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\begin{document}

\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2008} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}
\begin{center} \textbf{4. Anneaux de Jacobson}
\end{center}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(4.1)} Soit $\X$ un espace topologique. Une partie $\Z$ est $\X$ est \emph{localement ferm\'ee} si elle est de la forme $\Z = \U \cap \F$, avec $\U$ ouvert et $\Y$ ferm\'e. Une partie $\X_0$ de $\X$ est \emph{partout dense} si elle rencontre toute partie localement ferm\'ee non vide de $\X$.

\vspace{0.2cm} Soit $\A$ un anneau ; on pose $\X = \mathrm{Spec}(\A)$ et on d\'esigne par $\X_0$ l'ensemble des points \emph{ferm\'es} de $\X$, c'est-\`a-dire l'ensemble des id\'eaux maximaux de $\A$. On dit que $\A$ est un \emph{anneau de Jacobson} si $\X_0$ est une partie partout dense de $\X$.


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 1}} --- \emph{Les conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(i)] $\A$ est un anneau de Jacobson ; \item[(ii)] pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ et tout \'el\'ement $f$ de $\A - \mathfrak{p}$, $\V(\mathfrak{p}) \cap \D(f)$ rencontre $\X_0$ ; \item[(iii)] tout id\'eal premier de $\A$ est l'intersection des id\'eaux maximaux les contenant. \end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) $\Rightarrow$ (ii) \'Etant donn\'es un id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ et un \'el\'ement $f$ de $\A$, la partie localement ferm\'ee $\V(\mathfrak{p}) \cap \D(f)$ de $\X$ est canoniquement isomorphe \`a l'ouvert principal $\D(\overline{f})$ de $\mathrm{Spec}(\A/\mathfrak{p})$, o\`u $\overline{f}$ d\'esigne l'image de $f$ dans $\A/\mathfrak{p}$. Pour que cet ouvert soit vide, il faut et il suffit que $\overline{f}$ soit nilpotent ; comme l'anneau $\A/\mathfrak{p}$ est int\`egre, cela revient \`a $\overline{f}=0$, i.e. $f \in \mathfrak{p}$.

\vspace{0.1cm} (ii) $\Leftrightarrow$ (iii) Pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$ et tout \'el\'ement $f$ de $\A$, $\X_0 \cap \V(\mathfrak{p}) \cap \D(f)$ est pr\'ecis\'ement l'ensemble des id\'eaux maximaux de $\A$ contenant $\mathfrak{p}$ et ne contenant pas $f$. L'\'equivalence des conditions (ii) et (iii) est donc claire.

\vspace{0.1cm} (ii) $\Rightarrow$ (i) Consid\'erons un ferm\'e $\F$ et un ouvert $\U$ de $\X$ tels que $\Z = \U \cap \F$ soit non vide. Si $\mathfrak{p}$ est un id\'eal premier de $\A$ contenu dans $\Z$, $\F$ contient l'adh\'erence $\V(\mathfrak{p})$ de $\mathfrak{p}$ ; en outre, les ouverts principaux de $\X$ formant une base de la topologie, l'ouvert non vide $\U \cap \V(\mathfrak{p})$ de $\V(\mathfrak{p})$ contient un ouvert non vide de la forme $\D(f) \cap \V(\mathfrak{p})$ avec $f \in \A - \mathfrak{p}$. Finalement, $\X_0 \cap \Z \neq \varnothing$ et $\A$ est un anneau de Jacobson. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque.}} Vu la condition (iii), tout quotient d'un anneau de Jacobson est encore un anneau de Jacobson.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples}}. (i) Tout corps $k$ est un anneau de Jacobson ; il en est de m\^eme de l'anneau $k[\T]$.

\noindent (ii) $\mathbb{Z}$ est un anneau de Jacobson.
 
\noindent (iii) Pour qu'un anneau \emph{local} $\A$ soit un anneau de Jacobson, il faut et il suffit que $\mathrm{Spec}(\A)$ soit r\'eduit \`a un point, i.e. que $\A$ ne poss\`ede qu'un seul id\'eal premier. Cette condition \'equivaut \`a dire que l'anneau r\'eduit $\A/\mathfrak{N}(\A)$ est un corps. 

