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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2007} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\thispagestyle{empty}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
{\bfseries \scshape Th\'eorie de Galois III - Corrig\'e}
\end{center}


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 1} --- 1. Fixons une racine $x$ de $\T^p - \T + a$ dans $\Lr$. Quel que soit l'\'el\'ement $u$ de $\mathbb{F}_p$, $(x+u)^p - (x+u) = x^p +u^p - (x+u) = x^p -x$ et les racines de $\T^p - \T +a$ dans $\Lr$ sont donc les $p$ \'el\'ements $x+u$, $u \in \mathbb{F}_p$. On en d\'eduit une application injective $$\mathrm{Gal}(\Lr/\K) \rightarrow \mathbb{F}_p, \ \ \sigma \mapsto \sigma(x) - x,$$ qui est manifestement un homomorphisme de groupes puisque $$(\sigma \tau) (x) - x = \sigma(\tau(x) - x) + \sigma(x) - x = \tau(x) - x + \sigma(x) - x$$ car $\tau(x) - x \in \mathbb{F}_p \subset \K$.

Il y a deux possibilit\'es : \begin{itemize} \item si $\mathrm{Gal}(\Lr/K) = \{1\}$, alors le polyn\^ome $\T^p - \T +a$ est scind\'e sur $\K$ ; \item si $\mathrm{Gal}(\Lr/\K) \simeq \mathbb{F}_p$, alors $[\Lr:\K] = p$ et, puisque $\Lr$ est un corps de rupture du polyn\^ome $\T^p - \T +a$, celui-ci est irr\'eductible sur $\K$. \end{itemize}

\vspace{0.1cm} 2. (i) Le groupe de Galois $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ est constitu\'e des $p$ automorphismes $\sigma^n : \Lr \rightarrow \Lr$, $0 \leq n \leq p-1$. En vertu du lemme de Dedekind, ces automorphismes sont lin\'eairement ind\'ependants sur $\Lr$ et il existe donc un \'el\'ement $y$ de $\Lr$ tel que $$z = \sum_{n=0}^{p-1}\sigma^n(y) \neq 0.$$ On a par ailleurs $$(\sigma - \mathrm{id}_{\Lr})\left(\sum_{n=0}^{p-1}\sigma^n(y)\right) = \sigma^p(y) - y = 0,$$ ce qui prouve que $z$ est un \'el\'ement non nul de $\K$ ; il reste \`a poser $x = z^{-1}y$ pour obtenir un \'el\'ement de $\Lr$ tel que $\sum_{n=0}^{p-1}\sigma^n(x)=1$.

(ii) On a \begin{eqnarray*} \sigma(\alpha) & =  & \sum_{n=0}^{p-1} n\sigma^{n+1}(x) \\ & = & \sum_{n=0}^{p-1}(n+1)\sigma^{n+1}(x) - \sigma_{n=0}^{p-1}\sigma^n(x) \\ & = & \sum_{n=0}^{p-1} n\sigma^n(x) - x + \sigma^p(x) - \sum_{n=0}^{p-1}\sigma^n(x) \\ & = & \alpha - 1, \end{eqnarray*} ce qui prouve que $\alpha$ n'appartient pas au corps $\K$ ; d'autre part, comme $$\sigma(\alpha^p - \alpha) = \sigma(\alpha)^p - \sigma(\alpha) = (\alpha - 1)^p - (\alpha - 1) = \alpha^p - \alpha,$$ $a = \alpha^p - \alpha \in \K$. En vertu de la premi\`ere question, le corps de d\'ecomposition $\K(\alpha)$ du polyn\^ome $\T^p - \T + a$ dans $\Lr$ est une extension de $\K$ de degr\'e $p$ ; puisque $[\Lr:\K] = p$, $\Lr = \K(\alpha)$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- 1. L'ensemble $\mathfrak{B}_p$ des permutations de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ de la forme $x \mapsto \sigma_{a,b}(x) = ax+b$, $a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$, $b \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, est clairement un sous-groupe de $\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ de cardinal $p(p-1)$.

