Cours de M2 Groupes algébriques linéaires ^{(1)}

1. Langage fonctoriel

Les notions de catégories et de foncteurs ont été dégagées par Saunders Mac Lane et Samuel Eilenberg vers 1945 dans le cadre de la topologie algébrique. Leur intérêt vient en particulier du fait qu’elles permettent

– de travailler avec des objets mathématiques à isomorphisme près (la relation d’égalité est souvent non pertinente car trop rigide) ;

– de formuler de manière efficace la notion de propriété universelle ;

– de penser en termes de diagrammes ;

– de formuler « géométriquement » la théorie naïve des ensembles.

1.1. Catégories et foncteurs

(1.1.1) Une catégorie C est la donnée – d’un ensemble Ob(C) d’objets ;

– pour tous objets X et Y de C, d’un ensemble Hom_{C}(X, Y) de flèches (ou morphismes),

notées \xymatrix{X \ar[r]^{f} & Y} ou f : X → Y ;

– pour tous objets X, Y et Z de C, d’une composition Hom_{C}(X, Y) × Hom_{C}(Y, Z) → Hom_{C}(X, Z), (f, g) ↦ g ∘ f,

de telle sorte que les axiomes suivants soient vérifiés

(Ass) la composition des flèches est associative : pour toutes flèches \xymatrix{X \ar[r]^{f} & Y} , \xymatrix{Y \ar[r]^{g} & Z}

et \xymatrix{Z \ar[r]^{h} & T} dans C, h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f ; (Id) pour tout objet X de C, il existe une flèche 1_{X} ∈ Hom_{C}(X, X) telle que, pour toutes

flèches \xymatrix{X \ar[r]^{f} & Y} et \xymatrix{Y \ar[r]^{g} & X} , f ∘ 1_{X} = f et 1_{Y} ∘ g = g.

Remarque — Il découle immédiatement de l’axiome (Id) que, pour tout objet X de C, la flèche 1_{X} est unique.

Étant donnée une catégorie C, une flèche \xymatrix{X \ar[r]^{f} & Y} est un isomorphisme s’il existe une

flèche \xymatrix{Y \ar[r]^{g} & X} telle que g ∘ f = 1_{X} et f ∘ g = 1_{Y}. Si elle existe, la flèche g est unique et on la note f^{−1} ; c’est l’inverse de f.

Exemples — 1. Mentionnons tout d’abord les catégories naturellement associées à des structures mathématiques.

(i) La catégorie Ens des ensembles : les objets sont les ensembles, les flèches sont les applications, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet X, 1_{X} est l’application identique. Les isomorphismes sont les bijections.

(ii) La catégorie Gr des groupes : les objets sont les groupes, les flèches sont les homomorphismes de groupes, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet X, 1_{X} est l’homomorphisme identité. Les isomorphismes sont les homomorphismes bijectifs.

(iii) La catégorie Ab des groupes abéliens : les objets sont les groupes abéliens, les flèches sont les homomorphismes de groupes, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet X, 1_{X} est l’homomorphisme identité. Les isomorphismes sont les homomorphismes bijectifs.

(1)Version du 25 décembre 2008

(iv) La catégorie Ann des anneaux commutatifs : les objets sont les anneaux commutatifs, les flèches sont les homomorphismes d’anneaux, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet X, 1_{X} est l’homomorphisme identité. Les isomorphismes sont les homomorphismes bijectifs.

(v) La catégorie Top des espaces topologiques : les objets sont les espaces topologiques, les flèches sont les applications continues, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet X, 1_{X} est l’application identité. Les isomorphismes sont les homéomorphismes.

(vi) Si k est un corps, Vect(k) est la catégorie des k-espaces vectoriels : les objets sont les k-espaces vectoriels, les flèches sont les applications linéaires, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet X, 1_{X} est l’application identité. Les isomorphismes sont les applications linéaires bijectives.

2. On peut d’autre part attacher une catégorie C à tout ensemble partiellement ordonné (E, ⩽) :

– les objets sont les éléments de E ;

– étant donnés des éléments x et y de E,

Hom_{C}(x, y) = \{ \begin{matrix}l’ensemble 1 à un élément & si x ⩽ y \\ ∅ & sinon. \end{matrix}

Il existe une seule manière de définir la composition, qui est automatiquement associative. Enfin, pour tout x ∈ E, 1_{x} est l’unique élément de l’ensemble Hom_{C}(x, x).

3. Voici un exemple plus exotique. Étant donné un corps k, on désigne par Δ_{k} la catégorie suivante :

– les objets sont les nombres entiers naturels 0, 1, …;

– étant donnés des nombres entiers n et m, Hom_{Δ_{k}}(n, m) est l’ensemble M_{m,n}(k) des matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans k;

– pour tous entiers m, n et p, la composition M_{n,m}(k) × M_{p,n}(k) → M_{p,m}(k) est le produit matriciel ;

– pour tout entier n, 1_{n} est la matrice identité I_{n}. Les isomorphismes sont les matrices inversibles.

4. Mentionnons enfin que l’on peut associer à toute catégorie C sa catégorie opposée C^{op} : les objets de C^{op} sont les objets de C et, pour tous objets X, Y de C,

Hom_{C^{op}}(X, Y) = Hom_{C}(Y, X).

Si l’on conçoit C comme un graphe, C^{op} est le graphe obtenu en reversant le sens des flèches.

(1.1.2) Si C et C′ sont deux catégories, un foncteur F : C → C′ est la donnée : – pour tout objet X de C, d’un objet F(X) de C′;

– pour toute flèche \xymatrix{X \ar[r]^{f} & Y} dans C, d’une flèche \xymatrix{F(X) \ar[r]^{F(f)} & F(Y)} dans C′, de telle sorte que les axiomes suivants soient vérifiés :

(Ass’) pour toutes flèches \xymatrix{X \ar[r]^{f} & Y} et \xymatrix{Y \ar[r]^{g} & Z} dans C, F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) ; (Id’) pour tout objet X de C, F(1_{X}) = 1_{F(X)}.

Le composé G ∘ F de deux foncteurs F : C → C′ et G : C′ → C′′ est défini de manière évidente : (G ∘ F)(X) = G(F(X)) et (G ∘ F)(f) = G(F(f)).

Remarque — Les foncteurs que l’on vient de définir sont souvent dits covariants. En remplaçant dans la définition précédente l’axiome (Ass’) par la variante F(g ∘ f) = F(f) ∘ F(g), on obtient la notion de foncteur contravariant ; de manière équivalente, il s’agit d’un foncteur C^{op} → C′ ou C → C′^{op}.

Exemples — 1. Pour toute catégorie C, on dispose d’un foncteur 1_{C} défini par 1_{C}(X) = X et 1_{C}(f) = f.

2. On dispose d’un foncteur d’oubli de structure Gr → Ens associant à tout groupe l’ensemble sous-jacent et à tout homomorphisme de groupe l’application correspondante. De même : Ann → Ab, Top → Ens, etc.

3. Soit k un corps. On définit un foncteur de dualité D : Vect(k) → Vect(k)^{op} en associant à un k-espace vectoriel V (resp. à une application k-linéaire u) l’espace vectoriel dual D(V) = Hom_{k}(V, k) (resp. l’application contragrédiente u^{∨} définie par u^{∨}(φ) = φ ∘ u).

4. Désignant toujours par k un corps, on définit un foncteur L : Δ_{k} → Vect(k) en associant à tout entier n le k-espace vectoriel L(n) = k^{n} et à toute matrice M ∈ Hom_{Δ_{k}}(n, m) = M_{m,n}(k) l’application k-linéaire correspondante de k^{n} dans k^{m}.

5. Désignons par π_{0}(X) l’ensemble des composantes connexes d’un espace topologique X. Chaque application continue f : X → Y envoyant une composante connexe de X sur une partie connexe de Y, il existe une unique application π_{0}(f) : π_{0}(X) → π_{0}(Y) telle que f(Z) ⊂ π_{0}(f)(Z) pour toute composante connexe Z de X. On obtient ainsi un foncteur « composantes connexes » π_{0} : Top → Ens.

6. De façon très générale, la topologie algébrique est l’étude de certains foncteurs Top → C, où C est une catégorie de structures algébriques : Ab, Gr, Vect(k), etc.

Dans ce cours, nous nous intéresserons essentiellement aux foncteurs Ann → Gr.

(1.1.3) Si F, G : C → D sont deux foncteurs, un morphisme (ou une transformation naturelle de F dans G) est la donnée, pour tout objet X de C, d’un morphisme φ_{X} : F(X) → G(X) dans

D, de telle sorte que la condition suivante soit vérifiée : pour toute flèche \xymatrix{X \ar[r]^{f} & Y} dans C, le diagramme

\xymatrix{F(X) \ar[r]^{φ_{X}} \ar[d]_{F(f)} & G(X) \ar[d]^{G(f)} \\ F(Y) \ar[r]_{φ_{Y}} & G(Y)}

est commutatif, i.e. φ_{Y} ∘ F(f) = G(f) ∘ φ_{X}.

Exemples — 1. On dispose pour tout foncteur F : C → D d’un morphisme identité 1_{F} de F dans lui-même : quel que soit l’objet X de C, (1_{F})_{X} = 1_{F(X)}.

2. Par la suite, nous rencontrerons à maintes reprises des morphismes de foncteurs qui seront fabriqués sur le modèle suivant. Soit n ⩾ 1 un entier. Tout homomorphisme d’anneaux commutatifs f : A → B donne naturellement naissance à un homomorphisme de monoïdes (multiplicatifs) M_{n}(f) : M_{n}(A) → M_{n}(B) associant à une matrice (x_{ij}) la matrice M_{n}(f)(x_{ij}) = (f(x_{ij})) ; on définit ainsi un foncteur M_{n} de la catégorie des anneaux commutatifs dans la catégorie Mon des monoïdes. Le déterminant d’une matrice s’exprimant polynomialement en ses coefficients, det(M_{n}(f)(M)) = f(det(M)) pour toute matrice M ∈ M_{n}(A) et donc le déterminant fournit un morphisme de foncteurs det : M_{n} → M_{1}.

Les morphismes de foncteurs se composent de manière évidente. Un morphisme de foncteurs φ : F → G est un isomorphisme s’il vérifie les conditions équivalentes suivantes :

(i) il existe un morphisme de foncteurs ψ : G → F tel que ψ ∘ φ = 1_{F} et φ ∘ ψ = 1_{G} ; (ii) pour tout objet X de C, φ_{X} est un isomorphisme.

(1.1.4) Étant donnée une catégorie arbitraire C, nous allons comparer les foncteurs de C dans Gr et les foncteurs de C dans Ens.

Le produit F × G de deux foncteurs F, G : C → Ens est le foncteur de C dans Ens défini de manière évidente par

(F × G)(X) = F(X) × G(X) et (F × G)(f) = (F(f), G(f))

pour tout objet X et toute flèche f dans C.

On désigne d’autre part par 1 le foncteur C → Ens tel que 1(X) soit l’ensemble 1 réduit à un élément pour tout objet X de C et 1(f) soit l’unique application de 1 dans 1 pour toute flèche f dans C. Pour tout foncteur G : C → Ens,

– il existe un unique morphisme de foncteurs G → 1 ;

– la projection sur le premier (resp. second) facteur est un isomorphisme entre les foncteurs G × 1 (resp. 1 × G) et G.

Proposition 1.1.1 — Soit C une catégorie. Il revient au même de se donner (i) un foncteur G : C → Gr ; (ii) un foncteur G̃ : C → Ens et des morphismes de foncteurs

m : G̃ × G̃ → G̃, e : 1 → G̃, inv : G̃ → G̃

vérifiant les axiomes suivants : (Ass) le diagramme

[figure: (G̃ × G̃) × G̃; m×1G̃; G̃ × G̃; m; G̃; G̃ × (G̃ × G̃); 1G̃×m; G̃ × G̃; m]

est commutatif (Uni) les diagrammes

\xymatrix{1 × G̃ \ar[r]^{e×1G̃} \ar[dr]_{≅} & G̃ × G̃ \ar[d]^{m} & et & G̃ × 1 \ar[r]^{1G̃×e} \ar[dr]_{≅} & G̃ × G̃ \ar[d]^{m} \\  & G̃ &  &  & G̃}

sont commutatifs (Inv) le diagramme

\xymatrix{G̃ \ar[r]^{(1G̃,inv)} \ar[d] & G̃ × G̃ \ar[d]^{m} \\ 1 \ar[r]_{e} & G̃}

est commutatif. Démonstration. Cette proposition est complètement triviale compte-tenu du fait qu’un groupe G (resp. un homomorphisme de groupes f : G → H) est précisément la donnée d’un ensemble G̃ et d’applications m : G̃ × G̃ → G̃, e : 1 → G̃ et inv : G̃ → G̃ de telle sorte que m définisse une loi interne associative d’élément neutre l’image de e et pour laquelle inv associe à chaque élément de G̃ un inverse. Ces axiomes usuels sont équivalents à la commutativité des quatre diagrammes

[figure: (G̃ × G̃) × G̃; m×1G̃; G̃ × G̃; m; G̃; G̃ × (G̃ × G̃); 1G̃×m; G̃ × G̃; m] \xymatrix{G̃ \ar[r]^{(1G̃,inv)} \ar[d] & G̃ × G̃ \ar[d]^{m} \\ 1 \ar[r]_{e} & G̃} ,

\xymatrix{1 × G̃ \ar[r]^{e×1G̃} \ar[dr]_{≅} & G̃ × G̃ \ar[d]^{m} & G̃ × 1 \ar[r]^{1G̃×e} \ar[dr]_{≅} & G̃ × G̃ \ar[d]^{m} \\  & G̃ &  & G̃}

dans la catégorie Ens (resp. d’une application f̃ de G̃ dans H̃ telle que les trois diagrammes

\xymatrix{G̃ × G̃ \ar[r]^{m} \ar[d]_{f̃×f̃} & G̃ \ar[d]^{f̃} & 1 \ar[r]^{e} \ar[dr]_{e′} & G̃ \ar[d]^{f̃} & G̃ \ar[r]^{inv} \ar[d]_{f̃} & G̃ \ar[d]^{f̃} \\ H̃ × H̃ \ar[r]_{m′} & H̃ &  & H̃ & H̃ \ar[r]_{_{inv_{′}}} & H̃}

dans Ens soient commutatifs, où m′, e′ et inv′ désignent respectivement la multiplication, l’élément neutre et l’inversion du groupe H).

Ayant remarqué cela, on établit sans difficulté les assertions suivantes.

– Partant d’un foncteur G de C dans Gr, on définit G̃ comme le foncteur de C dans Ens obtenu en composant G par le foncteur d’oubli Gr → Ens ; en clair, pour tout objet X et toute flèche f dans C, G̃(X) est l’ensemble sous-jacent au groupe G(X) et G̃(f) est l’application sous-jacente à l’homomorphisme de groupes G̃(f). Pour tout objet X de C, la multiplication (resp. l’élément neutre ; resp. l’inversion) du groupe G(X) définit une application m_{X} : G̃(X) × G̃(X) → G̃(X) (resp. e_{X} : 1(X) → G̃(X) ; resp. inv_{X} : G̃(X) → G̃(X)). Lorsque X varie, ces applications constituent des morphismes de foncteurs satisfaisant aux axiomes (Ass), (Uni) et (Inv).

– Partant réciproquement d’un foncteur G̃ de C dans Ens et de morphismes de foncteurs m, e et inv satisfaisant aux axiomes (Ass), (Uni) et (Inv), le quadruplet G(X) = (G̃(X), m_{X}, e_{X}, inv_{X}) est un groupe pour tout objet X de C et l’application G̃(f) définit un homomorphisme de groupes G(f) pour toute flèche f dans C. Les correspondances X ↦ G(X) et f ↦ G(f) définissent un foncteur de C dans Gr.

□

Si G et H sont deux foncteurs de C dans Gr correspondant à des foncteurs G̃ et H̃ de C dans Ens équipés de morphismes de foncteurs (m_{G}, e_{G}, inv_{G}) et (m_{H}, e_{H}, inv_{H}) qui satisfaisont aux axiomes (Ass), (Uni) et (Inv), il revient au même de se donner

(i) un morphisme de foncteurs φ : G → H ; (ii) un morphisme de foncteurs φ̃: G̃ → H̃ tel que les trois diagrammes

\xymatrix{G̃ × G̃ \ar[r]^{m_{G}} \ar[d]_{φ̃×φ̃} & G̃ \ar[d]^{φ̃} & 1 \ar[r]^{e_{G}} \ar[dr]_{e_{H}} & G̃ \ar[d]^{φ̃} & G̃ \ar[r]^{^{inv^{G}}} \ar[d]_{φ̃} & G̃ \ar[d]^{φ̃} \\ H̃ × H̃ \ar[r]_{m_{H}} & H̃ &  & H̃ & H̃ \ar[r]_{_{inv_{H}}} & H̃}

soient commutatifs. En guise d’exercice, on démontrera que le troisième diagramme est automatiquement com-

mutatif si les deux premiers le sont.

Terminologie — Étant donnée une catégorie C, on parlera de foncteur en ensembles (resp. en groupes) sur C pour désigner un foncteur de C dans Ens (resp. dans Gr). Étant donné un foncteur en groupes G sur C, le foncteur en ensembles associé à G sera simplement le foncteur G̃ obtenu en composant G par le foncteur oubli Gr → Ens. Si cela ne prête pas à confusion, on emploiera la même notation pour un foncteur en groupes et le foncteur en ensembles associé.

1.2. Foncteurs représentables

(1.2.1) À tout objet X d’une catégorie C est associé un foncteur h_{X} : C → Ens :

– pour tout objet Y de C, h_{X}(Y) est l’ensemble Hom_{C}(X, Y) des flèches issues de X dans C ;

– pour toute flèche \xymatrix{Y \ar[r]^{f} & Z} de C, h_{X}(f) est l’application h_{X}(Y) → h_{X}(Z), g ↦ f ∘ g. On a clairement h_{u∘v} = h_{v} ∘ h_{u} pour toutes flèches composables u et v dans C. Enfin, pour tout objet X de C, h_{1_{X}} est la transformation identique du foncteur h_{X}.

À toute flèche \xymatrix{X \ar[r]^{u} & X′} dans C correspond un morphisme de foncteurs h_{u} : h_{X′} → h_{X} : pour tout objet Y de C, h_{u} est l’application

h_{X′}(Y) → h_{X}, f ↦ f ∘ u.

Le théorème suivant est fondamental.

Théorème 1.2.1 (Lemme de Yoneda) — Soit X un objet de C et soit F un foncteur C → Ens. La correspondance

\{ \begin{matrix}morphismes de foncteurs \\ φ : h_{X} → F \end{matrix} \} ⟶ F(X), φ ↦ φ_{X}(1_{X})

est une bijection. Démonstration. Soit φ : h_{X} → F un morphisme de foncteurs. Pour tout objet Y de C et toute flèche f ∈ h_{X}(Y), on dispose d’un diagramme commutatif

\xymatrix{h_{X}(X) \ar[r]^{φ_{X}} \ar[d]_{h_{X}(f)} & F(X) \ar[d]^{F(f)} \\ h_{X}(Y) \ar[r]_{φ_{Y}} & F(Y)}

Comme f est l’image de 1_{X} par l’application h_{X}(f), l’identité

φ_{Y}(f) = (φ_{Y} ∘ h_{X}(f))(1_{X})
= (F(f) ∘ φ_{X})(1_{X})
= F(f)(φ_{X}(1_{X}))

s’en déduit immédiatement et on constate que la transformation naturelle φ est entièrement déterminée par la connaissance de l’élément φ_{X}(1_{X}) de F(X).

Supposons réciproquement que l’on dispose d’un élément α de F(X). Pour tout objet Y de C, on désigne par φ_{Y} l’application de h_{X}(Y) = Hom_{C}(X, Y) dans F(Y) définie par φ_{Y}(f) = F(f)(α). Pour établir que la collection de ces applications définit une transformation naturelle

entre les foncteurs h_{X} et F, il faut vérifier que, pour toute flèche \xymatrix{Y \ar[r]^{g} & Z} dans C, le diagramme

\xymatrix{h_{X}(Y) \ar[r]^{φ_{Y}} \ar[d]_{h_{X}(g)} & F(Y) \ar[d]^{F(g)} \\ h_{X}(Z) \ar[r]_{φ_{Z}} & F(Z)}

est commutatif. C’est immédiat : quelle que soit la flèche u ∈ h_{X}(Y),

(φ_{Z} ∘ h_{X}(g))(h) = φ_{Z}(g ∘ h)
= F(g ∘ h)(α)
= (F(g) ∘ F(h))(α)
= F(g)(F(h)(α))
= F(g)(φ_{Y}(h)).
□

On dit qu’un foncteur F : C → Ens est représentable s’il existe un objet X de C et un isomorphisme de foncteurs \xymatrix{φ : h_{X} \ar[r]^{∼} & F} , auquel cas le couple (X, φ) est un représentant de F. D’après le lemme de Yoneda, le morphisme de foncteurs φ correspond à un élément α de F(X) uniquement déterminé et on dit également que le couple (X, α) est un représentant de F.

Corollaire 1.2.2 — Pour tous objets X et Y d’une catégorie C, la correspondance

Hom_{C}(Y, X) ⟶ \{ \begin{matrix}morphismes de foncteurs \\ φ : h_{X} → h_{Y} \end{matrix} \} , u ↦ h_{u}

est une bijection préservant les isomorphismes. La bijection réciproque fait correspondre à un morphisme de foncteurs φ la flèche φ_{X}(1_{X}). Démonstration — En vertu du lemme de Yoneda, la correspondance φ ↦ φ_{X}(1_{X}) établit une bijection entre l’ensemble des morphismes de foncteurs φ : h_{X} → h_{Y} et l’ensemble h_{Y}(X) = Hom_{C}(Y, X) des flèches \xymatrix{Y \ar[r]^{u} & X} dans C. Les arguments donnés au cours de la démonstration précédente montrent que la correspondance réciproque associe à une flèche u ∈ h_{Y}(X) le morphisme de foncteurs φ : h_{X} → h_{Y} défini par la condition suivante : pour tout objet Z de C, φ_{Z} est l’application

h_{X}(Z) → h_{Y}(Z), f ↦ f ∘ u,

c’est-à-dire φ = h_{u}.

Il reste à vérifier qu’une flèche \xymatrix{Y \ar[r]^{u} & X} dans C est un isomorphisme si et seulement si h_{u} est un isomorphisme de foncteurs.

– Si u est un isomorphisme, alors h_{u} ∘ h_{u^{−1}} = h_{u^{−1}∘u} = h_{1_{Y}} = 1_{h_{Y}} et h_{u^{−1}} ∘ h_{u} = h_{u∘u^{−1}} = h_{1_{X}} = 1_{h_{X}}, donc h_{u} est un isomorphisme de foncteurs.

– Si réciproquement h_{u} est un isomorphisme de foncteurs, l’isomorphisme inverse \xymatrix{h_{u}^{−1} : h_{Y} \ar[r]^{∼} & h_{X}} est de la forme h_{v} pour une certaine flèche v ∈ Hom_{C}(X, Y) et alors

h_{u∘v} = h_{v} ∘ h_{u} = h_{1_{X}}, h_{v∘u} = h_{u} ∘ h_{v} = h_{1_{Y}},

donc u ∘ v = 1_{X}, v ∘ u = 1_{Y} et u est un isomorphisme.

□

Corollaire 1.2.3 — Soit F : C → Ens un foncteur représentable. Si (X, φ) et (X′, φ′) sont deux représentants de F, il existe un unique isomorphisme \xymatrix{u : X′ \ar[r]^{∼} & X} tel que le diagramme

\xymatrix{h_{X} \ar[dr]_{h_{u}} \ar[r]^{φ} & F \\  & h_{X′} \ar[u]_{φ′}}

soit commutatif. Démonstration. Il suffit d’appliquer le corollaire précédent à l’isomorphisme de foncteurs φ′^{−1} ∘ φ. □

Ainsi, si un foncteur F : C → Ens est représentable, tout représentant (X, φ_{X}) de F est unique à un isomorphisme unique près.

Remarques et exemples — Les considérations précédentes ont de multiples implications ; explicitons-en quelques une.

1. La notion de foncteur représentable peut se comprendre en termes de problème universel. Étant donné un foncteur F d’une catégorie C dans la catégorie des ensembles, on se demande s’il existe un objet X de C et un élément α de F(X) tels que le couple (X, α) soit universel, c’est-à-dire satisfasse à la condition suivante : pour tout couple (Y, β) constitué d’un objet Y de C et d’un élément β de F(Y), il existe une unique flèche f : X → Y dans C telle que β = F(f)(α). Dire que le foncteur F est représentable, c’est exactement dire que ce problème admet une solution ; dire qu’un couple (X, α) représente le foncteur F, c’est exactement dire qu’il est une solution du problème considéré. Enfin, le corollaire 1.2.3 affirme que, si (X, α) et (X′, α′) sont deux solutions de ce problème, alors il existe un isomorphisme f : \xymatrix{X \ar[r]^{∼} & X′} uniquement déterminé tel que α′ = F(f)(α).

Sous la forme que l’on vient de lui donner, la notion de foncteur représentable est familière.

(i) Prenons pour C la catégorie des ensembles. Si E est un ensemble muni d’une relation d’équivalence ∼, on peut considérer le foncteur F de Ens dans Ens qui associe à tout ensemble E′ l’ensemble des applications f : E → E′ telles que f(x) = f(y) si x ∼ y. Ce foncteur est repésentable par l’ensemble quotient E/ ∼ et la projection canonique p de E dans E′; c’est la « propriété universelle du quotient ».

(ii) Prenons pour C la catégorie Mod(A) des modules (à gauche) sur un anneau A. Étant donnés un A-module M et un sous-module N, le foncteur F de Mod(A) dans la catégorie des ensembles, qui à un A-module P associe l’ensemble des applications A-linéaires u : M → P s’annulant sur N, est représentable par le A-module quotient M/N et la projection canonique de M sur M/N.

(iii) Prenons pour C la catégorie Top des espaces topologiques. Le foncteur « composantes connexes » π_{0} : Top → Ens n’est certainement pas représentable. En effet, s’il existait un espace topologique X et une composante connexe C ∈ π_{0}(X) de X tels que l’application

Hom_{Top}(X, Y) → π_{0}(Y), f ↦ f(C)

soit une bijection pour tout espace topologique Y, il existerait alors en particulier une unique application continue de X dans ℝ puisque ℝ est connexe, ce qui impliquerait X = ∅ (si X ≠ ∅, les fonctions réelles constantes fournissent une infinité d’applications continues de X dans ℝ). Comme l’ensemble Hom_{Top}(∅, Y) est réduit à un élément pour tout espace topologique Y, on en déduirait alors que π_{0}(Y) est toujours un singleton, ce qui est absurde !

(iv) Poursuivons l’étude de l’exemple précédent. Étant donnés deux espaces topologiques X et Y, on désigne par [X, Y] l’ensemble des classes d’homotopie d’applications continues de X dans Y, c’est-à-dire le quotient de Hom_{Top}(X, Y) par la relation d’équivalence « f ∼ g si et seulement si f et g sont homotopes ». On vérifie sans difficulté que la composition est compatible à cette relation d’équivalence, ce qui permet de définir la catégorie Hot des espaces topologiques à homotopie près : les objets sont les espaces topologiques, les flèches sont les classes d’homotopie d’applications continues et la composition est induite par la composition usuelle. Le foncteur « composantes connexes par arcs » π′_{0} : Top → Ens n’est pas représentable (même argument que pour π_{0}) mais le foncteur π′_{0} : Hot → Ens qu’il induit l’est, car les composantes connexes par arcs de Y sont naturellement en bijection avec les classes d’homotopie d’applications continues du singleton 1 dans Y :

[1, Y] ≅ π′_{0}(Y).

2. Interpréter une construction usuelle en termes de représentation d’un foncteur permet de la transférer dans un autre contexte. Un exemple standard est la somme (ou union disjointe) des ensembles. Étant donnés deux ensembles X et Y, la somme X ⊔ Y de X et Y possède la propriété universelle suivante : il revient au même de se donner une application f de X⊔Y dans un ensemble Z ou de se donner des applications f_{X} et f_{Y} de X et Y dans Z respectivement, f_{X} (resp. f_{Y}) étant la restriction de f au sous-ensemble X (resp. Y) de X ⊔ Y. En d’autres termes, le triplet (X ⊔ Y, i_{X}, i_{Y}) constitué de l’ensemble X ⊔ Y et des inclusions canoniques de X et Y dans X ⊔ Y représente le foncteur

Ens → Ens, Z ↦ Hom_{Ens}(X, Z) × Hom_{Ens}(X, Z).

Quels que soient alors la catégorie C et les objets X et Y de C, cela fait sens de se demander si le foncteur

C → Ens, Z ↦ Hom_{C}(X, Z) × Hom_{C}(Y, Z)

est représentable ; si oui, on désigne par X ⊔ Y un objet le représentant et on dit que X ⊔ Y est le coproduit de X et Y. La réponse est toujours positive dans Top : le coproduit de deux espaces topologiques X et Y est la somme des ensembles sous-jacents muni de la topologique la plus fine rendant continues les injections canoniques X, Y ↪ X⊔Y. La réponse est également positive dans Ab : le coproduit de deux groupes abéliens X et Y n’est autre que leur somme directe X ⊕ Y, et on voit déjà sur cet exemple élémentaire que l’ensemble sous-jacent au coproduit de deux groupes abéliens n’est pas le coproduit des ensembles sous-jacents, ce qui montre l’intérêt de la reformulation en termes fonctoriels. On dispose également d’un coproduit dans la catégorie Gr des groupes (c’est le produit libre) et dans la catégorie des anneaux commutatifs (c’est le produit tensoriel, cf. appendice). Il faut toutefois se garder de croire que l’existence d’un coproduit est toujours assurée : par exemple, dans la catégorie C associée à un ensemble partiellement ordonné (E, ⩽) (1.1.1, exemple 2), l’existence du coproduit de deux objets x et y équivaut à celle de la borne inférieure de x et y dans E.

On peut aborder de même l’étude du produit cartésien X × Y de deux ensembles X et Y, représentant le foncteur

Ens^{op} → Ens, Z ↦ Hom_{Ens}(X, Z) × Hom_{Ens}(Y, Z),

et essayer de l’étendre à d’autres catégories (exercice !).

3. En vertu du corollaire 1.2.2, on ne perd aucune information en remplaçant un objet X d’une catégorie C par le foncteur h_{C}. Contrairement aux apparence, ce point de vue s’avère parfois simplificateur en ce qu’il permet de construire une flèche u : \xymatrix{X \ar[r] & Y} dans une catégorie C a priori compliquée en définissant seulement des applications naturelles entre les ensembles variables h_{Y}(·) et h_{X}(·). On en verra un exemple explicite dans ce cours (où C sera la catégorie des bigèbres de type fini sur un corps k, cf. 1.4).

2. Groupes algébriques affines

2.1. Définition et exemples

On fixe dans tout ce paragraphe un corps k et on désigne par Alg_{k} la catégorie des kalgèbres (cf. appendice, 1.1).

(2.1.1) Commençons par introduire les principaux objets que nous considérerons dans ce cours.

Définition 2.1.1 — Soit k un corps.

(i) Un groupe algébrique affine sur k est un foncteur en groupes G : Alg_{k} → Gr tel que le foncteur en ensembles associé Alg_{k} → Ens soit représentable par une k-algèbre de type fini.

(ii) Si G et H sont deux groupes algébriques affines sur k, un homomorphisme f : G → H est un morphisme de foncteurs en groupes.

Les groupes algébriques affines sur k et leurs homomorphismes constituent les objets et les flèches d’une catégorie, notée k − Gr.

Explicitons cette définition. Un foncteur G : Alg_{k} → Gr est un groupe algébrique affine sur k s’il existe une k-algèbre de type fini A et, pour toute k-algèbre R, une bijection

φ_{R} : Hom_{Alg_{k}}(A, R) ≃ G(R)

dépendant « naturellement » de R, c’est-à-dire telle que, pour tout homomorphisme de kalgèbres f : R → R′, le diagramme

\xymatrix{Hom_{Alg_{k}}(A, R) \ar[r]^{φ_{R}} \ar[d]_{f∘·} & G(R) \ar[d]^{G(f)} \\ Hom_{Alg_{k}}(A, R′) \ar[r]_{φ_{R′}} & G(R′)}

soit commutatif.

Dire qu’une k-algèbre A est de type fini, c’est dire qu’elle est isomorphe au quotient d’un anneau de polynômes k[T_{1}, …, T_{n}] en un nombre fini de variables par un idéal ℑ :

λ : k[T_{1}, …, T_{n}]/ℑ ≃ A.

En utilisant la propriété universelle des anneaux de polynômes (cf. appendice, 1.1), on peut donner une description plus concrète du foncteur en ensembles h_{A} = Hom_{Alg_{k}}(A, ·) sur la catégorie Alg_{k}. De manière pécise, la correspondance u ↦ λ∘u induit un isomorphisme entre h_{A} et le foncteur

V_{ℑ} : Alg_{k} → Ens,

associant à toute k-algèbre R l’ensemble

V_{ℑ}(R) = {(r_{1}, …, r_{n}) ∈ R^{n} | P(r_{1}, …, r_{n}) = 0 pour tout P ∈ ℑ}

des zéros de l’idéal ℑ dans R^{n} et à tout homomorphisme de k-algèbres f : R → R′ l’application

V_{ℑ}(f) : V_{ℑ}(R) → V_{ℑ}(R′), (r_{1}, …, r_{n}) ↦ (f(r_{1}), …, f(r_{n})).

On aboutit ainsi à une reformulation simple de la définition initiale : un groupe algébrique affine sur k, c’est un foncteur G : Alg_{k} → Gr tel que, pour toute kalgèbre R, l’ensemble sous-jacent au groupe G(R) puisse s’identitifer de manière « naturelle » à un sous-ensemble de R^{n} défini par des équations polynomiales à coefficients dans k.

(Ici, « naturelle » signifie « de façon compatible aux homomorphismes de k-algèbres »).

La terminologie adoptée s’éclaire du même coup ; par la suite, nous la simplifierons en parlant de groupe algébrique sur k, voire de k-groupe, plutôt que de groupe algébrique affine sur k.

Exemple paradigmatique — 1. Le foncteur GL_{n} : Alg_{k} → Gr, associant

– à toute k-algèbre R, le groupe des matrices carrées inversibles de taille n à coefficients dans R,

– à tout homomorphisme de k-algèbres f : R → R′, l’homomorphisme de groupes induit

par l’homomorphisme de monoïdes M_{n}(R) → M_{n}(R′), (x_{ij}) ↦ (f(x_{ij})), est un groupe algébrique sur k.

En effet, quelle que soit la k-algèbre R, se donner une matrice M dans M_{n}(R) revient à se donner n^{2} éléments m_{ij} de R, c’est-à-dire un homomorphisme de la k-algèbre de polynômes k[(X_{ij})_{1⩽i,j⩽n}] dans R. Pour que M soit inversible, il faut et il suffit que son déterminant soit inversible dans R c’est-à-dire qu’il existe t ∈ R avec t det(M) − 1 = 0. La formule bien connue

det(M) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} ε(σ)m_{1σ(1)} … m_{nσ(n)}

montre que le déterminant de la matrice M est un polynôme en les m_{ij}, à coefficients dans ℤ, donc n’importe quel corps k. On a ainsi décrit une bijection naturelle

GL_{n}(R) ≃ Hom_{Alg_{k}} (k[(X_{ij})_{1⩽i,j⩽n}, T]/(Tdet(X_{ij}) − 1), R) ,

où l’on a posé

det(X_{ij}) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} ε(σ)X_{1σ(1)} … X_{nσ(n)}.

2. Le morphisme de foncteurs en groupes det : GL_{n} → GL_{1}, défini par la collection des homomorphismes de groupes det_{R} : GL_{n}(R) → GL_{1}(R) pour toute k-algèbre R, est un homomorphisme de groupes algébriques.

Définition 2.1.2 — Soit G un groupe algébrique sur k. On appelle anneau de coordonnées de G la donnée d’un k-algèbre de type fini A et d’un isomorphisme de foncteurs en ensembles φ : h_{A} ≃ G.

En vertu du lemme de Yoneda, deux anneaux de coordonnées (A, φ) et (A′, φ′) de G sont canoniquement isomorphes : il existe un unique isomorphisme de k-algèbres u : A′ → A tel que le diagramme

\xymatrix{h_{A} \ar[dr]_{φ} \ar[rr]^{h_{u}} &  & h_{A′} \ar[dl]^{φ′} \\  & G}

soit commutatif. Cela permet de parler de l’anneau de coordonnées de G, noté (O(G), φ) ou (k[G], φ) ; on omettra le plus souvent de faire figurer l’isomorphisme φ.

(2.1.2) Donnons tout de suite des exemples de groupes algébriques sur un corps k.

(i) Le foncteur 1 : Alg_{k} → Gr associant à toute k-algèbre R le groupe {1} réduit à un élément est un groupe algébrique sur k. En effet, pour toute k-algèbre R, il existe un unique homomorphisme de k-algèbres de k dans R (c’est l’homomorphisme structural de R, cf. appendice 1.1) et le foncteur 1 est donc représenté par la k-algèbre k.

(ii) Le foncteur 𝔾_{a} : Alg_{k} → Gr associant à toute k-algèbre R le groupe additif sousjacent (R, +) est un groupe algébrique sur k d’anneau de coordonnées la k-algèbre k[X]. C’est le groupe additif sur k.

