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\begin{document}

\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2008} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}
\begin{center} {\bfseries \scshape Th\'eorie de Galois}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{3. Th\'eorie de Galois infinie}

\vspace{0.1cm} On se propose d'\'etendre la th\'eorie de Galois aux extensions \emph{alg\'ebriques} mais non n\'ecessairement finies d'un corps $k$. 

\vspace{0.4cm} \textbf{3.1. Extensions galoisiennes infinies}

\vspace{0.1cm} Commen{\c c}ons par \'etendre la d\'efinition des extensions galoisiennes ; on se fonde pour cela sur la caract\'erisation \'etablie au th\'eor\`eme 7.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 3.1}} --- \emph{Soit $k'/k$ une extension alg\'ebrique. Les conditions suivantes sont \'equivalentes :
\begin{itemize}
\item[(i)] $k$ est le sous-corps de $k'$ invariant par ${\rm Aut}(k'/k)$ ;
\item[(ii)]  l'extension $k'/k$ est s\'eparable et tout polyn\^ome irr\'eductible $f \in k[\X]$ admettant une racine dans $k'$ est scind\'e dans $k'$ (l'extension est \emph{normale});
\item[(iii)] $k'$ est la r\'eunion des extensions finies galoisiennes de $k$ dans $k'$.
\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. $(i) \Rightarrow (ii)$ Soit $x \in k'$ et soit $m_x$ son polyn\^ome minimal sur $k$. L'ensemble $\mathcal{R}$ des racines de $m_x$ dans $k'$ est stable sous l'action de ${\rm Aut}(k'/k)$ et le polyn\^ome $$f = \prod_{\alpha \in \mathcal{R}}(\X - \alpha)$$ est donc \`a coefficients dans $k$. Comme $f(x)=0$, ce polyn\^ome est divisible par $m_x$ et donc finalement $f = m_x$ puisque $f$ est unitaire et ${\rm deg}(f) \leqslant {\rm deg }(m_x)$.

\vspace{0.1cm} $(ii) \Rightarrow (iii)$ Soit $x \in k'$ de polyn\^ome minimal $m_x \in k[\X]$. Le polyn\^ome $m_x$ \'etant s\'eparable et scind\'e sur $k'$, son corps de d\'ecomposition dans $k'$ fournit une extension finie galoisienne de $k$ dans $k'$ contenant $x$.

\vspace{0.1cm} $(iii) \Rightarrow (i)$ Soit $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k'$ (donc \'egalement de $k$) et soit $x \in k' - k$. Comme $x$ est s\'eparable sur $k$, il existe un $k$-homomorphisme $\sigma$ de $k(x)$ dans $\overline{k}$ tel que $\sigma(x) \neq x$. L'inclusion $i : k(x) \rightarrow \overline{k}$  et l'homomorphisme $\sigma : k(x) \rightarrow \overline{k}$ fournissant deux cl\^otures alg\'ebriques de $k(x)$, il existe un $k$-automorphisme $\overline{\sigma}$ de $\overline{k}$ tel que $\sigma  = \overline{\sigma} \circ i$. Si $\K/k$ est une extension finie galoisienne de $k$ dans $\overline{k}$, $\K$ est engendr\'e sur $k$ par les racines d'un polyn\^ome s\'eparable $f \in k[\X]$ (th\'eor\`eme 7) et donc $\overline{\sigma}(\K) = \K$ car $\overline{\sigma}$ permute les racines de $f$. On a ainsi $\overline{\sigma}(k') = k'$, et $\overline{\sigma}_{|k'}$ est un $k$-automorphisme de $k'$ ne fixant pas $x$. \hfill $\Box$

\vspace{0.1cm} Une extension alg\'ebrique $k'/k$ est dite \emph{galoisienne} si elle satisfait aux trois conditions \'equivalentes de la proposition. Vu (iii), cette d\'efinition co\"{\i}ncide avec la pr\'ec\'edente lorsque l'extension est finie. On pose ${\rm Gal}(k'|k) = {\rm Aut}(k'/k)$ pour toute extension galoisienne $k'/k$ et on parle du \emph{groupe de Galois} de l'extension.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple 3.2}} --- \'Etant donn\'ee une cl\^oture alg\'ebrique $\overline{k}$ de $k$, le sous-corps $k(\mu_{\infty})$ de $\overline{k}$ engendr\'e par les racines de l'unit\'e d'ordre premier \`a la caract\'eristique de $k$ est une extension galoisienne de $k$.

