\documentclass[12pt, francais]{smfart}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}

\usepackage{mysections}

\input xy
\xyoption{all}

\newcommand{\mr}{\mathrm}
\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\I}{\mathrm{I}}
\newcommand{\X}{\mathrm{X}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\R}{\mathrm{R}}
\newcommand{\Y}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\Z}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\G}{\mathrm{G}}
\newcommand{\Lr}{\mathrm{L}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\Hr}{\mathrm{H}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}

\addtolength{\hoffset}{-13mm}
\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-25mm} \addtolength{\headsep}{5mm}
\addtolength{\textwidth}{25mm} \addtolength{\textheight}{45mm}


\begin{document}

\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2008} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}
\begin{center} {\bfseries \scshape Th\'eorie de Galois}
\end{center}


\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{1. Extensions de corps}

\vspace{0.2cm} \textbf{1.1. Extensions monog\`enes}

\vspace{0.2cm} \textbf{1.2. Extensions de d\'ecomposition d'un polyn\^ome}

\vspace{0.2cm} \textbf{1.3. S\'eparabilit\'e}

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{2. Extensions galoisiennes et correspondance de Galois}

\vspace{0.3cm} \textbf{2.1. Groupe des automorphismes d'une extension}

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'ee une extension de corps $k'/k$, on note ${\rm Aut}(k'/k)$ le groupe de ses automorphismes, c'est-\`a-dire le groupe des automorphismes du corps $k'$ compatibles avec l'homomorphisme de $k$ dans $k'$.

\vspace{0.2cm} En vertu du corollaire 2, le groupe des automorphismes d'une extension finie $k'/k$ est fini et $$|{\rm Aut}(k'/k)| \leqslant [k':k].$$

\vspace{0.2cm} \noindent \emph{Exemples} --- 1. Le groupe ${\rm Aut}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ est constitu\'e de l'identit\'e et de la conjugaison complexe.

\vspace{0.1cm} 2. Le groupe ${\rm Aut}(\mathbb{Q}(^3 \sqrt{2})/\mathbb{Q})$ est r\'eduit \`a l'identit\'e car, tout automorphisme $\sigma$ de $\mathbb{Q}(^3 \sqrt{2})$ devant envoyer $^3 \sqrt{2}$ sur une racine de $\X^3 - 2$, $\sigma(^3 \sqrt{2}) = ^3 \sqrt{2}$ et $\sigma = {\rm id}$.

\vspace{0.1cm} 3. Le groupe ${\rm Aut}(\mathbb{Q}(^3\sqrt{2}, j)/\mathbb{Q})$ est d'ordre 6 (c'est le maximum possible puisque l'extension consid\'er\'ee est d'ordre 6).

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 6}} --- \emph{Une extension finie $k'/k$ est dite \emph{galoisienne} si son groupe d'automorphismes est \og aussi gros que possible \fg, c'est-\`a-dire si $$|{\rm Aut}(k'/k)| = [k':k].$$}

\vspace{0.1cm} Si une extension finie $k'/k$ est galoisienne, son groupe d'automorphismes est appel\'e le \emph{groupe de Galois} de l'extension et not\'e ${\rm Gal}(k'/k)$.

