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\begin{document}

\noindent \textbf{Alg\`ebre approfondie - Automne 2008} \hfill \textbf{ENS-Lyon}
\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm} \begin{center} {\bfseries \scshape{ Corrig\'e partiel de la fiche 6}} \end{center}
\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{Exercice 12 (Groupes r\'esiduellement finis)} --- Un groupe $\G$ est dit r\'esiduellement fini si, pour tout \'el\'ement $x \neq e$ de $\G$, il existe un sous-groupe distingu\'e $\N$ de $\G$ d'indice fini tel que $x \notin \N$. Il revient au m\^eme de dire que, pour tout $x \neq e$ dans $\G$, il existe un groupe \emph{fini} $\Hr$ et un homomorphisme $\varphi : \G \rightarrow \Hr$ tels que $\varphi(x) \neq e$.

\vspace{0.2cm} \textbf{1.} Il est clair que les groupes finis sont r\'esiduellement finis. Il est \'egalement clair que tout sous-groupe d'un groupe r\'esiduellement fini est encore r\'esiduellement fini.

\vspace{0.1cm}
Quel que soit $n \geqslant 1$, le groupe $\mathbb{Z}^n$ est r\'esiduellement fini : \'etant donn\'e $z = (z_1, \ldots, z_n) \neq 0$ dans $\mathbb{Z}^n$, il existe un indice $i$ tel que $z_i \neq 0$ ; ayant choisi un nombre premier $p$ ne divisant pas $z_i$, l'image de $z$ par l'homomorphisme $\varphi : \mathbb{Z}^n \rightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, \ \ (x_1, \ldots, x_n) \mapsto x_i \ (\mathrm{mod} p)$ est non triviale.

\vspace{0.1cm}
On montre par un argument similaire que le groupe ${\rm GL}_n(\mathbb{Z})$ est r\'esiduellement fini : \'etant donn\'e $g \neq e$ dans ${\rm GL}_n(\mathbb{Z})$, il existe un nombre premier $p$ tel que l'image de $g$ par l'homomorphisme canonique ${\rm GL}_n(\mathbb{Z}) \rightarrow {\rm GL}_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ soit non triviale.
 
\vspace{0.2cm} \textbf{2.} Le groupe (additif) $\mathbb{Q}$ ne poss\`ede pas de sous-groupe d'indice fini non trivial : en effet, si $\N$ est d'indice fini $n$ dans $\mathbb{Q}$, alors $r = n(r/n)$ appartient \`a $\N$ quel que soit $r \in \mathbb{Q}$. Le groupe $\mathbb{Q}$ n'est donc pas r\'esiduellement fini.

\vspace{0.2cm} \textbf{3.} Soit $u \in \G * \Hr$ un mot de longueur au plus $n$. \'Etant donn\'es $g, g' \in \G$,
\begin{itemize}
\item soit l'\'ecriture sous forme normale de $u$ est $u = x_1 \ldots x_n$ avec $x_1 \in \Hr$, auquel cas ${\rm lg}(gu) = {\rm lg}(g'u) = n+1$ et $g'\cdot (g \cdot u) = g' \cdot u = u$ ;
\item soit ${\rm lg}(u), \ {\rm lg}(gu) \leqslant n$, et alors $g' \cdot (g \cdot u) = g'(g \cdot u) = (gg')u = (gg')\cdot u$.
\end{itemize}
Ceci d\'efinit donc une action par permutations du groupe $\G$ sur $\Omega_n$, i.e. un homomorphisme de groupes $\G \rightarrow \mathfrak{S}(\Omega_n)$. Proc\'edant de m\^eme avec $\Hr$, on en d\'eduit un homomorphisme de groupes $\G * \Hr \rightarrow \mathfrak{S}(\Omega_n)$ satisfaisant \`a la condition impos\'ee.

\vspace{0.2cm} \textbf{4.} Si $\G$ et $\Hr$ sont finis, l'ensemble $\Omega_n$ est fini pour tout $n \geqslant 0$.