\vspace{0.4cm} \textbf{3.2. Groupe de Galois absolu}

\vspace{0.2cm} \'Etant donn\'ee une cl\^oture alg\'ebrique $\overline{k}$ de $k$, deux extensions finies s\'eparables $k_1$ et $k_2$ de $k$ dans $\overline{k}$ sont toujours contenues dans une m\^eme extension finie galoisienne : il existe en effet des polyn\^omes s\'eparables $f_1$ et $f_2$ dans $k[\X]$ tels que $k_1$ (resp. $k_2$) soit un sous-corps du corps de d\'ecomposition de $f_1$ (resp. $f_2$) dans $\overline{k}$ (corollaire 9) et, par suite, le corps de d\'ecomposition du polyn\^ome s\'eparable $f = {\rm ppcm}(f_1,f_2)$ dans $\overline{k}$ est une extension finie galoisienne contenant $k_1$ et $k_2$. 

\vspace{0.1cm} Il d\'ecoule de cette observation que l'ensemble $k^{\rm s}$ des \'el\'ements de $\overline{k}$ s\'eparables sur $k$ est un sous-corps de $\overline{k}$, la \emph{cl\^oture s\'eparable} de $k$ dans $\overline{k}$. Les cl\^otures s\'eparables de $k$ dans deux cl\^otures alg\'ebriques sont \'evidemment isomorphes en tant qu'extensions de $k$. Comme, en outre, $k^{\rm s}$ est la r\'eunion des extension finies galoisiennes de $k$ dans $\overline{k}$, l'extension $k^{\rm s}/k$ est donc galoisienne.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 3.3}} --- \emph{Le groupe ${\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$ est le \emph{groupe de Galois absolu} du corps $k$ ; il est bien d\'efini \`a un isomorphisme pr\`es.}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarques 3.4}} --- 1. \'Etant donn\'es une extension galoisienne $\K|k$ et un sous-corps $k'$ de $\K$ contenant $k$, l'extension $\K/k'$ est galoisienne. 

%En effet, si $\alpha \in \K$, le polyn\^ome minimal $\widetilde{m}$ de $\alpha$ sur $k'$ divise le polyn\^ome minimal $m$ de $\alpha$ sur $k$ ; comme $m$ est s\'eparable est scind\'e sur $k'$, il en est de m\^eme de $\widetilde{m}$.

%L'application de restriction $${\rm Gal}(k^{\rm s}|k) \rightarrow {\rm Hom}_k(k',k^{\rm s}), \ \ \sigma \mapsto \sigma_{|k'}$$ est surjective. En outre, si l'extension $k'/k$ est galoisienne, $\sigma(k') = k'$ pour tout $k$-automorphisme $\sigma$ de $k^{\rm s}$ et on a donc une suite exacte $$\xymatrix{ e \ar@{->}[r] & {\rm Gal}(k^{\rm s}|k') \ar@{->}[r] & {\rm Gal}(k^{\rm s}|k) \ar@{->}[r] & {\rm Gal}(k'|k) \ar@{->}[r] & e.}$$

2. On a \'evidemment $k^{\rm s} = \overline{k}$ si le corps $k$ est parfait. Dans le cas contraire, ${\rm car}(k) = p$ et l'extension $\overline{k}/k^{\rm s}$ est \emph{purement ins\'eparable} : pour tout $\alpha \in \overline{k}$, il existe un nombre entier $n$ tel que $\alpha^{p^n} \in k^{\rm s}$. En effet, le polyn\^ome minimal  $f$ de $\alpha$ sur $k$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme $f = g(\X^{q})$ avec $q = p^n$ et $g \in k[\X]$ irr\'eductible et s\'eparable ; comme $g$ est scind\'e sur $k^{\rm s}$, $\alpha^q \in k^{\rm s}$.

\vspace{0.1cm} 3. L'application de restriction $${\rm Aut}(\overline{k}/k) \rightarrow {\rm Aut}(k^{\rm s}/k), \ \ \sigma \mapsto \sigma_{|k^{\rm s}}$$ est un isomorphisme. Il suffit de le v\'erifier lorsque $k$ est un corps de caract\'eristique $p >0$. \'Etant donn\'es un $k$-automorphisme $\sigma$ de $\overline{k}$ induisant l'identit\'e sur $k^{\rm s}$ et $\alpha \in \overline{k}$, il existe un nombre entier $n \geq 0$ tel que $\alpha^{p^n} \in k^{\rm s}$ et $\sigma(\alpha)$ est donc une racine du polyn\^ome $\X^{p^n} - \alpha^{p^{n}}$ ; comme $\X^{p^n} - \alpha^{p^n} = (\X - \alpha)^{p^n}$, $\sigma(\alpha) = \alpha$ et donc $\sigma = {\rm id}$.

\vspace{0.1cm} 4. Une bonne partie de la th\'eorie des nombres contemporaines consiste en l'\'etude du groupe de Galois absolu de $\mathbb{Q}$.