Vu l'identit\'e $$\sigma_{a,b}\sigma_{c,d}\sigma_{a,b}^{-1} = \sigma_{a,b} \sigma_{c,d} \sigma_{a^{-1}, -a^{-1}b} = \sigma_{c, ad-bc+b},$$ les permuations $\sigma_{1,b}, \ b \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, constituent un sous-groupe distingu\'e $\mathfrak{C}_p$ de $\mathfrak{B}_p$, cyclique et d'ordre $p$. Le quotient $\mathfrak{B}_p/\mathfrak{C}_p$ est isomorphe au sous-groupe de $\mathfrak{B}_p$ constitu\'e des permutations de la forme $\sigma_{a, 0}$, $a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) {\times}$ ; il s'agit donc d'un groupe cyclique d'ordre $p-1$ et la suite de composition $$1 \triangleleft \mathfrak{C}_p \triangleleft \mathfrak{B}_p$$ \`a quotients cycliques montre que le groupe $\mathfrak{B}_p$ est r\'esoluble.

Quels que soient $a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$, $b \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, $$\sigma_{a,b}^n = \sigma_{a^n, (a^{n-1} + \ldots + a + 1)b}$$ pour tout entier naturel $n \geq 1$. On a donc $$\sigma_{a,b}^p = \left\{\begin{array}{ll} \sigma_{a,b} & \textrm{ si } a \neq 1 \\ \sigma_{1,0} = 1 & \textrm{ si } a = 1 \end{array} \right. ,$$ ce qui prouve que la permutation $\sigma_{a,b}$ est d'ordre $p$ si et seulement si $a = 1$ et $b \neq 0$.

\vspace{0.1cm} 2. (i) Soient $\G$ un sous-groupe \emph{transitif} de $\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ et $\Hr$ un sous-groupe distingu\'e de $\G$. Quel que soient $i, j \in \{1, \ldots, p\}$, les sous-groupes de $\Hr$ fixant respectivement $i$ et $j$ sont conjugu\'es dans $\G$ et on par cons\'equent le m\^eme cardinal ; les orbites de $\Hr$ sur $\{0, \ldots, p-1\}$ ont ainsi le m\^eme cardinal, lequel doit diviser $p$. Il en d\'ecoule que l'op\'eration de $\Hr$ sur $\{0, \ldots, p-1\}$ est soit triviale, soit transitive ; en particulier, le sous-groupe $\Hr$ de $\G$ op\`ere transitivement sur $\{1, \ldots p\}$ s'il n'est pas trivial.

En appliquant successivement cet argument aux sous-groupes $\G_{i+1}$ et $\G_i$ \`a partir de $i=r-1$, on en d\'eduit que le sous-groupe $\G_1$ de $\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ op\`ere transitivement sur $\{0, \ldots, p-1\}$. Soit finalement $\tau \in \mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ une permutation engendrant le groupe $\G_1$ ; les supports des cycles intervenant dans la d\'ecomposition de $\tau$ \'etant manifestement stables sous toutes les puissances de $\tau$, le groupe $\G_1$ ne peut op\'erer transitivement sur $\{1, \ldots, p\}$ que si $\tau$ est un $p$-cycle.


(ii) Si l'on note $\sigma$ la permutation de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ d\'efinie par $\sigma(i) = \tau^{i}(0)$ ($1 \leq i \leq p-1$), $\sigma^{-1} \G_1 \sigma$ est le sous-groupe cyclique de $\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ engendr\'e par la permutation $\sigma_{1,1}$ : $\sigma^{-1} \G_1 \sigma = \mathfrak{C}_p$.

Soit $\lambda \in \sigma^{-1}\G_2\sigma$ une permutation dont l'image engendre le groupe cyclique $(\sigma^{-1}\G_2\sigma)/(\sigma^{-1}\G_1\sigma)$. Puisque le sous-groupe $\sigma^{-1}\G_1 \sigma= \langle \sigma_{1,1} \rangle$ est distingu\'e dans $\sigma^{-1}G_2\sigma$, il existe $a \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ tel que $\lambda\sigma\lambda^{-1} = \sigma_{1,1}^a = \sigma_{1,a}$ et donc $$\lambda(x+1) = \lambda\sigma_{1,1}(x) = \sigma_{1,a}\lambda(x) = \lambda(x) + a$$ puis $\lambda(x) = ax + \lambda(0)$ pour tout $x \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, ce qui prouve que le sous-groupe $\sigma^{-1}\G_2 \sigma$ de $\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ est contenu dans $\mathfrak{B}_p$.