(iii) Le foncteur 𝔾_{m} : Alg_{k} → Gr associant à toute k-algèbre R le groupe multiplicatif (R^{×}, ·) des éléments inversibles de R est un groupe algébrique sur k, d’anneau de coordonnées la k-algèbre k[X, T]/(XT − 1). C’est le groupe multiplicatif sur k.

(iv) Pour tout entier n ⩾ 0, le foncteur μ_{n} : Alg_{k} → Gr associant à chaque k-algèbre R le groupe multiplicatif μ_{n}(R) des racines n-èmes de l’unité dans R est un groupe algébrique sur k, d’anneau de coordonnées k[X]/(X^{n} − 1). Lorsque n = 0, on retrouve le k-groupe 1.

(v) Pour tout entier n ⩾ 0, le foncteur SL_{n} : Alg_{k} → Gr associant à chaque k-algèbre R le groupe SL_{n}(R) des matrices carrées de taille n à coefficients dans R et de déterminant 1 est un groupe algébrique sur k, d’anneau de coordonnées la k-algèbre k[(X_{ij})_{1⩽i,j⩽n}]/(det(X_{ij}) − 1). C’est le groupe spécial linéaire sur k.

(vi) Pour tout entier n ⩾ 0, le foncteur D_{n} : Alg_{k} → Gr associant à chaque k-algèbre R le groupe D_{n}(R) des matrices diagonales et inversibles de taille n à coefficients dans R est un groupe algébrique sur k, d’anneau de coordonnées la k-algèbre k[(X_{i})_{1⩽i⩽n}, T]/(X_{1} … X_{n}T − 1).

(vii) Pour tout entier n ⩾ 0, le foncteur B_{n} : Alg_{k} → Gr associant à chaque k-algèbre R le groupe B_{n}(R) des matrices triangulaires supérieures inversibles de taille n et à coefficients dans R est un groupe algébrique sur k, d’anneau de coordonnées la k-algèbre k[(X_{ij})_{1⩽i⩽j⩽n}, T]/(X_{11} … X_{nn}T − 1).

(viii) Pour tout entier n ⩾ 0, le foncteur U_{n} : Alg_{k} → Gr associant à chaque k-algèbre R le groupe U_{n}(R) des matrices triangulaires supérieures à diagonale unitaire de taille n et à coefficients dans R est un groupe algébrique sur k, d’anneau de coordonnées la k-algèbre k[(X_{ij})_{1⩽i<j⩽n}].

(ix) Pour tout entier n ⩾ 0, le foncteur O_{n} : Alg_{k} → Gr associant à chaque k-algèbre R le groupe

O_{n}(R) = {M ∈ M_{n}(R) | ^{t}MM = I_{n}}

est un groupe algébrique sur k. En effet, pour toute matrice M = (m_{ij}) dans M_{n}(R), la condition ^{t}MM = I_{n} équivaut aux n^{2} identités polynomiales

∑_{1⩽ℓ⩽n} m_{iℓ}m_{jℓ} = δ_{ij}

(1 ⩽ i, j ⩽ n). C’est le groupe orthogonal sur k.

(x) Pour tout entier n ⩾ 0, le foncteur Sp_{2n} : Alg_{k} → Gr associant à chaque k-algèbre R le groupe

Sp_{2n}(R) = {M ∈ M_{2n}(R) | ^{t}MJ_{n}M = J_{n}},

où J_{n} = ( \begin{matrix}0 & −I_{n} \\ I_{n} & 0 \end{matrix} ), est un groupe algébrique sur k (même argument que pour l’exemple

précédent). C’est le groupe symplectique sur k.

(xi) Supposons que le corps k soit de caractéristique p > 0. L’élévation à la puissance p-ème est un automorphisme 𝔽_{p}-linéaire dans toute k-algèbre R et

α_{p}(R) = {r ∈ R | r^{p} = 0}

est donc un sous-groupe du groupe additif (R, +). Le foncteur α_{p} : Alg_{k} → Gr ainsi défini est un groupe algébrique sur k, d’anneau de coordoonées la k-algèbre k[T]/(T^{p}).

2.2. Bigèbres

Nous avons défini un groupe algébrique sur un corps k comme un foncteur en groupes sur la catégorie Alg_{k} tel que le foncteur en ensembles associé soit représentable par une k-algèbre de type fini. Nous allons maintenant voir comment traduire sur la k-algèbre A le fait que le foncteur en ensembles h_{A} qu’elle représente provienne d’un foncteur en groupes.

(2.2.1) Fixons une k-algèbre A. En vertu de la proposition 1.1.1, il revient au même de dire que le foncteur h_{A} : Alg_{k} → Ens est le foncteur en ensembles associé à un foncteur en groupes, ou de dire qu’il existe des morphismes de foncteurs

m : h_{A} × h_{A} → h_{A}, e : 1 → h_{A} et inv : h_{A} → h_{A}

tels que les quatre diagrammes

[figure: (h_{A} × h_{A}) × h_{A}; m×1_{h_{A}}; h_{A} × h_{A}; m; h_{A}; h_{A} × (h_{A} × h_{A}); 1_{h_{A}}×m; h_{A} × h_{A}; m] \xymatrix{h_{A} \ar[r]^{(1_{h_{A}},inv)} \ar[d] & h_{A} × h_{A} \ar[d]^{m} \\ 1 \ar[r]_{e} & h_{A}} ,

\xymatrix{1 × h_{A} \ar[r]^{e×1_{h_{A}}} \ar[dr]_{≅} & h_{A} × h_{A} \ar[d]^{m} & h_{A} × 1 \ar[r]^{1_{h_{A}}×e} \ar[dr]_{≅} & h_{A} × h_{A} \ar[d]^{m} \\  & h_{A} &  & h_{A}}

soient commutatifs.

Étant données deux k-algèbres A et B, le foncteur

h_{A} × h_{B} : Alg_{k} → Ens, R ↦ Hom_{Alg_{k}}(A, R) × Hom_{Alg_{k}}(B, R)

est représenté par le produit tensoriel A ⊗_{k} B des k-algèbres A et B (cf. appendice 2.3) :

h_{A} × h_{B} ≅ h_{A⊗_{k}B}.

En vertu du lemme de Yoneda, le morphisme de multiplication

m : h_{A⊗_{k}A} ≅ h_{A} × h_{A} → h_{A}

est de la forme m = h_{Δ}, où

Δ : A → A ⊗_{k} A

est un homomorphisme de k-algèbres uniquement déterminé.

De même, comme 1 ≃ h_{k}, le morphisme e : 1 → h_{A} provient d’un homomorphisme de k-algèbres

e^{∗} : A → k

uniquement déterminé. Enfin, il existe un unique homomorphisme de k-algèbres ι : A → A tel que inv = h_{ι}.

Proposition 2.2.1 — Pour que le quadruplet (h_{A}, m, e, inv) définisse un foncteur en groupes, il faut et il suffit que les quatre diagrammes

[figure: A ⊗_{k} A; id_{A}⊗Δ; A ⊗_{k} (A ⊗_{k} A); A; Δ; Δ; A ⊗_{k} A; Δ⊗id_{A}; (A ⊗_{k} A) ⊗_{k} A; A; e^{∗}; Δ; A ⊗_{k} A; id_{A}⊗ι; A ⊗_{k} A; produit; k; A]

[figure: A; Δ; A ⊗_{k} A; e^{∗}⊗id_{A}; k ⊗_{k} A; A; Δ; A ⊗_{k} A; id_{A}⊗e^{∗}; A ⊗_{k} k]

soient commutatifs. Démonstration. En vertu du lemme de Yoneda, deux homomorphismes de k-algèbres f, g : R → R′ sont égaux si et seulement si les morphismes de foncteurs h_{f}, h_{g} : h_{R′} → h_{R} qu’ils définissent sont égaux. Forts de cette observation, il nous suffit de vérifier que les quatre diagrammes considérés correspondent aux quatre diagrammes envisagés auparavant et faisant intervenir h_{A}. Les vérifications sont immédiates pour ce qui est des premier, troisième et quatrième diagrammes (associativité et élément neutre). Pour le deuxième (inversion), il suffit d’observer que le morphisme de foncteurs (id_{A}, inv) : h_{A} → h_{A} × h_{A} peut également s’écrire sous la forme

\xymatrix{h_{A} \ar[r]^{(id_{A},id_{A})} & h_{A} × h_{A} \ar[r]^{id_{A}×inv} & h_{A} × h_{A}} .

Lorsqu’on identifie h_{A} × h_{A} et h_{A⊗_{k}A}, le morphisme diagonal

(id_{A}, id_{A}) : h_{A} → h_{A} × h_{A} ≅ h_{A⊗_{k}A}

correspond à l’unique homomorphisme de k-algèbres u : A ⊗_{k} A → A tel que u(a ⊗ 1) = u(1 ⊗ a) = a pour tout a ∈ A ; comme a ⊗ a′ = (a ⊗ 1)(1 ⊗ a′), u(a ⊗ a′) = aa′ est l’homomorphisme produit. □

Supposons maintenant que A et B soient deux k-algèbres telles que les foncteurs h_{A} et h_{B} proviennent de foncteurs en groupes, c’est-à-dire qu’ils soient munis de morphismes (m_{A}, e_{A}, inv_{A}) et (m_{B}, e_{B}, inv_{B}) comme précédemment. Pour qu’un morphisme de foncteurs en ensembles f : h_{A} → h_{B} définisse un morphisme de foncteur en groupes, il faut et il suffit que les trois diagrammes

\xymatrix{h_{A} × h_{A} \ar[r]^{m_{A}} \ar[d]_{f×f} & h_{A} \ar[d]^{f} & 1 \ar[r]^{e_{A}} \ar[dr]_{e_{A}} & h_{A} \ar[d]^{f} & h_{A} \ar[d]_{f} \ar[r]^{^{inv^{A}}} & h_{A} \ar[d]^{f} \\ h_{B} × h_{B} \ar[r]_{m_{B}} & h_{B} &  & h_{B} & h_{B} \ar[r]_{_{inv_{B}}} & h_{B}}

soient commutatifs, le troisième l’étant automatiquement lorsque les deux premiers le sont. En vertu du lemme de Yoneda, il existe un unique homomorphisme de k-algèbres f^{∗} : B → A tel que f = h_{f^{∗}}. De manière analogue à la proposition 2.2.1, on vérifie que la commutativité des trois diagrammes précédents est équivalente à celle des trois diagrammes suivants :

\xymatrix{A ⊗_{k} A & A \ar[l]_{Δ_{A}} & k & A \ar[l]_{e_{A}^{∗}} & A & A \ar[l]_{ι_{A}} \\ B ⊗_{k} B \ar[u]^{f^{∗}⊗f^{∗}} & B \ar[l]^{Δ_{B}} \ar[u]_{f^{∗}} &  & B \ar@{-->}[ul]^{e_{B}^{∗}} \ar[u]_{f^{∗}} & B \ar[u]^{f^{∗}} & B \ar[l]^{ι_{B}} \ar[u]_{f^{∗}}}

où les triplets (Δ_{A}, e_{A}^{∗}, ι_{A}) et (Δ_{B}, e_{B}^{∗}, ι_{B}) sont déduits comme ci-dessus des triplets (m_{A}, e_{A}, inv_{A}) et (m_{B}, e_{B}, inv_{B}) via le lemme de Yoneda.

Définition 2.2.2 — Soit k un corps.

(i) Une k-bigèbre est un quadruplet (A, Δ, e^{∗}, ι) constitué d’une k-algèbre A et d’homomorphismes de k-algèbres Δ : A → A ⊗_{k} A, e^{∗} : A → k, ι : A → A tels que les quatre diagrammes

[figure: A ⊗_{k} A; id_{A}⊗Δ; A ⊗_{k} (A ⊗_{k} A); A; Δ; Δ; A ⊗_{k} A; Δ⊗id_{A}; (A ⊗_{k} A) ⊗_{k} A; A; e^{∗}; Δ; A ⊗_{k} A; id_{A}⊗ι; A ⊗_{k} A; produit; k; A]

[figure: A; Δ; A ⊗_{k} A; e^{∗}⊗id_{A}; k ⊗_{k} A; A; Δ; A ⊗_{k} A; id_{A}⊗e^{∗}; A ⊗_{k} k]

soient commutatifs. (ii) Un morphisme d’une k-bigèbre (A, Δ_{A}, e_{A}^{∗}, ι_{A}) dans une k-bigèbre (B, Δ_{B}, e_{B}^{∗}, ι_{B}) est

un homomorphisme de k-algèbres φ : A → B tel que les trois diagrammes

\xymatrix{A ⊗_{k} A \ar[d]_{φ⊗φ} & A \ar[l]_{Δ_{A}} \ar[d]^{φ} & k & A \ar[l]_{e_{A}^{∗}} \ar[d]^{φ} & A \ar[d]_{φ} & A \ar[l]_{ι_{A}} \ar[d]^{φ} \\ B ⊗_{k} B & B \ar[l]^{Δ_{B}} &  & B \ar@{-->}[ul]^{e_{B}^{∗}} & B & B \ar[l]^{ι_{B}}}

soient commutatifs.

On dit qu’une k-bigèbre (A, Δ_{A}, e_{A}^{∗}, ι_{A}) est de type fini si A est une k-algèbre de type fini. Les k-bigèbres et leurs morphismes forment naturellement une catégorie. La discussion qui précède établit précisément que la catégorie des groupes algébriques sur k et celle des k-bigèbres de type fini sont antiéquivalentes :

– tout groupe algébrique sur k est isomorphe au groupe algébrique h_{A} défini par une kbigèbre de type fini (A, Δ_{A}, e_{A}^{∗}, ι_{A}) ;

– étant données deux k-bigèbres de type fini (A, Δ_{A}, e_{A}^{∗}, ι_{A}) et (B, Δ_{B}, e_{B}^{∗}, ι_{B}), la correspondance

\{ \begin{matrix}morphismes de k-bigèbres \\ (A, Δ_{A}, e_{A}^{∗}, ι_{A}) & φ & [figure] & (B, Δ_{B}, e_{B}^{∗}, ι_{B}) \end{matrix} \} → \{ \begin{matrix}homomorphismes de k-groupes \\ h_{B} & h_{φ} & [figure] & h_{B} \end{matrix} \}

est une bijection.

(2.2.2) Exemple : la k-bigèbre du groupe linéaire GL_{n}.

On sait que GL_{n} est représenté par la k-algèbre A = k[(X_{ij})_{1⩽i,j⩽n}, T]/(T det(X_{ij}) − 1) : pour toute k-algèbre R,

Hom_{Alg_{k}}(A, R)  [figure: ∼] GL_{n}(R)
u  ↦  (u(X_{ij})).

La k-algèbre A ⊗_{k} A s’identifie canoniquement au quotient de la k-algèbre de polynômes k[(X_{ij} ⊗ 1)_{1⩽i,j⩽n}, (1 ⊗ X_{ij})_{1⩽i,j⩽n}, T ⊗ 1, 1 ⊗ T] (en 2n^{2} + 2 variables) par l’idéal ((T ⊗ 1) det((X_{ij} ⊗ 1) − 1, (1 ⊗ T) det(1 ⊗ X_{ij}) − 1) (cf. appendice, 2.4, exercices 5 et 6). En utilisant la bijection

Hom_{Alg_{k}}(A ⊗_{k} A, R)  [figure: ∼] GL_{n}(R) × GL_{n}(R)
w  ↦  ((w(X_{ij} ⊗ 1)), (w(1 ⊗ X_{ij}))) ,

on dispose d’un diagramme commutatif

\xymatrix{GL_{n}(R) × GL_{n}(R) \ar[r]^{mult} & GL_{n}(R) \\ Hom_{Alg_{k}}(A ⊗_{k} A, R) \ar[u]^{≀} \ar[r] & Hom_{Alg_{k}}(A, R) \ar[u]_{≀}}

dans lequel les flèches verticales sont les bijections que l’on vient de décrire et la flèche horizontale inférieure est l’application w ↦ w ∘ Δ, Δ étant la comultiplication de A qu’il s’agit d’expliciter. La commutativité de ce diagramme équivaut à l’identité matricielle

((w ∘ Δ)(X_{ij})) = (w(X_{ij} ⊗ 1)) (w(1 ⊗ X_{ij}))

dans GL_{n}(R) pour tout homomorphisme de k-algèbres w : A ⊗_{k} A → R. En calculant le produit figurant dans le membre de droite, nous obtenons

(w ∘ Δ)(X_{ij}) = ∑_{ℓ=1}^{n} w(X_{iℓ} ⊗ 1)w(1 ⊗ X_{ℓj})

= ∑_{ℓ=1}^{n} w(X_{iℓ} ⊗ X_{ℓj})

= w (∑_{ℓ=1}^{n} X_{iℓ}X_{ℓj})

et donc finalement

Δ(X_{ij}) = ∑_{ℓ=1}^{n} X_{iℓ}X_{ℓj}

puisque R et w sont arbitraires (choisir par exemple R = A ⊗_{k} A et w = id_{A⊗_{k}A}). Comme

u(T) = det(u(X_{ij}))^{−1}

pour tout u ∈ Hom_{Alg_{k}}(A, R),

(w ∘ Δ)(T) = det ((w ∘ Δ)(X_{ij}))^{−1}
= det ((w(X_{ij} ⊗ 1))(w(1 ⊗ X_{ij})))^{−1}
= det(w(X_{ij} ⊗ 1))^{−1} det(w(1 ⊗ X_{ij}))^{−1}
= w((T ⊗ 1)(1 ⊗ T))
= w(T ⊗ T)

et donc

Δ(T) = (T ⊗ 1)(1 ⊗ T) = T ⊗ T.

On procède de la même manière pour expliciter la counité e^{∗} : A → k à partir du diagramme commutatif

\xymatrix{1 \ar[r]^{e} & GL_{n}(R) \\ Hom_{Alg_{k}}(k, R) \ar[u]^{≀} \ar[r] & Hom_{Alg_{k}}(A, R) \ar[u]_{≀}}

dans lequel la flèche horizontale inférieure est l’application u ↦ u ∘ e^{∗}. La commutativité de ce diagramme pour R = k équivaut à

(e^{∗}(X_{ij})) = I_{n} et e^{∗}(T) = det(I_{n})^{−1},

soit

e^{∗}(X_{ij}) = \{ \begin{matrix}1 & si i = j \\ 0 & si i ≠ j \end{matrix} et e^{∗}(T) = 1.

Considérons finalement le diagramme commutatif

\xymatrix{GL_{n}(R) \ar[r]^{inv} & GL_{n}(R) \\ Hom_{Alg_{k}}(A, R) \ar[u]^{≀} \ar[r] & Hom_{Alg_{k}}(A, R) \ar[u]_{≀}}

dans lequel la flèche inférieure est l’application u ↦ u ∘ ι. Nous obtenons

((u ∘ ι)(X_{ij})) = (u(X_{ij}))^{−1} = det(u(X_{ij}))^{−1}adj(u(X_{ij})),

où, pour toute matrice M ∈ M_{n}(R), adj(M) est la matrice définie par

adj(M)_{ij} = (−1)^{i+j} det(M̂_{ji}),

M̂_{ij} ∈ M_{n−1}(R) désignant la matrice obtenue à partir de M en supprimant la i-ème ligne et la j-ème colonne. Cette matrice vérifie l’identité adj(M)M = det(M)I_{n}. Par suite,

(u ∘ ι)(X_{ij}) = u(T)[adj(u(X_{ij}))]_{ij}
= u(T[adj(X_{ij})]_{ij})

et donc

ι(X_{ij}) = T[adj(X_{ij})]_{ij}.

De même,

(u ∘ ι)(T) = u(T)^{−1} = (det(u(X_{ij}))^{−1})^{−1} = det(u(X_{ij})) = u(det(X_{ij}))

donc

ι(T) = det(X_{ij}).

Donnons encore deux exemples, pour lesquels toutes les justifications nécessaires sont laissées au lecteur.

(i) La bigèbre du groupe additif 𝔾_{a} est la k-algèbre k[T] munie de la comultiplication

k[T] [figure: Δ]k[T] ⊗_{k} k[T] ≅ k[T ⊗ 1, 1 ⊗ T], T ↦ T ⊗ 1 + 1 ⊗ T,

de la counité

k[T] [figure: 0^{∗}]k, T ↦ 0

et de la coinversion

k[T] [figure: ι]k[T], T ↦ −T.

(ii) L’anneau du groupe multiplicatif 𝔾_{m} = 𝔾𝕃_{1} est la k-algèbre k[X, X^{−1}] des polynômes de Laurent en X. La k-algèbre k[X, X^{−1}] ⊗_{k} k[X, X^{−1}] est canoniquement isomorphe à la kalgèbre k[(X⊗1), (X⊗1)^{−1}, (1⊗X), (1⊗X)^{−1}] des polynômes de Laurent en les indéterminées X ⊗ 1 et 1 ⊗ X.

– La comultiplication

k[X, X^{−1}] [figure: Δ]k[(X ⊗ 1), (X ⊗ 1)^{−1}, (1 ⊗ X), (1 ⊗ X)^{−1}]

est définie par Δ(X) = (X ⊗ 1)(1 ⊗ X) = X ⊗ X et Δ(X^{−1}) = (X ⊗ 1)^{−1}(1 ⊗ X)^{−1} = (X ⊗ X)^{−1}.

– La counité

k[X, X^{−1}] [figure: 1^{∗}]k

est définie par 1^{∗}(X) = 1^{∗}(X^{−1}) = 1.

– La coinversion

k[X, X^{−1} [figure: ι]k[X, X^{−1}]

est définie par ι(X) = X^{−1}, ι(X^{−1}) = X.

(2.2.3) L’antiéquivalence que l’on a établie en 4.1 entre la catégorie des groupes algébriques sur k et celle des k-bigèbres de type fini signifie que ces deux concepts sont strictement interchangeables. Les deux points de vue sont utiles, mais il est en général plus agréable et plus facile de travailler en termes de foncteurs en groupes. La proposition suivante illustre l’utilisation des bigèbres pour étudier les homomorphismes entre deux groupes algébriques.

Proposition 2.2.3 — Il n’y a pas d’homomorphisme non trivial entre les groupes 𝔾_{a} et 𝔾_{m} :

Hom_{k−Gr}(𝔾_{a}, 𝔾_{m}) = \{ \xymatrix{𝔾_{a} \ar[r] & 1 \ar[r]^{1} & 𝔾_{m}} \}

et

Hom_{k−Gr}(𝔾_{m}, 𝔾_{a}) = \{ \xymatrix{𝔾_{m} \ar[r] & 1 \ar[r]^{0} & 𝔾_{a}} \}.

Démonstration. Il revient au même de se donner un homomorphisme f : 𝔾_{a} → 𝔾_{m} ou un homomorphisme de k-algèbres f^{∗} : k[X, X^{−1}] → k[T] compatible aux structures de bigèbres. L’homomorphisme f^{∗} est complètement déterminé par f^{∗}(X), qui doit être un élément inversible de k[T] ; comme k est un corps, k[T]^{×} = k^{×} et donc f^{∗}(X) = a ∈ k^{×}. La commutativité du diagramme

\xymatrix{k[X, X^{−1}] \ar[rr]^{f^{∗}} \ar[dr]_{1^{∗}} &  & k[T] \ar[dl]^{0^{∗}} \\  & k}

implique

1 = 1^{∗}(X) = 0^{∗}(a) = a,

donc f^{∗}(X) = 1. Le seul homomorphisme de 𝔾_{a} dans 𝔾_{m} est donc l’homomorphisme trivial

\xymatrix{𝔾_{a} \ar[r] & 1 \ar[r]^{1} & 𝔾_{m}}

correspondant à l’homomorphisme de k-bigèbres

\xymatrix{k[X, X^{−1}] \ar[r]^{1^{∗}} & k \ar[r] & k[T]} .

Il revient au même de se donner un homomorphisme g : 𝔾_{m} → 𝔾_{a} ou un homomorphisme de k-algèbres g^{∗} : k[T] → k[X, X^{−1}] compatible aux structures de bigèbres. L’homomorphisme g^{∗} est complètement déterminé par le polynôme de Laurent g^{∗}(T) = ∑_{n∈ℤ} a_{n}X^{n}. La commutativité du diagramme

\xymatrix{k[T] \ar[r]^{Δ} \ar[d]_{g^{∗}} & k[T] ⊗_{k} k[T] \ar[d]^{g^{∗}⊗g^{∗}} \\ k[X, X^{−1}] \ar[r]_{Δ} & k[X, X^{−1}] ⊗_{k} k[X, X^{−1}]}

se traduit par l’identité

Δ(g^{∗}(T)) = (g^{∗} ⊗ g^{∗})(Δ(T))

dans k[X, X^{−1}] ⊗_{k} k[X, X^{−1}] ≅ k[X ⊗ 1, (X ⊗ 1)^{−1}, 1 ⊗ X, (1 ⊗ X)^{−1}]. Le membre de gauche s’explicite aisément :

Δ(g^{∗}(T)) = Δ (∑_{n∈ℤ}a_{n}X^{n}) = ∑_{n∈ℤ}Δ(X)^{n} = ∑_{n∈ℤ}a_{n}(X ⊗ 1)^{n}(1 ⊗ X)^{n}

et il en de même du membre de droite :

(g^{∗}⊗g^{∗})(Δ(T)) = (g^{∗}⊗g^{∗})(T⊗1+1⊗T) = g^{∗}(T)⊗1+1⊗g^{∗}(T) = ∑_{n∈ℤ}a_{n}[(X⊗1)^{n}+(1⊗X)^{n}].

Nous obtenons donc l’identité

∑_{n∈ℤ}a_{n}(X ⊗ 1)^{n}(1 ⊗ X)^{n} = ∑_{n∈ℤ}a_{n}[(X ⊗ 1)^{n} + (1 ⊗ X)^{n}]

entre polynômes de Laurent en les indéterminées X ⊗ 1 et 1 ⊗ X. Par identification, nous en déduisons

\{ \begin{matrix}a_{n} = 0 & si |n| ⩾ 1 \\ a_{0} = 2a_{0}, \end{matrix}

d’où finalement g^{∗}(T) = 0. Ceci montre que le seul homomorphisme de 𝔾_{m} dans 𝔾_{a} est l’homomorphisme trivial

\xymatrix{𝔾_{m} \ar[r] & 1 \ar[r]^{0} & 𝔾_{a}}

correspondant à l’homomorphisme de k-bigèbres

\xymatrix{k[T] \ar[r]^{0^{∗}} & k \ar[r] & k[X, X^{−1}]} .

□

Exercices. 1) Soit Γ un groupe fini. Démontrer que le foncteur constant Γ : Alg_{k} → Gr défini par Γ(R) = Γ pour toute k-algèbre R et Γ(f) = id_{Γ} pour tout homomorphisme de k-algèbres f, est représentable si et seulement si Γ est le groupe réduit à un élément. (Indication : pour toutes k-algèbres A et R,

Hom_{Alg_{k}}(A, R ⊕ R) ≅ Hom_{Alg_{k}}(A, R) × Hom_{Alg_{k}}(A, R).)

2) Soit Γ un groupe fini. L’ensemble k^{Γ} des fonctions sur Γ à valeurs dans k est naturellement muni d’une structure de k-algèbre commutative :

(λf + μg)(γ) = λf(γ) + μg(γ) et (fg)(γ) = f(γ)g(γ)

pour tous f, g ∈ k^{Γ}, λ, μ ∈ k et γ ∈ Γ.

On considère les homomorphismes de k-algèbres

Δ : k^{Γ} → k^{Γ×Γ}, e^{∗} : k^{Γ} → k et ι : k^{Γ} → k^{Γ}

définis comme suit :

Δ(f) = ((γ, γ′) ↦ f(γγ′)) ,

e^{∗}(f) = f(1_{Γ}),

et

ι(f) = (γ ↦ f(γ^{−1})) .

(i) Vérifier que les fonctions indicatrices e_{γ} des singletons {γ} forment une base de k^{Γ} en tant que k-espace vectoriel.

(ii) Démontrer que les k-algèbres k^{Γ} ⊗_{k} k^{Γ} et k^{Γ×Γ} sont canoniquement isomorphes.

(iii) Exprimer Δ, e^{∗} et ι dans les bases canoniques (e_{γ})_{γ∈Γ} et (e_{γ} ⊗ e_{γ′})_{(γ,γ′)∈Γ^{2}} de k^{Γ} et

de k^{Γ} ⊗_{k} k^{Γ}. (iv) Vérifier que (k^{Γ}, Δ, e^{∗}, ι) est une k-bigèbre de type fini.

(v) Soit \underline{Γ} le groupe algébrique sur k correspondant à la k-bigèbre (k^{Γ}, Δ, e^{∗}, ι). Vérifier que l’on a un isomorphisme canonique \underline{Γ}(k) ≅ Γ puis déterminer \underline{Γ}(R) pour toute k-algèbre R.

2.3. Constructions élémentaires

(2.3.1) Sous-groupes.

Définition 2.3.1 — Soit G un groupe algébrique sur k. Un sous-groupe de G est la donnée d’un homomorphisme de groupes algébriques i : H → G tel que l’homomorphisme de k-algèbres i^{∗} : O(G) → O(H) correspondant soit surjectif.

Cette définition appelle deux commentaires.

1) Tout d’abord, pour toute k-algèbre R, l’homomorphisme de groupes i_{R} : H(R) → G(R) est injectif. En effet, on dispose d’un diagramme commutatif

\xymatrix{H(R) \ar[r] \ar[r]^{i_{R}} & G(R) \\ Hom_{Alg_{k}}(O(H), R) \ar[r] \ar[u]^{≀} & Hom_{Alg_{k}}(O(G), R) \ar[u]_{≀}}

dans lequel la flèche horizontale inférieure est l’application u ↦ u ∘ i^{∗}. L’homomorphisme i^{∗} étant surjectif, la condition u ∘ i^{∗} = v ∘ i^{∗} implique u = v pour tous u, v ∈ Hom_{Alg_{k}}(O(H), R) et ceci prouve que l’application i_{R} est injective.

2) La surjectivité de l’homomorphisme i^{∗} signifie que la k-algèbre O(H) est isomorphe au quotient de O(G) par l’idéal ker(i^{∗}). Ceci se traduit par le fait suivant : pour toute k-algèbre R, l’application

Hom_{Alg_{k}}(O(H), R) → Hom_{Alg_{k}}(O(G), R)

induit une bijection sur le sous-ensemble de Hom_{Alg_{k}}(O(G), R) constitué des homomorphismes u tels que u(ker(i^{∗}) = 0. De manière encore plus explicite, si l’on écrit O(G) sous la forme k[T_{1}, …, T_{n}]/ℑ, alors l’idéal ker(i^{∗}) de O(G) provient d’un idéal 𝔍 de k[T_{1}, …, T_{n}] contenant ℑ,

G(R) ≃ {(r_{1}, …, r_{n}) ∈ R^{n} | f(r_{1}, …, r_{n}) = 0 pour tout f ∈ ℑ}

et H(R) s’identifie alors au sous-ensemble de G(R) défini par les équations f(r_{1}, …, r_{n}) = 0, f ∈ 𝔍.

Au vu de ces deux observations, la définition que nous avons adoptée signifie précisément qu’un sous-groupe de G est un sous-foncteur en groupes défini par des équations polynomiales.

Remarque. En fait, il serait revenu au même de définir un sous-groupe de G comme un homomorphisme i : H → G tel que, pour toute k-algèbre R, l’homomorphisme i_{R} : H(R) → G(R) soit injectif. On peut en effet démontrer que cette condition suffit à garantir la surjectivité de l’homomorphisme i^{∗} : O(G) → O(H).

Exemples. 1) Pour tout entier n ⩾ 0, SL_{n} est un sous-groupe de GL_{n}. Effet, l’inclusion naturelle i de SL_{n} dans GL_{n} correspond à l’homomorphisme de k-algèbres

i^{∗} : k[(X_{ij})_{1⩽i,j⩽n}, T]/(T det(X_{ij}) − 1) → k[(X_{ij})_{1⩽i,j⩽n}]/(det(X_{ij}) − 1)

défini par i^{∗}(X_{ij}) = X_{ij} et i^{∗}(T) = 1. Cet homomorphisme est manifestement surjectif.

2) Pour tout entier n ⩾ 0, le groupe μ_{n} est un sous-groupe du groupe multiplicatif 𝔾_{m}. En effet, l’inclusion naturelle i de μ_{n} dans 𝔾_{m} correspond à l’homomorphisme de k-algèbres

i^{∗} : k[X, X^{−1}] → k[X]/(X^{n} − 1)

défini par i^{∗}(X) = X et i^{∗}(X^{−1}) = X^{n−1}. Cet homomorphisme est manifestement surjectif.

3) Si le corps k est de caractéristique p > 0, le groupe α_{p} est un sous-groupe du groupe additif 𝔾_{a}. En effet, l’inclusion naturelle i de α_{p} dans 𝔾_{a} correspond à l’homomorphisme de k-algèbres

i^{∗} : k[T] → k[T]/(T^{p})

défini par i^{∗}(T) = T, qui est manifestement surjectif.

(2.3.2) Produit. Étant donnés deux groupes algébriques G_{1} et G_{2}, on peut construire le foncteur en groupes G_{1} × G_{2} sur Alg_{k} associant

– à toute k-algèbre R, le groupe produit G_{1}(R) × G_{2}(R) ;

– à tout homomorphisme de k-algèbres f : R → R′, l’homomorphisme de groupes G_{1}(f) × G_{2}(f) : G_{1}(R) × G_{2}(R) → G_{1}(R′) × G_{2}(R′).

Choisissons des anneaux de coordonnées φ_{1} : h_{A_{1}} [figure: ∼]G_{1} et φ_{2} : h_{A_{2}} [figure: ∼]G_{2} et considérons l’isomorphisme de foncteurs

φ_{1} × φ_{2} : h_{A_{1}} × h_{A_{2}} [figure: ∼]G_{1} × G_{2}.

Par définition même du produit tensoriel A_{1} ⊗_{k} A_{2}, h_{A_{1}⊗_{k}A_{2}} ≃ h_{A_{1}} × h_{A_{2}} et nous obtenons donc un isomorphisme de foncteurs

h_{A_{1}⊗_{k}A_{2}} [figure]G_{1} × G_{2}.

Enfin, si l’on choisit des isomorphismes A_{1} ≃ k[T_{1}, …, T_{n}]/ℑ et A_{2} ≃ k[S_{1}, …, S_{m}]/𝔍, on obtient un isomorphisme de k-algèbres

A_{1} ⊗_{k} A_{2} ≃ k[T_{1}, …, T_{n}]/ℑ ⊗_{k} k[S_{1}, …, S_{m}]/𝔍
≃ k[T_{1}, …, T_{n}, S_{1}, …, S_{m}]/𝔎

où 𝔎 est l’idéal de k[T_{1}, …, T_{n}, S_{1}, …, S_{m}] engendré par ℑ et 𝔍 (cf. appendice, 2.4, exercices 5 et 6). La k-algèbre A_{1} ⊗_{k} A_{2} est donc de type fini.

Cette discussion établit la proposition suivante.

Proposition 2.3.2 — Étant donnés deux groupes algébriques G_{1} et G_{2} sur k, le foncteur en groupes G_{1} ×_{k} G_{2} est un groupe algébrique sur k, d’anneau de coordonnées O(G_{1}) ⊗_{k} O(G_{2}).

(2.3.3) Produit fibré et noyau. Considérons plus généralement un diagramme d’homomorphismes de groupes

\xymatrix{G_{1} \ar[dr]^{f_{1}} \\  & H. \\ G_{2} \ar[ur]_{f_{2}}}

Pour toute k-algèbre R, l’ensemble G_{1}(R) ×_{H(R)} G_{2}(R) des couples (g_{1}, g_{2}) ∈ G_{1}(R) × G_{2}(R) tels que f_{1}(g_{1}) = f_{2}(g_{2}) est un sous-groupe de G_{1}(R)×G_{2}(R). Si f : R → R′ est un homomorphisme de k-algèbres, on vérifie immédiatement que l’homomorphisme de groupes G_{1}(f) × G_{2}(f) : G_{1}(R) × G_{2}(R) → G_{1}(R′) × G_{2}(R′) envoie G_{1}(R) ×_{H(R)} G_{2}(R) dans G_{1}(R′) ×_{H(R′)} G_{2}(R′). Nous avons ainsi défini un foncteur

G_{1} ×_{H} G_{2} : Alg_{k} → Gr.

Comme précédemment, on déduit de la propriété universelle du produit tensoriel des bijections naturelles

G_{1}(R) ×_{H(R)} G_{2}(R) = {(g_{1}, g_{2}) ∈ G_{1}(R) × G_{2}(R) | f_{1}(g_{1}) = f_{2}(g_{2})}
≃ {(g_{1}, g_{2}) ∈ Hom_{Alg_{k}}(O(G_{1}), R) × Hom_{Alg_{k}}(O(G_{2}), R) | g_{1} ∘ f_{1}^{∗} = g_{2} ∘ f_{2}^{∗}}
≃ Hom_{Alg_{k}}(O(G_{1}) ⊗_{O(H)} O(G_{2}), R)

pour tout k-algèbre R. Le foncteur G_{1} ×_{H} G_{2} est ainsi représenté par la k-algèbre O(G_{1})⊗_{O(H)} O(G_{2}). Cette dernière est bien de type fini, car elle est isomorphe au quotient de la k-algèbre de type fini O(G_{1}) ⊗_{k} O(G_{2}) par l’idéal engendré par les éléments de la forme a ⊗ 1 − 1 ⊗ a, a ∈ O(H).

