Algèbre approfondie - Automne 2008 ENS-Lyon

Théorie de Galois

3. Théorie de Galois infinie On se propose d’étendre la théorie de Galois aux extensions algébriques mais non néces-

sairement finies d’un corps k.

3.1. Extensions galoisiennes infinies

Commençons par étendre la définition des extensions galoisiennes ; on se fonde pour cela sur la caractérisation établie au théorème 7.

Proposition 3.1 — Soit k′/k une extension algébrique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) k est le sous-corps de k′invariant par Aut(k′/k) ;

(ii) l’extension k′/k est séparable et tout polynôme irréductible f ∈ k[X] admettant une

racine dans k′est scindé dans k′(l’extension est normale) ; (iii) k′est la réunion des extensions finies galoisiennes de k dans k′.

Démonstration. (i) ⇒ (ii) Soit x ∈ k′et soit m_{x} son polynôme minimal sur k. L’ensemble R des racines de m_{x} dans k′est stable sous l’action de Aut(k′/k) et le polynôme

f = ∏_{α∈R} (X − α)

est donc à coefficients dans k. Comme f(x) = 0, ce polynôme est divisible par m_{x} et donc finalement f = m_{x} puisque f est unitaire et deg(f) ⩽ deg(m_{x}).

(ii) ⇒ (iii) Soit x ∈ k′de polynôme minimal m_{x} ∈ k[X]. Le polynôme m_{x} étant séparable et scindé sur k′, son corps de décomposition dans k′fournit une extension finie galoisienne de k dans k′contenant x.

(iii) ⇒ (i) Soit \overline{k} une clôture algébrique de k′ (donc également de k) et soit x ∈ k′− k. Comme x est séparable sur k, il existe un k-homomorphisme σ de k(x) dans \overline{k} tel que σ(x) ≠ x. L’inclusion i : k(x) → \overline{k} et l’homomorphisme σ : k(x) → \overline{k} fournissant deux clôtures algébriques de k(x), il existe un k-automorphisme \overline{σ} de \overline{k} tel que σ = \overline{σ} ∘ i. Si K/k est une extension finie galoisienne de k dans \overline{k}, K est engendré sur k par les racines d’un polynôme séparable f ∈ k[X] (théorème 7) et donc \overline{σ} (K) = K car \overline{σ} permute les racines de f. On a ainsi \overline{σ} (k′) = k′, et \overline{σ}_{|k′}est un k-automorphisme de k′ne fixant pas x. □

Une extension algébrique k′/k est dite galoisienne si elle satisfait aux trois conditions équivalentes de la proposition. Vu (iii), cette définition coïncide avec la précédente lorsque l’extension est finie. On pose Gal(k′|k) = Aut(k′/k) pour toute extension galoisienne k′/k et on parle du groupe de Galois de l’extension.

Exemple 3.2 — Étant donnée une clôture algébrique \overline{k} de k, le sous-corps k(μ_{∞}) de \overline{k} engendré par les racines de l’unité d’ordre premier à la caractéristique de k est une extension galoisienne de k.

3.2. Groupe de Galois absolu

Étant donnée une clôture algébrique \overline{k}de k, deux extensions finies séparables k_{1} et k_{2} de k dans \overline{k}sont toujours contenues dans une même extension finie galoisienne : il existe en effet des polynômes séparables f_{1} et f_{2} dans k[X] tels que k_{1} (resp. k_{2}) soit un sous-corps du corps de décomposition de f_{1} (resp. f_{2}) dans \overline{k}(corollaire 9) et, par suite, le corps de décomposition du polynôme séparable f = ppcm(f_{1},f_{2}) dans \overline{k}est une extension finie galoisienne contenant k_{1} et k_{2}.

Il découle de cette observation que l’ensemble k^{s} des éléments de \overline{k} séparables sur k est un sous-corps de \overline{k}, la clôture séparable de k dans \overline{k}. Les clôtures séparables de k dans deux clôtures algébriques sont évidemment isomorphes en tant qu’extensions de k. Comme, en outre, k^{s} est la réunion des extension finies galoisiennes de k dans \overline{k}, l’extension k^{s}/k est donc galoisienne.

Définition 3.3 — Le groupe Gal(k^{s}|k) est le groupe de Galois absolu du corps k; il est bien défini à un isomorphisme près.