(iii) Il est clair que $\mathfrak{C}_p$ est l'unique sous-groupe cyclique d'ordre $p$ de $\mathfrak{B}_p$. Vu ce qui pr\'ec\`ede, on en d\'eduit que $\G_1$ est l'unique sous-groupe cyclique d'ordre $p$ de $\G_2$ ; il s'agit donc d'un sous-groupe \emph{caract\'eristique} (i.e. stable sous tout automorphisme) de $\G_2$ et $\G_1$ est par cons\'equent un sous-groupe distingu\'e de $\G_3$. En appliquant le raisonnement de la question (ii), on \'etablit \`a partir de l\`a que le groupe $\sigma^{-1}\G_3 \sigma$ est contenu dans $\mathfrak{B}_p$. En it\'erant $r-2$ fois ce raisonnement, on obtient finalement que $\G_1$ est un sous-groupe distingu\'e de $\G$, puis que $\sigma^{-1}\G \sigma$ est contenu dans le sous-groupe $\mathfrak{B}_p$ de $\mathfrak{S}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$.

\vspace{0.1cm} 3. (i) Le polyn\^ome minimal de $\beta$ sur $\K(\alpha)$ est un diviseur strict du polyn\^ome $\rP$, de sorte que $[\K(\alpha, \beta) : \K(\alpha)] \leq p-1$. L'irr\'eductibilit\'e de $\rP$ sur $\K$ garantit par ailleurs que l'on a $[\K(\alpha):\K] =p$, d'o\`u finalement $$[\Lr:\K] = [\K(\alpha, \beta):\K] = [\K(\alpha, \beta) : \K(\alpha)][\K(\alpha):\K] \leq p(p-1).$$

(ii) L'extension interm\'ediaire $\K(\alpha)/\K$ \'etant de degr\'e $p$, l'ordre du groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ est de la forme $pm$ avec $1 \leq m \leq p-1$. En appliquant le lemme de Cauchy, on en d\'eduit l'existence d'un \'el\'ement de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ d'ordre $p$ ; comme les seules permutations d'ordre $p$ dans $\mathfrak{S}_p$ sont les permutations circulaires (i.e. les $p$-cycles), le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$, identifi\'e \`a un groupe de permutations des racines de $\rP$ dans $\Lr$, contient une permutation circulaire.

Soient $\Hr$ et $\Hr'$ deux sous-groupes de $\G = \mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ d'ordre $p$. Si $\Hr \neq \Hr'$, $\Hr \cap \Hr' = \{1\}$ et la projection canonique $\G \rightarrow \G /\mathrm{Hr}$ induit une injection de $\Hr'$ dans $\G/\mathrm{Hr}$ ; comme l'ensemble d'arriv\'ee est de cardinal $m < p$, ceci est impossible et donc $\Hr = \Hr'$. Toutes les permutations circulaires contenues dans $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ engendrent donc le m\^eme sous-groupe.

(iii) Soit $\tau$ une permutation circulaire contenue dans $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$. Le sous-groupe $\Hr = \mathrm{Gal}(\Lr/\K(\alpha))$ de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ \'etant d'ordre $m < p$, $\langle \tau \rangle \cap \Hr = \{1\}$ et donc $\alpha, \tau(\alpha), \ldots, \tau^{p-1}(\alpha)$ sont les $p$ racines de $\rP$ dans $\Lr$ ; quitte \`a remplacer $\tau$ par une puissance convenable, on peut en outre supposer que l'on a $\beta = \tau(\alpha)$.

Le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K(\alpha))$ est ab\'elien : en effet, \'etant donn\'es $\sigma_1, \sigma_2 \in \mathrm{Gal}(\Lr/\K(\alpha))$, il existe des entiers $i_1, i_2 \in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ tels que $\sigma_1 \tau  = \tau^{i_1} \sigma_1$ et $\sigma_2 \tau = \tau^{i_2}\sigma_2$ ; on a alors $$\sigma_1 \sigma_2 (\alpha) = \sigma_2 \sigma_1(\alpha) = \alpha$$ et \begin{eqnarray*} \sigma_1 \sigma_2(\beta) & = & \sigma_1 \sigma_2 \tau (\alpha) \\ & = & \sigma_1 \tau^{i_2}\sigma_2(\alpha) \\ & = & \sigma_1 \tau^{i_2}(\alpha) \\ & = & \tau^{i_1 i_2} \sigma_1(\alpha) \\ & = & \tau^{i_1 i_2}(\alpha) \\ & = & \sigma_2 \sigma_1 (\beta), \end{eqnarray*} donc $\sigma_1 \sigma_2 = \sigma_2 \sigma_1$.

Nous pouvons maintenant conclure. Notant $\Z$ le sous-groupe distingu\'e de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ engendr\'e par les permutations circulaires, $\Z$ est cyclique d'ordre $p$ et la projection canonique $\mathrm{Gal}(\Lr/\K) \rightarrow \mathrm{Gal}(\Lr/\K)/\Z$ induit un isomorphisme de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K(\alpha))$ sur le quotient $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)/\Z$ ; nous en d\'eduisons que ce dernier groupe est ab\'elien, ce qui \'etablit que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ est r\'esoluble.

