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\begin{document}
\begin{flushleft}
{\bfseries Cours de M2 \emph{Groupes alg\'ebriques lin\'eaires \footnote{Version du 25 d\'ecembre 2008}}}
\end{flushleft}

\section{Langage fonctoriel}

\vspace{0.1cm} Les notions de \emph{cat\'egories} et de \emph{foncteurs} ont \'et\'e d\'egag\'ees par Saunders \textsc{Mac Lane} et Samuel \textsc{Eilenberg} vers 1945 dans le cadre de la topologie alg\'ebrique. Leur int\'er\^et vient en particulier du fait qu'elles permettent \begin{itemize} \item de travailler avec des objets math\'ematiques \emph{\`a isomorphisme pr\`es} (la relation d'\'egalit\'e est souvent non pertinente car trop rigide) ; \item de formuler de mani\`ere efficace la notion de \emph{propri\'et\'e universelle} ; \item de penser en termes de \emph{diagrammes} ; \item de formuler \og g\'eom\'etriquement \fg \ la th\'eorie na\"{\i}ve des ensembles. \end{itemize}

\subsection{Cat\'egories et foncteurs}

\noindent \textbf{(1.1.1)} Une \emph{cat\'egorie} $\mathbf{\C}$ est la donn\'ee

\vspace{0.1cm}
-- d'un ensemble $\mathrm{Ob}(\mathbf{\C})$ d'\emph{objets} ;

-- pour tous objets $\X$ et $\Y$ de $\mathbf{\C}$, d'un ensemble $\mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\X,\Y)$ de \emph{fl\`eches} (ou \emph{morphismes}), not\'ees $\xymatrix{\X \ar@{->}[r]^f & \Y}$ ou $f : \X \rightarrow \Y$;

-- pour tous objets $\X, \Y$ et $\Z$ de $\mathbf{\C}$, d'une \emph{composition}
\begin{center}$\mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\X,\Y) \times \mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\Y,\Z) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\X,\Z), \ \ (f,g) \mapsto g \circ f,$ \end{center}
\vspace{1pt}
de telle sorte que les axiomes suivants soient v\'erifi\'es

\vspace{0.1cm}(Ass) la composition des fl\`eches est \emph{associative} : pour toutes fl\`eches $\xymatrix{\X \ar@{->}[r]^f & \Y}$, $\xymatrix{\Y \ar@{->}[r]^g & \Z}$ et $\xymatrix{\Z \ar@{->}[r]^h & \T}$ dans $\mathbf{\C}$, $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$;

\vspace{0.1cm} (Id) pour tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$, il existe une fl\`eche ${\rm  1}_{\X} \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\X,\X)$ telle que, pour toutes fl\`eches $\xymatrix{\X \ar@{->}[r]^f & \Y}$ et $\xymatrix{\Y \ar@{->}[r]^g & \X}$,  $f \circ {\rm 1}_{\X} = f$ et ${\rm 1}_{\Y} \circ g = g.$

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{\emph{Remarque}} --- Il d\'ecoule imm\'ediatement de l'axiome (Id) que, pour tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$, la fl\`eche ${\rm 1_{\X}}$ est \emph{unique}.

\vspace{0.2cm} \'Etant donn\'ee une cat\'egorie $\mathbf{\C}$, une fl\`eche $\xymatrix{\X \ar@{->}[r]^f & \Y}$ est un \emph{isomorphisme} s'il existe une fl\`eche $\xymatrix{\Y \ar@{->}[r]^g & \X}$ telle que $g \circ f = {\rm 1}_{\X}$ et $f \circ g = {\rm 1}_{\Y}$. Si elle existe, la fl\`eche $g$ est unique et on la note $f^{-1}$ ; c'est l'\emph{inverse} de $f$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples}} --- 1. Mentionnons tout d'abord les cat\'egories naturellement associ\'ees \`a des structures math\'ematiques.

\begin{itemize} \item[(i)] La cat\'egorie \textbf{Ens} des ensembles : les objets sont les ensembles, les fl\`eches sont les applications, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet $\X$, ${\rm 1}_{\X}$ est l'application identique. Les isomorphismes sont les bijections.
\item[(ii)] La cat\'egorie \textbf{Gr} des groupes : les objets sont les groupes, les fl\`eches sont les homomorphismes de groupes, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet $\X$, ${\rm 1}_{\X}$ est l'homomorphisme identit\'e. Les isomorphismes sont les homomorphismes bijectifs.
\item[(iii)] La cat\'egorie \textbf{Ab} des groupes ab\'eliens : les objets sont les groupes ab\'eliens, les fl\`eches sont les homomorphismes de groupes, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet $\X$, ${\rm 1}_{\X}$ est l'homomorphisme identit\'e. Les isomorphismes sont les homomorphismes bijectifs.
\item[(iv)] La cat\'egorie \textbf{Ann} des anneaux commutatifs : les objets sont les anneaux commutatifs, les fl\`eches sont les homomorphismes d'anneaux, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet $\X$, ${\rm 1}_{\X}$ est l'homomorphisme identit\'e. Les isomorphismes sont les homomorphismes bijectifs.
\item[(v)] La cat\'egorie \textbf{Top} des espaces topologiques : les objets sont les espaces topologiques, les fl\`eches sont les applications continues, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet $\X$, ${\rm 1}_{\X}$ est l'application identit\'e. Les isomorphismes sont les hom\'eomorphismes.
\item[(vi)] Si $k$ est un corps, $\mathbf{Vect}(k)$ est la cat\'egorie des $k$-espaces vectoriels : les objets sont les $k$-espaces vectoriels, les fl\`eches sont les applications lin\'eaires, la composition est la composition usuelle et, pour tout objet $\X$, ${\rm 1}_{\X}$ est l'application identit\'e. Les isomorphismes sont les applications lin\'eaires bijectives.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} \noindent 2. On peut d'autre part attacher une cat\'egorie $\mathbf{\C}$ \`a tout ensemble partiellement ordonn\'e $(\E, \leqslant)$ : \begin{itemize} \item les objets sont les \'el\'ements de $\E$ ; \item \'etant donn\'es des \'el\'ements $x$ et $y$ de $\E$, $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} \textrm{l'ensemble } $1$ \textrm{ \`a un \'el\'ement } & \textrm{ si } x \leqslant y \\ \varnothing & \textrm{ sinon.} \end{array} \right.$$ Il existe une seule mani\`ere de d\'efinir la composition, qui est automatiquement associative. Enfin, pour tout $x \in \E$, ${\rm 1}_x$ est l'unique \'el\'ement de l'ensemble $\mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(x,x)$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} \noindent 3. Voici un exemple plus exotique. \'Etant donn\'e un corps $k$, on d\'esigne par $\Delta_k$ la cat\'egorie suivante : \begin{itemize}
\item les objets sont les nombres entiers naturels $0, 1, \ldots$ ;
\item \'etant donn\'es des nombres entiers $n$ et $m$, $\mathrm{Hom}_{\Delta_k}(n,m)$ est l'ensemble $\M_{m,n}(k)$ des matrices \`a $m$ lignes et $n$ colonnes \`a coefficients dans $k$ ;
\item pour tous entiers $m, n$ et $p$, la composition $\M_{n,m}(k) \times \M_{p,n}(k) \rightarrow \M_{p,m}(k)$ est le produit matriciel ;
\item pour tout entier $n$, ${\rm 1}_n$ est la matrice identit\'e $\mathrm{I}_n$.
\end{itemize}
Les isomorphismes sont les matrices inversibles.

\vspace{0.1cm} \noindent 4. Mentionnons enfin que l'on peut associer \`a toute cat\'egorie $\mathbf{\C}$ sa cat\'egorie \emph{oppos\'ee} $\mathbf{\C}^{\mathrm{op}}$ : les objets de $\mathrm{C}^{\mathrm{op}}$ sont les objets de $\mathbf{\C}$ et, pour tous objets $\X, \Y$ de $\mathbf{\C}$, $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}^{\mathrm{op}}}(\X,\Y) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\Y,\X).$$ Si l'on con{\c c}oit $\mathbf{\C}$ comme un graphe, $\mathbf{\C}^{\mathrm{op}}$ est le graphe obtenu en reversant le sens des fl\`eches.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(1.1.2)} Si $\mathbf{\C}$ et $\mathbf{\C}'$ sont deux cat\'egories, un \emph{foncteur} $\F : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{\C}'$ est la donn\'ee :

\vspace{0.1cm} -- pour tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$, d'un objet $\F(\X)$ de $\mathbf{\C}'$ ;

-- pour toute fl\`eche $\xymatrix{\X \ar@{->}[r]^f & \Y}$ dans $\mathbf{\C}$, d'une fl\`eche $\xymatrix{\F(\X) \ar@{->}[r]^{\F(f)} & \F(\Y)}$ dans $\mathbf{\C}'$,

\vspace{2pt} \noindent de telle sorte que les axiomes suivants soient v\'erifi\'es :

\vspace{0.1cm} (Ass') pour toutes fl\`eches $\xymatrix{\X \ar@{->}[r]^f & \Y}$ et $\xymatrix{\Y \ar@{->}[r]^g & \Z}$ dans $\mathbf{\C}$, $\F(g \circ f) = \F(g) \circ \F(f)$ ;

\vspace{0.1cm} (Id') pour tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$, $\F({\rm 1}_{\X}) = {\rm 1}_{\F(\X)}$.

\vspace{0.3cm} Le \emph{compos\'e} $\G \circ \F$ de deux foncteurs $\F : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{\C}'$ et $\G : \mathbf{\C}' \rightarrow \mathbf{\C}''$  est d\'efini de mani\`ere \'evidente : $(\G \circ \F)(\X) = \G(\F(\X))$ et $(\G \circ \F)(f) = \G(\F(f))$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}} --- Les foncteurs que l'on vient de d\'efinir sont souvent dits \emph{covariants}. En rempla{\c c}ant dans la d\'efinition pr\'ec\'edente l'axiome (Ass') par la variante $\F(g \circ f) = \F(f) \circ \F(g)$, on obtient la notion de foncteur \emph{contravariant} ; de mani\`ere \'equivalente, il s'agit d'un foncteur $\mathbf{\C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{\C}'$ ou $\mathbf{\C} \rightarrow {\mathbf{\C}'}^{\mathrm{op}}$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples}} --- 1. Pour toute cat\'egorie $\mathbf{\C}$, on dispose d'un foncteur ${\rm 1}_{\mathbf{\C}}$ d\'efini par ${\rm 1}_{\mathbf{\C}}(\X)= \X$ et ${\rm 1}_{\mathbf{\C}}(f) = f$.

\vspace{0.1cm}
\noindent 2. On dispose d'un foncteur d'\emph{oubli de structure} $\mathbf{Gr} \rightarrow \mathbf{Ens}$ associant \`a tout groupe l'ensemble sous-jacent et \`a tout homomorphisme de groupe l'application correspondante. De m\^eme : $\mathbf{Ann} \rightarrow \mathbf{Ab}$, $\mathbf{Top} \rightarrow \mathbf{Ens}$, etc.

\vspace{0.1cm}
\noindent 3. Soit $k$ un corps. On d\'efinit un foncteur de \emph{dualit\'e} $\D : \mathbf{Vect}(k) \rightarrow \mathbf{Vect}(k)^{\mathrm{op}}$ en associant \`a un $k$-espace vectoriel $\V$ (resp. \`a une application $k$-lin\'eaire $u$) l'espace vectoriel dual $\D(\V) = \mathrm{Hom}_{k}(\V,k)$ (resp. l'application contragr\'ediente $u^{\vee}$ d\'efinie par $u^{\vee}(\varphi) = \varphi \circ u$).

\vspace{0.1cm}
\noindent 4. D\'esignant toujours par $k$ un corps, on d\'efinit un foncteur $\Lr : \Delta_k \rightarrow \mathbf{Vect}(k)$ en associant \`a tout entier $n$ le $k$-espace vectoriel $\Lr(n) = k^n$ et \`a toute matrice $\M \in \mathrm{Hom}_{\Delta_k}(n,m) = \M_{m,n}(k)$ l'application $k$-lin\'eaire correspondante de $k^n$ dans $k^m$.

\vspace{0.1cm}
\noindent 5. D\'esignons par $\pi_0(\X)$ l'ensemble des composantes connexes d'un espace topologique $\X$. Chaque application continue $f : \X \rightarrow \Y$ envoyant une composante connexe de $\X$ sur une partie connexe de $\Y$, il existe une unique application $\pi_0(f) : \pi_0(\X) \rightarrow \pi_0(\Y)$ telle que $f(\Z) \subset \pi_0(f)(\Z)$ pour toute composante connexe $\Z$ de $\X$. On obtient ainsi un foncteur \og composantes connexes \fg \ $\pi_0 : \mathbf{Top} \rightarrow \mathbf{Ens}$.

\vspace{0.1cm}
\noindent 6. De fa{\c c}on tr\`es g\'en\'erale, la \emph{topologie alg\'ebrique} est l'\'etude de certains foncteurs $\mathrm{Top} \rightarrow \mathbf{\C}$, o\`u $\mathbf{\C}$ est une cat\'egorie de structures alg\'ebriques : \textbf{Ab}, \textbf{Gr}, \textbf{Vect}(k), etc.

\vspace{0.2cm}

Dans ce cours, nous nous int\'eresserons essentiellement aux foncteurs $\mathbf{Ann} \rightarrow \mathbf{Gr}$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(1.1.3)} Si $\F, \G : \mathbf{\C} \rightarrow \D$ sont deux foncteurs, un \emph{morphisme} (ou une \emph{transformation naturelle} de $\F$ dans $\G$) est la donn\'ee, pour tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$, d'un morphisme $\varphi_{\X} : \F(\X) \rightarrow \G(\X)$ dans $\D$, de telle sorte que la condition suivante soit v\'erifi\'ee : pour toute fl\`eche $\xymatrix{\X \ar@{->}[r]^f & \Y}$ dans $\mathbf{\C}$, le diagramme $$\xymatrix{\F(\X) \ar@{->}[r]^{\varphi_{\X}} \ar@{->}[d]_{\F(f)} & \G(\X) \ar@{->}[d]^{\G(f)} \\ \F(\Y) \ar@{->}[r]_{\varphi_{\Y}} & \G(\Y)}$$ est commutatif, i.e. $\varphi_{\Y} \circ \F(f) = \G(f) \circ \varphi_{\X}$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples}} --- 1. On dispose pour tout foncteur $\F : \mathbf{\C} \rightarrow \D$ d'un morphisme \emph{identit\'e} ${\rm 1}_{\F}$ de $\F$ dans lui-m\^eme : quel que soit l'objet $\X$ de $\mathbf{\C}$, $({\rm 1}_{\F})_{\X} = {\rm 1}_{\F(\X)}$.

\vspace{0.1cm}
\noindent 2. Par la suite, nous rencontrerons \`a maintes reprises des morphismes de foncteurs qui seront fabriqu\'es sur le mod\`ele suivant. Soit $n \geqslant 1$ un entier. Tout homomorphisme d'anneaux commutatifs $f : \A \rightarrow \B$ donne naturellement naissance \`a un homomorphisme de mono\"{\i}des (multiplicatifs) $\M_n(f) : \M_n(\A) \rightarrow \M_n(\B)$ associant \`a une matrice $(x_{ij})$ la matrice $\M_n(f)(x_{ij}) = (f(x_{ij}))$ ; on d\'efinit ainsi un foncteur $\M_n$ de la cat\'egorie des anneaux commutatifs dans la cat\'egorie $\mathbf{Mon}$ des mono\"{\i}des. Le d\'eterminant d'une matrice s'exprimant polynomialement en ses coefficients, $\mathrm{det}(\M_n(f)(\M)) = f(\mathrm{det}(\M))$ pour toute matrice $\M \in \M_n(\A)$ et donc le d\'eterminant fournit un morphisme de foncteurs ${\rm  det} : \M_n \rightarrow \M_1$.

\vspace{0.3cm} Les morphismes de foncteurs se composent de mani\`ere \'evidente. Un morphisme de foncteurs $\varphi : \F \rightarrow \G$ est un \emph{isomorphisme} s'il v\'erifie les conditions \'equivalentes suivantes : \begin{itemize}
\item[(i)] il existe un morphisme de foncteurs $\psi : \G \rightarrow \F$ tel que $\psi \circ \varphi = {\rm 1}_{\F}$ et $\varphi \circ \psi = {\rm 1}_{\G} $ ;
\item[(ii)] pour tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$, $\varphi_{\X}$ est un isomorphisme.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(1.1.4)} \'Etant donn\'ee une cat\'egorie arbitraire $\mathbf{C}$, nous allons comparer les foncteurs de $\mathbf{\C}$ dans $\mathbf{Gr}$ et les foncteurs de $\mathbf{\C}$ dans $\mathbf{Ens}$.

\vspace{0.1cm} Le produit $\F \times \G$ de deux foncteurs $\F, \G : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}$ est le foncteur de $\mathbf{\C}$ dans $\mathbf{Ens}$ d\'efini de mani\`ere \'evidente par $$(\F \times \G)(\X) = \F(\X) \times \G(\X) \ \ \ \textrm{et} \ \ \ (\F \times \G)(f) = (\F(f),\G(f))$$ pour tout objet $\X$ et toute fl\`eche $f$ dans $\mathbf{\C}$.

On d\'esigne d'autre part par ${\rm 1}$ le foncteur $\mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}$ tel que ${\rm 1}(\X)$ soit l'ensemble ${\rm 1}$ r\'eduit \`a un \'el\'ement pour tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$ et ${\rm 1}(f)$ soit l'unique application de ${\rm 1}$ dans ${\rm 1}$ pour toute fl\`eche $f$ dans $\mathbf{\C}$. Pour tout foncteur $\G : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}$, \begin{itemize} \item il existe un unique morphisme de foncteurs $\G \rightarrow {\rm 1}$ ; \item la projection sur le premier (resp. second) facteur est un isomorphisme entre les foncteurs $\G \times {\rm 1}$ (resp. ${\rm 1} \times \G$) et $\G$. \end{itemize}

\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{\emph{Proposition 1.1.1}} --- \emph{Soit $\mathbf{\C}$ une cat\'egorie.
Il revient au m\^eme de se donner \begin{itemize} \item[(i)] un foncteur $\G : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Gr}$; \item[(ii)] un foncteur $\widetilde{\G} : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}$ et des morphismes de foncteurs $$m : \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \rightarrow \widetilde{\G}, \ \  e : {\rm 1} \rightarrow \widetilde{\G}, \ \  \mathrm{inv} : \widetilde{\G} \rightarrow \widetilde{\G}$$ v\'erifiant les axiomes suivants : \end{itemize}}
\vspace{0.1cm}
(Ass) \emph{le diagramme $$\xymatrix{(\widetilde{\G} \times \widetilde{\G}) \times \widetilde{\G} \ar@{=}[dd] \ar@{->}[r]^{\hspace{0.2cm} m \times {\rm 1}_{\widetilde{\G}}} & \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[rd]^m & \\ & & \widetilde{\G} \\ \widetilde{\G} \times (\widetilde{\G} \times \widetilde{\G}) \ar@{->}[r]_{\hspace{0.1cm} {\rm 1}_{\widetilde{\G}} \times m} & \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[ru]_m & }$$ est commutatif}

\vspace{0.1cm}
(Uni) \emph{les diagrammes $$\xymatrix{{\rm 1} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[r]^{e \times {\rm 1}_{\widetilde{\G}}} \ar@{->}[rd]_{\cong} & \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^m \\ & \widetilde{\G}} \ \ \textrm{ et } \ \ \xymatrix{\widetilde{\G} \times {\rm 1} \ar@{->}[r]^{{\rm 1}_{\widetilde{\G}} \times e} \ar@{->}[rd]_{\cong} & \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^m \\ & \widetilde{\G}}$$ sont commutatifs}

\vspace{0.1cm}
(Inv) \emph{le diagramme $$\xymatrix{\widetilde{\G} \ar@{->}[r]^{\hspace{-0.2cm}({\rm 1}_{\widetilde{\G}},\mathrm{inv})} \ar@{->}[d] & \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^m \\ {\rm 1} \ar@{->}[r]_{e} & \widetilde{\G}}$$ est commutatif.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Cette proposition est compl\`etement triviale compte-tenu du fait qu'un groupe $\G$ (resp. un homomorphisme de groupes $f : \G \rightarrow \Hr$) est pr\'ecis\'ement la donn\'ee d'un ensemble $\widetilde{\G}$ et d'applications $m : \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \rightarrow \widetilde{\G}$, $e : {\rm 1} \rightarrow \widetilde{\G}$ et $\mathrm{inv} : \widetilde{\G} \rightarrow \widetilde{\G}$ de telle sorte que $m$ d\'efinisse une loi interne associative d'\'el\'ement neutre l'image de $e$ et pour laquelle ${\rm  inv}$ associe \`a chaque \'el\'ement de $\widetilde{\G}$ un inverse. Ces axiomes usuels sont \'equivalents \`a la commutativit\'e des quatre diagrammes $$\xymatrix{(\widetilde{\G} \times \widetilde{\G}) \times \widetilde{\G} \ar@{=}[dd] \ar@{->}[r]^{\hspace{0.2cm} m \times {\rm 1}_{\widetilde{\G}}} & \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[rd]^m & \\ & & \widetilde{\G} \\ \widetilde{\G} \times (\widetilde{\G} \times \widetilde{\G}) \ar@{->}[r]_{\hspace{0.1cm} {\rm 1}_{\widetilde{\G}} \times m} & \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[ru]_m & } \ \ \ \hspace{1cm} \ \ \ \xymatrix{\widetilde{\G} \ar@{->}[r]^{\hspace{-0.2cm}({\rm 1}_{\widetilde{\G}},\mathrm{inv})} \ar@{->}[d] & \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^m \\ {\rm  1} \ar@{->}[r]_{e} & \widetilde{\G}},$$ $$\xymatrix{{\rm  1} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[r]^{e \times {\rm  1}_{\widetilde{\G}}} \ar@{->}[rd]_{\cong} & \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^m \\ & \widetilde{\G}} \ \ \ \ \hspace{1cm} \ \ \ \xymatrix{\widetilde{\G} \times {\rm  1} \ar@{->}[r]^{{\rm  1}_{\widetilde{\G}} \times e} \ar@{->}[rd]_{\cong} & \widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^m \\ & \widetilde{\G}}$$ dans la cat\'egorie $\mathbf{Ens}$ (resp. d'une application $\widetilde{f}$ de $\widetilde{\G}$ dans $\widetilde{\Hr}$ telle que les trois diagrammes $$\xymatrix{\widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[r]^{m} \ar@{->}[d]_{\widetilde{f} \times \widetilde{f}} & \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^{\widetilde{f}} \\ \widetilde{\Hr} \times \widetilde{\Hr} \ar@{->}[r]_{m'} & \widetilde{\Hr}}  \ \ \ \hspace{1cm} \ \ \ \xymatrix{{\rm  1} \ar@{->}[r]^{e} \ar@{->}[rd]_{e'} & \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^{\widetilde{f}} \\ & \widetilde{\Hr}}  \ \ \ \hspace{1cm} \ \ \ \xymatrix{\widetilde{\G} \ar@{->}[r]^{{\rm inv}} \ar@{->}[d]_{\widetilde{f}} & \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^{\widetilde{f}} \\ \widetilde{\Hr} \ar@{->}[r]_{{\rm inv}'} & \widetilde{\Hr}}$$ dans $\mathbf{Ens}$ soient commutatifs, o\`u $m'$, $e'$ et ${\rm inv}'$ d\'esignent respectivement la multiplication, l'\'el\'ement neutre et l'inversion du groupe $\Hr$).

