Algèbre approfondie - Automne 2008 ENS-Lyon

5. Anneaux locaux

(5.1) On rappelle qu’un anneau A est dit local s’il possède un unique idéal maximal 𝔪, c’està-dire si Spec(A) ne contient qu’un seul point fermé. Le corps A/𝔪 est le corps résiduel de A.

Proposition 5.1 — Soit A un anneau non nul. Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) l’anneau A est local ; (ii) les éléments non inversibles de A forment un idéal ; (iii) pour tout a ∈ A, a ou 1 − a est inversible.

Démonstration. Posons ℑ = A − A^{×} et soit 𝔪 un idéal maximal de A. On a toujours 𝔪 ⊂ ℑ. (i) ⇒ (ii) Si A est local, ℑ = A − A^{×} = 𝔪 est un idéal. (ii) ⇒ (iii) Si ℑ est un idéal de A, c’est un idéal propre (car 1 ∉ ℑ) et donc, pour tout a ∈ A,

l’un des deux éléments a et 1 − a n’appartient pas à ℑ, i.e. est inversible.

(iii) ⇒ (i) Soit a ∈ A − 𝔪. Comme 𝔪 est maximal, 𝔪 + Aa = A et donc 1 = ua + v avec u ∈ A, v ∈ 𝔪. Comme 1 − ua = v appartient à 𝔪, cet élément n’est pas inversible et donc ua ∈ A^{×}, d’où a ∈ A^{×}. □

Remarque — A priori, la notion d’anneau local fait intervenir une quantification sur les parties d’un anneau ; la condition (iii) montre qu’il est en fait possible de se limiter à ses éléments. Cette observation est importante du point de vue de la logique mathématique (condition du premier ordre).

(5.2) De nombreuses questions d’algèbre commutative sont simplifiées si l’on remplace un anneau par ses localisés ; il est parfois possible de déduire un résultat « global » à partir de résultats « locaux » en utilisant la proposition suivante.

Proposition 5.2 — Soit A un anneau et soit u: M → N un homomorphisme de A-modules. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) l’application u est injective (resp. surjective ; resp. bijective) ;

(ii) pour tout idéal premier 𝔭 de A, l’application u_{𝔭} : M_{𝔭} → N_{𝔭} est injective (resp. surjec-

tive ; resp. bijective) ; (iii) pour tout idéal maximal 𝔪 de A, l’application u_{𝔪} : M_{𝔪} → N_{𝔪} est injective (resp.

surjective ; resp. bijective). Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) provient de l’exactitude de la localisation tandis que l’implication (ii) ⇒ (iii) est trivial.

(iii) ⇒ (i) Soit M′ (resp. N′) le noyau (resp. le conyau) de u. Par exactitude de la localisation, M′_{𝔪} (resp. N′) est le noyau (resp. le conoyau) de l’application u_{𝔪}. La conclusion provient du fait suivant : si P est un A-module tel que P_{𝔪} = 0 pour tout idéal maximal 𝔪 de A, alors P = 0. Considérons un effet un élément x de P. La condition x = 0 dans P_{𝔪} se traduit par l’existence d’un élément s ∈ A−𝔪 tel que sx = 0, ce qui revient à dire que l’idéal ann(x) annulateur de x n’est pas contenu dans 𝔪. Par conséquent, si P_{𝔪} = 0 pour tout idéal maximal 𝔪 de A, alors ann(x) = A et donc x = 0. □

(5.3) Étant donné un anneau local A de corps résiduel k, il est naturel d’étudier un A-module M à partir du k-espace vectoriel M ⊗_{A}k.

Proposition 5.3 (Lemme de Nakayama) — Soient A un anneau, ℑ un idéal de A et M un A-module de type fini tel que M = ℑM. Il existe un élément a de A tel que aM = 0 et a ≡ 1 (modℑ). Démonstration. Considérons des générateurs x_{1},...,x_{n} de M en tant que A-module. Il existe par hypothèse une matrice Λ ∈ M_{n}(A) à coefficients dans ℑ telle que

(1_{n}− Λ)( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = 0.

Si l’on désigne par adj(1_{n}− Λ) la transposée de la matrice des cofacteurs de 1_{n}− Λ, alors

adj(1_{n}− Λ)(1_{n}− Λ) = det(1_{n}− Λ)1_{n},

donc det(1_{n}− Λ)x_{i} = 0 pour tout i ∈ {1,...,n} et det(1_{n}− Λ)M = 0. La conclusion découle de ce que det(1 − Λ) ≡ 1 (mod ℑ), ce que l’on vérifie immédiatement en développant ce déterminant. □

Corollaire 5.4 — Soient A un anneau local d’idéal maximal 𝔪 et de corps résiduel k, M un A-module de type fini.

(i) Si M = 𝔪M, alors M = 0.

(ii) Pour qu’une application A-linéaire u : N → M soit surjective, il faut et il suffit que

l’application k-linéaire u ⊗ 1 : N ⊗_{A}k → M ⊗_{A}k soit surjective. (iii) Pour qu’une famille (x_{i})_{i∈I} d’éléments de M engendre le A-module M, il faut et il

suffit que la famille (x_{i}⊗ 1)_{i∈I} engendre le k-espace vectoriel M ⊗_{A}k. Démonstration. (i) Si M = 𝔪M, alors il existe a ∈ 𝔪 tel que (1−a)M = 0 ; comme 1−a est un élément inversible de A, on a M = 0.

(ii) Soit u : N → M une application A-linéaire. Si u est surjective, alors l’application klinéaire

u ⊗ 1 : M ⊗_{A}k ≅ M/𝔪M → N/𝔪N ≅ N ⊗_{A}k

est surjective. Réciproquement, si l’application k-linéaire u ⊗ 1 est surjective, alors M = im(u) + 𝔪M et donc M/im(u) = 𝔪M/im(u) . Comme M/im(u) est un A-module de type fini, on en déduit M = im(u) et l’application A-linéaire u est donc surjective.

(iii) Il suffit d’appliquer ce qui précède à l’application A-linéaire

u: ⨁_{i∈I} Ae_{i} ↦ M, e_{i} ↦ x_{i}.

□

Exemple. Soit A un anneau et soit M un A-module de type fini. Quel que soit l’idéal premier 𝔭 de A, M(𝔭) = M ⊗_{A}κ(𝔭) est un κ(𝔭)-espace vectoriel de dimension finie et il découle du lemme de Nakayama que l’application

d : Spec(A) → ℕ, 𝔭 ↦ d(𝔭) = dim_{κ(𝔭)}M(𝔭)

est semi-continue supérieurement : pour tout n ∈ ℕ, {d ⩾ n} est une partie fermée de Spec(A) (cf. travaux dirigés).

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