\vspace{0.1cm} 4. Supposons que le groupe $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ soit r\'esoluble et consid\'erons deux racines distinctes $\alpha, \beta$ de $\rP$ dans $\Lr$. Vu la question 2, un \'el\'ement non trivial de $\mathrm{Gal}(\Lr/\K)$ fixe au plus une racine de $\rP$ dans $\Lr$ ; il en d\'ecoule $\mathrm{Gal}(\Lr/\K(\alpha, \beta)) = \{1\}$ et donc $\Lr = \K(\alpha, \beta)$.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 3} --- I. Soit $f \in \K[\T]$ un polyn\^ome s\'eparable et soit $\mathcal{R}$ l'ensemble de ses racines dans un corps de d\'ecomposition $\K'$ ; on identifie $\G = \mathrm{Gal}(\K'/\K)$ \`a un sous-groupe de $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$.

\'Etant donn\'ees des ind\'etermin\'ees $\Y_i$, $i \in \Ir$, le groupe $\mathrm{Gal}(\K'/\K)$ op\`ere naturellement sur l'anneau $\K'[(\Y_i)_{i \in \Ir}]$ via $$\sigma \left(\sum_{\nu} a_{\nu} \Y^{\nu} \right) = \sum_{\nu} \sigma(a_{\nu}) \Y^{\nu}.$$ On a clairement $\K'[(\Y_i)_{i \in \Ir}]^{\G} = \K[(\Y_i)_{i \in \Ir}]$ : en effet, l'inclusion \'evidente $K((\Y_i)_{i \in \Ir}) \subset \K'((\Y_i)_{i \in \Ir})^{\G}$ est une \'egalit\'e car $$[\K'((\Y_i)_{i \in \Ir}):\K((\Y_i)_{i \in \Ir})] = [\K':\K] = \mathrm{Card}(\G) = [\K'((\Y_i)_{i \in \Ir}) : \K'((\Y_i)_{i \in \Ir})^{\G}]$$ et $$\K'[(\Y_i)_{i\in\Ir}]^{\G} = \K'[(\Y_i)_{i \in \Ir}] \cap \K'((\Y_i)_{i \in \Ir})^{\G} = \K[(\Y_i)_{i \in \Ir}].$$

1. Quelles que soient les permutations $\sigma, \tau \in \mathfrak{S}(\mathcal{R})$, $$\tau (\Lr_{\sigma}) = \sum_{\xi \in \mathcal{R}} \tau(\xi)\Y_{\sigma^{-1}(\xi)} = \sum_{\xi \in \mathcal{R}} \xi \Y_{\sigma^{-1}\tau^{-1}(\xi)} = \sum_{\xi \in \mathcal{R}} \xi \Y_{(\tau \sigma)^{-1}(\xi)} = \Lr_{\tau \sigma} ;$$ on en d\'eduit imm\'ediatement que les polyn\^omes $\Pi_{f}$ et $\Theta_f$ appartiennent \`a l'anneau $\K'[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]^{\G} = \K[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$. En outre, si l'on d\'esigne par $\X$ un ensemble de repr\'esentants des classes \`a gauche modulo $\G$ dans $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$, $$\Pi_f = \prod_{\sigma \in \mathfrak{S}(\mathcal{R})}(\Y - \Lr_{\sigma}) = \prod_{\sigma \in \X} \prod_{\tau \in \G} (\Y - \Lr_{\tau \sigma}) = \prod_{\sigma \in \X} \prod_{\tau \in \G}(\Y - \tau(\Lr_{\sigma})) ;$$ chacun des facteurs $\prod_{\tau \in \G} (\Y - \tau(\Lr_{\sigma}))$ est manifestement invariant sous l'action de $\G$, donc appartient \`a l'anneau $\K[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$, et il est irr\'eductible puisque le groupe de Galois $\G$ de l'extension $\K'((\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}})/\K((\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}})$ op\`ere transitivement sur l'ensemble de ses racines de ce polyn\^ome dans $\K'((\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}})$. En particulier : le polyn\^ome $\Theta_f$ est un facteur irr\'eductible de $\Pi_f$ dans $\K[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$.

