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\begin{document}

\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2008} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}
\begin{center} \textbf{5. Anneaux locaux}
\end{center}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(5.1)} On rappelle qu'un anneau $\A$ est dit \emph{local} s'il poss\`ede un unique id\'eal maximal $\mathfrak{m}$, c'est-\`a-dire si $\mathrm{Spec}(\A)$ ne contient qu'un seul point ferm\'e. Le corps $\A/\mathfrak{m}$ est le \emph{corps r\'esiduel} de $\A$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.1}} --- \emph{Soit $\A$ un anneau non nul. Les conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(i)] l'anneau $\A$ est local ; \item[(ii)] les \'el\'ements non inversibles de $\A$ forment un id\'eal ; \item[(iii)] pour tout $a \in \A$, $a$ ou $1-a$ est inversible. \end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Posons $\mathfrak{I} = \A - \A^{\times}$ et soit $\mathfrak{m}$ un id\'eal maximal de $\A$. On a toujours $\mathfrak{m} \subset \mathfrak{I}$. \\
\indent (i) $\Rightarrow$ (ii) Si $\A$ est local, $\mathfrak{I} = \A - \A^{\times} = \mathfrak{m}$ est un id\'eal. \\
\indent (ii) $\Rightarrow$ (iii) Si $\mathfrak{I}$ est un id\'eal de $\A$, c'est un id\'eal propre (car $1 \notin \mathfrak{I}$) et donc, pour tout $a \in \A$, l'un des deux \'el\'ements $a$ et $1-a$ n'appartient pas \`a $\mathfrak{I}$, i.e. est inversible.\\
\indent (iii) $\Rightarrow$ (i) Soit $a \in \A - \mathfrak{m}$. Comme $\mathfrak{m}$ est maximal, $\mathfrak{m} + \A a = \A$ et donc $1 = ua+v$ avec $u \in \A$, $v \in \mathfrak{m}$. Comme $1 - ua = v$ appartient \`a $\mathfrak{m}$, cet \'el\'ement n'est pas inversible et donc $ua \in \A^{\times}$, d'o\`u $a \in \A^{\times}$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}} --- \emph{A priori}, la notion d'anneau local fait intervenir une quantification sur les parties d'un anneau ; la condition (iii) montre qu'il est en fait possible de se limiter \`a ses \'el\'ements. Cette observation est importante du point de vue de la logique math\'ematique (condition du \emph{premier ordre}).

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(5.2)} De nombreuses questions d'alg\`ebre commutative sont simplifi\'ees si l'on remplace un anneau par ses localis\'es ; il est parfois possible de d\'eduire un r\'esultat \og global \fg \ \`a partir de r\'esultats \og locaux \fg \ en utilisant la proposition suivante.

\vspace{0.3cm}\noindent \textbf{\emph{Proposition 5.2}} --- \emph{Soit $\A$ un anneau et soit $u : \M \rightarrow \N$ un homomorphisme de $\A$-modules. Les conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(i)] l'application $u$ est injective (resp. surjective ; resp. bijective) ; \item[(ii)] pour tout id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, l'application $u_{\mathfrak{p}} : \M_{\mathfrak{p}} \rightarrow \N_{\mathfrak{p}}$ est injective (resp. surjective ; resp. bijective) ; \item[(iii)] pour tout id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$, l'application $u_{\mathfrak{m}} : \M_{\mathfrak{m}} \rightarrow \N_{\mathfrak{m}}$ est injective (resp. surjective ; resp. bijective).
\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. L'implication (i) $\Rightarrow$ (ii) provient de l'exactitude de la localisation tandis que l'implication (ii) $\Rightarrow$ (iii) est trivial.

\vspace{0.1cm} (iii) $\Rightarrow$ (i) Soit $\M'$ (resp. $\N'$) le noyau (resp. le conyau) de $u$. Par exactitude de la localisation, $\M'_{\mathfrak{m}}$ (resp. $\N'$) est le noyau (resp. le conoyau) de l'application $u_{\mathfrak{m}}$. La conclusion provient du fait suivant : si $\rP$ est un $\A$-module tel que $\rP_{\mathfrak{m}} = 0$ pour tout id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$, alors $\rP = 0$. Consid\'erons un effet un \'el\'ement $x$ de $\rP$. La condition $x=0$ dans $\rP_{\mathfrak{m}}$ se traduit par l'existence d'un \'el\'ement $s \in \A - \mathfrak{m}$ tel que $s x =0$, ce qui revient \`a dire que l'id\'eal $\mathrm{ann}(x)$ annulateur de $x$ n'est pas contenu dans $\mathfrak{m}$. Par cons\'equent, si $\rP_{\mathfrak{m}} = 0$ pour tout id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$, alors $\mathrm{ann}(x) = \A$ et donc $x = 0$. \hfill $\Box$


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(5.3)} \'Etant donn\'e un anneau local $\A$ de corps r\'esiduel $k$, il est naturel d'\'etudier un $\A$-module $\M$ \`a partir du $k$-espace vectoriel $\M \otimes_{\A} k$.