Nous venons ainsi de démontrer la proposition suivante.

Proposition 2.3.3 — Étant donnés des groupes algébriques G_{1}, G_{2} et H ainsi que des homomorphismes f_{1} : G_{1} → H et f_{2} : G_{2} → H, le foncteur en groupes

G_{1} ×_{H} G_{2} : Alg_{k} → Gr, R ↦ {(g_{1}, g_{2}) ∈ G_{1}(R) × G_{2}(R) | f_{1}(g_{1}) = f_{2}(g_{2})}

est un groupe algébrique, d’anneau de coordonnées O(G_{1}) ⊗_{O(H)} O(G_{2}). Ce groupe est le produit fibré des groupes G_{1} et G_{2} au-dessus de H et il c’est naturellement un sous-groupe du groupe produit G_{1} × G_{2}.

Un cas particulier de produit fibré est le noyau d’un homomorphisme de groupes algébriques.

Proposition 2.3.4 — Soit f : G → H un homomorphisme de groupes algébriques. Le foncteur en groupes sur Alg_{k}, associant à toute k-algèbre R le noyau de l’homomorphisme de groupes f_{R} : G(R) → H(R), est un groupe algébrique, d’anneau de coordonnées O(G)⊗_{O(H)} k. Il s’agit d’un sous-groupe de G. Démonstration. Considérons le diagramme

\xymatrix{G \ar[dr]^{f} \\  & H. \\ 1 \ar[ur]_{e_{H}}}

Pour toute k-algèbre R,

(G ×_{H} 1)(R) = {(g, 1) ∈ G(R) × {1} | f(g) = e_{H}(1)}
= {(g, 1) ∈ G(R) × {1} | f(g) = 1_{H}}
≅ ker(f_{R})

donc le foncteur en groupes ker(f) est canoniquement isomorphe au produit fibré G ×_{H} 1. Il en découle que ker(f) est un groupe algébrique d’anneau de coordonnées O(G) ⊗_{O(H)} k et c’est naturellement un sous-groupe de G ≅ G × 1. □

Exemples. 1) Le groupe SL_{n} est le noyau de l’homomorphisme det : GL_{n} → GL_{1}.

2) Soit n ⩾ 0 un nombre entier et considérons l’homomorphisme [n] : 𝔾_{m} → 𝔾_{m} défini par l’élévation à la puissance n-ème ; pour toute k-algèbre R, [n]_{R} est l’homomorphisme R^{×} → R^{×}, x ↦ x^{n}. Son noyau est manifestement le groupe μ_{n} des racines n-èmes de l’unité. Notons que l’on peut retrouver l’anneau de coordoonnées de ce dernier : l’homomorphisme [n] correspond à l’homomorphisme de k-algèbres k[Y, Y^{−1}] → k[X, X^{−1}] envoyant X sur Y^{n} et

˛[X, X^{−1}] ⊗_{˛[Y,Y^{−1}]} k ≅ k[X, X^{−1}] ⊗_{k} k/(X^{n} ⊗ 1 − 1 ⊗ 1) ≅ k[X, X^{−1}]/(X^{n} − 1) ≅ k[X]/(X^{n} − 1).

3) Supposons que k soit un corps de caractéristique p > 0. La multiplication par p définit un homomorphisme [p] : 𝔾_{a} → 𝔾_{a} ; pour toute k-algèbre R, [p]_{R} est l’homomorphisme R → R, x ↦ px. Son noyau est manifestement le groupe algébrique α_{p}. L’homomorphisme [p] correspond à l’homomorphisme de k-algèbres k[S] → k[T] envoyant S sur T^{p} et

k[T] ⊗_{k[S]} k ≅ k[T] ⊗_{k} k/(T^{p} ⊗ 1 − 0 ⊗ 1) ≅ k[T]/(T^{p}).

(2.3.4) Image, quotient. La situation est beaucoup plus délicate pour ce qui est des images et des quotients. En général, si f : G → H est un homomorphisme de groupes algébriques, le foncteur en groupes

Alg_{k} → Gr, R ↦ im (G(R) [figure: f_{R}]H(R))

n’est pas un groupe algébrique. De même, si i : N → G est un sous-groupe de G tel que, pour toute k-algèbre R, N(R) soit un sous-groupe distingué de G(R), le foncteur en groupes

Alg_{k} → Gr, R ↦ G(R)/N(R)

n’est généralement pas un groupe algébrique.

Il n’y a pas à chercher beaucoup pour obtenir un contre-exemple : l’homomorphisme

𝔾_{m} [figure: [n]]𝔾_{m} convient parfaitement !

Proposition 2.3.4 — Soit n un nombre entier. Si n ⩾ 2, le foncteur

Alg_{k} → Ens, R ↦ im (R^{×} → R^{×}, x ↦ x^{n}) = {r ∈ R^{×} | r est une puissance n-ème}

n’est pas représentable. Démonstration. Supposons que ce foncteur soit représentable, c’est-à-dire qu’il existe une k-algèbre A et un morphisme de foncteurs φ : h_{A} → h_{k[X,X^{−1}]} tels que, pour toute k-algèbre R, l’application

φ_{R} : Hom_{Alg_{k}}(A, R) → Hom_{Alg_{k}}(k[X, X^{−1}], R) ≅ R^{×}

soit une bijection sur le sous-ensemble de R^{×} constitué des puissances n-èmes. En vertu du lemme de Yoneda, il existe un unique homomorphisme de k-algèbre π : k[X, X^{−1}] → A tel que φ = h_{π}. Posant α = π(X), nous pouvons alors reformuler ce que l’on vient de dire sous la forme d’une propriété universelle :

– α est une puissance n-ème dans A ;

– pour toute k-algèbre R et tout homomorphisme r : k[X, X^{−1}] → R tel que r(X) soit une puissance n-ème dans R, il existe un unique homomorphisme \overline{r} : A → R tel que \overline{r}(α) = r(X), c’est-à-dire tel que le diagramme

\xymatrix{k[X, X^{−1}] \ar[r]^{r} \ar[d]_{π} & R \\ A \ar[ur]_{\overline{r}}}

soit commutatif. Nous allons maintenant démontrer que tout homomorphisme r : k[X, X^{−1}] → R se factorise

à travers π; en vertu de la propriété universelle qui précède, ceci impliquera que tout élément inversible de n’importe quelle k-algèbre est une puissance n-ème, assertion évidemment fausse si n ⩾ 2 (considérer par exemple X dans k[X, X^{−1}]). Pour ce faire, nous allons commencer par construire \overline{r} comme un homomorphisme de A dans une k-algèbre contenant R, puis nous vérifierons que cet homomorphisme est en fait à valeur dans R.

Considérons une k-algèbre R et un homomorphisme r : k[X, X^{−1}] → R ; posons a = r(X). La k-algèbre R_{1} = R[T_{1}]/(T_{1}^{n}−a) contient R et a y est manifestement une puissance n-ème ; il existe donc un unique homomorphisme \overline{r}_{1} : A → R_{1} tel que \overline{r}_{1}(α) = a. De même, la k-algèbre R_{2} = k[T_{2}]/(T_{2}^{n} − a) contient R et a y est manifestement une puissance n-ème ; il existe donc un unique homomorphisme \overline{r}_{2} : A → R_{2} tel que \overline{r}_{2}(α) = a. Posant

R_{12} = R[T_{1}, T_{2}]/(T_{1} − a, T_{2} − a) = R_{1}[T_{2}]/(T_{2} − a) = R_{2}[T_{1}]/(T_{1} − a)

et désignant par i_{1} et i_{2} les inclusions canoniques de R_{1} et R_{2} dans R_{12}, les homomorphismes i_{1} ∘r_{1} et i_{2} ∘r_{2} de A dans R_{12} sont tels que (i_{1} ∘r_{1})(α) = (i_{2} ∘r_{2})(α) = a, donc i_{1} ∘\overline{r}_{1} = i_{2} ∘\overline{r}_{2}.

En tant que R-module, R_{1} (resp. R_{2}) est libre de base (1, T_{1}, …, T_{1}^{n−1}) (resp. (1, T_{2}, …, T_{2}^{n−1})) ; de même, R_{12} = R_{1}[T_{2}]/(T_{2} − a) est un R_{1}-module libre de base 1, T_{2}, …, T_{2}^{n−1}. Nous en déduisons que R_{12} est un R-module libre de base les monômes T_{1}^{ν_{1}}T_{2}^{ν_{2}} avec 0 ⩽ ν_{1}, ν_{2} ⩽ n − 1. Quel que soit l’élément t de A, \overline{r}_{1}(t) s’écrit de manière unique sous la forme u_{0} + u_{1}T_{1} + … + u_{n−1}T_{1}^{n−1} avec u_{0}, …, u_{n−1} ∈ R ; de même, \overline{r}_{2}(t) s’écrit de manière unique sous la forme v_{0} + v_{1}T_{2} + … + v_{n−1}T_{2}^{n−1} avec v_{0}, …, v_{n−1} ∈ R. L’identité i_{1} ∘ \overline{r}_{1} = i_{2} ∘ \overline{r}_{2} implique

u_{0} + u_{1}T_{1} + … + u_{n−1}T_{1}^{n−1} = v_{0} + v_{1}T_{2} + … + v_{n−1}T_{2}^{n−1}

dans R_{12}, donc

u_{0} = v_{0}, u_{1} = … = u_{n−1} = v_{1} = … = v_{n−1} = 0.

L’homomorphisme \overline{r}_{1} : A → R_{1} est par conséquent à valeurs dans la sous-algèbre R et nous avons ainsi établi que l’homomorphisme r se factorise à travers π. Comme expliqué précédemment, ceci conclut la démonstration de la proposition. □

Pour toute k-algèbre R, l’homomorphisme [n]_{R} : 𝔾_{m}(R) → 𝔾_{m}(R) induit un isomorphisme entre le groupe quotient 𝔾_{m}(R)/μ_{n}(R) et le sous-groupe de 𝔾_{m}(R) = R^{×} constitué des puissances n-èmes. La proposition que nous venons d’établir peut donc se reformuler de manière équivalente comme suit.

Proposition 2.3.5 — Soit n un nombre entier. Si n ⩾ 2, le foncteur

Alg_{k} → Ens, R ↦ 𝔾_{m}(R)/μ_{n}(R)

n’est pas représentable.

Exercices. 1) Soit (A, Δ, e^{∗}, ι) une k-bigèbre de type fini et soit ℑ un idéal de A. On désigne par p la projection canonique de A sur A/ℑ.

(i) À quelle condition existe-t-il une structure de foncteur en groupes sur h_{A/ℑ} telle que le morphisme h_{p} : h_{A/ℑ} → h_{A} soit un homomorphisme de groupes algébriques ?

(ii) Si h_{A/ℑ} est un sous-groupe de h_{A}, à quelle condition est-ce un sous-groupe distingué, c’est-à-dire tel que h_{A/ℑ}(R) soit distingué dans h_{A}(R) pour toute k-algèbre R ?

2) Considérons l’homomorphisme de groupes algébriques i : 𝔾_{m} → 𝔾_{m} × 𝔾_{m} défini par

i_{R} : R^{×} → R^{×} × R^{×}, t ↦ (t, t)

pour toute k-algèbre R.

Vérifier que l’homomorphisme i fait de 𝔾_{m} un sous-groupe de 𝔾_{m} × 𝔾_{m} puis démontrer que le foncteur en groupes

Alg_{k} → Gr, R ↦ 𝔾_{m}(R) × 𝔾_{m}(R)/𝔾_{m}(R)

est un groupe algébrique sur k.

2.4. Changement du corps de base

Examinons l’effet d’un changement du corps de base.

Proposition 2.4.1 — Soit G un groupe algébrique sur k et soit k′/k une extension de corps. Le foncteur en groupes sur Alg_{k′} obtenu par restriction de G est un groupe algébrique sur k′ d’anneau de coordonnées O(G) ⊗_{k} k′. Démonstration. Pour toute k′-algèbre R′,

G(R′) ≃ Hom_{Alg_{k}}(O(G), R′) ≅ Hom_{Alg_{k′}} (O(G) ⊗_{k} k′, R′),

donc le foncteur

Alg_{k′} → Ens, R′ ↦ G(R′)

est représenté par la k′-algèbre O(G) ⊗_{k} k′. En outre, comme O(G) est de type fini sur k, O(G) ≃ k[T_{1}, …, T_{n}]/ℑ et donc

O(G) ⊗_{k} k′ ≃ (k[T_{1}, …, T_{n}]/ℑ) ⊗_{k} k′ ≃ k′[T_{1}, …, T_{n}]/ℑ

est une k′-algèbre de type fini (cf. appendice, 2.4, exercice 4). □

Étant donnés un groupe algébrique G sur k et une extension de corps k′/k, on note G ⊗_{k} k′ le groupe algébrique sur k′ défini en restreignant G à la sous-catégorie Alg_{k′} de Alg_{k}.

Exemple 1 – Soit k un corps de caractéristique différente de 2. Pour toute k-algèbre R,

l’ensemble des matrices de la forme ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) avec a, b ∈ R tels que a^{2} + b^{2} ∈ R^{×} est un

sous-groupe de GL_{2}(R) ; on en déduit que le foncteur

G : Alg_{k} → Gr, R ↦ \{( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) ∈ M_{2}(R) | a^{2} + b^{2} ∈ R^{×}\}

est un sous-groupe de GL_{2}, d’anneau de coordonnées

O(G) = k[X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}, T]/(X_{11} − X_{22}, X_{12} + X_{21}, T(X_{11}X_{22} − X_{12}X_{21})).

Considérons une k-algèbre R. Si R contient un élément i tel que de i^{2} + 1 = 0, alors

a^{2} + b^{2} = (a − ib)(a + ib)

pour tous a, b ∈ R et l’application

G(R) → R^{×} × R^{×}, ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) ↦ (a + ib, a − ib)

est un isomorphisme de groupes, d’inverse l’application

R^{×} × R^{×} → G(R), (u, v) ↦ ( \begin{matrix}(u + v)/2 & (v − u)/2i \\ (u − v)/2i & (u + v)/2 \end{matrix} ) .

Supposons par exemple k = ℚ et considérons l’extension quadratique ℚ(i) = ℚ[T]/(T^{2} +1) de ℚ.

D’après ce que l’on vient de dire, le groupe G ⊗_{ℚ} ℚ(i) est isomorphe au groupe produit 𝔾_{m} × 𝔾_{m}. Par contre, le groupe G n’est pas isomorphe à 𝔾_{m} × 𝔾_{m} ; en effet, les groupes

G(ℝ) ≃ ℂ^{×}

et

(𝔾_{m} × 𝔾_{m})(ℝ) = ℝ^{×} × ℝ^{×}

ne sont pas isomorphes car le sous-groupe de torsion du premier est divisible, tandis que le sous-groupe de torsion du second est isomorphe au Viergruppe de Klein (ℤ/2ℤ)^{2}.

Exemple 2 – Considérons le groupe unitaire usuel

U(n) = \{M ∈ M_{n}(ℂ) | ^{t}\overline{M}M = I_{n}\} ,

où \overline{M} désigne la matrice déduite de M par conjugaison des coefficients. Peut-on écrire ce groupe sous la forme G(R) pour un certain groupe algébrique G sur ℚ et une certaine ℚ-algèbre R ?

Pour toute ℚ-algèbre R, la ℚ-algèbre R ⊗_{ℚ} ℚ[T]/(T^{2} + 1) = R[T]/(T^{2} + 1) est munie d’un automorphisme R-linéaire canonique σ défini par σ(T) = −T. L’ensemble

G(R) = {M ∈ M_{n}(R[T]/(T^{2} + 1)) |^{t}σ(M)M = I_{n}}

est un groupe pour le produit matriciel ; par ailleurs, si l’on note x_{ij} + y_{ij}T les coefficients d’une matrice M ∈ M_{n}(R[T]/(T^{2} + 1)), la condition ^{t}σ(M)M = I_{n} équivaut aux identités polynomiales

\{ \begin{matrix}(x_{1i}^{2} + y_{1i}^{2}) + … + (x_{ni}^{2} + y_{ni}^{2}) = 1 & (1 ⩽ i ⩽ n) \\ (x_{1i}x_{1j} − y_{1i}y_{1j}) + … + (x_{ni}x_{nj} − y_{ni}y_{nj}) = 0 & (1 ⩽ i < j ⩽ n) \\ (x_{1i}y_{1j} + x_{1j}y_{1i}) + … + (x_{ni}y_{nj} + x_{nj}y_{ni}) = 0 & (1 ⩽ i < j ⩽ n) \end{matrix}

et donc le foncteur en groupes G ainsi défini sur Alg_{ℚ} est un groupe algébrique. Par construction même, G(ℝ) est le groupe unitaire U(n).

Supposons que R soit une ℚ-algèbre contenant un élément ξ tel que ξ^{2} + 1 = 0. Sous cette hypothèse, l’application

ε : R[T]/(T^{2} + 1) → R × R, a + bT ↦ (a + bξ, a − bξ)

est un isomorphisme d’anneaux et, via cette identification, l’automorphisme σ de R[T]/(T^{2}+1) correspond à la permutation des deux facteurs de R×R. En utilisant l’isomorphisme canonique de R-algèbres

M_{2}(R × R) ≅ M_{2}(R) × M_{2}(R),

on en déduit que le groupe G(R) est isomorphe au sous-groupe de GL_{2}(R)×GL_{2}(R) constitué des couples (M_{1}, M_{2}) tels que ^{t}(M_{2}, M_{1})(M_{1}, M_{2}) = (I_{n}, I_{n}), c’est-à-dire tels que

tM_{2}M_{1} =^{t} M_{1}M_{2} = I_{n}.

Ainsi, la première projection GL_{2}(R) × GL_{2}(R) → GL_{2}(R) induit un isomorphisme entre G(R) et GL_{2}(R).

Au final, nous avons construit un groupe algébrique G sur ℚ tel que

G(ℝ) = U(n) et G(ℂ) ≃ GL_{n}(ℂ).

On constate aisément que les groupes U(n) et GL_{n}(ℝ) ne sont pas isomorphes, par exemple en vertu du fait que le centre du premier est isomorphe à ℝ/ℤ et donc contient 3 éléments de 3-torsion tandis que le centre du second, isomorphe à ℝ^{×}, ne contient qu’un élément de 3-torsion. Cette observation montre que les groupes algébriques G et GL_{n} sur ℚ ne sont pas isomorphes ; par contre, les groupes algébriques G ⊗_{ℚ} ℚ(i) et GL_{n} sur ℚ(i) sont isomorphes.

3. Représentations linéaires

L’objectif principal de ce chapitre est le théorème suivant de C. Chevalley : tout groupe algébrique G est isomorphe à un sous-groupe d’un groupe linéaire GL_{n}; en outre, étant donné un sous-groupe H de G, on peut réaliser G comme un sous-groupe de GL_{n} de telle sorte que, pour toute k-algèbre R, H(R) soit le sous-groupe de G(R) constitué des matrices de la forme

( \begin{matrix}∗ & ∗ & … & ∗ \\ 0 \\ ⋮ & & ∗ \\ 0 \end{matrix} )

Il découle en particulier de ce théorème que tout groupe algébrique peut se voir comme un groupe (fonctoriel) de matrices.

3.1. Généralités

(3.1.1) Soit C une catégorie quelconque. Si G est un foncteur en groupes sur C et E est un foncteur en ensembles sur C, on définit de manière naturelle une action de G sur E comme la donnée d’un morphisme de foncteurs

φ : G × E → E

tel que les diagrammes

[figure: G × G × E × φ; id_{G}×φ; m×id_{E}; G × E; φ; G × E; φ; E; et; 1 × E; e×id_{E}; ∼; G × E; φ; E]

où m (resp. e) désigne la multiplication (resp. le neutre) de G, soient commutatifs.

Les arguments utilisés pour démontrer la proposition 1.1.1 montrent qu’il est équivalent de se donner

– une action φ : G × E → E de G sur E ;

– pour tout objet X de C, une action φ_{X} du groupe G(X) sur l’ensemble E(X) de telle sorte que, pour toute flèche f : X → Y dans C, l’application E(f) : E(X) → E(Y) soit équivariante relativement aux groupes G(X) et G(Y), i.e.

E(f)(φ_{X}(g, x)) = φ_{Y}(G(f)(g), E(f)(x))

pour tous g ∈ G(X), x ∈ E(X).

Exemple — Si G est un foncteur en groupes sur C, on peut considérer le foncteur en ensembles G̃ associé à G (i.e. G̃(X) est l’ensemble sous-jacent au groupe G(X)) et faire agir G sur G̃ par translation à gauche en considérant le morphisme de foncteurs φ : G × G̃ → G̃ défini par φ_{X}(g, h) = gh pour tout objet X de C et tous g, h ∈ G(X). On peut également faire agir G sur G̃ par conjugaison.

Un autre exemple : on considère le foncteur en ensembles E défini par

– pour tout objet X de C, E(X) est l’ensemble des sous-groupes de G ;

– pour toute flèche f : X → Y dans C, E(f) est l’application envoyant un sous-groupe H de G(X) sur le sous-groupe G(f)H de G(Y).

(3.1.2) Soit k un corps et soit V un k-espace vectoriel. On associe à V un foncteur \underline{V} : Alg_{k} → Ens en posant

– pour toute k-algèbre R, \underline{V}(R) est le R-module libre V ⊗_{k} R ;

– pour tout homomorphisme de k-algèbre f : R → R′, \underline{V}(f) est l’application R-linéaire

V ⊗_{k} R → V ⊗_{k} R′, ∑_{α} v_{α} ⊗ λ_{α} ↦ ∑_{α} v_{α} ⊗ f(λ_{α}).

Remarques — 1. Si (e_{i})_{i∈I} est une base de V, (e_{i} ⊗ 1)_{i∈I} est une base du R-module libre V ⊗_{k} R.

2. Une application R-linéaire u de V ⊗_{k} R dans un R-module M est uniquement déterminée par sa restriction au sous-ensemble V ⊗_{k} 1 = {v ⊗ 1 ; v ∈ V} de V ⊗_{k} R, que l’on identifie canoniquement à V. En effet, tout élément de V ⊗_{k} R s’écrit sous la forme ∑_{α} v_{α} ⊗ λ_{α} et

u(∑_{α} v_{α} ⊗ λ_{α}) = ∑_{α} u(v_{α} ⊗ 1)λ_{α}.

Lemme 3.1.1 — Soit V un k-espace vectoriel et soit f : R → R′ un homomorphisme de k-algèbres. Étant donné un endomorphisme R-linéaire α de V ⊗_{k} R, il existe un unique endomorphisme R′-linéaire f^{∗}(α) de V ⊗_{k} R′ tel que le diagramme

\xymatrix{V ⊗_{k} R′ \ar[r]^{f^{∗}(α)} & V ⊗_{k} R′ \\ V ⊗_{k} R \ar[u]^{id_{V}⊗f} \ar[r]_{α} & V ⊗_{k} R′ \ar[u]_{id_{V}⊗f}}

soit commutatif.

On a f^{∗}(id_{V⊗_{k}R}) = id_{V⊗_{k}R′} et f^{∗}(αβ) = f^{∗}(α)f^{∗}(β) pour tous α, β ∈ End_{R}(V ⊗_{k} R). En particulier, si α est un automorphisme, f^{∗}(α) est un automorphisme. Démonstration. L’application composée

\xymatrix{V \ar[r]^{α} & V ⊗_{k} R \ar[r]^{id_{V}⊗f} & V ⊗_{k} R′}

est k-linéaire et donc se prolonge de manière unique en une application R′-linéaire α′ : V ⊗_{k} R′ → V ⊗_{k} R′. Par construction, les applications R-linéaires α′ ∘ (id_{V} ⊗ f) et (id_{V} ⊗ f) ∘ α de V ⊗_{k} R dans V ⊗_{k} R′ coïncident sur le sous-ensemble V ⊗ 1 de V ⊗_{k} R ; elles sont donc égales et il suffit de poser f^{∗}(α) = α′. L’unicité est claire puisque la restriction de f^{∗}(α) au sous-ensemble V ⊗ 1 de V ⊗_{k} R′ est donnée.

Les identités f^{∗}(id_{V⊗_{k}R}) = id_{V⊗_{k}R′} et f^{∗}(αβ) = f^{∗}(α)f^{∗}(β) se déduisent immédiatement de l’unicité. □

Le lemme précédent permet de définir un foncteur en groupes GL_{V} sur Alg_{k} :

– pour toute k-algèbre R, GL_{V}(R) est le groupe des automorphismes R-linéaires du Rmodule V ⊗_{k} R ;

– pour toute flèche f : R → R′, GL_{V}(f) est l’homomorphisme GL_{V}(R) → GL_{V}(R′) envoyant α sur f^{∗}(α).

Proposition 3.1.2 — Soit V un k-espace vectoriel. Pour que le foncteur en groupe GL_{V} soit un groupe algébrique sur k, il faut et il suffit que V soit de dimension finie. Démonstration. Le choix d’une base (e_{i})_{i∈I} de V sur k permet de définir un isomorphisme de foncteurs en groupes entre GL_{V} et le foncteur

G_{I} : Alg_{k} → Gr, R ↦ {matrices inversibles dans M_{I}(R)} en associant à chaque automorphisme R-linéaire de V ⊗_{k} R = ⨁_{i∈I} R(e_{i} ⊗ 1) sa matrice dans la base (e_{i} ⊗ 1)_{i∈I}.

Ainsi, si V est de dimension finie d, alors GL_{V} est isomorphe au foncteur en groupes GL_{d} et il s’agit donc d’un groupe algébrique sur k.

Réciproquement, si le foncteur GL_{V} est un groupe algébrique d’anneau de coordonnées A, alors le foncteur G_{I} est représenté par le couple (A, α), où α est un certain élément de G_{I}(A) ; en particulier, pour toute k-algèbre R, chaque matrice inversible M ∈ M_{I}(R) est de la forme f(α) pour un certain homomorphisme de k-algèbres f : A → R.

Considérons la k-algèbre K = k((X_{i})_{i∈I}) des fractions rationnelles en des indérminées X_{i}, i ∈ I. Par hypothèse, la k-algèbre A est de type fini donc il existe t_{1}, …, t_{n} ∈ A tel que tout élément a de A s’écrire sous la forme d’un polynôme en t_{1}, …, t_{n} à coefficients dans k; il en découle que, pour tout homomorphisme de k-algèbre f : A → K, la matrice f(α) fait intervenir qu’un nombre fini d’indéterminées X_{i}. Si l’ensemble I est infini, la matrice de l’automorphisme K-linéaire u de V ⊗_{k} K défini par u(e_{i} ⊗ 1) = X_{i}(e_{i} ⊗ 1) pour tout i ∈ I fait intervenir une infinité d’indéterminées et donc ne peut pas s’écrire sous la forme f(α). Ainsi, le foncteur en groupe GL_{V} n’est pas un groupe algébrique si l’ensemble I est infini. □

Définition 3.1.3 — Soit G un groupe algébrique sur k et soit V un k-espace vectoriel. Une représentation linéaire de G dans V est une action de G sur \underline{V} telle que, pour toute k-algèbre R, le groupe G(R) agisse par automorphismes R-linéaires sur V ⊗_{k} R.

Pour tout groupe algébrique G sur k et tout k-espace vectoriel V, il revient au même de se donner une représentation linéaire φ : G × \underline{V} → \underline{V} ou un morphisme de foncteurs en groupes ρ : G → GL_{V}. La correspondance est donnée par l’identité

ρ_{R}(g) = φ_{R}(g, ·)

pour toute k-algèbre R et tout g ∈ G(R).

Exemples — 1. On définit une représentation linéaire de SL_{2} dans l’espace vectoriel k[X, Y]_{2} = kX^{2} ⊕ kXY ⊕ Y^{2} des polynômes homogènes de degré 2 en X et Y de la manière suivante. Pour toute k-algèbre R, le groupe SL_{2}(R) opère naturellement sur le R-module RX ⊕ RY via

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) .(X, Y) = (X, Y) ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) = (aX + bY, cX + dY).

On en déduit une action de SL_{2}(R) sur V ⊗_{k} R = RX^{2} ⊕ RXY ⊕ RY^{2} définie par

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) .X^{2} = (aX + bY)^{2} = a^{2}X^{2} + 2abXY + b^{2}Y^{2},

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) .Y^{2} = (cX + dY)^{2} = c^{2}X^{2} + 2cdXY + d^{2}Y^{2}

et

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) .XY = (aX + bY)(cX + dY) = acX^{2} + (ad + bc)XY + bdY^{2}.

On dispose plus généralement d’une représentation naturelle de SL_{n} dans l’espace vectoriel k[X_{1}, …, X_{n}]_{d} des polynômes homogènes de degré d en n indéterminées : pour toute k-algèbre R, SL_{n}(R) opère sur R[X_{1}, …, X_{n}]_{1} = RX_{1} ⊕ … ⊕ RX_{n} via

(g.X_{1}, …, g.X_{n}) = (X_{1}, …, X_{n}) ^{t}g

et il en découle une action de SL_{n}(R) sur R[X_{1}, …, X_{n}]_{d} = k[X_{1}, …, X_{n}]_{d} ⊗_{k} R définie par

g.P(X_{1}, …, X_{n}) = P(g.X_{1}, …, g.X_{n}).

2. On dispose d’une représentation linéaire naturelle du groupe algébrique GL_{n} dans l’espace vectoriel V = M_{n}(k) : pour toute k-algèbre R, V ⊗_{k} R ≃ M_{n}(R) et on fait opérer le groupe GL_{n}(R) par conjugaison : g.M = gMg^{−1}.

Il est aisé d’expliciter cette représentation en utilisant la base canonique de M_{n}(k) formée des matrices élémentaires E_{ij} (1 ⩽ i, j ⩽ n). Pour n = 2, on obtient les formules suivantes :

si g = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ GL_{n}(R) et δ = ad − bc, alors

g.E_{11} = \frac{1}{δ}(adE_{11} − abE_{12} + cdE_{21} − bcE_{22}), g.E_{12} = \frac{1}{δ}(−acE_{11} + a^{2}E_{12} − c^{2}E_{21} + acE_{22})

g.E_{21} = \frac{1}{δ}(bdE_{11} − b^{2}E_{12} + d^{2}E_{21} − bdE_{22}) et g.E_{22} = \frac{1}{δ}(−bcE_{11} + abE_{12} − cdE_{21} + adE_{22}).

(3.1.3) Considérons un k-espace vectoriel V de dimension finie et soit W un sous-espace vectoriel de V.

Proposition 3.1.4 — Le foncteur

Stab(W) : Alg_{k} → Gr, R ↦ {g ∈ GL_{V} | g(W ⊗_{k} R) ⊂ W ⊗_{k} R}

est un groupe algébrique et l’inclusion canonique Stab(W) ↪ GL_{V} en fait un sous-groupe de GL_{V}. Démonstration. Considérons une base (e_{1}, …, e_{m}) de W et complétons-la en une base (e_{1}, …, e_{n}) de V. L’isomorphisme GL_{V} [figure: ∼]GL_{n} obtenu en associant à tout élément g ∈ GL_{V}(R) = GL(V ⊗_{k} R) sa matrice dans la base (e_{1} ⊗ 1, …, e_{n} ⊗ 1) identifie le sous-foncteur en groupes Stab(W) de GL_{V} au sous-foncteur en groupes F de GL_{n} tel que

F(R) = \{( \begin{matrix}M & M′ \\ 0 & M′′ \end{matrix} ) ; M ∈ GL_{m}(R), M′ ∈ M_{m,n−m}(R) et M′′ ∈ GL_{n−m}(R)\}

pour toute k-algèbre R.

Le foncteur F est manifestement un sous-groupe algébrique de GL_{n}, son anneau de coordonnées étant le quotient de O(GL_{n}) = k[(X_{ij}), T]/(T det(X_{ij}) − 1) par l’idéal engendré par les X_{ij} avec m + 1 ⩽ i ⩽ n et 1 ⩽ j ⩽ m. Par conséquent, Stab(W) est un sous-groupe algébrique de GL_{V}. □

Plus généralement, étant donnés un groupe algébrique G sur k et une représentation ρ : G → GL_{V} de G dans V, le produit fibré G ×_{GL_{V}} Stab(W) du diagramme

\xymatrix{G \ar[dr]^{ρ} \\  & _{GL_{V}} \\ Stab(W) \ar@{^{(}->}[ur]}

est un groupe algébrique (cf. 2.3.3). Quelle que soit la k-algèbre R,

(G ×_{GL_{V}} Stab(W))(R) = {(g, h) ∈ G(R) × Stab(W)(R) | ρ_{R}(g) = h}
= {g ∈ GL_{V}(R) | ρ_{R}(g)(W ⊗_{k} R) ⊂ W ⊗_{k} R}

s’identifie au sous-groupe de G(R) constitué des éléments stabilisant le sous-module W ⊗_{k} R de V ⊗_{k} R. On dit que G ×_{GL_{V}} Stab(W) est le stabilisateur de W dans V et on le note Stab_{G}(W).

L’anneau de coordonnées de Stab_{G}(W) est O(G) ⊗_{O(GL_{V})} O(Stab(W)). La première projection G ×_{GL_{V}} Stab(W) → G fournit un homomorphisme canonique j de Stab_{G}(W) dans G correspondant à l’homomorphisme

j^{∗} : O(G) → O(G) ⊗_{O(GL_{V})} O(Stab(W)), a ↦ a ⊗ 1.

Ce dernier est surjectif, ^{(2)} donc Stab_{G}(W) est un sous-groupe de G.

(3.1.4) Étant donné un groupe algébrique G d’anneau de coordonnées A, nous allons maintenant voir qu’il est équivalent de se donner une représentation linéaire de G dans un k-espace vectoriel V ou d’équiper V d’une structure de comodule sur A.

Soit ρ : G → GL_{V} une représentation linéaire. Ayant choisi un isomorphisme de foncteurs G ≃ h_{A}, on dispose pour toute k-algèbre R et tout élément g de G(R) = Hom_{Alg_{k}}(A, R) d’un digramme commutatif

\xymatrix{G(A) × V \ar[r]^{ρ_{A}} \ar[d]_{G(g)×id_{V}} & V ⊗_{k} A \ar[d]^{id_{V}⊗g} \\ G(R) × V \ar[r]_{ρ_{R}} & V ⊗_{k} R}

et g est l’image de l’élément id_{A} de G(A) = Hom_{Alg_{k}}(A, A) par l’application G(g). On en déduit l’identité

ρ_{R}(g, v) = ((id_{V} ⊗ g) ∘ ρ_{A})(id_{A}, v)

pour tout vecteur v ∈ V, ce qui montre que la représentation ρ est complètement déterminée par la donnée de l’application k-linéaire

ρ̃ = ρ_{A}(id_{A} ⊗ ·) : V → V ⊗_{k} A.

Exemple — Considérons le groupe additif 𝔾_{a} et la représentation linéaire ρ dans le k-espace vectoriel V = ke_{1} ⊕ ke_{2} définie par

ρ_{R}(t).e_{1} ⊗ 1 = e_{1} ⊗ 1 et t.e_{2} ⊗ 1 = t(e_{1} ⊗ 1) + e_{2} ⊗ 1 = e_{1} ⊗ t + e_{2} ⊗ 1

pour toute k-algèbre R et tout t ∈ 𝔾_{a}(R) = R.

L’anneau de coordonnées de 𝔾_{a} est la k-algèbre A = k[T] et les bijections

Hom_{Alg_{k}}(k[T], R) → 𝔾_{a}(R) = R, u ↦ u(T)

définissent un isomorphisme de foncteurs h_{A} ≃ 𝔾_{a} ; via cette identification, id_{A} correspond en particulier à l’élément T de 𝔾_{a}(k[T]) = k[T]. Il en découle que ρ̃ est l’application k-linéaire

V → V ⊗_{k} k[T], e_{1} ↦ e_{1} ⊗ 1, e_{2} ↦ e_{1} ⊗ T + e_{2} ⊗ 1

et, pour toute k-algèbre R et tout élément t de 𝔾_{a}(R) = R, ρ_{R}(t, ·) est l’application composée

\xymatrix{V \ar[r]^{ρ̃} & V ⊗_{k} k[T] \ar[r]^{id_{V}⊗t} & V ⊗_{k} R}

obtenue en spécialisant T en t.

Proposition 3.1.5 — Soit G un groupe algébrique sur k et soit (A, Δ, e^{∗}, ι) la k-bigèbre associée. Pour tout k-espace vectoriel V, il revient au même de se donner :

(i) une représentation linéaire ρ : G → GL_{V} ;

O(G) → O(G) ⊗_{O(GL_{V})} O(Stab(W))

(2)L’homomorphisme i^{∗} : O(GL_{V}) → O(Stab(W)) correspondant à l’inclusion canonique i : Stab(W) ↪ GL_{V} est surjectif (cf. la démonstration de la proposition 3.1.4). Par suite, tout élément de de la forme a ⊗ b s’écrit a ⊗ i^{∗}(c) = aρ^{∗}(c) ⊗ 1 avec c ∈ O(GL_{V}) et la surjectivité de j^{∗} en découle.