\vspace{0.4cm} \textbf{3.3. Topologie du groupe de Galois} 

\vspace{0.1cm} Le groupe de Galois d'une extension poss\`ede une structure naturelle de \emph{groupe topologique} qu'il est n\'ecessaire de faire intervenir pour prolonger la correspondance de Galois aux extensions infinies. L'exemple ci-dessous montre qu'un prolongement na\"{\i}f est vou\'e \`a l'\'echec.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple 3.5}} --- Soit $p$ un nombre premier et soit $\overline{\mathbb{F}}_p$ une cl\^oture alg\'ebrique du corps fini $\mathbb{F}_p$. Le groupe de Galois absolu $\Gamma = {\rm Gal}(\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p)$ de $\mathbb{F}_p$ contient en particulier l'automorphisme de Frobenius $\F$, d\'efini par $\F(x) = x^p$ et engendrant un sous-groupe cyclique inifini $\Gamma_0 = \langle \F \rangle$. Le sous-corps de $\overline{\mathbb{F}}_p$ fix\'e par $\Gamma_0$ est le m\^eme que celui fix\'e par $\Gamma$ ; pour autant, l'inclusion $\Gamma_0 \subset \Gamma$ est \emph{stricte}.

\vspace{0.1cm} Pour tout entier $n \geqslant 1$, d\'esignons par $\pi_n$ l'isomorphisme canonique $\xymatrix{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \ar@{->}[r]^{\hspace{-0.5cm} \sim} & {\rm Gal}(\mathbb{F}_{p^n}|\mathbb{F}_p)}$ envoyant $1$ sur ${\F}$. Si $m|n$, la restriction ${\rm Gal}(\mathbb{F}_{p^n}|\mathbb{F}_p) \rightarrow {\rm Gal}(\mathbb{F}_{p^m}|\mathbb{F}_p)$ correspond, dans cette identitification, \`a l'homomorphisme canonique de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Par cons\'equent, toute suite $\underline{a} = (a_n)_{n \geqslant 1}$ de nombres entiers naturels v\'erifiant la condition $$\left(\forall \ m,n \in \mathbb{N}- \{0\}, \ m|n \Longrightarrow \ a_n \equiv a_m \ (\mathrm{mod} \ m)\right)$$ d\'efinit naturellement un $\mathbb{F}_p$-automorphisme $\sigma_{\underline{a}}$ de $\overline{\mathbb{F}}_p$ dont la restriction au sous-corps $\mathbb{F}_{p^n}$ est $\F^{a_n}$. Pour que cet automorphisme appartienne \`a $\Gamma_0$, il faut et il suffit qu'il existe $a \in \mathbb{N}$ tel que $a_n \equiv a \ (\mathrm{mod} \ n)$ pour tout $n$.

Choisissons un nombre premier $\ell$ et soit $(a_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de nombres entiers telle que, si $n = \ell^{\alpha}n'$ avec ${\rm pgcd}(\ell,n') = 1$, alors $$a_n \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ n') \ \textrm{ et } \ a_n \equiv 1+ \ell + \ldots + \ell^{\alpha -1} \ (\mathrm{mod} \ \ell^{\alpha}).$$ Cette suite satisfait \`a la condition pr\'ec\'edente en vertu du th\'eor\`eme chinois des restes mais il n'existe nombre entier naturel $a$ tel que $a_n \equiv a \ (\mathrm{mod} \ n)$ pour tout $n$.

\vspace{0.2cm} Soit $k$ un corps et soit $\K/k$ une extension galoisienne de $k$. 

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 3.6}} --- \emph{Il existe une unique structure de groupe topologique sur ${\rm Gal}(\K/k)$ telle qu'un syst\`eme fondamental de voisinages de l'identit\'e soit form\'e des sous-groupes de la forme ${\rm Gal}(\K|k')$, o\`u $k'$ est une extension finie galoisienne de $k$ dans $\K$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. De mani\`ere g\'en\'erale, si $\G$ est un groupe et $\mathcal{V}$ est une famille de sous-groupes distingu\'es stable par intersection finie, il existe une unique structure de groupe topologique sur $\G$ telle que $\mathcal{V}$ soit un syst\`eme fondamental de voisinages de l'origine : la stabilit\'e de $\mathcal{V}$ permet de munir $\G$ d'une topologie telle que $g\mathcal{V}$ soit un syst\`eme fondamental de voisinage de $g \in \G$ et l'application $(\G \times \G \rightarrow \G, \ (g,h) \mapsto gh^{-1})$ est continue puisque $g\Hr h^{-1}\Hr = gh^{-1} (h\Hr h^{-1}) \Hr = gh^{-1}\Hr$ pour tous $g, h \in \G$, $\Hr \in \mathcal{V}$.