\vspace{0.1cm} 2. Vu la d\'ecomposition de $\Pi_f$ en produit de facteurs irr\'eductibles dans $\K[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$, il est manifeste que le groupe $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$ op\`ere  transitivement sur l'ensemble des facteurs irr\'eductibles de $\Pi_f$ dans $\K[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$ et que le sous-groupe $\G$ est le fixateur du facteur $\Theta_f$ dans $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$.

\vspace{0.1cm} II. On suppose maintenant $\K = \mathbb{Q}$ et $f \in \mathbb{Z}[\T]$, unitaire de degr\'e $d$.

\vspace{0.1cm} 1. Le polyn\^ome $f$ \'etant unitaire et \`a coefficients entiers, ses racines sont des entiers alg\'ebriques. Les coefficients des polyn\^omes $\Pi_f$ et $\Theta_f$ sont par cons\'equent des entiers alg\'ebriques et, comme ils sont par ailleurs rationnels, il s'agit de nombres entiers puisque l'anneau $\mathbb{Z}$ est int\'egralement clos.

\vspace{0.1cm} 2. (i) Si l'on consid\`ere les racines $\xi$ de $f$ comme des ind\'etermin\'ees, le polyn\^ome $$\prod_{\sigma \in \mathfrak{S}(\mathcal{R})} \left(\Y - \sum_{\xi \in \mathcal{R}} \xi \Y_{\sigma^{-1}(\xi)}\right)$$ est \`a coefficients dans l'anneau $\mathbb{Z}[\Sigma_1, \ldots, \Sigma_d]$, o\`u $\Sigma_i$ est la $i$-\`eme fonction sym\'etrique \'el\'ementaire des $\xi \in \mathcal{R}$ : $$\Sigma_{i} = \sum_{\Ir \subset \mathcal{R}, \ \mathrm{Card}(\Ir) = 1} \prod_{\xi \in \Ir} \xi.$$ On a de m\^eme $$\prod_{\sigma \in \mathfrak{S}(\mathcal{R}_p)} \left(\Y - \sum_{\zeta \in \mathcal{R}_p} \zeta \Y_{\sigma^{-1}(\zeta)}\right) \in \mathbb{Z}[\Z_1, \ldots, \Z_d][\Y, (\Y_{\zeta})_{\zeta \in \mathcal{R}_p}],$$ o\`u $\Z_1, \ldots, \Z_d$ sont les fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires des $\zeta \in \mathcal{R}_p$. Quelle que soit la bijection $\varphi : \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}_p$ permettant d'identifier les anneaux $\mathbb{Z}[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$ et $\mathbb{Z}[\Y, (\Y_{\zeta})_{\zeta \in \mathcal{R}_p}]$, $\Z_i$ est la r\'eduction de $\Sigma_i$ modulo $p$ et le polyn\^ome $\Pi_{\overline{f}}$ est donc la r\'eduction du polyn\^ome $\Pi_f$ modulo $p$.

On a vu que le groupe $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$ op\'ere transitivement sur l'ensemble des facteurs irr\'eductibles de $\Pi_f$ dans $\mathbb{Z}[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$ ; toute bijection $\varphi : \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}_p$ induisant un isomorphisme du groupe $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$ sur le groupe $\mathfrak{S}(\mathcal{R}_p)$, ce dernier op\`ere donc transitivement sur les r\'eductions modulo $p$ des facteurs irr\'eductibles de $\Pi_f$.

\vspace{0.1cm} (ii) Il existe \'evidemment un unique facteur irr\'eductible de $\Pi_f$ dont la r\'eduction est divisible par $\Theta_{\overline{f}}$. Par suite, si $\Theta_{\overline{f}}$ divise la r\'eduction $\overline{\Theta_f}$ de $\Theta_f$ modulo $p$, alors toute permutation de $\mathcal{R}_p$ fixant le facteur $\Theta_{\overline{f}}$ de $\Pi_{\overline{f}} = \overline{\Pi_f}$ fixe n\'ecessairement le facteur $\overline{\Theta_f}$ ; ainsi, quelle que soit la bijection admissible $\varphi : \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}_p$, l'homomorphisme $\mathfrak{S}(\mathcal{R}_p) \rightarrow \mathfrak{S}(\mathcal{R}), \ \sigma \mapsto \varphi^{-1} \sigma \varphi$ envoie le stabilisateur de $\Theta_{\overline{f}}$ dans celui de $\Theta_f$, c'est-\`a-dire le groupe de Galois
$\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_p(\mathcal{R}_p)/\mathbb{F}_p)$ de $\overline{f}$ dans le groupe de Galois $\mathrm{Gal}(\K(\mathcal{R})/\K)$ de $f$.