Soit $x \neq e$ un \'el\'ement de $\G * \Hr$ et soit $\ell$ la longueur de son \'ecriture sous forme normale. Pour tout $n \geqslant \ell, \ x \cdot e = x \in \Omega_n$ et donc l'image de $x$ dans $\mathfrak{S}(\Omega_n)$ est non triviale ; comme le groupe $\mathfrak{S}(\Omega_n)$ est fini, on en d\'eduit que $\G * \Hr$ est r\'esiduellement fini.

\vspace{0.2cm} \textbf{5.} Supposons que $\G$ et $\Hr$ soient deux groupes r\'esiduellement finis et consid\'erons un \'el\'ement $x \neq e$ dans $\G * \Hr$, que l'on \'ecrit sous forme normale : $x = x_1 \ldots x_{\N}$ avec ($x_{2p+1} \in \G - \{e\}$ et $x_{2p} \in \Hr - \{e\}$) ou ($x_{2p+1} \in \Hr - \{e\}$ et $x_{2p} \in \G - \{e\}$) pour tout $p$. Pour fixer les notations, on va supposer que l'on est dans le premier cas de figure.

Comme $\G$ et $\Hr$ sont r\'esiduellement fini, il existe des groupes finis $\Gamma_1, \ldots, \Gamma_{\N}$ et des homomorphismes $$\varphi_{2p+1} : \G \rightarrow \Gamma_{2p+1}, \ \ \ \ \ \psi_{2p} : \Hr \rightarrow \Gamma_{2p}$$ tels que $\varphi_i(x_i) \neq e$ pour tout $i$. Posant $\Gamma' = \prod_{p} \Gamma_{2p+1}$ et $\Gamma'' = \prod_{p} \Gamma_{2p}$, on en d\'eduit deux homomorphismes $$\varphi : \G \rightarrow \Gamma' \ \ \textrm{ et } \ \  \psi : \Hr \rightarrow \Gamma''$$ tels que $\varphi(x_{2p+1}) \neq e$ et $\psi(x_{2p}) \neq e$ pour tout $p$. 
L'homomomorphisme $$\varphi * \psi : \G * \Hr \rightarrow \Gamma' * \Gamma''$$ envoie $x$ sur le mot $\varphi(x_1)\psi(x_2) \ldots$, lequel est sous forme normale par construction ; en particulier, $(\varphi * \psi)(x) \neq e$.

\vspace{0.1cm} En vertu de la question pr\'ec\'edente, le groupe $\Gamma' * \Gamma''$ est r\'esiduellement fini car $\Gamma'$ et $\Gamma''$ sont finis. Il existe par suite un groupe fini $\Gamma$ et un homomorphisme $\lambda : \Gamma' * \Gamma'' \rightarrow \Gamma$ tel que $(\lambda \circ (\varphi * \psi))(x) \neq e$, ce qui montre que le groupe $\Gamma' * \Gamma''$ est r\'esiduellement fini.

\vspace{0.1cm} D'apr\`es ce que l'on vient de dire, tout produit libre d'un nombre fini de groupes r\'esiduellement finis est r\'esiduellement fini. Ceci est plus g\'en\'eralement vrai pour le produit libre d'une famille arbitraire $(\G_i)_{i \in \I}$ de groupes r\'esiduellement finis : pour tout \'el\'ement $x \neq e$ de $\G = {\large *}_{i \in \I} \G_i$, il existe un sous-ensemble fini $\J$ de $\I$ tel que $x$ appartienne au produit libre des $(\G_j)_{j \in \J}$ et son image par l'homomorphisme $$f : \mathbf{*}_{i \in \I} \G_i \rightarrow {\large *}_{j \in \J} \G_j, \ \ \ f_{|\G_i} = \left\{ \begin{array}{ll} {\rm id}_{\G_i} & \textrm{ si } i \in \J \\ e & \textrm{ sinon} \end{array} \right.$$ est non triviale.
   
\vspace{0.1cm} Finalement, en vertu de l'isomorphisme $\Lr(\X) \simeq *_{x \in \X} \mathbb{Z}$ pour tout ensemble $\X$, on d\'eduit de ce qui pr\'ec\`ede et de la question 1 que tout groupe libre est r\'esiduellement fini

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 16 (${\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$)} --- Les cinq premi\`eres questions portent sur un groupe quelconque $\G$ muni de deux sous-groupes $\A$ et $\B$ tels que $\A \cap \B  = \{e\}$.