La famille de sous-groupes distingu\'es de $\Gamma$ consid\'er\'ee ici convient car deux extensions finies galoisiennes de $k$ dans $\K$ sont contenues dans une extension finie galoisienne commune. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} Tous les groupes de Galois consid\'er\'es sont munis de la topologie que l'on vient de d\'ecrire. Si l'extension galoisienne $\K/k$ est finie, la topologie obtenue sur ${\rm Gal}(\K|k)$ est la topologie discr\`ete.

\vspace{0.2cm} Soit $\K/k$ une extension galoisienne et d\'esignons par $\Lambda$ l'ensemble des extensions finies galoisiennes de $k$ dans $\K$. Le groupe $\prod_{k' \in \Lambda} {\rm Gal}(k'|k)$ est muni de la topologie produit ; c'est un groupe topologique compact et totalement discontinu (tout point admet un syst\`eme fondamental de voisinage ouverts et ferm\'es).

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 3.7}} --- \emph{L'application naturelle $${\rm Gal}(\K|k) \rightarrow \prod_{k' \in \Lambda} {\rm Gal}(\K|k'), \ \ \sigma \mapsto (\sigma_{|k'})_{k' \in \Lambda}$$ est un homomorphisme injectif de groupes topologiques d'image ferm\'ee. En particulier, le groupe topologique ${\rm Gal}(\K|k)$ est compact et totalement discontinu.}
 
\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. Cette application est clairement d'un homomorphisme injectif de groupes topologiques. Son image est l'ensemble $\Hr$ des familles $(\sigma_{k'})_{k'\in \Lambda}$ telles que, pour toutes extensions $k_1, k_2 \in \Lambda$ avec $k_1 \subset k_2$, $\sigma_{k_1}$ soit la restriction de $\sigma_{k_2}$ \`a $k_1$. Par suite, si $g = (\sigma_{k'})_{k' \in \Lambda}$ n'appartient pas \`a $\Hr$ et si $k_1 , k_2  \in \Lambda$ sont deux extensions telles que $k_1 \subset k_2$ et $\sigma_{k_1}$ ne soit la restriction de $\sigma_{k_2}$ \`a $k_1$, alors $g u \notin \Hr$ pour tout $u$ appartenant au noyau de la projection $$\prod_{k' \in \Lambda} {\rm Gal}(k'|k) \rightarrow {\rm Gal}(k_1|k) \times {\rm Gal}(k_2|k).$$ Ce noyau \'etant ouvert par d\'efinition de la topologie produit, cela prouve que $\Hr$ est ferm\'e. \hfill $\Box$

\vspace{0.5cm} \textbf{3.4. Extension de la correspondance de Galois}

Nous sommes maintenant en mesure de prolonger la correspondance de Galois aux extensions alg\'ebriques quelconques.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 3.8}} --- \emph{Soit $\K/k$ une extension galoisienne et soit $\Gamma = {\rm Gal}(\K|k)$. Les applications $$\xymatrix{\{\textrm{sous-groupes ferm\'es de } {\rm Gal}(\K/k)\} \ar@<1ex>[r]^{{\rm u}} & \{\textrm{sous-corps de } \K \textrm{ contenant } k\} \ar@<1ex>[l]^{v} \\}$$ d\'efinies par $u(\Hr) = \K^{\Hr}$ et $v(k') = {\rm Gal}(\K|k')$ sont des bijections d\'ecroissantes r\'eciproques. Les sous-groupes ouverts (resp. distingu\'es) correspondent aux extensions finies (resp. galoisiennes) de $k$ dans $\K$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. Si $k'$ est une extension finie de $k$ dans $\K$, alors ${\rm Gal}(\K|k')$ est un sous-groupe ouvert de $\Gamma$ car il contient le sous-groupe ouvert ${\rm Gal}(\K|k'')$, o\`u $k''$ est une extension finie galoisienne de $k$ dans $\K$ contenant $k'$. Par ailleurs, tout sous-groupe ouvert $\Hr$ de $\Gamma$ est \'egalement ferm\'e puisque son compl\'ementaire $\bigcup_{g \in \Gamma -\Hr} g\Hr$ est ouvert. On en d\'eduit que ${\rm Gal}(\K|k')$ est un sous-groupe ferm\'e de $\Gamma$ pour toute extension $k'$ de $k$ dans $\K$ car $${\rm Gal}(\K|k') = \bigcap_{{\tiny \begin{array}{l} k \subset k'' \subset k' \\ k'' /k \ \textrm{finie}\end{array}}} {\rm Gal}(\K|k'').$$ En outre, $k' = u({\rm Gal}(\K|k'))$ puisque l'extension $\K/k'$ est galoisienne.