\vspace{0.1cm} (iii) Fixons une bijection $\varphi : \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}_p$ et utilisons-l\`a pour identifier les anneaux $\mathbb{Z}[\Y, (\Y_{\xi})_{\xi \in \mathcal{R}}]$ et $\mathbb{Z}[\Y, (\Y_{\zeta})_{\zeta \in \mathcal{R}_p}]$. Si $\Qr$ est un facteur irr\'eductible de $\Pi_{\overline{f}}$ divisant la r\'eduction de $\Theta_f$ modulo $p$, l'isomorphisme $\mathfrak{S}(\mathcal{R}_p) \rightarrow \mathfrak{S}(\mathcal{R}), \ \sigma \mapsto \varphi^{-1} \sigma \varphi$ envoie le stabilisateur $\Hr$ de $\Qr$ dans $\mathrm{Gal}(\K'/\mathbb{Q})$ ; comme $\Hr = \tau^{-1} \mathrm{Gal}(\mathbb{F}_p(\mathcal{R}_p)/\mathbb{F}_p) \tau$ pour une permutation convenable $\tau \in \mathfrak{S}(\mathcal{R}_p)$ en vertu de la question I.1, l'homomorphisme $\mathfrak{S}(\mathcal{R}_p) \rightarrow \mathfrak{S}(\mathcal{R}), \ \sigma \mapsto \varphi^{-1}\tau^{-1} \sigma \tau \varphi$ envoie $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_p(\mathcal{R}_p)/\mathbb{F}_p)$ dans $\mathrm{Gal}(\K'/\mathbb{Q})$ et la bijection $\tau \circ \varphi$ de $\mathcal{R}$ sur $\mathcal{R}_p$ est admissible.

Il est clair que deux bijections admissibles induisent des homomorphismes de $\mathfrak{S}(\mathcal{R}_p)$ dans $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$ qui envoient $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_p(\mathcal{R}_p)/\mathbb{F}_p)$ sur deux sous-groupes conjugu\'es de $\mathcal{Gal}(\K'/\mathbb{Q})$.

\vspace{0.1cm} III. 1. Soit $f \in \mathbb{Z}[\T]$ un polyn\^ome unitaire de degr\'e $n$ et soit $\G$ le groupe de Galois d'un corps de d\'ecomposition de $f$, que l'on identifie \`a un sous-groupe du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_n$.

\begin{itemize} \item L'irr\'eductibilit\'e de $f \ (\mathrm{mod} \ p_1)$ implique l'irr\'eductibilit\'e de $f$ dans $\mathbb{Q}[\T]$ et donc la \emph{transitivit\'e} du sous-groupe $\G$ de $\mathfrak{S}_n$. \item L'automorphisme de Frobenius $\sigma_{p_2} : x \mapsto x^{p_2}$ d\'etermine un \'el\'ement du groupe de Galois du polyn\^ome $f (\mathrm{mod} \ p_2)$ de la forme $t c$ ou $tcc'$, $t$ \'etant une transposition et $c$, $c'$ \'etant deux cycles de longueur impaire ; $\sigma_{p_2}^{\mathrm{ord}(c)\mathrm{ord}(c')}$ est alors une transposition et, identifiant le groupe de Galois de $f (\mathrm{mod} \ p_2)$ \`a un sous-groupe de $\G$ (cf. partie II), nous en d\'eduisons que le groupe $\G$ contient une transposition. \item En raisonnant comme pr\'ec\'edemment, on d\'eduit de l'hypoth\`ese sur $f (\mathrm{mod} \ p_3)$ que le groupe $\G$ contient un cycle de longueur $n-1$.\end{itemize}

Tout sous-groupe transitif $\G$ de $\mathfrak{S}_n$ contenant une transposition $t$ et un $n-1$-cycle $c$ est n\'ecessairement \'egal \`a $\mathfrak{S}_n$.\begin{itemize} \item Si le support de $t$ n'est pas contenu dans celui de $c$, alors $t=(i,j)$ avec $c(i)=i$, $c^ktc^{-k} = (c^k(i), c^k(j)) = (i, c^k(j))$ pour tout entier $k \geq 1$ et $G$ contient donc toutes les transpositions de la forme $(i,\ell)$ avec $\ell \in \{1, \ldots, n\} - \{i\}$ ; ces derni\`eres engendrant le groupe $\mathfrak{S}_n$, $\G = \mathfrak{S}_n$. \item Si le support de $t$ est contenu dans celui de $c$, la transitivit\'e de $\G$ garantit l'existence d'un \'el\'ement $g$ de $\G$ tel que $t = (i,j)$ et $g(i) \notin \mathrm{Supp}(c)$ ; il suffit alors de remplacer $t$ par la transposition $gtg^{-1} = (g(i),g(j))$ pour \^etre ramen\'e au cas pr\'ec\'edent. \end{itemize}