\vspace{0.2cm} \textbf{1.} D\'esignons par $\Gamma_0$ (resp. $\Gamma_1$) l'ensemble des sommets (resp. des ar\^etes) du graphe $\Gamma$. On dispose par construction d'une application surjective $f : \G \rightarrow \Gamma_1$ associant \`a $g$ l'ar\^ete reliant les sommets $g\A$ et $g\B$. Si deux \'el\'ements $g, h \in \G$ d\'etermine la m\^eme ar\^ete $f(g) = f(h)$ dans $\Gamma$, alors $g\A = h\A$ et $g\B = h\B$, d'o\`u $h^{-1}g \in \A \cap \B$ et $h = g$. L'application $f$ est donc bijective.

\vspace{0.2cm} \textbf{2.} Soit $c$ un chemin dans $\Gamma$ d'ar\^etes successives $g_1,g_2, \ldots, g_n$ et consid\'erons deux ar\^etes successives $g_i$  et $g_{i+1}$ : $$\xymatrix{\gamma' \ar@{-}[rd]^{g_i} &  \\ & \gamma \ar@{-}[ld]_{g_{i+1}} & \\ \gamma'' & }$$
Vu la d\'efinition de $\Gamma$, on a $$\gamma' = g_i\A, \ \ \gamma = g_i\B = g_{i+1}\B \ \ \textrm{ et } \ \ \gamma'' = g_{i+1} \A$$ ou $$\gamma' = g_i\B, \ \ \gamma = g_i\A = g_{i+1}\A \ \ \textrm{ et } \ \ \gamma'' = g_{i+1} \B.$$ Dans le premier cas de figure, $g_{i+1} = g_i b$ avec $b \in \B$ uniquement d\'etermin\'e; dans le second cas de figure, $g_{i+1} = g_i a$ avec $a \in \A$ uniquement d\'etermin\'e. On en d\'eduit qu'il existe un unique \'el\'ement $x_i \in \A \cup \B$ tel que $g_{i+1} = g_i$.

\vspace{0.2cm} \textbf{3, 4 et 5.} Soit $\mathcal{C}_{\N}$ l'ensemble des chemins de longueur $\N$ dans $\Gamma$ n'empruntant pas deux fois de suite la m\^eme ar\^ete et soit $\mathcal{E}_{\N}$ l'ensemble des suites $(x_1, \ldots, x_{\N})$ d'\'el\'ements de $(\A - \{e\}) \cup (\B - \{e\})$ n'ayant pas deux termes successifs dans $\A$ ou dans $\B$. 

\vspace{0.1cm} Soit $c = (g_1, \ldots, g_{\N+1})$ un chemin dans $\Gamma$. Les conditions $x_i = e$ et $g_{i+1} = g_i$ \'etant \'equivalentes, $e$ appara\^{\i}t parmi les $x_i$ si et seulement si $c$ emprunte deux fois de suite la m\^eme ar\^ete. Par ailleurs, si $x_i \in \A$, alors $g_{i+1}\A = g_i \A$, donc $g_{i+2}\B = g_{i+1} \B$ et $x_{i+1} \in \B$ ; r\'eciproquement, si $x_i \in \B$, alors $x_{i+1} \in \A$. On a ainsi d\'efini une application $$\sigma : \mathcal{C}_{\N+1} \rightarrow \G \times \mathcal{E}_{\N}, \ \ c \mapsto (g_1, x_1, \ldots, x_{\N}) \ :$$ si $c = (g_1, \ldots, g_{\N+1})$, alors $x_i = g_i^{-1}g_{i+1}$.