\vspace{0.1cm}
Ayant remarqu\'e cela, on \'etablit sans difficult\'e les assertions suivantes. \begin{itemize} \item Partant d'un foncteur $\G$ de $\mathbf{\C}$ dans $\mathbf{Gr}$, on d\'efinit $\widetilde{\G}$ comme le foncteur de $\mathbf{\C}$ dans $\mathbf{Ens}$ obtenu en composant $\G$ par le foncteur d'oubli $\mathbf{Gr} \rightarrow \mathbf{Ens}$ ; en clair, pour tout objet $\X$ et toute fl\`eche $f$ dans $\mathbf{\C}$, $\widetilde{\G}(\X)$ est l'ensemble sous-jacent au groupe $\G(\X)$ et $\widetilde{\G}(f)$ est l'application sous-jacente \`a l'homomorphisme de groupes $\widetilde{\G}(f)$. Pour tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$, la multiplication (resp. l'\'el\'ement neutre ; resp. l'inversion) du groupe $\G(\X)$ d\'efinit une application $m_{\X} : \widetilde{\G}(\X) \times \widetilde{\G}(\X) \rightarrow \widetilde{\G}(\X)$ (resp. $e_{\X} : {\rm 1}(\X) \rightarrow \widetilde{\G}(\X)$ ; resp. ${\rm inv}_{\X} : \widetilde{\G}(\X) \rightarrow \widetilde{\G}(\X)$). Lorsque $\X$ varie, ces applications constituent des morphismes de foncteurs satisfaisant aux axiomes (Ass), (Uni) et (Inv).
\item Partant r\'eciproquement d'un foncteur $\widetilde{\G}$ de $\mathbf{\C}$ dans $\mathbf{Ens}$ et de morphismes de foncteurs $m$, $e$ et ${\rm inv}$ satisfaisant aux axiomes (Ass), (Uni) et (Inv), le quadruplet $\G(\X) = (\widetilde{\G}(\X),m_{\X}, e_{\X}, {\rm inv}_{\X})$ est un groupe pour tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$ et l'application $\widetilde{\G}(f)$ d\'efinit un homomorphisme de groupes $\G(f)$ pour toute fl\`eche $f$ dans $\mathbf{\C}$. Les correspondances $\X \mapsto \G(\X)$ et $f \mapsto \G(f)$ d\'efinissent un foncteur de $\mathbf{\C}$ dans $\mathbf{Gr}$. \end{itemize}
\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} Si $\G$ et $\Hr$ sont deux foncteurs de $\mathbf{\C}$ dans $\mathbf{Gr}$ correspondant \`a des foncteurs $\widetilde{\G}$ et $\widetilde{\Hr}$ de $\mathbf{\C}$ dans $\mathbf{Ens}$ \'equip\'es de morphismes de foncteurs $(m_{\G}, e_{\G}, {\rm inv}_{\G})$ et $(m_{\Hr}, e_{\Hr}, {\rm inv}_{\Hr})$ qui satisfaisont aux axiomes (Ass), (Uni) et (Inv), il revient au m\^eme de se donner \begin{itemize} \item[(i)] un morphisme de foncteurs $\varphi : \G \rightarrow \Hr$ ; \item[(ii)] un morphisme de foncteurs $\widetilde{\varphi} : \widetilde{\G} \rightarrow \widetilde{\Hr}$ tel que les trois diagrammes $$\xymatrix{\widetilde{\G} \times \widetilde{\G} \ar@{->}[r]^{m_{\G}} \ar@{->}[d]_{\widetilde{\varphi} \times \widetilde{\varphi}} & \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^{\widetilde{\varphi}} \\ \widetilde{\Hr} \times \widetilde{\Hr} \ar@{->}[r]_{m_{\Hr}} & \widetilde{\Hr}}  \ \ \ \hspace{1cm} \ \ \ \xymatrix{{\rm 1} \ar@{->}[r]^{e_{\G}} \ar@{->}[rd]_{e_{\Hr}} & \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^{\widetilde{\varphi}} \\ & \widetilde{\Hr}}  \ \ \ \hspace{1cm} \ \ \ \xymatrix{\widetilde{\G} \ar@{->}[r]^{{\rm inv}_{\G}} \ar@{->}[d]_{\widetilde{\varphi}} & \widetilde{\G} \ar@{->}[d]^{\widetilde{\varphi}} \\ \widetilde{\Hr} \ar@{->}[r]_{{\rm inv}_{\Hr}} & \widetilde{\Hr}}$$ soient commutatifs. \end{itemize}

\vspace{0.1cm} En guise d'exercice, on d\'emontrera que le troisi\`eme diagramme est automatiquement commutatif si les deux premiers le sont.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Terminologie}} --- \'Etant donn\'ee une cat\'egorie $\mathbf{\C}$, on parlera de \emph{foncteur en ensembles} (resp. \emph{en groupes}) sur $\mathbf{\C}$ pour d\'esigner un foncteur de $\mathbf{\C}$ dans $\mathbf{Ens}$ (resp. dans $\mathbf{Gr}$). \'Etant donn\'e un foncteur en groupes $\G$ sur $\mathbf{\C}$, le foncteur en ensembles \emph{associ\'e} \`a $\G$ sera simplement le foncteur $\widetilde{\G}$ obtenu en composant $\G$ par le foncteur oubli $\mathbf{Gr} \rightarrow \mathbf{Ens}$. Si cela ne pr\^ete pas \`a confusion, on emploiera la m\^eme notation pour un foncteur en groupes et le foncteur en ensembles associ\'e.

\subsection{Foncteurs repr\'esentables} \noindent \textbf{(1.2.1)} \`A tout objet $\X$ d'une cat\'egorie $\mathbf{\C}$ est associ\'e un foncteur ${\rm h}_{\X} : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}$ :

\vspace{0.1cm} \begin{itemize} \item pour tout objet $\Y$ de $\mathbf{\C}$, ${\rm h}_{\X}(\Y)$ est l'ensemble $\mathrm{Hom}_\mathbf{\C} (\X,\Y)$ des fl\`eches issues de $\X$ dans $\mathbf{\C}$ ; \item pour toute fl\`eche $\xymatrix{\Y \ar@{->}[r]
^f & \Z}$ de $\mathbf{\C}$, ${\rm h}_{\X}(f)$ est l'application ${\rm h}_{\X}(\Y) \rightarrow {\rm h}_{\X}(\Z), \ g \mapsto f \circ g$.
\end{itemize}
On a clairement ${\rm h}_{u \circ v} = {\rm h}_v \circ {\rm h}_u$ pour toutes fl\`eches composables $u$ et $v$ dans $\mathbf{\C}$. Enfin, pour tout objet $\X$ de $\mathbf{\C}$, ${\rm h}_{{\rm 1}_\X}$ est la transformation identique du foncteur ${\rm h}_{\X}$.

\vspace{0.2cm} \`A toute fl\`eche $\xymatrix{\X \ar@{->}[r]^u & \X'}$ dans $\mathbf{\C}$ correspond un morphisme de foncteurs ${\rm h}_u : {\rm h}_{\X'} \rightarrow {\rm h}_{\X}$ : pour tout objet $\Y$ de $\mathbf{\C}$, ${\rm h}_u$ est l'application $${\rm h}_{\X'}(\Y) \rightarrow {\rm h}_{\X}, \ f \mapsto f \circ u.$$

\vspace{0.3cm} Le th\'eor\`eme suivant est fondamental.

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 1.2.1}} (\emph{Lemme de Yoneda}) --- \emph{Soit $\X$ un objet de $\mathbf{\C}$ et soit $\F$ un foncteur $\mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}$. La correspondance $$\left\{\begin{array}{l} \textrm{morphismes de foncteurs} \\ \hspace{1cm} \varphi : {\rm h}_{\X}  \rightarrow \F \end{array}\right\} \longrightarrow \F(\X), \ \  \varphi \mapsto \varphi_{\X}({\rm 1}_{\X})$$ est une bijection.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Soit $\varphi : {\rm h}_{\X} \rightarrow \F$ un morphisme de foncteurs. Pour tout objet $\Y$ de $\mathbf{\C}$ et toute fl\`eche $f \in {\rm h}_{\X}(\Y)$, on dispose d'un diagramme commutatif $$\xymatrix{{\rm h}_{\X}(\X) \ar@{->}[r]^{\varphi_{\X}} \ar@{->}[d]_{{\rm h}_{\X}(f)} & \F(\X) \ar@{->}[d]^{\F(f)} \\ {\rm h}_{\X}(\Y) \ar@{->}[r]_{\varphi_{\Y}} & \F(\Y)}$$ Comme $f$ est l'image de ${\rm 1}_{\X}$ par l'application ${\rm h}_{\X}(f)$, l'identit\'e \begin{eqnarray*} \varphi_{\Y}(f) & = & (\varphi_{\Y} \circ {\rm h}_{\X}(f)) ({\rm 1}_{\X}) \\ & = & (\F(f) \circ \varphi_{\X})({\rm 1}_{\X}) \\ & = & \F(f)(\varphi_{\X}({\rm 1}_{\X}))\end{eqnarray*} s'en d\'eduit imm\'ediatement et on constate que la transformation naturelle $\varphi$ est enti\`erement d\'etermin\'ee par la connaissance de l'\'el\'ement $\varphi_{\X}({\rm 1}_{\X})$ de $\F(\X)$.

\vspace{0.1cm} Supposons r\'eciproquement que l'on dispose d'un \'el\'ement $\alpha$ de $\F(\X)$. Pour tout objet $\Y$ de $\mathbf{\C}$, on d\'esigne par $\varphi_{\Y}$ l'application de ${\rm h}_{\X}(\Y) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\X,\Y)$ dans $\F(\Y)$ d\'efinie par $\varphi_{\Y}(f) = \F(f)(\alpha)$. Pour \'etablir que la collection de ces applications d\'efinit une transformation naturelle entre les foncteurs ${\rm h}_{\X}$ et $\F$, il faut v\'erifier que, pour toute fl\`eche $\xymatrix{\Y \ar@{->}[r]^g & \Z}$ dans $\mathbf{\C}$, le diagramme $$\xymatrix{{\rm h}_{\X}(\Y) \ar@{->}[r]^{\varphi_{\Y}} \ar@{->}[d]_{{\rm h}_{\X}(g)} & \F(\Y) \ar@{->}[d]^{\F(g)} \\ {\rm h}_{\X}(\Z) \ar@{->}[r]_{\varphi_{\Z}} & \F(\Z)}$$ est commutatif. C'est imm\'ediat : quelle que soit la fl\`eche $u \in {\rm h}_{\X}(\Y)$, \begin{eqnarray*} (\varphi_{\Z} \circ {\rm h}_{\X}(g))(h) & = & \varphi_{\Z}(g \circ h) \\ & = & \F(g \circ h)(\alpha) \\ & = & (\F(g) \circ \F(h))(\alpha) \\ & = & \F(g)(\F(h)(\alpha)) \\ & = & \F(g)(\varphi_{\Y}(h)).  \end{eqnarray*}

\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} On dit qu'un foncteur $\F : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}$ est \emph{repr\'esentable} s'il existe un objet $\X$ de $\mathbf{\C}$ et un isomorphisme de foncteurs $\xymatrix{\varphi : {\rm h}_{\X} \ar@{->}[r]^{\sim}  & \F}$, auquel cas le couple $(\X, \varphi)$ est un \emph{repr\'esentant} de $\F$. D'apr\`es le lemme de Yoneda, le morphisme de foncteurs $\varphi$ correspond \`a un \'el\'ement $\alpha$ de $\F(\X)$ uniquement d\'etermin\'e et on dit \'egalement que le couple $(\X, \alpha)$ est un repr\'esentant de $\F$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 1.2.2}} --- \emph{Pour tous objets $\X$ et $\Y$ d'une cat\'egorie $\mathbf{\C}$, la correspondance $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\Y,\X) \longrightarrow \left\{\begin{array}{l} \textrm{morphismes de foncteurs} \\ \hspace{1cm} \varphi : {\rm h}_{\X}  \rightarrow {\rm h}_{\Y}\end{array}\right\}, \ \   u \mapsto {\rm h}_u$$ est une bijection pr\'eservant les isomorphismes. La bijection r\'eciproque fait correspondre \`a un morphisme de foncteurs $\varphi$ la fl\`eche $\varphi_{\X}({\rm 1}_{\X})$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}} --- En vertu du lemme de Yoneda, la correspondance $\varphi \mapsto \varphi_{\X}({\rm 1}_{\X})$ \'etablit une bijection entre l'ensemble des morphismes de foncteurs $\varphi : {\rm h}_X \rightarrow {\rm h}_{\Y}$ et l'ensemble ${\rm h}_{\Y}(\X) = \mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\Y,\X)$ des fl\`eches $\xymatrix{\Y \ar@{->}[r]^u & \X}$ dans $\mathbf{\C}$. Les arguments donn\'es au cours de la d\'emonstration pr\'ec\'edente montrent que la correspondance r\'eciproque associe \`a une fl\`eche $u \in {\rm h}_{\Y}(\X)$ le morphisme de foncteurs $\varphi : {\rm h}_{\X} \rightarrow {\rm h}_{\Y}$ d\'efini par la condition suivante : pour tout objet $\Z$ de $\mathbf{\C}$, $\varphi_{\Z}$ est l'application $${\rm h}_{\X}(\Z) \rightarrow {\rm h}_{\Y}(\Z), \ f \mapsto f \circ u,$$ c'est-\`a-dire $\varphi = {\rm h}_u$.

\vspace{0.1cm}
Il reste \`a v\'erifier qu'une fl\`eche $\xymatrix{\Y \ar@{->}[r]^u & \X}$ dans $\mathbf{\C}$ est un isomorphisme si et seulement si ${\rm h}_u$ est un isomorphisme de foncteurs. \begin{itemize} \item Si $u$ est un isomorphisme, alors ${\rm h}_u \circ {\rm h}_{u^{-1}} = {\rm h}_{u^{-1} \circ u} = {\rm h}_{{\rm 1}_{\Y}}= {\rm 1}_{{\rm h}_{\Y}}$ et ${\rm h}_{u^{-1}} \circ {\rm h}_{u} = {\rm h}_{u \circ u^{-1}} = {\rm h}_{{\rm 1}_{\X}} = {\rm 1}_{{\rm h}_{\X}}$, donc ${\rm h}_u$ est un isomorphisme de foncteurs. \item Si r\'eciproquement ${\rm h}_u$ est un isomorphisme de foncteurs, l'isomorphisme inverse $\xymatrix{{\rm h}_u^{-1} : {\rm h}_{\Y} \ar@{->}[r]^{\sim} & {\rm h}_{\X}}$ est de la forme ${\rm h}_v$ pour une certaine fl\`eche $v \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\X,\Y)$ et alors $${\rm h}_{u \circ v} = {\rm h}_v \circ {\rm h}_u = {\rm h}_{{\rm 1}_{\X}}, \ \ \ {\rm h}_{v \circ u} = {\rm h}_u \circ {\rm h}_v = {\rm h}_{{\rm 1}_{\Y}},$$ donc $u \circ v = {\rm 1}_{\X}$, $v \circ u = {\rm 1}_{\Y}$ et $u$ est un isomorphisme. \end{itemize}\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 1.2.3}} --- \emph{Soit $\F : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}$ un foncteur repr\'esentable. Si $(\X, \varphi)$ et $(\X', \varphi')$ sont deux repr\'esentants de $\F$, il existe un unique isomorphisme $\xymatrix{u : \X' \ar@{->}[r]^{\sim} & \X}$ tel que le diagramme $$\xymatrix{{\rm h}_{\X} \ar@{->}[rd]_{h_u} \ar@{->}[r]^{\varphi} & \F \\ & {\rm h}_{\X'} \ar@{->}[u]_{\varphi'}} $$ soit commutatif.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Il suffit d'appliquer le corollaire pr\'ec\'edent \`a l'isomorphisme de foncteurs ${\varphi'}^{-1} \circ \varphi$.\hfill $\Box$

\vspace{0.1cm}
Ainsi, si un foncteur $\F : \mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}$ est repr\'esentable, tout repr\'esentant $(\X, \varphi_{\X})$ de $\F$ est \emph{unique} \`a un isomorphisme \emph{unique} pr\`es.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarques et exemples}} --- Les consid\'erations pr\'ec\'edentes ont de multiples implications ; explicitons-en quelques une.

\vspace{0.1cm} \noindent 1. La notion de foncteur repr\'esentable peut se comprendre en termes de \emph{probl\`eme universel}. \'Etant donn\'e un foncteur $\F$ d'une cat\'egorie $\mathbf{\C}$ dans la cat\'egorie des ensembles, on se demande s'il existe un objet $\X$ de $\mathbf{\C}$ et un \'el\'ement $\alpha$ de $\F(\X)$ tels que le couple $(\X,\alpha$) soit universel, c'est-\`a-dire satisfasse \`a la condition suivante : pour tout couple $(\Y,\beta)$ constitu\'e d'un objet $\Y$ de $\mathbf{\C}$ et d'un \'el\'ement $\beta$ de $\F(\Y)$, il existe une unique fl\`eche $f : \X \rightarrow \Y$ dans $\mathbf{\C}$ telle que $\beta = \F(f)(\alpha)$. Dire que le foncteur $\F$ est repr\'esentable, c'est exactement dire que ce probl\`eme admet une solution ; dire qu'un couple $(\X, \alpha)$ repr\'esente le foncteur $\F$, c'est exactement dire qu'il est une solution du probl\`eme consid\'er\'e. Enfin, le corollaire 1.2.3 affirme que, si $(\X,\alpha)$ et $(\X',\alpha')$ sont deux solutions de ce probl\`eme, alors il existe un isomorphisme $f:\xymatrix{\X \ar@{->}[r]^{\sim} & \X'}$ uniquement d\'etermin\'e tel que $\alpha' = \F(f)(\alpha)$.

\vspace{0.1cm} Sous la forme que l'on vient de lui donner, la notion de foncteur repr\'esentable est famili\`ere.

\vspace{0.1cm}
(i) Prenons pour $\mathbf{\C}$ la cat\'egorie des ensembles. Si $\E$ est un ensemble muni d'une relation d'\'equivalence $\sim$, on peut consid\'erer le foncteur $\F$ de $\mathbf{Ens}$ dans $\mathbf{Ens}$ qui associe \`a tout ensemble $\E'$ l'ensemble des applications $f : \E \rightarrow \E'$ telles que $f(x) = f(y)$ si $x \sim y$. Ce foncteur est rep\'esentable par l'ensemble quotient $\E/\sim$ et la projection canonique $p$ de $\E$ dans $\E'$ ; c'est la \og propri\'et\'e universelle du quotient \fg.

\vspace{0.1cm}
(ii)  Prenons pour $\mathbf{\C}$ la cat\'egorie $\mathbf{Mod}(\A)$ des modules (\`a gauche) sur un anneau $\A$. \'Etant donn\'es un $\A$-module $\M$ et un sous-module $\N$, le foncteur $\F$ de $\mathbf{Mod}(\A)$ dans la cat\'egorie des ensembles, qui \`a un $\A$-module $\rP$ associe l'ensemble des applications $\A$-lin\'eaires $u : \M \rightarrow \rP$ s'annulant sur $\N$, est repr\'esentable par le $\A$-module quotient $\M/\N$ et la projection canonique de $\M$ sur $\M/\N$.

\vspace{0.1cm}
(iii) Prenons pour $\mathbf{\C}$ la cat\'egorie $\mathbf{Top}$ des espaces topologiques. Le foncteur \og composantes connexes \fg \ $\pi_0 : \mathbf{Top} \rightarrow \mathbf{Ens}$ n'est certainement \emph{pas} repr\'esentable. En effet, s'il existait un espace topologique $\X$ et une composante connexe $\mathbf{\C} \in \pi_0(\X)$ de $\X$ tels que l'application $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}(\X,\Y) \rightarrow \pi_0(\Y), \ f \mapsto f(\mathbf{\C})$$ soit une bijection pour tout espace topologique $\Y$, il existerait alors en particulier une unique application continue de $\X$ dans $\mathbb{R}$ puisque $\mathbb{R}$ est connexe, ce qui impliquerait $\X = \varnothing$ (si $\X \neq \varnothing$, les fonctions r\'eelles constantes fournissent une infinit\'e d'applications continues de $\X$ dans $\mathbb{R}$). Comme l'ensemble $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}(\varnothing, \Y)$ est r\'eduit \`a un \'el\'ement pour tout espace topologique $\Y$, on en d\'eduirait alors que $\pi_0(\Y)$ est \emph{toujours} un singleton, ce qui est absurde!

\vspace{0.1cm}
(iv) Poursuivons l'\'etude de l'exemple pr\'ec\'edent. \'Etant donn\'es deux espaces topologiques $\X$ et $\Y$, on d\'esigne par $[\X,\Y]$ l'ensemble des \emph{classes d'homotopie} d'applications continues de $\X$ dans $\Y$, c'est-\`a-dire le quotient de $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Top}}(\X,\Y)$ par la relation d'\'equivalence \og $f \sim g$ si et seulement si $f$ et $g$ sont homotopes \fg. On v\'erifie sans difficult\'e que la composition est compatible \`a cette relation d'\'equivalence, ce qui permet de d\'efinir la cat\'egorie $\mathbf{Hot}$ des \emph{espaces topologiques \`a homotopie pr\`es} : les objets sont les espaces topologiques, les fl\`eches sont les classes d'homotopie d'applications continues et la composition est induite par la composition usuelle. Le foncteur \og composantes connexes par arcs \fg \ $\pi_0' : \mathbf{Top} \rightarrow \mathbf{Ens}$ n'est pas repr\'esentable (m\^eme argument que pour $\pi_0$) mais le foncteur $\pi_0' : \mathbf{Hot} \rightarrow \mathbf{Ens}$ qu'il induit l'est, car les composantes connexes par arcs de $\Y$ sont naturellement en bijection avec les classes d'homotopie d'applications continues du singleton $1$ dans $\Y$ : $$[1,\Y] \cong \pi_0'(\Y).$$

\vspace{0.2cm} 2. Interpr\'eter une construction usuelle en termes de repr\'esentation d'un foncteur permet de la transf\'erer dans un autre contexte. Un exemple standard est la \emph{somme} (ou \emph{union disjointe}) des ensembles. \'Etant donn\'es deux ensembles $\X$ et $\Y$, la somme $\X \sqcup \Y$ de $\X$ et $\Y$ poss\`ede la propri\'et\'e universelle suivante : il revient au m\^eme de se donner une application $f$ de $\X \sqcup \Y$ dans un ensemble $\Z$ ou de se donner des applications $f_{\X}$ et $f_{\Y}$ de $\X$ et $\Y$ dans $\Z$ respectivement, $f_{\X}$ (resp. $f_{\Y}$) \'etant la restriction de $f$ au sous-ensemble $\X$ (resp. $\Y$) de $\X \sqcup \Y$. En d'autres termes, le triplet $(\X \sqcup \Y, i_{\X}, i_{\Y})$ constitu\'e de l'ensemble $\X \sqcup \Y$ et des inclusions canoniques de $\X$ et $\Y$ dans $\X \sqcup \Y$ repr\'esente le foncteur $$\mathbf{Ens} \rightarrow \mathbf{Ens},\ \ \Z \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}}(\X,\Z) \times \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}}(\X,\Z).$$
\vspace{0.1cm} Quels que soient alors la cat\'egorie $\mathbf{\C}$ et les objets $\X$ et $\Y$ de $\mathbf{\C}$, cela fait sens de se demander si le foncteur $$\mathbf{\C} \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \Z \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\X,\Z) \times \mathrm{Hom}_{\mathbf{\C}}(\Y,\Z)$$ est repr\'esentable ; si oui, on d\'esigne par $\X \sqcup \Y$ un objet le repr\'esentant et on dit que $\X \sqcup \Y$ est le \emph{coproduit} de $\X$ et $\Y$.
\vspace{0.1cm} La r\'eponse est toujours positive dans $\mathbf{Top}$ : le coproduit de deux espaces topologiques $\X$ et $\Y$ est la somme des ensembles sous-jacents muni de la topologique la plus fine rendant continues les injections canoniques $\X, \ \Y \hookrightarrow \X \sqcup \Y$.  La r\'eponse est \'egalement positive dans $\mathbf{Ab}$ : le coproduit de deux groupes ab\'eliens $\X$ et $\Y$ n'est autre que leur somme directe $\X \oplus \Y$, et on voit d\'ej\`a sur cet exemple \'el\'ementaire que l'ensemble sous-jacent au coproduit de deux groupes ab\'eliens n'est \emph{pas} le coproduit des ensembles sous-jacents, ce qui montre l'int\'er\^et de la reformulation en termes fonctoriels. On dispose \'egalement d'un coproduit dans la cat\'egorie $\mathbf{Gr}$ des groupes (c'est le \emph{produit libre}) et dans la cat\'egorie des anneaux commutatifs (c'est le \emph{produit tensoriel}, cf. appendice). Il faut toutefois se garder de croire que l'existence d'un coproduit est toujours assur\'ee : par exemple, dans la cat\'egorie $C$ associ\'ee \`a un ensemble partiellement ordonn\'e $(\E, \leqslant)$ (1.1.1, exemple 2), l'existence du coproduit de deux objets $x$ et $y$ \'equivaut \`a celle de la borne inf\'erieure de $x$ et $y$ dans $\E$.