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Remarque : lorsque $n = p$ est un nombre premier, il suffit d'avoir la premi\`ere et la deuxi\`eme des trois conditions pr\'ec\'edentes car une transposition $t$ et un $p$-cycle $c$ engendrent le groupe $\mathfrak{S}_p$ : en effet, si $t = (1,2)$, il existe un entier $k \geq 1$ tel que $c^k(1)=2$ et donc, quitte \`a remplacer $c$ par $c^k$, on peut supposer $c = (1,2, \ldots)$ ; on a alors $t_j = c^j t c^{-j} = (c^j(1),c^j(2)) = (c^{j-1}(2), c^j(2))$ pout tout $j \geq 1$ et, comme les $p$ entiers $c^0(2), c(2), \ldots, c^{p-1}(2)$ sont tous distincts, il existe une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_p$ telle que $t_j = \sigma (j+1,j+2)$ pour tout $j \in \{0, \ldots, p-2\}$, ce qui prouve que $t$ et $c$ engendrent $\mathfrak{S}_p$.}

\vspace{0.1cm} 2. La d\'ecomposition du polyn\^ome $\T^5 - \T - 1$ en produit de facteurs irr\'eductibles dans $\mathbb{F}_2[\T]$ est $$\T^5 - \T - 1 = (\T^2 - \T - 1)(\T^3 + \T^2 +1).$$ Ce polyn\^ome est par ailleurs irr\'eductible dans $\mathbb{F}_3[\T]$ : en effet, si tel n'\'etait pas le cas, il poss\`ederait alors une racine $\xi$ dans $\mathbb{F}_{9}$ ; comme $\T^9 - \T = (\T^5 - \T - 1)(\T^4+1) + \T^4+1$, $\xi$ serait racine de $\T^4+1$, et donc racine double de $\T^9 - \T$ puique $\T^4+1 | \T^9 -\T$...

Le polyn\^ome $\T^7 - \T - 1$ est irr\'eductible dans $\mathbb{F}_2[\T]$ : en effet, comme $$\T^8 - \T = (\T^7 - \T - 1)\T +\T^2,$$ $\T^7 - \T - 1$ est premier au polyn\^ome $\T^8 - \T$ et n'admet donc aucune racine dans $\mathbb{F}_8$.
Vu les identit\'es $$\T^9 - \T = \T^2(\T^7 - \T - 1) + \T(\T^2+\T-1) \ \ \textrm{et} \ \ \T^9 - \T = \T(\T-1)(\T+1)(\T^2+1)(\T^2+\T - 1)(\T^2+2\T-1)$$ dans $\mathbb{F}_3[\T]$,  $\T^2+\T-1$ est un facteur irr\'eductible de $\T^7 - \T - 1$ dans $\mathbb{F}_3[\T]$ et l'autre facteur, de degr\'e $5$ est irr\'eductible puisqu'il est manifestement premier \`a $\T^9-\T$ et n'admet donc aucune racine dans $\mathbb{F}_9$.

Vu la remarque faite \`a l'issue de la question pr\'ec\'edente, l'analyse que nous venons de faire prouve que les groupes de Galois des polyn\^omes $\T^5 - \T - 1$ et $\T^7 - \T -1$ sont respectivement $\mathfrak{S}_5$ et $\mathfrak{S}_7$.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 4} --- 1. L'application $\mathbb{F}_{p^n} \rightarrow \mathbb{F}_p[\T]$ associant \`a $\xi$ son polyn\^ome minimal sur $\mathbb{F}_p$, induit une bijection entre l'ensemble des orbites de $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)$ sur $\mathbb{F}_{p^n} - \bigcup_{m|n, m \neq n} \mathbb{F}_{p^m}$ et l'ensemble des polyn\^omes unitaires et irr\'eductibles de degr\'e $n$ dans $\mathbb{F}_p[\T]$. Notant $\lambda_1(n,p)$ le nombre de ces derniers, on a donc $$\lambda_1(n,p) = \frac{1}{n}\left(p^n - \sum_{m|n, \ m \neq n}p^m\right) \geq \frac{1}{n} \left(p^n - \sum_{m=0}^{n-1}p^m\right) \geq \frac{1}{n} \left(p^n - \frac{p^n}{p-1}\right) \geq \frac{p^n}{2n}$$ d\`es que $p \geq 3$.