\vspace{0.1cm} L'application $\sigma$ est manifestement injective. Elle est \'egalement surjective : partant de $(g, x_1, \ldots, x_{\N}) \in \G \times \mathcal{E}_{\N}$, il suffit de consid\'erer le chemin $c$ d\'efini comme suit :

\vspace{0.1cm} (i) si $x_1 \in \A$, $c$ est le chemin $$\xymatrix{g\B \ar@{-}[r]^g & g\A = gx_1 \A \ar@{-}[rr]^{gx_1} && gx_1\B  = gx_1x_2\B \ar@{-}[ld]^{gx_1x_2} \\ & & \ldots \ar@{-}[ld]_{gx_1x_2\ldots x_{2p-1}} & \\ & gx_1 \ldots x_{2p-1}\B \ar@{-}[rr]_{gx_1 \ldots x_{2p}} & & gx_1 \ldots x_{2p}\A}$$ lorsque $\N = 2p$ est pair et $$\xymatrix{g\B \ar@{-}[r]^g & g\A = gx_1 \A \ar@{-}[rr]^{gx_1} & & gx_1\B  = gx_1x_2\B \ar@{-}[ld]^{gx_1x_2} \\ & & \ldots \ar@{-}[ld]_{gx_1x_2\ldots x_{2p}} & \\ & gx_1 \ldots x_{2p}\A \ar@{-}[rr]_{gx_1 \ldots x_{2p+1}} & & gx_1 \ldots x_{2p+1}\B}$$ lorsque $\N = 2p+1$ est impair ; 

\vspace{0.1cm}
(ii) si $x_1 \in \B$, $c$ est le chemin $$\xymatrix{g\A \ar@{-}[r] & g\B = gx_1 \B \ar@{-}[rr]^{gx_1} && gx_1\A  = gx_1x_2\A \ar@{-}[ld]^{gx_1x_2} \\ & & \ldots \ar@{-}[ld]_{gx_1x_2\ldots x_{2p-1}} & \\ & gx_1 \ldots x_{2p-1}\A \ar@{-}[rr]_{gx_1 \ldots x_{2p}} & & gx_1 \ldots x_{2p}\B}$$ lorsque $\N = 2p$ est pair et $$\xymatrix{g\A \ar@{-}[r] & g\B = gx_1 \B \ar@{-}[rr]^{gx_1} && gx_1\A  = gx_1x_2\A \ar@{-}[ld]^{gx_1x_2} \\ & & \ldots \ar@{-}[ld]_{gx_1x_2\ldots x_{2p}} & \\& gx_1 \ldots x_{2p}\B \ar@{-}[rr]_{gx_1 \ldots x_{2p+1}} & & gx_1 \ldots x_{2p+1}\A}$$ lorsque $\N = 2p+1$ est impair.

\vspace{0.2cm} Les r\'eponses aux questions 3, 4 et 5 d\'ecoulent directement de ce que l'on vient de dire.

\begin{itemize}
\item[3.] Si $\Gamma$ est connexe, tout sommet $g\A$ peut \^etre reli\'e au sommet $\A$ par un chemin et il existe donc $(h,x_1, \ldots, x_{\N}) \in \G \times \mathcal{E}$ d'origine $\A$ et d'aboutissement $g\A$ ; on a alors $h \in \A$ et $hx_1\ldots x_{\N}\A = g\A$, donc $g$ appartient au sous-groupe de $\G$ engendr\'e par $\A$ et $\B$. R\'eciproquement, si $\G$ est engendr\'e par $\A$ et $\B$, alors tout \'el\'ement $g$ s'\'ecrit sous la forme $g=x_1\ldots x_{\N}$ avec $x_1 \in \A$, $x_2 \in \B - \{e\}$, $x_3 \in \A - \{e\}$, $\ldots$ (cette \'ecriture n'est \emph{a priori} pas unique) ; le chemin $c$ dans $\Gamma$ tel que $\sigma(c) = (e,x_1, \ldots, x_{\N})$ relie alors les ar\^etes $\xymatrix{\A \ar@{-}[r]^{e} & \B}$ et $\xymatrix{g\A \ar@{-}[r]^g & g\B}$ et donc $\Gamma$ est connexe.

\item[4.] On l'a vu en passant.

\item[5.] On rappelle que le graphe $\Gamma$ est un arbre si et seulement si deux sommets distincts sont reli\'es par un unique chemin n'empruntant pas deux fois de suite la m\^eme ar\^ete, ou encore s'il n'existe pas de circuit injectif. 