\noindent (iv) L'anneau $\mathbb{Z}_{(p)}$ obtenu en localisant $\mathbb{Z}$ en un id\'eal maximal $(p)$ n'est pas de Jacobson : $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}_{(p)})$ est form\'e d'un point ferm\'e $(p)$ et un point dense $(0)$, et l'ouvert principal $\D(p)$ ne contient que $(0)$.

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{(4.2)} Les anneaux de Jacobson poss\`edent une remarquable propri\'et\'e de stabilit\'e.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 2}} --- \emph{Soit $\A$ un anneau de Jacobson et soit $\xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\varphi} & \B}$ une $\A$-alg\`ebre de type fini.
\begin{itemize} \item[(i)] $\B$ est un anneau de Jacobson. \item[(ii)] Pour tout id\'eal maximal $\mathfrak{m'}$ de $\B$, $\mathfrak{m} = \varphi^{-1}(\mathfrak{m}')$ est un id\'eal maximal de $\A$ et l'extension de corps r\'esiduels $\A/\mathfrak{m} \hookrightarrow \B/\mathfrak{m}'$ est \emph{finie}.\end{itemize}}

\vspace{0.4cm} L'ingr\'edient essentiel pour d\'emontrer ce th\'eor\`eme est le \emph{lemme de normalisation de Noether}, vu l'an dernier en \emph{Alg\`ebre 2}.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme de Normalisation de Noether}} --- \emph{Soient $k$ un corps et $\R$ une $k$-alg\`ebre de type fini int\`egre. Il existe des \'el\'ements $\xi_1, \ldots, \xi_n \in \R$ alg\'ebriquement ind\'ependants sur $k$ tels que l'homomorphisme $k[\xi_1, \ldots, \xi_n] \hookrightarrow \R$ soit entier.}

\vspace{0.2cm} On en trouvera une d\'emonstration sous forme d'exercice dans le livre d'Atiyah et Macdonald, ainsi que dans Bourbaki, \emph{Alg\`ebre commutative}, Chap.V, §3.

\vspace{0.2cm} Nous aurons \'egalement besoin du lemme suivant.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 3}} --- \emph{Soient $\A \subset \B$ deux anneaux int\`egres avec $\B$ entier sur $\A$. Pour que $\B$ soit un corps, il faut et il suffit que $\A$ soit un corps.}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Supposons que $\A$ soit un corps. Tout \'el\'ement non nul $b$ de $\B$ v\'erifie une relation de la forme $b^n + a_{n-1}b^{n-1} + \ldots + a_0 = 0$ avec $a_i \in \A$. Comme $\B$ est int\`egre et $b \neq 0$, $a_0 \neq 0$ lorsque $n$ est minimal ; $a_0$ est alors inversible dans $\A$ et $b$ est inversible dans $\B$, d'inverse $a_0^{-1}(b^{n-1} + a_{n-1}b^{n-2} + \ldots + a_1)$. Ceci \'etablit que $\B$ est un corps.

Supposons r\'eciproquement que $\B$ soit un corps. Tout \'el\'ement non nul $a$ de $\A$ est inversible dans $\B$ et son inverse $b$ v\'erifie une relation de la forme $b^n + a_{n-1}b^{n-1} + \ldots + a_0 = 0$ avec $a_i \in \A$. En multipliant cette derni\`ere par $a^{n-1}$, on obtient $b = -(a_{n-1} + \ldots + a_{0}a^{n-1}) \in \A$ et donc $a$ est inversible dans $\A$. Ceci \'etablit que $\A$ est un corps. \hfill $\Box$

\vspace{0.4cm} \noindent \emph{\textbf{D\'emonstration du th\'eor\`eme 2}}. (i) Posons $\X = \mathrm{Spec}(\A)$, $\Y = \mathrm{Spec}(\B)$ et d\'esignons respectivement par $\X_0$ et $\Y_0$ l'ensemble des points ferm\'es de $\X$ et $\Y$. 