Remarques 3.4 — 1. Étant donnés une extension galoisienne K|k et un sous-corps k′de K contenant k, l’extension K/k′est galoisienne.

2. On a évidemment k^{s} = \overline{k} si le corps k est parfait. Dans le cas contraire, car(k) = p et l’extension \overline{k}/k^{s} est purement inséparable : pour tout α ∈ \overline{k}, il existe un nombre entier n tel que α^{p^{n}} ∈ k^{s}. En effet, le polynôme minimal f de α sur k s’écrit de manière unique sous la forme f = g(X^{q}) avec q = p^{n} et g ∈ k[X] irréductible et séparable ; comme g est scindé sur k^{s}, α^{q} ∈ k^{s}.

3. L’application de restriction

Aut(\overline{k}/k) → Aut(k^{s}/k), σ ↦ σ_{|k^{s}}

est un isomorphisme. Il suffit de le vérifier lorsque k est un corps de caractéristique p > 0. Étant donnés un k-automorphisme σ de \overline{k} induisant l’identité sur k^{s} et α ∈ \overline{k}, il existe un nombre entier n ≥ 0 tel que α^{p^{n}} ∈ k^{s} et σ(α) est donc une racine du polynôme X^{p^{n}} − α^{p^{n}}; comme X^{p^{n}} − α^{p^{n}} = (X − α)^{p^{n}}, σ(α) = α et donc σ = id.

4. Une bonne partie de la théorie des nombres contemporaines consiste en l’étude du groupe de Galois absolu de ℚ.

3.3. Topologie du groupe de Galois

Le groupe de Galois d’une extension possède une structure naturelle de groupe topologique qu’il est nécessaire de faire intervenir pour prolonger la correspondance de Galois aux extensions infinies. L’exemple ci-dessous montre qu’un prolongement naïf est voué à l’échec.

Exemple 3.5 — Soit p un nombre premier et soit \overline{𝔽}_{p} une clôture algébrique du corps fini 𝔽_{p}. Le groupe de Galois absolu Γ = Gal(\overline{𝔽}_{p}/𝔽_{p}) de 𝔽_{p} contient en particulier l’automorphisme de Frobenius F, défini par F(x) = x^{p} et engendrant un sous-groupe cyclique inifini Γ_{0} = ⟨F⟩. Le sous-corps de \overline{𝔽}_{p} fixé par Γ_{0} est le même que celui fixé par Γ ; pour autant, l’inclusion Γ_{0} ⊂ Γ est stricte.

Pour tout entier n ⩾ 1, désignons par π_{n}l’isomorphisme canonique \xymatrix{ℤ/nℤ \ar[r]^{∼} & Gal(𝔽_{p^{n}}|𝔽_{p})} envoyant 1 sur F. Si m|n, la restriction Gal(𝔽_{p^{n}}|𝔽_{p}) → Gal(𝔽_{p^{m}}|𝔽_{p}) correspond, dans cette identitification, à l’homomorphisme canonique de ℤ/nℤ dans ℤ/mℤ. Par conséquent, toute suite \underline{a} = (a_{n})_{n⩾1} de nombres entiers naturels vérifiant la condition

(∀ m,n ∈ ℕ − {0}, m|n ⟹ a_{n} ≡ a_{m} (modm))

définit naturellement un 𝔽_{p}-automorphisme σ\underline{a} de \overline{𝔽}_{p} dont la restriction au sous-corps 𝔽_{p^{n}} est F^{a_{n}}. Pour que cet automorphisme appartienne à Γ_{0}, il faut et il suffit qu’il existe a ∈ ℕ tel que a_{n} ≡ a (modn) pour tout n.

Choisissons un nombre premier ℓ et soit (a_{n})_{n⩾1} une suite de nombres entiers telle que, si n = ℓ^{α} n′avec pgcd(ℓ,n′) = 1, alors

a_{n} ≡ 0 (modn′) et a_{n} ≡ 1 + ℓ + ...+ ℓ^{α−1} (modℓ^{α}).

Cette suite satisfait à la condition précédente en vertu du théorème chinois des restes mais il n’existe nombre entier naturel a tel que a_{n} ≡ a (modn) pour tout n.

Soit k un corps et soit K/k une extension galoisienne de k.