Supposons qu'il existe $\N \geqslant 2$ et un \'el\'ement $(x_1, \ldots, x_{\N})$ de $\mathcal{E}_{\N}$ tel que $x_1 \ldots x_{\N} = e$ dans $\G$ ; pour fixer les id\'ees, on suppose $x_1 \in \A$. Si $\N$ est pair, le chemin $c = \sigma^{-1}(e ; x_1, \ldots,x_{\N})$ relie les sommets $\B$ et $x_1 \ldots x_{\N}\A = \A$. Si $\N$ est impair, le chemin $\sigma^{-1}(x_1 ; x_2, \ldots, x_{\N}) \in \mathcal{E}_{\N - 1}$ relie les sommets $\A$ et $\B$. Comme, dans chaque cas, le chemin $\sigma^{-1}(e)$ de longueur $0$ relie $\A$ et $\B$, $\Gamma$ n'est pas un arbre.

Consid\'erons r\'eciproquement un circuit injectif $c = (g_1, \ldots, g_{\N})$ contenu dans $\Gamma$. On a $\N \geqslant 3$ et, quitte \`a permuter cycliquement les $g_i$, on peut supposer que le sommet commun aux ar\^etes $g_1$ et $g_{\N}$ est de la forme $g\A$, auquel cas $g_1 = g$. On a $gx_1 \ldots x_{\N-1}\A = g_{\N}\A = g\A$, donc $x_1 \ldots x_{\N-1} \in \A$ ; comme $\N-1 \geqslant 2$, ceci est impossible si $\G$ est le produit libre de $\A$ et $\B$.

\vspace{0.1cm} En conclusion, nous avons d\'emontr\'e que $\G$ est le produit libre des sous-groupes $\A$ et $\B$ si et seulement si $\Gamma$ est un arbre.
\end{itemize}

\vspace{0.2cm} \textbf{6.} On fait agir le groupe $\G = {\rm SL_2}(\mathbb{Z})$ sur le demi-plan sup\'erieur $\mathfrak{H}$ par homographies : $$gz = \left(\begin{array}{ll} p & q \\ r & s \end{array}\right) z = \frac{pz+q}{rz+s},$$ ce qui a bien un sens puisque ${\rm Im}(gz) = \frac{{\rm Im}(z)}{|rz+s|^2}$. Le sous-groupe $\{\pm {\rm Id}\}$ op\`erant trivialement, on en d\'eduit une action de $\G = {\rm PSL}_2(\mathbb{Z})$. Un calcul imm\'ediat montre que le stabilisateur de $i$ (resp. $j$) dans ${\rm SL}_2(\mathbb{Z})$ est le sous-groupe $\langle \alpha \rangle$ (resp. $\langle \beta \rangle$), de sorte que $\G/\A$ (resp. $\G/\B$) s'identifie \`a l'orbite de $i$ (resp. de $j$).

\vspace{0.2cm} \textbf{7.} \'Etant donn\'e $g \in \G$, le chemin continu $\gamma_g : [0,1] \rightarrow \mathfrak{H}, \ \ t \mapsto g\left(e^{(\frac{1}{2} + \frac{t}{6})i \pi}\right)$ relie $g(i)$ et $g(j)$ dans $\mathfrak{H}$. Observons que l'on a d\'efini $\gamma_g$ de telle sorte que $\gamma_g = g \gamma_e$ pour tout $g \in \G$.

\vspace{0.2cm} \textbf{8.} Soit $|\Gamma|$ la r\'ealisation g\'eom\'etrique du graphe $\Gamma$, obtenue en munissant $\G$ de la topologie discr\`ete et en quotientant l'espace topologique $[0,1] \times \G$ par la relation d'\'equivalence $$(t,g) \sim (s,h) \Longleftrightarrow (t= s = 0 \textrm{ et } g\A = h\A) \ \textrm{ ou } (t=s=1 \ \textrm{ et } g\B = h\B).$$ Il s'agit d'un espace topologique connexe en vertu de la question 3.