\vspace{0.2cm} \emph{Premi\`ere \'etape : r\'eduction} -- Il nous faut prouver que tout id\'eal premier $\mathfrak{q}$ de $\B$ et tout \'el\'ement $f$ de $\B - \mathfrak{q}$, $\V(\mathfrak{q}) \cap \D(f)$ rencontre $\Y_0$. Le sous-espace $\V(\mathfrak{q})$ de $\Y$ \'etant ferm\'e, $\V(\mathfrak{q}) \cap \Y_0$ est l'ensemble $\V(\mathfrak{q})_0$ de ses points ferm\'es. D\'esignant par $\overline{f}$ l'image de $f$ dans $\B/\mathfrak{q}$, nous devons donc prouver que l'ouvert principal non vide $\D(\overline{f}) \cong \V(\mathfrak{q}) \cap \D(f)$ de $\mathrm{Spec}(\B/\mathfrak{q}) \cong \V(\mathfrak{q})$ contient un point ferm\'e. Posons $\mathfrak{p} = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$. Comme l'homomorphisme $\A/\mathfrak{p} \hookrightarrow \B/\mathfrak{q}$ induit par $\varphi$ faisant de $\B/\mathfrak{q}$ une alg\`ebre de type fini sur l'anneau de Jacobson $\A/\mathfrak{p}$, nous pouvons supposer que les anneaux $\A$ et $\B$ sont \emph{int\`egres} et que l'homomorphisme $\varphi$ est \emph{injectif} ; il suffit en outre de prouver que tout ouvert principal non vide de $\Y$ rencontre $\Y_0$.

\vspace{0.2cm} \emph{Deuxi\`eme \'etape : le cas d'un corps} -- Supposons que $\A = k$ soit un \emph{corps} et soit $f \in \B - \{0\}$ ; il faut montrer que l'ouvert principal $\D(f) \cong \mathrm{Spec}(\B[f^{-1}])$ contient un point ferm\'e de $\Y$. Soit $\mathfrak{p}$ un id\'eal premier de $\B$ maximal parmi ceux contenus dans $\D(f)$ ; l'existence de $\mathfrak{p}$ peut se d\'eduire du lemme de Zorn, mais il est plus simple ici d'invoquer la noeth\'erianit\'e de $\B$. En rempla{\c c}ant au besoin $\B$ par la $k$-alg\`ebre de type fini $\B/\mathfrak{p}$ et $f$ par son image dans $\B/\mathfrak{p}$, il suffit de consid\'erer le cas o\`u $\mathfrak{p} = (0)$ est le point g\'en\'erique de $\Y$.

Dans cette situation, l'anneau $\B[f^{-1}] = \B[\T]/(f\T - 1)$ est un corps car il est int\`egre et ne poss\`ede qu'un unique id\'eal premier. Tout comme $\B$, cet anneau est par ailleurs une $k$-alg\`ebre de type fini et le lemme de normalisation de Noether fournit donc un homomorphisme \emph{entier} $k[\xi_1,\ldots,\xi_n] \hookrightarrow \B[f^{-1}]$. L'anneau $k[\xi_1, \ldots, \xi_n]$ est un corps en vertu du lemme 3, donc $n=0$ et $\B[f^{-1}]$ est une extension finie de $k$ ; on a par cons\'equent une relation de la forme $f^{-n} + a_{n-1}f^{-(n-1)} + \ldots + a_0 = 0$ avec $a_i \in k$, donc $f^{-1} = -(a_{n-1} + \ldots + a_0f^{n-1}) \in \B$ et $\B[f^{-1}]=\B$, d'o\`u $\D(f) = \Y$ et $\D(f) \cap \Y_0 \neq \varnothing$. L'assertion (i) est donc \'etablie lorsque $\A$ est un corps.