\vspace{0.2cm} \noindent \emph{Exemple} ---  Soient $p$ un nombre premier et $q = p^n$. L'extension $\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p$ est galoisienne et ${\rm Gal}(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p)$ est un groupe cyclique d'ordre $n$, engendr\'e par l'automorphisme de Frobenius. Consid\'erons en effet un g\'en\'erateur $\alpha$ du groupe multiplicatif $\mathbb{F}_q^{\times}$ ; comme $\alpha$ est d'ordre $p^n$, les $n$ \'el\'ements $\alpha$, ${\rm Frob}(\alpha) = \alpha^p$, \ldots, ${\rm Frob}^{n-1}(\alpha) = \alpha^{p^{n-1}}$ sont tous distincts et l'automorphisme de Frobenius ${\rm Frob}$ engendre donc un sous-groupe cyclique d'ordre $n$ de ${\rm Aut}(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p)$. En vertu de la majoration $|{\rm Aut}(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p)| \leqslant [\mathbb{F}_q:\mathbb{F}_p] = n$, on en d\'eduit $${\rm Aut}(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p) = \{ {\rm id}, {\rm Frob}, \ldots, {\rm Frob}^{n-1}\}$$ et l'extension $\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p$ est donc galoisienne.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 7}} --- \emph{Soit $k'/k$ une extension finie. Les conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize}
\item[(i)] l'extension $k'/k$ est galoisienne ;
\item[(ii)] l'extension $k'/k$ est s\'eparable et tout polyn\^ome irr\'eductible $f \in k[\X]$ ayant une racine dans $k'$ est scind\'e sur $k'$ ;
\item[(iii)] $k'/k$ est une extension de d\'ecomposition de d\'ecomposition d'un polyn\^ome s\'eparable $f \in k[\X]$.
\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. (i) $\Rightarrow$ (ii) Soit $\alpha \in k'$. L'application de restriction ${\rm Aut}(k'/k) = {\rm Hom}_k(k',k') \rightarrow {\rm Hom}_k (k(\alpha),k')$ induit une injection $${\rm Aut}(k'/k)/{\rm Aut}(k'/k(\alpha)) \hookrightarrow {\rm Hom}_k(k(\alpha),k')$$ dont on d\'eduit les in\'egalit\'es $$|{\rm Aut}(k'/k)| \leqslant |{\rm Aut}(k'/k(\alpha))||{\rm Hom}_k(k(\alpha),k')| \leqslant [k':k(\alpha)][k(\alpha):k]$$ en vertu du corollaire 2. Comme $|{\rm Aut}(k'/k)| = [k':k] = [k':k(\alpha)][k(\alpha):k]$, il vient $$|{\rm Hom}_k(k(\alpha),k')|=[k(\alpha):k]$$ et le polyn\^ome minimal de $\alpha$ est donc scind\'e \`a racines simples sur $k'$. L'extension $k'/k$ est donc s\'eparable et tout polyn\^ome irr\'eductible $f \in k[\X]$ admettant une racine dans $k'$ est scind\'e.


\vspace{0.1cm} (ii) $\Rightarrow$ (iii) Si $x_1, \ldots, x_n$ sont des g\'en\'erateurs de $k'$ sur $k$ de polyn\^omes minimaux respectifs $f_1, \ldots, f_n$, chaque $f_i$ est s\'eparable et scind\'e dans $k'$, donc $k'/k$ est une extension de d\'ecomposition du polyn\^ome $f_1 \ldots f_n$.

\vspace{0.1cm} (iii) $\Rightarrow$ (i) On raisonne par r\'ecurrence sur $[k':k]$. Le cas $[k':k]=1$ \'etant trivial, supposons $[k':k] \geqslant 2$ et consid\'erons un facteur irr\'eductible $g$ de $f$ de degr\'e $\geqslant 2$. Soit $\alpha$ une racine de $g$ dans $k'$. Comme le polyn\^ome $f$ est s\'eparable et scind\'e sur $k'$, il en est de m\^eme pour $g$ et donc $|{\rm Hom}_k(k(\alpha),k')| = [k(\alpha):k]$ ; d'autre part, $k'/k(\alpha)$ est une extension de d\'ecomposition du polyn\^ome s\'eparable $f \in k(\alpha)[\X]$. Cette derni\`ere observation a deux cons\'equences imm\'ediates. \begin{itemize} \item L'extension $k'/k$ est galoisienne en vertu de l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, d'o\`u $|{\rm Aut}(k'/k(\alpha)| = [k':k(\alpha)]$. \item L'application de restriction ${\rm Aut}(k'/k) \rightarrow {\rm Hom}_k(k(\alpha),k')$ est surjective : \'etant donn\'e $j \in {\rm Hom}_k(k(\alpha),k')$, l'inclusion $i : k(\alpha) \rightarrow k'$ et $j : k(\alpha) \rightarrow k'$ sont deux extensions de d\'ecompositions de $f \in k(\alpha)[\X]$, donc il existe un automorphisme $\sigma$ de $k'$ tel que $\sigma \circ i = j$ et, comme $i$ et $j$ co\"{\i}ncident sur $k$, $\sigma$ est un automorphisme de l'extension $k'/k$.\end{itemize}