Proposition 3.6 — Il existe une unique structure de groupe topologique sur Gal(K/k) telle qu’un système fondamental de voisinages de l’identité soit formé des sous-groupes de la forme Gal(K|k′), où k′est une extension finie galoisienne de k dans K. Démonstration. De manière générale, si G est un groupe et V est une famille de sousgroupes distingués stable par intersection finie, il existe une unique structure de groupe topologique sur G telle que V soit un système fondamental de voisinages de l’origine : la stabilité de V permet de munir G d’une topologie telle que gV soit un système fondamental de voisinage de g ∈ G et l’application (G × G → G, (g,h) ↦ gh^{−1} ) est continue puisque gHh^{−1} H = gh^{−1} (hHh^{−1} )H = gh^{−1} H pour tous g,h ∈ G, H ∈ V .

La famille de sous-groupes distingués de Γ considérée ici convient car deux extensions finies galoisiennes de k dans K sont contenues dans une extension finie galoisienne commune. □

Tous les groupes de Galois considérés sont munis de la topologie que l’on vient de décrire. Si l’extension galoisienne K/k est finie, la topologie obtenue sur Gal(K|k) est la topologie discrète.

Soit K/k une extension galoisienne et désignons par Λ l’ensemble des extensions finies galoisiennes de k dans K. Le groupe ∏ _{k′∈Λ} Gal(k′|k) est muni de la topologie produit ; c’est un groupe topologique compact et totalement discontinu (tout point admet un système fondamental de voisinage ouverts et fermés).

Proposition 3.7 — L’application naturelle

Gal(K|k) → ∏_{k′∈Λ} Gal(K|k′), σ ↦ (σ_{|k′})_{k′∈Λ}

est un homomorphisme injectif de groupes topologiques d’image fermée. En particulier, le groupe topologique Gal(K|k) est compact et totalement discontinu. Démonstration. Cette application est clairement d’un homomorphisme injectif de groupes topologiques. Son image est l’ensemble H des familles (σ_{k′})_{k′∈Λ} telles que, pour toutes extensions k_{1},k_{2} ∈ Λ avec k_{1} ⊂ k_{2}, σ_{k_{1}} soit la restriction de σ_{k_{2}} à k_{1}. Par suite, si g = (σ_{k′})_{k′∈Λ} n’appartient pas à H et si k_{1},k_{2} ∈ Λ sont deux extensions telles que k_{1} ⊂ k_{2} et σ_{k_{1}} ne soit la restriction de σ_{k_{2}} à k_{1}, alors gu ∉ H pour tout u appartenant au noyau de la projection

∏_{k′∈Λ} Gal(k′|k) → Gal(k_{1}|k) × Gal(k_{2}|k).

Ce noyau étant ouvert par définition de la topologie produit, cela prouve que H est fermé. □

3.4. Extension de la correspondance de Galois

Nous sommes maintenant en mesure de prolonger la correspondance de Galois aux extensions algébriques quelconques.

Théorème 3.8 — Soit K/k une extension galoisienne et soit Γ = Gal(K|k). Les applications

\xymatrix{\{sous-groupes fermés de Gal(K/k)\} \ar[r]^{u} & \{sous-corps de K contenant k\} \ar[l]^{v}}

définies par u(H) = K^{H} et v(k′) = Gal(K|k′) sont des bijections décroissantes réciproques. Les sous-groupes ouverts (resp. distingués) correspondent aux extensions finies (resp. galoisiennes) de k dans K. Démonstration. Si k′est une extension finie de k dans K, alors Gal(K|k′) est un sous-groupe ouvert de Γ car il contient le sous-groupe ouvert Gal(K|k′′), où k′′est une extension finie galoisienne de k dans K contenant k′. Par ailleurs, tout sous-groupe ouvert H de Γ est également fermé puisque son complémentaire ⋃_{g∈Γ−H} gH est ouvert. On en déduit que Gal(K|k′) est un sous-groupe fermé de Γ pour toute extension k′de k dans K car

Gal(K|k′) = ⋂_{\begin{matrix}k ⊂ k′′⊂ k′ \\ k′′/k finie \end{matrix}} Gal(K|k′′).

En outre, k′= u(Gal(K|k′)) puisque l’extension K/k′est galoisienne.