(ii) une application k-linéaire ρ̃: V → V ⊗_{k} A telle que les deux diagrammes

[figure: V; ρ̃; ρ̃; V ⊗_{k} A; ρ̃⊗id_{A}; V ⊗_{k} A; id_{V}⊗Δ; V ⊗_{k} A ⊗_{k} A; et; V; ρ̃; V ⊗_{k} A; id_{V}⊗e^{∗}; V ⊗_{k} k]

soient commutatifs. À une représentation linéaire ρ correspond l’application ρ̃ = ρ_{A}(id_{A}, ·). À une application ρ̃ : V → V ⊗_{k} A satisfaisant aux deux conditions de (ii) correspond

la représentation linéaire ρ telle que, pour toute k-algèbre R et tout élément g de G(R) = Hom_{Alg_{k}}(A, R), ρ_{R}(g) soit l’unique automophisme R-linéaire de V ⊗_{k} R prolongeant l’application k-linéaire

\xymatrix{V \ar[r]^{ρ̃} & V ⊗_{k} A \ar[r]^{id_{V}⊗g} & V ⊗_{k} R.}

Démonstration. Soit ρ une représentation linéaire de G dans V et soit ρ̃ = ρ_{A}(id_{A}, ·) ; on a vu que, pour toute k-algèbre R et tout élément g de G(R) = Hom_{Alg_{k}}(A, R), ρ_{R}(g) est l’unique automorphisme R-linéaire de V ⊗_{k} R prolongeant l’application k-linéaire

\xymatrix{V \ar[r]^{ρ̃} & V ⊗_{k} A \ar[r]^{id_{R}⊗g} & V ⊗_{k} R} .

Considérons deux éléments g, h de G(R) et calculons successivement ρ_{R}(gh) et ρ_{R}(g)∘ρ_{R}(h). Par définition de la comultiplication Δ de A, gh est l’homomorphisme de k-algèbres A → R

défini comme le composé

\xymatrix{A \ar[r]^{Δ} & A ⊗_{k} A \ar[r]^{g⊗h} & R ⊗_{k} R \ar[r]^{mult} & R}

donc ρ_{R}(gh) est l’unique automorphisme R-linéaire de V ⊗_{k} R prolongeant l’application klinéaire

\xymatrix{V \ar[r]^{ρ̃} & V ⊗_{k} A \ar[r]^{id_{V}⊗Δ} & V ⊗_{k} A ⊗_{k} A \ar[r]^{id_{V}⊗g⊗h} & V ⊗_{k} R ⊗_{k} R \ar[r]^{id_{V}⊗mult} & V ⊗_{k} R.}

D’autre part, si v est un vecteur de V, alors ρ_{R}(h).v = ∑_{i} v_{i} ⊗ λ_{i} avec v_{i} ∈ V et λ_{i} ∈ R, puis

(ρ_{R}(g) ∘ ρ_{R}(h)).v = ρ(g). ∑_{i} v_{i} ⊗ λ_{i}
= ∑_{i}(ρ_{R}(g).v_{i})λ_{i}

dans V⊗_{k}R. Ainsi, ρ_{R}(g)∘ρ_{R}(h) est l’unique automorphisme R-linéaire de V⊗_{k}R prolongeant l’application k-linéaire

\xymatrix{V \ar[r]^{ρ̃} & V ⊗_{k} A \ar[r]^{ρ̃⊗id_{A}} & V ⊗_{k} A ⊗_{k} A \ar[r]^{id_{V}⊗g⊗h} & V ⊗_{k} R ⊗_{k} R \ar[r]^{id_{V}⊗mult} & V ⊗_{k} R} .

L’identité ρ_{R}(gh) = ρ_{R}(g) ∘ ρ_{R}(h) est donc équivalente à la commutativité du diagramme

\xymatrix{V \ar[r]^{ρ̃} \ar[d]^{ρ̃} & V ⊗_{k} A \ar[d]_{ρ̃⊗id_{A}} \\ V ⊗_{k} A \ar[r]_{id_{V}⊗Δ} & V ⊗_{k} A ⊗_{k} A \ar[dr]^{mult∘(g⊗h)} \\  &  & V ⊗_{k} R.}

Comme ceci doit être vrai pour toute k-algèbre R et tous g, h ∈ G(R) = Hom_{Alg_{k}}(A, R), on en déduit immédiatement que le diagramme

\xymatrix{V \ar[r]^{ρ̃} \ar[d]_{ρ̃} & V ⊗_{k} A \ar[d]^{ρ̃⊗id_{A}} \\ V ⊗_{k} A \ar[r]_{id_{V}⊗Δ} & V ⊗_{k} A ⊗_{k} A}

est commutatif (considérer R = A ⊗_{k} A et prendre pour g (resp. h) l’homomorphisme de A dans A⊗_{k} A envoyant a sur a⊗1 (resp. sur 1⊗a), de sorte que g ⊗h soit l’identité de A⊗_{k} A).

L’élément neutre e_{R} du groupe G(R) correspond à l’homomorphisme de k-algèbres de A dans R obtenu en composant e^{∗} : A → k par l’unique homomorphisme de k-algèbres u : k → R. Par suite, l’identité ρ_{k}(e_{k}) = id_{V} équivaut à la commutativité du diagramme

[figure: V; ρ̃; V ⊗_{k} A; id_{V}⊗e^{∗}; V ⊗_{k} k]

Partons réciproquement d’une application k-linéaire ρ̃ de V dans V ⊗_{k} A satisfaisant aux deux conditions de (ii). Pour toute k-algèbre R et tout g ∈ G(R) = Hom_{Alg_{k}}(A, R), on désigne par ρ_{R}(g) l’unique endomorphisme R-linéaire de V ⊗_{k} R prolongeant l’application k-linéaire (id_{V} ⊗ g) ∘ ρ̃. La discussion précédente montre que l’on a ρ_{R}(gh) = ρ_{R}(g)ρ_{R}(h) et ρ_{R}(e_{R}) = id_{V⊗_{k}R} pour toute k-algèbre R et tous g, h ∈ G(R) ; en particulier, ρ_{R}(g) est un automorphisme R-linéaire de V ⊗_{k} R et on conclut que les homomorphismes de groupes ρ_{R} : G(R) → GL_{V}(R) définissent une représentation linéaire ρ de G dans V telle que ρ̃ = ρ_{A}(id_{A}, ·). □

La structure mise en évidence au point (ii) de la proposition précédente mérite d’être baptisée.

Définition 3.1.6 — Soit (A, Δ, e^{∗}, ι) est une k-bigèbre. Un comodule sur A est la donnée d’un k-espace vectoriel V et d’une application k-linéaire ρ̃ : V → V ⊗_{k} A telle que les deux diagrammes

[figure: V; ρ̃; ρ̃; V ⊗_{k} A; ρ̃⊗id_{A}; V ⊗_{k} A; id_{V}⊗Δ; V ⊗_{k} A ⊗_{k} A; et; V; ρ̃; V ⊗_{k} A; id_{V}⊗e^{∗}; V ⊗_{k} k]

soient commutatifs.

Un sous-comodule de V est un sous-espace vectoriel W de V tel que l’image de W par l’application ρ̃ soit contenue dans le sous-espace vectoriel W ⊗_{k} A de V ⊗_{k} A.

Exemple — Reprenons le premier exemple donné après la définition 3.1.3, soit l’action naturelle de SL_{2} sur V = k[X, Y]_{2}. Ici, A = k[X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22}]/(X_{11}X_{22} − X_{12}X_{21} − 1) et la représentation envisagée correspond à l’application k-linéaire

k[X, Y]_{2} → k[X, Y]_{2} ⊗_{k} A

définie par

X^{2} ↦ X^{2} ⊗ X_{11}^{2} + XY ⊗ 2X_{12}X_{11} + Y^{2} ⊗ X_{12}^{2}, Y^{2} ↦ X^{2} ⊗ X_{21} + XY ⊗ 2X_{21}X_{22} + Y^{2} ⊗ X_{22}^{2}

et

XY ↦ X^{2} ⊗ X_{11}X_{21} + XY ⊗ (X_{11}X_{22} + X_{12}X_{21}) + Y^{2} ⊗ X_{12}X_{22}.

3.2. Représentation régulière

Soit G un groupe algébrique sur k d’anneau de coordonnées A ; on fixe un isomorphisme de foncteurs h_{A} ≃ G, d’où l’on déduit une structure de k-bigèbre (A, Δ, e^{∗}, ι) sur A (voir 2.2.1). La comultiplication Δ : A → A ⊗_{k} A munit A d’une structure de comodule sur A : en effet, les deux diagrammes à considérer sont bien commutatifs puisque ce sont respectivement celui exprimant la coassociativité de Δ et celui caractérisant la counité e^{∗}. On en déduit une représentation linéaire G → GL_{A}, appelée représentation régulière.

On peut donner de cette représentation une interprétation instructive. Étant donnée une k-algèbre R, on désigne par F(G(R), R) l’ensemble de toutes les fonctions sur G(R) à valeurs dans R, que l’on munit de sa structure naturelle de R-algèbre.

Tout élément f de A définit naturellement une fonction \overline{f} ∈ F(G(R), R), à savoir

G(R) = Hom_{Alg_{k}}(A, R) → R, s ↦ \overline{f}(s) = s(f).

La correspondance f ↦ \overline{f} est manifestement un homomorphisme de k-algèbres de A dans F(G(R), R), lequel se prolonge en un homomorphisme de R-algèbres A ⊗_{k} R → F(G(R), R). Notons que cet homomorphisme n’est généralement pas injectif lorsque R est fixée : par exemple, si R = k = 𝔽_{p} et G = 𝔾_{a}, il s’agit de l’application 𝔽_{p}[T] → F(𝔽_{p}, 𝔽_{p}), f ↦ (x ↦ f(x)), qui s’annule identiquement sur X^{p} − X. On obtient par contre l’injectivité en faisant varier R : précisément, si f est un élément de A ⊗_{k} R induisant la fonction nulle sur G(R′) pour toute R-algèbre R′, alors s(f) = 0 quel que soit l’homomorphisme s de A dans R′ et, prenant R′ = A ⊗_{k} R avec s = id_{A⊗_{k}R}, alors f = 0.

Étant donné f ∈ A⊗_{k} R, on peut composer la fonction \overline{f} : G(R) → R avec la multiplication G(R)× G(R) → G(R) pour obtenir une fonction sur G(R)×G(R). Si l’on revient à la définition de \overline{f}, on constate qu’il s’agit de l’application envoyant le couple (s, t) ∈ G(R) × G(R) sur l’image de (s ⊗ t)Δ(f) par l’homomorphisme produit R ⊗_{k} R → R. En d’autres termes, si l’on écrit Δ(f) ∈ A ⊗_{k} A sous la forme Δ(f) = ∑_{i} g_{i} ⊗ h_{i}, alors

\overline{f}(st) = ∑_{i} \overline{g_{i}}(s)\overline{h_{i}}(t).

Revenons maintenant à la représentation régulière ρ de G. Étant donnée une k-algèbre R, on fait agir G(R) par automorphismes R-linéaires de A ⊗_{k} R : à s ∈ G(R) correspond l’unique automorphisme R-linéaire ρ(s) de A ⊗_{k} R prolongeant l’application k-linéaire

A → A ⊗_{k} R, f ↦ (id_{A} ⊗ s)Δ(f).

Si f ∈ A et si Δ(f) = ∑_{i} g_{i} ⊗ h_{i}, alors ρ(s).f = ∑_{i} g_{i} ⊗ s(h_{i}) = ∑_{i} g_{i} ⊗ \overline{h}_{i}(s) et donc

\overline{ρ(s).f}(t) = ∑_{i} \overline{g}_{i}(t)\overline{h}_{i}(s) = \overline{f}(ts).

On dispose ainsi d’un diagramme commutatif

\xymatrix{A ⊗_{k} R \ar[r]^{ρ(s)} \ar[d] & A ⊗_{k} R \ar[d] \\ F(G(R), R) \ar[r] & F(G(R), R)}

dans lequel – les flèches verticales sont les applications f ↦ \overline{f} ;

– la flèche horizontale inférieure est l’automorphisme de F(G(R), R) envoyant une fonction φ sur la fonction

\xymatrix{φ(·s) : G(R) \ar[r]^{·s} & G(R) \ar[r]^{φ} & R} .

Cette interprétation de la représentation régulière ρ : G → GL_{A} met en évidence le fait qu’il s’agit d’une représentation fidèle, c’est-à-dire que l’homomorphisme de groupes ρ_{R} est injectif quelle que soit la k-algèbre R. En effet, si s est un élément de G(R) tel que ρ_{R}(s) soit l’identité de A ⊗_{k} R, alors \overline{f}(·s) = \overline{f} pour tout f ∈ A, donc

s(f) = \overline{f}(s) = \overline{f}(e_{R}s) = \overline{f}(e_{R}) = e_{R}(f)

pour tout élément f de A, et par suite s = e_{R} puisqu’il s’agit de deux homomorphismes de k-algèbres de A dans R.

Considérons finalement un sous-groupe H de G. Par définition, l’anneau de coordonnées de H est un quotient de celui de G ; il est donc de la forme A/ℑ pour un certain idéal ℑ de A.

Lemme 3.2.1 — L’idéal ℑ est précisément l’ensemble des éléments f de A tels que, pour toute k-algèbre R, la fonction \overline{f} : G(R) → R s’annule identiquement sur le sous-groupe H(R).

Plus généralement, quelle que soit la k-algèbre R, ℑ ⊗_{k} R est le sous-ensemble de A ⊗_{k} R formé des éléments f tels que, pour toute R-algèbre R′, la fonction \overline{f} : G(R′) → R′ s’annule identiquement sur le sous-groupe H(R′). Démonstration. Démontrons directement la seconde assertion, plus générale (faire R = k pour obtenir la première).

Considérons une R-algèbre R′. Par définition, la fonction sur G(R′) associée à un élément f de A ⊗_{k} R est l’application

\overline{f} : G(R′) = Hom_{Alg_{R}}(A ⊗_{k} R, R′) → R′, s ↦ \overline{f}(s) = s(f).

Un élément s de G(R′) appartient au sous-groupe H(R′) de G(R′) si et seulement si l’homomorphisme A ⊗_{k} R → R′ lui correspondant se factorise à travers la projection canonique A ⊗_{k} R → A ⊗_{k} R/ℑ ⊗_{k} R, donc si et seulement si \overline{f}(s) = s(f) = 0 pour tout élément f de ℑ ⊗_{k} R. Cela montre en particulier que la fonction \overline{f} sur G(R′) associée à f ∈ A ⊗_{k} R est identiquement nulle, quelle que soit la R-algèbre R′, si f appartient à ℑ ⊗_{k} R.

Réciproquement, si \overline{f}(s) = 0 pour toute R-algèbre R′ et tout s ∈ H(R′), on a alors en particulier s(f) = \overline{f}(s) = 0 lorsque R′ = A ⊗_{k} R/ℑ ⊗_{k} R et s est la projection canonique de A ⊗_{k} R sur R′, d’où f ∈ ℑ ⊗_{k} R. □

3.3. Le théorème de Chevalley

(3.3.1) Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème annoncé en introduction de ce chapitre. Théorème 3.3.1 (Chevalley) — Soit G un groupe algébrique sur k.

(i) Il existe un k-espace vectoriel V de dimension finie et une représentation linéaire ρ de G dans V tel que l’homomorphisme ρ : G → GL_{V} induise un isomorphisme de G sur un sous-groupe de GL_{V}.

(ii) Étant donné un sous-groupe H de G, il existe un espace vectoriel V de dimension finie, une représentation linéaire ρ : G → GL_{V} et un sous-espace vectoriel W de V tels que ρ induise un isomorphisme de G sur un sous-groupe de GL_{V} et H = Stab_{G}(W).

Lemme 3.3.2 — Soit V un comodule sur une k-bigèbre A. Tout élément v de V est contenu dans un sous-comodule W de V de dimension finie. Démonstration. Considérons une base (a_{i})_{i∈I} de A en tant que k-espace vectoriel. Tout élément de V ⊗_{k} A s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme ∑_{i∈I} v_{i} ⊗ a_{i}, où (v_{i})_{i∈I} est une famille d’éléments de V ne contenant qu’un nombre fini de vecteurs non nuls.

Fixons un élément v de V et soit W_{0} le sous-espace vectoriel de V engendré par les vecteurs v_{i} apparaissant dans

ρ̃(v) = ∑_{i∈I} v_{i} ⊗ a_{i}.

Il s’agit d’un sous-espace de dimension finie puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de v_{i} non nuls. Le premier axiome définissant la structure de comodule sur V est l’identité (ρ̃ ⊗ id_{A}) ∘ ρ̃ = (id_{V} ⊗ Δ) ∘ ρ̃, où Δ désigne la comultiplication de A. On a

[(ρ̃∘ id_{A}) ∘ ρ̃](v) = ∑_{i∈I} ρ̃(v_{i}) ⊗ a_{i}

et

[(id_{V} ∘ Δ) ∘ ρ̃](v) = ∑_{i∈I} v_{i} ⊗ Δ(a_{i}).

La famille (a_{j} ⊗ a_{ℓ})_{(j,ℓ)∈I^{2}} est une base du k-espace vectoriel A ⊗_{k} A, donc

Δ(a_{i}) = ∑_{(j,ℓ)∈I^{2}} λ_{j,ℓ}^{i}a_{j} ⊗ a_{ℓ}

avec λ_{j,ℓ}^{i} ∈ k; par suite,

[(id_{V} ∘ Δ) ∘ ρ̃](v) = ∑_{(i,j,ℓ)∈I^{3}} λ_{j,ℓ}^{i}v_{i} ⊗ a_{j} ⊗ a_{ℓ}

= ∑_{ℓ∈I} ( ∑_{(i,j)∈I^{2}} λ_{j,ℓ}^{i}v_{i} ⊗ a_{j}) ⊗ a_{ℓ}.

En comparant les deux expressions obtenues pour [(ρ̃ ∘ id_{A}) ∘ ρ̃](v) = [(id_{V} ∘ Δ) ∘ ρ̃](v), on obtient

ρ̃(v_{ℓ}) = ∑_{(i,j)∈I^{2}} λ_{j,ℓ}^{i}v_{i} ⊗ a_{j}

pour tout ℓ ∈ I. On a ainsi ρ̃(v_{ℓ}) ∈ W_{0} ⊗ A pour tout ℓ ∈ I, donc ρ̃(W_{0}) ⊂ W_{0} ⊗_{k} A.

Finalement, W = W_{0} + kv est un sous-espace vectoriel de V de dimension finie contenant v et tel que ρ̃(W) ⊂ W ⊗_{k} A. □

Démonstration du théorème de Chevalley — (i) Soit A l’anneau des coordonnées de G. Par hypothèse, A est une k-algèbre de type fini, donc engendrée par un nombre fini d’éléments t_{1}, …, t_{N} en tant que k-algèbre (c’est-à-dire que tout élément de A s’écrit sous la forme d’un polynôme en les t_{1}, …, t_{N} à coefficients dans k).

En vertu du lemme précédent, t_{1}, …, t_{N} sont contenus dans un sous-comodule V de A de dimension finie. La représentation régulière G → GL_{A} induit une représentation linéaire ρ : G → GL_{V} et il nous reste à vérifier que ρ induit un isomorphisme de G sur un sous-groupe de GL_{V}, c’est-à-dire que l’homomorphisme ρ^{∗} : O(GL_{V}) → O(G) = A est surjectif.

Fixons une base (e_{1}, …, e_{n}) du k-espace vectoriel V et utilisons-la pour identifier les groupes algébriques GL_{V} et GL_{n}. Considérons la matrice (a_{ij}) ∈ M_{n}(A) définie par les identités

ρ̃(e_{j}) = ∑_{1⩽i⩽n} e_{i} ⊗ a_{ij}

(1 ⩽ i ⩽ n) ; vu la correspondance entre ρ et ρ̃ décrite en 3.1.4, l’application k-linéaire ρ̃: V → V ⊗_{k} A est induite par l’automorphisme de V ⊗_{k} A provenant de l’élément id_{A} de G(A). Il en découle que (a_{ij}) est la matrice de cet automorphisme dans la base (e_{1}⊗1, …, e_{n}⊗1) de V⊗_{k}A, ce qui revient à dire que (a_{ij}) est l’image de l’élément id_{A} de G(A) par l’homomorphisme ρ_{A} : G(A) → GL_{n}(A). De manière équivalente, a_{ij} est l’image de la coordonnée X_{ij} ∈ O(GL_{n}) par l’homomorphisme ρ^{∗} : O(GL_{n}) → O(G) = A. Par suite, l’image de ρ^{∗} contient la sous-k-algèbre A_{0} de A engendrée par les éléments a_{ij} (1 ⩽ i, j ⩽ n).

Nous allons conclure en vérifiant que A_{0} contient les générateurs t_{1}, …, t_{N} de A, donc est égale à A. Il suffit de s’assurer que A_{0} contient le sous-espace vectoriel V. Par définition de la structure de bigèbre, le diagramme

[figure: A; Δ; A ⊗_{k} A; e^{∗}⊗Δ; k ⊗_{k} A]

est commutatif ; on a par conséquent

e_{j} = [(e^{∗} ⊗ id_{A}) ∘ Δ](e_{j})
= (e^{∗} ⊗ id_{A}) ( ∑_{1⩽i⩽n} e_{i} ⊗ a_{ij})

= ∑_{1⩽i⩽n} e^{∗}(e_{i})a_{ij}.

Ces identités mettent en évidence le fait que la base (e_{i}) de V est contenue dans A_{0}, donc V ⊂ A_{0}. On a ainsi A = A_{0} et l’homomorphisme ρ^{∗} est surjectif.

(ii) Soit ℑ l’idéal de A définissant le sous-groupe H de G – c’est-à-dire le noyau de l’homomorphisme O(G) → O(H). L’anneau A étant une k-algèbre de type fini, il est noethérien et l’idéal ℑ est donc engendré par un nombre fini d’éléments. En appliquant le lemme précédent, il existe par conséquent un sous-comodule V de A de dimension finie contenant un ensemble de générateurs de la k-algèbre A (comme en (i)) ainsi qu’un ensemble de générateurs f_{1}, …, f_{n} de l’idéal ℑ. Comme on vient de l’établir, la représentation linéaire ρ : G → GL_{V} induite par la représentation régulière de G fournit un isomorphisme de G sur un sous-groupe de GL_{V}.

Posons W = V ∩ ℑ; ce sous-espace vectoriel de V contient par construction les générateurs f_{1}, …, f_{n} de ℑ. Étant donnés une k-algèbre R et un élément s du sous-groupe Stab_{G}(W)(R) de G(R), on dispose par hypothèse pour tout i ∈ {1, …, n} d’une identité

ρ_{R}(s, f_{i}) = ∑_{1⩽j⩽n} f_{j} ⊗ λ_{ij}

avec λ_{ij} ∈ R, d’où

s(f_{i}) = \overline{f}_{i}(s) = \overline{f_{i}}(e_{R}s) = \overline{ρ_{R}(s, f_{i})}(e_{R}) = ∑_{1⩽j⩽n} f_{j}(e_{R})λ_{ij} = 0

car, les f_{j} appartenant à l’idéal ℑ, les fonctions \overline{f_{j}} s’annulent identiquement sur le sous-groupe H(R) de G(R) et donc en particulier au point e_{R}. On a ainsi \overline{f_{i}}(s) = 0 pour tout i ∈ \{1, …, n\}, d’où \overline{f}(s) = 0 pour tout élément f de ℑ puisque f_{1}, …, f_{n} engendrent cet idéal, et finalement s ∈ H(R).

Réciproquement, quels que soient f ∈ ℑ et s ∈ H(R), la fonction \overline{f}(·s) s’annule identiquement sur H(R′) pour toute R-algèbre R′; on a donc ρ_{R}(s, f) ∈ ℑ ⊗_{k} R (lemme 3.3.2). Appliquant ceci avec f ∈ W = V∩ℑ, on en déduit que ρ_{R}(s, f) appartient à (V⊗_{k}R)∩(ℑ⊗_{k}R), donc à (V ∩ ℑ) ⊗_{k} R = W ⊗_{k} R en vertu du lemme ci-dessous. Ainsi, s ∈ Stab_{G}(W).

Nous venons d’établir l’identité H(R) = Stab_{G}(W)(R) pour toute k-algèbre R, donc H = Stab_{G}(W).

□

Lemme 3.3.3 — Soit V un k-espace vectoriel et soient W, W′ deux sous-espaces vectoriels de V. Pour toute k-algèbre R, (W ⊗_{k} R) ∩ (W′ ⊗_{k} R) = (W ∩ W′) ⊗_{k} R. Démonstration. Posons L = W ∩ W′. Partant d’une base de L, nous pouvons la compléter en une base de W + W′ en lui ajoutant une base d’un supplémentaire de L dans W et celle d’un supplémentaire de L dans W′, puis compléter la famille libre obtenue en une base (e_{i})_{i∈I} de V. On dispose par construction de deux sous-ensembles J et J′ de I tels que les familles (e_{i})_{i∈J}, (e_{i})_{i∈J′} et (e_{i})_{i∈J∩J′} soient des bases de W, W′ et L respectivement.

Ceci fait, un élément de V ⊗_{k} R s’écrit de manière unique sous la forme ∑_{i∈I} e_{i} ⊗ λ_{i} avec λ_{i} ∈ R. S’il appartient à W ⊗_{k} R (resp. à W′ ⊗_{k} R), alors λ_{i} = 0 pour tout i ∈ I − J (resp. λ_{i} = 0 pour tout i ∈ I − J′) et donc (W ⊗_{k} R) ∩ (W′ ⊗_{k} R) = (W ∩ W′) ⊗_{k} R. □

(3.3.2) On peut préciser la seconde assertion du théorème de Chevalley en imposant que le sous-espace vectoriel W soit de dimension 1.

Soit V un k-espace vectoriel de dimension finie n. On dispose pour tout nombre entier d ∈ {1, …, n} d’une représentation linéaire naturelle λ_{d} de GL_{V} dans la d-ème puissance extérieure Λ^{d}(V) de V : quelle que soient la k-algèbre R et l’automorphisme R-linéaire g de V ⊗_{k} R, λ_{d,R}(g) est l’automorphisme R-linéaire de Λ^{d}(V) ⊗_{k} R = Λ^{d}(V ⊗_{k} R) qui envoie un d-vecteur de la forme v_{1} ∧ … ∧ v_{d} sur le d-vecteur g(v_{1}) ∧ … ∧ g(v_{d}).

Si l’on fixe une base (e_{1}, …, e_{n})_{1⩽i⩽n} de V sur k, on obtient une base du k-espace vectoriel Λ^{d}(V) en considérant tous les d-vecteurs e_{φ} = e_{φ(1)} ∧ … ∧ e_{φ(d)}, où φ parcourt l’ensemble des applications strictement croissantes de {1, …, d} dans {1, …, n}. L’homomorphisme λ_{d,R} associe alors à un automorphisme R-linéaire g de V ⊗_{k} R, de matrice M = (m_{ij}) dans la base (e_{i} ⊗ 1), l’automorphisme R-linéaire de Λ^{d}(V ⊗_{k} R) dont la matrice Λ^{d}M = (x_{φ,ψ}) dans la base (e_{φ} ⊗ 1) est définie par la condition suivante :

x_{φ,ψ} = det (m_{φ(i)ψ(j)})_{1⩽i,j⩽d} .

(C’est la matrice des déterminants mineurs d’ordre d de la matrice M.)

Proposition 3.3.4 — Soit W un sous-espace vectoriel de V de dimension d. Le sous-groupe Stab(W) de GL_{V} est le stabilisateur de la droite Λ^{d}(W) de Λ^{d}(V). Démonstration. Fixons une base de V, disons (e_{1}, …, e_{n}), et considérons la base (e_{φ}) de Λ^{d}(V) qui lui correspond. Posons q = \binom{n}{d}. En utilisant ces bases, nous sommes ramenés à démontrer l’assertion suivante : pour toute k-algèbre R et toute matrice M ∈ GL_{n}(R), les conditions

(a) la matrice M est de la forme ( \begin{matrix}A & B \\ 0 & D \end{matrix} ) avec A ∈ GL_{d}(R), B ∈ M_{d,n−d}(R) et D ∈

GL_{n−d}(R) ; (b) la matrice Λ^{d}M est de la forme ( \begin{matrix}a & P \\ 0 & Q \end{matrix} ) avec a ∈ R^{×}, P ∈ M_{1,q−1}(R) et Q ∈

GL_{q−1}(R) sont équivalentes.

Il est clair que (a) implique (b). Considérons réciproquement une matrice M = ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ),

avec A ∈ M_{d}(R), B ∈ M_{d,n−d}(R), C ∈ M_{n−d,d}(R) et D ∈ M_{n−d}(R), telle que Λ^{d}M soit de la forme envisagée en (b). La matrice A est inversible car det(A) = a ∈ R^{×}. Si l’on pose

N = ( \begin{matrix}A^{−1} & 0 \\ 0 & I_{n−d} \end{matrix} ), alors

NM = ( \begin{matrix}I_{d} & A^{−1}B \\ C & D \end{matrix} ) , Λ^{d}N = ( \begin{matrix}a^{−1} & P′ \\ 0 & Q′ \end{matrix} ) et Λ^{d}(NM) = (Λ^{d}N)(Λ^{d}M) = ( \begin{matrix}1 & P′′ \\ 0 & Q′′ \end{matrix} )

avec P′, P′′ ∈ M_{1,q−1}(R) et Q′, Q′′ ∈ GL_{q−1}(R) ; nous pouvons par suite supposer A = I_{d}. Sous cette hypothèse, le coefficient M d’indice (i, j) avec i ∈ {d + 1, …, n} et j ∈ {1, …, d} est, au signe près, égal au coefficient de Λ^{d}M d’indice (φ, φ_{0}), où φ_{0} est l’injection canonique de {1, …, d} dans {1, …, n} et φ est l’application de {1, …, d} dans {1, …, n} définie par

φ(ℓ) = \{ \begin{matrix}ℓ & si ℓ < j \\ ℓ + 1 & si j ⩽ ℓ ⩽ d − 1 \\ i & si ℓ = d \end{matrix}

On obtient ainsi C = 0. □

Corollaire 3.3.5 — Soit G un groupe algébrique sur k et soit H un sous-groupe de G. Il existe un espace vectoriel V de dimension finie et une représentation linéaire ρ : G → GL_{V} induisant un isomorphisme de G sur un sous-groupe de GL_{V} tels que H soit le stabilisateur d’une droite de V. Démonstration. Considérons un k-espace vectoriel V′ de dimension finie et une représentation linéaire ρ′ : G → GL_{V′} induisant un isomorphisme de G sur un sous-groupe de GL_{V′} tels que H soit le stabilisateur d’un sous-espace vectoriel W′ de V′ (théorème 3.1.1). D’après la proposition précédente, H est le sous-groupe de G stabilisant la droite Λ^{d}(W′) de Λ(V′) dans la représentation linéaire Λ^{d}ρ = λ_{d} ∘ ρ′ : G → GL_{Λ^{d}(V′)}.

Posons V = V′⊕Λ^{d}(V′) et soit W la droite Λ^{d}(W′) dans V. La représentation ρ = ρ′⊕Λ^{d}ρ de G dans GL_{V} induit un isomorphisme de G sur un sous-groupe de GL_{V} et H est le stabilisateur de la droite W. □

4. Décomposition de Jordan

4.1. Introduction

Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k supposé algébriquement clos. Il est bien connu que tout endomorphisme f de V s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme f = d+n, où d et n sont deux endomorphismes de V qui commutent, d est diagonalisable et n est nilpotent. C’est la décomposition de Jordan additive de f, que l’on établit aisément en considérant les sous-espaces caractéristiques de f.

Lorsque f est inversible, cette décomposition peut s’écrire de manière multiplicative : l’endomorphisme d est en effet inversible (car f et d ont le même spectre),

f = du = ud

avec u = id + d^{−1}n, et la nilpotence de n se traduit par le fait que toutes les valeurs propres de u sont égales à 1.

Définition 4.1.1 — Soit k un corps et soit V un k-espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme f de V est dit

(i) unipotent, si toutes ses valeurs propres sont égales à 1, c’est-à-dire si l’endomorphisme f − id est nilpotent ;

(ii) semi-simple, s’il est diagonalisable sur une clôture algébrique de k.

On rappelle qu’un polynôme P à coefficient dans un corps k est dit séparable si ses racines (dans une clôture algébrique de k) sont simples ; cela revient à dire que P et son polynôme dérivé P′ sont premiers entre eux. On rappelle également qu’un corps est dit parfait si tout polynôme irréductible est séparable. Un corps algébriquement clos est parfait (trivial) ; tout corps de caractéristique zéro est parfait tandis qu’un corps k de caractéristique p > 0 est parfait si et seulement si l’endomorphisme de Frobenius (k → k, x ↦ x^{p}) est surjectif ; en particulier, les corps finis sont parfaits.

Proposition 4.1.2 — Soit k un corps et soit V un k-espace vectoriel de dimension finie. Pour qu’un endomorphisme de V soit semi-simple, il faut et il suffit que son polynôme minimal soit séparable. Démonstration. Soit f un endomorphisme de V et soit \overline{k} une clôture algébrique de k. Il est facile de voir que l’endomorphisme f ⊗ id de V ⊗_{k} \overline{k} a le même polynôme minimal que f. Considérons en effet la suite exacte de k-espaces vectoriels définissant le polynôme minimal m de f, soit

\xymatrix{0 \ar[r] & k[X] \ar[r]^{m} & k[X] \ar[r]^{ι} & End(V)} ,

où ι(P) = P(u). Cette suite reste exacte après tensorisation par \overline{k}; par ailleurs, l’application canonique de End(V) ⊗_{k} \overline{k} dans End(V ⊗_{k} \overline{k}) est un isomorphisme, car tout endomorphisme de V ⊗_{k} \overline{k} est une combinaison \overline{k}-linéaire d’endomorphismes de V (c’est évident du point de vue matriciel). Remplaçant End(V) ⊗_{k} \overline{k} par End(V ⊗_{k} \overline{k}) dans la suite exacte

\xymatrix{0 \ar[r] & \overline{k}[X] \ar[r]^{m} & \overline{k}[X] \ar[r]^{ι⊗id} & End(V) ⊗_{k} \overline{k}} ,

il en découle que m engendre le noyau de l’application

\overline{k}[X] → End(V ⊗_{k} \overline{k}), P ↦ P(f ⊗ id)

et c’est donc bien le polynôme minimal de f ⊗ id.

La conclusion s’obtient en utilisant le fait que l’endomorphisme f ⊗ id est diagonalisable si et seulement si les racines de son polynôme minimal son simples. □

Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer le théorème principal de ce chapitre.

Théorème 4.1.3 (Décomposition de Jordan) — Soit k un corps parfait et soit G un groupe algébrique sur k. Tout élément g de G(k) s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme g = g_{s}g_{u}, où g_{s} et g_{u} sont des éléments de G(k) satisfaisant aux deux conditions suivantes :

(i) g_{s}g_{u} = g_{u}g_{s};

(ii) pour toute représentation linéaire de dimension finie ρ : G → GL_{V}, ρ_{k}(g_{s}) (resp. ρ_{k}(g_{u})) est un automorphisme semi-simple (resp. unipotent) de V.

Ce théorème n’est certainement pas évident à première vue : étant donnés une représentation linéaire de dimension finie ρ : G → GL_{V} et un élément g de G(k),

- ρ_{k}(g) ∈ GL(V) s’écrit comme le produit de deux automorphismes de V qui commutent, l’un semi-simple et l’autre unipotent, mais la construction de ceux-ci repose sur l’étude des sous-espaces caractéristiques de ρ_{k}(g) est il n’est pas clair que l’on obtienne des éléments du sous-groupe ρ_{k}(G(k)) de GL(V) ;

- le changement de représentation linéaire pourrait ne pas préserver le caractère semi-simple (resp. unipotent) de l’image de g.

La démonstration que l’on va donner est celle que l’on trouve dans le séminaire Chevalley (Exposé 4, paragraphe 4.4) ; elle repose sur une caractérisation des éléments unipotents (resp. semi-simples) de GL(V) ne faisant pas intervenir leurs valeurs propres.

Remarque — L’hypothèse « corps parfait » est nécessaire ainsi que le montre le contreexemple classique suivant. On suppose k de caractéristique 2 non parfait et on considère un élément a de k − k^{2}. Désignant par α la racine carrée de a dans une clôture algébrique \overline{k} de k, l’identité

( \begin{matrix}0 & a \\ 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}α & 0 \\ 0 & α \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & α \\ α^{−1} & 0 \end{matrix} )

est la décomposition de Jordan du membre de gauche dans GL_{2}(\overline{k}). S’il existait une telle décomposition dans GL_{2}(k), la composante semi-simple serait l’homothétie αI_{2} et α appartiendrait à k...

4.2. Éléments unipotents

Proposition 4.2.1 — Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k et soit g ∈ GL(V).

1. Si car(k) = p > 0, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) g est unipotent ;

(ii) il existe un entier N ⩾ 0 tel que g^{p^{N}} = 1.

2. Si car(k) = 0, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) g est unipotent ;

(ii) il existe un homomorphisme u : 𝔾_{a} → G et un élément t de 𝔾_{a}(k) = k tel que g = u_{k}(t). Démonstration. 1. Traitons tout d’abord le cas d’un corps de caractéristique p > 0.

Si g est un automorphisme unipotent de V, l’endomorphisme g − id est nilpotent et donc (g − id)^{p^{N}} = 0 si l’entier N est suffisamment grand ; on obtient alors g^{p^{N}} − id = 0 et ainsi g est bien d’ordre une puissance de p.