\vspace{0.1cm} On peut aborder de m\^eme l'\'etude du \emph{produit cart\'esien} $\X \times \Y$ de deux ensembles $\X$ et $\Y$, repr\'esentant le foncteur $$\mathbf{Ens}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \ \Z \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}}(\X,\Z) \times \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}}(\Y,\Z),$$ et essayer de l'\'etendre \`a d'autres cat\'egories (exercice!).

\vspace{0.2cm} 3. En vertu du corollaire 1.2.2, on ne perd aucune information en rempla{\c c}ant un objet $\X$ d'une cat\'egorie $\mathbf{\C}$ par le foncteur ${\rm h}_{\mathbf{\C}}$. Contrairement aux apparence, ce point de vue s'av\`ere parfois simplificateur en ce qu'il permet de construire une fl\`eche $u : \xymatrix{\X \ar@{->}[r] & \Y}$ dans une cat\'egorie $\mathbf{\C}$ \emph{a priori} compliqu\'ee en d\'efinissant seulement des applications naturelles entre les ensembles variables ${\rm h}_{\Y}(\cdot)$ et ${\rm h}_{\X}(\cdot)$. On en verra un exemple explicite dans ce cours (o\`u $\mathbf{\C}$ sera la cat\'egorie des \emph{big\`ebres} de type fini sur un corps $k$, cf. 1.4).

\newpage

\section{Groupes alg\'ebriques affines}

\subsection{D\'efinition et exemples}

On fixe dans tout ce paragraphe un corps $k$ et on d\'esigne par $\mathbf{Alg}_k$ la cat\'egorie des $k$-alg\`ebres (cf. appendice, 1.1).

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{(2.1.1)} Commen{\c c}ons par introduire les principaux objets que nous consid\'ererons dans ce cours.

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{\emph{D\'efinition 2.1.1}} --- \emph{Soit $k$ un corps.
\begin{itemize}
\item[(i)] Un \emph{groupe alg\'ebrique affine sur} $k$ est un foncteur en groupes $\G : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ tel que le foncteur en ensembles associ\'e $\mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Ens}$ soit repr\'esentable par une $k$-alg\`ebre de type fini.
\item[(ii)] Si $\G$ et $\Hr$ sont deux groupes alg\'ebriques affines sur $k$, un \emph{homomorphisme} $f : \G \rightarrow \Hr$ est un morphisme de foncteurs en groupes.
\end{itemize}}

\vspace{0.3cm} Les groupes alg\'ebriques affines sur $k$ et leurs homomorphismes constituent les objets et les fl\`eches d'une cat\'egorie, not\'ee $\mathbf{k-Gr}$.

\vspace{0.3cm} Explicitons cette d\'efinition. Un foncteur $\G : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ est un groupe alg\'ebrique affine sur $k$ s'il existe une $k$-alg\`ebre de type fini $\A$ et, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, une bijection $$\varphi_{\R} : \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) \simeq \G(\R)$$ d\'ependant \og naturellement \fg \ de $\R$, c'est-\`a-dire telle que, pour tout homomorphisme de $k$-alg\`ebres $f : \R \rightarrow \R'$, le diagramme $$\xymatrix{\mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) \ar@{->}[r]^{\hspace{0.4cm} \varphi_{\R}} \ar@{->}[d]_{f \circ \cdot} & \G(\R)  \ar@{->}[d]^{\G(f)} \\ \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R') \ar@{->}[r]_{\hspace{0.4cm} \varphi_{\R'}} & \G(\R')}$$ soit commutatif.


\vspace{0.1cm}
Dire qu'une $k$-alg\`ebre $\A$ est de type fini, c'est dire qu'elle est isomorphe au quotient d'un anneau de polyn\^omes $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ en un nombre fini de variables par un id\'eal $\mathfrak{I}$ : $$\lambda :  k[\T_1,\ldots, \T_n]/\mathfrak{I} \simeq \A.$$ En utilisant la propri\'et\'e universelle des anneaux de polyn\^omes (cf. appendice, 1.1), on peut donner une description plus concr\`ete du foncteur en ensembles ${\rm h}_{\A} = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A, \cdot)$ sur la cat\'egorie $\mathbf{Alg}_k$. De mani\`ere p\'ecise, la correspondance $u \mapsto \lambda \circ u$ induit un isomorphisme entre ${\rm h}_{\A}$ et le foncteur $$\V_{\mathfrak{I}} : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Ens},$$ associant \`a toute $k$-alg\`ebre $\R$ l'ensemble $$\V_{\mathfrak{I}}(\R) = \left\{(r_1, \ldots, r_n) \in \R^n \ | \ \rP(r_1, \ldots, r_n)=0 \textrm{ pour tout } \rP \in \mathfrak{I} \right\}$$ des z\'eros de l'id\'eal $\mathfrak{I}$ dans $\R^n$ et \`a tout homomorphisme de $k$-alg\`ebres $f : \R \rightarrow \R'$ l'application  $$\V_{\mathfrak{I}}(f) : \V_{\mathfrak{I}}(\R) \rightarrow \V_{\mathfrak{I}}(\R'), \ \ (r_1, \ldots, r_n) \mapsto (f(r_1), \ldots, f(r_n)).$$

\vspace{0.2cm} On aboutit ainsi \`a une reformulation simple de la d\'efinition initiale :

\vspace{0.1cm}
\noindent \emph{un groupe alg\'ebrique affine sur $k$, c'est un foncteur $\G : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ tel que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, l'ensemble sous-jacent au groupe $\G(\R)$ puisse s'identitifer de mani\`ere \og naturelle \fg \ \`a un sous-ensemble de $\R^n$ d\'efini par des \'equations polynomiales \`a coefficients dans $k$.}

\vspace{0.1cm}
(Ici, \og naturelle \fg \  signifie \og de fa{\c c}on compatible aux homomorphismes de $k$-alg\`ebres\fg).

\vspace{0.2cm} La terminologie adopt\'ee s'\'eclaire du m\^eme coup ; par la suite, nous la simplifierons en parlant de \emph{groupe alg\'ebrique sur $k$}, voire de $k$-\emph{groupe}, plut\^ot que de groupe alg\'ebrique affine sur $k$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple paradigmatique}} --- 1. Le foncteur $\mathrm{GL}_n : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$, associant \begin{itemize} \item \`a toute $k$-alg\`ebre $\R$, le groupe des matrices carr\'ees inversibles de taille $n$ \`a coefficients dans $\R$, \item \`a tout homomorphisme de $k$-alg\`ebres $f : \R \rightarrow \R'$, l'homomorphisme de groupes induit par l'homomorphisme de mono\"{\i}des $\M_n(\R) \rightarrow \M_n(\R'), \ (x_{ij}) \mapsto (f(x_{ij}))$, \end{itemize} est un groupe alg\'ebrique sur $k$.

En effet, quelle que soit la $k$-alg\`ebre $\R$, se donner une matrice $\M$ dans $\M_n(\R)$ revient \`a se donner $n^2$ \'el\'ements $m_{ij}$ de $\R$, c'est-\`a-dire un homomorphisme de la $k$-alg\`ebre de polyn\^omes $k[(\X_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}]$ dans $\R$. Pour que $\M$ soit inversible, il faut et il suffit que son d\'eterminant soit inversible dans $\R$ c'est-\`a-dire qu'il existe $t \in \R$ avec $t\det (\M) - 1 = 0$. La formule bien connue $$\mathrm{det}(\M) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) m_{1\sigma(1)} \ldots m_{n \sigma(n)}$$ montre que le d\'eterminant de la matrice $\M$ est un polyn\^ome en les $m_{ij}$, \`a coefficients dans $\mathbb{Z}$, donc n'importe quel corps $k$. On a ainsi d\'ecrit une bijection naturelle $$\mathrm{GL}_n(\R) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}\left(k[(\X_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n},\T]/(\T \mathrm{det}(\X_{ij}) - 1), \R\right),$$ o\`u l'on a pos\'e $$\mathrm{det}(\X_{ij}) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \X_{1\sigma(1)} \ldots \X_{n\sigma(n)}.$$

\vspace{0.1cm} 2. Le morphisme de foncteurs en groupes $\det : \mathrm{GL}_n \rightarrow \mathrm{GL}_1$, d\'efini par la collection des homomorphismes de groupes $\mathrm{det}_{\R} : \mathrm{GL}_n(\R) \rightarrow \mathrm{GL}_1(\R)$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, est un homomorphisme de groupes alg\'ebriques.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 2.1.2}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$. On appelle \emph{anneau de coordonn\'ees} de $\G$ la donn\'ee d'un $k$-alg\`ebre de type fini $\A$ et d'un isomorphisme de foncteurs en ensembles $\varphi : {\rm h}_{\A} \simeq \G$.}

\vspace{0.1cm}
En vertu du lemme de Yoneda, deux anneaux de coordonn\'ees $(\A,\varphi)$ et $(\A', \varphi')$ de $\G$ sont canoniquement isomorphes : il existe un unique isomorphisme de $k$-alg\`ebres $u : \A' \rightarrow \A$ tel que le diagramme $$\xymatrix{{\rm h}_{\A} \ar@{->}[rd]_{\varphi} \ar@{->}[rr]^{{\rm h}_u} & & {\rm h}_{\A'} \ar@{->}[ld]^{\varphi'} \\ & \G & }$$ soit commutatif. Cela permet de parler de l'\emph{anneau de coordonn\'ees} de $\G$, not\'e $(\mathcal{O}(\G),\varphi)$ ou $(k[\G],\varphi)$ ; on omettra le plus souvent de faire figurer l'isomorphisme $\varphi$.


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(2.1.2)} Donnons tout de suite des exemples de groupes alg\'ebriques sur un corps $k$.

\vspace{0.1cm} (i) Le foncteur ${\rm 1} : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a toute $k$-alg\`ebre $\R$ le groupe $\{1\}$ r\'eduit \`a un \'el\'ement est un groupe alg\'ebrique sur $k$. En effet, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, il existe un unique homomorphisme de $k$-alg\`ebres de $k$ dans $\R$ (c'est l'homomorphisme structural de $\R$, cf. appendice 1.1) et le foncteur ${\rm 1}$ est donc repr\'esent\'e par la $k$-alg\`ebre $k$.

\vspace{0.1cm} (ii) Le foncteur $\mathbb{G}_{\rm a} : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a toute $k$-alg\`ebre $\R$ le groupe additif sous-jacent $(\R, +)$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$ d'anneau de coordonn\'ees la $k$-alg\`ebre $k[\X]$. C'est le \emph{groupe additif} sur $k$.

\vspace{0.1cm} (iii) Le foncteur $\mathbb{G}_{\rm m} :  \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a toute $k$-alg\`ebre $\R$ le groupe multiplicatif $(\R^{\times}, \cdot)$ des \'el\'ements \emph{inversibles} de $\R$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$, d'anneau de coordonn\'ees la $k$-alg\`ebre $k[\X,\T]/(\X\T - 1)$. C'est le \emph{groupe multiplicatif} sur $k$.

\vspace{0.1cm} (iv) Pour tout entier $n \geqslant 0$, le foncteur $\mathbf{\mu}_n : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a chaque $k$-alg\`ebre $\R$ le groupe multiplicatif $\mathbf{\mu}_n(\R)$ des racines $n$-\`emes de l'unit\'e dans $\R$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$, d'anneau de coordonn\'ees $k[\X]/(\X^n - 1)$. Lorsque $n = 0$, on retrouve le $k$-groupe $\mathrm{1}$.

\vspace{0.1cm} (v) Pour tout entier $n \geqslant 0$, le foncteur $\mathrm{SL}_n : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a chaque $k$-alg\`ebre $\R$ le groupe $\mathbf{SL}_n(\R)$ des matrices carr\'ees de taille $n$ \`a coefficients dans $\R$ et de d\'eterminant $1$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$, d'anneau de coordonn\'ees la $k$-alg\`ebre $k[(\X_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}]/(\det(\X_{ij}) - 1)$. C'est le \emph{groupe sp\'ecial lin\'eaire} sur $k$.

\vspace{0.1cm} (vi) Pour tout entier $n \geqslant 0$, le foncteur $\D_n : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a chaque $k$-alg\`ebre $\R$ le groupe $\mathrm{D}_n(\R)$ des matrices diagonales et inversibles de taille $n$ \`a coefficients dans $\R$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$, d'anneau de coordonn\'ees la $k$-alg\`ebre $k[(\X_{i})_{1 \leqslant i \leqslant n}, \T]/(\X_{1} \ldots \X_{n} \T - 1)$.

\vspace{0.1cm} (vii) Pour tout entier $n \geqslant 0$, le foncteur $\B_n : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a chaque $k$-alg\`ebre $\R$ le groupe $\mathrm{B}_n(\R)$ des matrices triangulaires sup\'erieures inversibles de taille $n$ et \`a coefficients dans $\R$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$, d'anneau de coordonn\'ees la $k$-alg\`ebre $k[(\X_{ij})_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}, \T]/(\X_{11} \ldots \X_{nn} \T - 1)$.

\vspace{0.1cm} (viii) Pour tout entier $n \geqslant 0$, le foncteur $\U_n : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a chaque $k$-alg\`ebre $\R$ le groupe $\mathrm{U}_n(\R)$ des matrices triangulaires sup\'erieures \`a diagonale unitaire de taille $n$ et \`a coefficients dans $\R$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$, d'anneau de coordonn\'ees la $k$-alg\`ebre $k[(\X_{ij})_{1 \leqslant i < j \leqslant n}]$.

\vspace{0.1cm} (ix) Pour tout entier $n \geqslant 0$, le foncteur $\mathrm{O}_n : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a chaque $k$-alg\`ebre $\R$ le groupe $$\mathrm{O}_n(\R) = \{\M \in \M_n(\R) \ | \ ^{t}\M \M = \I_n\}$$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$. En effet, pour toute matrice $\M = (m_{ij})$ dans $\M_n(\R)$, la condition $^{t}\M \M = \I_n$ \'equivaut aux $n^2$ identit\'es polynomiales $$\sum_{1 \leqslant \ell \leqslant n} m_{i\ell}m_{j\ell} = \delta_{ij}$$ $(1 \leqslant i, j \leqslant n)$. C'est le \emph{groupe orthogonal} sur $k$.

\vspace{0.1cm} (x) Pour tout entier $n \geqslant 0$, le foncteur $\mathrm{Sp}_{2n} : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a chaque $k$-alg\`ebre $\R$ le groupe $$\mathrm{Sp}_{2n}(\R) = \{\M \in \M_{2n}(\R) \ | \ ^{t}\M \J_n \M = \J_n\},$$ o\`u $\J_n = \left(\begin{array}{ll} 0 & -\I_n \\ \I_n & 0 \end{array} \right)$, est un groupe alg\'ebrique sur $k$ (m\^eme argument que pour l'exemple pr\'ec\'edent). C'est le \emph{groupe symplectique} sur $k$.

\vspace{0.1cm} (xi) Supposons que le corps $k$ soit de caract\'eristique $p >0$. L'\'el\'evation \`a la puissance $p$-\`eme est un automorphisme $\mathbb{F}_p$-lin\'eaire dans toute $k$-alg\`ebre $\R$ et $$\mathbf{\alpha}_p(\R) = \{r \in \R \ | \ r^p = 0\}$$ est donc un sous-groupe du groupe additif $(\R,+)$. Le foncteur $\mathbf{\alpha}_p : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ ainsi d\'efini est un groupe alg\'ebrique sur $k$, d'anneau de coordoon\'ees la $k$-alg\`ebre $k[\T]/(\T^p)$.

\subsection{Big\`ebres} Nous avons d\'efini un groupe alg\'ebrique sur un corps $k$ comme un foncteur en groupes sur la cat\'egorie $\mathbf{Alg}_k$ tel que le foncteur en ensembles associ\'e soit repr\'esentable par une $k$-alg\`ebre de type fini. Nous allons maintenant voir comment traduire sur la $k$-alg\`ebre $\A$ le fait que le foncteur en ensembles ${\rm h}_{\A}$ qu'elle repr\'esente provienne d'un foncteur en groupes.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{(2.2.1)} Fixons une $k$-alg\`ebre $\A$. En vertu de la proposition 1.1.1, il revient au m\^eme de dire que le foncteur ${\rm h}_{\A} : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Ens}$ est le foncteur en ensembles associ\'e \`a un foncteur en groupes, ou de dire qu'il existe des morphismes de foncteurs $$m : {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A} \rightarrow {\rm h}_{\A}, \ \ e : {\rm 1} \rightarrow {\rm h}_{\A} \ \ \textrm{ et } \ \ {\rm  inv} : {\rm h}_{\A} \rightarrow {\rm h}_{\A}$$ tels que les quatre diagrammes $$\xymatrix{({\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A}) \times {\rm h}_{\A} \ar@{=}[dd] \ar@{->}[r]^{\hspace{0.2cm} m \times {\rm 1}_{{\rm h}_{\A}}} & {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A} \ar@{->}[rd]^m & \\ & & {\rm h}_{\A} \\ {\rm h}_{\A} \times ({\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A}) \ar@{->}[r]_{\hspace{0.1cm} {\rm 1}_{{\rm h}_{\A}} \times m} & {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A} \ar@{->}[ru]_m & } \ \ \ \hspace{1cm} \ \ \ \xymatrix{{\rm h}_{\A} \ar@{->}[r]^{\hspace{-0.2cm}({\rm 1}_{{\rm h}_{\A}},\mathrm{inv})} \ar@{->}[d] & {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A} \ar@{->}[d]^m \\ {\rm 1} \ar@{->}[r]_{e} & {\rm h}_{\A}},$$ $$\xymatrix{{\rm 1} \times {\rm h}_{\A} \ar@{->}[r]^{e \times {\rm 1}_{{\rm h}_{\A}}} \ar@{->}[rd]_{\cong} & {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A} \ar@{->}[d]^m \\ & {\rm h}_{\A}} \ \ \ \ \hspace{1cm} \ \ \ \xymatrix{{\rm h}_{\A} \times {\rm 1} \ar@{->}[r]^{{\rm 1}_{{\rm h}_{\A}} \times e} \ar@{->}[rd]_{\cong} & {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A} \ar@{->}[d]^m \\ & {\rm h}_{\A}}$$ soient commutatifs.

\'Etant donn\'ees deux $k$-alg\`ebres $\A$ et $\B$, le foncteur $${\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\B} : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \ \R \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) \times \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\B,\R)$$ est repr\'esent\'e par le \emph{produit tensoriel} $\A \otimes_k \B$ des $k$-alg\`ebres $\A$ et $\B$ (cf. appendice 2.3) : $${\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\B} \cong {\rm h}_{\A \otimes_k \B}.$$ En vertu du lemme de Yoneda, le morphisme de multiplication $$m : {\rm h}_{\A \otimes_k \A} \cong {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A} \rightarrow {\rm h}_{\A}$$ est de la forme $m = {\rm h}_{\Delta}$, o\`u $$\Delta : \A \rightarrow \A \otimes_k \A$$ est un homomorphisme de $k$-alg\`ebres uniquement d\'etermin\'e.

De m\^eme, comme ${\rm 1} \simeq {\rm h}_k$, le morphisme $e : {\rm 1} \rightarrow {\rm h}_{\A}$ provient d'un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $$e^* : \A \rightarrow k$$ uniquement d\'etermin\'e. Enfin, il existe un unique homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\iota : \A \rightarrow \A$ tel que $\mathrm{inv} = {\rm h}_{\iota}$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 2.2.1}} --- \emph{Pour que le quadruplet $({\rm h}_{\A},m,e,\mathrm{inv})$ d\'efinisse un foncteur en groupes, il faut et il suffit que les quatre diagrammes $$\xymatrix{ & \A \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{\mathrm{id}_{\A} \otimes \Delta} & \A \otimes_k (\A \otimes_k \A) \ar@{=}[dd] \\ \A \ar@{->}[rd]_{\Delta} \ar@{->}[ru]^{\Delta} & & \\ & \A \otimes_k \A \ar@{->}[r]_{\Delta \otimes \mathrm{id}_{\A}} & (\A \otimes_k \A) \otimes_k \A } \ \ \hspace{1cm} \ \ \xymatrix{\A \ar@{->}[d]_{e^*} \ar@{->}[r]^{\Delta} & \A \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{\mathrm{id}_{\A} \otimes \iota} & \A \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{\mathrm{produit}} \\ k \ar@{->}[rr] & & \A }$$ $$\xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\Delta} \ar@{=}[d] & \A \otimes_k \A \ar@{->}[ld]^{e^* \otimes \mathrm{id}_{\A} } \\ k \otimes_k \A & } \ \ \hspace{0.1cm} \ \ \xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\Delta} \ar@{=}[d] & \A \otimes_k \A \ar@{->}[ld]^{\mathrm{id}_{\A} \otimes e^*} \\ \A \otimes_k k & }$$ soient commutatifs.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. En vertu du lemme de Yoneda, deux homomorphismes de $k$-alg\`ebres $f, g : \R \rightarrow \R'$ sont \'egaux si et seulement si les morphismes de foncteurs ${\rm h}_f, {\rm h}_g : {\rm h}_{\R'} \rightarrow {\rm h}_{\R}$ qu'ils d\'efinissent sont \'egaux. Forts de cette observation, il nous suffit de v\'erifier que les quatre diagrammes consid\'er\'es correspondent aux quatre diagrammes envisag\'es auparavant et faisant intervenir ${\rm h}_{\A}$. Les v\'erifications sont imm\'ediates pour ce qui est des premier, troisi\`eme et quatri\`eme diagrammes (associativit\'e et \'el\'ement neutre). Pour le deuxi\`eme (inversion), il suffit d'observer que le morphisme de foncteurs $(\mathrm{id}_{\A},{\rm inv}) : {\rm h}_{\A} \rightarrow {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A}$ peut \'egalement s'\'ecrire sous la forme $$\xymatrix{{\rm h}_{\A} \ar@{->}[r]^{(\mathrm{id}_{\A}, \mathrm{id}_{\A})}& {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A} \ar@{->}[r]^{\mathrm{id}_{\A} \times {\rm inv}} & {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A}}.$$  Lorsqu'on identifie ${\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A}$ et ${\rm h}_{\A \otimes_k \A}$, le morphisme diagonal $$(\mathrm{id}_{\A},\mathrm{id}_{\A}) : {\rm h}_{\A} \rightarrow {\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A} \cong {\rm  h}_{\A \otimes_k \A}$$ correspond \`a l'unique homomorphisme de $k$-alg\`ebres $u : \A \otimes_k \A \rightarrow \A$ tel que $u(a \otimes 1) = u(1 \otimes a) = a$ pour tout $a \in \A$ ; comme  $a \otimes a' = (a \otimes 1)(1 \otimes a')$, $u(a \otimes  a') = aa'$ est l'homomorphisme \emph{produit}. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} Supposons maintenant que $\A$ et $\B$ soient deux $k$-alg\`ebres telles que les foncteurs ${\rm h}_{\A}$ et ${\rm h}_{\B}$ proviennent de foncteurs en groupes, c'est-\`a-dire qu'ils soient munis de morphismes $(m_{\A}, e_{\A}, {\rm inv}_{\A})$ et $(m_{\B},e_{\B}, {\rm inv}_{\B})$ comme pr\'ec\'edemment. Pour qu'un morphisme de foncteurs en ensembles $f : {\rm h_{\A}} \rightarrow {\rm h}_{\B}$ d\'efinisse un morphisme de foncteur en groupes, il faut et il suffit que les trois diagrammes $$\xymatrix{{\rm h}_{\A} \times {\rm h}_{\A} \ar@{->}[r]^{m_{\A}} \ar@{->}[d]_{f \times f} & {\rm h}_{\A} \ar@{->}[d]^{f} \\ {\rm h}_{\B} \times {\rm h}_{\B} \ar@{->}[r]_{m_{\B}} & {\rm h}_{\B}} \ \ \hspace{1cm} \ \ \xymatrix{{\rm 1} \ar@{->}[r]^{e_{\A}} \ar@{->}[rd]_{e_{\A}} & {\rm h}_{\A} \ar@{->}[d]^{f} \\ & {\rm h}_{\B}} \ \ \hspace{1cm} \ \ \xymatrix{{\rm h}_{\A} \ar@{->}[d]_{f} \ar@{->}[r]^{{\rm inv}_{\A}} & {\rm h}_{\A} \ar@{->}[d]^{f} \\ {\rm h}_{\B} \ar@{->}[r]_{{\rm inv}_{\B}} & {\rm h}_{\B}}$$ soient commutatifs, le troisi\`eme l'\'etant automatiquement lorsque les deux premiers le sont. En vertu du lemme de Yoneda, il existe un unique homomorphisme de $k$-alg\`ebres $f^* : \B \rightarrow \A$ tel que $f = {\rm h}_{f^*}$. De mani\`ere analogue \`a la proposition 2.2.1, on v\'erifie que la commutativit\'e des trois diagrammes pr\'ec\'edents est \'equivalente \`a celle des trois diagrammes suivants : $$\xymatrix{\A \otimes_k \A & \A\ar@{->}[l]_{\Delta_{\A}} \\ \B \otimes_k \B \ar@{->}[u]^{f^* \otimes f^*} & \B \ar@{->}[l]^{\Delta_{\B}} \ar@{->}[u]_{f^*} } \ \ \hspace{1cm} \ \ \xymatrix{k & \A \ar@{->}[l]_{e_{\A}^*} \\ & \B \ar@{->}[ul]^{e_{\B}^*} \ar@{->}[u]_{f^*}} \ \ \hspace{1cm} \ \ \xymatrix{\A & \A \ar@{->}[l]_{\iota_{\A}} \\ \B \ar@{->}[u]^{f^*} & \B \ar@{->}[l]^{\iota_{\B}} \ar@{->}[u]_{f^*}}$$ o\`u les triplets $(\Delta_{\A}, e_{\A}^{*}, \iota_{\A})$ et $(\Delta_{\B}, e_{\B}^{*},\iota_{\B})$ sont d\'eduits comme ci-dessus des triplets $(m_{\A}, e_{\A}, {\rm inv}_{\A})$ et $(m_{\B}, e_{\B}, {\rm inv}_{\B})$ via le lemme de Yoneda.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 2.2.2}} --- \emph{Soit $k$ un corps.
\begin{itemize} \item[(i)] Une $k$-\emph{big\`ebre} est un quadruplet $(\A, \Delta, e^*, \iota)$ constitu\'e d'une $k$-alg\`ebre $\A$ et d'homomorphismes de $k$-alg\`ebres $\Delta : \A \rightarrow \A \otimes_k \A$, $e^* : \A \rightarrow k$, $\iota : \A \rightarrow \A$ tels que les quatre diagrammes $$\xymatrix{ & \A \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{\mathrm{id}_{\A} \otimes \Delta} & \A \otimes_k (\A \otimes_k \A) \ar@{=}[dd] \\ \A \ar@{->}[rd]_{\Delta} \ar@{->}[ru]^{\Delta} & & \\ & \A \otimes_k \A \ar@{->}[r]_{\Delta \otimes \mathrm{id}_{\A}} & (\A \otimes_k \A) \otimes_k \A } \ \ \hspace{1cm} \ \ \xymatrix{\A \ar@{->}[d]_{e^*} \ar@{->}[r]^{\Delta} & \A \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{\mathrm{id}_{\A} \otimes \iota} & \A \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{\mathrm{produit}} \\ k \ar@{->}[rr] & & \A }$$ $$\xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\Delta} \ar@{=}[d] & \A \otimes_k \A \ar@{->}[ld]^{e^* \otimes \mathrm{id}_{\A} } \\ k \otimes_k \A & } \ \ \hspace{0.1cm} \ \ \xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\Delta} \ar@{=}[d] & \A \otimes_k \A \ar@{->}[ld]^{\mathrm{id}_{\A} \otimes e^*} \\ \A \otimes_k k & }$$ soient commutatifs.
\item[(ii)] Un \emph{morphisme} d'une $k$-big\`ebre $(\A, \Delta_{\A}, e_{\A}^*, \iota_{\A})$ dans une $k$-big\`ebre $(\B, \Delta_{\B}, e_{\B}^*, \iota_{\B})$ est un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\varphi : \A \rightarrow \B$ tel que les trois diagrammes $$\xymatrix{\A \otimes_k \A \ar@{->}[d]_{\varphi \otimes \varphi} & \A\ar@{->}[l]_{\Delta_{\A}} \ar@{->}[d]^{\varphi} \\ \B \otimes_k \B  & \B \ar@{->}[l]^{\Delta_{\B}} } \ \ \hspace{1cm} \ \ \xymatrix{k & \A \ar@{->}[l]_{e_{\A}^*} \ar@{->}[d]^{\varphi} \\ & \B \ar@{->}[ul]^{e_{\B}^*}} \ \ \hspace{1cm} \ \ \xymatrix{\A \ar@{->}[d]_{\varphi} & \A \ar@{->}[l]_{\iota_{\A}}  \ar@{->}[d]^{\varphi} \\ \B & \B \ar@{->}[l]^{\iota_{\B}} }$$ soient commutatifs.
\end{itemize}}