\vspace{0.2cm} \emph{Troisi\`eme \'etape : le cas g\'en\'eral} -- Il nous faut prouver que tout ouvert (principal) non vide $\U$ de $\Y$ rencontre l'ensemble $\Y_0$ des points ferm\'es de $\Y$. Nous allons pour cela raisonner sur les fibres de l'application $\pi = ^{a}\varphi : \Y \rightarrow \X$.

Quel que soit le point $\mathfrak{p}$ de $\X$, la fibre $\pi^{-1}(\mathfrak{p})$ de $\pi$ au-dessus de $\mathfrak{p}$ est canoniquement hom\'eomorphe au spectre de la $\kappa(\mathfrak{p})$-alg\`ebre $\B \otimes_{\A} \kappa(\mathfrak{p})$. S'il est non vide, nous venons de prouver que l'ouvert $\U \cap \pi^{-1}(\mathfrak{p})$ de $\pi^{-1}(\mathfrak{p})$ rencontre $\pi^{-1}(\mathfrak{p})_0$. D'autre part, si le point $\mathfrak{p}$ est \emph{ferm\'e}, la fibre $\pi^{-1}(\mathfrak{p})$ est un sous-espace ferm\'e de $\Y$ et donc $\pi^{-1}(\mathfrak{p}) \cap \Y_0 = \pi^{-1}(\mathfrak{p})_0$. Ainsi, il suffit d'\'etablir que l'ouvert $\U$ rencontre l'une des fibres de $\pi$ au-dessus d'un point ferm\'e de $\X$.

\vspace{0.1cm} Nous allons prouver que $\pi(\U)$ contient un ouvert non vide de $\X$ ; comme, par hypoth\`ese, $\X_0$ est (partout) dense dans $\X$, ceci impliquera $\U \cap \pi^{-1}(\X_0) \neq \varnothing$ et donc $\U \cap \Y_0 \neq \varnothing$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons le point g\'en\'erique $\eta$ de $\X$ et observons que $\kappa(\eta)$ est le corps des fractions de $\A$. La $\kappa(\eta)$-alg\`ebre de type fini $\B \otimes_{\A} \kappa(\eta)$ s'identifie canoniquement au localis\'e de l'anneau int\`egre $\B$ par rapport \`a la partie multiplicative $\varphi(\A) - \{0\}$ et donc est int\`egre. En vertu du lemme de normalisation de Noether, nous disposons d'un homomorphisme entier $\kappa(\eta)[\xi_1, \ldots, \xi_n] \hookrightarrow \B \otimes_{\A} \kappa(\eta)$. Consid\'erons un ensemble \emph{fini} $\I$ de g\'en\'erateurs de la $\A$-alg\`ebre $\B$ ; chaque \'el\'ement de $\I$ est racine d'un poly\^ome unitaire \`a coefficients dans $\kappa(\eta)$ et il existe donc $a \in \A - \{0\}$ tel que chaque \'el\'ement de $\I$ soit en fait racine d'un polyn\^ome unitaire \`a coefficients dans $\A[a^{-1}]$, de sorte que l'anneau $\B[a^{-1}]$ soit entier sur le sous-anneau $\A[a^{-1}][\xi_1, \ldots, \xi_n]$. Nous obtenons ainsi un diagramme commutatif 

\vspace{0.1cm} $$\xymatrix{\Y \ar@{->}[dd]_{\pi} & \pi^{-1}(\D(a)) \ar@{_{(}->}[l] \ar@{->}[d]^{\pi'} \\ & \mathrm{Spec}(\A[a^{-1}[\xi_1, \ldots, \xi_n]) \ar@{->}[d]^{\pi''} \\ \X & \D(a) \ar@{_{(}->}[l] }$$ o\`u $\pi'$ (resp. $\pi''$) d\'esigne l'application associ\'ee \`a l'homomorphisme entier $\A[a^{-1}][\xi_1, \ldots, \xi_n] \hookrightarrow \B \otimes_{\A} \kappa(\eta)$ (resp. \`a l'homomorphisme canonique $\A[a^{-1}] \rightarrow \A[a^{-1}][\xi_1, \ldots, \xi_n]$). L'espace $\Y$ \'etant irr\'eductible, l'intersection des ouverts non vides $\U$ et $\pi^{-1}(\D(a))$ est un ouvert non vide. Nous savons par ailleurs que l'application $\pi''$ est ouverte (section 3, proposition 11) et que l'image de tout ouvert non vide par l'application $\pi'$ contient un ouvert non vide (section 3, proposition 12). Finalement, $\pi(\U)$ contient un ouvert non vide de $\X$ et ceci ach\`eve la d\'emonstration de l'assertion (i).