Réciproquement, s’il existe un entier N ⩾ 0 tel que g^{p^{N}} = id, le polynôme minimal de g divise X^{p^{N}} − 1 = (X − 1)^{p^{N}} et le spectre de g est réduit à 1.

2. Traitons maintenant le cas d’un corps de caractéristique nulle.

Supposons que g soit unipotent et posons n = g − id. Le polynôme ∑_{m⩾1}(−1)^{m+1} \frac{n^{m}}{m} définit un endomorphisme de V, que l’on note Log(g) ; ce dernier est nilpotent puisqu’il s’agit d’une somme d’endomorphismes nilpotents qui commutent. L’homomorphisme de foncteurs u : 𝔾_{a} → GL_{V} défini par

u_{R}(t) = ∑_{m⩾0} \frac{t^{m}}{m!}Log(g)^{m}

pour toute k-algèbre R et tout t ∈ 𝔾_{a}(R) = R est un homomorphisme de groupes algébriques car, pour toute ℚ-algèbre A, la série formelle

exp(X) = ∑_{m⩾0} \frac{X^{m}}{m!} ∈ A[[X]]

vérifie l’identité exp(X + Y) = exp(X)exp(Y). Enfin, comme exp(Log(Y)) = Y dans k[[Y]],

g = u_{k}(1)

appartient bien à l’image de 𝔾_{a}(k).

Considérons réciproquement un homomorphisme de groupes algébriques u : 𝔾_{a} → GL_{V} et vérifions que, pour tout t ∈ k = 𝔾_{a}(k), l’automorphisme u_{k}(t) est unipotent. Comme il s’agit d’établir que toutes les valeurs propres de u_{k}(t) sont égales à 1, il est loisible de remplacer k par une clôture algébrique et donc de supposer que le corps k est algébriquement clos. L’image de u_{k} étant un groupe commutatif d’automorphismes de V, il existe une base (e_{1}, …, e_{n}) de V trigonalisant simultanément tous ces automorphismes. Chacun d’entre eux induit un automorphisme de la droite vectorielle V_{i} = Vect(e_{1}, …, e_{i})/Vect(e_{1}, …, e_{i−1}) = k\overline{e}_{i} et il existe donc une application χ_{i} : k → k^{×} telle que

u_{k}(t)\overline{e_{i}} = χ_{i}(t)\overline{e_{i}}

pour tout t ∈ k. L’application χ_{i} est clairement un homomorphisme du groupe additif de k dans son groupe multiplicatif. Il s’agit en outre d’une application polynomiale : en effet, si l’on utilise la base (e_{1}, …, e_{n}) pour identifier GL_{V} avec GL_{n} et que l’on note P_{i} le polynôme u^{∗}(X_{ii}) ∈ k[T], alors χ_{i}(t) = P_{i}(t) pour tout t ∈ k.

Le polynôme P_{i} ne s’annulant pas, il est constant puisque k est algébriquement clos ; comme en outre P_{i}(0) = 1, nous obtenons P_{i} = 1. Ainsi, u_{k}(t)\overline{e}_{i} = \overline{e}_{i} pour tout t ∈ k et les matrices des automorphismes u_{k}(t) sont donc triangulaires supérieures avec des coefficients diagonaux tous égaux à 1. Par conséquent, les automorphismes u_{k}(t) sont tous unipotents. □

La proposition précédente s’étend aisément à un groupe algébrique G quelconque.

Proposition 4.2.2 — Soit k un corps et soit G un groupe algébrique sur k. Pour tout élément g de G(k), les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) pour toute représentation linéaire de dimension finie ρ : G → GL_{V}, l’automorphisme ρ_{k}(g) est unipotent ;

(ii) il existe une représentation linéaire fidèle de dimension finie ρ : G → GL_{V} telle que

l’automorphisme ρ(g) soit unipotent ; (iiia) si car(k) = p > 0, il existe un entier N ⩾ 0 tel que g^{p^{N}} = e; (iiib) si car(k) = 0, il existe un homomorphisme u : 𝔾_{a} → G tel que g appartienne à

l’image de u_{k}. Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) est triviale et les implications (iiia) ⇒ (i), (iiib) ⇒ (i) sont des conséquences immédiates de la proposition précédente.

Supposons finalement qu’il existe une représentation linéaire fidèle de dimension finie ρ : G ↪ GL_{V} telle que l’automorphisme ρ_{k}(g) soit unipotent. Les conditions (iiia) et (iiib) étant trivialement vérifiées lorsque g = e, nous pouvons supposer g ≠ e.

Si car(k) = p > 0, il existe un entier n ⩾ 0 tel que ρ_{k}(g)^{p^{n}} = id_{V} donc g^{p^{n}} = e puisque l’homomorphisme ρ_{k} est injectif.

Si car(k) = 0, il existe un homomorphisme u : 𝔾_{a} → GL_{V} ainsi qu’un élément t de 𝔾_{a}(k) = k tels que g = u_{k}(t). Considérons alors le diagramme commutatif

\xymatrix{ & 𝔾_{a} \ar[dr]^{u} \\ G ×_{GL_{V}} 𝔾_{a} \ar[dr]_{j} \ar[ur]^{i} &  & _{GL_{V}} \\  & G \ar[ur]_{ρ}}

définissant le produit fibré H = G ×_{GL_{V}} 𝔾_{a} (cf. 2.3.3) ; l’homomorphisme ρ faisant de G un sous-groupe de GL_{V}, l’homomorphisme i fait de H un sous-groupe de 𝔾_{a}. En outre, l’élément (g, t) de H(k) étant distinct de l’élément neutre puisque g ≠ e, H n’est pas le sous-groupe 0 réduit à un élément. Dans ces conditions, il découle de l’hypothèse car(k) = 0 et du lemme ci-dessous que i est un isomorphisme. Désignant alors par v l’homomorphisme j ∘ i^{−1} de 𝔾_{a} dans G, ρ_{k}(v_{k}(t)) = u_{k}(t) = ρ_{k}(g) et donc v_{k}(t) = g puisque l’homomorphisme ρ_{k} est injectif. □

Lemme 4.2.3 — Soit k un corps de caractéristique nulle. Le seul sous-groupe strict de 𝔾_{a} est le sous-groupe 0 réduit à un élément. Démonstration. Considérons un sous-groupe H de 𝔾_{a} et soit I = (P) l’idéal de k[T] le définissant. Désignant par \overline{k} une clôture algébrique de k,

H(\overline{k}) = \{t ∈ \overline{k} | P(t) = 0\}

est un sous-groupe de \overline{k}. Si H(\overline{k}) contient un élément non nul t de k, alors H(\overline{k}) contient le sous-groupe ℤt; ce dernier étant infini puisque k est de caractéristique nulle, P = 0 et donc H = 𝔾_{a}. Par conséquent, si le sous-groupe H est strict, alors H(\overline{k}) = \{0\} et P = T^{n} pour un certain entier n ⩾ 1.

Il est nécessaire de faire intervenir la bigèbre k[T] de 𝔾_{a} pour conclure. Que H soit un sous-groupe de 𝔾_{a} équivaut aux conditions

Δ(I) ⊂ I ⊗_{k} k[T] + k[T] ⊗_{k} I, 0^{∗}(I) = 0 et ι^{∗}(I) ⊂ I.

Les deux secondes sont vérifiées lorsque I = (T^{n}) ; pour que la première le soit, il faut et il suffit que l’élément (1⊗T+T⊗1)^{n} de k[T]⊗_{k} k[T] s’écrive sous la forme ∑_{p,q⩾0} a_{pq}(1⊗T)^{p}(T⊗1)^{q} avec a_{pq} = 0 si p < n et q < n. Comme

(1 ⊗ T + T ⊗ 1)^{n} = (1 ⊗ T)^{n} + n(1 ⊗ T)^{n−1}(T ⊗ 1) + … + n(1 ⊗ T)(T ⊗ 1)^{n−1} + (T ⊗ 1)^{n},

il découle de nouveau de l’hypothèse car(k) = 0 que ceci n’est possible qu’avec n = 1. Ainsi, I = (T) et le seul sous-groupe strict de 𝔾_{a} est le sous-groupe 0 réduit à un élément. □

Définition 4.2.4 — Soit G un groupe algébrique sur un corps k. Un élément g de G(k) est dit unipotent s’il satisfait à l’une des conditions équivalentes suivantes :

(i) il existe une représentation linéaire fidèle de dimension finie ρ : G → GL_{V} telle que l’automorphisme ρ_{k}(g) soit unipotent ;

(iia) si car(k) = p > 0, il existe un entier N ⩾ 0 tel que g^{p^{N}} = e;

(iib) si car(k) = 0, il existe un homomorphisme u : 𝔾_{a} → G et un élément t de 𝔾_{a}(k) = k tel que u_{k}(t) = g.

Il est enfin évident que les éléments unipotents sont préservés par tout homomorphisme de groupes algébriques.

Proposition 4.2.5 — Soit f : G → H un homomorphisme de groupes algébriques sur un corps k. Si g ∈ G(k) est unipotent, alors f(g) est unipotent.

4.3. Groupes diagonalisables et éléments semi-simples

(4.3.1) Considérons un groupe algébrique G sur un corps k.

Définition 4.3.1 — Un caractère de G est un homomorphisme χ : G → 𝔾_{m}.

L’ensemble X(G) des caractères de G est naturellement muni d’une structure de groupe abélien (noté additivement) : si χ et ψ sont deux caractères de G, χ + ψ est le caractère défini par

(χ + ψ)_{R}(g) = χ_{R}(g)ψ_{R}(g)

pour toute k-algèbre R et tout élément g de G(R) ; l’élément neutre 0 est le caractère trivial, défini par 0_{R}(g) = 1 ∈ R^{×} = 𝔾_{m}(R).

Exemples — 1. Le groupe additif 𝔾_{a} n’a pas de caractère non trivial en vertu de la proposition 2.2.3.

2. Le déterminant det : GL_{n} → 𝔾_{m} est un caractère de GL_{n}.

Proposition 4.3.2 — Si A désigne la bigèbre de G, le groupe X(G) des caractères de G est naturellement en bijection avec le sous-groupe de A^{×} constitué des éléments a tels que Δ(a) = a ⊗ a. Démonstration. Un caractère de G est par définition un homomorphisme χ : G → 𝔾_{m} et donc correspond à un homomorphisme de k-bigèbres χ^{∗} : k[X, X^{−1}] → A. Ce dernier est entièrement déterminé par l’élément a = χ^{∗}(X) dans A^{×}, lequel doit satisfaire aux conditions suivantes :

Δ(a) = a ⊗ a, e^{∗}(a) = 1 et ι^{∗}(a) = a^{−1}.

Il découle directement des axiomes des bigèbres que les deux dernières conditions sont des conséquences de la première : quel que soit l’élément a ∈ A tel que Δ(a) = a ⊗ a,

a = [(id_{A} ⊗ e^{∗}) ∘ Δ](a) = a ⊗ e^{∗}(a) et e^{∗}(a) = [mult ∘ (id_{A} ⊗ ι^{∗}) ∘ Δ](a) = aι^{∗}(a),

donc e^{∗}(a) = 1 et ι(a) = a^{−1}. □

Corollaire 4.3.3 — Pour tout nombre entier d ⩾ 1, le groupe des caractère du groupe 𝔾_{m}^{d} est un groupe abélien libre de rang d dont une base est formée des éléments X_{1}, …, X_{d} de k[X_{1}^{±1}, …, X_{n}^{±1}]. Démonstration — Les éléments inversibles de k[X_{1}^{±1}, …, X_{d}^{±1}] sont les éléments de la forme a = λX_{1}^{ν_{1}} … X_{d}^{ν_{d}} avec λ ∈ k^{×} et ν_{1}, …, ν_{d} ∈ ℤ. La condition Δ(a) = a ⊗ a est vérifiée si et seulement si λ = 1, de sorte que si l’on désigne par χ_{i} le caractère de 𝔾_{m}^{d} tel que χ_{i}^{∗}(X) = X_{i}, alors l’application (ℤ^{d} → X(G), \underline{ν} ↦ ν_{1}χ_{1} + … + ν_{d}χ_{d}) est un homomorphisme de groupes surjectif. L’injectivité est évidente : étant donné \underline{ν} ∈ ℤ^{d} distinct de 0, il existe i ∈ \{1, …, d\} tel que ν_{i} ≠ 0 et, quitte à renuméroter les X_{i}, il est loisible de supposer que l’on a ν_{1} ≠ 0 ; quel que soit alors l’élément t d’une clôture algébrique \overline{k} de k qui ne soit pas une racine ν_{1}-ème de l’unité, le caractère ν_{1}χ_{1} + … + ν_{d}χ_{d} prend la valeur t^{ν_{1}} ≠ 1 au point (t, 1, …, 1) de

𝔾_{m}^{d}(\overline{k}) = \overline{k}^{×}^{d} et il est donc non trivial. □

Proposition 4.3.4 — Si n ⩾ 2, tout caractère de GL_{n} est une puissance entière du déterminant et le groupe SL_{n} n’a pas de caractère non trivial. Démonstration. La première assertion s’obtient aisément en observant que les éléments inversibles de la bigèbre k[(X_{ij}), det(X_{ij})^{−1}] de GL_{n} sont les éléments a de la forme λdet(X_{ij})^{m} avec λ ∈ k^{×} et m ∈ ℤ. La condition Δ(a) = a ⊗ a équivaut à λ = 1, ce qui prouve que les seuls caractères de GL_{n} sont les puissances entières du déterminant en vertu de la proposition précédente.

La démonstration de la seconde assertion repose sur le fait suivant : si n ⩾ 2 et si K est un corps, le groupe SL_{n}(K) est engendré par les commutateurs, sauf si n = 2 et K = 𝔽_{2} (voir par exemple dans le Cours d’algèbre de Daniel Perrin, éditions Ellipses, IV, Théorème 3.1).

Soit χ un caractère de SL_{n}. Désignant par \overline{k} une clôture algébrique de k, il découle de ce que l’on vient de dire que l’homomorphisme χ\overline{k} : SL_{n}(\overline{k}) → 𝔾_{m}(\overline{k}) = \overline{k}^{×} est trivial puisque le groupe k^{×} est commutatif. Le caractère χ correspond à un élément a de la bigèbre de SL_{n} tel que a − 1 s’annule identiquement sur SL_{n}(\overline{k}) ; d’après le Nullstellensatz de Hilbert, a − 1 est alors un élément nilpotent de A. On vérifie facilement que l’anneau A = ˛[(X_{ij})]/(det(X_{ij})−1) est réduit :

- l’homomorphisme

A[T, T^{−1}] → k[(X_{ij}), T]/(Tdet(X_{i}j) − 1)

défini en envoyant T sur T, T^{−1} sur det(X_{ij}), X_{11} sur TX_{11} et X_{ij} sur X_{ij} si (i, j) ≠ (1, 1) est un isomorphisme, dont l’inverse est donné par T ↦ T, X_{11} ↦ T^{−1}X_{11} et X_{ij} ↦ X_{ij} si (i, j) ≠ (1, 1) ;

- l’anneau k[(X_{ij}), T]/(Tdet(X_{ij}) − 1) est intègre, car isomorphe à un localisé de l’anneau intègre k[(X_{ij})].

Par suite, a − 1 = 0 et χ est donc trivial. □

(4.3.2) Soit G un groupe algébrique sur un corps k et soit ρ : G → GL_{V} une représentation linéaire de dimension finie. Un vecteur propre de ρ est un vecteur v ≠ 0 dans V tel que, pour toute k-algèbre R et tout élément g ∈ V ⊗_{k} R, le sous-R-module R(v ⊗ 1) de V ⊗ R soit stabilisé par l’automorphisme ρ_{R}(g) ; il revient au même de demander qu’il existe un élément χ_{v}(g) de R^{×} tel que

ρ_{R}(g)(v ⊗ 1) = χ_{v,R}(g)(v ⊗ 1).

On vérifie immédiatement que les applications χ_{v,R} : G(R) → 𝔾_{m}(R) = R^{×} ainsi définies donnent naissance à un caractère χ_{v} : G → 𝔾_{m}.

Remarque — On sait que la représentation ρ est complètement déterminée par la donnée d’une l’application k-linéaire ρ^{∗} : V → V ⊗_{k} A telle que

(ρ^{∗} ⊗ id_{A}) ∘ ρ^{∗} = (id_{V} ⊗ Δ) ∘ ρ^{∗} et (id_{V} ⊗ e^{∗}) ∘ ρ^{∗} = id_{V}

(cf. proposition 3.1.5). De ce point de vue, un vecteur propre de ρ est un vecteur non nul v de V tel que

ρ^{∗}(v) = v ⊗ a

pour un certain a ∈ A^{×}. Cet élément a de A est uniquement déterminé : si l’on considère en effet une base (e_{1}, …, e_{n}) de V telle que e_{1} = v, alors V ⊗_{k} A est un A-module libre de base (e_{1} ⊗ 1, …, e_{n} ⊗ 1) et les coordonnées de ρ^{∗}(v) dans cette dernière sont bien définis. En outre,

v ⊗ a ⊗ a = ρ^{∗}(v) ⊗ a
= [(ρ^{∗} ⊗ id_{A}) ∘ ρ^{∗}](v)
= [(id_{V} ⊗ Δ) ∘ ρ^{∗}](v)
= v ⊗ Δ(a)

et donc Δ(a) = a ⊗ a.

Définition 4.3.5 — Un groupe algébrique G sur un corps k est dit diagonalisable si, pour toute représentation linéaire de dimension finie ρ : G → GL_{V}, l’espace vectoriel V est engendré par des vecteurs propres de ρ.

Cette définition peut se reformuler ainsi : pour toute représentation linéaire de dimension finie ρ : G → GL_{V}, il existe une base de V telle que, pour toute k-algèbre R, l’image de l’homomorphisme ρ_{R} : G(R) → GL_{V}(R) ≃ GL_{n}(R) soit contenue dans le sous-groupe constitué des matrices diagonales.

Les groupes diagonalisables ont une caractérisation simple en termes de leur bigèbre.

Proposition 4.3.6 — Soit G un groupe algébrique sur k de bigèbre A. Pour que G soit diagonalisable, il faut et il suffit que la k-algèbre A soit engendrée par les caractères, c’est-à-dire les éléments a de A^{×} tels que Δ(a) = a ⊗ a. Démonstration. Supposons que G soit diagonalisable et soit ρ : G → GL_{V} une représentation linéaire fidèle de dimension finie. Puisque V est engendré par les vecteurs propres de ρ, il existe une base (e_{1}, …, e_{n}) de V formée de vecteurs propres de ρ. Utilisant cette base pour identitifier GL_{V} et GL_{n}, l’homomorphisme G → GL_{n} déduit de ρ induit un isomorphisme entre G et un sous-groupe du groupe des matrices diagonales, lui-même isomorphe au groupe 𝔾_{m}^{n}. Par suite, la bigèbre A de G est isomorphe à un quotient de la bigèbre k[X_{1}^{±1}, …, X_{n}^{±1}] de 𝔾_{m}^{n} et, comme cette dernière est engendrée par les 2n caractères X_{i}^{±1}, A est engendrée par des caractères (les images des X_{i}^{±1}).

Supposons réciproquement que A soit engendrée par des caractères. Comme un produit de caractères est encore un caractère, A est également engendré par des caractères en tant que k-espace vectoriel et on peut donc considérer une base (a_{i})_{i∈I} de A sur k constituée de caractères.

Soit alors ρ : G → GL_{V} une représentation linéaire de dimension finie de G et soit ρ^{∗} : V → V ⊗_{k} A l’application k-linéaire qui lui correspond. Étant donné un vecteur v ∈ V, il existe une unique famille (v_{i})_{i∈I} de vecteurs de V presque tous nuls telle que

ρ^{∗}(v) = ∑_{i∈I} v_{i} ⊗ a_{i}.

En vertu de l’identité (ρ^{∗} ⊗ id_{A}) ∘ ρ^{∗} = (id_{V} ⊗ Δ) ∘ ρ^{∗},

∑_{i∈I} ρ^{∗}(v_{i}) ⊗ a_{i} = [(ρ^{∗} ⊗ id_{A}) ∘ ρ^{∗}](v)
= [(id_{V} ⊗ Δ) ∘ ρ^{∗}](v)
= ∑_{i∈I} v_{i} ⊗ Δ(a_{i})
= ∑_{i∈I} v_{i} ⊗ a_{i} ⊗ a_{i}

et donc

ρ^{∗}(v_{i}) = v_{i} ⊗ a_{i}

pour tout i. Il découle de ceci que v est contenu dans un sous-espace vectoriel de V engendré par des vecteurs propres de ρ, puis que ces derniers engendrent V. Ainsi, le groupe G est diagonalisable. □

Corollaire 4.3.7 — 1. Pour tout entier d ⩾ 1, le groupe 𝔾_{m}^{d} est diagonalisable. 2. Pour tout entier n ⩾ 1 premier à la caractéristique de k, le groupe μ_{n} est diagonalisable.

3. Tout sous-groupe d’un groupe diagonalisable est diagonalisable.

4. Le produit de deux groupes diagonalisables est diagonalisable. Démonstration. 1. Le groupe 𝔾_{m}^{d} est diagonalisable car sa bigèbre k[X_{1}^{±1}, …, X_{n}^{±1}] est engendrée par les 2n caractères X_{i}^{±1}.

2. Si n est premier à la caractéristique, le groupe μ_{n} est diagonalisable car sa bigèbre k[X]/(X^{n}−1) est engendrée par le caractère X. Noter que le groupe μ_{n} n’est pas diagonalisable si p = car(k) divise n : en effet, si l’on écrit n sous la forme n = p^{α}n′ avec α ⩾ 1 et (n′, p) = 1 et si l’on désigne par \overline{k} une clôture algébrique de k, la \overline{k}-algèbre

\overline{k} ⊗_{k} k[X]/(X^{n} − 1) = \overline{k}[X]/((X^{n′} − 1)^{p^{α}}) ≅ ⊕_{ξ∈μ_{n′}(\overline{k})}\overline{k}[X]/ ((X − ξ)^{p^{α}}) ≃ ⊕_{ξ∈μ_{n′}(\overline{k})}\overline{k}[X]/(X^{p^{α}})

n’est clairement pas engendrée pas ses éléments inversibles.

3. La bigèbre B d’un sous-groupe H d’un groupe algébrique G est un quotient de la bigèbre A de G. Comme la projection canonique A → B transforme les caractères en caractères, H est diagonalisable si G l’est.

4. Si G et H sont deux groupes algébriques diagonalisables de bigèbres respectives A et B, alors G × H est le groupe algébrique de bigèbre A ⊗_{k} B, la comultiplication étant définie par Δ(a ⊗ b) = Δ_{G}(a) ⊗ Δ_{H}(b). Par suite, si (a_{i})_{i∈I} et (b_{j})_{j∈J} sont des familles de caractères de G et H respectivement engendrant les k-algèbres A et B, alors la k-algèbre A ⊗ B est engendrée par les caractères a_{i} ⊗ b_{j} et donc G × H est diagonalisable. □

Proposition 4.3.8 — Soit G un groupe algébrique sur un corps k. Pour que G soit diagonalisable, il faut et il suffit qu’il soit isomorphe à un groupe de la forme

𝔾^{d} × μ_{n_{1}} × … × μ_{n_{r}}

avec d ⩾ 0 et n_{1}, …, n_{r} des entiers premiers à la caractéristique de k tels que n_{i+1}|n_{i} pour tout i. En outre, d et le r-uplet (n_{1}, …, n_{r}) sont uniquement déterminés. Démonstration. Les groupes algébriques de la forme indiquée sont diagonalisables en vertu du corollaire précédent.

Considérons réciproquement un groupe algébrique diagonalisable G. Le groupe X(G) des caractères de G est de type fini. En effet, on a vu au cours de la démonstration de la proposition 4.3.6 que la bigèbre A de G est isomorphe à un quotient de la bigèbre k[X_{1}^{pm1}, …, X_{N}^{±1}] de 𝔾_{m}^{N} pour un entier N ⩾ 1 convenable. Il en découle que la k-algèbre A est engendrée par les caractères a_{1}^{±1}, …, a_{N}^{±1} ; en particulier, tout caractère de A s’écrit sous la forme d’une combinaison linéaire finie des caractères a_{1}^{ν_{1}} … a_{N}^{ν_{N}}, ν ∈ ℤ^{N}. Vu l’indépendance linéaire des caractère (lemme ci-dessous), on en déduit que tout caractère de G est de la forme a_{1}^{ν_{1}} … a_{N}^{ν_{N}} pour un certain ν ∈ ℤ^{N} et le groupe X(G) est donc bien de type fini.

Il découle également de ce que l’on vient de dire que la bigèbre A est complètement déterminée par le groupe X(G) : notant a_{χ} l’élément de A correspondant au caractère χ ∈ X(G),

A = ⨁_{χ∈X(G)} ka_{χ}

en tant que k-espace vectoriel et

a_{χ} · a_{ψ} = a_{χ+ψ}, Δ(a_{χ}) = a_{χ} ⊗ a_{χ}, e^{∗}(a_{χ}) = 1, ι^{∗}(a_{χ}) = a_{χ}^{−1} = a_{−χ}

pour tous χ, ψ ∈ X(G).

Il reste à appliquer le théorème de structure des groupes abéliens de type fini : il existe un entier d ⩾ 0 et des entiers n_{1}, …, n_{r} avec n_{i+1}|n_{i} tels que X(G) soit isomorphe au groupe ℤ^{d} ⊕ ℤ/n_{1}ℤ ⊕ … ⊕ ℤ/n_{r}ℤ; en outre, d et le r-uplet sont uniquement déterminés. Vu la description de la bigèbre A donnée précédemment, celle-ci est isomorphe à

k[X_{1}^{±}, …, X_{d}^{±}, X_{d+1}, …, X_{d+r}]/(X_{d+1}^{n_{1}} − 1, …, X_{d+r}^{n_{r}} − 1)

= k[X_{1}^{±1}, …, X_{d}^{±1}] ⊗_{k} k[X]/(X^{n_{1}} − 1) ⊗_{k} … ⊗_{k} k[X]/(X^{n_{r}} − 1)

et donc G ≃ 𝔾_{m}^{d} × μ_{n_{1}} × … × μ_{n_{r}}. □

Lemme 4.3.9 (Indépendance linéaire des caractères) — Soit G un groupe algébrique sur un corps k de bigèbre A. Toute famille (a_{i})_{i∈I} de caractères distincts de G est libre dans le k-espace vectoriel A. Démonstration. Chaque a_{i} étant inversible, les familles {a_{i}} réduites à un élément sont libres. Considérons alors un sous-ensemble J de I telle que la famille (a_{i})_{i∈J} soit libre et maximale. Si I ≠ J, choisissons i_{0} ∈ I − J et considérons une relation de dépendance linéaire

a_{i_{0}} = ∑_{i∈J} λ_{i}a_{i}.

Appliquant Δ, il vient

∑_{i,j∈J} λ_{i}λ_{j}a_{i} ⊗ a_{j} = a_{i_{0}} ⊗ a_{i_{0}}
= ∑_{i∈J} λ_{i}a_{i} ⊗ a_{i}.

La famille (a_{i} ⊗ a_{j})_{(i,j)∈J^{2}} étant libre dans A ⊗_{k} A, λ_{i}λ_{j} = 0 pour tous i, j distincts dans J et il existe donc un unique i ∈ J tel que λ_{i} ≠ 0. L’identité a_{i_{0}} = λ_{i}a_{i} implique alors λ_{i} = 1 par application de e^{∗}, de sorte que a_{i_{0}} = a_{i}. Par suite, si tous les a_{i} sont distincts, J = I et le lemme est démontré. □

(4.3.3) Nous sommes maintenant en mesure de caractériser les automorphismes diagonalisables d’un espace vectoriel de dimension finie.

Proposition 4.3.10 — Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k. Les conditions suivantes sont équivalentes pour tout automorphisme g de V :

(i) g est diagonalisable ;

(ii) il existe un groupe algébrique diagonalisable D et homomorphisme u : D → GL_{V} tel

que g appartienne à l’image de D(k). Démonstration. Si g est diagonalisable, il existe une base (e_{1}, …, e_{n}) de V formée de vecteurs propres de g. Utilisant cette base pour identifier GL_{V} et GL_{n}, g appartient donc à T(k), où T est le sous-groupe de GL_{V} correspondant au sous-groupe des matrices diagonales dans GL_{n}. Comme T ≃ 𝔾_{m}^{n}, T est diagonalisable en vertu du corollaire 4.3.7 et l’assertion (ii) est démontrée.

Considérons réciproquement un groupe algébrique diagonalisable D et un homomorphisme u : D → GL_{V}. Il existe par hypothèse une base (e_{1}, …, e_{n}) de V constituée de vecteurs propres de u. Utilisant cette base pour identifier GL_{V} et GL_{n}, l’image de u est contenue dans le sous-groupe des matrices diagonales de GL_{n}; en particulier, tout élément de l’image de D(k) a une matrice diagonale dans la base (e_{1}, …, e_{n}) et donc est diagonalisable. □

Corollaire 4.3.11 — Soit G un groupe algébrique sur un corps k et soit \overline{k} une clôture algébrique de k. Les conditions suivantes sont équivalentes pour tout élément g de G(k) :

(i) quelle que soit la représentation linéaire de dimension finie ρ : G → GLV, l’automorphisme ρ_{k}(g) est semi-simple ;

(ii) il existe une représentation linéaire fidèle de dimension finie ρ : G → GL_{V} telle que

l’automorphisme ρ_{k}(g) soit semi-simple ; (iii) il existe un \overline{k}-groupe algébrique diagonalisable D et un homomorphisme u : D → G⊗_{k} \overline{k}

tel que g appartienne à l’image de D(\overline{k}) dans G(\overline{k}). Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) est triviale.

Si ρ : G → GL_{V} est une représentation linéaire fidèle de dimension finie telle que ρ_{k}(g) soit semi-simple — c’est-à-dire diagonalisable sur \overline{k} — il existe d’après la proposition précédente un \overline{k}-groupe algébrique diagonalisable D et un homomorphisme u : D → GL_{V⊗_{k}\overline{k}} = GL_{V} ⊗_{k} \overline{k} tels que ρ\overline{k}(g) appartienne à l’image de D(\overline{k}). Considérons alors le diagramme commutatif

\xymatrix{ & D \ar[dr]^{u} \\ (G ⊗_{k} \overline{k}) ×_{GL_{V}⊗_{k}\overline{k}} D \ar@{-->}[ur]^{i} \ar@{-->}[dr]_{v} &  & GL_{V} ⊗_{k} \overline{k} \\  & G ⊗_{k} \overline{k} \ar@{-->}[ur]_{ρ⊗1}}

définissant le produit fibré D′ = (G ⊗_{k} \overline{k}) ×_{GL_{V}⊗_{k}\overline{k}} D. Comme ρ fait de G un sous-groupe de GL_{V}, l’homomorphisme i identifie D′ à un sous-groupe de D et le groupe D′ est donc diagonalisable en vertu du corollaire 4.3.7 ; en outre, il existe par construction un élément h de D′(\overline{k}) tel que ρ\overline{k}(v\overline{k}(h)) = ρ\overline{k}(g) dans GL(V ⊗_{k} \overline{k}), donc tel que v\overline{k}(h) = g puisque l’homomorphisme ρ\overline{k} est injectif. L’assertion (iii) est ainsi établie.

L’implication (iii) ⇒ (i) découle directement de la proposition précédente. □

Définition 4.3.12 — Soit G un groupe algébrique sur un corps k. Un élément g de G(k) est dit semi-simple s’il satisfait aux conditions équivalentes suivantes :

(i) quelle que soit la représentation linéaire de dimension finie ρ : G → GLV, l’automorphisme ρ_{k}(g) est semi-simple ;

(ii) il existe une représentation linéaire fidèle de dimension finie ρ : G → GL_{V} telle que

l’automorphisme ρ_{k}(g) soit semi-simple ; (iii) il existe un \overline{k}-groupe algébrique diagonalisable D et un homomorphisme u : D → G⊗_{k} \overline{k}

tel que g appartienne à l’image de D(\overline{k}) dans G(\overline{k}).

4.4. Décomposition de Jordan

Après le travail préliminaire que nous venons d’effectuer, le théorème 4.1.3 découle aisément du théorème de Chevalley.

Soit k un corps parfait et soit G un groupe algébrique sur k. La démonstration du théorème 4.1.3 se fait en trois étapes.

Première étape : réduction au cas d’un corps algébriquement clos.

Supposons le théorème 4.1.3 établi pour un corps algébriquement clos. Soit \overline{k} une clôture algébrique de k; comme k est pafait, l’extension \overline{k}/k est galoisienne.

Étant donné un élément g de G(k), la décomposition de Jordan g = g′_{s}g′_{u} dans G(\overline{k}) est valable sur une extension galoisienne finie k′ de k : en effet, les éléments g′_{s} et g′_{u} de G(\overline{k}) correspondent à des k-homomorphismes de la bigèbre A de G dans \overline{k} et es images de ces derniers sont contenues dans une même extension finie de k car A est de type fini.

Le groupe de Galois Γ = Gal(k′|k) opère naturellement par automorphismes du groupe G(k′) et

G(k) = G(k′)^{Γ} = {h ∈ G(k′) | γ(h) = h}.

Identifions en effet G(k′) et Hom_{Alg_{k}}(A, k′) et considérons l’action de Γ provenant de son action naturelle sur k′ :

γ(h) = γ ∘ h

pour tout h ∈ Hom_{k}(A, k′).

- Étant donnés deux éléments h, h′ dans Hom_{Alg_{k}}(A, k′), leur produit hh′ dans le groupe G(k′) correspond à l’homomorphisme composé

\xymatrix{A \ar[r]^{Δ} & A ⊗_{k} A \ar[r]^{h⊗h′} & k′ ⊗_{k} k′ \ar[r]^{mult} & k′}

et donc

γ(hh′) = γ ∘ mult ∘ (h ⊗ h′) ∘ Δ
= mult ∘ ((γ ∘ h) ⊗_{k} (γ ∘ h′)) ∘ Δ
= γ(h)γ(h′)

puisque Γ opère par automorphismes du corps k′.

- Si h est un élément de Hom_{Alg_{k}}(A, k′) tel que γ(h) = h pour tout γ ∈ Γ, h est à valeurs dans le sous-corps de k′ fixé par Γ, donc dans k.

Pour tout γ ∈ Γ,

g = γ(g) = γ(g′_{s})γ(g′_{u}) = γ(g′_{u})γ(g′_{s}).

Il découle par ailleurs de la proposition 4.2.2 et du corollaire 4.3.11 que les éléments γ(g′_{s}) et γ(g′_{u}) de G(\overline{k}) sont respectivement semi-simples et unipotents. Par unicité de la décomposition de Jordan dans G(\overline{k}), nous en déduisons γ(g′_{s}) = g′_{s} et γ(g′_{u}) = g′_{u} pour tout γ ∈ Γ. Posant g_{s} = g′_{s} et g_{u} = g′_{u}, nous obtenons par suite une décomposition g = g_{s}g_{u} = g_{u}g_{s} dans G(k) avec g_{s} (resp. g_{u}) semi-simple (resp. unipotent) dans G(\overline{k}). Quelle que soit la représentation linéaire de dimension finie ρ : G → GL_{V}, les automorphismes ρ_{k}(g_{s}) et ρ_{k}(g_{u}) sont respectivement semi-simples et unipotents sur \overline{k}; ils le sont donc également sur k. Nous avons ainsi établi l’existence d’une décomposition de Jordan dans G(k) et l’unicité vient de l’unicité de cette décomposition dans G(\overline{k}).

Il reste à démontrer le théorème 4.1.3 lorsque le corps k est algébriquement clos.

Deuxième étape : le cas G = GL_{V}.

Il n’y a pratiquement rien à faire. Étant donné g ∈ GL_{V}(k) = GL(V), on sait (cf. 4.1) qu’il existe un unique couple (g_{s}, g_{u}) d’automorphismes de V tels que g = g_{s}g_{u} = g_{u}g_{s} avec g_{s} semi-simple et g_{u} unipotent. Si ρ : GL_{V} → GL_{W} est une représentation linéaire de dimension finie, ceci s’applique également à l’automorphisme ρ_{k}(g) de W :

ρ_{k}(g) = ρ_{k}(g)_{s}ρ_{k}(g)_{u} = ρ_{k}(g)_{u}ρ_{k}(g)_{s}

avec ρ_{k}(g)_{s} semi-simple et ρ_{k}(g)_{u} unipotent uniquement déterminés. En vertu des propositions 4.2.1 et 4.3.10, les automorphismes ρ_{k}(g_{s}) et ρ_{k}(g_{u}) sont respectivement semi-simples et unipotents ; comme

ρ_{k}(g) = ρ_{k}(g_{s})ρ_{k}(g_{u}) = ρ_{k}(g)_{u}ρ_{k}(g_{s}),

nous en déduisons ρ_{k}(g_{s}) = ρ_{k}(g)_{s} et ρ_{k}(g_{u}) = ρ_{k}(g)_{u}.

Si l’on part réciproquement d’une décomposition g = g′_{s}g′_{u} = g′_{u}g′_{s} dans GL(V) avec g′_{s} et g′_{u} d’images respectives semi-simples et unipotentes dans toute représentation linéaire de GL_{V}, les automorphismes g′_{s} et g′_{u} sont respectivement semi-simples et unipotent en vertu des propositions 4.2.1, 4.2.2, 4.3.10 et du corollaire 4.3.11 et donc g′_{s} = g_{s}, g′_{u} = g_{u}. Ceci établit le théorème 4.1.3 lorsque G = GL_{V}, et on a en outre prouvé que la décomposition obtenue n’est autre que la décomposition de Jordan multiplicative élémentaire rappelée en introduction.