On obtient finalement $$|{\rm Aut}(k'/k)| = |{\rm Aut}(k'/k(\alpha))||{\rm Hom}_k(k(\alpha),k')| = [k':k(\alpha)][k(\alpha):k] = [k':k]$$ et l'extension $k'/k$ est donc galoisienne. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 8}} --- \emph{Soit $\Lr/k$ une extension galoisienne et soit $\K$ un sous-corps de $\Lr$ contenant (l'image de ) $k$. L'extension $\Lr/\K$ est galoisienne.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. Il suffit de consid\'erer un polyn\^ome s\'eparable $f \in k[\X]$ dont $\Lr/k$ est une extension de d\'ecomposition ; $\Lr/\K$ est une extension de d\'ecomposition du polyn\^ome s\'eparable $f \in \K[\X]$ et donc est galoisienne. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 9}} --- \emph{Toute extension finie s\'eparable $k'/k$ un corps est contenue dans une extension galoisienne.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. Soient $x_1, \ldots, x_n$ sont des g\'en\'erateurs de $k'$ sur $k$, de polyn\^omes minimaux respectifs $f_1, \ldots, f_n \in k[\X]$. Ces derniers sont s\'eparables et il en est de m\^eme de leur plus petit commun multiple $f$. Consid\'erons une extension de d\'ecomposition $\K/k'$ de $f \in k'[\X]$ ; comme $k'$ est engendr\'e sur $k$ par des racines de $f$, $\K/k$ est une extension de d\'ecomposition de $f \in k[\X]$ et on obtient ainsi une extension galoisienne de $k$ contenant $k'$. \hfill $\Box$


\vspace{0.2cm} Soit $f \in k[\T]$ un polyn\^ome s\'eparable et soit $\k'/k$ une extension de d\'ecomposition de $f$. Notant $\mathcal{R} = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ l'ensemble des racines de $f$ dans $k'$, l'homomorphisme $${\rm Gal}(k'/k) \rightarrow \mathfrak{S}(\mathcal{R}), \ \ \ \sigma \mapsto (\alpha_i \mapsto \sigma(\alpha_i))$$ identifie ${\rm Gal}(k'/k)$ \`a un groupe de permutations des $\alpha_i$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 10}} --- \emph{L'image de ${\rm Gal}(k'/k)$ dans $\mathfrak{S}(\mathcal{R})$ est le sous-groupe form\'e des permutations $\sigma$ satisfaisant \`a la condition suivante : pour tout polyn\^ome $q \in k[\X_1, \ldots, \X_n]$, $$q(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) = 0 \ \Rightarrow q(\sigma(\alpha_1), \ldots, \sigma(\alpha_n)) = 0.$$}

\vspace{0.1cm}
\noindent \textbf{D\'emonstration}. La condition est \'evidemment n\'ecessaire. On d\'emontre qu'elle est suffisante en raisonnant par r\'ecurrence sur le degr\'e de $f$, le cas ${\rm deg}(f) =1$ \'etant trivial.

Consid\'erons une permutation $\sigma$ des racines de $f$ dans $k'$ satisfaisant \`a la condition de l'\'enonc\'e. Si $q \in k[\X]$ est le polyn\^ome minimal de $\alpha_1$ sur $k$, $q(\sigma(\alpha_1)) = 0$ et il existe donc un $k$-homomorphisme $\tau : k(\alpha_1) \rightarrow k'$ tel que $\tau(\alpha_1) = \sigma(\alpha_1)$. Cet homomorphisme se prolonge en un $k$-automorphisme $\tau'$ de $k'$ car l'inclusion $i : k(\alpha_1) \rightarrow k'$ et $\tau : k(\alpha_1) \rightarrow k'$ sont deux extensions de d\'ecomposition de $f$. La permutation $\sigma'$ de $\mathcal{R}$ d\'efinie par $\sigma'(\alpha_i) = {\tau'}^{-1}(\sigma(\alpha_i))$ satisfait \`a la m\^eme condition que $\sigma$ tout en fixant la racine $\alpha_1$ ; l'hypoth\`ese de r\'ecurrence fournit alors un $k(\alpha_1)$-automorphisme $\tau''$ de $k'$ tel que $$\tau''(\alpha_i) = \sigma'(\alpha_i)$$ pour tout $i \geqslant 2$ et en outre $\tau''(\alpha_1) = \alpha_1 = \sigma'(\alpha_1)$. Finalement, $\widetilde{\tau} = \tau' \circ \tau''$ est un $k$-automorphismes de $k'$ tel que $\widetilde{\tau}(\alpha_i) = \sigma(\alpha_i)$ pour tout $i$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 11}} --- \emph{Le \emph{groupe de Galois} d'un polyn\^ome s\'eparable $f \in k[\T]$ est le groupe des automorphismes d'une extension de d\'ecomposition de $f$.}