\vspace{0.2cm} On dit qu'une $k$-big\`ebre $(\A,\Delta_{\A},e_{\A}^*,\iota_{\A})$ est de \emph{type fini} si $\A$ est une $k$-alg\`ebre de type fini. Les $k$-big\`ebres et leurs morphismes forment naturellement une cat\'egorie. La discussion qui pr\'ec\`ede \'etablit pr\'ecis\'ement que la cat\'egorie des groupes alg\'ebriques sur $k$ et celle des $k$-big\`ebres de type fini sont \emph{anti\'equivalentes} : \begin{itemize} \item tout groupe alg\'ebrique sur $k$ est isomorphe au groupe alg\'ebrique ${\rm h}_{\A}$ d\'efini par une $k$-big\`ebre de type fini $(\A, \Delta_{\A}, e_{\A}^*, \iota_{\A})$ ; \item \'etant donn\'ees deux $k$-big\`ebres de type fini $(\A, \Delta_{\A}, e_{\A}^*, \iota_{\A})$ et $(\B, \Delta_{\B}, e_{\B}^*, \iota_{\B})$, la correspondance

\vspace{0.1cm}
$$\left\{\begin{array}{l} \hspace{0.6cm} \textrm{morphismes de $k$-big\`ebres} \\ \xymatrix{(\A,\Delta_{\A}, e_{\A}^*, \iota_{\A}) \ar@{->}[r]^{\varphi} & (\B,\Delta_{\B}, e_{\B}^{*}, \iota_{\B})}\end{array}\right\} \rightarrow \left\{\begin{array}{l} \textrm{homomorphismes de $k$-groupes} \\ \hspace{1.5cm} \xymatrix{{\rm h}_{\B} \ar@{->}[r]^{{\rm h}_{\varphi}} & {\rm h}_{\B}} \end{array}\right\}$$
est une bijection. \end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(2.2.2)} \textbf{\emph{Exemple : la $k$-big\`ebre du groupe lin\'eaire ${\rm GL}_n$.}}

\vspace{0.1cm}
On sait que ${\rm GL}_n$ est repr\'esent\'e par la $k$-alg\`ebre $\A = k[(\X_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}, \T]/(\T \det (\X_{ij}) - 1)$ : pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, \begin{eqnarray*} \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) & \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\sim} &} & {\rm GL}_n(\R) \\ u & \mapsto & (u(\X_{ij})).\end{eqnarray*} La $k$-alg\`ebre $\A \otimes_k \A$ s'identifie canoniquement au quotient de la $k$-alg\`ebre de polyn\^omes $k[(\X_{ij} \otimes 1)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}, (1 \otimes \X_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}, \T \otimes 1, 1 \otimes \T]$ (en $2n^2 + 2$ variables) par l'id\'eal $((\T \otimes 1)\det((\X_{ij} \otimes 1) - 1, (1 \otimes \T)\det(1 \otimes \X_{ij}) - 1)$ (cf. appendice, 2.4, exercices 5 et 6). En utilisant la bijection \begin{eqnarray*} \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A \otimes_k \A, \R) & \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\sim}& } & {\rm GL}_n(\R) \times {\rm GL}_n(\R) \\ w & \mapsto & \left((w(\X_{ij} \otimes 1)), (w(1 \otimes \X_{ij}))\right),\end{eqnarray*} on dispose d'un diagramme commutatif $$\xymatrix{{\rm GL}_n(\R) \times {\rm GL}_n(\R) \ar@{->}[r]^{\mathrm{mult}} & {\rm GL}_n(\R) \\ \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A \otimes_k \A, \R) \ar@{->}[u]^{\wr} \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) \ar@{->}[u]_{\wr}}$$ dans lequel les fl\`eches verticales sont les bijections que l'on vient de d\'ecrire et la fl\`eche horizontale inf\'erieure est l'application $w \mapsto w \circ \Delta$, $\Delta$ \'etant la comultiplication de $\A$ qu'il s'agit d'expliciter. La commutativit\'e de ce diagramme \'equivaut \`a l'identit\'e matricielle $$\left((w \circ \Delta)(\X_{ij})\right) = \left(w(\X_{ij} \otimes 1)\right)\left(w(1 \otimes \X_{ij})\right)$$ dans ${\rm GL}_n(\R)$ pour tout homomorphisme de $k$-alg\`ebres $w : \A \otimes_k \A \rightarrow \R$. En calculant le produit figurant dans le membre de droite, nous obtenons \begin{eqnarray*} (w \circ \Delta)(\X_{ij}) & = & \sum_{\ell = 1}^{n} w(\X_{i\ell} \otimes 1) w(1 \otimes \X_{\ell j}) \\ & = & \sum_{\ell = 1}^{n} w(\X_{i\ell} \otimes \X_{\ell j}) \\ & = & w \left(\sum_{\ell =1}^{n} \X_{i\ell}\X_{\ell j}\right)\end{eqnarray*} et donc finalement $$\Delta(\X_{ij}) = \sum_{\ell=1}^{n} \X_{i\ell}\X_{\ell j}$$ puisque $\R$ et $w$ sont arbitraires (choisir par exemple $\R = \A \otimes_k \A$ et $w = \mathrm{id}_{\A \otimes_k \A}$). Comme $$u(\T) = \det(u(\X_{ij}))^{-1}$$ pour tout $u \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R)$, \begin{eqnarray*} (w \circ \Delta)(\T) & = & \det\left((w \circ \Delta)(\X_{ij})\right)^{-1} \\ & = & \det \left((w(\X_{ij} \otimes 1))(w(1 \otimes \X_{ij}))\right)^{-1} \\ & = & \det(w(\X_{ij} \otimes 1))^{-1}\det(w(1 \otimes \X_{ij}))^{-1} \\ & = & w((\T \otimes 1)(1 \otimes \T)) \\ & = & w(\T \otimes \T) \end{eqnarray*} et donc $$\Delta(\T) = (\T \otimes 1)(1 \otimes \T) = \T \otimes \T.$$

\vspace{0.1cm} On proc\`ede de la m\^eme mani\`ere pour expliciter la counit\'e $e^* : \A \rightarrow k$ \`a partir du diagramme commutatif $$\xymatrix{{\rm 1} \ar@{->}[r]^{e} & {\rm GL}_n(\R) \\ \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(k,\R) \ar@{->}[u]^{\wr} \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) \ar@{->}[u]_{\wr}}$$ dans lequel la fl\`eche horizontale inf\'erieure est l'application $u \mapsto u \circ e^*$. La commutativit\'e de ce diagramme pour $\R = k$ \'equivaut \`a $$(e^{*}(\X_{ij})) = \I_n \ \ \ \ \textrm{et} \ \  e^*(\T) = \det(\I_n)^{-1},$$ soit $$e^{*}(\X_{ij}) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \textrm{ si } i = j \\ 0 & \textrm{ si } i \neq j\end{array}\right. \ \ \textrm{ et } \ \ e^{*}(\T) =1.$$

\vspace{0.1cm} Consid\'erons finalement le diagramme commutatif $$\xymatrix{{\rm GL}_n(\R) \ar@{->}[r]^{\mathrm{inv}} & {\rm GL}_n(\R) \\ \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) \ar@{->}[u]^{\wr} \ar@{->}[r] & \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) \ar@{->}[u]_{\wr}}$$ dans lequel la fl\`eche inf\'erieure est l'application $u \mapsto u \circ \iota$. Nous obtenons $$((u \circ \iota)(\X_{ij}))  =  (u(\X_{ij}))^{-1} = \det(u(\X_{ij}))^{-1} \mathrm{adj}(u(\X_{ij})),$$ o\`u, pour toute matrice $\M \in \M_n(\R)$, ${\rm adj}(\M)$ est la matrice d\'efinie par $$\mathrm{adj}(\M)_{ij} = (-1)^{i+j} \det(\widehat{M}_{ji}),$$ $\widehat{\M}_{ij} \in \M_{n-1}(\R)$ d\'esignant la matrice obtenue \`a partir de $\M$ en supprimant la $i$-\`eme ligne et la $j$-\`eme colonne. Cette matrice v\'erifie l'identit\'e ${\rm adj}(\M) \M = \det(\M) \I_n$. Par suite, \begin{eqnarray*}(u \circ \iota) (\X_{ij}) & = & u(\T) [\mathrm{adj}(u(\X_{ij}))]_{ij} \\ & = & u(\T [\mathrm{adj}(\X_{ij})]_{ij}) \end{eqnarray*} et donc $$\iota(\X_{ij}) = \T [\mathrm{adj}(\X_{ij})]_{ij}.$$ De m\^eme, $$(u \circ \iota)(\T) = u(\T)^{-1} = \left(\det(u(\X_{ij}))^{-1}\right)^{-1} = \det(u(\X_{ij})) = u(\det(\X_{ij}))$$ donc $$\iota(\T) = \det(\X_{ij}).$$

\vspace{0.3cm} Donnons encore deux exemples, pour lesquels toutes les justifications n\'ecessaires sont laiss\'ees au lecteur.

\vspace{0.1cm} (i) La big\`ebre du groupe additif $\mathbb{G}_{\rm a}$ est la $k$-alg\`ebre $k[\T]$ munie de la comultiplication $$k[\T]  \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\Delta} &}  k[\T] \otimes_k k[\T] \cong k[\T \otimes 1, 1 \otimes T], \ \ \  \T  \mapsto  \T \otimes 1 + 1 \otimes \T,$$ de la counit\'e $$k[\T] \xymatrix{\ar@{->}[r]^{0^*}&}  k, \ \ \   \T  \mapsto  0$$ et de la coinversion $$ k[\T] \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\iota} &}  k[\T], \ \ \ \T  \mapsto   -\T. $$

\vspace{0.1cm} (ii) L'anneau du groupe multiplicatif $\mathbb{G}_{\rm m} = \mathbb{GL}_1$ est la $k$-alg\`ebre $k[\X,\X^{-1}]$ des polyn\^omes de Laurent en $\X$. La $k$-alg\`ebre $k[\X,\X^{-1}] \otimes_k k[\X,\X^{-1}]$ est canoniquement isomorphe \`a la $k$-alg\`ebre $k[(\X \otimes 1), (\X \otimes 1)^{-1}, (1 \otimes \X), (1\otimes \X)^{-1}]$ des polyn\^omes de Laurent en les ind\'etermin\'ees $\X \otimes 1$ et $1 \otimes \X$. \begin{itemize} \item La comultiplication $$ k[\X, \X^{-1}] \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\Delta}&} k[(\X \otimes 1), (\X \otimes 1)^{-1},(1 \otimes \X), (1 \otimes \X)^{-1}]$$ est d\'efinie par $\Delta(\X) = (\X \otimes 1)(1 \otimes \X) = \X \otimes \X$ et $\Delta(\X^{-1}) = (\X \otimes 1)^{-1}(1 \otimes \X)^{-1} = (\X \otimes \X)^{-1}$. \item La counit\'e $$ k[\X, \X^{-1}] \xymatrix{\ar@{->}[r]^{{\rm 1}^*}&} k$$ est d\'efinie par ${\rm 1}^*(\X) = {\rm 1}^{*}(\X^{-1}) = 1$. \item La coinversion  $$k[\X,\X^{-1} \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\iota}&} k[\X,\X^{-1}]$$ est d\'efinie par $\iota(\X) = \X^{-1}$, $\iota(\X^{-1}) = \X$.\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(2.2.3)} L'anti\'equivalence que l'on a \'etablie en 4.1 entre la cat\'egorie des groupes alg\'ebriques sur $k$ et celle des $k$-big\`ebres de type fini signifie que ces deux concepts sont strictement interchangeables. Les deux points de vue sont utiles, mais il est en g\'en\'eral plus agr\'eable et plus facile de travailler en termes de foncteurs en groupes. La proposition suivante illustre l'utilisation des big\`ebres pour \'etudier les homomorphismes entre deux groupes alg\'ebriques.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 2.2.3}} --- \emph{ Il n'y a pas d'homomorphisme non trivial entre les groupes $\mathbb{G}_{\rm a}$ et $\mathbb{G}_{\rm m}$ : $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{k-Gr}}(\mathbb{G}_{\rm a},\mathbb{G}_{\rm m}) = \{\xymatrix{\mathbb{G}_{\rm a} \ar@{->}[r] & {\rm 1} \ar@{->}[r]^{{\rm 1}} & \mathbb{G}_{\rm m}}\}$$ et $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{k-Gr}}(\mathbb{G}_{\rm m},\mathbb{G}_{\rm a}) = \{\xymatrix{\mathbb{G}_{\rm m} \ar@{->}[r] & {\rm 1} \ar@{->}[r]^{{\rm 0}} & \mathbb{G}_{\rm a}}\}.$$  }

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Il revient au m\^eme de se donner un homomorphisme $f : \mathbb{G}_{\rm a} \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}$ ou un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $f^* : k[\X,\X^{-1}] \rightarrow k[\T]$ compatible aux structures de big\`ebres. L'homomorphisme $f^*$ est compl\`etement d\'etermin\'e par $f^*(\X)$, qui doit \^etre un \'el\'ement inversible de $k[\T]$ ; comme $k$ est un corps, $k[\T]^{\times} = k^{\times}$ et donc $f^*(\X) = a \in k^{\times}$. La commutativit\'e du diagramme $$\xymatrix{k[\X,\X^{-1}] \ar@{->}[rr]^{f^*} \ar@{->}[rd]_{{\rm 1}^*} & & k[\T] \ar@{->}[ld]^{{\rm 0}^{*}} \\ & k &}$$ implique $$1 = {\rm 1}^*(\X) = {\rm 0}^{*}(a) = a,$$ donc $f^{*}(\X) = 1$. Le seul homomorphisme de $\mathbb{G}_{\rm a}$ dans $\mathbb{G}_{\rm m}$ est donc l'homomorphisme trivial $$\xymatrix{\mathbb{G}_{\rm a} \ar@{->}[r] & {\rm 1} \ar@{->}[r]^{{\rm 1}} & \mathbb{G}_{\rm m}}$$ correspondant \`a l'homomorphisme de $k$-big\`ebres $$\xymatrix{k[\X, \X^{-1}] \ar@{->}[r]^{\hspace{0.8cm} {\rm 1}^{*}} & k \ar@{->}[r] & k[\T]}.$$

\vspace{0.1cm} Il revient au m\^eme de se donner un homomorphisme $g : \mathbb{G}_{\rm m} \rightarrow \mathbb{G}_{\rm a}$ ou un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $g^* : k[\T] \rightarrow k[\X,\X^{-1}]$ compatible aux structures de big\`ebres. L'homomorphisme $g^*$ est compl\`etement d\'etermin\'e par le polyn\^ome de Laurent $g^*(\T) = \sum_{n \in \mathbb{Z}}a_n \X^n$. La commutativit\'e du diagramme $$\xymatrix{k[\T] \ar@{->}[r]^{\Delta} \ar@{->}[d]_{g^*} & k[\T] \otimes_k k[\T] \ar@{->}[d]^{g^* \otimes g^*} \\ k[\X,\X^{-1}] \ar@{->}[r]_{\Delta \hspace{1cm}} & k[\X,\X^{-1}] \otimes_k k[\X,\X^{-1}]}$$ se traduit par l'identit\'e $$\Delta(g^{*}(\T)) = (g^* \otimes g^{*})(\Delta(\T))$$ dans $k[\X,\X^{-1}] \otimes_k k[\X,\X^{-1}] \cong k[\X \otimes 1, (\X \otimes 1)^{-1}, 1 \otimes \X, (1 \otimes \X)^{-1}]$. Le membre de gauche s'explicite ais\'ement : $$\Delta(g^{*}(\T)) = \Delta \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \X^n\right) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \Delta(\X)^n = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n (\X \otimes 1)^n(1 \otimes \X)^n$$ et il en de m\^eme du membre de droite : $$(g^* \otimes g^*)(\Delta(\T)) = (g^* \otimes g^*)(\T \otimes 1 + 1 \otimes \T) = g^*(\T)\otimes 1 + 1 \otimes g^*(\T) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n [(\X \otimes 1)^n + (1 \otimes \X)^n].$$ Nous obtenons donc l'identit\'e $$\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n (\X \otimes 1)^n(1 \otimes \X)^n = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n [(\X \otimes 1)^n + (1 \otimes \X)^n]$$ entre polyn\^omes de Laurent en les ind\'etermin\'ees $\X \otimes 1$ et $1 \otimes \X$. Par identification, nous en d\'eduisons $$\left\{ \begin{array}{ll} a_n = 0 & \textrm{ si } |n| \geqslant 1 \\  a_0 = 2a_0, &\end{array}\right.$$ d'o\`u finalement $g^{*}(\T) = 0$. Ceci montre que le seul homomorphisme de $\mathbb{G}_{\rm m}$ dans $\mathbb{G}_{\rm a}$ est l'homomorphisme trivial $$\xymatrix{\mathbb{G}_{\rm m} \ar@{->}[r] & {\rm 1} \ar@{->}[r]^{{\rm 0}} & \mathbb{G}_{\rm a}}$$ correspondant \`a l'homomorphisme de $k$-big\`ebres $$\xymatrix{k[\T] \ar@{->}[r]^{\hspace{0.4cm} {\rm 0}^{*}} & k \ar@{->}[r] & k[\X,\X^{-1}]}.$$ \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exercices}}. 1) Soit $\Gamma$ un groupe fini. D\'emontrer que le foncteur constant $\Gamma : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ d\'efini par $\Gamma(\R) = \Gamma$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et $\Gamma(f) = {\rm id}_{\Gamma}$ pour tout homomorphisme de $k$-alg\`ebres $f$, est repr\'esentable si et seulement si $\Gamma$ est le groupe r\'eduit \`a un \'el\'ement. (\emph{Indication} : pour toutes $k$-alg\`ebres $\A$ et $\R$, $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R \oplus \R) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) \times\mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R).)$$

\vspace{0.2cm} 2) Soit $\Gamma$ un groupe fini. L'ensemble $k^{\Gamma}$ des fonctions sur $\Gamma$ \`a valeurs dans $k$ est naturellement muni d'une structure de $k$-alg\`ebre commutative : $$(\lambda f + \mu g)(\gamma) = \lambda f(\gamma)+ \mu g(\gamma) \ \ \textrm{et}  \ \ \ (fg)(\gamma) = f(\gamma)g(\gamma)$$ pour tous $f, g \in k^{\Gamma}$, $\lambda, \mu \in k$ et $\gamma \in \Gamma$.

\vspace{0.1cm} On consid\`ere les homomorphismes de $k$-alg\`ebres $$\Delta : k^{\Gamma} \rightarrow k^{\Gamma \times \Gamma}, \ \ e^{*} : k^{\Gamma} \rightarrow k \ \  \textrm{et} \ \ \iota : k^{\Gamma} \rightarrow k^{\Gamma}$$ d\'efinis comme suit :  $$\Delta(f) = \left((\gamma,\gamma') \mapsto f(\gamma\gamma')\right),$$ $$e^{*}(f) = f(1_{\Gamma}),$$ et $$\iota(f) = \left(\gamma \mapsto f(\gamma^{-1})\right).$$

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[(i) ] V\'erifier que les fonctions indicatrices $e_{\gamma}$ des singletons $\{\gamma\}$ forment une base de $k^{\Gamma}$ en tant que $k$-espace vectoriel.
\item[(ii)] D\'emontrer que les $k$-alg\`ebres $k^{\Gamma} \otimes_k k^{\Gamma}$ et $k^{\Gamma \times \Gamma}$ sont canoniquement isomorphes.
\item[(iii)] Exprimer $\Delta$, $e^{*}$ et $\iota$ dans les bases canoniques $(e_{\gamma})_{\gamma \in \Gamma}$ et $(e_{\gamma} \otimes e_{\gamma'})_{(\gamma, \gamma') \in \Gamma^2}$ de $k^{\Gamma}$ et de $k^{\Gamma} \otimes_k k^{\Gamma}$.
\item[(iv)] V\'erifier que $(k^{\Gamma}, \Delta, e^*, \iota)$ est une $k$-big\`ebre de type fini.
\item[(v)] Soit $\underline{\Gamma}$ le groupe alg\'ebrique sur $k$ correspondant \`a la $k$-big\`ebre $(k^{\Gamma}, \Delta, e^*, \iota)$. V\'erifier que l'on a un isomorphisme canonique $\underline{\Gamma}(k) \cong \Gamma$ puis d\'eterminer $\underline{\Gamma}(\R)$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$.
\end{itemize}

\subsection{Constructions \'el\'ementaires}

\noindent \textbf{(2.3.1)} \textbf{\emph{Sous-groupes}}.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 2.3.1}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$. Un \emph{sous-groupe} de $\G$ est la donn\'ee d'un homomorphisme de groupes alg\'ebriques $i : \Hr \rightarrow \G$ tel que l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres $i^* : \mathcal{O}(\G) \rightarrow \mathcal{O}(\Hr)$ correspondant soit surjectif.}

\vspace{0.3cm} Cette d\'efinition appelle deux commentaires.