\vspace{0.3cm} (ii) Comme $\kappa(\mathfrak{m}') = \B/\mathfrak{m}$ est un corps, l'homomorphisme $\A/\mathfrak{m} \hookrightarrow \kappa(\mathfrak{m}')$ induit par $\varphi$ se prolonge au corps des fractions $\kappa(\mathfrak{m})$ de $\A/\mathfrak{m}$. On d\'eduit imm\'ediatement du lemme de normalisation de Noether et du lemme 3 que l'extension de corps $\kappa(\mathfrak{m}) \hookrightarrow \kappa(\mathfrak{m'})$ est finie. Il existe par suite un \'el\'ement $f$ de $\A - \mathfrak{m}$ tel que le corps $\kappa(\mathfrak{m'})$ soit entier sur le sous-anneau $\A/\mathfrak{m}[\overline{f}^{-1}]$, lequel est alors un corps en vertu du lemme 3. On a donc $\V(\mathfrak{m}) \cap \D(f) = \{\mathfrak{m}\}$ et, comme $\A$ est un anneau de Jacobson, $\mathfrak{m} \in \X_0$. \hfill $\Box$

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{(4.3)} Le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent montre qu'il y a au moins deux classes remarquables d'anneaux de Jacobson : \begin{itemize} \item[(i)] les alg\`ebres de type fini sur un corps ; \item[(ii)] les $\mathbb{Z}$-alg\`ebres de type finiles alg\`ebres de type fini sur un corps. \end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 4 (Nullstellensatz, version faible)}} --- \emph{Soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos. Pour toute $k$-alg\`ebre de type fini, l'application $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{k-alg}}(\A,k) \rightarrow \mathrm{Spec}(\A), \ \ u \mapsto \mathrm{ker}(u)$$ r\'ealise une bijection sur l'ensemble des id\'eaux maximaux de $\A$. En particulier, tout id\'eal maximal de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ est de la forme $(\T_1 - t_1, \ldots, \T_n - t_n)$ avec $(t_1, \ldots, t_n) \in k^n$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Tout homomorphisme de $k$-alg\`ebres $u : A \rightarrow k$ \'etant surjectif, $\mathrm{ker}(u)$ est un id\'eal maximal de $\A$. R\'eciproquement, si $\mathfrak{m}$ est un id\'eal maximal de $\A$, alors l'extension de corps $k \hookrightarrow \A/\mathfrak{m}$ est finie en vertu du th\'eor\`eme 2 et donc $k = \mathfrak{A}/\mathfrak{m}$ puisque le corps $k$ est alg\'ebriquement clos. Les applications $u \mapsto \mathrm{ker}(u)$ et $\mathfrak{m} \mapsto (\A \rightarrow \A/\mathfrak{m} = k)$ sont donc des bijections r\'eciproques entre $\mathrm{Hom}_{\mathbf{k-alg}}(\A,k)$ et l'ensemble des id\'eaux maximaux de $\A$. 