\vspace{0.3cm} \textbf{2.2. Invariants}

\vspace{0.2cm}

\'Etant donn\'es un corps $k$ et un groupe $\G$ d'automorphismes de $k$, on v\'erifie imm\'ediatemment de l'ensemble $$k^{\G} = \{x \in k \ ; \ g.x = x \ \textrm{ pour tout } g \in \G\}$$ des points fixes de $\G$ dans $k$ est un sous-corps de $k$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 12 (E.~Artin)}} --- \emph{Soient $k$ un corps et $\G$ un groupe fini d'automorphismes de $k$. L'extension $k/k^{\G}$ est finie et galoisienne, de groupe de Galois $\G$.}

%\vspace{0.2cm} La d\'emonstration repose sur le r\'esultat suivant, d\^u \`a Dedekind.

%\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme (Ind\'ependance des caract\`eres) }} --- \emph{Soit $\Gamma$ un groupe. Si $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ sont des %homomorphismes distincts de $\Gamma$ dans le groupe multiplicatif $k^{\times}$ d'un corps $k$, alors $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ sont lin\'eairement ind\'ependants en %tant que fonctions de $\Gamma$ dans $k$.}

%\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. Supposons qu'il existe une relation lin\'eaire non triviale $$\sum_{i \in \I} \lambda_i \sigma_i = 0.$$ On consid\`ere %une relation pour laquelle $\I$ est de cardinal minimal et quitte \`a renum\'eroter les $\sigma_i$, on peut supposer $\{1,2\} \subset \I$.

%Comme $\sigma_1$ et $\sigma_2$ sont distincts, il existe $\gamma \in \Gamma$ tel que $\sigma_1(\gamma) \neq \sigma_2(\gamma)$. On d\'eduit de la relation initiale les identit\'es $$\sum_{i \in \I} \sigma_1(\gamma)\lambda_i \sigma_i = 0$$ et $$\sum_{i \in \I} \lambda_i\sigma_i(\gamma)\sigma_i = \sum_{i \in \I} \lambda_i\sigma_i(\gamma \cdot) =0$$ puis, par soustraction, $$\sigma_{i \in \I-\{1\}} \lambda_i (\sigma_i(\gamma) - \sigma_1(\gamma)) \sigma_i = 0.$$ Ceci contredit la minimalit\'e de $|\I|$ puisque $\lambda_2 (\sigma_2(\gamma) - \sigma_1(\gamma)) \neq 0$. \hfill $\Box$

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. Posons $n = |\G|$ et consid\'erons $n+1$ \'el\'ements $a_1, \ldots, a_{n+1}$ dans $k$. Les $n$ formes lin\'eaires $$\left(\varphi_{\sigma} = \sum_{i=1}^{n+1} \sigma(a_i)x_i \right)_{\sigma \in \G}$$ s'annulent simultan\'ement sur un \'el\'ement non nul $\underline{\lambda} = (\lambda_1, \ldots, \lambda_{n+1})$ de $k^{n+1}$. On choisit $\underline{\lambda}$ de telle sorte que le nombre de coordonn\'ees non nulles soit minimal et, quitte \`a renum\'eroter les $a_i$, on peut supposer $\lambda_1 \neq 0$ puis $\lambda_1 = 1$.