Considérons maintenant un sous-groupe H de Γ et soient k′= K^{H}, H′= Gal(K|k′) ; l’inclusion H ⊂ H′est triviale. Soit réciproquement σ un k′-automorphisme de K et soit k_{1} une extension finie galoisienne de k dans K. Désignant par H_{1} et H′_{1} les images respectives de H et H′par l’homomorphisme de restriction Γ → Gal(k_{1}|k),

k_{1}^{H_{1}} = {x ∈ k_{1} | σ(x) = x, pour tout σ ∈ H} = k′∩ k_{1}

et donc H_{1} = Gal(k_{1}|k_{1} ∩ k′) en vertu de la correspondance de Galois pour les extensions finies. Comme H′_{1} ⊂ Gal(k_{1}|k_{1} ∩ k′), H_{1} = H′_{1} et il existe ainsi un élément τ de H tel que τ_{|k_{1}} = σ_{|k_{1}}. Par suite, σGal(K|k_{1})∩H ≠ ∅ et, comme k_{1} est arbitraire, ceci montre que σ est adhérent à H. En particulier, si H est un sous-groupe fermé de Γ, alors H = Gal(K|K^{H}).

Pour qu’une extension k′de k dans K soit galoisienne, il faut et il suffit que l’on ait σ(k′) = k′pour tout σ ∈ Γ ; vu la correspondance que l’on vient d’établir, cela revient à demander que Gal(K|k′) soit un sous-groupe distingué de Γ, auquel cas Gal(k′|k) ≅ Gal(K|k)/Gal(K|k′). Enfin, si H est un sous-groupe ouvert de Γ, il existe par hypothèse une extension galoisienne finie k′de k dans K telle que Gal(K|k′) ⊂ H ; on a alors K^{H} ⊂ k′et l’extension K^{H}/k est ainsi finie. Noter que l’on a

(Γ : H) = (Gal(k′|k) : Gal(k′|K^{H}) = [k^{H} : k].
□

4. Reformulation fonctorielle Soient k un corps, k^{s} une clôture séparable de k et Γ = Gal(k^{s}|k) le groupe de Galois absolu

de k. La théorie de Galois peut se reformuler sous la forme d’une équivalence de catégories.

4.1. Algèbres étales Définition 4.1. — Une k-algèbre finie A est dite

(i) diagonalisable s’il existe un nombre entier n ⩾ 1 tel que A soit isomorphe à la k-algèbre produit k^{n};

(ii) étale s’il existe une extension K de k telle que la K-algèbre A⊗_{k}K soit diagonalisable. On dit alors que K diagonalise A.

On désigne par k − alg_{f}^{t} la catégorie dont

- les objets sont les k-algèbres étales ;

- les flèches sont les homomorphismes de k-algèbres

Lemme 4.2. — Soit B une k-algèbre, non nécessairement commutative. Toute famille F ⊂ Hom_{k−vect} (B,k) constituée d’homomorphismes d’algèbres est libre. Démonstration. Si F n’est pas libre, considérons une relation de dépendance linéaire non triviale faisant intervenir un nombre minimal d’éléments de F. Cette relation peut s’écrire sous la forme

λ_{1}σ_{1}+ ...+ λ_{n}σ_{n} = 0,

où n ⩾ 2, λ_{i} ≠ 0 pour tout i et σ_{i} ≠ σ_{j} si i ≠ j. Quel que soit s ∈ B, cette relation fournit l’identité

λ_{1}σ_{1}(s)σ_{1}+ ...+ λ_{n}σ_{n}(s)σ_{n} = 0

puis

λ_{2}(σ_{1}(s) − σ_{2}(s))σ_{2}+ ...+ λ_{n}(σ_{1}(s) − σ_{n}(s))σ_{n} = 0

par combinaison linéaire. Comme σ_{1} ≠ σ_{2}, on peut choisir s ∈ B tel que σ_{1}(s) ≠ σ_{2}(s) et on obtient de la sorte une relation de dépendance linéaire non triviale contredisant la minimalité de la relation initiale. □

Lemme 4.3. — Soit A une k-algèbre finie diagonalisable (resp. étale). Toute sous-k-algèbre et toute k-algèbre quotient de A est diagonalisable (resp. étale). Démonstration. □ Proposition 4.4. — Soit A une k-algèbre finie.