\vspace{0.1cm}
Consid\'erons maintenant un sous-groupe $\Hr$ de $\Gamma$ et soient $k' = \K^{\Hr}$, $\Hr' = {\rm Gal}(\K|k')$ ; l'inclusion $\Hr \subset \Hr'$ est triviale. Soit r\'eciproquement $\sigma$ un $k'$-automorphisme de $\K$ et soit $k_1$ une extension finie galoisienne de $k$ dans $\K$. D\'esignant par $\Hr_1$ et $\Hr_1'$ les images respectives de $\Hr$ et $\Hr'$ par l'homomorphisme de restriction $\Gamma \rightarrow {\rm Gal}(k_1|k)$, $$k_1^{\Hr_1} = \{x \in k_1 \ | \ \sigma(x) = x, \textrm{ pour tout } \sigma \in \Hr\} = k' \cap k_1$$ et donc $\Hr_1 = {\rm Gal}(k_1|k_1 \cap k')$ en vertu de la correspondance de Galois pour les extensions finies. Comme $\Hr_1' \subset {\rm Gal}(k_1|k_1 \cap k')$, $\Hr_1 = \Hr_1'$ et il existe ainsi un \'el\'ement $\tau$ de $\Hr$ tel que $\tau_{|k_1} = \sigma_{|k_1}$. Par suite, $\sigma {\rm Gal}(\K|k_1) \cap \Hr \neq \varnothing$ et, comme $k_1$ est arbitraire, ceci montre que $\sigma$ est adh\'erent \`a $\Hr$. En particulier, si $\Hr$ est un sous-groupe ferm\'e de $\Gamma$, alors $\Hr  = {\rm Gal}(\K|\K^{\Hr})$.

\vspace{0.1cm} Pour qu'une extension $k'$ de $k$ dans $\K$ soit galoisienne, il faut et il suffit que l'on ait $\sigma(k') = k'$ pour tout $\sigma \in \Gamma$ ; vu la correspondance que l'on vient d'\'etablir, cela revient \`a demander que ${\rm Gal}(\K|k')$ soit un sous-groupe distingu\'e de $\Gamma$, auquel cas ${\rm Gal}(k'|k) \cong {\rm Gal}(\K|k)/{\rm Gal}(\K|k')$. Enfin, si $\Hr$ est un sous-groupe ouvert de $\Gamma$, il existe par hypoth\`ese une extension galoisienne finie $k'$ de $k$ dans $\K$ telle que ${\rm Gal}(\K|k') \subset \Hr$ ; on a alors $\K^{\Hr} \subset k'$ et l'extension $\K^{\Hr}/k$ est ainsi finie. Noter que l'on a $$(\Gamma : \Hr) = ({\rm Gal}(k'|k) : {\rm Gal}(k'|\K^{\Hr}) = [k^{\Hr} : k].$$

\hfill $\Box$

\newpage

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{4. Reformulation fonctorielle}

\vspace{0.1cm} Soient $k$ un corps, $k^{\rm s}$ une cl\^oture s\'eparable de $k$ et $\Gamma = {\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$ le groupe de Galois absolu de $k$. La th\'eorie de Galois peut se reformuler sous la forme d'une \'equivalence de cat\'egories.

\vspace{0.2cm} \textbf{4.1. Alg\`ebres \'etales}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 4.1.}} --- \emph{Une $k$-alg\`ebre finie $\A$ est dite \begin{itemize} \item[(i)] \emph{diagonalisable} s'il existe un nombre entier $n \geqslant 1$ tel que $\A$ soit isomorphe \`a la $k$-alg\`ebre produit $k^n$ ; \item[(ii)] \emph{\'etale} s'il existe une extension $\K$ de $k$ telle que la $\K$-alg\`ebre $\A \otimes_k \K$ soit diagonalisable. On dit alors que $\K$ \emph{diagonalise} $\A$.\end{itemize}}