L'application continue $[0,1] \times \G \rightarrow \mathfrak{H}, \ \ (t,g) \mapsto \gamma_g(t)$ passe au quotient en vertu de la question 6 et donne donc naissance \`a une application continue $u : |\Gamma| \rightarrow \mathfrak{H}$ d'image $\T$. Comme $|\Gamma|$ est connexe, il en est de m\^eme de $\T$.

\vspace{0.2cm} \textbf{9.} Commen{\c c}ons par d\'emontrer le fait suivant : \'etant donn\'es $z \in \{e^{i\vartheta} , \ \pi/2 \leqslant \vartheta \leqslant 2\pi/3\}$ et $g \in \G$, le point $g(z)$ appartient au domaine $$\left\{ z' \in \mathfrak{H} \ \big| \ \frac{-1}{2} \leqslant {\rm Re}(z') \leqslant 0 \ \textrm{ et } \ |z'| \geqslant 1 \right\}$$ si et seulement si $z = i$ et $g \in \A$ ou $z = j$ et $g \in \B$.

\vspace{0.1cm} Choisissons une matrice $\left(\begin{array}{ll} p & q \\ r & s \end{array}\right) \in {\rm SL}_2(\mathbb{Z})$ repr\'esentant $g$. Quitte \`a remplacer $z$ par $gz$ et $g$ par $g^{-1}$, on peut supposer ${\rm Im}(g(z)) \geqslant {\rm Im}(z)$ et donc $|rz+s|^2 \leqslant 1$. \begin{itemize} \item Si $r = 0$, alors $g(z) = z \pm q$ et donc $q = 0$, $g = e$.
\item Supposons $r \neq 0$. Comme $|z + \lambda| > 1/2$ pour tout $\lambda \in \mathbb{Q}$, $|r|^2 \leqslant |z + s/r|^{-2} < 4$ et donc $r = \pm 1$. Quitte \`a remplacer la matrice consid\'er\'ee par son oppos\'ee, on peut supposer $r=1$. La condition $|z+s| \leqslant 1$ implique $s=0$ ou ($z = j$ et $s = 0, 1$). 
    \item Si $s = 0$, alors $q = -1$ puisque $ps-qr = 1$ et $r = 1$. On a ainsi $g(z) = p - \frac{1}{z}$, ce qui impossible.
    \item Il reste \`a examiner le cas $z = j$ et $r = s =1$. On a $g(z) = g(j) = 1+q - \frac{1}{1+j} = 1+q +j$, donc $q = -1$, $g(j) = j$ et finalement $g \in \B$ en vertu de la question 6.
        \end{itemize}
Notre assertion est d\'emontr\'ee.

\vspace{0.2cm} Une premi\`ere cons\'equence de cette observation est l'injectivit\'e de l'application $\varphi : \T \rightarrow \mathfrak{H}$. En effet, si $(t_1,g_1)$ et $(t_2,g_2)$ sont deux points de $[0,1] \times \G$ tels que $\gamma_{g_1}(t_1) = \gamma_{g_2}(t_2)$, alors $g_1 \gamma_e(t_1) = g_2 \gamma_e(t_2)$ et $g_2^{-1}g_1 \gamma_e(t_1) = \gamma_e(t_2)$ ; comme $\gamma_e(t_1), \gamma_e(t_2) \in \{e^{i\vartheta} \ ; \ \pi/2 \leqslant \vartheta \leqslant 2\pi/3\}$, il d\'ecoule de ce que l'on vient de dire que l'on a $$ (\gamma_e(t_1) = \gamma_e(t_2) = i \ \textrm{ et } \ g_2 \A = g_1 \A) \ \textrm{ ou } \ (\gamma_e(t_1) = \gamma_e(t_2) = j \ \textrm{ et } \ g_2\B = g_1\B),$$ ce qui signifie pr\'ecis\'ement que les points $(g_1,t_1)$ et $(g_2, t_2)$ ont la m\^eme image dans $|\Gamma|$.