Faisant $\A = k[\T_1, \ldots, \T_n]$, on obtient \begin{eqnarray*}k^n \cong \mathrm{Hom}_{\mathbf{k-alg}}(k[\T_1, \ldots, \T_n], k) & \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\sim}&} & \left\{\textrm{id\'eaux maximaux de }k[\T_1, \ldots, \T_n]\right\} \\ (t_1, \ldots, t_n) & \mapsto & (\T_1 - t_1, \ldots, \T_n - t_n). \end{eqnarray*} \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 5 (Nullstellensatz, version forte)}} --- \emph{Soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos et soit $\mathfrak{I}$ un id\'eal de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$. \begin{itemize} \item[(i)] Pour que l'id\'eal $\mathfrak{I}$ soit propre, il faut et il suffit qu'il  admette un z\'ero dans $k^n$. \item[(ii)] Pour qu'un polyn\^ome $f \in k[\T_1, \ldots, \T_n]$ s'annule sur l'ensemble $\V(\mathfrak{I}) \cap k^n$ des z\'eros de $\mathfrak{I}$ dans $k^n$, il faut et il suffit que $f$ appartienne \`a la racine de $\mathfrak{I}$, i.e. qu'il existe un nombre entier $n \geqslant 1$ tel que $f^n \in \mathfrak{I}$.\end{itemize}}

\vspace{0.1cm}
\noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) L'id\'eal $\mathfrak{I}$ de $k[\T_1,\ldots,\T_n]$ est propre si et seulement s'il est contenu dans un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$. D'apr\`es le corollaire pr\'ec\'edent, $\mathfrak{m} = (\T_1- t_1, \ldots, \T_n - t_n)$ avec $(t_1,\ldots, t_n) \in k^n$, i.e. $f(t_1, \ldots, t_n) = 0$ pour tout $f \in \mathfrak{I}$.

(ii) D'apr\`es le corollaire pr\'ec\'edent, dire qu'un polyn\^ome $f \in k[\T_1,\ldots,\T_n]$ s'annule identiquement sur l'ensemble $\V(\mathfrak{I}) \cap k^n$ des z\'eros de $\mathfrak{I}$ dans $k^n$ \'equivaut \`a dire que $f$ appartient \`a tous les id\'eaux maximaux de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ contenant $\mathfrak{I}$. Comme $k[\T_1,\ldots,\T_n]$ est un anneau de Jacobson en vertu du th\'eor\`eme 2, tout id\'eal premier est l'intersection des id\'eaux maximaux le contenant ; on en d\'eduit que la racine de $\mathfrak{I}$, qui est l'intersection de tous les id\'eaux premiers de $k[\T_1, \ldots,\T_n]$ contenant $\mathfrak{I}$, est \'egalement l'intersection de tous les id\'eaux maximaux contenant $\mathfrak{I}$, ce qui prouve notre assertion. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 6}} --- \emph{Les conditions suivantes sont \'equivalentes pour toute famille $(f_i)$ de polyn\^omes dans $\mathbb{Z}[\T_1, \ldots, \T_n]$ : \begin{itemize} \item[(i)] les $f_i$ engendrent un id\'eal propre de $\mathbb{Z}[\T_1, \ldots, \T_n]$ ; \item[(ii)] il existe un nombre premier $p$ tel que les $f_i$ aient un z\'ero commun dans un corps fini de caract\'eristique $p$. \end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Soit $\mathfrak{I}$ l'id\'eal de $\mathbb{Z}[\T_1, \ldots, \T_n]$ engendr\'e par les $f_i$. Pour que la $\mathbb{Z}$-alg\`ebre de type fini $\A = \mathbb{Z}[\T_1,\ldots, \T_n]/\mathfrak{I}$ soit non nulle, il faut et il suffit qu'elle poss\`ede un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ et, si tel est le cas, il d\'ecoule du th\'eor\`eme 2 que $\mathfrak{m} \cap \mathbb{Z}$ est un id\'eal maximal de $\mathbb{Z}$, donc engendr\'e par un nombre premier $p$, et que l'extension de corps $\mathbb{F}_p \hookrightarrow \A/\mathfrak{m}$ est finie. Ainsi, l'id\'eal $\mathfrak{I}$ est propre si et seulement s'il existe un homomorphisme de l'anneau $\\mathbb{Z}[\T_1,\ldots, \T_n]/\mathfrak{I}$ dans un corps fini, donc si et seulement si les $f_i$ admettent un z\'ero commun dans un corps fini. \hfill $\Box$

\end{document}