Selon un raisonnement totalement analogue, le nombre $\lambda_3(n,p)$ des polyn\^omes unitaires $f \in \mathbb{F}_p[\T]$, de degr\'e $n$ et s'\'ecrivant comme le produit d'un facteur lin\'eaire et d'un facteur irr\'eductible de degr\'e $n-1$ v\'erifie : $$\lambda_3(n,p) \geq p \frac{p^{n-1}}{2(n-1)} = \frac{p^n}{2(n-1)}.$$

Enfin, le nombre $\lambda_2(n,p)$ de polyn\^omes unitaires $f \in \mathbb{F}_p[\T]$, de degr\'e $n$ et s'\'ecrivant sous la forme $f = qa$ ou $f = qab$ avec $q, \ a, \ b$ unitaires et irr\'eductibles, $\mathrm{deg}(q) = 2$ et $\mathrm{deg}(a), \ \mathrm{deg}(b)$ impairs v\'erifie : $$\lambda_2(n,p) \geq \frac{p^2}{4}\max \left(\frac{p^{n-2}}{2(n-2)}, \sum_{a, b \ \textrm{impairs}, \ a+b = n-2} \frac{p^a}{2a}\frac{p^b}{2b}\right) \geq \frac{p^2}{4}\frac{p^{n-2}}{2(n-2)} = \frac{p^n}{8(n-2)}.$$
Posant $k(n) = \max(2n, 8(n-2))$, nous obtenons finalement la minoration $$\lambda_i(n,p) \geq \frac{p^n}{k(n)}$$ pour tout $i \in \{1, 2, 3\}$ et tout nombre premier $p \geq 3$.

\vspace{0.1cm} 2. Soit $i \in \{1, 2,3\}$. L'homomorphisme canonique $\mathbb{Z}/\rP\mathbb{Z} \rightarrow \prod_{i=1}^{r} \mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}$ \'etant un isomorphisme, tout polyn\^ome unitaire de degr\'e $n$ dans $\mathbb{Z}/\rP\mathbb{Z}[\T]$ est uniquement d\'etermin\'e par ses r\'eductions modulo les $r$ nombres premiers $p_1, \ldots,p_r$ ; on en d\'eduit imm\'ediatement que le nombre de ces polyn\^omes dont aucune des r\'eductions modulo $p_1, \ldots, p_r$ n'est de type (i) est minor\'e par $$\prod_{j=1}^{r}\left(p_i^n - \frac{p_j^n}{k(n)}\right) = \left(1 - \frac{1}{k(n)}\right)^r\prod_{j=1}^{r}p_j^n = \left(1 - \frac{1}{k(n)}\right)^r \rP^n.$$

\vspace{0.1cm} 3. Quel que soit l'entier naturel $\N \geq 3$, il d\'ecoule de l'exercice pr\'ec\'edent que $\sigma_n(\N)$ est minor\'e par le nombre $\sigma'_n(\N)$ des polyn\^omes unitaires et de degr\'e $n$ $f \in \mathbb{Z}[\T]$, dont les coefficients sont major\'es par $\N$ en valeur absolue et tels qu'il existe, pour tout $i \in \{1, 2, 3\}$, un nombre premier parmi $p_1, \ldots, p_{r(\N)}$ modulo lequel $f$ est de type (i). D\'esignant par $\rP$ le produit des nombres premiers $p_1, \ldots, p_{r(\N)}$, on a manifestement $$\sigma'_n(\N) \geq (2\N+1)^n - 3\left(1 - \frac{1}{k(n)}\right)^{r(\N)} \rP^n \geq (2\N+1)^n - 3\left(1 - \frac{1}{k(n)}\right)^{r(\N)} \N^n,$$ donc $$\frac{\sigma_{n}(\N)}{(2\N+1)^n} \geq 1 - 3\left(1 - \frac{1}{k(n)}\right)^{r(\N)} \left(\frac{\N}{2\N+1}\right)^n \geq 1 - 3\left(1 - \frac{1}{k(n)}\right)^{r(\N)}.$$ Comme $r(\N)$ tend vers $+\infty$ avec $\N$, on en conclut : $$\lim_{\N} \frac{\sigma_n(\N)}{(2\N+1)^n} =1.$$
\end{document} 