1) Tout d'abord, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, l'homomorphisme de groupes $i_{\R} : \Hr(\R) \rightarrow \G(\R)$ est \emph{injectif}. En effet, on dispose d'un diagramme commutatif $$\xymatrix{\Hr(\R) \ar@{->}[r] \ar@{->}[r]^{i_{\R}} & \G(\R) \\ \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{O}(\Hr),\R) \ar@{->}[r] \ar@{->}[u]^{\wr} & \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{O}(\G),\R) \ar@{->}[u]_{\wr}}$$ dans lequel la fl\`eche horizontale inf\'erieure est l'application $u \mapsto u \circ i^*$. L'homomorphisme $i^*$ \'etant surjectif, la condition $u \circ i^{*} = v \circ i^{*}$ implique $u=v$ pour tous $u, v \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{O}(\Hr),\R)$ et ceci prouve que l'application $i_{\R}$ est injective.

2) La surjectivit\'e de l'homomorphisme $i^*$ signifie que la $k$-alg\`ebre $\mathcal{O}(\Hr)$ est isomorphe au quotient de $\mathcal{O}(\G)$ par l'id\'eal $\mathrm{ker}(i^*)$. Ceci se traduit par le fait suivant : pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, l'application $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{O}(\Hr),\R) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{O}(\G), \R)$$ induit une bijection sur le sous-ensemble de $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{O}(\G), \R)$ constitu\'e des homomorphismes $u$ tels que $u(\mathrm{ker}(i^{*}) = 0$. De mani\`ere encore plus explicite, si l'on \'ecrit $\mathcal{O}(\G)$ sous la forme $k[\T_1, \ldots, \T_n] /\mathfrak{I}$, alors l'id\'eal $\mathrm{ker}(i^*)$ de $\mathcal{O}(\G)$ provient d'un id\'eal $\mathfrak{J}$ de $k[\T_1, \ldots,\T_n]$ contenant $\mathfrak{I}$, $$\G(\R) \simeq \{(r_1,\ldots, r_n) \in \R^n \ | \ f(r_1,\ldots, r_n) = 0 \ \textrm{ pour tout } f \in \mathfrak{I}\}$$ et $\Hr(\R)$ s'identifie alors au sous-ensemble de $\G(\R)$ d\'efini par les \'equations $f(r_1, \ldots, r_n) = 0$, $f \in \mathfrak{J}$.

\vspace{0.1cm} Au vu de ces deux observations, la d\'efinition que nous avons adopt\'ee signifie pr\'ecis\'ement qu'un sous-groupe de $\G$ est un sous-foncteur en groupes d\'efini par des \'equations polynomiales.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}}. En fait, il serait revenu au m\^eme de d\'efinir un sous-groupe de $\G$ comme un homomorphisme $i : \Hr \rightarrow \G$ tel que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, l'homomorphisme $i_{\R} : \Hr(\R) \rightarrow \G(\R)$ soit \emph{injectif}. On peut en effet d\'emontrer que cette condition suffit \`a garantir la surjectivit\'e de l'homomorphisme $i^{*} : \mathcal{O}(\G) \rightarrow \mathcal{O}(\Hr)$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples}}. 1) Pour tout entier $n \geqslant 0$, ${\rm SL}_n$ est un sous-groupe de ${\rm GL}_n$. Effet, l'inclusion naturelle $i$ de ${\rm SL}_n$ dans ${\rm GL}_n$ correspond \`a l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres $$i^{*} : k[(\X_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}, \T]/(\T \det(\X_{ij}) - 1) \rightarrow k[(\X_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}]/(\det(\X_{ij})-1)$$ d\'efini par $i^{*}(\X_{ij}) = \X_{ij}$ et $i^{*}(\T)=1$. Cet homomorphisme est manifestement surjectif.

2) Pour tout entier $n \geqslant 0$, le groupe $\mathbf{\mu}_n$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $\mathbb{G}_{\rm m}$. En effet, l'inclusion naturelle $i$ de $\mathbf{\mu}_n$ dans $\mathbb{G}_{\rm m}$ correspond \`a l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres $$i^{*} : k[\X,\X^{-1}] \rightarrow k[\X]/(\X^n -1)$$ d\'efini par $i^{*}(\X) =\X$ et $i^{*}(\X^{-1}) = \X^{n-1}$. Cet homomorphisme est manifestement surjectif.

3) Si le corps $k$ est de caract\'eristique $p > 0$, le groupe $\mathbf{\alpha}_p$ est un sous-groupe du groupe additif $\mathbb{G}_{\rm a}$. En effet, l'inclusion naturelle $i$ de $\mathbf{\alpha}_p$ dans $\mathbb{G}_{\rm a}$ correspond \`a l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres $$i^{*} : k[\T] \rightarrow k[\T]/(\T^p)$$ d\'efini par $i^{*}(\T) = \T$, qui est manifestement surjectif.

\vspace{0.4cm}  \noindent \textbf{(2.3.2)} \textbf{\emph{Produit}}. \'Etant donn\'es deux groupes alg\'ebriques $\G_1$ et $\G_2$, on peut construire le foncteur en groupes $\G_1 \times \G_2$ sur $\mathbf{Alg}_k$ associant \begin{itemize} \item \`a toute $k$-alg\`ebre $\R$, le groupe produit $\G_1(\R) \times \G_2(\R)$ ; \item \`a tout homomorphisme de $k$-alg\`ebres $f : \R \rightarrow \R'$, l'homomorphisme de groupes $\G_1(f) \times \G_2(f) : \G_1(\R) \times \G_2(\R) \rightarrow \G_1(\R') \times \G_2(\R')$. \end{itemize}

Choisissons des anneaux de coordonn\'ees $\varphi_1 : {\rm h}_{\A_1} \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\sim} &} \G_1$ et $\varphi_2 : {\rm h}_{\A_2} \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\sim} &} \G_2$ et consid\'erons l'isomorphisme de foncteurs $$\varphi_1 \times \varphi_2 : {\rm h}_{\A_1} \times {\rm h}_{\A_2} \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\sim} &} \G_1 \times \G_2.$$ Par d\'efinition m\^eme du produit tensoriel $\A_1 \otimes_k \A_2$, ${\rm h}_{\A_1 \otimes_k \A_2} \simeq {\rm h}_{\A_1} \times {\rm h}_{\A_2}$ et nous obtenons donc un isomorphisme de foncteurs $${\rm h}_{\A_1 \otimes_k \A_2} \xymatrix{\ar@{->}[r] & } \G_1 \times \G_2.$$

Enfin, si l'on choisit des isomorphismes $\A_1 \simeq k[\T_1, \ldots, \T_n]/\mathfrak{I}$ et $\A_2 \simeq k[\Sr_1, \ldots, \Sr_m]/\mathfrak{J}$, on obtient un isomorphisme de $k$-alg\`ebres \begin{eqnarray*} \A_1 \otimes_k \A_2 & \simeq & k[\T_1, \ldots, \T_n]/\mathfrak{I} \otimes_k k[\Sr_1, \ldots, \Sr_m]/\mathfrak{J} \\ & \simeq & k[\T_1, \ldots, \T_n, \Sr_1, \ldots, \Sr_m]/\mathfrak{K} \end{eqnarray*} o\`u $\mathfrak{K}$ est l'id\'eal de $k[\T_1, \ldots, \T_n, \Sr_1, \ldots, \Sr_m]$ engendr\'e par $\mathfrak{I}$ et $\mathfrak{J}$ (cf. appendice, 2.4, exercices 5 et 6). La $k$-alg\`ebre $\A_1 \otimes_k \A_2$ est donc de type fini.

\vspace{0.1cm} Cette discussion \'etablit la proposition suivante.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 2.3.2}} --- \emph{\'Etant donn\'es deux groupes alg\'ebriques $\G_1$ et $\G_2$ sur $k$, le foncteur en groupes $\G_1 \times_k \G_2$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$, d'anneau de coordonn\'ees $\mathcal{O}(\G_1) \otimes_k \mathcal{O}(\G_2)$.}

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{(2.3.3)} \textbf{\emph{Produit fibr\'e et noyau}}. Consid\'erons plus g\'en\'eralement un diagramme d'homomorphismes de groupes $$\xymatrix{\G_1 \ar@{->}[rd]^{f_1} & \\ & \Hr. \\ \G_2 \ar@{->}[ru]_{f_2} & }$$ Pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, l'ensemble $\G_1(\R) \times_{\Hr(\R)} \G_2(\R)$ des couples $(g_1, g_2) \in \G_1(\R) \times \G_2(\R)$ tels que $f_1(g_1) = f_2(g_2)$ est un sous-groupe de $\G_1(\R) \times \G_2(\R)$. Si $f : \R \rightarrow \R'$ est un homomorphisme de $k$-alg\`ebres, on v\'erifie imm\'ediatement que l'homomorphisme de groupes $\G_1(f) \times \G_2(f) : \G_1(\R) \times \G_2(\R) \rightarrow \G_1(\R') \times \G_2(\R')$ envoie $\G_1(\R) \times_{\Hr(\R)} \G_2(\R)$ dans $\G_1(\R') \times_{\Hr(\R')} \G_2(\R')$. Nous avons ainsi d\'efini un foncteur $$\G_1 \times_{\Hr} \G_2 : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}.$$

Comme pr\'ec\'edemment, on d\'eduit de la propri\'et\'e universelle du produit tensoriel des bijections naturelles \begin{eqnarray*} \G_1(\R) \times_{\Hr(\R)} \G_2(\R)  & = & \{(g_1,g_2) \in \G_1(\R) \times \G_2(\R) \ | \ f_1(g_1) = f_2(g_2)\} \\ & \simeq & \left\{(g_1,g_2) \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{O}(\G_1),\R) \times \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k} (\mathcal{O}(\G_2),\R) \ | \ g_1 \circ f_1^* = g_2 \circ f_2^* \right\} \\ & \simeq & \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{O}(\G_1) \otimes_{\mathcal{O}(\Hr)} \mathcal{O}(\G_2), \R) \end{eqnarray*} pour tout $k$-alg\`ebre $\R$. Le foncteur $\G_1 \times_{\Hr} \G_2$ est ainsi repr\'esent\'e par la $k$-alg\`ebre $\mathcal{O}(\G_1) \otimes_{\mathcal{O}(\Hr)} \mathcal{O}(\G_2)$. Cette derni\`ere est bien de type fini, car elle est isomorphe au quotient de la $k$-alg\`ebre de type fini $\mathcal{O}(\G_1) \otimes_k \mathcal{O}(\G_2)$ par l'id\'eal engendr\'e par les \'el\'ements de la forme $a \otimes 1 - 1 \otimes a$, $a \in \mathcal{O}(\Hr)$.

\vspace{0.1cm} Nous venons ainsi de d\'emontrer la proposition suivante.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 2.3.3}} --- \emph{\'Etant donn\'es des groupes alg\'ebriques $\G_1, \G_2$ et $\Hr$ ainsi que des homomorphismes $f_1 : \G_1 \rightarrow \Hr$ et $f_2 : \G_2 \rightarrow \Hr$, le foncteur en groupes $$\G_1 \times_{\Hr} \G_2 : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}, \ \ \ \R \mapsto \{(g_1,g_2) \in \G_1(\R) \times \G_2(\R) \ | \ f_1(g_1) = f_2(g_2)\}$$ est un groupe alg\'ebrique, d'anneau de coordonn\'ees $\mathcal{O}(\G_1) \otimes_{\mathcal{O}(\Hr)} \mathcal{O}(\G_2)$. Ce groupe est le \emph{produit fibr\'e} des groupes $\G_1$ et $\G_2$ au-dessus de $\Hr$ et il c'est naturellement un sous-groupe du groupe produit $\G_1 \times \G_2$.}

\vspace{0.2cm} Un cas particulier de produit fibr\'e est le \emph{noyau} d'un homomorphisme de groupes alg\'ebriques.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 2.3.4}} --- \emph{Soit $f : \G \rightarrow \Hr$ un homomorphisme de groupes alg\'ebriques. Le foncteur en groupes sur $\mathbf{Alg}_k$, associant \`a toute $k$-alg\`ebre $\R$ le noyau de l'homomorphisme de groupes $f_{\R} : \G(R) \rightarrow \Hr(R)$, est un groupe alg\'ebrique, d'anneau de coordonn\'ees $\mathcal{O}(\G) \otimes_{\mathcal{O}(\Hr)} k$.  Il s'agit d'un sous-groupe de $\G$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Consid\'erons le diagramme $$\xymatrix{\G \ar@{->}[rd]^f & \\ & \Hr. \\ {\rm 1} \ar@{->}[ru]_{e_{\Hr}} &}$$ Pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, \begin{eqnarray*} (\G \times_{\Hr} {\rm 1})(\R) & = & \{(g, 1) \in \G(\R) \times \{1\} \ | \ f(g) = e_{\Hr}(1)\} \\ & = & \{(g,1) \in \G(\R) \times \{1\} \ | \ f(g) = {\rm 1}_{\Hr}\} \\ & \cong & \mathrm{ker}(f_{\R}) \end{eqnarray*} donc le foncteur en groupes $\mathrm{ker}(f)$ est canoniquement isomorphe au produit fibr\'e $\G \times_{\Hr} {\rm 1}$. Il en d\'ecoule que $\mathrm{ker}(f)$ est un groupe alg\'ebrique d'anneau de coordonn\'ees $\mathcal{O}(\G) \otimes_{\mathcal{O}(\Hr)} k$ et c'est naturellement un sous-groupe de $\G \cong \G \times {\rm 1}$. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples}}. 1) Le groupe $\mathrm{SL}_n$ est le noyau de l'homomorphisme $\det : \mathrm{GL}_n \rightarrow \mathrm{GL}_1$.

2) Soit $n \geqslant 0$ un nombre entier et consid\'erons l'homomorphisme $[n] : \mathbb{G}_{\rm m} \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}$ d\'efini par l'\'el\'evation \`a la puissance $n$-\`eme ; pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, $[n]_{\R}$ est l'homomorphisme $\R^{\times} \rightarrow \R^{\times}, \ x \mapsto x^n$. Son noyau est manifestement le groupe $\mathbf{\mu}_n$ des racines $n$-\`emes de l'unit\'e. Notons que l'on peut retrouver l'anneau de coordoonn\'ees de ce dernier : l'homomorphisme $[n]$ correspond \`a l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres $k[\Y,\Y^{-1}] \rightarrow k[\X,\X^{-1}]$ envoyant $\X$ sur $\Y^n$ et $$\k[\X,\X^{-1}] \otimes_{\k[\Y,\Y^{-1}]} k \cong k[\X,\X^{-1}] \otimes_k k/(\X^n \otimes 1 - 1 \otimes 1) \cong k[\X,\X^{-1}]/(\X^n -1) \cong k[\X]/(\X^n -1).$$

3) Supposons que $k$ soit un corps de caract\'eristique $p > 0$. La multiplication par $p$ d\'efinit un homomorphisme $[p] : \mathbb{G}_{\rm a} \rightarrow \mathbb{G}_{\rm a}$ ; pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, $[p]_{\R}$ est l'homomorphisme $\R \rightarrow \R, \ x \mapsto px$. Son noyau est manifestement le groupe alg\'ebrique $\mathbf{\alpha}_p$. L'homomorphisme $[p]$ correspond \`a l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres $k[\Sr] \rightarrow k[\T]$ envoyant $\Sr$ sur $\T^p$ et $$k[\T] \otimes_{k[\Sr]} k \cong k[\T] \otimes_k k / (\T^p \otimes 1 - 0 \otimes 1) \cong k[\T]/(\T^p).$$



\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{(2.3.4)} \textbf{\emph{Image, quotient}}. La situation est beaucoup plus d\'elicate pour ce qui est des images et des quotients. En g\'en\'eral, si $f : \G \rightarrow \Hr$ est un homomorphisme de groupes alg\'ebriques, le foncteur en groupes $$\mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}, \ \ \R \mapsto {\rm im}\left(\G(\R) \xymatrix{\ar@{->}[r]^{f_{\R}} & } \Hr(\R) \right)$$ n'est pas un groupe alg\'ebrique. De m\^eme, si $i : \N \rightarrow \G$ est un sous-groupe de $\G$ tel que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, $\N(\R)$ soit un sous-groupe distingu\'e de $\G(\R)$, le foncteur en groupes $$\mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}, \ \ \R \mapsto \G(\R)/\N(\R)$$ n'est g\'en\'eralement pas un groupe alg\'ebrique.

\vspace{0.2cm} Il n'y a pas \`a chercher beaucoup pour obtenir un contre-exemple : l'homomorphisme $\mathbb{G}_{\rm m} \xymatrix{\ar@{->}[r]^{[n]}&} \mathbb{G}_{\rm m}$ convient parfaitement!

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 2.3.4}} --- \emph{Soit $n$ un nombre entier. Si $n \geqslant 2$, le foncteur $$\mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \ \R \mapsto {\rm im}\left(\R^{\times} \rightarrow \R^{\times}, \ x \mapsto x^n \right) = \{r \in \R^{\times} \ | \ r \textrm{ est une puissance $n$-\`eme}\}$$ n'est pas repr\'esentable.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Supposons que ce foncteur soit repr\'esentable, c'est-\`a-dire qu'il existe une $k$-alg\`ebre $\A$ et un morphisme de foncteurs $\varphi : {\rm h}_{\A} \rightarrow {\rm h}_{k[\X,\X^{-1}]}$ tels que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, l'application $$\varphi_{\R} : \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(k[\X,\X^{-1}],\R) \cong \R^{\times}$$ soit une bijection sur le sous-ensemble de $\R^{\times}$ constitu\'e des puissances $n$-\`emes. En vertu du lemme de Yoneda, il existe un unique homomorphisme de $k$-alg\`ebre $\pi : k[\X,\X^{-1}] \rightarrow \A$ tel que $\varphi = {\rm h}_{\pi}$. Posant $\alpha = \pi(\X)$, nous pouvons alors reformuler ce que l'on vient de dire sous la forme d'une propri\'et\'e universelle : \begin{itemize} \item $\alpha$ est une puissance $n$-\`eme dans $\A$ ; \item pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout homomorphisme $r : k[\X,\X^{-1}] \rightarrow \R$ tel que $r(\X)$ soit une puissance $n$-\`eme dans $\R$,  il existe un unique homomorphisme $\overline{r} : \A \rightarrow \R$ tel que $\overline{r}(\alpha) = r(\X)$, c'est-\`a-dire tel que le diagramme $$\xymatrix{k[\X,\X^{-1}] \ar@{->}[r]^{r} \ar@{->}[d]_{\pi} & \R \\ \A \ar@{->}[ru]_{\overline{r}} &}$$ soit commutatif. \end{itemize}

\vspace{0.1cm} Nous allons maintenant d\'emontrer que \emph{tout} homomorphisme $r : k[\X,\X^{-1}] \rightarrow \R$ se factorise \`a travers $\pi$ ; en vertu de la propri\'et\'e universelle qui pr\'ec\`ede, ceci impliquera que \emph{tout} \'el\'ement inversible de \emph{n'importe quelle} $k$-alg\`ebre est une puissance $n$-\`eme, assertion \'evidemment fausse si $n \geqslant 2$ (consid\'erer par exemple $\X$ dans $k[\X,\X^{-1}]$). Pour ce faire, nous allons commencer par construire $\overline{r}$ comme un homomorphisme de $\A$ dans une $k$-alg\`ebre contenant $\R$, puis nous v\'erifierons que cet homomorphisme est en fait \`a valeur dans $\R$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons une $k$-alg\`ebre $\R$ et un homomorphisme $r : k[\X,\X^{-1}] \rightarrow \R$ ; posons $a = r(\X)$. La $k$-alg\`ebre $\R_1 = \R[\T_1]/(\T_1^n - a)$ contient $\R$ et $a$ y est manifestement une puissance $n$-\`eme ; il existe donc un unique homomorphisme $\overline{r}_1 : \A \rightarrow \R_1$ tel que $\overline{r}_1(\alpha) = a$. De m\^eme, la $k$-alg\`ebre $\R_2 = k[\T_2]/(\T_2^n - a)$ contient $\R$ et $a$ y est manifestement une puissance $n$-\`eme ; il existe donc un unique homomorphisme $\overline{r}_2 : \A \rightarrow \R_2$ tel que $\overline{r}_2(\alpha) = a$. Posant $$\R_{12} = \R[\T_1,\T_2]/(\T_1 - a,\T_2 - a) = \R_1[\T_2]/(\T_2 - a) = \R_2[\T_1]/(\T_1 - a)$$ et d\'esignant par $i_1$ et $i_2$ les inclusions canoniques de $\R_1$ et $\R_2$ dans $\R_{12}$, les homomorphismes $i_1 \circ r_1$ et $i_2 \circ r_2$ de $\A$ dans $\R_{12}$ sont tels que $(i_1 \circ r_1)(\alpha) = (i_2 \circ r_2)(\alpha) = a$, donc $i_1 \circ \overline{r}_1 = i_2 \circ \overline{r}_2$.

\vspace{0.1cm} En tant que $\R$-module, $\R_1$ (resp. $\R_2$) est libre de base $(1, \T_1, \ldots, \T_1^{n-1})$ (resp. $(1,\T_2,\ldots, \T_2^{n-1})$); de m\^eme, $\R_{12} = \R_1[\T_2]/(\T_2 - a)$ est un $\R_1$-module libre de base $1, \T_2, \ldots, \T_2^{n-1}$. Nous en d\'eduisons que $\R_{12}$ est un $\R$-module libre de base les mon\^omes $\T_1^{\nu_1}\T_2^{\nu_2}$ avec $0 \leqslant \nu_1, \nu_2 \leqslant n-1$. Quel que soit l'\'el\'ement $t$ de $\A$, $\overline{r}_1(t)$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme $u_0 + u_1 \T_1 + \ldots + u_{n-1}\T_1^{n-1}$ avec $u_0, \ldots, u_{n-1} \in \R$ ; de m\^eme, $\overline{r}_2(t)$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme $v_0 + v_1\T_2 + \ldots + v_{n-1}\T_2^{n-1}$ avec $v_0, \ldots, v_{n-1} \in \R$. L'identit\'e $i_1 \circ \overline{r}_1 = i_2 \circ \overline{r}_2$ implique $$u_0 + u_1 \T_1 + \ldots + u_{n-1}\T_1^{n-1} = v_0 + v_1\T_2 + \ldots + v_{n-1}\T_2^{n-1}$$ dans $\R_{12}$, donc $$u_0  = v_0, \ \ u_1 = \ldots = u_{n-1} = v_1 = \ldots = v_{n-1} =0.$$ L'homomorphisme $\overline{r}_1 : \A \rightarrow \R_1$ est par cons\'equent \`a valeurs dans la sous-alg\`ebre $\R$ et nous avons ainsi \'etabli que l'homomorphisme $r$ se factorise \`a travers $\pi$. Comme expliqu\'e pr\'ec\'edemment, ceci conclut la d\'emonstration de la proposition. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} Pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, l'homomorphisme $[n]_{\R} : \mathbb{G}_{\rm m}(\R) \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}(\R)$ induit un isomorphisme entre le groupe quotient $\mathbb{G}_{\rm m}(\R)/\mathbf{\mu}_n(\R)$ et le sous-groupe de $\mathbb{G}_{\rm m}(\R) = \R^{\times}$ constitu\'e des puissances $n$-\`emes. La proposition que nous venons d'\'etablir peut donc se reformuler de mani\`ere \'equivalente comme suit.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 2.3.5}} --- \emph{Soit $n$ un nombre entier. Si $n \geqslant 2$, le foncteur $$\mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \R \mapsto \mathbb{G}_{\rm m}(\R)/\mathbf{\mu}_n(\R)$$ n'est pas repr\'esentable.}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exercices}}. 1) Soit $(\A, \Delta, e^*,\iota)$ une $k$-big\`ebre de type fini et soit $\mathfrak{I}$ un id\'eal de $\A$. On d\'esigne par $p$ la projection canonique de $\A$ sur $\A/\mathfrak{I}$.