Quel que soit $\tau \in \G$, $\tau(\underline{\lambda}) = (\tau(\lambda_1), \ldots, \tau(\lambda_{n+1}))$ annule \'egalement les $n$ formes lin\'eaires pr\'ec\'edentes en vertu de l'identit\'e $$\varphi_{\sigma}(\tau(\underline{\lambda})) = \tau \left(\varphi_{\tau^{-1}\sigma}(\underline{\lambda})\right).$$ Comme $\tau(x_1) = x_1$, $\tau(\underline{\lambda}) - \underline{\lambda}$ est un \'el\'ement de $k^{n+1}$ sur lequel les s'annulent les formes lin\'eaires $(\varphi_{\sigma})_{\sigma \in \G}$ et ayant au moins une coordonn\'ee nulle de plus que $\underline{\lambda}$. Vu notre hypoth\`ese, ceci implique $\tau(\underline{\lambda})  - \underline{\lambda} = 0$ pour tout $\tau \in \G$ et donc $\lambda_1, \ldots, \lambda_{n+1} \in k^{\G}$. On obtient de la sorte une relation de d\'ependance lin\'eaire non triviale $$\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i a_i = \varphi_{{\rm id}}(\underline{\lambda}) = 0$$ entre les $a_i$ sur $k^{\G}$, d'o\`u $[k : k^{\G}] \leqslant n$.

Finalement, comme $[k : k^{\G}] \geqslant |{\rm Aut}(k/k^{\G})| \geqslant |\G|$, nous avons finalement obtenu les \'egalit\'es $$[k: k^{\G}] = |\G| = |{\rm Aut}(k/k^{\G})|$$ et l'extension $k/k^{\G}$ est finie et galoisienne, de groupe de Galois $\G$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \emph{Exemple} --- On d\'efinit une action fid\`ele du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_n$ par automorphismes du corps $k(\X_1, \ldots, \X_n)$ en posant $\sigma(\X_i) = \X_{\sigma(i)}$ pour tous $i \in \{1,\ldots, n\}$, $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. Notant $\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n$ les polyn\^omes sym\'etriques \'el\'ementaires, l'inclusion $k(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n) \subset k(\X_1, \ldots, \X_n)^{\mathfrak{S}_n}$ est triviale. Par ailleurs, l'extension $k(\X_1, \ldots, \X_n) / k(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n)$ \'etant une extension de d\'ecomposition du polyn\^ome $\X^n - \Sigma_1\X^{n-1} + \ldots + (-1)^n \Sigma_n$ son degr\'e au plus $n!$. Comme $$[k(\X_1, \ldots, \X_n) : k(\X_1, \ldots, \X_n)^{\mathfrak{S}_n}] = n!,$$ le th\'eor\`eme d'Artin implique alors $k(\X_1, \ldots, \X_n) = k(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n)^{\mathfrak{S}_n}$ et on obtient ainsi une nouvelle d\'emonstration du fait que tout polyn\^ome $f \in k[\X_1, \ldots, \X_n]$ invariant sous l'action du groupe $\mathfrak{S}_n$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme d'un polyn\^ome en les $\Sigma_i$.


\vspace{0.3cm} \textbf{2.3. Correspondance de Galois} Nous en arrivons au th\'eor\`eme fondamental de la th\'eorie de Galois, \'etablissant pour toute extension galoisienne une correspondance bijective entre extensions interm\'ediaires et sous-groupes de son groupe de Galois.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 13 (Correspondance de Galois)}} --- \emph{Soit $\K/k$ une extension galoisienne. Les applications $$\xymatrix{\{\textrm{sous-groupes de } {\rm Gal}(\K/k)\} \ar@<1ex>[r]^{{\rm u}} & \{\textrm{sous-corps de } \K \textrm{ contenant } k\} \ar@<1ex>[l]^{v} \\}$$ d\'efinies par $u(\Hr) = \K^{\Hr}$ et $v(k') = {\rm Gal}(\K/k')$ sont des bijections d\'ecroissantes r\'eciproques.}