Troisième étape : cas général

Le corps k est toujours supposé algébriquement clos. Soit G un groupe algébrique sur k et soit ρ : G → GL_{V} une représentation linéaire fidèle de G (théorème de Chevalley, cf. 3.3) ; on utilise ρ pour identifier G à un sous-groupe de GL_{V}. En appliquant de nouveau le théorème de Chevalley, il existe une représentation linéaire fidèle de dimension finie μ : GL_{V} → GL_{W} et un sous-espace vectoriel W_{0} de W tels que G soit le sous-groupe de GL_{V} stabilisant W_{0}. Soit alors g ∈ G(k) et soit g = g_{s}g_{u} = g_{u}g_{s} la décomposition de Jordan de g dans GL(V). D’après la deuxième étape, μ_{k}(g_{s}) et μ_{k}(g)_{u} ne sont autres que les automorphismes de W respectivement semi-simples et unipotents figurant dans la décomposition de Jordan multiplicative élémentaire de μ_{k}(g) ; on en déduit que μ_{k}(g_{s}) et μ_{k}(g_{u}) s’expriment tous deux sous la forme de polynômes en μ_{k}(g) et μ_{k}(g)^{−1}. Ceci implique aussitôt que les automorphismes μ_{k}(g_{s}) et μ_{k}(g_{u}) stabilisent le sous-espace W_{0} et donc appartiennent à l’image de G(k) ; comme en outre l’homomorphisme μ_{k} est injectif, nous en concluons à l’appartenance de g_{s} et g_{u} au sous-groupe G(k) de GL(V).

Les éléments g_{s} et g_{u} de G(k) commutent et sont respectivement semi-simples et unipotents en vertu de la proposition 4.2.2 et du corollaire 4.3.11. Nous obtenons ainsi l’existence d’une décomposition de Jordan dans G(k) tandis que l’unicité découle immédiatement de l’unicité dans GL(V). Le théorème 4.1.3 est ainsi démontré.

5. Groupes algébriques et variétés algébriques

Le théorème de Chevalley permet de réaliser (non canoniquement) tout groupe algébrique G sur un corps k comme un sous-groupe d’un groupe linéaire GL_{n}; quelle que soit la k-algèbre R, le groupe G(R) s’identifie par conséquent à un sous-groupe de GL_{n}(R). Suivant l’approche fonctorielle que nous avons adoptée, la connaissance du sous-groupe G(R) de GL_{n}(R) pour toutes les k-algèbres R permet de reconstituer G. Il est toutefois naturel de se demander quelle quantité d’information sur G est présente dans le seul sous-groupe G(k) de GL_{n}(k), et cette question conduit à s’intéresser aux sous-groupes de GL_{n}(k) définis par des équations polynomiales en les coefficients matriciels. On prolonge ces considérations en associant à chaque groupe algébrique G un espace topologique intrinsèque |G|, dont on se borne essentiellement à étudier les composantes connexes. Pousser ces idées plus avant nécessiterait de faire réellement de la géométrie algébrique.

5.1. Groupes algébriques et groupes de matrices

(5.1.1) Soit A = k[(X_{ij}), T]/(Tdet(X_{ij}) − 1) la bigèbre du groupe algébrique GL_{n}. À chaque élément f de A correspond une fonction \underline{f} sur le groupe GL_{n}(k) à valeurs dans k, définie par

\underline{f}(s) = f((s_{ij}), det(s)^{−1}).

Comme

\underline{X_{ij}}(s) = s_{ij} et \underline{T}(s) = det(s)^{−1},

les fonctions obtenues de la sorte sont précisément les fonctions polynomiales en les coefficients de s et det(s)^{−1}.

Lemme 5.1.1 — (i) L’anneau A est intègre. (ii) Si le corps k est infini, l’application

A → Hom_{Ens}(GL_{n}(k), k), f ↦ \underline{f}

est injective. Démonstration. (i) Considérons l’homomorphisme

ι : k[(X_{ij}), T] → k(X_{ij})

défini en envoyant chaque indéterminée X_{ij} sur elle-même et T sur la fraction rationnelle det(X_{ij})^{−1}. Il est clair que ι s’annule identiquement sur l’idéal principal I de k[(X_{ij}), T] engendré par Tdet(X_{ij}). Soit F ∈ k[(X_{ij}), T] un polynôme, que l’on écrit sous la forme

F = ∑_{ℓ=0}^{n} a_{ℓ}T^{ℓ}

avec a_{ℓ} ∈ k[(X_{ij})] et a_{n} ≠ 0. Vu les identités

det(X_{ij})^{n}F = ∑_{ℓ=0}^{n} a_{ℓ}det(X_{ij})^{n−ℓ}(Tdet(X_{ij}))^{ℓ}

≡ ∑_{ℓ=0}^{n} a_{ℓ}det(X_{ij})^{n−ℓ} (mod I)

et

ι(F) = \frac{∑_{ℓ=0}^{n} a_{ℓ}det(X_{ij})^{n−ℓ}}{det(X_{ij})^{n}} ,

ι(F) = 0 si et seulement si F appartient à I. L’homomomorphisme ι induit ainsi un isomorphisme entre A et un sous-anneau du corps k(X_{ij}), ce qui prouve l’intégrité de A. (ii) Soit F ∈ k[(X_{ij}), T] un polynôme tel que F((s_{ij}), det(s)^{−1}) = 0 pour tout élément s de GL_{n}(k). Vu ce qui précède, il existe un entier naturel n ⩾ 0 et un polynôme F ∈ k[(X_{ij})] tels que

det(X_{ij})^{n}F ≡ G (mod I) ;

on a alors G(s) = G((s_{ij})) = 0 pour tout élément s ∈ GL_{n}. Quels que soient s, t ∈ GL_{n}(k) et λ ∈ k, la matrice s + λt appartient à GL_{n}(k) pour tout λ distinct des racines du polynôme non nul

det(s + λt) = λ^{n}det(t) + … + det(s),

donc pour une infinité de λ dans k puisque k est infini. Il en découle que le polynôme en G(s+ Xt) ∈ k[X] admet une infinité de racines dans k, donc est identiquement nul ; comme toute matrice x ∈ M_{n}(k) s’écrit sous la forme s + λt avec s, t ∈ GL_{n}(k) et λ ∈ k convenablement choisis, nous en concluons que le polynôme G s’annule identiquement sur k^{n^{2}}. Le corps k étant infini, ceci implique G = 0 (raisonner par récurrence sur le nombre des variables du polynôme G) et donc F ∈ I. □

Étant donné un sous-groupe G ↪ GL_{n}, la bigèbre de G est un quotient de A et il existe donc un idéal ℑ de A tel que

G(k) = \{s ∈ GL_{n}(k) | \underline{f}(s) = 0, ∀f ∈ ℑ\}.

Cette observation met en évidence une condition nécessaire pour qu’un sous-groupe Γ de GL_{n}(k) provienne d’un sous-groupe du groupe algébrique GL_{n} : Γ doit être un sous-ensemble de GL_{n}(k) défini par des équations polynomiales en les coefficients et l’inverse du déterminant des matrices s ∈ GL_{n}(k). Il s’avère que cette condition est suffisante.

Proposition 5.1.2 — Soit Γ un sous-groupe de GL_{n}(k) et soit ℑ l’idéal de A constitué des éléments f de A tels que la fonction \underline{f} s’annule identiquement sur Γ.

(i) L’anneau quotient A/ℑ est la bigèbre d’un sous-groupe algébrique G_{Γ} de GL_{n}.

(ii) On a

G_{Γ}(k) = \{s ∈ GL_{n}(k) | \underline{f}(s) = 0, ∀f ∈ ℑ\} ;

en particulier, Γ ⊂ G_{Γ}(k). (iii) Si Γ est défini par des équations polynomiales, alors G_{Γ}(k) = Γ.

Démonstration. (i) Nous allons vérifier qu’il existe une unique structure de bigèbre sur B = A/ℑ telle que la projection canonique p : A → B soit un homomorphisme de bigèbres.

Désignons par Δ la comultiplication de A. Étant donnés un élément f ∈ A et une écriture de Δ(f) sous la forme Δ(f) = ∑_{i} g_{i} ⊗ h_{i},

\underline{f}(st) = ∑_{i} \underline{g_{i}}(s)\underline{h_{i}}(t)

(cf. 3.2). L’existence d’une application k-linéaire \overline{Δ} : B → B⊗_{k}B s’insérant dans un diagramme commutatif

\xymatrix{A \ar[r]^{Δ} \ar[d]_{p} & A ⊗_{k} A \ar[d]^{p⊗p} \\ B \ar[r]_{\overline{Δ}} & B ⊗_{k} B}

équivaut à l’inclusion Δ(ℑ) ⊆ ℑ ⊗_{k} A + A ⊗_{k} ℑ.

Soit (a_{λ})_{Λ} une base du k-espace vectoriel A contenant une base du sous-espace vectoriel ℑ, disons (a_{λ})_{Λ_{0}} avec Λ_{0} ⊂ Λ. La famille (a_{λ} ⊗ a_{λ′})_{Λ^{2}} constitue une base de A ⊗_{k} A. Soit f ∈ ℑ et écrivons Δ(f) sous la forme

Δ(f) = ∑_{(λ_{1},λ_{2})∈Λ^{2}} c_{λ_{1},λ_{2}}a_{λ_{1}} ⊗ a_{λ_{2}}

avec c_{λ_{1},λ_{2}} ∈ k. Quel que soit s ∈ Γ, la fonction translatée

\underline{f}(s·) = ∑_{(λ_{1},λ_{2})∈Λ^{2}} c_{λ_{1},λ_{2}} \underline{a_{λ_{1}}}(s)a_{λ_{2}}

s’annule identiquement sur Γ ; on a donc

∑_{(λ_{1},λ_{2})∈Λ^{2}} c_{λ_{1},λ_{2}} \underline{a_{λ_{1}}}(s)a_{λ_{2}} ∈ ℑ,

puis c_{λ_{1},λ_{2}} \underline{a_{λ_{1}}}(s) = 0 pour tout couple (λ_{1}, λ_{2}) dans Λ × (Λ − Λ_{0}). Comme s est un élément arbitraire de Γ,

∑_{λ_{1}∈Λ,λ_{2}∉Λ_{0}} c_{λ_{1},λ_{2}}a_{λ_{1}} ∈ ℑ

et donc c_{λ_{1},λ_{2}} = 0 si λ_{1} ∉ Λ_{0}. Au final, nous obtenons c_{λ_{1},λ_{2}} = 0 pour tout couple (λ_{1}, λ_{2}) ∈ (Λ − Λ_{0})^{2} et Δ(f) appartient donc bien à ℑ ⊗_{k} A + A ⊗_{k} ℑ.

La coassociativité de \overline{Δ} se déduit aisément de la coassociativité de Δ. Le diagramme suivant

\xymatrix{A \ar[rrr]^{Δ} \ar[ddd]_{Δ} \ar[dr]_{p} &  &  & A ⊗_{k} A \ar[dl]^{p⊗p} \ar[ddd]^{id_{A}⊗Δ} \\  & B \ar[r]^{\overline{Δ}} \ar[d]_{\overline{Δ}} & B ⊗_{k} B \ar[d]^{id_{B}⊗\overline{Δ}} \\  & B ⊗_{k} B \ar[r]_{\overline{Δ}⊗id_{B}} & B ⊗_{k} B ⊗_{k} B \\ A ⊗_{k} A \ar[ur]^{p⊗p} \ar[rrr]_{Δ⊗id_{A}} &  &  & A ⊗_{k} A ⊗_{k} A \ar[ul]_{p⊗p⊗p}}

est en effet commutatif par construction de \overline{Δ} et donc

[(\overline{Δ} ⊗ id_{B}) ∘ \overline{Δ}] ∘ p = (p ⊗ p ⊗ p) ∘ [(Δ ⊗ id_{A}) ∘ Δ]
= (p ⊗ p ⊗ p) ∘ [(id_{A} ⊗ Δ) ∘ Δ]
= [(id_{B} ⊗ \overline{Δ}) ∘ \overline{Δ}] ∘ p.

L’identité (id_{B} ⊗ \overline{Δ}) ∘ \overline{Δ} = (\overline{Δ} ∘ id_{B}) ∘ \overline{Δ} s’en déduit puisque p est une surjection.

En procédant de façon analogue, on prouve que la counité e^{∗} et la coinversion ι de A induise respectivement des applications k-linéaires \overline{e}^{∗} : B → k et \overline{ι} : B → B vérifiant \overline{e}^{∗} ∘ p = e^{∗} et p ∘ ι = \overline{ι} ∘ p, et telles que (B, \overline{Δ}, \overline{e}^{∗}, \overline{ι}) soit une bigèbre. On désigne par G_{Γ} le sous-groupe de GL_{n} correspondant à ce quotient de A.

(ii) Par construction, G_{Γ}(k) est le sous-ensemble de GL_{n}(k) défini par les équations \underline{f}(s) = 0, f ∈ ℑ. L’inclusion

Γ ⊂ G_{Γ}(k)

est évidente puisque ℑ est par définition l’idéal des f ∈ A s’annulant identiquement sur Γ.

(iii) Supposons qu’il existe un idéal 𝔍 de A tel que

Γ = \{s ∈ GL_{n}(k) | \underline{(}f)(s) = 0, ∀f ∈ 𝔍\}.

L’inclusion 𝔍 ⊂ ℑ est évidente et implique G_{Γ}(k) ⊂ Γ ; comme on a toujours Γ ⊂ G_{Γ}(k), nous obtenons bien

Γ = G_{Γ}(k).
□

L’assertion (ii) de la proposition précédente a une conséquence qui mérite d’être explicitée.

Corollaire 5.1.3 — Soit Γ un sous-groupe de GL_{n}(k). Désignant par ℑ l’idéal des f ∈ A qui s’annulent identiquement sur Γ, le sous-ensemble

\overline{Γ} = \{s ∈ GL_{n}(k) | \underline{f}(s) = 0, ∀f ∈ ℑ\}

de GL_{n}(k) est un sous-groupe contenant Γ.

On verra un peu plus loin que, lorsque ℑ parcourt l’ensembles des idéaux de A, les parties de GL_{n}(k) de la forme

\{s ∈ GL_{n}(k) | \underline{f}(s) = 0, ∀f ∈ ℑ\}

satisfont aux axiomes caractérisant les parties fermées d’une topologie sur GL_{n}(k), la topologie de Zariski. De ce point de vue, le corollaire précédent affirme que l’adhérence d’un sous-groupe de GL_{n}(k) est encore un sous-groupe.

(5.1.2) Il reste à comparer les deux constructions dont nous disposons :

- partant d’un sous-groupe G du groupe algébrique GL_{n}, on considère le sous-groupe G(k) de GL_{n}(k) ;

- partant d’un sous-groupe Γ de GL_{n}(k), on considère le sous-groupe G_{Γ} de GL_{n}.

On sait déjà que, pour tout sous-groupe Γ de GL_{n}(k), G_{Γ}(k) est l’adhérence de Γ dans GL_{n}(k) équipé de la topologie de Zariski.

Proposition 5.1.4 — Soit G un sous-groupe de GL_{n}.

(i) Le groupe algébrique G_{G(k)} est un sous-groupe de G.

(ii) Supposons que le corps k soit algébriquement clos. Pour que G_{G(k)} coïncide avec G, il faut et il suffit que la bigèbre de G soit un anneau réduit (c’est-à-dire sans élément nilpotent non nul).

Démonstration. (i) Soit 𝔍 l’idéal de A définissant le sous-groupe G. Comme

G(k) = \{s ∈ GL_{n}(k) | \underline{f}(s) = 0, ∀f ∈ 𝔍\},

𝔍 est contenu dans l’idéal ℑ des f ∈ A s’annulant identiquement sur G(k) ; la bigèbre A/ℑ du groupe algébrique G_{G(k)} est donc un quotient de la bigèbre A/𝔍 de G, ce qui signifie précisément que G_{G(k)} est un sous-groupe de G.

(ii) Sans hypothèse sur k, GL_{n}(k) s’identifie naturellement à l’ensemble Hom_{Alg_{k}}(A, k) des homomorphismes de k-algèbres de A dans k. Un tel homomorphisme est complètement déterminé par son noyau, lequel est un idéal maximal de A ; on obtient de la sorte une identification entre GL_{n}(k) et l’ensemble des idéaux maximaux 𝔪 de A tels que A/𝔪 = k. Comme en outre l’évaluation \underline{f}(s) d’un élément f de A au point s de GL_{n}(k) n’est autre que l’évaluation s(f) de l’homomorphisme s : A → k en f, la condition \underline{f}(s) = 0 signifie précisément que f appartient à l’idéal maximal ker(s) de A correspondant à s.

Lorsque le corps k est algébriquement clos, il découle du Nullstellensatz (Appendice, 3) que tout idéal maximal 𝔪 de A est tel que A/𝔪 = k. Désignant toujours par 𝔍 l’idéal de A définissant G, l’ensemble des éléments f de A qui s’annulent identiquement sur G(k) est par conséquent l’intersection de tous les idéaux maximaux de A contenant 𝔍, soit encore l’idéal

\sqrt{𝔍} = \{f ∈ A ; ∃n ⩾ 0, f^{n} ∈ 𝔍\}

par une nouvelle application du Nullstellensatz. Le sous-groupe G_{G(k)} de G correspondant par construction au quotient A/\sqrt{𝔍} de A/𝔍, on obtient G = G_{G(k)} si et seulement si \sqrt{𝔍} = 𝔍, donc si et seulement si l’anneau A/𝔍 est réduit. □

Exemples 5.1.5 — Il est facile d’illustrer la nécessité des différentes hypothèses introduites en vue de comparer un sous-groupe de GL_{n} au sous-groupe G(k) de GL_{n}(k).

a) Considérons le groupe algébrique μ_{n} sur ℚ, que l’on voit comme un sous-groupe de GL_{n} en identifiant μ_{n}(R) = {t ∈ R | t^{n} = 1} au groupe G des homothéties diag(t, …, t) de déterminant 1. Le sous-groupe Γ = G(ℚ) de GL_{n}(ℚ) est réduit à l’identité et G_{Γ} est le groupe trivial 1. Le groupe μ_{n} est ainsi totalement annihilé si n ⩾ 2. Par contre, si l’on remplace ℚ par sa clôture algébrique \overline{ℚ} dans ℂ, alors Γ = G(\overline{ℚ}) est le sous-groupe de GL_{n}(\overline{ℚ}) défini par les équations

X_{ij} = 0 si i ≠ j, X_{11}^{n} = 1, X_{ii} − X_{11} = 0 (1 ⩽ i ⩽ n) et det(X_{ij}) = 1

et donc G_{Γ} ≃ μ_{n}.

b) Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p > 0. On considère le k-groupe algébrique α_{p}, défini par α_{p}(R) = {t ∈ R | t^{p} = 0} pour toute k-algèbre R. On voit α_{p} comme un sous-groupe de GL_{2} en identifiant α_{p}(R) et le sous-groupe de GL_{2}(R) constitué

des matrices ( \begin{matrix}1 & t \\ 0 & 1 \end{matrix} ) avec t^{p} = 0. Le sous-groupe Γ = α_{p}(k) de GL_{2}(k) est réduit à la

matrice identité et G_{Γ} est de nouveau le groupe trivial. La bigèbre de α_{p} est l’anneau non réduit k[T]/(T^{p}).

En vertu de la proposition précédente, un sous-groupe G du groupe algébrique GL_{n} est entièrement déterminé par le sous-groupe G(k) de GL_{n}(k) lorsque le corps k est algébriquement clos et la bigèbre de G est un anneau réduit.

Définition 5.1.6 — Soit \overline{k} une clôture algébrique du corps k. Un groupe algébrique G sur k de bigèbre A est dit lisse si l’anneau A ⊗_{k} \overline{k} est réduit.

Signalons sans démonstration le théorème important suivant, dû à P. Cartier.

Théorème 5.1.7 — Tout groupe algébrique sur un corps de caractéristique nulle est lisse. Démonstration. Voir [Milne], p. 22 ou [Waterhouse], p. 86. □

(5.1.3) Considérons deux sous-groupes Γ et Γ′ de GL_{n}(k) et GL_{m}(k) respectivement. Étant donné un homomorphisme de groupes « abstraits » φ : Γ → Γ′, il est naturel de se demander s’il existe un homomorphisme de groupes algébriques Φ : G_{Γ} → G_{Γ′} tel que φ = Φ_{k}.

Notons A (resp. A′) la bigèbre de GL_{n} (resp. de GL_{m}) et soit ℑ (resp. ℑ′) l’idéal de A (resp. A′) définissant G_{Γ} (resp. G_{Γ′}). Un homomorphisme de groupes algébriques Φ : G_{Γ} → G_{Γ′} correspond à un homomorphisme de bigèbres Φ^{∗} : A′/ℑ′ → A/ℑ et, pour tout élément f de A′,

\underline{Φ^{∗}(f)} = \underline{f} ∘ Φ_{k}

(identité entre fonctions sur G_{Γ}(k)). On obtient ainsi une condition nécessaire à l’existence de Φ : l’application

Hom_{Ens}(Γ′, k) → Hom_{Ens}(Γ, k)

doit envoyer l’image de A′/ℑ′ dans l’image de A/ℑ. De manière imagée : composée avec φ, toute fonction polynomiale sur Γ′ est une fonction polynomiale sur Γ (ici, « polynomiale » veut dire « polynomiale en les coefficients matriciels et l’inverse du déterminant »).

Il est aisé de voir que cette condition est également suffisante. En effet, si φ : Γ → Γ′ est un homomorphisme de groupes tel que, pour tout f ∈ A′, la fonction \underline{f} ∘ φ sur Γ provienne d’un élément de A, ce dernier est uniquement déterminé modulo l’idéal ℑ des élément de A s’annulant identiquement sur Γ et il existe donc un unique homomorphisme de k-algèbres Ψ : A′ → A/ℑ tel que

\underline{f} ∘ φ = \underline{Ψ(f)}

pour tout f ∈ A′. Il s’agit automatiquement d’un homomorphisme de bigèbres. Notant en effet Δ (resp. Δ′) la comultiplication de A (resp. de A′),

\underline{(Δ ∘ Ψ)(f)}(s, t) = \underline{Ψ(f)}(st)
= \underline{f}(φ(st))
= \underline{f}(φ(s)φ(t))
= \underline{((Ψ ⊗ Ψ) ∘ Δ′)(f)}(s, t)

pour tous s, t ∈ Γ et donc

Δ ∘ Ψ = (Ψ ⊗ Ψ) ∘ Δ′

en tant qu’homomorphismes de A′⊗_{k} A′ dans A/ℑ⊗_{k} A/ℑ en vertu du lemme ci-dessous. Cette identité établit que l’homomorphisme Ψ est compatible aux comultiplications ; un raisonnement analogue permet de vérifier que Ψ est également compatible aux conuités et aux coinversions, de sorte qu’il s’agit finalement d’un homomorphisme de bigèbres. Finalement, l’homomorphisme de bigèbres A′/ℑ′ → A/ℑ induit par Ψ définit un homomorphisme de groupes algébriques Φ : G_{Γ} → G_{Γ′} tel que Φ_{k} = φ.

Lemme 5.1.8 — Avec les notations en vigueur, le noyau de l’application

A ⊗_{k} A → Hom_{Ens}(Γ × Γ, k), ∑ a_{i} ⊗ b_{i} ↦ ∑ \underline{a_{i}}\underline{b_{i}}

est l’idéal ℑ ⊗_{k} A + A ⊗_{k} ℑ. Démonstration. Soit (a_{λ})_{λ∈Λ} une base du k-espace vectoriel A contenant une base (a_{λ})_{λ∈Λ_{0}} du sous-espace vectoriel ℑ. Un élément f de A ⊗_{k} A s’écrit de manière unique sous la forme f = ∑_{(λ,λ′)∈Λ^{2}} c_{λ,λ′}a_{λ} ⊗ a_{λ′} avec c_{λ,λ′} ∈ k. Si f s’annule identiquement sur Γ × Γ, l’élément

∑_{λ′∈Λ} (∑_{λ∈Λ} c_{λ,λ′} \underline{a_{λ}}(s)) a_{λ′} = ∑_{(λ,λ′)∈Λ} c_{λ,λ′} \underline{a_{λ}}(s)a_{λ′}

de A s’annule identiquement sur Γ pour tout s ∈ Γ. Vu la définition de ℑ, on en déduit que ∑_{λ} c_{λ,λ′}a_{λ} s’annule identiquement sur Γ pour tout λ′ ∈ Λ − Λ_{0}, puis c_{λ,λ′} = 0 pour tout couple (λ, λ′) appartenant à (Λ − Λ_{0})^{2}. □

Nous pouvons résumer et préciser la discussion qui précède.

Proposition 5.1.9 — Étant donnés des sous-groupes fermés Γ et Γ′ de GL_{n}(k), la correspondance Φ ↦ Φ_{k} établit une bijection entre l’ensemble des homomorphismes de groupes algébriques G_{Γ} → G′_{Γ} et l’ensemble des homomorphismes de groupes Γ → Γ′ transformant toute fonction polynomiale sur Γ en une fonction polynomiale sur Γ′.

En particulier : si le corps k est algébriquement clos, tout homomorphisme d’un groupe algébrique lisse G dans un groupe algébrique H est complètement déterminé par l’homomorphisme qu’il induit de G(k) dans H(k). Démonstration. Pour ce qui est de la première assertion, le seul point restant à vérifier est le fait qu’un homomorphisme Φ : G_{Γ} → G_{Γ} est complètement déterminé par l’homomorphisme Φ_{k}. C’est immédiat : si Φ et Φ′ sont deux homomorphismes tels que Φ_{k} = Φ′_{k}, alors \underline{Φ(f)} = \underline{Φ′}(f) pour tout élément f de la bigèbre de G_{Γ′}, puis Φ(f) = Φ′(f) par construction de G_{Γ} et donc finalement Φ = Φ′.

La seconde assertion se déduit aisément de la première : il suffit d’invoquer le théorème de Chevalley pour plonger H dans GL_{n} puis d’utiliser la proposition 5.1.4 pour écrire les groupes lisses G et GL_{n} sous la forme G_{Γ} et G_{Γ′} avec Γ = G(k) et Γ′ = GL_{n}(k). □

Remarque — L’exponentielle définit un homomorphisme de groupes de ℂ dans ℂ^{×} qui ne provient pas d’un homomorphisme de groupes algébriques 𝔾_{a} → 𝔾_{m} car la fonction polynomiale \underline{X} sur ℂ^{×} est transformée en la fonction t ↦ e^{t} sur ℂ, laquelle n’est pas polynomiale. On sait d’ailleurs qu’il n’existe pas d’homomorphisme non trivial du groupe 𝔾_{a} dans le groupe 𝔾_{m} (Proposition 2.2.3).

(5.1.4) On peut illustrer les constructions précédentes en associant un k-groupe algébrique \underline{Γ} à tout groupe fini Γ de telle sorte que \underline{Γ}(k) = Γ.

Quel que soit le corps k, on sait en effet plonger tout groupe fini Γ dans le groupe GL_{n}(k) avec n = |Γ| : il suffit d’identifier Γ à un sous-groupe du groupe symétrique 𝔖_{n}, puis de plonger 𝔖_{n} dans GL_{n}(k) de manière usuelle : à une permutation σ correspond la matrice m(σ) définie par m(σ)e_{i} = e_{σ(i)} pour tout vecteur e_{i} de la base canonique de k^{n}.

Par ailleurs, tout sous-ensemble fini de GL_{n}(k) est défini par des équations polynomiales : il suffit de le vérifier pour un ensemble réduit à un point — car les parties de GL_{n}(k) définies par des équations polynomiales sont les fermés d’une topologie sur GL_{n}(k) (cf. 5.2.1) — auquel cas le résultat est trivial puisque {s} est le lieu des zéros des n^{2} polynômes X_{ij} − s_{ij}. Vu la proposition 5.1.2, on déduit de cette discussion que l’on peut attacher à tout groupe fini Γ (plongé dans GL_{n}(k)) un groupe algébrique G_{Γ} sur k tel que G_{Γ}(k) = Γ.

Contrairement aux apparences, la construction précédente est intrinsèque : il suffit d’indexer les coefficients des matrices par les éléments de Γ, de sorte que la bigèbre du groupe G_{Γ} soit un quotient de l’anneau k[(X_{γγ′})_{(γ,γ′)∈Γ^{2}}, T]/(det(X_{γγ′})T−1). Ceci dit, il s’avère que l’on peut donner une description plus agréable du groupe algébrique G_{Γ} (cf. Exercice 2, page 19). La k-algèbre des fonctions sur Γ à valeurs dans k est munie d’une structure de k-bigèbre comme suit : identifiant k^{Γ} ⊗_{k} k^{Γ} et k^{Γ×Γ} via l’isomorphisme naturel

k^{Γ} ⊗_{k} k^{Γ} → k^{Γ×Γ}, ∑ a_{i} ⊗ b_{i} ↦ ∑ a_{i}b_{i},

on définit Δ, e^{∗} et ι par les identités suivantes :

Δ(f)(γ, γ′) = f(γγ′), e^{∗}(f)(γ) = δ_{γ,e} et ι^{∗}(f)(γ) = f(γ^{−1}).

Proposition 5.1.10 — L’application canonique

Γ → \underline{Γ}(k) = Hom_{Alg_{k}}(k^{Γ}, k), γ ↦ (f ↦ f(γ))

est un isomorphisme de groupes. Démonstration. L’injectivité est évidente.

Les fonctions caractéristiques (1_{γ})_{γ∈Γ} constituent une base du k-espace vectoriel k^{Γ} et vérifient

1_{γ}1_{γ′} = δ_{γ,γ′}1_{γ}, ∑_{γ} 1_{γ} = 1.

Par suite, pour tout homomorphisme de k-algèbres u : k^{Γ} → k,

u(1_{γ})u(1_{γ′}) = δ_{γ,γ′}u(1_{γ}) et ∑_{γ} u(1_{γ}) = 1

et il existe donc un unique γ ∈ Γ tel que u(1_{γ}) ≠ 0 ; on a alors u(1_{γ}) = 1 et donc finalement u(f) = f(γ) pour toute fonction f ∈ k^{Γ}.

Enfin, cette application est bien un homomorphisme de groupes puisque

f(γγ′) = Δ(f)(γ, γ′)

pour tous γ, γ′ ∈ k^{Γ}, f ∈ k^{Γ}. □

5.2. La variété d’un groupe algébrique

On vient de voir qu’il est intéressant de considérer les sous-ensembles de GL_{n}(k) définis par des équations polynomiales, c’est-à-dire de la forme

\{s ∈ GL_{n}(k) | \underline{f}(s) = 0, ∀f ∈ ℑ\}

où ℑ est un idéal de la bigèbre A du groupe algébrique GL_{n}.

L’ensemble GL_{n}(k) s’identifie naturellement à l’ensemble Hom_{Alg_{k}}(A, k) des homomorphismes de k-algèbres de A dans k. Étant donné s ∈ Hom_{Alg_{k}}(A, k), l’application A/ker(s) ↪ k induite par s est un isomorphisme puisque s(λ) = λ pour tout λ ∈ k par k-linéarité de s. Il découle de cette observation que

(i) le noyau de s est un idéal maximal de A ;

(ii) l’homomorphisme s est entièrement déterminé par son noyau ker(s), car s est le composé de la projection canonique A → A/ker(s) par l’inverse de l’isomorphisme canonique

\xymatrix{k \ar[r]^{∼} & A/ker(s)} .

Notons que les conditions \underline{f}(s) = 0 et f ∈ ker(s) sont tautologiquement équivalentes pour tous f ∈ A, s ∈ GL_{n}(k).

Notant Max(A) l’ensemble des idéaux maximaux de A, nous obtenons ainsi une application injective

GL_{n}(k) = Hom_{Alg_{k}}(A, k) → Max(A), s ↦ ker(s) = \{f ∈ A | \underline{f}(s) = 0\}.

Lorsque le corps k est algébriquement clos, cette application est surjective en vertu du Nullstellensatz ; en général, il convient de remplacer GL_{n}(k) par Max(A).

(5.2.1) Soit k un corps et soit A une k-algèbre de type fini. On désigne par Max(A) l’ensemble des idéaux maximaux de A. Étant donné un idéal ℑ de A, on désigne par V(ℑ) l’ensemble des idéaux maximaux 𝔪 de A contenant ℑ et on y pense comme le sous-ensemble de Max(A) défini par les équations f = 0, f ∈ ℑ; ceci fait parfaitement sens si l’on définit f(𝔪) comme l’image de f dans le corps quotient A/𝔪.

Proposition 5.2.1 — Il existe une unique topologie sur Max(A) pour laquelle les parties fermées sont les sous-ensembles V(ℑ) de Max(A) associés aux idéaux ℑ de A. Démonstration. On a V(1) = ∅ et V(0) = Max(A). Si ℑ et 𝔍 sont deux idéaux de A, les conditions (ℑ𝔍 ⊂ 𝔪) et (ℑ ⊂ 𝔪 ou 𝔍 ⊂ 𝔪) sont équivalentes (si ℑ ⊊ 𝔪 et 𝔍 ⊊ 𝔪, il existe f ∈ ℑ et g ∈ 𝔍 n’appartenant pas à 𝔪 et donc fg ∉ 𝔪) ; par suite, V(ℑ) ∪ V(𝔍) = V(ℑ𝔍). Enfin, si (ℑ_{λ})_{λ∈Λ} est une famille d’idéaux de A,

⋂_{λ∈Λ} V(ℑ_{λ}) = V (∑_{λ∈Λ} ℑ_{λ}) .

Nous venons de vérifier que les parties de Max(A) de la forme V(ℑ) satisfont aux conditions caractérisant les fermés d’un espace topologique. □

La topologie que l’on vient de définir est appelée topologie de Zariski.

Proposition 5.2.2 — La correspondance ℑ ↦ V(ℑ) induit une bijection décroissante entre l’ensemble des idéaux de A égaux à leur racine et l’ensemble des parties fermées de Max(A).

Les idéaux premiers correspondent aux fermés non vides Y satisfaisant à la condition suivante : pour toute décomposition Y = Y_{1} ∪ Y_{2} de Y en la réunion de deux fermés non vides, Y = Y_{1} ou Y = Y_{2}.

Démonstration. La première assertion découle directement du fait que, pour tout idéal ℑ de A,

⋂_{𝔪∈V(ℑ)} 𝔪 = \sqrt{ℑ}

en vertu du Nullstellensatz (Appendice, 3).

Soit ℑ un idéal égal à sa racine et soit Y = V(ℑ). Pour que ℑ soit premier, il faut et il suffit que ℑ soit un idéal propre de A satisfaisant à la condition suivante : a ∈ ℑ ou b ∈ ℑ pour tous a, b ∈ A tels que ab ∈ ℑ. La non vacuité de V(ℑ) équivaut à la condition ℑ ⊊ A en vertu du théorème de Krull, tandis que la condition V(ℑ) = V(ℑ_{1}) ∪ V(ℑ_{2}) = V(ℑ_{1}ℑ_{2}) se traduit par ℑ = \sqrt{ℑ_{1}ℑ_{2}}. La première assertion permet de supposer ℑ_{1} et ℑ_{2} égaux à leur racine. Si V(ℑ) ≠ V(ℑ_{1}), V(ℑ_{2}), alors ℑ ⊊ ℑ_{1}, ℑ_{2} et il existe donc a ∈ ℑ_{1} − ℑ, b ∈ ℑ_{2} − ℑ; comme ab appartient à ℑ_{1}ℑ_{2} ⊂ \sqrt{ℑ_{1}ℑ_{2}} = ℑ, l’idéal ℑ n’est pas premier.

Si l’on suppose réciproquement que ℑ n’est pas premier et que l’on considère a, b ∈ A − ℑ tels que ab ∈ ℑ, alors V(ℑ) = V(ℑ + Aa) ∪ V(ℑ + Ab) et V(ℑ + Aa), V(ℑ + Ab) ≠ V(ℑ). □

Les fermés de Max(A) associés aux idéaux premiers de A sont dits irréductibles. Il s’agit de manière équivalente des parties fermées non vides Y de Max(A) qui ne peuvent pas s’écrire comme réunion de deux fermés propres et non vides. Vu la proposition précédente, les fermés irréductibles maximaux (au sens de l’inclusion) sont précisément les parties de la forme V(𝔭), où 𝔭 est un idéal premier minimal de A ; il s’agit par définition des composantes irréductibles de Max(A).

Proposition 5.2.3 — L’ensemble (Y_{i})_{i∈I} des composantes irréductibles de Max(A) est fini et

Max(A) = ⋃_{i∈I} Y_{i}.

Démonstration. Supposons que l’espace topologique X = Max(A) ait une infinité de composantes irréductibles. Comme X n’est pas irréductible, il existe deux parties fermées propres Y_{1} et Y′_{1} telles que X = Y_{1} ∪Y′_{1} ; vu notre hypothèse, l’un au moins de ces fermés possède une infinité de composantes irréductibles. En itérant ce processus, on obtient une suite strictement décroissante (Y_{n})_{n} de parties fermées de X. En vertu de la proposition précédente, chaque fermé Y_{n} s’écrit sous la forme Y_{n} = V(ℑ_{n}) pour un unique idéal ℑ_{n} de A égal à sa racine. La suite (ℑ_{n}) ainsi obtenue est strictement croissante ; comme A est une k-algèbre de type fini, c’est un anneau noethérien et nous aboutissons à une contradiction.