(i) Pour toute extension K/k, le cardinal de l’ensemble Hom_{k−alg} (A,K) est majoré par [A : k]. Pour qu’il y ait égalité, il faut et il suffit que K diagonalise A.

(ii) Si A est une k-algèbre étale, elle est diagonalisée par une extension finie séparable de

k. Démonstration. (i) Posons

X = Hom_{k−alg} (A,K) = Hom_{k−alg} (A ⊗_{k}K,K)

et considérons l’application K-linéaire canonique

u: Hom_{ens}(X,K) → Hom_{k−vect} (A,K), f ↦ ∑_{σ∈X} f(σ)σ.

Il s’agit d’une application injective en vertu du lemme précédent et l’application contragrédiente u^{∨} s’identitifie à l’homomorphisme de K-algèbres

A ⊗_{k}K → ⨁_{σ∈X} Ke_{σ}

envoyant a ⊗ λ sur ∑_{σ∈X} λσ(a)e_{σ}.

La majoration |X| ⩽ [A : k] découle de l’injectivité de u et il y a clairement égalité si K diagonalise A. Réciproquement, si |X| = [A : k], alors u^{∨} est un isomorphisme et donc A est diagonalisée par K.

(ii) Si A est étale, il existe une extension K de k diagonalisant A. Quel que soit l’homomorphisme σ ∈ Hom_{k−alg} (A,K), σ(A) est une sous-k-algèbre finie de K, donc une extension finie de k dans K. La k-algèbre σ(A) étant un quotient de A, elle est diagonalisée par K ; on a donc |Hom_{k−alg} (σ(A),K)| = [u(A) : k], ce qui prouve que l’extension σ(A)/k est séparable. □

Proposition — Les conditions suivantes sont équivalentes pour toute k-algèbre finie A. (i) Pour toute extension K/k, l’anneau A ⊗_{k}K est réduit. (ii) L’anneau A ⊗_{k} \overline{k}est réduit. (iii) A est isomorphe au produit d’un nombre fini d’extensions finies séparables de k. (iv) A est étale.

Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) est triviale.

(ii) ⟹ (iii) Étant donné un élément x de A, la sous-k-algèbre k[x] engendrée par x est canoniquement isomorphe à k[X]/(m_{x}), où m_{x} est le polynôme minimal de x sur k. L’injection k[X]/(m_{x}) ↪ A induisant une injection \overline{k}[X]/(m_{x}) ≅ k[X]/(m_{x}) ⊗_{k} \overline{k} ↪ A ⊗_{k} \overline{k}, l’anneau \overline{k}[X]/(m_{x}) est réduit et il en découle immédiatement que le polynôme m_{x} est séparable. Soient alors x_{1},...,x_{n} des générateurs de A sur k, de polynômes minimaux respectifs m_{1},...,m_{n} sur k; l’application canonique ∏ _{i=1}^{n} k[X]/(m_{i}) → A est un épimorphisme de kalgèbres et il existe un sous-ensemble I de {1,...,n} tel que A soit isomorphe à la k-algèbre ∏ _{i∈I} k[X]/(m_{i}).

(iii) ⟹ (iv) Si A est isomorphe au produit d’une famille finie (k_{i})_{i∈I} d’extensions finies séparables de k,

Hom_{k−alg} (A,\overline{k}) ≃ ∏_{i∈I} Hom_{k−alg} (k_{i},\overline{k})

est de cardinal ∏ _{i∈I}[k_{i} : k] = [A : k] et donc A est diagonalisée par \overline{k}.

(iv) ⟹ (i) Soit k_{0} une extension de k diagonalisant A. Quelle que soit l’extension K de k, K et k_{0} sont contenues dans une extension commune K_{0} de k et A ⊗_{k}K est isomorphe à un sous-anneau de A ⊗_{k}K_{0} ; comme ce dernier est isomorphe à l’anneau produit K_{0}^{n} pour un certain entier n ⩾ 1, il est réduit et il en de de même de A ⊗_{k}K. □

Remarques

4.2. Γ-ensembles finis

Pour qu’une action de Γ sur un espace discret X soit continue, il faut et il suffit que les stablisateurs soient des sous-groupes ouverts ; comme les sous-groupes ouverts de Γ sont d’indice fini, les orbites sont alors finies.