\vspace{0.1cm} Toute application continue d'un espace topologique localement compact dans un espace topologique s\'epar\'e \'etant propre, nous concluons de ce qui pr\'ec\`ede que l'application $\varphi$ est un hom\'eomorphisme de $|\Gamma|$ sur $\T$

\vspace{0.2cm} Il d\'ecoule \'egalement de l'observation initiale que $i$ est l'unique \'el\'ement de $\T$ de partie r\'eelle nulle. Soit en effet $z$ est un point de $\mathfrak{H}$ v\'erifiant ${\rm Re}(z) = 0$. Comme ${\rm Im}(a z) = {\rm Im}(z)^{-1}$, on peut supposer $|z| = {\rm Im}(z) \geqslant 1$. Il existe par hypoth\`ese un \'el\'ement $z'$ de $\{e^{i\vartheta}, \ \pi/2 \leqslant \vartheta \leqslant 2\pi/3\}$ et $g \in \G$ tels que $z = g(z')$ ; on a alors $z' = i$ et $g \in \A$, d'o\`u $z = g(i) = i$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons un point $t$ dans $\T \cap \{z \in \mathfrak{H}, \ {\rm Re}(z) < 0\}$ et soit $c : [0,1] \rightarrow \T$ un chemin reliant $t$ \`a $i$. On note $t_0$ le plus petit \'el\'ement de $]0,1]$ tel que $c(t_0) = i$. Il y a dans $\Gamma$ exactement deux ar\^etes contenant le sommet $\A$ : l'une, correspondant \`a l'\'el\'ement $e$, relie $\A$ et $\B$ ; l'autre, correspondant \`a l'\'el\'ement $a$, relie $\A$ et $a\B$. Comme $\gamma_a(]0,1]) = \{e^{i\vartheta}, \ \pi/3 \leqslant \vartheta < \pi/2\}$ est enti\`erement contenu dans $\{z \in \mathfrak{H} ; \ {\rm Re}(z) > 0\}$, on en d\'eduit que $\varphi^{-1} \circ c ([0,t_0[)$ doit rencontrer l'int\'erieur de l'ar\^ete de $|\Gamma|$ reliant les sommets $\B$ et $\A$. De mani\`ere \'equivalente, $c([0,t_0[)$ contient un point de la forme $e^{i\vartheta}$ avec $\pi/2 < \vartheta < 2 \pi/3$ et $t$ peut par cons\'equent \^etre reli\'e au point $j$ par un chemin dans $\T \cap \{z \in \mathfrak{H}; \ {\rm Re}(z) < 0\}$. Nous avons ainsi d\'emontr\'e la connexit\'e par arcs de $\T \cap \{z \in \mathfrak{H} ; \ {\rm Re}(z) < 0\}$. Le cas de $\T \cap \{z \in \mathfrak{H} ; \ {\rm Re}(z) > 0\}$ s'en d\'eduit imm\'ediatement puisque $a$ \'echange ces deux sous-espaces.

\'Ecrivant $\T - \{i\}$ sous la forme $\T \cap \{z \in \mathfrak{H}; \ {\rm Re}(z) < 0\} \cup \T \cap \{z \in \mathfrak{H}; \ {\rm Re}(z) > 0\}$, il est clair que $\T - \{i\}$ n'est pas connexe.

\vspace{0.2cm} \textbf{10.} Consid\'erons un cycle $(g_1, \ldots, g_n)$ dans $\Gamma$. La concat\'enation des chemins $\gamma_{g_1}, \ldots, \gamma_{g_n}$ fournit un lacet non constant $c$ dans $\T$ passant par $g_1(i)$. Par suite, $g_1^{-1}c - \{i\}$ est enti\`erement contenu dans l'une des deux composantes connexes de $\T - \{i\}$ et finalement, vu la description de $\T$ au voisinage de $i$ que l'on a donn\'ee \`a la question pr\'ec\'edente, il existe un indice $\ell$ tel que $g_{\ell+1} = g_{\ell}$. Nous avons ainsi d\'emontr\'e que le graphe $\Gamma$ ne contient pas de cycle injectif, ce qui signifie pr\'ecis\'ement qu'il s'agit d'un arbre.

\vspace{0.2cm} \textbf{11.} La conclusion d\'ecoule directement des questions 5 et 10 : $$\rm{PSL}_2 = \A * \B \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} * \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}.$$

\newpage
\end{document}