\vspace{0.1cm} \begin{itemize} \item[(i)] \`A quelle condition existe-t-il une structure de foncteur en groupes sur ${\rm h}_{\A/\mathfrak{I}}$ telle que le morphisme ${\rm h}_p : {\rm h}_{\A/\mathfrak{I}} \rightarrow {\rm h}_{\A}$ soit un homomorphisme de groupes alg\'ebriques?
\item[(ii)] Si ${\rm h}_{\A/\mathfrak{I}}$ est un sous-groupe de ${\rm h}_{\A}$, \`a quelle condition est-ce un sous-groupe \emph{distingu\'e}, c'est-\`a-dire tel que ${\rm h}_{\A/\mathfrak{I}}(\R)$ soit distingu\'e dans ${\rm h}_{\A}(\R)$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$?
\end{itemize}

\vspace{0.2cm}
2) Consid\'erons l'homomorphisme de groupes alg\'ebriques $i : \mathbb{G}_{\rm m} \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m} \times \mathbb{G}_{\rm m}$ d\'efini par $$i_{\R} : \R^{\times} \rightarrow \R^{\times} \times \R^{\times}, \ \ \ t \mapsto (t,t)$$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$.

\vspace{0.1cm} V\'erifier que l'homomorphisme $i$ fait de $\mathbb{G}_{\rm m}$ un sous-groupe de $\mathbb{G}_{\rm m} \times \mathbb{G}_{\rm m}$ puis d\'emontrer que le foncteur en groupes $$\mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}, \ \ \R \mapsto \mathbb{G}_{\rm m}(R) \times \mathbb{G}_{\rm m}(\R)/\mathbb{G}_{\rm m}(\R)$$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$.


\subsection{Changement du corps de base}

Examinons l'effet d'un changement du corps de base.

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{\emph{Proposition 2.4.1}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$ et soit $k'/k$ une extension de corps. Le foncteur en groupes sur $\mathbf{Alg}_{k'}$ obtenu par restriction de $\G$ est un groupe alg\'ebrique sur $k'$ d'anneau de coordonn\'ees $\mathcal{O}(\G) \otimes_k k'$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Pour toute $k'$-alg\`ebre $\R'$, $$\G(\R') \simeq \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{O}(\G),\R') \cong \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_{k'}}(\mathcal{O}(\G) \otimes_k k', \R'),$$ donc le foncteur $$\mathbf{Alg}_{k'} \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \R' \mapsto \G(\R')$$ est repr\'esent\'e par la $k'$-alg\`ebre $\mathcal{O}(\G) \otimes_k k'$. En outre, comme $\mathcal{O}(\G)$ est de type fini sur $k$, $\mathcal{O}(\G) \simeq k[\T_1,\ldots,\T_n]/\mathfrak{I}$ et donc $$\mathcal{O}(\G) \otimes_k k' \simeq \left(k[\T_1,\ldots,\T_n]/\mathfrak{I}\right) \otimes_k k' \simeq k'[\T_1,\ldots, \T_n]/\mathfrak{I}$$ est une $k'$-alg\`ebre de type fini (cf. appendice, 2.4, exercice 4).\hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \'Etant donn\'es un groupe alg\'ebrique $\G$ sur $k$ et une extension de corps $k'/k$, on note $\G \otimes_k k'$ le groupe alg\'ebrique sur $k'$ d\'efini en restreignant $\G$ \`a la sous-cat\'egorie $\mathbf{Alg}_{k'}$ de $\mathbf{Alg}_k$.

\vspace{0.2cm}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple 1}} -- Soit $k$ un corps de caract\'eristique diff\'erente de $2$. Pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, l'ensemble des matrices de la forme $\left(\begin{array}{ll} a & -b \\ b & a \end{array}\right)$ avec $a, b \in \R$ tels que $a^2 + b^2 \in \R^{\times}$ est un sous-groupe de ${\rm GL}_2(\R)$ ; on en d\'eduit que le foncteur $$\G : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}, \ \ \R \mapsto \left\{\left(\begin{array}{ll} a & -b \\ b & a \end{array}\right) \in \M_2(\R) \ \big| \ a^2 + b^2 \in \R^{\times} \right\}$$ est un sous-groupe de ${\rm GL}_2$, d'anneau de coordonn\'ees $$\mathcal{O}(\G) = k[\X_{11},\X_{12},\X_{21},\X_{22},\T]/(\X_{11} - \X_{22}, \X_{12}+\X_{21}, \T(\X_{11}\X_{22} - \X_{12}\X_{21})).$$

\vspace{0.1cm} Consid\'erons une $k$-alg\`ebre $\R$. Si $\R$ contient un \'el\'ement $i$ tel que de $i^2 + 1 = 0$, alors $$a^2 + b^2 = (a-ib)(a+ib)$$ pour tous $a, b \in \R$ et l'application $$\G(\R) \rightarrow \R^{\times} \times \R^{\times}, \ \ \left(\begin{array}{ll} a & -b \\ b & a \end{array}\right) \mapsto (a+ib, a-ib)$$ est un isomorphisme de groupes, d'inverse l'application $$\R^{\times} \times \R^{\times} \rightarrow \G(\R), \ \ (u,v) \mapsto \left(\begin{array}{ll} (u+v)/2 & (v-u)/2i \\ (u-v)/2i & (u+v)/2\end{array}\right).$$

\vspace{0.1cm} Supposons par exemple $k=\mathbb{Q}$ et consid\'erons l'extension quadratique $\mathbb{Q}(i) = \mathbb{Q}[\T]/(\T^2+1)$ de $\mathbb{Q}$.

\vspace{0.1cm} D'apr\`es ce que l'on vient de dire, le groupe $\G \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(i)$ est isomorphe au groupe produit $\mathbb{G}_{\rm m} \times \mathbb{G}_{\rm m}$. Par contre, le groupe $\G$ n'est \emph{pas} isomorphe \`a $\mathbb{G}_{\rm m} \times \mathbb{G}_{\rm m}$ ; en effet, les groupes $$\mathbb{\G}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{C}^{\times}$$ et $$(\mathbb{G}_{\rm m} \times \mathbb{G}_{\rm m})(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^{\times} \times \mathbb{R}^{\times}$$ ne sont pas isomorphes car le sous-groupe de torsion du premier est divisible, tandis que le sous-groupe de torsion du second est isomorphe au \emph{Viergruppe} de Klein $\left(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)^2$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple 2}} -- Consid\'erons le groupe unitaire usuel $$\U(n) = \left\{\M \in \M_n(\mathbb{C}) \ | \ ^{t}\overline{\M} \M  = \I_n \right\},$$ o\`u $\overline{\M}$ d\'esigne la matrice d\'eduite de $\M$ par conjugaison des coefficients. Peut-on \'ecrire ce groupe sous la forme $\G(\R)$ pour un certain groupe alg\'ebrique $\G$ sur $\mathbb{Q}$ et une certaine $\mathbb{Q}$-alg\`ebre $\R$?

\vspace{0.1cm} Pour toute $\mathbb{Q}$-alg\`ebre $\R$, la $\mathbb{Q}$-alg\`ebre $\R \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}[\T]/(\T^2+1) = \R[\T]/(\T^2+1)$ est munie d'un automorphisme $\R$-lin\'eaire canonique $\sigma$ d\'efini par $\sigma(\T)=-\T$. L'ensemble $$\G(\R) = \left\{\M \in \M_n(\R[\T]/(\T^2+1)) \ | ^{t}\sigma(\M)\M = \I_n\right\}$$ est un groupe pour le produit matriciel ; par ailleurs, si l'on note $x_{ij} + y_{ij}\T$ les coefficients d'une matrice $\M \in \M_n(\R[\T]/(\T^2+1))$, la condition $^{t}\sigma(\M)\M = \I_n$ \'equivaut aux identit\'es polynomiales $$\left\{\begin{array}{ll} (x_{1i}^2 + y_{1i}^2) + \ldots + (x_{ni}^2 + y_{ni}^2) = 1 & \hspace{1cm} (1 \leqslant i \leqslant n) \\ (x_{1i}x_{1j} - y_{1i}y_{1j}) + \ldots + (x_{ni}x_{nj} - y_{ni}y_{nj}) = 0 & \hspace{1cm} (1 \leqslant i < j \leqslant n) \\ (x_{1i}y_{1j} + x_{1j}y_{1i}) + \ldots + (x_{ni}y_{nj} + x_{nj}y_{ni}) = 0 & \hspace{1cm} (1 \leqslant i < j \leqslant n) \end{array} \right.$$
et donc le foncteur en groupes $\G$ ainsi d\'efini sur $\mathbf{Alg}_{\mathbb{Q}}$ est un groupe alg\'ebrique. Par construction m\^eme, $\G(\mathbb{R})$ est le groupe unitaire $\U(n)$.

\vspace{0.1cm} Supposons que $\R$ soit une $\mathbb{Q}$-alg\`ebre contenant un \'el\'ement $\xi$ tel que $\xi^2 + 1 = 0$. Sous cette hypoth\`ese, l'application $$\varepsilon : \R[\T]/(\T^2 + 1) \rightarrow \R \times \R,  \ \ a+b\T \mapsto (a+b\xi, a-b\xi)$$ est un isomorphisme d'anneaux et, via cette identification, l'automorphisme $\sigma$ de $\R[\T]/(\T^2+1)$ correspond \`a la permutation des deux facteurs de $\R \times \R$. En utilisant l'isomorphisme canonique de $\R$-alg\`ebres $$\M_2(\R \times \R) \cong \M_2(\R) \times \M_2(\R),$$ on en d\'eduit que le groupe $\G(\R)$ est isomorphe au sous-groupe de ${\rm GL}_2(\R) \times {\rm GL}_2(\R)$ constitu\'e des couples $(\M_1,\M_2)$ tels que $^{t}(\M_2,\M_1)(\M_1,\M_2) = (\I_n,\I_n)$, c'est-\`a-dire tels que $$^{t}\M_2\M_1 = ^{t}\M_1\M_2 = \I_n.$$ Ainsi, la premi\`ere projection ${\rm GL}_2(\R) \times {\rm GL}_2(\R) \rightarrow {\rm GL}_2(\R)$ induit un isomorphisme entre $\G(\R)$ et ${\rm GL}_2(\R)$.

\vspace{0.1cm} Au final, nous avons construit un groupe alg\'ebrique $\G$ sur $\mathbb{Q}$ tel que $$\G(\mathbb{R}) = \U(n) \ \ \textrm{  et  } \ \ \ \G(\mathbb{C}) \simeq {\rm GL}_n(\mathbb{C}).$$ On constate ais\'ement que les groupes $\U(n)$ et ${\rm GL}_n(\mathbb{R})$ ne sont pas isomorphes, par exemple en vertu du fait que le centre du premier est isomorphe \`a $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ et donc contient $3$ \'el\'ements de $3$-torsion tandis que le centre du second, isomorphe \`a $\mathbb{R}^{\times}$, ne contient qu'un \'el\'ement de $3$-torsion. Cette observation montre que les groupes alg\'ebriques $\G$ et ${\rm GL}_n$ sur $\mathbb{Q}$ ne sont pas isomorphes ; par contre, les groupes alg\'ebriques $\G \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i)$ et ${\rm GL}_n$ sur $\mathbb{Q}(i)$ sont isomorphes.

\newpage
\section{Repr\'esentations lin\'eaires}

L'objectif principal de ce chapitre est le th\'eor\`eme suivant de C. \textsc{Chevalley} : tout groupe alg\'ebrique $\G$ est isomorphe \`a un sous-groupe d'un groupe lin\'eaire ${\rm GL}_n$ ; en outre, \'etant donn\'e un sous-groupe $\Hr$ de $\G$, on peut r\'ealiser $\G$ comme un sous-groupe de ${\rm GL}_n$ de telle sorte que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, $\Hr(\R)$ soit le sous-groupe de $\G(\R)$ constitu\'e des matrices de la forme $$\left(\begin{array}{l|lll} * & * & \hspace{0.1cm} \ldots & * \\ \hline 0 & & & \\ \vdots & & * & \\ 0 & & & \end{array} \right)$$

Il d\'ecoule en particulier de ce th\'eor\`eme que \emph{tout} groupe alg\'ebrique peut se voir comme un groupe (fonctoriel) de matrices.

\subsection{G\'en\'eralit\'es}

\noindent \textbf{(3.1.1)} Soit $\C$ une cat\'egorie quelconque. Si $\G$ est un foncteur en groupes sur $\C$ et $\E$ est un foncteur en ensembles sur $\C$, on d\'efinit de mani\`ere naturelle une \emph{action} de $\G$ sur $\E$ comme la donn\'ee d'un morphisme de foncteurs $$\varphi : \G \times \E \rightarrow \E$$ tel que les diagrammes $$\xymatrix{\G \times \G \times \E \ar@{->}[r]^{{\rm id}_{\G} \times \varphi} \times \varphi \ar@{->}[d]_{m \times {\rm id}_{\E}} & \G \times \E \ar@{->}[d]^{\varphi} \\ \G \times \E \ar@{->}[r]_{\varphi} & \E} \ \ \hspace{1cm} \ \ \ \textrm{et} \ \ \  \xymatrix{{\rm 1} \times \E \ar@{->}[r]^{e \times {\rm id}_{\E}} \ar@{=}[rd]_{\sim} & \G \times \E \ar@{->}[d]^{\varphi} \\ & \E}$$ o\`u $m$ (resp. $e$) d\'esigne la multiplication (resp. le neutre) de $\G$, soient commutatifs.

\vspace{0.2cm} Les arguments utilis\'es pour d\'emontrer la proposition 1.1.1 montrent qu'il est \'equivalent de se donner \begin{itemize} \item une action $\varphi : \G \times \E \rightarrow \E$ de $\G$ sur $\E$ ; \item pour tout objet $\X$ de $\C$, une action $\varphi_{\X}$ du groupe $\G(\X)$ sur l'ensemble $\E(\X)$ de telle sorte que, pour toute fl\`eche $f : \X \rightarrow \Y$ dans $\C$, l'application $\E(f) : \E(\X) \rightarrow \E(\Y)$ soit \'equivariante relativement aux groupes $\G(\X)$ et $\G(\Y)$, i.e. $$\E(f)(\varphi_{\X}(g,x)) = \varphi_{\Y}(\G(f)(g), \E(f)(x))$$ pour tous $g \in \G(\X)$, $x \in \E(\X)$. \end{itemize}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple}} --- Si $\G$ est un foncteur en groupes sur $\C$, on peut consid\'erer le foncteur en ensembles $\widetilde{\G}$ associ\'e \`a $\G$ (i.e. $\widetilde{\G}(\X)$ est l'ensemble sous-jacent au groupe $\G(\X)$) et faire agir $\G$ sur $\widetilde{\G}$ par translation \`a gauche en consid\'erant le morphisme de foncteurs $\varphi : \G \times \widetilde{\G} \rightarrow \widetilde{\G}$ d\'efini par $\varphi_{\X}(g,h) = gh$ pour tout objet $\X$ de $\C$ et tous $g, h \in \G(\X)$. On peut \'egalement faire agir $\G$ sur $\widetilde{\G}$ par conjugaison.

Un autre exemple : on consid\`ere le foncteur en ensembles $\E$ d\'efini par \begin{itemize} \item pour tout objet $\X$ de $\C$, $\E(\X)$ est l'ensemble des sous-groupes de $\G$ ;  \item pour toute fl\`eche $f : \X \rightarrow \Y$ dans $\C$, $\E(f)$ est l'application envoyant un sous-groupe $\Hr$ de $\G(\X)$ sur le sous-groupe $\G(f)\Hr$ de $\G(\Y)$. \end{itemize}

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{(3.1.2)} Soit $k$ un corps et soit $\V$ un $k$-espace vectoriel. On associe \`a $\V$ un foncteur $\underline{\V} : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Ens}$ en posant \begin{itemize} \item pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, $\underline{\V}(\R)$ est le $\R$-module libre $\V \otimes_k \R$; \item pour tout homomorphisme de $k$-alg\`ebre $f : \R \rightarrow \R'$, $\underline{\V}(f)$ est l'application $\R$-lin\'eaire $$\V \otimes_k \R \rightarrow \V \otimes_k \R', \ \  \sum_{\alpha} v_{\alpha} \otimes \lambda_{\alpha} \mapsto \sum_{\alpha} v_{\alpha} \otimes f(\lambda_{\alpha}).$$ \end{itemize}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarques}} --- 1. Si $(e_i)_{i \in \I}$ est une base de $\V$, $(e_i \otimes 1)_{i \in \I}$ est une base du $\R$-module libre $\V \otimes_k \R$.

\vspace{0.1cm} 2. Une application $\R$-lin\'eaire $u$ de $\V \otimes_k \R$ dans un $\R$-module $\M$ est uniquement d\'etermin\'ee par sa restriction au sous-ensemble $\V \otimes_k 1 = \{v \otimes 1 \ ; \ v \in \V\}$ de $\V \otimes_k \R$, que l'on identifie canoniquement \`a $\V$. En effet, tout \'el\'ement de $\V \otimes_k \R$ s'\'ecrit sous la forme $\sum_{\alpha} v_{\alpha} \otimes \lambda_{\alpha}$ et $$u(\sum_{\alpha} v_{\alpha} \otimes \lambda_{\alpha}) = \sum_{\alpha} u(v_{\alpha} \otimes 1) \lambda_{\alpha}.$$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 3.1.1}} --- \emph{Soit $\V$ un $k$-espace vectoriel et soit $f: \R \rightarrow \R'$ un homomorphisme de $k$-alg\`ebres. \'Etant donn\'e un endomorphisme $\R$-lin\'eaire $\alpha$ de $\V \otimes_k \R$, il existe un unique endomorphisme $\R'$-lin\'eaire $f^{*}(\alpha)$ de $\V \otimes_k \R'$ tel que le diagramme $$\xymatrix{\V \otimes_k \R' \ar@{->}[r]^{f^{*}(\alpha)} & \V \otimes_k \R' \\ \V \otimes_k \R \ar@{->}[u]^{{\rm id}_{\V} \otimes f} \ar@{->}[r]_{\alpha} & \V \otimes_k \R' \ar@{->}[u]_{{\rm id}_{\V} \otimes f}}$$ soit commutatif. \\
\indent On a $f^{*}({\rm id}_{\V \otimes_k \R}) = {\rm id}_{\V \otimes_k \R'}$ et $f^{*}(\alpha \beta) = f^{*}(\alpha)f^{*}(\beta)$ pour tous $\alpha, \beta \in {\rm End}_{\R}(\V \otimes_k \R)$. En particulier, si $\alpha$ est un automorphisme, $f^{*}(\alpha)$ est un automorphisme.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. L'application compos\'ee $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\alpha} & \V \otimes_k \R \ar@{->}[r]^{{\rm id}_{\V} \otimes f} & \V \otimes_k \R'}$$ est $k$-lin\'eaire et donc se prolonge de mani\`ere unique en une application $\R'$-lin\'eaire $\alpha' : \V \otimes_k \R' \rightarrow \V \otimes_k \R'$. Par construction, les applications $\R$-lin\'eaires $\alpha' \circ ({\rm id}_{\V} \otimes f)$ et $({\rm id}_{\V} \otimes f) \circ \alpha$ de $\V \otimes_k \R$ dans $\V \otimes_k \R'$ co\"{\i}ncident sur le sous-ensemble $\V \otimes 1$ de $\V \otimes_k \R$ ; elles sont donc \'egales et il suffit de poser $f^{*}(\alpha) = \alpha'$. L'unicit\'e est claire puisque la restriction de $f^{*}(\alpha)$ au sous-ensemble $\V \otimes 1$ de $\V \otimes_k \R'$ est donn\'ee.

Les identit\'es $f^{*}({\rm id}_{\V \otimes_k \R}) = {\rm id}_{\V \otimes_k \R'}$ et $f^{*}(\alpha \beta) = f^{*}(\alpha)f^{*}(\beta)$ se d\'eduisent imm\'ediatement de l'unicit\'e. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} Le lemme pr\'ec\'edent permet de d\'efinir un foncteur en groupes ${\rm GL}_{\V}$ sur ${\rm Alg}_k$ : \begin{itemize} \item pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, ${\rm GL}_{\V}(\R)$ est le groupe des automorphismes $\R$-lin\'eaires du $\R$-module $\V \otimes_k \R$; \item pour toute fl\`eche $f : \R \rightarrow \R'$, ${\rm GL}_{\V}(f)$ est l'homomorphisme ${\rm GL}_{\V}(\R) \rightarrow {\rm GL}_{\V}(\R')$ envoyant $\alpha$ sur $f^{*}(\alpha)$.\end{itemize}


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 3.1.2}} --- \emph{Soit $\V$ un $k$-espace vectoriel. Pour que le foncteur en groupe ${\rm GL}_{\V}$ soit un groupe alg\'ebrique sur $k$, il faut et il suffit que $\V$ soit de dimension finie.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Le choix d'une base $(e_i)_{i \in \I}$ de $\V$ sur $k$ permet de d\'efinir un isomorphisme de foncteurs en groupes entre ${\rm GL}_{\V}$ et le foncteur $$\G_{\I} : \mathbf{Alg}_k \rightarrow {\rm Gr}, \ \ \R \mapsto \{\textrm{matrices inversibles dans } {\M}_{\I}(\R)\} $$ en associant \`a chaque automorphisme $\R$-lin\'eaire de $\V \otimes_k \R = \bigoplus_{i \in \I}\R (e_i \otimes 1)$ sa matrice dans la base $(e_i \otimes 1)_{i \in \I}$.

Ainsi, si $\V$ est de dimension finie $d$, alors ${\rm GL}_{\V}$ est isomorphe au foncteur en groupes ${\rm GL}_d$ et il s'agit donc d'un groupe alg\'ebrique sur $k$.

\vspace{0.1cm} R\'eciproquement, si le foncteur ${\rm GL}_{\V}$ est un groupe alg\'ebrique d'anneau de coordonn\'ees $\A$, alors le foncteur $\G_{\I}$ est repr\'esent\'e par le couple $(\A,\alpha)$, o\`u $\alpha$ est un certain \'el\'ement de $\G_{\I}(\A)$ ; en particulier, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, chaque matrice inversible $\M \in \M_{\I}(\R)$ est de la forme $f(\alpha)$ pour un certain homomorphisme de $k$-alg\`ebres $f : \A \rightarrow \R$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons la $k$-alg\`ebre $\K = k((\X_i)_{i \in \I})$ des fractions rationnelles en des ind\'ermin\'ees $\X_i$, $i \in \I$. Par hypoth\`ese, la $k$-alg\`ebre $\A$ est de type fini donc il existe $t_1, \ldots, t_n \in \A$ tel que tout \'el\'ement $a$ de $\A$ s'\'ecrire sous la forme d'un polyn\^ome en $t_1, \ldots, t_n$ \`a coefficients dans $k$ ; il en d\'ecoule que, pour tout homomorphisme de $k$-alg\`ebre $f : \A \rightarrow \K$, la matrice $f(\alpha)$ fait intervenir qu'un nombre fini d'ind\'etermin\'ees $\X_i$. Si l'ensemble $\I$ est infini, la matrice de l'automorphisme $\K$-lin\'eaire $u$ de $\V \otimes_k \K$ d\'efini par $u(e_i \otimes 1) = \X_i(e_i \otimes 1)$ pour tout $i \in \I$ fait intervenir une infinit\'e d'ind\'etermin\'ees et donc ne peut pas s'\'ecrire sous la forme $f(\alpha)$. Ainsi, le foncteur en groupe ${\rm GL}_{\V}$ n'est pas un groupe alg\'ebrique si l'ensemble $\I$ est infini. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 3.1.3}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$ et soit $\V$ un $k$-espace vectoriel. Une \emph{repr\'esentation lin\'eaire} de $\G$ dans $\V$ est une action de $\G$ sur $\underline{\V}$ telle que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, le groupe $\G(\R)$ agisse par automorphismes $\R$-lin\'eaires sur $\V \otimes_k \R$.}


\vspace{0.3cm} Pour tout groupe alg\'ebrique $\G$ sur $k$ et tout $k$-espace vectoriel $\V$, il revient au m\^eme de se donner une repr\'esentation lin\'eaire $\varphi : \G \times \underline{\V} \rightarrow \underline{\V}$ ou un morphisme de foncteurs en groupes $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$. La correspondance est donn\'ee par l'identit\'e $$\rho_{\R}(g) = \varphi_{\R}(g, \cdot)$$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout $g \in \G(\R)$.