\vspace{0.2cm} On d\'esigne par $k-\mathbf{alg}^{\mathbf{\'et}}_{\mathbf{f}}$ la cat\'egorie dont \begin{itemize} \item[-] les objets sont les $k$-alg\`ebres \'etales ; \item[-] les fl\`eches sont les homomorphismes de $k$-alg\`ebres \end{itemize}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 4.2.}} --- \emph{Soit $\B$ une $k$-alg\`ebre, non n\'ecessairement commutative. Toute famille $\mathcal{F} \subset {\rm Hom}_{k - \mathbf{vect}}(\B,k)$ constitu\'ee d'homomorphismes d'alg\`ebres est libre.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. Si $\mathcal{F}$ n'est pas libre, consid\'erons une relation de d\'ependance lin\'eaire non triviale faisant intervenir un nombre minimal d'\'el\'ements de $\mathcal{F}$. Cette relation peut s'\'ecrire sous la forme $$\lambda_1 \sigma_1 + \ldots + \lambda_n \sigma_n = 0,$$ o\`u $n \geqslant 2$, $\lambda_i \neq 0$ pour tout $i$ et $\sigma_i \neq \sigma_j$ si $i \neq j$. Quel que soit $s \in \B$,  cette relation fournit l'identit\'e $$\lambda_1 \sigma_1(s) \sigma_1 + \ldots + \lambda_n \sigma_n(s)\sigma_n = 0$$ puis $$\lambda_2(\sigma_1(s) - \sigma_2(s)) \sigma_2 + \ldots + \lambda_n (\sigma_1(s) - \sigma_n(s))\sigma_n = 0$$ par combinaison lin\'eaire. Comme $\sigma_1 \neq \sigma_2$, on peut choisir $s \in \B$ tel que $\sigma_1(s) \neq \sigma_2(s)$ et on obtient de la sorte une relation de d\'ependance lin\'eaire non triviale contredisant la minimalit\'e de la relation initiale.  \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 4.3.}} --- \emph{Soit $\A$ une $k$-alg\`ebre finie diagonalisable (resp. \'etale). Toute sous-$k$-alg\`ebre et toute $k$-alg\`ebre quotient de $\A$ est diagonalisable (resp. \'etale).}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. \hfill $\Box$

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 4.4.}} --- \emph{Soit $\A$ une $k$-alg\`ebre finie.  \begin{itemize}
\item[(i)] Pour toute extension $\K/k$, le cardinal de l'ensemble ${\rm Hom}_{k-\mathbf{alg}}(\A,\K)$ est major\'e par $[\A:k]$. Pour qu'il y ait \'egalit\'e, il faut et il suffit que $\K$ diagonalise $\A$.
    \item[(ii)] Si $\A$ est une $k$-alg\`ebre \'etale, elle est diagonalis\'ee par une extension finie s\'eparable de $k$.\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. (i) Posons $$\X = {\rm Hom}_{k-\mathbf{alg}}(\A,\K) = {\rm Hom}_{k-\mathbf{alg}}(\A \otimes_k \K, \K)$$ et consid\'erons l'application $\K$-lin\'eaire canonique $$u : {\rm Hom}_{\mathbf{ens}}(\X,\K) \rightarrow {\rm Hom}_{k-\mathbf{vect}}(\A,\K), \ \ f \mapsto \sum_{\sigma \in \X} f(\sigma) \sigma.$$ Il s'agit d'une application injective en vertu du lemme pr\'ec\'edent et l'application contragr\'ediente $u^{\vee}$ s'identitifie \`a l'homomorphisme de $\K$-alg\`ebres $$\A \otimes_k \K \rightarrow \bigoplus_{\sigma \in \X} \K e_{\sigma}$$ envoyant $a \otimes \lambda$ sur $\sum_{\sigma \in \X} \lambda \sigma(a) e_{\sigma}$.

La majoration $|\X| \leqslant [\A:k]$ d\'ecoule de l'injectivit\'e de $u$ et il y a clairement \'egalit\'e si $\K$ diagonalise $\A$. R\'eciproquement, si $|\X| = [\A:k]$, alors $u^{\vee}$ est un isomorphisme et donc $\A$ est diagonalis\'ee par $\K$.

\vspace{0.1cm} (ii) Si $\A$ est \'etale, il existe une extension $\K$ de $k$ diagonalisant $\A$. Quel que soit l'homomorphisme $\sigma \in {\rm Hom}_{k-\mathbf{alg}}(\A,\K)$, $\sigma(\A)$ est une sous-$k$-alg\`ebre finie de $\K$, donc une extension finie de $k$ dans $\K$. La $k$-alg\`ebre $\sigma(\A)$ \'etant un quotient de $\A$, elle est diagonalis\'ee par $\K$ ; on a donc $|\mathrm{Hom}_{k-\mathbf{alg}}(\sigma(\A), \K)| = [u(\A):k]$, ce qui prouve que l'extension $\sigma(\A)/k$ est s\'eparable. \hfill $\Box$


\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition}} --- \emph{Les conditions suivantes sont \'equivalentes pour toute $k$-alg\`ebre finie $\A$.
\begin{itemize}
\item[(i)] Pour toute extension $\K/k$, l'anneau $\A \otimes_k \K$ est r\'eduit.
\item[(ii)] L'anneau $\A \otimes_k \overline{k}$ est r\'eduit.
\item[(iii)] $\A$ est isomorphe au produit d'un nombre fini d'extensions finies s\'eparables de $k$.
\item[(iv)]  $\A$ est \'etale.
\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. L'implication $(i) \Rightarrow (ii)$ est triviale. 