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{\emph{Proposition 5.3 (Lemme de Nakayama)}} --- \emph{Soient $\A$ un anneau, $\mathfrak{I}$ un id\'eal de $\A$ et $\M$ un $\A$-module de type fini tel que $\M = \mathfrak{I}\M$. Il existe un \'el\'ement $a$ de $\A$ tel que $a\M = 0$ et $a \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ \mathfrak{I})$.}

\vspace{0.1cm}
\noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Consid\'erons des g\'en\'erateurs $x_1, \ldots, x_{n}$ de $\M$ en tant que $\A$-module. Il existe par hypoth\`ese une matrice $\Lambda \in \M_n(\A)$ \`a coefficients dans $\mathfrak{I}$ telle que $$(1_n - \Lambda) \left(\begin{array}{l} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) = 0.$$ Si l'on d\'esigne par $\mathrm{adj}(1_n - \Lambda)$ la transpos\'ee de la matrice des cofacteurs de $1_n - \Lambda$, alors $$\mathrm{adj}(1_n - \Lambda) (1_n-\Lambda) = \det (1_n -\Lambda) 1_n, $$ donc $\det(1_n - \Lambda)x_i = 0$ pour tout $i \in \{1,\ldots, n\}$ et $\det(1_n - \Lambda)\M = 0$. La conclusion d\'ecoule de ce que $\det (1 - \Lambda) \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ \mathfrak{I})$, ce que l'on v\'erifie imm\'ediatement en d\'eveloppant ce d\'eterminant. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 5.4}} --- \emph{Soient $\A$ un anneau local d'id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ et de corps r\'esiduel $k$, $\M$ un $\A$-module de type fini. \begin{itemize} \item[(i)] Si $\M = \mathfrak{m}\M$, alors $\M = 0$. \item[(ii)] Pour qu'une application $\A$-lin\'eaire $u : \N \rightarrow \M$ soit surjective, il faut et il suffit que l'application $k$-lin\'eaire $u \otimes 1 :  \N \otimes_{\A} k \rightarrow \M \otimes_{\A} k$ soit surjective. \item[(iii)] Pour qu'une famille $(x_i)_{i \in \I}$ d'\'el\'ements de $\M$ engendre le $\A$-module $\M$, il faut et il suffit que la famille $(x_i \otimes 1)_{i \in \I}$ engendre le $k$-espace vectoriel $\M \otimes_{\A} k$. \end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) Si $\M = \mathfrak{m}\M$, alors il existe $a \in \mathfrak{m}$ tel que $(1-a) \M = 0$ ; comme $1-a$ est un \'el\'ement inversible de $\A$, on a $\M=0$.

\vspace{0.1cm} (ii) Soit $u : \N \rightarrow \M$ une application $\A$-lin\'eaire. Si $u$ est surjective, alors l'application $k$-lin\'eaire $$u \otimes 1 : \M \otimes_{\A} k \cong \M/\mathfrak{m}\M \rightarrow \N/\mathfrak{m}\N \cong \N \otimes_{\A} k$$ est surjective. R\'eciproquement, si l'application $k$-lin\'eaire $u \otimes 1$ est surjective, alors $\M = \mathrm{im}(u) + \mathfrak{m}\M$ et donc $\M/\mathrm{im}(u) = \mathfrak{m} \M/\mathrm{im}(u)$ . Comme $\M/\mathrm{im}(u)$ est un $\A$-module de type fini, on en d\'eduit $\M = \mathrm{im}(u)$ et l'application $\A$-lin\'eaire $u$ est donc surjective.

\vspace{0.1cm} (iii) Il suffit d'appliquer ce qui pr\'ec\`ede \`a l'application $\A$-lin\'eaire $$u : \bigoplus_{i \in \I} \A e_i \mapsto \M, \ \ e_{i} \mapsto x_i.$$ \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple}}. Soit $\A$ un anneau et soit $\M$ un $\A$-module de type fini. Quel que soit l'id\'eal premier $\mathfrak{p}$ de $\A$, $\M(\mathfrak{p}) = \M \otimes_{\A} \kappa(\mathfrak{p})$ est un $\kappa(\mathfrak{p})$-espace vectoriel de dimension finie et il d\'ecoule du lemme de Nakayama que l'application $${\rm d} : \mathrm{Spec}(\A) \rightarrow \mathbb{N}, \ \ \ \mathfrak{p} \mapsto {\rm d}(\mathfrak{p}) = \mathrm{dim}_{\kappa(\mathfrak{p})} \M(\mathfrak{p})$$ est \emph{semi-continue sup\'erieurement} : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\{{\rm d} \geqslant n\}$ est une partie ferm\'ee de $\mathrm{Spec}(\A)$ (cf. travaux dirig\'es).

\newpage
\end{document}