Il est d’autre part clair que Max(A) est la réunion de ses composantes irréductibles car tout idéal maximal contient un idéal premier minimal. □

Exemples 5.2.4 — 1. Si A = k[T], les points de Max(A) sont en bijection avec les polynômes irréductibles unitaires dans k[T] : à un tel polynôme f ∈ k[T] correspond l’idéal maximal (f). On identifie naturellement k à un sous-ensemble de Max(A) via l’application

k → Max(A), t ↦ (T − t).

La topologie induite sur k par celle de Max(A) se décrit aisément : les fermés sont les parties de la forme

{t ∈ k | f(t) = 0, ∀f ∈ ℑ},

où ℑ est un idéal de k[T]. Comme l’anneau k[T] est principal, il s’agit de manière équivalente des ensembles de racines d’un polynôme f ∈ k[T] ; outre les fermés triviaux k (correspondant à f = 0) et ∅ (pour f = 1), on obtient précisément tous les sous-ensembles finis de k. On constate sur cet exemple que la topologie de Zariski est par nature assez grossière. Notons en outre que les fermés irréductibles de Max(A) sont les points et l’espace tout entier car les idéaux premiers de A sont les idéaux maximaux et l’idéal nul.

2. Considérons maintenant A = k[T_{1}, T_{2}] et supposons pour simplifier que le corps k soit algébriquement clos. Comme Max(A) s’identifie à k^{2} en vertu du Nullstellensatz, cet ensemble Max(A) est le produit cartésien des ensembles Max(k[T_{1}]) et Max(k[T_{2}]). Toutefois, la topologie de Zariski sur k^{2} n’est pas le produit des topologies de Zariski sur k : en effet, les parties fermés de cette dernière sont, outre k^{2} et ∅, les réunions finies de parties de la forme {t_{1}} × k, k × {t_{2}} ou {(t_{1}, t_{2})} avec t_{1}, t_{2} ∈ k tandis que, pour tout polynôme f(T_{1}, T_{2}) ∈ k[T_{1}, T_{2}], l’ensemble {(t_{1}, t_{2}) ∈ k^{2} | f(t_{1}, t_{2}) = 0} est un fermé Zariski de k^{2}.

Il est aisé d’exhiber une base d’ouverts pour la topologie de Zariski sur Max(A).

Proposition 5.2.5 — Les parties de Max(A) de la forme

D(f) = {𝔪 ∈ Max(A) | f ∉ 𝔪} = Max(A) − V(f)

sont des ouverts, dits principaux, et constituent une base de la topologie de Max(A). Démonstration. Il est clair que les parties de Max(A) de la forme D(f) sont ouvertes. Tout ouvert U de Max(A) est de la forme Max(A) − V(ℑ) pour un certain idéal ℑ. On a alors

U = {𝔪 ∈ Max(A) | ℑ ∉ 𝔪}
= {𝔪 ∈ Max(A) | ∃f ∈ ℑ, f ∉ 𝔪}
= ⋃_{f∈ℑ}D(f)

et U est donc bien une réunion d’ouverts principaux. □

Une conséquence immédiate de la proposition précédente est la quasi compacité de l’espace topologique Max(A).

Proposition 5.2.6 — L’espace topologique Max(A) est quasi compact : tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement fini. Démonstration. Vu la proposition précédente, il suffit de démontrer que tout recouvrement (D(f_{i}))_{i∈I} de Max(A) par des ouverts principaux possède un sous-recouvrement fini. L’hypothèse Max(A) = ⋃_{i∈I} D(f_{i}) signifie précisément qu’il existe, pour chaque idéal maximal 𝔪 de A, un indice i ∈ I tel que f_{i} ∉ 𝔪; il revient au même de dire que l’idéal ∑_{i∈I} Af_{i} engendré par les f_{i} n’est contenu dans aucun idéal maximal de A. Comme tout idéal propre de A est contenu dans un idéal maximal (théorème de Krull), ceci se traduit encore par la condition ∑_{i∈I} Af_{i} = A et on en déduit qu’il existe un sous-ensemble fini J de I tel que

1 = ∑_{i∈J} a_{i}f_{i}

avec a_{i} ∈ A. En vertu de ce qui précède, la condition ∑_{i∈J} Af_{i} = A que l’on vient d’obtenir est équivalente au fait que Max(A) soit recouvert par les ouverts principaux D(f_{i}), i ∈ J, et nous avons ainsi extrait un sous-recouvrement fini de notre recouvrement initial. □

Remarque 5.2.7 — Comme le montre l’exemple 5.2.4, les ouverts de Max(A) sont en général trop gros pour que deux points distincts soient contenus dans deux ouverts disjoints et l’espace topologique Max(A) n’est donc généralement pas séparé. On dispose d’une condition de séparation plus faible : étant donnés deux points distincts 𝔪, 𝔪′ ∈ Max(A), il existe un ouvert contenant l’un et non l’autre (il suffit de considérer un élément f de 𝔪′ n’appartenant pas à 𝔪 : 𝔪 ∈ D(f) et 𝔪′ ∉ D(f)).

On peut démontrer que l’espace topologique Max(A) est séparé si et seulement si tous les idéaux premiers de A sont maximaux.

(5.2.2) Considérons deux k-algèbres de type fini A, B ainsi qu’un k-homomorphisme φ : A → B. Pour tout idéal maximal 𝔪 de B, φ^{−1}(𝔪) est un idéal maximal de A (cf. Appendice, 3, assertion (iii) du Nullstellensatz) et l’on dispose donc ainsi d’une application naturelle

aφ : Max(B) → Max(A), 𝔪 ↦ φ^{−1}(𝔪).

Il est facile de voir qu’il s’agit d’une application continue : pour tout idéal ℑ de A,

(^{a}φ)^{−1}(V(ℑ) = {𝔪 ∈ Max(B) | ℑ ⊂^{a} φ(𝔪)}
= {𝔪 ∈ Max(B) | ℑ ⊂ φ^{−1}(𝔪)}
= {𝔪 ∈ Max(B) | φ(ℑ) ⊂ 𝔪}
= V(φ(ℑ)).

(5.2.3) Si G est un groupe algébrique sur k de bigèbre A, on pose |G| = Max(A) ; cet espace topologique est bien défini à un homéomorphisme près (deux bigèbres de G sont canoniquement isomorphes). Tout homomorphisme f : G → H entre deux groupes algébriques sur k induit naturellement une application continue |f| : |G| → |H|.

Le groupe G(k) s’identifie natutellement au sous-ensemble de |G| = Max(A) constitué des idéaux maximaux 𝔪 de A tels que A/𝔪 = k.

Le groupe G(k) opère naturellement par homéomorphismes sur l’espace topologique |G| : pour tout s ∈ G(k), l’application

λ_{s} : A → A, f ↦ [mult ∘ (s ⊗ id_{A}) ∘ Δ](f)

est un automorphisme de k-algèbres induisant un homéomorphisme de |G|. L’application induite sur le sous-ensemble G(k) de |G| n’est autre que la translation à gauche par s en vertu de l’identité

\underline{f}(st) = \underline{λ_{s}(f)}(t)

pour tous t ∈ G(k), f ∈ A.

5.3. Connexité

Intéressons-nous maintenant à la connexité de l’espace topologique Max(A).

(5.3.1) Dans ce paragraphe, A désigne toujours une algèbre de type fini sur un corps k.

Proposition 5.3.1 — L’espace topologique Max(A) n’a qu’un nombre fini de composantes connexes. Démonstration. La démonstration de la proposition 5.2.3 se transcrit mot pour mot en remplaçant « composante irréductible » par « composante connexe ». □

Corollaire 5.3.2 — Les composantes connexes de l’espace topologique Max(A) sont ses parties ouvertes et fermées minimales.

Rappelons qu’un élément e de A est dit idempotent si e^{2} = e. Il est clair que 1 et 0 sont idempotents, et on dit que A n’a pas d’idempotent non trivial si ce sont les seuls.

Proposition 5.3.3 — La correspondance e ↦ D(e) réalise une bijection entre l’ensemble des éléments idempotents de A et l’ensemble des parties ouvertes et fermées de Max(A). Démonstration. Soit e un élément idempotent de A. Vu l’identité e(e − 1) = 0, chaque idéal maximal 𝔪 de A contient e ou 1 − e; en outre, comme 1 = e + (1 − e), 𝔪 ne peut contenir simultanément e et e − 1. On a donc

D(e) = V(e − 1) et Max(A) = D(e) ⊔ V(e) = D(e) ⊔ D(1 − e) = V(1 − e) ⊔ V(e),

ce qui montre que D(e) est une partie ouverte et fermée de Max(A).

Supposons que e et e′ soient deux éléments idempotents de A tels que D(e) = D(e′). On a également V(e) = V(e′), ce qui signifie que les idéaux Ae et Ae′ ont la même racine ; il existe donc un entier naturel n ⩾ 0 tel que e^{n} ∈ Ae′ et e′^{n} ∈ Ae, soit encore e^{n} = ae′ et e′^{n} = be avec a, b ∈ A. Comme e^{2} = e et e′^{2} = e′, il vient e = ae′ et e′ = be, puis

e = ae′^{2} = (ae′)(be) = abee′ et e′ = be^{2} = (be)(ae′) = abee′

et donc e = e′.

Considérons enfin une partie ouverte et fermée Ω de Max(A). Il existe par hypothèse deux idéaux ℑ et 𝔍 de A tels que Ω = V(ℑ) = Max(A)−V(𝔍). Les conditions V(ℑ𝔍) = V(ℑ)∪V(𝔍) = Max(A) et V(ℑ + 𝔍) = V(ℑ) ∩ V(𝔍) = ∅ sont respectivement équivalentes aux conditions

ℑ𝔍 ⊂ Nil(A) et ℑ + 𝔍 = A.

On en déduit que l’on peut écrire 1 sous la forme 1 = a + b avec a ∈ ℑ, b ∈ 𝔍 et ab ∈ Nil(A). Choisissons en entier naturel n ⩾ 0 tel que (ab)^{n} = 0 et élevons l’identité a + b = 1 à la puissance 2n pour obtenir a^{n}u + b^{n}v = 1. Posant alors e = b^{n}v, on obtient e(1 − e) = a^{n}ub^{n}v = 0 et donc e est idempotent. On a par ailleurs Ae ⊂ Ab ⊂ 𝔍 et A(1 − e) ⊂ Aa ⊂ ℑ, d’où V(𝔍) ⊂ V(e) et V(ℑ) ⊂ V(1 − e) puis

Max(A) = V(ℑ) ⊔ V(𝔍) = V(e) ⊔ V(1 − e)

et donc, finalement, D(e) = V(1 − e) = V(ℑ) = Ω. □

Corollaire 5.3.4 — Pour que l’espace topologique Max(A) soit connexe, il faut et il suffit que l’anneau A ne possède pas d’élément idempotent non trivial.

Un élément idempotent e de A est dit primitif si D(e) est une composante connexe de Max(A). Noter que, si A ≠ 0, alors 0 n’est pas un idempotent primitif puisque D(0) = ∅.

Lemme 5.3.5 — Soit (e_{i})_{i∈I} l’ensemble des idempotent primitifs de A. L’application

A ∏_{i∈I} Ae_{i}, a ↦ (ae_{i})_{i∈I}

est un isomorphisme d’anneaux. Démonstration. Les ouverts D(e_{i})_{i∈I} forment par hypothèse une partition de Max(A).

- La condition Max(A) = ⋃_{i∈I} D(e_{i}) équivaut à ∑_{i∈I} Ae_{i} = A.

- Si i ≠ j, la condition D(e_{i}) ∩ D(e_{j}) = ∅ équivaut à e_{i}e_{j} ∈ Nil(A), soit encore e_{i}e_{j} = 0 puisque (e_{i}e_{j})^{2} = e_{i}e_{j}.

Le premier point permet d’écrire 1 sous la forme 1 = ∑_{i∈I} a_{i}e_{i} avec a_{i} ∈ A et le second fournit les identités e_{i} = a_{i}e_{i}^{2} = a_{i} pour tout i ∈ I. On obtient ainsi 1 = ∑_{i∈I} e_{i}^{2} = ∑_{i∈I} e_{i}, et il est immédiat d’en déduire que l’application

A → ∏_{i∈I} Ae_{i}, a ↦ (ae_{i})_{i∈I}

est bijective. □

Exemple 5.3.6 — L’équation e(e−1) = 0 n’a que les deux solutions évidentes e = 0 et e = 1 si l’anneau A est intègre, de sorte que Max(A) est alors connexe. Cette observation permet souvent de démontrer la connexité de Max(A) : il suffit de prouver que A est un anneau intègre. Cette condition n’est toutefois pas nécessaire : par exemple, si p est un nombre premier, l’anneau A = 𝔽_{p}[T]/(T^{p} − 1) n’est pas intègre mais Max(A) est connexe car cet ensemble est réduit à l’unique idéal maximal de A.

Remarque 5.3.7 — Soit A une k-algèbre de type fini et soit \overline{k}/k une clôture algébrique de k. En général, Max(A) peut être connexe sans que Max(A⊗_{k} \overline{k}) ne le soit. Il n’est pas difficile de donner un exemple : si k = ℚ et A = ℚ[X]/(X^{2} + 1), alors Max(A) est connexe car l’anneau A est intègre mais Max(A ⊗_{ℚ} \overline{ℚ}) n’est pas connexe car l’anneau

A ⊗_{ℚ} \overline{ℚ} ≅ \overline{ℚ}[X]/(X^{2} + 1) ≅ \overline{ℚ} × \overline{ℚ}

contient un idempotent non trivial, par exemple l’élément (1, 0) de \overline{ℚ} × \overline{ℚ} (correspondant à l’élément \frac{−1}{2}X ⊗ i + \frac{1}{2}1 ⊗ 1 de A ⊗_{ℚ} \overline{ℚ}).

Toutefois, si Max(A) est connexe, l’existence d’un homomorphisme de k-algèbres s : A → k suffit à garantir la connexité de A ⊗_{k} \overline{k}. En effet, l’application naturelle p : Max(A ⊗_{k} \overline{k}) → Max(A) envoie chaque composante connexe de Max(A ⊗_{k} \overline{k}) surjectivement sur Max(A) (cf. Appendice, 3) et sa fibre au-dessus d’un idéal maximal 𝔪 de A est en bijection avec l’ensemble des k-plongements du corps A/𝔪 dans \overline{k} (idem). Comme A/ker(s) = k, il y a un unique point dans Max(A ⊗_{k} \overline{k}) au-dessus de s et l’espace topologique Max(A ⊗_{k} \overline{k}) est donc connexe.

(5.3.2) Considérons maintenant un groupe algébrique G sur k et désignons par A sa bigèbre. La counité e^{∗} : A → k permet d’isoler canoniquement un idempotent primitif dans A.

Proposition 5.3.8 — (i) Il existe un unique idempotent primitif e_{0} ∈ A tel que e^{∗}(e_{0}) = 1. (ii) Le quotient de A par l’idéal ℑ_{0} = {a ∈ A | ae_{0} = 0} est la bigèbre d’un sous-groupe G^{0} de G tel que |G^{0}| soit la composante connexe D(e_{0}) de |G|. Ce sous-groupe est la composante neutre de G. Démonstration. (i) Notons (e_{i})_{i∈I} l’ensemble des idempotents primitifs de A. Leurs images par l’homomorphisme e^{∗} : A → k sont des idempotents de k tels que e^{∗}(e_{i})e^{∗}(e_{j}) = 0 pour tous i ≠ j et 1 = ∑_{i∈I} e^{∗}(e_{i}). Utilisant le fait que k est un anneau intègre, il existe un unique indice i ∈ I tel que e^{∗}(e_{i}) = 1 et e^{∗}(e_{j}) = 0 pour tout j ∈ I − {i}.

(ii) Notons p la projection canonique de A sur A/ℑ_{O} et soit Δ la comultiplication de A. La décomposition A ≅ ∏_{i∈I} Ae_{i} induit une décomposition de A ⊗_{k} A sous la forme

A ⊗_{k} A ≅ ∏_{(i,j)∈I^{2}} Ae_{i} ⊗ e_{j}.

Étant donné f ∈ ℑ_{0}, Δ(f) s’écrit sous la forme Δ(f) = a_{0,0}e_{0} ⊗ e_{0} + ∑_{(i,j)≠(0,0)} a_{ij}e_{i} ⊗ e_{j} ; l’identité [mult ∘ (id_{A} ⊗ e^{∗}) ∘ Δ] = id_{A} implique alors

f = a_{00}e_{0} + ∑_{(i,j)≠(0,0)} a_{ij}e_{i}e^{∗}(e_{j}) = a_{0,0}e_{0} + ∑_{i∈I−{0}} a_{i0}e_{i}

et donc

a_{00} = fe_{0} = 0.

Ce calcul établit l’inclusion Δ(ℑ_{0}) ⊂ ℑ_{0} ⊗_{k} A + A ⊗_{k} ℑ_{0}, de laquelle on déduit que Δ induit une application k-linéaire \overline{Δ} : A/ℑ_{0} → (A/ℑ_{0}) ⊗ (A/ℑ_{0}) telle que \overline{Δ} ∘ p = (p ⊗ p) ∘ Δ. La fin de la démonstration est la même que pour la proposition 5.1.2.

L’idéal ℑ_{0} définissant le sous-groupe G_{0} est par construction tel que |G^{0}| = V(ℑ_{0}) = D(e_{0}). □

Définition 5.3.9 — Un groupe algébrique G sur un corps k est dit connexe si l’espace topologique |G| est connexe ; il revient au même de dire que G coïncide avec sa composante neutre G^{0}.

Nous terminons ce paragraphe en comparant la connexité d’un sous-groupe de GL_{n}(k) et celle du groupe algébrique qui lui est associé (cf. 5.1.1).

Proposition 5.3.10 — Soit Γ un sous-groupe de GL_{n}(k). Pour que le groupe algébrique G_{Γ} soit connexe, il faut et il suffit que Γ soit une partie connexe de GL_{n}(k). En particulier : Γ est connexe si et seulement si son adhérence \overline{Γ} est connexe.

Démonstration. La bigèbre B du groupe G_{Γ} est par définition le quotient de la bigèbre A de GL_{n} par l’idéal ℑ des f ∈ A s’annulant identiquement sur Γ. Si G_{Γ} n’est pas connexe, l’anneau B contient un idempotent non trivial e. Choisissant un élément ẽ de A relevant e, l’identité e(e−1) = 0 se traduit par ẽ(ẽ−1) ∈ ℑ et donc \underline{ẽ}(s) = 0 ou \underline{ẽ(s)} = 1 pour tout s ∈ Γ. En outre, aucune des fonctions \underline{ẽ} et \underline{ẽ} − 1 n’est identiquement nulle sur Γ car sinon ẽ ∈ ℑ ou ẽ − 1 ∈ ℑ (par définition de ℑ) et donc e = 0 ou e − 1 = 0. On obtient par conséquent une décomposition

Γ = Γ ∩ \{\underline{e} = 0\} ⊔ Γ ∩ \{\underline{e} = 1\}

de Γ en la réunion de deux parties fermées disjointes, ce qui montre que Γ n’est pas connexe.

Supposons réciproquement que Γ ne soit pas connexe et considérons deux fermés propres Y_{1}, Y_{2} de Γ tels que Γ = Y_{1} ⊔ Y_{2}. On a Y_{1} = V(ℑ_{1}) ∩ GL_{n}(k) et Y_{2} = V(ℑ_{2}) ∩ GL_{n}(k) avec deux idéaux ℑ_{1} et ℑ_{2} de A égaux à leur racine. Les inclusions ℑ ⊂ ℑ_{1} et ℑ ⊂ ℑ_{2} sont strictes, de sorte qu’il existe des éléments f_{1} et f_{2} de A ne s’annulant pas identiquement sur Γ tels que \underline{f_{1}f_{2}}_{|Γ} = 0. Par définition de l’idéal ℑ, cette dernière condition équivaut à f_{1}f_{2} ∈ ℑ et l’anneau A/ℑ n’est donc pas intègre ; comme cet anneau est par construction réduit, il en découle que l’espace topologique Max(A) admet au moins deux composantes irréductibles distinctes. Dans ces conditions, la conclusion découle du lemme suivant. □

Lemme 5.3.11 — Soit G un groupe algébrique sur un corps k. Si G est connexe, l’espace topologique |G| est irréductible. Démonstration. Supposons que l’espace topologique |G| soit réductible. Les composantes irréductibles de |G| étant fermées, elles ne peuvent être mutuellement disjointes si |G| est connexe et il existe alors deux composantes irréductibles distinctes Y et Y′ telles que Y∩Y′ ≠ ∅.

La fin de la démonstration consiste à justifier qu’une telle situation est impossible : les points de Y ∩ Y′ sont trop « singuliers » pour ne pas violer l’« homogénéité » de |G|.

Il est facile de donner un sens précis à cette idée sous les hypothèses additionnelles suivantes :

- Y ∩ Y′ contient un point de G(k) ;

- il existe un point de G(k) n’appartenant qu’à une seule composante irréductible de |G|. En effet, l’action de G(k) par translation à gauche sur l’espace topologique |G| permute ses composantes irréductibles ; si s est un élément de G(k) appartenant à Y ∩ Y′, alors tout élément t = (ts^{−1})s de G(k) appartient aux deux composantes irréductibles distinctes (ts^{−1})Y et (ts^{−1})Y′ de |G|.

Le cas général se traite en remplaçant k par une clôture algébrique \overline{k} et en considérant l’application naturelle p : |G ⊗_{k} \overline{k}| → |G|, continue et surjective (cf. Appendice, 3) :

- si l’espace topologique |G| n’est pas irréductible, il en est de même de |G ⊗_{k} \overline{k}| : étant donnés deux fermés propres Y et Y′ recouvrant |G|, alors p^{−1}(Y) et p^{−1}(Y′) sont deux fermés propres recouvrant |G ⊗_{k} \overline{k}|;

- le corps \overline{k} étant algébriquement clos, |G ⊗_{k} \overline{k}| coïncide avec G(\overline{k}) et les deux conditions introduites précédemment sont donc remplies.

Vu ce qui précède, il en découle de ces deux observations que le groupe G ⊗_{k} \overline{k} n’est pas connexe ; cette conclusion vaut a fortiori pour le groupe G en vertu de la remarque 5.3.7. □

5.4. Exemples

(5.4.1) (i) Le groupe 𝔾_{a} est connexe car sa bigèbre k[T] est un anneau intègre.

(ii) Pour tout n ⩾ 0, le groupe GL_{n} est connexe car sa bigèbre est un anneau intègre (Lemme 5.1.1).

(iii) Pour toute k-algèbre R, l’application

GL_{n}(R) → SL_{n}(R) × 𝔾_{m}(R), g ↦ (det(g)^{−1}g, det(g))

est une bijection fonctorielle. On a ainsi défini un isomorphisme de foncteurs en ensembles

\xymatrix{h_{B⊗_{k}k[X,X^{−1}]} \ar[r]^{∼} & h_{A}} ,

où A et B sont les bigèbres respectives de GL_{n} et de SL_{n}. Via le lemme de Yoneda, on en déduit que les k-algèbres A et B[X, X^{−1}] sont isomorphes. Comme A est un anneau intègre, il en est de même pour l’anneau B et nous avons ainsi établi la connexité du groupe SL_{n}.

(iii) Soit n ⩾ 2 un entier naturel écrit sous la forme n = p^{α}m, où p est la caractéristique du corps k et m est premier à p; si k est de caractéristique nulle, alors m = n. Pour que le groupe algébrique μ_{n} soit connexe, il faut et il suffit que l’on ait m ⩾ 2. La bigèbre de ce groupe est en effet l’anneau k[X]/(X^{n} − 1) dont les idéaux maximaux correspondent biunivoquement aux facteurs irréductibles de X^{n} − 1 dans k[X] ; l’espace topologique discret Max(A est donc connexe si et seulement si X^{n} − 1 = (X − 1)^{n}.

(5.4.2) Connexité de GL_{n} — Nous allons donner une autre démonstration de la connexité du groupe algébrique GL_{n} reposant sur la décomposition de Bruhat.

Considérons les sous-groupes algébriques suivants de GL_{n} : T est le sous-groupe des matrices diagonales, B le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures et U le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures à diagonale identité. On désigne en outre par W le sousgroupe de SL_{n}(k) image de l’homomorphisme

𝔖_{n} → GL_{n}(k), σ ↦ m(σ),

où m(σ) est la matrice de permutation définie par m(σ)e_{i} = e_{σ(i)} pour tout vecteur e_{i} de la base canonique de k^{n}. Exemple — Si n = 2, W est constitué des matrices

m(1) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) et m(1, 2) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

Si n = 3, W est constitué des matrices

m(1) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , m(1, 2) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , m(1, 3) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , m(2, 3) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

et

m(1, 2, 3) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) , m(1, 3, 2) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Proposition 5.4.1 — Tout élément g de GL_{n}(k) s’écrit sous la forme

g = um(σ)b

avec u ∈ U(k), b ∈ B(k) et σ ∈ 𝔖_{n}. La permutation σ est uniquement déterminée par cette condition et peut être décrite comme suit : pour tout i ∈ {1, …, n}, σ(i) est le plus grand j ∈ {1, …, n} tel que le déterminant mineur

| \begin{matrix}g_{σ(1)1} & g_{σ(1)2} & … & g_{σ(1)i} \\ g_{σ(2)1} & g_{σ(2)2} & … & g_{σ(2)i} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ g_{j1} & g_{j2} & … & g_{ji} \end{matrix} |

soit non nul.

Démonstration. Pour tous i, j ∈ {1, …, n} avec i < j et tout λ ∈ k, notons u_{ij}(λ) l’élément de U(k) défini par

u_{ij}(λ)e_{ℓ} = e_{ℓ} + δ_{jℓ}λe_{j}.

Quelle que soit la matrice g ∈ SL_{n}(k), u_{ij}(λ)g (resp. gu_{ij}(λ)) se déduit de g en remplaçant la ligne i par la combinaison linéaire (ligne i) + λ(ligne j) (resp. la colonne j par la combinaison linéaire (colonne j) + λ(colonne i)).

Soit σ(1) le plus grand élément de {1, …, n} tel que g_{σ(1)1} ≠ 0. Utilisant ce coefficient comme pivot, il existe u_{1} ∈ U(k) et b_{1} ∈ B(k) tels la matrice g_{1} = u_{1}gb_{1} vérifie les conditions suivantes :

(g_{1})_{α1} = δ_{σ(1)α} et (g_{1})_{σ(1)β} = δ_{1β}

pour tous α, β ∈ {1, …, n}.

On définit alors σ(2) comme le plus grand élément de {1, …, n} tel que (g_{1})_{σ(2)2} ≠ 0 ; noter que σ(2) est distinct de σ(1) puisque (g_{1})_{σ(1)2} = 0. On obtient de nouveau par pivot des matrices u_{2} ∈ U(k) et b_{2} ∈ B(k) telles que les deux premières colonnes de la matrice g_{2} = u_{2}g_{1}b_{2} coïncident avec celles d’une matrice de permutation envoyant 1 sur σ(1) et 2 sur σ(2). Itérant ce processus, on définit de proche en proche une permutation σ de {1, …, n} et on aboutit finalement à des matrices u^{−1} = u_{n} … u_{2}u_{1} ∈ U(k) et b^{−1} = b_{1}b_{2} … b_{n} ∈ B(k) telles que g = um(σ)b. Il est clair que la permutation σ obtenue par ce procédé est celle décrite dans l’énoncé.

Finalement, si σ et τ sont deux permutations telles que um(σ) = m(τ)b avec u ∈ U(k) et b ∈ B(k), alors b = m(τ^{−1})um(σ) ; cette matrice se déduisant de u en permutant les colonnes selon σ et les lignes selon τ, b_{ij} = u_{τ(i)σ(j)} pour tous i, j ∈ {1, …, n}. En particulier, u_{τ(i)σ(i)} ≠ 0 pour tout i, donc τ(i) ⩽ σ(i) et finalement τ = σ. □

Pour toute permutation σ ∈ 𝔖_{n}, on désigne par Ω(σ) le sous-ensemble de GL_{n}(k) formé des éléments g s’écrivant sous la forme g = um(σ)b avec u ∈ U(k) et b ∈ B(k).

Corollaire 5.4.2 — L’ensemble Ω(σ) est une partie localement fermée non vide et connexe de GL_{n}(k) pour toute permutation σ ∈ 𝔖_{n}. Si σ_{0} désigne la permutation (1, n)(2, n − 1) …, alors Ω(σ_{0}) est une partie ouverte de GL_{n}(k). Démonstration. Vu la proposition précédente, Ω(σ) est le sous-ensemble de GL_{n}(k) défini par les conditions suivantes :

| \begin{matrix}X_{σ(1)1} & X_{σ(1)2} & … & X_{σ(1)m} \\ X_{σ(2)1} & X_{σ(2)2} & … & X_{σ(2)m} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ X_{j1} & X_{j2} & … & X_{jm} \end{matrix} | = 0 (m ∈ \{1, …, n\}, j > σ(m))

et

| \begin{matrix}X_{σ(1)1} & X_{σ(1)2} & … & X_{σ(1)m} \\ X_{σ(2)1} & X_{σ(2)2} & … & X_{σ(2)m} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ X_{j1} & X_{σ(m)2} & … & X_{σ(m)m} \end{matrix} | ≠ 0 (m ∈ \{1, …, m\}).

Ainsi Ω(σ) est-elle une partie localement fermée de GL_{n}(k), non vide puisque contenant m(σ).

La connexité de Ω(σ) se déduit immédiatement du fait qu’il s’agit de l’image de l’espace connexe U(k) × B(k) par l’application continue

U(k) × B(k) → GL_{n}(k), (u, b) ↦ um(σ)b.

La permutation σ_{0}, correspondant à la matrice

m(σ_{0}) = ( \begin{matrix}0 & 0 & … & 1 \\ ⋮ & ⋮ & & 0 \\ 0 & 1 & … & 0 \\ 1 & 0 & … & 0 \end{matrix} ) ,

est telle que σ_{0}(1) = n, σ_{0}(2) = n − 1, …, σ_{0}(n) = 1. Le sous-ensemble Ω(σ_{0}) est par suite défini par les n conditions suivantes :

| \begin{matrix}X_{σ(1)1} & X_{σ(1)2} & … & X_{σ(1)m} \\ X_{σ(2)1} & X_{σ(2)2} & … & X_{σ(2)m} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ X_{σ(m)1} & X_{σ(m)2} & … & X_{σ(m)m} \end{matrix} | ≠ 0 (1 ⩽ m ⩽ n)

et il s’agit donc d’une partie ouverte de GL_{n}(k). □

Corollaire 5.4.3 — Le groupe algébrique GL_{n} est connexe. Démonstration. Étant donnée une matrice g ∈ GL_{n}(k), une permutation de ses colonnes permet d’obtenir une matrice appartenant à Ω(σ_{0}) ; par suite,

GL_{n}(k) = ⋃_{τ∈𝔖_{n}} Ω(σ_{0})m(τ).

Si le corps k est algébriquement clos, on construit aisément une matrice appartenant simultanément aux ouverts Ω(σ_{0})m(τ) et Ω(σ_{0}). La connexité de GL_{n}(k) s’en déduit alors immédiatement puisque toute réunion de parties connexes deux à deux non disjointes est connexe. En général, cet argument fournit la connexité de GL_{n}(\overline{k}), où \overline{k} est une clôture algébrique de k, et la connexité du groupe algébrique GL_{n} s’en déduit par application de la proposition 5.3.10. □

Exercices 1. Justifier avec soin l’assertion suivante : si le corps k est infini, l’ouvert Ω(σ_{0}) ∩ Ω(σ_{0})m(τ) de GL_{n}(k) est non vide. (Indication : on pourra rechercher une matrice appartenant à cet ouvert sous la forme λm(σ_{0}) + μm(σ_{0}τ) avec λ, μ ∈ k).

2. On peut aisément adapter les arguments qui précèdent pour démontrer que le groupe SL_{n} est connexe.

(i) Quelle que soit la permutation σ ∈ 𝔖_{n}, démontrer que Ω(τ) ∩ SL_{n} est une partie localement fermée connexe et non vide de GL_{n}(k). (Indication : examiner séparément le cas d’une permutation paire et celui d’une permutation impaire ; dans le second cas, on pourra faire intervenir la matrice χ = diag(−1, 1, …, 1) appartenant à B(k).)

(ii) Montrer que Ω(σ_{0})∩Ω(σ_{0})m(τ) rencontre SL_{n}(k) pour toute permutation τ. En conclure que SL_{n}(k) est connexe.

3. Soit k un corps de caractéristique distincte de 2 et soit V un k-espace vectoriel de dimension finie n. On considère une forme quadratique non dégénérée q sur V et on note b la forme bilinéaire symétrique correspondante. On désigne enfin par O(V, q) le sous-groupe de GL(V) constitué des automorphismes g tels que q(g(x), g(y)) = q(x, y) pour tous x, y ∈ V et on pose SO(V, q) = O(V, q) ∩ SL(V).

Si x ∈ V est un vecteur tel que q(x) ≠ 0 (on dit que x est non isotrope), l’application

r_{x} : V → V, y ↦ y − 2\frac{b(y, x)}{q(x)}x

est un élément de O(V, q), appelé réflexion.

(i) On munit GL(V) de la topologie de Zariski (via le choix d’une base de V). Vérifier que O(V, q) et SO(V, q) sont des sous-espaces fermés.

(ii) En considérant l’homomorphisme det : O(V, q) → k^{×}, démontrer que le groupe O(V, q) n’est pas connexe.

(iii) Démontrer que le groupe O(V, q) est engendré par les réflexions (cf. D. Perrin, Cours d’algèbre, Ellipses, Chap. VIII, théorème 5.7) et vérifier qu’un élément de O(V, q) appartient à SO(V, q) si et seulement s’il est le produit d’un nombre pair de réflexions.

(iv) Le choix d’une base permet d’identifier V et k^{n}. Étant donné en entier naturel m ⩾ 0, démontrer que l’application

V^{m} → O(V, q), (x_{1}, …, x_{n}) ↦ r_{x_{1}} ∘ … ∘ r_{x_{m}}

est polynomiale en les coordonnées sur V^{m} ≃ k^{nm}. En déduire que le groupe SO(V, q) est connexe.

6. Groupes résolubles et groupes unipotents

6.1. Groupes algébriques résolubles

(6.1.1) On rappelle qu’un groupe Γ est dit résoluble s’il existe une suite de composition

{e} = Γ_{0} ⊲ Γ_{1} ⊲ … ⊲ Γ_{n−1} ⊲ Γ_{n} = Γ

à quotients abéliens. Cette condition peut se reformuler de manière légèrement différente en introduisant le groupe dérivé de Γ, c’est-à-dire le sous-groupe D(Γ) engendré par les commutateurs [x, y] = xyx^{−1}y^{−1} (x, y ∈ Γ) ; ce sous-groupe est distingué, le quotient Γ/D(Γ) est abélien et D(Γ) peut en fait être caractérisé comme le plus petit sous-groupe distingué de Γ à quotient abélien. Soit (D^{n}(Γ))_{n⩾0} la suite de sous-groupes de Γ définie par

D^{0}(Γ) = Γ et D^{n+1}(Γ) = D(D^{n}(Γ)).

Il est immédiat de vérifier que le groupe Γ est résoluble si et seulement s’il existe un entier n ⩾ 0 tel que D^{n}(Γ) = {e}.

(6.1.2) Passons maintenant aux groupes algébriques ; pour simplifier, nous nous limiterons aux groupes de matrices Γ ⊆ GL_{n}.

Lemme 6.1.1 — Soit Γ un sous-groupe de GL_{n}(k) et soit \overline{Γ} son adhérence ; on a D(\overline{Γ}) ⊂ \overline{D(Γ)}. Démonstration. Considérons l’application continue

ι_{n} : \overline{Γ}^{2n} → \overline{Γ}, (x_{1}, y_{1}, …, x_{n}, y_{n}) ↦ [x_{1}, y_{1}] … [x_{n}, y_{n}].

L’image réciproque du sous-groupe fermé \overline{D(Γ)} de \overline{Γ} contient le sous-ensemble Γ^{2n}; ce dernier étant dense dans \overline{Γ}^{2n}, ι_{n}(\overline{Γ}) ⊂ \overline{D(Γ)} et donc

D(\overline{Γ}) = ⋃_{n⩾0} im(ι_{n}) ⊂ \overline{D(Γ)}.

□

Proposition 6.1.2 — Soit Γ un sous-groupe de GL_{n}(k) et soit \overline{Γ} son adhérence. (i) Pour que le groupe Γ soit résoluble, il faut et il suffit que \overline{Γ} le soit. (ii) Si Γ est connexe, D(Γ) est connexe.

Démonstration. (i) En vertu du lemme précédent,

D^{n}(Γ) ⩽ D^{n}(\overline{Γ}) ⩽ \overline{D^{n}(Γ)}

pour tout entier n ⩾ 0. Les conditions D^{n}(Γ) = \{e\} et D^{n}(\overline{Γ}) = \{e\} sont donc équivalentes. (ii) Considérons de nouveau l’application continue

ι_{n} : \overline{Γ}^{2n} → \overline{Γ}, (x_{1}, y_{1}, …, x_{n}, y_{n}) ↦ [x_{1}, y_{1}] … [x_{n}, y_{n}].