\emph{En outre, \begin{itemize} \item[(i)] $[\K^{\Hr} : k] = (\G : \Hr)$ ; \item[(ii)] $\K^{\sigma \Hr \sigma^{-1}} = \sigma \K^{\Hr}$ et ${\rm Gal}(\K/\sigma k') = \sigma {\rm Gal}(\K/k') \sigma^{-1}$ ; \item[(iii)] $\Hr$ est distingu\'e dans $\G$ si et seulement si l'extension $\K^{\Hr}/k$ est galoisienne, auquel cas $${\rm Gal}(\K^{\Hr}/k) \cong {\rm Gal}(\K/k)/\Hr.$$\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. Posons $\G = {\rm Gal}(\K/k)$. \'Etant donn\'e un sous-groupe $\Hr$ de $\G$, $\K^{\Hr}$ est un sous-corps de $\K$ contenant $k$ et l'extension $\K/K^{\Hr}$ est galoisienne, de groupe de Galois $\Hr$ (th\'eor\`eme d'Artin) ; ainsi, $v \circ u = {\rm id}$. R\'eciproquement, si $k'$ est un sous-corps de $\K$ contenant $k$, alors l'extension $\K/k'$ est galoisienne en vertu du corollaire ??? ; posant $\Hr = {\rm Gal}(\K/k')$, l'inclusion $k' \subset \K^{\Hr}$ est \'evidente et il s'agit en fait d'une \'egalit\'e puisque $$[\K:\K^{\Hr}] = |{\rm Gal}(\K,k')| = [\K:k']$$ en vertu du th\'eor\`eme d'Artin et de la d\'efinition ???. On obtient ainsi $v \circ u = {\rm id}$, ce qui ach\`eve de prouver que $u$ et $v$ sont des bijections r\'eciproques. Il est clair que ces applications sont d\'ecroissantes.

\vspace{0.1cm} (i) $[\K^{\Hr}:k] = [\K:k][\K:\K^{\Hr}]^{-1} = |\G||\Hr|^{-1} = (\G:\Hr)$.
\vspace{0.1cm} (ii) Pour tout $\sigma \in \G$, \begin{eqnarray*} \K^{\sigma \Hr \sigma^{-1}} & = & \{x \in \K \ | \ (\sigma \circ h)(\sigma^{-1}(x)) = x \ \textrm{ pour tout } h \in \Hr\} \\ & = & \{x \in \K \ | \ h(\sigma^{-1}(x)) = \sigma^{-1}(x) \ \textrm{ pour tout } h \in \Hr\} \\ & = & \{x \in \K \ | \ \sigma^{-1}(x) \in \K^{\Hr}\} = \sigma \K^{\Hr}.\end{eqnarray*}
\vspace{0.1cm} (iii) Vu (ii), un sous-groupe $\Hr$ de $\G$ est distingu\'e si et seulement si $\sigma \K^{\Hr} = \K^{\Hr}$ pour tout $\sigma \in \G$.

Tout automorphisme $\mu \in {\rm Aut}(\K^{\Hr}/k)$ se prolonge en un automorphisme de l'extension $\K/k$ en vertu du fait que, si $f \in k[\T]$ est un polyn\^ome s\'eparable dont $\K/k$ est une extension de d\'ecomposition, l'inclusion $i : \K^{\Hr} \rightarrow \K$ et $i \circ \mu : \K^{\Hr} \rightarrow \K$ sont deux extensions de d\'ecompositions de $f \in \K^{\Hr}[\X]$ (cf. th\'eor\`eme 3). D\'esignant par $\G'$ le sous-groupe de $\G$ constitu\'e des automorphismes $\sigma$ tels que $\sigma \K^{\Hr} = \K^{\Hr}$, on a donc une suite exacte $$\xymatrix{e \ar@{->}[r] & {\rm Gal}(\K/\K^{\Hr}) \ar@{->}[r] & \G' \ar@{->}[r]^{\rm res} & {\rm Aut}(\K^{\Hr}/k) \ar@{->}[r] & e}$$ et donc $\G' = \G$ si et seulement si $|{\rm Aut}(\K^{\Hr}/k)| = [\K^{\Hr}:k]$, ce qui d\'emontre notre derni\`ere assertion. \hfill $\Box$

\hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}}. Tout sous-corps $k'$ de $\K$ contenant $k$ est contenu dans un plus petit sous-corps $k''$ de $\K$ tel que l'extension $k''/k$ soit galoisienne. En effet, si $k' = \K^{\Hr}$, $k''$ est le sous-corps de $\K$ invariant sous le plus grand sous-groupe distingu\'e de $\G$ contenu dans $\Hr$, c'est-\`a-dire l'intersection de tous les conjugu\'es de $\Hr$. On parle de la \emph{cl\^oture galoisienne} de $k'$ dans $\K$.

\vspace{0.2cm} \noindent \emph{Exemples} -- 1. 

2. \emph{Nombres constructibles}.

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{3. }
\end{document} 