce qui prouve que t et c engendrent 𝔖_{p}.

2. La décomposition du polynôme T^{5}− T − 1 en produit de facteurs irréductibles dans 𝔽_{2}[T] est

T^{5}− T − 1 = (T^{2}− T − 1)(T^{3}+ T^{2}+ 1).

Ce polynôme est par ailleurs irréductible dans 𝔽_{3}[T] : en effet, si tel n’était pas le cas, il possèderait alors une racine ξ dans 𝔽_{9} ; comme T^{9}−T = (T^{5}−T−1)(T^{4}+1)+T^{4}+1, ξ serait racine de T^{4}+1, et donc racine double de T^{9}−T puique T^{4}+ 1|T^{9}− T...

Le polynôme T^{7}− T − 1 est irréductible dans 𝔽_{2}[T] : en effet, comme

T^{8}− T = (T^{7}− T − 1)T + T^{2},

T^{7}− T − 1 est premier au polynôme T^{8}− T et n’admet donc aucune racine dans 𝔽_{8}. Vu les identités

T^{9}− T = T^{2}(T^{7}− T − 1) + T(T^{2}+ T − 1) et T^{9}− T = T(T − 1)(T + 1)(T^{2}+ 1)(T^{2}+ T − 1)(T^{2}+ 2T − 1)

dans 𝔽_{3}[T], T^{2}+T−1 est un facteur irréductible de T^{7}−T−1 dans 𝔽_{3}[T] et l’autre facteur, de degré 5 est irréductible puisqu’il est manifestement premier à T^{9}− T et n’admet donc aucune racine dans 𝔽_{9}.

Vu la remarque faite à l’issue de la question précédente, l’analyse que nous venons de faire prouve que les groupes de Galois des polynômes T^{5}− T − 1 et T^{7}− T − 1 sont respectivement 𝔖_{5} et 𝔖_{7}.

Exercice 4 — 1. L’application 𝔽_{p^{n}} → 𝔽_{p}[T] associant à ξ son polynôme minimal sur 𝔽_{p}, induit une bijection entre l’ensemble des orbites de Gal(𝔽_{p^{n}}/𝔽_{p}) sur 𝔽_{p^{n}} − ⋃_{m|n,m≠n}𝔽_{p^{m}} et l’ensemble des polynômes unitaires et irréductibles de degré n dans 𝔽_{p}[T]. Notant λ_{1}(n,p) le nombre de ces derniers, on a donc

λ_{1}(n,p) = \frac{1}{n}( p^{n}− ∑_{m|n, m≠n}p^{m}) ≥ \frac{1}{n}( p^{n}− ∑_{m=0}^{n−1} p^{m}) ≥ \frac{1}{n}( p^{n}− \frac{p^{n}}{p − 1} ) ≥ \frac{p^{n}}{2n}

dès que p ≥ 3.

Selon un raisonnement totalement analogue, le nombre λ_{3}(n,p) des polynômes unitaires f ∈ 𝔽_{p}[T], de degré n et s’écrivant comme le produit d’un facteur linéaire et d’un facteur irréductible de degré n − 1 vérifie :

λ_{3}(n,p) ≥ p\frac{p^{n−1}}{2(n − 1)} = \frac{p^{n}}{2(n − 1)} .

Enfin, le nombre λ_{2}(n,p) de polynômes unitaires f ∈ 𝔽_{p}[T], de degré n et s’écrivant sous la forme f = qa ou f = qab avec q, a, b unitaires et irréductibles, deg(q) = 2 et deg(a), deg(b) impairs vérifie :

λ_{2}(n,p) ≥ \frac{p^{2}}{4} max( \frac{p^{n−2}}{2(n − 2)} , ∑_{a,b impairs, a+b=n−2} \frac{p^{a}}{2a} \frac{p^{b}}{2b}) ≥ \frac{p^{2}}{4} \frac{p^{n−2}}{2(n − 2)} = \frac{p^{n}}{8(n − 2)} .

Posant k(n) = max(2n,8(n − 2)), nous obtenons finalement la minoration

λ_{i}(n,p) ≥ \frac{p^{n}}{k(n)}

pour tout i ∈ {1,2,3} et tout nombre premier p ≥ 3.

2. Soit i ∈ {1,2,3}. L’homomorphisme canonique ℤ/Pℤ → ∏ _{i=1}^{r} ℤ/p_{i}ℤ étant un isomorphisme, tout polynôme unitaire de degré n dans ℤ/Pℤ[T] est uniquement déterminé par ses réductions modulo les r nombres premiers p_{1},...,p_{r}; on en déduit immédiatement que le nombre de ces polynômes dont aucune des réductions modulo p_{1},...,p_{r} n’est de type (i) est minoré par

∏_{j=1}^{r} ( p_{i}^{n}− \frac{p_{j}^{n}}{k(n)}) = ( 1 − \frac{1}{k(n)}) ^{r} ∏_{j=1}^{r} p_{j}^{n} = ( 1 − \frac{1}{k(n)}) ^{r}P^{n}.

3. Quel que soit l’entier naturel N ≥ 3, il découle de l’exercice précédent que σ_{n}(N) est minoré par le nombre σ′_{n}(N) des polynômes unitaires et de degré n f ∈ ℤ[T], dont les coefficients sont majorés par N en valeur absolue et tels qu’il existe, pour tout i ∈ {1,2,3}, un nombre premier parmi p_{1},...,p_{r(N)} modulo lequel f est de type (i). Désignant par P le produit des nombres premiers p_{1},...,p_{r(N)}, on a manifestement

σ′_{n}(N) ≥ (2N + 1)^{n}− 3( 1 − \frac{1}{k(n)}) ^{r(N)}P^{n} ≥ (2N + 1)^{n}− 3( 1 − \frac{1}{k(n)}) ^{r(N)}N^{n},

donc

\frac{σ_{n}(N)}{(2N + 1)^{n}} ≥ 1 − 3( 1 − \frac{1}{k(n)}) ^{r(N)}( \frac{N}{2N + 1} ) ^{n} ≥ 1 − 3( 1 − \frac{1}{k(n)}) ^{r(N)}.

Comme r(N) tend vers +∞ avec N, on en conclut :

lim_{N} \frac{σ_{n}(N)}{(2N + 1)^{n}} = 1.