Si Γ est connexe, il en est de même de Γ^{2n} et l’image de ι_{n} est donc une partie connexe de Γ. On en déduit que

D(Γ) = ⋃_{n⩾0} im(ι_{n}),

réunion d’une suite croissante de parties connexes de Γ, est connexe. □

(6.1.3) Le sous-groupe Γ = B_{n}(k) de GL_{n}(k) formé des matrices triangulaires supérieures est résoluble. Désignons en effet par (e_{1}, …, e_{n}) la base canonique de k^{n} et posons V_{0} = {0}, V_{i} = Vect(e_{1}, …, e_{i}) (1 ⩽ i ⩽ n). Le sous-groupe B_{n}(k) de GL_{n}(k) est constitué des automorphismes g tels que g(V_{i}) = V_{i} pour tout i. Étant donné ℓ ⩾ 0, définissons Γ_{ℓ} comme le sous-groupe de B_{n}(k) constitué des automorphismes g ∈ B_{n}(k) opérant trivialement sur les quotients V_{i+ℓ}/V_{i} pour tout i ⩾ 0 (où V_{m} = V_{n} pour tout m ⩾ n) ; chacun de ces sousgroupes est distingué dans B_{n}(k). Si ℓ ⩾ 1, les éléments de Γ_{ℓ} sont les matrices triangulaires supérieures à diagonale identité dont les ℓ − 1 premières surdiagonales sont nulles.

On a Γ_{n} = {e}, Γ_{0} = B_{n}(k) et

\xymatrix{Γ_{0}/Γ_{1} \ar[r]^{∼} & ∏_{i=0}^{n−1} GL(V_{i+1}/V_{i}) ≃ ∏_{i=0}^{n−1} k^{×}} .

Lorsque ℓ ⩾ 1, Γ_{ℓ}/Γ_{ℓ+1} est isomorphe au produit de n − ℓ copies du groupe additif k. Ainsi, les sous-groupes Γ_{ℓ} de Γ définissent une suite de composition à quotients abéliens et le groupe Γ est par conséquent résoluble.

Théorème 6.1.3 — Supposons que le corps k soit algébriquement clos. Tout sous-groupe connexe et résoluble Γ de GL_{n}(k) est conjugué à un sous-groupe de B_{n}(k). Démonstration. Il suffit de démontrer que les éléments de Γ possèdent un vecteur propre commun dans k^{n}. Comme le groupe \overline{Γ} est également connexe et résoluble en vertu des propositions 5.3.10 et 6.1.2, nous pouvons supposer que Γ est fermé. Dans ces conditions, la conclusion découle directement du lemme suivant puisque D^{m}(Γ) = {e} pour m assez grand. □

Lemme 6.1.4 — Soit Γ un sous-groupe fermé et connexe de GL_{n}(k). Si le groupe D(Γ) stabilise une droite dans k^{n}, il en est de même du groupe Γ. Démonstration. Soit v un vecteur non nul dans V tel que le groupe D(Γ) stabilise la droite kv et soit χ_{v} : D(Γ) → k^{×} l’homomorphisme de groupes (caractère) défini par l’identité

nv = χ_{v}(n)v (n ∈ D(Γ)).

Quels que soient n ∈ D(Γ) et g ∈ Γ, g^{−1}ng appartient à D(Γ) et donc

n(gv) = g(g^{−1}ng)v = g(χ_{v}(g^{−1}ng)v) = χ_{v}(g^{−1}ng)(gv).

Cette identité montre que gv est également un vecteur propre pour le groupe D(Γ), associé au caractère

χ_{gv} = χ_{v}(g^{−1} · g).

Le sous-groupe Γ_{0} de Γ constitué des éléments g tels que χ_{ρ(g)v} = χ_{v} est fermé : en effet, Γ_{0} est l’intersection des sous-ensembles

{g ∈ Γ | χ_{v}(g^{−1}ng) = χ_{v}(n)},

n ∈ D(Γ), lesquels sont fermés car l’application

Γ → k, g ↦ χ_{v}(g^{−1}ng)

est polynomiale en les coefficients et l’inverse du déterminant de g. Par ailleurs, Γ_{0} est d’indice fini dans Γ : en effet, puisque des vecteurs propres correspondant à des caractères différents sont linéairement indépendants, la finitude de dim(V) implique celle de l’ensemble {χ_{gv}, g ∈ Γ} et donc celle de l’indice (Γ : Γ_{0}).

Tout sous-groupe fermé d’indice fini est évidemment ouvert ; comme Γ est supposé connexe, Γ_{0} = Γ et donc χ_{gv} = χ_{v} pour tout g ∈ Γ. Par suite,

n(gv) = χ_{v}(n)(gv)

et donc chaque élément n de D(Γ) opère comme une homothétie sur le sous-espace vectoriel V = Vect(gv, g ∈ Γ). Comme D(Γ) est engendré par les commutateurs, χ_{v}(n)^{dimV} = det(n_{|V}) = 1 pour tout n ∈ D(Γ) ; en outre, D(Γ) étant connexe, son image par χ_{v} est une partie connexe de k^{×} et donc χ_{v}(n) = 1 pour tout n ∈ D(Γ). Le groupe D(Γ) opère ainsi trivialement sur V, ce qui implique que le groupe Γ opère via le quotient Γ/D(Γ) ; ce dernier étant un groupe abélien, il possède un vecteur propre dans V puisque le corps k est supposé algébriquement clos et nous obtenons ainsi un vecteur propre pour Γ. □

Remarque — Les hypothèses introduites dans le théorème précédent sont toutes nécessaires.

(i) Un sous-groupe d’un groupe résoluble est résoluble. Comme le groupe B_{n}(k) est résoluble, il est nécessaire de supposer que Γ soit résoluble.

(ii) Contre-exemple lorsque k n’est pas algébriquement clos : le sous-groupe de GL_{2}(ℝ)

constitué des matrices de la forme ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) avec a, b ∈ ℝ est abélien, mais il n’est pas

trigonalisable car la matrice ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) n’a pas de valeur propre réelle.

(iii) Contre-exemple lorsque Γ n’est pas connexe : considérons le sous-groupe

Γ = \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & b \\ b & 0 \end{matrix} ) ; a, b ∈ k^{×}\}

de GL_{2}(k) constitué des matrices monomiales. Notant Γ_{0} le sous-groupe des matrices diagonales, on dispose d’une suite exacte courte

\xymatrix{e \ar[r] & Γ_{0} \ar[r] & Γ \ar[r] & 𝔖_{2} \ar[r] & e}

montrant que Γ est un groupe résoluble. C’est également un groupe non connexe puisque Γ_{0} est un sous-groupe fermé propre d’indice fini. Le groupe Γ n’est pas trigonalisable car il n’existe pas vecteur propre commun à toutes les matrices le constituant.

6.2. Groupes algébriques unipotents

Définition 6.2.1 — Un sous-groupe Γ de GL_{n}(k) est dit unipotent si tous ses éléments sont unipotents.

Un exemple standard de groupe unipotent est le sous-groupe U_{n}(k) de GL_{n}(k) constitué des matrices triangulaires supérieures à diagonale unité.

Théorème 6.2.2 — Tout sous-groupe unipotent de GL_{n}(k) est conjugué à un sous-groupe de U_{n}(k). Démonstration. Il suffit de démontrer qu’il existe un vecteur non nul v ∈ k^{n} fixé par chaque élément de Γ : en effet, l’image de Γ dans GL(k^{n}/kv) est un sous-groupe unipotent et on construit ainsi itérativement une base de k^{n} dans laquelle les éléments de Γ ont une matrice triangulaire supérieure à diagonale identité. On cherche donc à démontrer que le sous-espace vectoriel

V = {v ∈ k^{n} | (g − id)v = 0, g ∈ Γ}

est non nul ; il suffit de le vérifier après extension des scalaires à une clôture algébrique de k, ce qui permet de supposer que le corps k est algébriquement clos. Enfin, si W est un sous-espace vectoriel non nul de k^{n} stabilisé par Γ, l’image de Γ dans GL(W) est un sous-groupe unipotent et il est loisible de remplacer k^{n} par W ; nous pouvons donc supposer que l’action de Γ sur k^{n} est irréductible, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de sous-espace vectoriel propre et non nul stabilisé par Γ.

Comme chaque élément g de Γ est unipotent, Tr(g) = n et donc

Tr((id − g)g′) = Tr(g′) − Tr(gg′) = 0

pour tous g, g′ ∈ Γ. L’action de Γ étant irréductible et le corps k étant algébriquement clos, il découle du théorème de Burnside (lemme 6.2.3) que l’espace vectoriel End(k^{n}) est engendré par l’image de Γ. Par suite,

Tr((id − g)u) = 0

pour tous g ∈ Γ et u ∈ End(k^{n}), ce qui implique immédiatement g = id_{V}. Ainsi, les hypothèses que l’on a faites impliquent Γ = {e} et l’existence d’un vecteur non nul fixé par Γ est maintenant triviale. □

Lemme 6.2.3 (Théorème de Burnside) — Soit k un corps algébriquement et soit Γ un groupe opérant sur un k-espace vectoriel de dimension finie. Si l’action de Γ est irréductible — c’est-à-dire, s’il n’existe pas de sous-espace vectoriel propre et non nul Γ-invariant — alors l’espace vectoriel End(V) est engendré par Γ. Démonstration. Il découle de l’hypothèse d’irréductibilité que la k-algèbre

R = {u ∈ End(V) | u ∘ g = g ∘ u, ∀g ∈ Γ}

des endomorphismes commutant aux éléments de Γ est une algèbre à division (un corps gauche) : en effet, tout élément non nul u de R est inversible car son noyau, sous-espace vectoriel propre et Γ-invariant, est nul. Par ailleurs, tout élément de R est algébrique sur k en vertu du théorème de Cayley-Hamilton. Le corps k étant algébriquement clos, ces deux observations impliquent R = k : les seuls endomorphismes de V commutant aux éléments de Γ sont les homomothéties.

Il reste à appliquer le théorème du bicommutant (lemme 6.2.4) : le sous-espace vectoriel de End(V) engendré par Γ est coïncide avec son bicommutant, c’est-à-dire avec le commutant de R dans End(V) ; comme R = k, il s’agit de l’espace vectoriel End(V) tout entier. □

Lemme 6.2.4 (Théorème du bicommutant) — Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k et soit Γ un groupe d’automorphisme de V. On désigne par R la sous-k-algèbre de End(V) engendrée par Γ et on pose

R′ = {u ∈ End(V) | ug = gu, ∀g ∈ R} ( commutant),
R′′ = {u ∈ End(V) | uv = vu, ∀v ∈ R′} ( bicommutant).

Si l’action de Γ sur V est irréductible, alors R′′ = R. Démonstration. Posons n = dim(V) et considérons l’action naturelle de Γ sur V^{n}.

Tout sous-espace Γ-invariant W ⊂ V^{n} admet un supplémentaire Γ-invariant. Désignons en effet par V_{i} ≃ V la composante d’indice i dans V^{n} (1 ⩽ i ⩽ n) et soit J le plus grand sousensemble de {1, …, n} tel que W∩∑_{i∈J} V_{i} = {0}. Posons W′ = ∑_{i∈J} V_{i} et considérons i dans {1, …, n} − J. Comme (W + W′) ∩ V_{i} est un sous-espace Γ-invariant de V_{i}, W ∩ V_{i} = {0} ou W ∩ V_{i} = V_{i} en vertu de l’hypothèse d’irréductibilité ; le premier cas de figure étant exclu par maximalité de J, nous obtenons finalement W + W′ = V^{n} et W′ est ainsi un supplémentaire Γ-invariant de W.

Identifions maintenant End(V^{n}) et M_{n}(End(V)). Un élément g de R agissant diagonalement sur V^{n} définit un endomorphisme de V^{n} correspondant à la matrice diagonale par blocs diag(g, …, g) ∈ M_{n}(End(V)) ; par suite, les endomorphismes de V^{n} commutant aux éléments de Γ correspondent aux éléments de M_{n}(R′). Enfin, il et clair que toute matrice diagonale par blocs dans M_{n}(End(V)) de la forme diag(v, …, v) avec v ∈ R′′ définit un endomorphisme de V^{n} appartenant au bicommutant de Γ dans End(V^{n}).

On considère une base (e_{1}, …, e_{n}) de V^{n} et on désigne par W le sous-espace vectoriel Γinvariant de V^{n} engendré par le vecteur e = (e_{1}, …, e_{n}) ; W = Re. Dire que W admet un supplémentaire Γ-invariant revient à dire qu’il existe un projecteur π ∈ End(V^{n}) d’image W qui commute aux éléments de Γ. D’après ce que l’on vient de dire, π ∘ v = v ∘ π pour tout élément v de R′′ opérant diagonalement sur V^{n}; par suite, v(e) = π(v(e)) appartient à W et il existe donc g ∈ R tel que g(e) = v(e) ; on a ainsi v(e_{i}) = g(e_{i}) pour tout i, d’où finalement v = g. □

Exercices — 1. Soit Γ un sous-groupe unipotent GL_{n}(k). Si Γ ≠ {e}, démontrer qu’il existe un homomorphisme non trivial G_{Γ} → 𝔾_{a}, où G_{Γ} est le groupe algébrique associé à Γ (cf. 5.1).

2. Soit k un corps de caractéristique p > 0 et soit W le k-groupe algébrique tel que, pour toute k-algèbre R, W(R) soit l’ensemble R^{2} muni de la loi de groupe définie par

(x, y)(x′, y′) = (x + x′, y + y′ + Φ(x, x′)),

où Φ est le polynôme à coefficients entiers défini par la relation

(U + V)^{p} = U^{p} + V^{p} + pΦ(U, V).

(i) Démontrer que W est isomorphe à un sous-groupe de GL_{p+1}. Expliciter un tel plongement pour p = 2 et p = 3.

(ii) Démontrer que, pour toute représentation linéaire de dimension finie ρ : W → GL(V) et tout g ∈ W(k), l’automorphisme ρ_{k}(g) est unipotent.

(iii) Démontrer que l’application

W(k) → W(k), g ↦ g^{p}

est un homomorphisme de groupes de noyau non trivial. En déduire que W n’est pas isomorphe au groupe 𝔾_{a} × 𝔾_{a}.

3. Soit Γ un sous-groupe fermé de GL_{n}(k), connexe et résoluble, et soit Γ_{u} le sous-ensemble formé des éléments unipotents.

(i) Démontrer que Γ_{u} est un sous-groupe fermé de Γ. (Indication : considérer une clôture algébrique \overline{k} de k et travailler dans GL_{n}(\overline{k}))

(ii) Si l’on suppose que tous les éléments de Γ sont semi-simples, démontrer que Γ est commutatif.

Appendice : notions d’algèbre commutative et de géométrie algébrique

On renvoie pour toutes les questions d’algèbre commutative au livre Intoduction to Commutative Algebra de M.F. Atiyah et I.G. Macdonald.

1. Définitions générales

Tout anneau possède un élément unité, noté 1. Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont commutatifs.

(1.1) Algèbres — Si k est un anneau, une k-algèbre est la donnée d’un anneau A et d’un homomorphisme d’anneaux \xymatrix{k \ar[r]^{u} & A.} Un homomorphisme de k-algèbres f : (A, u) → (B, v) est un homomorphisme d’anneaux f : A → B tel que f ∘ u = v, c’est-à-dire tel que le diagramme

\xymatrix{A \ar[rr]^{f} &  & B \\  & k \ar[ul]^{u} \ar[ur]_{v}}

soit commutatif. Formulation équivalente : les homomorphismes u et v permettent de faire de voir A et B comme des k-modules, et un homomorphisme de k-algèbres est alors un homomorphisme d’anneaux k-linéaire.

Les k-algèbres et leurs homomorphismes forment une sous-catégorie de la catégorie des anneaux, que l’on note Alg_{k} ou k − alg. En général, si (A, u) est une k-algèbre, on omet de mentionner l’homomorphisme u et on parle simplement de la k-algèbre B.

Voici un exemple fondamental de k-algèbre : étant donné un ensemble I et une famille d’indéterminées (X_{i})_{i∈I}, l’anneau de polynômes k[(X_{i})_{i∈_{I}}] muni de l’homomorphisme canonique k → k[(X_{i})_{i∈_{I}}] (envoyant λ ∈ k sur le polynôme constant égal à λ) est une k-algèbre. Cette k-algèbre vérifie la propriété universelle suivante : pour toute k-algèbre A, l’application

Hom_{Alg_{k}}(k[(X_{i})_{i∈I}], A) → Hom_{Ens}(I, A), f ↦ f(X_{i})

est une bijection. En d’autres termes : si l’on désigne par χ l’application (I → k[(X_{i})_{i∈I}], i ↦ X_{i}), le couple (k[(X_{i})_{i∈I}], χ) représente le foncteur

Alg_{k} → Ens, A ↦ Hom_{Ens}(I, A).

(1.2) Éléments nilpotents, diviseurs de zéro — Soit A un anneau. Un élément a de A est dit nilpotent s’il existe un entier n ≥ 1 tel que a^{n} = 0. En vertu de la formule du binôme, les éléments nilpotents constituent un idéal de A, appelé nilradical de A et noté 𝔑(A). On dit que l’anneau A est réduit s’il ne contient pas d’élément nilpotent non nul, c’est-à-dire si 𝔑(A) = {0}.

Un diviseur de zéro dans A est un élément a de A tel qu’il existe b ∈ A − {0} vérifiant ab = 0. On dit que l’anneau A est intègre s’il est non nul et s’il ne possède pas de diviseur de zéro. (On rappelle que l’anneau nul est le singleton {0}, muni de la structure d’anneau définie par 0 + 0 = 0 − 0 = 0 et 1 = 0.)

De manière évidente, tout anneau intègre est réduit.

Un corps est un anneau intègre dans lequel tout élément non nul est inversible.

(1.3) Idéaux premiers, maximaux — Soit A un anneau.

Un idéal 𝔭 de A est premier si l’anneau quotient A/𝔭 est intègre. Cela revient manifestement à dire que 𝔭 est un idéal propre (i.e. 𝔭 ≠ A) tel que, pour tous a, b ∈ A, si ab ∈ 𝔭 alors a ∈ 𝔭 ou b ∈ 𝔭.

Un idéal 𝔪 de A est maximal si l’anneau quotient A/𝔪 est un corps. On vérifie facilement que ceci équivaut à dire que 𝔪 est un élément maximal de l’ensemble des idéaux propres de A ordonné par inclusion. Noter que tout idéal maximal est a fortiori un idéal premier.

Le spectre premier de A est l’ensemble de ses idéaux premiers ; on le note Spec(A). Le spectre maximal de A est l’ensemble de ses idéaux maximaux ; on le note Spm(A).

En utilisant le lemme de Zorn, on démontre que tout idéal propre de A (c’est-à-dire distinct de A) est contenu dans un idéal maximal de A. En appliquant ceci à l’idéal (0), on en déduit que les trois conditions suivantes sont équivalentes : (i) Spec(A) = ∅, (ii) Spm(A) = ∅ et (iii) A = {0}.

(1.4) Modules — Si A est un anneau, on note Mod(A) la catégorie des A-modules (les flèches sont les applications A-linéaires).

Étant donné un ensemble I, on désigne par A^{(I)} l’ensemble des applications c : I → A qui s’annulent sur le complémentaire d’un sous-ensemble fini de I. On munit A^{(I)} d’une structure de A-module en posant (c + c′)(i) = c(i) + c′(i) et (ac)(i) = ac(i). Tout élément c de A^{(I)} s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme c = ∑_{i∈I} c(i)e_{i}, où e_{i} ∈ A^{(I)} est défini par e_{i}(j) = δ_{ij}. Ceci montre que A^{(I)} est un A-module libre, de base la famille (e_{i})_{i∈I}. Ce Amodule satisfait à la propriété universelle suivante : pour tout A-module M et toute application u : I → M, il existe une unique application A-linéaire ũ : A^{(I)} → M telle que u = ũ(e_{i}). En d’autres termes : le couple constitué du A-module A^{(I)} et de l’application (I → A^{(I)}, i ↦ e_{i}) représente le foncteur

Mod(A) → Ens, M ↦ Hom_{Ens}(I, M).

2. Produit tensoriel

Soit k un anneau. (2.1) Produit tensoriel de deux modules — Étant donnés deux k-modules M et N, le produit tensoriel M⊗_{k} N est un k-module muni d’une application k-bilinéaire b : M×N → M⊗_{k} N qui vérifie la propriété universelle suivante : pour tout k-module P et toute application k-bilinéaire Φ : M×N → P, il existe une unique application k-linéaire φ : M⊗_{k} N → P telle que Φ = φ∘b. En d’autres termes : le couple (M ⊗_{k} N, b) représente le foncteur

Mod(k) → Ens, P ↦ Bil_{k}(M × N, P).

L’existence du k-module M ⊗_{k} N se prouve en le construisant : on considére le k-module libre k^{(M×N)} que l’on quotiente par le sous-k-module R engendré par les éléments

λe_{(m,n)} − e_{(λm,n)}, λe_{(m,n)} − e_{(m,λn)}, e_{(m+m′,n)} − e_{(m,n)} − e_{(m′,n)}, e_{(m,n+n′)} − e_{(m,n)} − e_{(m,n′)}

et on définit une application b : M × N → M ⊗_{k} N = k^{(M×N)}/R en associant au couple (m, n) la classe de e_{(m,n)}, notée m ⊗ n. Il est très facile de vérifier que le couple (M ⊗_{k} N, b) ainsi obtenu satisfait à toutes les conditions désirées.

(2.2) Extension des scalaires — Soit f : k → k′ un homomorphisme d’anneaux. On voit k′ comme un k-module en faisant agir k sur k′ via a.b = f(a)b.

Étant donné un k-module M, on vérifie aisément qu’il existe une unique structure de k′- module sur k′ ⊗_{k} M telle que μ(μ′ ⊗ m) = (μμ′) ⊗ m pour tous μ, μ′ ∈ k′, m ∈ M. Le k′-module k′ ⊗_{k} M satisfait à la propriété universelle suivante : pour tout k′-module P et toute application k-linéaire u : M → P, il existe une unique application k′-linéaire ũ : k′⊗_{k} → P telle que u(m) = ũ(1 ⊗ m) pour tout m ∈ M.

D’autre part, si M, N sont deux k-modules et u : M → N est une application k-linéaire, on vérifie qu’il existe une unique application k-linéaire u_{k′} = k′ ⊗_{k} u : k′ ⊗_{k} M → k′ ⊗_{k} N telle que u_{k′}(μ ⊗ m) = μ ⊗ u(m) pour tous μ ∈ k′, m ∈ M. On définit ainsi un foncteur

k′ ⊗_{k} · : Mod(k) → Mod(k′),

appelé extension des scalaires.

(2.3) Produit tensoriel d’algèbres — Soient (A, u) et (B, v) deux k-algèbres ; on voit A et B comme des k-modules via u et v respectivement. On vérifie aisément qu’il existe une unique structure d’anneau sur A ⊗_{k} B telle que (a ⊗ b)(a′ ⊗ b′) = (aa′) ⊗ (bb′) pour tous a, a′ ∈ A, b, b′ ∈ B. Quel que soit λ ∈ k, on a u(λ) ⊗ 1 = 1 ⊗ v(λ) = λ(1 ⊗ 1) et on fait de cet anneau une k-algèbre en considérant l’homomorphisme w : k → A ⊗_{k} B, λ ↦ w(λ) = u(λ) ⊗ 1 = 1 ⊗ v(λ).

Désignons respectivement par i_{A} et i_{B} les applications (A → A ⊗_{k} B, a ↦ a ⊗ 1) et (B → A⊗_{k}B, b ↦ 1⊗b) ; ce sont manifestement des homomorphismes de k-algèbres. On vérifie facilement que, pour toute k-algèbre R et tous homomorphismes de k-algèbres f_{A} : A → R, f_{B} : B → R, il existe un unique homomorphisme de k-algèbres f : A ⊗_{k} B → R tel que f_{A} = f ∘ i_{A} et f_{B} = f ∘ i_{B}. En d’autres termes : le triplet (A ⊗_{k} B, i_{A}, i_{B}) représente le foncteur

Alg_{k} → Ens, R ↦ Hom_{Alg_{k}}(A, R) × Hom_{Alg_{k}}(B, R).

Plus généralement, étant données trois k-algèbres A, B et C ainsi que des homomorphismes de k-algèbres

\xymatrix{A \ar[r]^{u_{B}} \ar[d]_{u_{C}} & B \\ C} ,

la k-algèbre B ⊗_{A} C représente le foncteur

Alg_{k} → Ens, R ↦ {(f_{B}, f_{C}) ∈ Hom_{Alg_{k}}(B, R) × Hom_{Alg_{k}}(C, R) | f_{B} ∘ u_{B} = f_{C} ∘ u_{C}} .

Autrement dit : pour toute k-algèbre R, se donner un homomorphisme f de B ⊗_{A} C dans R équivaut à se donner des homomorphismes f_{B} : B → R et f_{C} : C → R tels que le diagramme en traits pleins

\xymatrix{A \ar[r]^{u_{B}} \ar[d]_{u_{C}} & B \ar[d]^{i_{B}} \ar[ddr]^{f_{B}} \\ C \ar[r]_{i_{C}} \ar[drr]_{f_{C}} & B ⊗_{A} C \ar@{.>}[dr]^{f} \\  &  & R}

soit commutatif.

(2.4) Exercices. Les exercices suivants présentent des propriétés importantes du produit tensoriel que l’on établiera en raisonnant en termes de représentation de foncteurs.

1. Déterminer les couples d’entiers naturels (n, m) tels que le ℤ-module ℤ/nℤ ⊗_{ℤ} ℤ/mℤ soit nul.

2. Étant donnés un anneau A, un idéal ℑ de A et un A-module M, démontrer que le A/ℑmodule A/ℑ ⊗_{A} M est canoniquement isomorphe au A/ℑ-module M/ℑM.

3. Soit A → B un homomorphisme d’anneaux et soit I un ensemble. Démontrer que les B-modules B ⊗_{A} A^{(I)} et B^{(I)} sont canoniquement isomorphes et expliciter cet isomorphisme.

4. Soit k → k′ un homomorphisme d’anneaux. Étant donnés un ensemble I et des indéterminées (X_{i})_{i∈I}, démontrer que les k′-algèbres k′ ⊗_{k} k[(X_{i})_{i∈I}] et k′[(X_{i})_{i∈I}] sont canoniquement isomorphes.

5. Soit k un anneau. Étant donnés deux ensembles I et J ainsi que des indéterminées (X_{i})_{i∈I} et (Y_{j})_{j∈J}, démontrer que la k-algèbre k[(X_{i})_{i∈I}] ⊗_{k} k[(Y_{j})_{j∈J}] est canoniquement isomorphe à la k-algèbre k[(Z_{ℓ})_{ℓ∈I∪J}], où Z_{ℓ} = X_{ℓ} ⊗ 1 si ℓ ∈ I et Z_{ℓ} = 1 ⊗ Y_{ℓ} si ℓ ∈ J.

6. Soient k un anneau et A, B deux k-algèbres. Étant donnés des idéaux ℑ et 𝔍 de A et B respectivement, démontrer que la k-algèbreA/ℑ ⊗_{k} 𝔅/𝔍 est canoniquement isomorphe au quotient de la k-algèbre A ⊗_{k} B par l’idéal engendré par ℑ ⊗_{k} B + A ⊗_{k} 𝔍.

3. Algèbres de type fini sur un corps

Dans tout ce paragraphe, k désigne un corps. Une k-algèbre A est dite de type fini si elle est engendrée, en tant que k-algèbre, par un nombre fini d’éléments ; il revient au même de dire que que A est isomorphe au quotient d’un anneau de polynômes k[T_{1}, …, T_{n}].

(3.1) La géométrie algébrique naît d’une formulation géométrique des propriétés algébriques d’une k-algèbre de type fini, formulation dont le théorème suivant fournit le fondement.

Théorème (Nullstellensatz de Hilbert) — Soit A une k-algèbre de type fini.

(i) Pour tout idéal maximal 𝔪 de A, le corps A/𝔪 est une extension finie de k. En particulier : si le corps k est algébriquement clos, l’application canonique

Hom_{Alg_{k}}(A, k) → Max(A), s ↦ ker(s)

est une bijection. (ii) Tout idéal premier de A est l’intersection des idéaux maximaux le contenant. (iii) Considérons une k-algèbre B et un homomorphisme f : B → A. Pour tout idéal

maximal 𝔪 de A, f^{−1}(𝔪) est un idéal maximal de B.

Faisons quelques remarques importantes.

1. Supposons que le corps k soit algébriquement clos. Appliquée à la k-algèbre de type fini k[T_{1}, …, T_{n}], l’assertion (i) dit que l’application canonique

k^{n} → Max(k[T_{1}, …, T_{n}]), (t_{1}, …, t_{n}) ↦ (T_{1} − t_{1}, …, T_{n} − t_{n})

est une bijection. En effet, un homomorphisme u de k[T_{1}, …, T_{n}] dans k s’identifie canoniquement au n-uplet (t_{1}, …, t_{n}) ∈ k^{n} des images des indéterminées T_{1}, …, T_{n} et son noyau est l’idéal (T_{1} − t_{1}, …, T_{n} − t_{n}).

2. Soit ℑ un idéal maximal de k[T_{1}, …, T_{n}] et soit A = k[T_{1}, …, T_{n}]/ℑ. L’ensemble Max(A) des idéaux maximaux de A s’identifie canoniquement à l’ensemble des idéaux maximaux de k[T_{1}, …, T_{n}] contenant l’idéal ℑ; si k est algébriquement clos, il découle de la remarque précédente que Max(A) s’identifie à l’ensemble des zéros des éléments de ℑ dans k^{n} :

Max(A) ≅ {(t_{1}, …, t_{n}) ∈ k^{n} | f(t_{1}, …, t_{n}) = 0, ∀f ∈ ℑ}.

3. Si le corps k est algébriquement clos, un polynôme f ∈ k[T_{1}, …, T_{n}] est inversible si et seulement si f(t_{1}, …, t_{n}) ≠ 0 pour tous t_{1}, …, t_{n} ∈ k. Cette condition est trivialement nécessaire ; qu’elle soit suffisante découle de (i) puisqu’un polynôme f ne s’annulant en aucun point de k^{n} n’appartient à aucun idéal maximal de k[T_{1}, …, T_{n}] et donc est inversible.

4. L’assertion (ii) se généralise aisément sous la forme suivante : pour tout idéal ℑ de A, l’intersection des idéaux maximaux de A contenant ℑ est l’idéal

\sqrt{ℑ} = \{f ∈ A | ∃n ⩾ 0, f^{n} ∈ ℑ\}

(la racine de ℑ). En effet, dans tout anneau commutatif la racine d’un idéal est l’intersection des idéaux premiers le contenant ; dans une k-algèbre de type fini, c’est donc également l’intersection des idéaux maximaux le contenant.

5. L’assertion (iii) se déduit aisément de (i). En effet, f induisant un homomorphisme injectif B/f^{−1}(𝔪) ↪ A/𝔪, il découle de (i) que tout élément x de B/𝔪 est algébrique sur k; on a donc une relation x^{n}+a_{n−1}x^{n−1}+…+a_{0} = 0 dans B/f^{−1}(𝔪) avec a_{i} ∈ k. Comme B/f^{−1}(𝔪) est isomorphe à un sous-anneau d’un corps, c’est un anneau intègre ; si x est non nul, on en déduit facilement que l’on peut supposer a_{0} ≠ 0 (considérer une relation de degré minimal). Dans ces conditions, l’identité xa_{0}^{−1}(x^{n−1} + a_{n−1}x^{n−2} + … + a_{1}) = 1 montre que x est inversible dans B/f^{−1}(𝔪) ; ce dernier anneau est donc un corps et f^{−1}(𝔪) est un idéal maximal de B.

(3.2) Considérons une clôture algébrique \overline{k} de k et soit k^{s} la clôture séparable de k dans \overline{k}, c’est-à-dire la réunion des extensions finies séparables de k dans \overline{k}. L’extension k^{s}/k est galoisienne tandis que l’extension \overline{k}/k^{s} est purement inséparable : si le corps k n’est pas parfait et de caractéristique p > 0, chaque élément α de \overline{k} vérifie α^{p^{n}} ∈ k^{s} pour un certain entier n ⩾ 0. Enfin, tout k-automorphisme du corps \overline{k} stabilise le sous-corps k^{s} et l’application de restriction

Aut(\overline{k}|k) → Aut(k^{s}|k) = Gal(k^{s}|k), σ ↦ σ_{|k^{s}}

est un isomorphisme.

Proposition — Pour toute k-algèbre de type fini A, l’application

ι : Hom_{Alg_{k}}(A, \overline{k}) → Max(A), s ↦ ker(s)

identifie les idéaux maximaux de A aux orbites de l’action naturelle de Gal(k^{s}|k) sur Hom_{Alg_{k}}(A, \overline{k}). Démonstration. L’argument invoqué à la remarque 5 ci-dessus montre que le noyau d’un homomorphisme de k-algèbres A → \overline{k} est un idéal maximal de A. L’application ι est manifestement constante sur les orbites de Gal(k^{s}|k) et elle est surjective en vertu de l’assertion (i) du Nullstellensatz. Enfin, si deux homomorphismes s, s′ : A → \overline{k} ont le même noyau 𝔪, tous deux induisent un k-plongement du corps A/𝔪 dans \overline{k}; les extensions s : A/𝔪 ↪ \overline{k} et s′ : A/𝔪 ↪ \overline{k} étant deux clôtures algébriques de ce corps, on déduit de l’unicité à isomorphisme près des clôtures algébriques l’existence d’un automorphisme σ de \overline{k} tel que s′ = σ ∘ s; comme s et s′ sont en outre k-linéaires, σ induit l’identité sur k et σ appartient donc à Aut(\overline{k}|k) ≅ Gal(k^{s}|k). □

Proposition — L’application naturelle

p : Max(A ⊗_{k} \overline{k}) → Max(A), 𝔪 ↦ 𝔪 ∩ A

applique chaque composante connexe de Max(A⊗_{k} \overline{k}) sur une composante connexe de Max(A). Démonstration. Les composantes connexes de Max(A) sont de la forme D(e) = V(e − 1), où e est un idempotent primitif de A. Comme V(e − 1) ≅ Max(A/(e − 1)A), nous pouvons, quitte à remplacer A par A/(e − 1), supposer que Max(A) est connexe.

Observons tout d’abord que les idempotents de A ⊗_{k} \overline{k} appartiennent tous au sous-anneau A ⊗_{k} k^{s}. En effet, si le corps k est imparfait de caractéristique p > 0, alors il existe pour chaque élément a de A ⊗_{k} \overline{k} un entier n ⩾ 0 tel que a^{p^{n}} ∈ A ⊗_{k} k^{s} ; appliquant ceci à un idempotent e de A ⊗_{k} \overline{k}, on en déduit que e appartient à A ⊗_{k} k^{s} puisque e = e^{2}.

L’action naturelle du groupe Gal(k^{s}|k) sur A ⊗_{k} k^{s} permute les éléments idempotents en préservant le caractère primitif puisque Gal(k^{s}|k) permute les composantes connexes de Max(A ⊗_{k} \overline{k}). Étant donnée une composante connexe C de Max(A ⊗_{k} \overline{k}), la réunion C̃ des conjugués de C est une partie ouverte et fermée de Max(A ⊗_{k} \overline{k}) invariante sous Gal(k^{s}|k).

Cette partie est donc de la forme C̃ = D(e), où e est un idempotent de A ⊗_{k} k^{s} invariant sous Gal(k^{s}|k) ; ceci implique e ∈ A et donc e = 1 puisque Max(A) est connexe. On a ainsi C̃ = D(1) = Max(A ⊗_{k} \overline{k}) et l’action du groupe Gal(k^{s}|k) sur Max(A ⊗_{k} \overline{k}) permute donc transitivement les composantes connexes.

Nous pouvons maintenant conclure : étant donné un point x de Max(A), il existe un point x′ de Max(A⊗_{k} \overline{k}) au-dessus de x car l’application p est surjective (cf. proposition précédente). Quelle que soit la composante connexe C de Max(A ⊗_{k} \overline{k}), il existe un élément σ de Gal(k^{s}|k) tel que x′ appartienne à σ(C) ; on a alors σ^{−1}(x′) ∈ C — ce qui prouve que C rencontre la fibre de p au-dessus de x — et ainsi p(C) = Max(A). □

Table des matières

1. Langage fonctoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Catégories et foncteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Foncteurs représentables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Groupes algébriques affines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Définition et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Bigèbres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. Constructions élémentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Changement du corps de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3. Représentations linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2. Représentation régulière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3. Le théorème de Chevalley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Décomposition de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2. Éléments unipotents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3. Groupes diagonalisables et éléments semi-simples. . . . . . . . . . . . 45 4.4. Décomposition de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5. Groupes algébriques et variétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1. Groupes algébriques et groupes de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2. La variété d’un groupe algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3. Connexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4. Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6. Groupes résolubles et groupes unipotents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.1. Groupes algébriques résolubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2. Groupes algébriques unipotents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Appendice : notions d’algèbre commutative et de géométrie algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1. Définitions générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2. Produit tensoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3. Algèbres de type fini sur un corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78