$(ii) \Longrightarrow (iii)$ \'Etant donn\'e un \'el\'ement $x$ de $\A$, la sous-$k$-alg\`ebre $k[x]$ engendr\'ee par $x$ est canoniquement isomorphe \`a $k[\X]/(m_x)$, o\`u $m_x$ est le polyn\^ome minimal de $x$ sur $k$. L'injection $k[\X]/(m_x) \hookrightarrow \A$ induisant une injection $\overline{k}[\X]/(m_x) \cong k[\X]/(m_x) \otimes_k \overline{k} \hookrightarrow \A \otimes_k \overline{k}$, l'anneau $\overline{k}[\X]/(m_x)$ est r\'eduit et il en d\'ecoule imm\'ediatement que le polyn\^ome $m_x$ est s\'eparable. Soient alors $x_1, \ldots, x_n$ des g\'en\'erateurs de $\A$ sur $k$, de polyn\^omes minimaux respectifs $m_1, \ldots, m_n$ sur $k$ ; l'application canonique $\prod_{i =1}^{n} k[\X]/(m_i) \rightarrow \A$ est un \'epimorphisme de $k$-alg\`ebres et il existe un sous-ensemble $\I$ de $\{1,\ldots, n\}$ tel que $\A$ soit isomorphe \`a la $k$-alg\`ebre $\prod_{i \in \I} k[\X]/(m_i)$.

\vspace{0.1cm} $(iii) \Longrightarrow (iv)$ Si $\A$ est isomorphe au produit d'une famille finie $(k_i)_{i \in \I}$ d'extensions finies s\'eparables de $k$, $${\rm Hom}_{k-\mathbf{alg}}(\A,\overline{k}) \simeq \prod_{i \in \I} {\rm Hom}_{k-{\mathbf{alg}}}(k_i,\overline{k})$$ est de cardinal $\prod_{i \in \I} [k_i : k] = [\A : k]$ et donc $\A$ est diagonalis\'ee par $\overline{k}$.

\vspace{0.1cm} $(iv) \Longrightarrow (i)$ Soit $k_0$ une extension de $k$ diagonalisant $\A$. Quelle que soit l'extension $\K$ de $k$, $\K$ et $k_0$ sont contenues dans une extension commune $\K_0$ de $k$ et $\A \otimes_k \K$ est isomorphe \`a un sous-anneau de $\A \otimes_k \K_0$ ; comme ce dernier est isomorphe \`a l'anneau produit $\K_0^n$ pour un certain entier $n \geqslant 1$, il est r\'eduit et il en de de m\^eme de $\A \otimes_k \K$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarques}}

\vspace{0.2cm} \textbf{4.2. $\Gamma$-ensembles finis}

\vspace{0.1cm} Pour qu'une action de $\Gamma$ sur un espace discret $\X$ soit continue, il faut et il suffit que les stablisateurs soient des sous-groupes ouverts ; comme les sous-groupes ouverts de $\Gamma$ sont d'indice fini, les orbites sont alors finies. 

\vspace{0.1cm} On d\'esigne par $\Gamma-\mathbf{ens}_0$ la cat\'egorie dont \begin{itemize} \item[-] les objets sont les ensembles finis munis d'une action continue du groupe $\Gamma$ ; \item[-] les fl\`eches sont les applications $\Gamma$-\'equivariantes. \end{itemize}

\vspace{0.2cm} Pour tout $\Gamma$-ensemble fini $\X$, on d\'esigne par ${\rm Hom}_{\Gamma}(\X,k^{\rm s})$ l'ensemble des applications $\Gamma$-\'equivariantes de $\X$ dans $k^{\rm s}$. Il s'agit naturellement  d'une $k$-alg|`ebre.

\vspace{0.2} \noindent |textbf{\emph{Proposition 4}} --- \emph{Soit $\X$ un $\Gamma$-ensemble fini [...]}

\vspace{0.4cm} \textbf{4.3. \'Equivalence de Galois}
 
\vspace{0.3cm} Nous allons d\'efinir maintenant deux foncteurs contravariants $$\xymatrix{k-\mathbf{alg}_0 \ar@<1ex>[r]^{\Sr} & \Gamma-\mathbf{ens}_0 \ar@<1ex>[l]^{\F}}.$$ 
\vspace{0.1cm} \begin{itemize} \item[(i)] Pour toute $k$-alg\`ebre finie \'etale $\A$, $\Sr(\A)$ est l'ensemble ${\rm Hom}_{k-\mathbf{alg}}(\A,k^{\rm s})$ muni de l'action de $\Gamma$ provenant de son action naturelle sur $k^{\rm s}$. \item[(ii)] Pour toute fl\`eche $f \in {\rm Hom}_{k-\mathbf{alg}}(\A,\B)$, $\Sr(f)$ est l'application $\Sr(\B) \rightarrow \Sr(\A), \ u \mapsto  u \circ f$. \end{itemize}