On désigne par Γ − ens_{0} la catégorie dont

- les objets sont les ensembles finis munis d’une action continue du groupe Γ ;

- les flèches sont les applications Γ-équivariantes.

Pour tout Γ-ensemble fini X, on désigne par Hom_{Γ}(X,k^{s}) l’ensemble des applications Γ-équivariantes de X dans k^{s}. Il s’agit naturellement d’une k-alg|‘ebre. |textbfProposition 4 — Soit X un Γ-ensemble fini [...]

4.3. Équivalence de Galois Nous allons définir maintenant deux foncteurs contravariants

\xymatrix{k − alg_{0} \ar[r]^{S} & Γ − ens_{0} \ar[l]^{F}} .

(i) Pour toute k-algèbre finie étale A, S(A) est l’ensemble Hom_{k−alg} (A,k^{s}) muni de l’action de Γ provenant de son action naturelle sur k^{s}.

(ii) Pour toute flèche f ∈ Hom_{k−alg} (A,B), S(f) est l’application S(B) → S(A), u ↦ u∘f. (i’) Pour tout Γ-ensemble fini X, F(X) est l’ensemble Hom_{Γ}(X,k^{s}) des applications Γ-

équivariantes de X dans k^{s}, que l’on équipe de sa structure naturelle de k-algèbre. Notons que le groupe Γ opère naturellement sur la k^{s}-algèbre des applications de X dans k^{s} via

(γu)(x) = γu(γ^{−1} x)

pour tous u ∈ Hom_{ens}(X,k^{s}), γ ∈ Γ et x ∈ X et Hom_{Γ}(X,k^{s}) n’est pas autre chose que la sous-k-algèbre des éléments invariants sous cette action.

- Pour toute flèche f ∈ Hom_{Γ−ens_{0}} (X,Y), F(f) : F(Y) → F(X) est l’homomorphisme de k-algèbres défini par F(f)(u) = u ∘ f.

Théorème — Les foncteurs S et F sont des anti-équivalences de catégories réciproques. Démonstration. Pour toute k-algèbre finie étale A, l’application canonique

A × Hom_{k−alg} (A,k^{s}) → k^{s}, (a,σ) ↦ σ(a)

induit une flèche φ_{A} : (F ∘ S)(A). La collection des φ_{A} définit un morphisme de foncteurs φ : id→ F ∘ S.

Pour tout Γ-ensemble fini X, l’application canonique

X × Hom_{Γ}(X,k^{s}) → k^{s}, (x,u) ↦ u(x)

induit une flèche ψ : X → (S∘F)(X). La collection des ψ_{X} définit un morphisme de foncteurs ψ : id→ S ∘ F.

Il reste à démontrer que φ et ψ sont des isomorphismes de foncteurs.

Pour tout Γ-ensemble fini X, la k^{s}-algèbre

F(X) ⊗_{k}k^{s} = Hom_{Γ}(X,k^{s}) ⊗_{k}k^{s}

s’identifie canoniquement à Hom_{Γ}(X,k^{s} ⊗_{k}k^{s}) si l’on fait agir Γ sur le premier facteur de k^{s} ⊗_{k}k^{s} et si l’on utilise le second facteur pour définir la structure de k^{s}-algèbre. Le fait que X soit fini permet de remplacer k^{s} par une extension galoisienne finie K de k dans k^{s} suffisamment grande :

F(X) ⊗_{k}K = Hom_{Γ}(X,K) ⊗_{k}K) ⊗_{k}K ≅ Hom_{Γ}(X,K ⊗_{k}K).

Pour toute k-algèbre étale A,

(F ∘ S)(A) ⊗_{k}k^{s} = Hom_{Γ}(S(A),k^{rms}) ⊗_{k}k^{s}

s’identifie à la k^{s}-algèbre

φ_{A}⊗ id: A ⊗_{k}k^{s} → (F ∘ S)(A) ⊗_{k}k^{s}

l’unique application k^{s}-linéaire

A ⊗_{k}k^{s} → ⨁_{σ∈S(A)} k^{s}e_{σ}

envoyant a ⊗ 1 sur ∑_{σ∈S(A)} σ(a)e_{σ} est un isomorphisme de k^{s}-algèbres.

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