\vspace{0.3cm}
\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples}} --- 1. On d\'efinit une repr\'esentation lin\'eaire de ${\rm SL}_2$ dans l'espace vectoriel $k[\X,\Y]_2 = k\X^2 \oplus k\X\Y \oplus \Y^2$ des polyn\^omes homog\`enes de degr\'e $2$ en $\X$ et $\Y$ de la mani\`ere suivante. Pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, le groupe ${\rm SL}_2(\R)$ op\`ere naturellement sur le $\R$-module $\R \X \oplus \R \Y$ via $$\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right).(\X, \Y) = (\X,\Y) \left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d\end{array}\right) = (a\X+b\Y, c\X+d\Y).$$ On en d\'eduit une action de ${\rm SL}_2(\R)$ sur $\V \otimes_k \R = \R \X^2 \oplus \R \X\Y \oplus \R \Y^2$ d\'efinie par $$\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right).\X^2 = (a\X+b\Y)^2 = a^2 \X^2 + 2ab\X\Y + b^2\Y^2,$$ $$\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right).\Y^2 = (c\X + d\Y)^2 = c^2\X^2 + 2cd\X\Y + d^2 \Y^2$$ et $$\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right).\X\Y = (a\X + b\Y)(c\X+d\Y) = ac \X^2 + (ad+bc)\X\Y + bd \Y^2.$$

On dispose plus g\'en\'eralement d'une repr\'esentation naturelle de ${\rm SL}_n$ dans l'espace vectoriel $k[\X_1, \ldots, \X_n]_d$ des polyn\^omes homog\`enes de degr\'e $d$ en $n$ ind\'etermin\'ees : pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, ${\rm SL}_n(\R)$ op\`ere sur $\R[\X_1, \ldots, \X_n]_1 = \R\X_1 \oplus \ldots \oplus \R\X_n$ via $$(g.\X_1, \ldots, g.\X_n) = (\X_1, \ldots, \X_n) \ ^{t}g$$ et il en d\'ecoule une action de ${\rm SL}_n(\R)$ sur $\R[\X_1, \ldots, \X_n]_d = k[\X_1, \ldots, \X_n]_d \otimes_k \R$ d\'efinie par $$g.\rP(\X_1, \ldots, \X_n) = \rP(g.\X_1, \ldots, g.\X_n).$$

\vspace{0.2cm} 2. On dispose d'une repr\'esentation lin\'eaire naturelle du groupe alg\'ebrique ${\rm GL}_n$ dans l'espace vectoriel $\V = \M_n(k)$ : pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, $\V \otimes_k \R \simeq \M_n(\R)$ et on fait op\'erer le groupe ${\rm GL}_n(\R)$ par conjugaison : $g.\M = g\M g^{-1}$.

\vspace{0.1cm} Il est ais\'e d'expliciter cette repr\'esentation en utilisant la base canonique de $\M_n(k)$ form\'ee des matrices \'el\'ementaires $\E_{ij}$ ($1 \leqslant i, j \leqslant n$). Pour $n = 2$, on obtient les formules suivantes : \\ si $g = \left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d\end{array}\right) \in {\rm GL}_n(\R)$ et $\delta = ad-bc$, alors $$g.\E_{11} = \frac{1}{\delta}(ad \E_{11} - ab\E_{12} + cd \E_{21} -bc \E_{22}), \ \ g. \E_{12} = \frac{1}{\delta}(-ac\E_{11} + a^2\E_{12} - c^2 \E_{21} + ac\E_{22})$$ $$g.\E_{21} = \frac{1}{\delta}(bd \E_{11} - b^2 \E_{12} + d^2 \E_{21} - bd\E_{22}) \ \ \textrm{ et } \ \ g.\E_{22} = \frac{1}{\delta}(-bc \E_{11} + ab\E_{12} - cd\E_{21} + ad\E_{22}).$$

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{(3.1.3)} Consid\'erons un $k$-espace vectoriel $\V$ de dimension finie et soit $\W$ un sous-espace vectoriel de $\V$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 3.1.4}} --- \emph{Le foncteur $${\rm Stab}(\W) : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}, \ \ \R \mapsto \{g \in {\rm GL}_{\V} \ | \ g(\W \otimes_k \R) \subset \W \otimes_k \R\}$$ est un groupe alg\'ebrique et l'inclusion canonique ${\rm Stab}(\W) \hookrightarrow {\rm GL}_{\V}$ en fait un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Consid\'erons une base $(e_1,\ldots, e_m)$ de $\W$ et compl\'etons-la en une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\V$. L'isomorphisme ${\rm GL}_{\V} \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\sim} &} {\rm GL}_n$ obtenu en associant \`a tout \'el\'ement $g \in {\rm GL}_{\V}(\R) = {\rm GL}(\V \otimes_k \R)$ sa matrice dans la base $(e_1 \otimes 1, \ldots, e_n \otimes 1)$ identifie le sous-foncteur en groupes ${\rm Stab}(\W)$ de ${\rm GL}_{\V}$ au sous-foncteur en groupes $\F$ de ${\rm GL}_n$ tel que $$\F(\R) = \left\{\left(\begin{array}{ll} \M & \M' \\ 0 & \M''\end{array}\right) \ ; \ \M \in {\rm GL}_m(\R), \ \M' \in \M_{m, n-m}(\R) \ \textrm{ et } \ \M'' \in {\rm GL}_{n-m}(\R) \right\}$$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$.

Le foncteur $\F$ est manifestement un sous-groupe alg\'ebrique de ${\rm GL}_n$, son anneau de coordonn\'ees \'etant le quotient de $\mathcal{O}({\rm GL}_n) = k[(\X_{ij}), \T]/(\T \det(\X_{ij}) - 1)$ par l'id\'eal engendr\'e par les $\X_{ij}$ avec $m+~1 \leqslant i \leqslant n$ et $1 \leqslant j \leqslant m$. Par cons\'equent, ${\rm Stab}(\W)$ est un sous-groupe alg\'ebrique de ${\rm GL}_{\V}$. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} Plus g\'en\'eralement, \'etant donn\'es un groupe alg\'ebrique $\G$ sur $k$ et une repr\'esentation $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ de $\G$ dans $\V$, le produit fibr\'e $\G \times_{{\rm GL}_{\V}} {\rm Stab}(\W)$ du diagramme $$\xymatrix{\G \ar@{->}[rd]^{\rho} & \\ & {\rm GL}_{\V} \\ {\rm Stab}(\W) \ar@{^{(}->}[ru] & }$$ est un groupe alg\'ebrique (cf. 2.3.3). Quelle que soit la $k$-alg\`ebre $\R$, \begin{eqnarray*} (\G \times_{{\rm GL}_{\V}} {\rm Stab}(\W))(\R) & = & \{(g,h) \in \G(\R) \times {\rm Stab}(\W)(\R) \ | \ \rho_{\R}(g) = h\} \\ & = & \{g \in {\rm GL}_{\V}(\R) \ | \ \rho_{\R}(g)(\W \otimes_k \R) \subset \W \otimes_k \R\} \end{eqnarray*} s'identifie au sous-groupe de $G(\R)$ constitu\'e des \'el\'ements stabilisant le sous-module $\W \otimes_k \R$ de $\V \otimes_k~\R$. On dit que $\G \times_{{\rm GL}_{\V}} {\rm Stab}(\W)$ est le \emph{stabilisateur} de $\W$ dans $\V$ et on le note ${\rm Stab}_{\G}(\W)$.

L'anneau de coordonn\'ees de ${\rm Stab}_{\G}(\W)$ est $\mathcal{O}(\G) \otimes_{\mathcal{O}({\rm GL}_{\V})} \mathcal{O}({\rm Stab}(\W))$. La premi\`ere projection $\G \times_{{\rm GL}_{\V}} {\rm Stab}(\W) \rightarrow \G$  fournit un homomorphisme canonique $j$ de ${\rm Stab}_{\G}(\W)$ dans $\G$ correspondant \`a l'homomorphisme $$j^* : \mathcal{O}(\G) \rightarrow \mathcal{O}(\G) \otimes_{\mathcal{O}({\rm GL}_{\V})} \mathcal{O}({\rm Stab}(\W)), \ \ a \mapsto a \otimes 1.$$ Ce dernier est surjectif, \footnote{L'homomorphisme $i^{*} : \mathcal{O}({\rm GL}_{\V}) \rightarrow \mathcal{O}({\rm Stab}(\W))$ correspondant \`a l'inclusion canonique $i : {\rm Stab}(\W) \hookrightarrow {\rm GL}_{\V}$ est surjectif (cf. la d\'emonstration de la proposition 3.1.4). Par suite, tout \'el\'ement de $$\mathcal{O}(\G) \rightarrow \mathcal{O}(\G) \otimes_{\mathcal{O}({\rm GL}_{\V})} \mathcal{O}({\rm Stab}(\W))$$ de la forme $a \otimes b$ s'\'ecrit $a \otimes i^*(c) = a\rho^*(c) \otimes 1$ avec $c \in \mathcal{O}({\rm GL}_{\V})$ et la surjectivit\'e de $j^*$ en d\'ecoule.} donc ${\rm Stab}_{\G}(\W)$ est un sous-groupe de $\G$.

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{(3.1.4)} \'Etant donn\'e un groupe alg\'ebrique $\G$ d'anneau de coordonn\'ees $\A$, nous allons maintenant voir qu'il est \'equivalent de se donner une repr\'esentation lin\'eaire de $\G$ dans un $k$-espace vectoriel $\V$ ou d'\'equiper $\V$ d'une structure de \emph{comodule} sur $\A$.

\vspace{0.1cm} Soit $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ une repr\'esentation lin\'eaire. Ayant choisi un isomorphisme de foncteurs $\G \simeq {\rm h}_{\A}$, on dispose pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout \'el\'ement $g$ de $\G(\R) = {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R)$ d'un digramme commutatif $$\xymatrix{\G(\A) \times \V \ar@{->}[r]^{\rho_{\A}} \ar@{->}[d]_{\G(g) \times {\rm id}_{\V}} & \V \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{{\rm id}_{\V} \otimes g} \\ \G(\R) \times \V \ar@{->}[r]_{\rho_{\R}} & \V \otimes_k \R}$$ et $g$ est l'image de l'\'el\'ement ${\rm id}_{\A}$ de $\G(\A) = {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\A)$ par l'application $\G(g)$. On en d\'eduit l'identit\'e $$\rho_{\R}(g,v) = (({\rm id}_{\V} \otimes g) \circ \rho_{\A})({\rm id}_{\A},v)$$ pour tout vecteur $v \in \V$, ce qui montre que la repr\'esentation $\rho$ est compl\`etement d\'etermin\'ee par la donn\'ee de l'application $k$-lin\'eaire $$\widetilde{\rho} = \rho_{\A}({\rm id}_{\A} \otimes \cdot) : \V \rightarrow \V \otimes_k \A.$$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple}} --- Consid\'erons le groupe additif $\mathbb{G}_{\rm a}$ et la repr\'esentation lin\'eaire $\rho$ dans le $k$-espace vectoriel $\V = ke_1 \oplus ke_2$ d\'efinie par $$\rho_{\R}(t).e_1 \otimes 1 = e_1 \otimes 1 \ \ \ \textrm{et} \ \ \ t.e_2 \otimes 1 = t(e_1 \otimes 1)   + e_2 \otimes 1 = e_1 \otimes t + e_2 \otimes 1$$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout $t \in \mathbb{G}_{\rm a}(\R) = \R$.

L'anneau de coordonn\'ees de $\mathbb{G}_{\rm a}$ est la $k$-alg\`ebre $\A = k[\T]$ et les bijections $${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(k[\T],\R) \rightarrow \mathbb{G}_{\rm a}(\R) = \R, \ \ \ u \mapsto u(\T)$$ d\'efinissent un isomorphisme de foncteurs ${\rm h}_{\A} \simeq \mathbb{G}_{\rm a}$ ; via cette identification, ${\rm id}_{\A}$ correspond en particulier \`a l'\'el\'ement $\T$ de $\mathbb{G}_{\rm a}(k[\T])=k[\T]$. Il en d\'ecoule que $\widetilde{\rho}$ est l'application $k$-lin\'eaire $$\V \rightarrow \V \otimes_k k[\T], \ \ \ e_1 \mapsto e_1 \otimes 1, \ \ e_2 \mapsto e_1 \otimes \T + e_2 \otimes 1$$ et, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout \'el\'ement $t$ de $\mathbb{G}_{\rm a}(\R) = \R$, $\rho_{\R}(t,\cdot)$ est l'application compos\'ee $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} & \V \otimes_k k[\T] \ar@{->}[r]^{{\rm id}_{\V} \otimes t} & \V \otimes_k \R}$$ obtenue en sp\'ecialisant $\T$ en $t$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 3.1.5}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$ et soit ($\A$, $\Delta$, $e^*$, $\iota$) la $k$-big\`ebre associ\'ee. Pour tout $k$-espace vectoriel $\V$, il revient au m\^eme de se donner : \begin{itemize} \item[(i)] une repr\'esentation lin\'eaire $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ ; \item[(ii)] une application $k$-lin\'eaire $\widetilde{\rho} : \V \rightarrow \V \otimes_k \A$ telle que les deux diagrammes $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} \ar@{->}[d]_{\widetilde{\rho}} & \V \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{\widetilde{\rho} \otimes {\rm id}_{\A}} \\ \V \otimes_k \A \ar@{->}[r]_{{\rm id}_{\V} \otimes \Delta} & \V \otimes_k \A \otimes_k \A} \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} \ar@{=}[rd] & \V \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{{\rm id}_{\V} \otimes e^*} \\ & \V \otimes_k k}$$ soient commutatifs.\end{itemize}}


\emph{\`A une repr\'esentation lin\'eaire  $\rho$ correspond l'application $\widetilde{\rho} = \rho_{\A}({\rm id}_{\A}, \cdot)$. \\
\indent \`A une application  $\widetilde{\rho} : \V \rightarrow \V \otimes_k \A$ satisfaisant aux deux conditions de (ii) correspond la repr\'esentation lin\'eaire $\rho$ telle que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout \'el\'ement $g$ de $\G(\R) = {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R)$,  $\rho_{\R}(g)$ soit l'unique automophisme $\R$-lin\'eaire  de $\V \otimes_k \R$ prolongeant l'application $k$-lin\'eaire $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} & \V \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{{\rm id}_{\V} \otimes g} & \V \otimes_k \R.}$$}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Soit $\rho$ une repr\'esentation lin\'eaire de $\G$ dans $\V$ et soit $\widetilde{\rho} = \rho_{\A}({\rm id}_{\A}, \cdot)$ ; on a vu que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout \'el\'ement $g$ de ${\rm G}(\R) = {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R)$, $\rho_{\R}(g)$ est l'unique automorphisme $\R$-lin\'eaire de $\V \otimes_k \R$ prolongeant l'application $k$-lin\'eaire $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} & \V \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{{\rm id}_{\R} \otimes g} & \V \otimes_k \R}.$$

\vspace{0.1cm}
Consid\'erons deux \'el\'ements $g, h$ de $\G(\R)$ et calculons successivement $\rho_{\R}(gh)$ et $\rho_{\R}(g) \circ \rho_{\R}(h)$.

Par d\'efinition de la comultiplication $\Delta$ de $\A$, $gh$ est l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\A \rightarrow \R$ d\'efini comme le compos\'e $$\xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\hspace{-0.3cm}\Delta} & \A \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{g \otimes h} & \R \otimes_k \R \ar@{->}[r]^{\hspace{0.2cm} \rm mult} & \R}$$ donc $\rho_{\R}(gh)$ est l'unique automorphisme $\R$-lin\'eaire de $\V \otimes_k \R$ prolongeant l'application $k$-lin\'eaire $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\hspace{-0.5cm} \widetilde{\rho}} & \V \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{\hspace{-0.3cm} {\rm id}_{\V} \otimes \Delta} & \V \otimes_k \A \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{{\rm id}_{\V} \otimes g \otimes h} & \V \otimes_k \R \otimes_k \R \ar@{->}[r]^{\hspace{0.2cm} {\rm id}_{\V} \otimes {\rm mult}} & \V \otimes_k \R.}$$

D'autre part, si $v$ est un vecteur de $\V$, alors $\rho_{\R}(h).v = \sum_{i} v_i \otimes \lambda_i$ avec $v_i \in \V$ et $\lambda_i \in \R$, puis \begin{eqnarray*}(\rho_{\R}(g) \circ \rho_{\R}(h)).v & = & \rho(g).\sum_i v_i \otimes \lambda_i \\ & = & \sum_i (\rho_{\R}(g).v_i) \lambda_i \end{eqnarray*} dans $\V \otimes_k \R$. Ainsi, $\rho_{\R}(g) \circ \rho_{\R}(h)$ est l'unique automorphisme $\R$-lin\'eaire de $\V \otimes_k \R$ prolongeant l'application $k$-lin\'eaire $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} & \V \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{\hspace{-0.2cm} \widetilde{\rho} \otimes {\rm id}_{\A}} & \V \otimes_k \A \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{{\rm id}_{\V} \otimes g \otimes h} & \V \otimes_k \R \otimes_k \R \ar@{->}[r]^{\hspace{0.3cm} {\rm id}_{\V} \otimes {\rm mult}} & \V \otimes_k \R}.$$

\vspace{0.1cm} L'identit\'e $\rho_{\R}(gh) = \rho_{\R}(g) \circ \rho_{\R}(h)$ est donc \'equivalente \`a la commutativit\'e du diagramme $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} \ar@{->}[d]^{\widetilde{\rho}} & \V \otimes_k \A \ar@{->}[d]_{\widetilde{\rho} \otimes {\rm id}_{\A}} & &  \\ \V \otimes_k \A \ar@{->}[r]_{{\rm id}_{\V} \otimes \Delta} & \V \otimes_k \A \otimes_k \A \ar@{->}[rd]^{{\rm mult} \circ (g \otimes h)} & & \\ & & \V \otimes_k \R.}$$ Comme ceci doit \^etre vrai pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tous $g, h \in \G(\R) = {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R)$, on en d\'eduit imm\'ediatement que le diagramme $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} \ar@{->}[d]_{\widetilde{\rho}} & \V \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{\widetilde{\rho} \otimes {\rm id}_{\A}} & &  \\ \V \otimes_k \A \ar@{->}[r]_{{\rm id}_{\V} \otimes \Delta} & \V \otimes_k \A \otimes_k \A}$$ est commutatif (consid\'erer $\R = \A \otimes_k \A$ et prendre pour $g$ (resp. $h$) l'homomorphisme de $\A$ dans  $\A \otimes_k \A$ envoyant $a$ sur  $a \otimes 1$ (resp. sur $1 \otimes a$), de sorte que $g \otimes h$ soit l'identit\'e de $\A \otimes_k \A$).

\vspace{0.1cm} L'\'el\'ement neutre $e_{\R}$ du groupe $\G(\R)$ correspond \`a l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres de $\A$ dans $\R$ obtenu en composant $e^* : \A \rightarrow k$ par l'unique homomorphisme de $k$-alg\`ebres $u : k \rightarrow \R$. Par suite, l'identit\'e $\rho_{k}(e_{k}) = {\rm id}_{\V}$ \'equivaut \`a la commutativit\'e du diagramme $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} \ar@{=}[rd] & \V \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{{\rm id}_{\V} \otimes e^*} \\ & \V \otimes_k k}$$

\vspace{0.1cm} Partons r\'eciproquement d'une application $k$-lin\'eaire $\widetilde{\rho}$ de $\V$ dans $\V \otimes_k \A$ satisfaisant aux deux conditions de (ii). Pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout $g \in \G(\R) = {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R)$, on d\'esigne par $\rho_{\R}(g)$ l'unique endomorphisme $\R$-lin\'eaire de $\V \otimes_k \R$ prolongeant l'application $k$-lin\'eaire $({\rm id}_{\V} \otimes g) \circ \widetilde{\rho}$. La discussion pr\'ec\'edente montre que l'on a $\rho_{\R}(gh) = \rho_{\R}(g)\rho_{\R}(h)$ et $\rho_{\R}(e_{\R}) = {\rm id}_{\V \otimes_k \R}$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tous $g, h \in \G(\R)$ ; en particulier, $\rho_{\R}(g)$ est un \emph{automorphisme} $\R$-lin\'eaire de $\V \otimes_k \R$ et on conclut que les homomorphismes de groupes $\rho_{\R} : \G(\R) \rightarrow {\rm GL}_{\V}(\R)$ d\'efinissent une repr\'esentation lin\'eaire $\rho$ de $\G$ dans $\V$ telle que $\widetilde{\rho} = \rho_{\A}({\rm id}_{\A}, \cdot)$. \hfill $\Box$


\vspace{0.3cm} La structure mise en \'evidence au point (ii) de la proposition pr\'ec\'edente m\'erite d'\^etre baptis\'ee.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 3.1.6}} --- \emph{Soit $(\A, \Delta, e^*, \iota)$ est une $k$-big\`ebre. Un \emph{comodule} sur $\A$ est la donn\'ee d'un $k$-espace vectoriel $\V$ et d'une application $k$-lin\'eaire $\widetilde{\rho} : \V \rightarrow \V \otimes_k \A$ telle que les deux diagrammes $$\xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} \ar@{->}[d]_{\widetilde{\rho}} & \V \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{\widetilde{\rho} \otimes {\rm id}_{\A}} \\ \V \otimes_k \A \ar@{->}[r]_{{\rm id}_{\V} \otimes \Delta} & \V \otimes_k \A \otimes_k \A} \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \xymatrix{\V \ar@{->}[r]^{\widetilde{\rho}} \ar@{=}[rd] & \V \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{{\rm id}_{\V} \otimes e^*} \\ & \V \otimes_k k}$$ soient commutatifs.}

\emph{Un \emph{sous-comodule} de $\V$ est un sous-espace vectoriel $\W$ de $\V$ tel que l'image de $\W$ par l'application $\widetilde{\rho}$ soit contenue dans le sous-espace vectoriel $\W \otimes_k \A$ de $\V \otimes_k \A$.}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple}} --- Reprenons le premier exemple donn\'e apr\`es la d\'efinition 3.1.3, soit l'action naturelle de ${\rm SL}_2$ sur $\V = k[\X,\Y]_2$. Ici, $\A = k[\X_{11}, \X_{12}, \X_{21}, \X_{22}]/(\X_{11}\X_{22} - \X_{12}\X_{21} - 1)$ et la repr\'esentation envisag\'ee correspond \`a l'application $k$-lin\'eaire $$k[\X,\Y]_2 \rightarrow k[\X,\Y]_2 \otimes_k \A$$ d\'efinie par $$\X^2 \mapsto \X^2 \otimes \X_{11}^2 + \X\Y \otimes 2\X_{12}\X_{11} + \Y^2 \otimes \X_{12}^2, \ \ \ \Y^2 \mapsto \X^2 \otimes \X_{21} + \X\Y \otimes 2 \X_{21}\X_{22} + \Y^2 \otimes \X_{22}^2$$ et $$\X\Y \mapsto \X^2 \otimes \X_{11}\X_{21}+\X\Y \otimes (\X_{11}\X_{22} + \X_{12}\X_{21}) + \Y^2 \otimes \X_{12}\X_{22}.$$

\subsection{Repr\'esentation r\'eguli\`ere}

Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$ d'anneau de coordonn\'ees $\A$ ; on fixe un isomorphisme de foncteurs ${\rm h}_{\A} \simeq \G$, d'o\`u l'on d\'eduit une structure de $k$-big\`ebre $(\A,\Delta, e^*, \iota)$ sur $\A$ (voir 2.2.1). La comultiplication $\Delta : \A \rightarrow \A \otimes_k \A$ munit $\A$ d'une structure de comodule sur $\A$ : en effet, les deux diagrammes \`a consid\'erer sont bien commutatifs puisque ce sont respectivement celui exprimant la coassociativit\'e de $\Delta$ et celui caract\'erisant la counit\'e $e^*$. On en d\'eduit une repr\'esentation lin\'eaire $\G \rightarrow {\rm GL}_{\A}$, appel\'ee \emph{repr\'esentation r\'eguli\`ere}.