\vspace{0.1cm} \begin{itemize} \item[(i')] Pour tout $\Gamma$-ensemble fini $\X$, $\F(\X)$ est l'ensemble ${\rm Hom}_{\Gamma}(\X, k^{\rm s})$ des applications $\Gamma$-\'equivariantes de $\X$ dans $k^{\rm s}$, que l'on \'equipe de sa structure naturelle de $k$-alg\`ebre. Notons que le groupe $\Gamma$ op\`ere naturellement sur la $k^{\rm s}$-alg\`ebre des applications de $\X$ dans $k^{\rm s}$ via $$(\gamma u)(x) = \gamma u(\gamma^{-1}x)$$ pour tous $u \in {\rm Hom}_{\mathbf{ens}}(\X,k^{\rm s})$, $\gamma \in \Gamma$ et $x \in \X$ et ${\rm Hom}_{\Gamma}(\X,k^{\rm s})$ n'est pas autre chose que la sous-$k$-alg\`ebre des \'el\'ements invariants sous cette action.
\item[-] Pour toute fl\`eche $f \in {\rm Hom}_{\Gamma-\mathbf{ens}_0}(\X,\Y)$, $\F(f) : \F(\Y) \rightarrow \F(\X)$ est l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres d\'efini par $\F(f)(u) = u \circ f.$ \end{itemize}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme}} --- \emph{Les foncteurs $\Sr$ et $\F$ sont des anti-\'equivalences de cat\'egories r\'eciproques.}

\vspace{0.1cm}
\noindent \textbf{D\'emonstration}. Pour toute $k$-alg\`ebre finie \'etale $\A$, l'application canonique $$\A \times {\rm Hom}_{k-\mathbf{alg}}(\A,k^{\rm s}) \rightarrow k^{\rm s}, \ \  (a, \sigma) \mapsto \sigma(a)$$ induit une fl\`eche $\varphi_{\A} : (\F \circ \Sr)(\A)$. La collection des $\varphi_{\A}$ d\'efinit un morphisme de foncteurs $\varphi : \mathrm{id} \rightarrow \F \circ \Sr$.

\vspace{0.1cm} Pour tout $\Gamma$-ensemble fini $\X$, l'application canonique $$\X \times {\rm Hom}_\Gamma (\X,k^{\rm s}) \rightarrow k^{\rm s}, \ \ (x, u) \mapsto u(x)$$ induit une fl\`eche $\psi : \X \rightarrow (\Sr \circ \F)(\X)$. La collection des $\psi_{\X}$ d\'efinit un morphisme de foncteurs $\psi : \mathrm{id} \rightarrow \Sr \circ \F$.

\vspace{0.1cm} Il reste \`a d\'emontrer que $\varphi$ et $\psi$ sont des isomorphismes de foncteurs.

\vspace{0.1cm} Pour tout $\Gamma$-ensemble fini $\X$, la $k^{\rm s}$-alg\`ebre $$\F(\X) \otimes_k k^{\rm s} = {\rm Hom}_{\Gamma}(\X,k^{\rm s}) \otimes_k k^{\rm s}$$ s'identifie canoniquement \`a ${\rm Hom}_{\Gamma}(\X, k^{\rm s} \otimes_k k^{\rm s})$ si l'on fait agir $\Gamma$ sur le premier facteur de $k^{\rm s} \otimes_k k^{\rm s}$ et si l'on utilise le second facteur pour d\'efinir la structure de $k^{\rm s}$-alg\`ebre. Le fait que $\X$ soit fini permet de remplacer $k^{\rm s}$ par une extension galoisienne finie $\K$ de $k$ dans $k^{\rm s}$ suffisamment grande : $$\F(\X) \otimes_k \K = {\rm Hom}_{\Gamma}(\X, \K) \otimes_k \K) \otimes_k \K \cong {\rm Hom}_{\Gamma}(\X,K \otimes_k \K).$$

\vspace{0.1cm} Pour toute $k$-alg\`ebre \'etale $\A$, $$(\F \circ \Sr)(\A) \otimes_k k^{\rm s} = {\rm Hom}_{\Gamma}(\Sr(\A), k^{rm s}) \otimes_k k^{\rm s}$$ s'identifie \`a la $k^{\rm s}$-alg\`ebre$$\varphi_{\A} \otimes {\rm id} : \A \otimes_k k^{\rm s} \rightarrow (\F \circ \Sr)(\A) \otimes_k k^{\rm s}$$

l'unique application $k^{\rm s}$-lin\'eaire $$\A \otimes_k k^s \rightarrow \bigoplus_{\sigma \in \Sr(\A)} k^{\rm s}e_{\sigma}$$ envoyant $a \otimes 1$ sur $\sum_{\sigma \in \Sr(\A)} \sigma(a) e_{\sigma}$ est un isomorphisme de $k^{\rm s}$-alg\`ebres.

\end{document}