\vspace{0.3cm} On peut donner de cette repr\'esentation une interpr\'etation instructive. \'Etant donn\'ee une $k$-alg\`ebre $\R$, on d\'esigne par $\mathcal{F}(\G(\R),\R)$ l'ensemble de toutes les fonctions sur $\G(\R)$ \`a valeurs dans $\R$, que l'on munit de sa structure naturelle de $\R$-alg\`ebre.

Tout \'el\'ement $f$ de $\A$ d\'efinit naturellement une fonction $\overline{f} \in \mathcal{F}(\G(\R),\R)$, \`a savoir $$\G(\R)  = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R) \rightarrow \R, \ \ \ s \mapsto \overline{f}(s) = s(f).$$ La correspondance $f \mapsto \overline{f}$ est manifestement un homomorphisme de $k$-alg\`ebres de $\A$ dans $\mathcal{F}(\G(\R),\R)$, lequel se prolonge en un homomorphisme de $\R$-alg\`ebres $\A \otimes_k \R \rightarrow \mathcal{F}(\G(\R),\R)$. Notons que cet homomorphisme n'est g\'en\'eralement \emph{pas} injectif lorsque $\R$ est fix\'ee : par exemple, si $\R = k = \mathbb{F}_p$ et $\G = \mathbb{G}_{\rm a}$, il s'agit de l'application $\mathbb{F}_p[\T] \rightarrow \mathcal{F}(\mathbb{F}_p, \mathbb{F}_p), \ \ \ f \mapsto (x \mapsto f(x)),$ qui s'annule identiquement sur $\X^p - \X$. On obtient par contre l'injectivit\'e en faisant varier $\R$ : pr\'ecis\'ement, si $f$ est un \'el\'ement de $\A \otimes_k \R$ induisant la fonction nulle sur $\G(\R')$ pour \emph{toute} $\R$-alg\`ebre $\R'$, alors $s(f) = 0$ quel que soit l'homomorphisme $s$ de $\A$ dans $\R'$ et, prenant $\R' = \A \otimes_k \R$ avec $s = {\rm id}_{\A \otimes_k \R}$, alors $f=0$.

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'e $f \in \A \otimes_k \R$, on peut composer la fonction $\overline{f} : \G(\R) \rightarrow \R$ avec la multiplication $\G(\R) \times~\G(\R) \rightarrow \G(\R)$ pour obtenir une fonction sur $\G(\R) \times \G(\R)$. Si l'on revient \`a la d\'efinition de $\overline{f}$, on constate qu'il s'agit de l'application envoyant le couple $(s,t) \in \G(\R) \times \G(\R)$ sur l'image de $(s \otimes t) \Delta(f)$ par l'homomorphisme produit $\R \otimes_k \R \rightarrow \R$. En d'autres termes, si l'on \'ecrit $\Delta(f) \in \A \otimes_k \A$ sous la forme $\Delta(f) = \sum_i g_i \otimes h_i$, alors $$\overline{f}(st) = \sum_i \overline{g_i}(s)\overline{h_i}(t).$$

\vspace{0.1cm} Revenons maintenant \`a la repr\'esentation r\'eguli\`ere $\rho$ de $\G$. \'Etant donn\'ee une $k$-alg\`ebre $\R$, on fait agir $\G(\R)$ par automorphismes $\R$-lin\'eaires de $\A \otimes_k \R$ : \`a $s \in \G(\R)$ correspond l'unique automorphisme $\R$-lin\'eaire $\rho(s)$ de $\A \otimes_k \R$ prolongeant l'application $k$-lin\'eaire $$\A \rightarrow \A \otimes_k \R, \ \ f \mapsto ({\rm id}_{\A} \otimes s)\Delta(f).$$ Si $f \in \A$ et si $\Delta(f) = \sum_i g_i \otimes h_i$, alors $\rho(s).f = \sum_i g_i \otimes s(h_i) = \sum_{i} g_i \otimes \overline{h}_i(s)$ et donc $$\overline{\rho(s).f}(t) = \sum_{i} \overline{g}_i(t)\overline{h}_i(s) = \overline{f}(ts).$$
On dispose ainsi d'un diagramme commutatif $$\xymatrix{\A \otimes_k \R \ar@{->}[r]^{\rho(s)} \ar@{->}[d] & \A \otimes_k \R \ar@{->}[d] \\ \mathcal{F}(\G(\R),\R) \ar@{->}[r] & \mathcal{F}(\G(\R),\R)}$$ dans lequel \begin{itemize} \item les fl\`eches verticales sont les applications $f \mapsto \overline{f}$ ; \item la fl\`eche horizontale inf\'erieure est l'automorphisme de $\mathcal{F}(\G(\R), \R)$ envoyant une fonction $\varphi$ sur la fonction $$\xymatrix{\varphi(\cdot s) \ : \ \G(\R) \ar@{->}[r]^{\hspace{0.4cm} \cdot s} & \G(\R) \ar@{->}[r]^{\varphi} & \R}.$$\end{itemize}


\vspace{0.3cm} Cette interpr\'etation de la repr\'esentation r\'eguli\`ere $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\A}$ met en \'evidence le fait qu'il s'agit d'une repr\'esentation \emph{fid\`ele}, c'est-\`a-dire que l'homomorphisme de groupes $\rho_{\R}$ est injectif quelle que soit la $k$-alg\`ebre $\R$. En effet, si $s$ est un \'el\'ement de $\G(\R)$ tel que $\rho_{\R}(s)$ soit l'identit\'e de $\A \otimes_k \R$, alors $\overline{f}(\cdot s) = \overline{f}$ pour tout $f \in \A$, donc $$s(f) = \overline{f}(s) = \overline{f}(e_{\R}s) = \overline{f}(e_{\R}) = e_{\R}(f)$$ pour tout \'el\'ement $f$ de $\A$, et par suite $s = e_{\R}$ puisqu'il s'agit de deux homomorphismes de $k$-alg\`ebres de $\A$ dans $\R$.


\vspace{0.3cm} Consid\'erons finalement un sous-groupe $\Hr$ de $\G$. Par d\'efinition, l'anneau de coordonn\'ees de $\Hr$ est un quotient de celui de $\G$ ; il est donc de la forme $\A/\mathfrak{I}$ pour un certain id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 3.2.1}} --- \emph{L'id\'eal $\mathfrak{I}$ est pr\'ecis\'ement l'ensemble des \'el\'ements $f$ de $\A$ tels que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, la fonction $\overline{f} : \G(\R) \rightarrow \R$ s'annule identiquement sur le sous-groupe $\Hr(\R)$.}

\emph{Plus g\'en\'eralement, quelle que soit la $k$-alg\`ebre $\R$, $\mathfrak{I} \otimes_k \R$ est le sous-ensemble de $\A \otimes_k \R$ form\'e des \'el\'ements $f$ tels que, pour toute $\R$-alg\`ebre $\R'$, la fonction $\overline{f} : \G(\R') \rightarrow \R'$ s'annule identiquement sur le sous-groupe $\Hr(\R')$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. D\'emontrons directement la seconde assertion, plus g\'en\'erale (faire $\R = k$ pour obtenir la premi\`ere).

Consid\'erons une $\R$-alg\`ebre $\R'$. Par d\'efinition, la fonction sur  $\G(\R')$ associ\'ee \`a un \'el\'ement $f$ de $\A \otimes_k \R$ est l'application $$\overline{f} : \G(\R') = {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_{\R}}(\A \otimes_k \R,\R') \rightarrow \R', \ \ \ s \mapsto \overline{f}(s) = s(f).$$ Un \'el\'ement $s$ de $\G(\R')$ appartient au sous-groupe $\Hr(\R')$ de $\G(\R')$ si et seulement si l'homomorphisme $\A \otimes_k \R \rightarrow \R'$ lui correspondant se factorise \`a travers la projection canonique $\A \otimes_k \R \rightarrow \A \otimes_k \R/\mathfrak{I} \otimes_k \R$, donc si et seulement si $\overline{f}(s) = s(f) = 0$ pour tout \'el\'ement $f$ de $\mathfrak{I} \otimes_k \R$. Cela montre en particulier que la fonction $\overline{f}$ sur $\G(\R')$ associ\'ee \`a $f \in \A \otimes_k \R$ est identiquement nulle, quelle que soit la $\R$-alg\`ebre $\R'$, si $f$ appartient \`a $\mathfrak{I} \otimes_k \R$.

R\'eciproquement, si $\overline{f}(s) = 0$ pour toute $\R$-alg\`ebre $\R'$ et tout $s \in \Hr(\R')$, on a alors en particulier $s(f) = \overline{f}(s) = 0$ lorsque $\R' = \A \otimes_k \R/\mathfrak{I} \otimes_k \R$ et $s$ est la projection canonique de $\A \otimes_k \R$ sur $\R'$, d'o\`u $f \in \mathfrak{I} \otimes_k \R$. \hfill $\Box$

\subsection{Le th\'eor\`eme de Chevalley}

\noindent \textbf{(3.3.1)} Nous sommes maintenant en mesure de d\'emontrer le th\'eor\`eme annonc\'e en introduction de ce chapitre.

\noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 3.3.1 (Chevalley)}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$.
\begin{itemize}
\item[(i)] Il existe un $k$-espace vectoriel $\V$ de dimension finie et une repr\'esentation lin\'eaire $\rho$ de $\G$ dans $\V$ tel que l'homomorphisme $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ induise un isomorphisme de $\G$ sur un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$.
\item[(ii)] \'Etant donn\'e un sous-groupe $\Hr$ de $\G$, il existe un espace vectoriel $\V$ de dimension finie, une repr\'esentation lin\'eaire $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ et un sous-espace vectoriel $\W$ de $\V$ tels que $\rho$ induise un isomorphisme de $\G$ sur un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$ et $\Hr = {\rm Stab}_{\G}(\W)$.
\end{itemize}}

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{\emph{Lemme 3.3.2}} --- \emph{Soit $\V$ un comodule sur une $k$-big\`ebre $\A$. Tout \'el\'ement $v$ de $\V$ est contenu dans un sous-comodule $\W$ de $\V$ de dimension finie.}

\noindent \vspace{0.1cm} \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Consid\'erons une base $(a_i)_{i \in \I}$ de $\A$ en tant que $k$-espace vectoriel. Tout \'el\'ement de $\V \otimes_k \A$ s'\'ecrit d'une mani\`ere et d'une seule sous la forme $\sum_{i \in \I} v_i \otimes a_i$, o\`u $(v_i)_{i \in \I}$ est une famille d'\'el\'ements de $\V$ ne contenant qu'un nombre fini de vecteurs non nuls.

Fixons un \'el\'ement $v$ de $\V$ et soit $\W_0$ le sous-espace vectoriel de $\V$ engendr\'e par les vecteurs $v_i$ apparaissant dans $$\widetilde{\rho}(v) = \sum_{i \in \I} v_i \otimes a_i.$$ Il s'agit d'un sous-espace de dimension finie puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de $v_i$ non nuls. Le premier axiome d\'efinissant la structure de comodule sur $\V$ est l'identit\'e $(\widetilde{\rho} \otimes {\rm id}_{\A}) \circ \widetilde{\rho} = ({\rm id}_{\V} \otimes \Delta) \circ \widetilde{\rho}$, o\`u $\Delta$ d\'esigne la comultiplication de $\A$. On a $$[(\widetilde{\rho} \circ {\rm id}_{\A}) \circ \widetilde{\rho}](v) = \sum_{i \in \I} \widetilde{\rho}(v_i) \otimes a_i$$ et $$[({\rm id}_{\V} \circ \Delta) \circ \widetilde{\rho}](v) = \sum_{i \in \I} v_i \otimes \Delta(a_i).$$ La famille $(a_j \otimes a_{\ell})_{(j,\ell) \in \I^2}$ est une base du $k$-espace vectoriel $\A \otimes_k \A$, donc $$\Delta(a_i) = \sum_{(j,\ell) \in \I^2} \lambda^i_{j, \ell} a_j \otimes a_{\ell}$$ avec $\lambda^i_{j, \ell} \in k$ ; par suite, \begin{eqnarray*}[({\rm id}_{\V} \circ \Delta) \circ \widetilde{\rho}](v) & = & \sum_{(i,j,\ell) \in \I^3} \lambda_{j,\ell}^i v_i \otimes a_j \otimes a_{\ell} \\ & = & \sum_{\ell \in \I} \left(\sum_{(i,j) \in \I^2} \lambda_{j,\ell}^i v_i \otimes a_j\right) \otimes a_{\ell}. \end{eqnarray*} En comparant les deux expressions obtenues pour $[(\widetilde{\rho} \circ {\rm id}_{\A}) \circ \widetilde{\rho}](v) = [({\rm id}_{\V} \circ \Delta) \circ \widetilde{\rho}](v)$, on obtient $$\widetilde{\rho}(v_\ell) = \sum_{(i,j) \in \I^2} \lambda_{j,\ell}^i v_i \otimes a_j$$ pour tout $\ell \in \I$. On a ainsi $\widetilde{\rho}(v_{\ell}) \in \W_0 \otimes \A$ pour tout $\ell \in \I$, donc $\widetilde{\rho}(\W_0) \subset \W_0 \otimes_k \A$.

Finalement, $\W = \W_0 + kv$ est un sous-espace vectoriel de $\V$ de dimension finie contenant $v$ et tel que $\widetilde{\rho}(\W) \subset \W \otimes_k \A$. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration du th\'eor\`eme de Chevalley}} --- (i) Soit $\A$ l'anneau des coordonn\'ees de $\G$. Par hypoth\`ese, $\A$ est une $k$-alg\`ebre de type fini, donc engendr\'ee par un nombre fini d'\'el\'ements $t_1, \ldots, t_{\N}$ en tant que $k$-alg\`ebre (c'est-\`a-dire que tout \'el\'ement de $\A$ s'\'ecrit sous la forme d'un polyn\^ome en les $t_1, \ldots, t_{\N}$ \`a coefficients dans $k$).

En vertu du lemme pr\'ec\'edent, $t_1, \ldots, t_{\N}$ sont contenus dans un sous-comodule $\V$ de $\A$ de dimension finie. La repr\'esentation r\'eguli\`ere $\G \rightarrow {\rm GL}_{\A}$ induit une repr\'esentation lin\'eaire $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ et il nous reste \`a v\'erifier que $\rho$ induit un isomorphisme
de $\G$ sur un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$, c'est-\`a-dire que l'homomorphisme $\rho^* : \mathcal{O}({\rm GL}_{\V}) \rightarrow \mathcal{O}(\G) = \A$ est surjectif.

\vspace{0.1cm} Fixons une base $(e_1, \ldots, e_n)$ du $k$-espace vectoriel $\V$ et utilisons-la pour identifier les groupes alg\'ebriques ${\rm GL}_{\V}$ et ${\rm GL}_n$. Consid\'erons la matrice $(a_{ij}) \in \M_n(\A)$ d\'efinie par les identit\'es $$\widetilde{\rho}(e_j) = \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} e_i \otimes a_{ij}$$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) ; vu la correspondance entre $\rho$ et $\widetilde{\rho}$ d\'ecrite en 3.1.4, l'application $k$-lin\'eaire $\widetilde{\rho} : \V \rightarrow \V \otimes_k \A$ est induite par l'automorphisme de $\V \otimes_k \A$ provenant de l'\'el\'ement ${\rm id}_{\A}$ de $\G(\A)$. Il en d\'ecoule que $(a_{ij})$ est la matrice de cet automorphisme dans la base $(e_1 \otimes 1, \ldots, e_n \otimes 1)$ de $\V \otimes_k \A$, ce qui revient \`a dire que $(a_{ij})$ est l'image de l'\'el\'ement ${\rm id}_{\A}$ de ${\rm G}(\A)$ par l'homomorphisme $\rho_{\A} : \G(\A) \rightarrow {\rm GL}_n(\A)$. De mani\`ere \'equivalente, $a_{ij}$ est l'image de la coordonn\'ee $\X_{ij} \in \mathcal{O}({\rm GL}_n)$ par l'homomorphisme $\rho^* : \mathcal{O}({\rm GL}_n) \rightarrow \mathcal{O}({\rm G}) = \A$. Par suite, l'image de $\rho^*$ contient la sous-$k$-alg\`ebre $\A_0$ de $\A$ engendr\'ee par les \'el\'ements $a_{ij}$ ($1 \leqslant i, j \leqslant n$).

\vspace{0.1cm} Nous allons conclure en v\'erifiant que $\A_0$ contient les g\'en\'erateurs $t_1, \ldots, t_{\N}$ de $\A$, donc est \'egale \`a $\A$. Il suffit de s'assurer que $\A_0$ contient le sous-espace vectoriel $\V$. Par d\'efinition de la structure de big\`ebre, le diagramme $$\xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\Delta} \ar@{=}[rd] & \A \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{e^* \otimes \Delta} \\ & k \otimes_k \A}$$ est commutatif ; on a par cons\'equent \begin{eqnarray*} e_j & = & [(e^* \otimes {\rm id}_{\A}) \circ \Delta](e_j) \\ & = & (e^* \otimes {\rm id}_{\A}) \left(\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} e_i \otimes a_{ij} \right) \\ & = & \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} e^*(e_i) a_{ij}. \end{eqnarray*} Ces identit\'es mettent en \'evidence le fait que la base $(e_i)$ de $\V$ est contenue dans $\A_0$, donc $\V \subset \A_0$. On a ainsi $\A = \A_0$ et l'homomorphisme $\rho^*$ est surjectif.

\vspace{0.3cm} (ii) Soit $\mathfrak{I}$ l'id\'eal de $\A$ d\'efinissant le sous-groupe $\Hr$ de $\G$ -- c'est-\`a-dire le noyau de l'homomorphisme $\mathcal{O}(\G) \rightarrow \mathcal{O}(\Hr)$. L'anneau $\A$ \'etant une $k$-alg\`ebre de type fini, il est noeth\'erien et l'id\'eal $\mathfrak{I}$ est donc engendr\'e par un nombre fini d'\'el\'ements. En appliquant le lemme pr\'ec\'edent, il existe par cons\'equent un sous-comodule $\V$ de $\A$ de dimension finie contenant un ensemble de g\'en\'erateurs de la $k$-alg\`ebre $\A$ (comme en (i)) ainsi qu'un ensemble de g\'en\'erateurs $f_1, \ldots, f_n$ de l'id\'eal $\mathfrak{I}$. Comme on vient de l'\'etablir, la repr\'esentation lin\'eaire $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ induite par la repr\'esentation r\'eguli\`ere de $\G$ fournit un isomorphisme de $\G$ sur un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$.

Posons $\W = \V \cap \mathfrak{I}$ ; ce sous-espace vectoriel de $\V$ contient par construction les g\'en\'erateurs $f_1, \ldots, f_n$ de $\mathfrak{I}$. \'Etant donn\'es une $k$-alg\`ebre $\R$ et un \'el\'ement $s$ du sous-groupe ${\rm Stab}_{\G}(\W)(\R)$ de $\G(\R)$, on dispose par hypoth\`ese pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ d'une identit\'e $$\rho_{\R}(s,f_i) = \sum_{1 \leqslant j \leqslant n} f_j \otimes \lambda_{ij}$$ avec $\lambda_{ij} \in \R$, d'o\`u $$\ s(f_i) =  \overline{f}_i(s)  =  \overline{f_i}(e_{\R}s)  =  \overline{\rho_{\R}(s,f_i)}(e_{\R})  =  \sum_{1 \leqslant j \leqslant n} f_j(e_{\R})\lambda_{ij}  =  0$$ car, les $f_j$ appartenant \`a l'id\'eal $\mathfrak{I}$, les fonctions $\overline{f_j}$ s'annulent identiquement sur le sous-groupe $\Hr(\R)$ de $\G(\R)$ et donc en particulier au point $e_{\R}$. On a ainsi $\overline{f_i}(s) = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, d'o\`u $\overline{f}(s)=0$ pour tout \'el\'ement $f$ de $\mathfrak{I}$ puisque $f_1, \ldots, f_n$ engendrent cet id\'eal, et finalement $s \in \Hr(\R)$.

\vspace{0.2cm}
R\'eciproquement, quels que soient $f \in \mathfrak{I}$ et $s \in \Hr(\R)$, la fonction $\overline{f}(\cdot s)$ s'annule identiquement sur $\Hr(\R')$ pour toute $\R$-alg\`ebre $\R'$ ; on a donc $\rho_{\R}(s,f) \in \mathfrak{I} \otimes_k \R$ (lemme 3.3.2). Appliquant ceci avec $f \in \W = \V \cap \mathfrak{I}$, on en d\'eduit que $\rho_{\R}(s,f)$ appartient \`a $(\V \otimes_k \R) \cap (\mathfrak{I} \otimes_k \R)$, donc \`a $(\V \cap \mathfrak{I}) \otimes_k \R = \W \otimes_k \R$ en vertu du lemme ci-dessous. Ainsi, $s \in {\rm Stab}_{\G}(\W)$.

\vspace{0.1cm} Nous venons d'\'etablir  l'identit\'e $\Hr(\R) = {\rm Stab}_{\G}(\W)(\R)$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, donc $\Hr = {\rm Stab}_{\G}(\W)$.

\hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 3.3.3}} --- \emph{Soit $\V$ un $k$-espace vectoriel et soient $\W, \W'$ deux sous-espaces vectoriels de $\V$. Pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, $(\W \otimes_k \R) \cap (\W'\otimes_k \R) = (\W \cap \W') \otimes_k \R$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Posons $\Lr = \W \cap \W'$. Partant d'une base de $\Lr$, nous pouvons la compl\'eter en une base de $\W + \W'$ en lui ajoutant une base d'un suppl\'ementaire de $\Lr$ dans $\W$ et celle d'un suppl\'ementaire de $\Lr$ dans $\W'$, puis compl\'eter la famille libre obtenue en une base $(e_i)_{i \in \I}$ de $\V$. On dispose par construction de deux sous-ensembles $\J$ et $\J'$ de $\I$ tels que les familles $(e_i)_{i \in \J}$, $(e_{i})_{i \in \J'}$ et $(e_i)_{i \in \J \cap \J'}$ soient des bases de $\W$, $\W'$ et $\Lr$ respectivement.

Ceci fait, un \'el\'ement de $\V \otimes_k \R$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme $\sum_{i \in \I} e_i \otimes \lambda_i$ avec $\lambda_i \in \R$. S'il appartient \`a $\W \otimes_k \R$ (resp. \`a $\W' \otimes_k \R$), alors $\lambda_i = 0$ pour tout $i \in \I - \J$ (resp. $\lambda_i=0$ pour tout $i \in \I -\J'$) et donc $(\W \otimes_k \R) \cap (\W' \otimes_k \R) = (\W \cap \W') \otimes_k \R$. \hfill $\Box$

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{(3.3.2)} On peut pr\'eciser la seconde assertion du th\'eor\`eme de Chevalley en imposant que le sous-espace vectoriel $\W$ soit de dimension $1$.

\vspace{0.3cm} Soit $\V$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie $n$. On dispose pour tout nombre entier $d \in \{1, \ldots, n\}$ d'une repr\'esentation lin\'eaire naturelle $\lambda_d$ de ${\rm GL}_{\V}$ dans la $d$-\`eme puissance ext\'erieure $\Lambda^d(\V)$ de $\V$ : quelle que soient la $k$-alg\`ebre $\R$ et l'automorphisme $\R$-lin\'eaire $g$ de $\V \otimes_k \R$, $\lambda_{d,\R}(g)$ est l'automorphisme $\R$-lin\'eaire de $\Lambda^d(\V) \otimes_k \R = \Lambda^d(\V \otimes_k \R)$ qui envoie un $d$-vecteur de la forme $v_1 \wedge \ldots \wedge v_d$ sur le $d$-vecteur $g(v_1) \wedge \ldots \wedge g(v_d)$.

\vspace{0.1cm} Si l'on fixe une base $(e_1, \ldots, e_n)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ de $\V$ sur $k$, on obtient une base du $k$-espace vectoriel $\Lambda^d(\V)$ en consid\'erant tous les $d$-vecteurs $e_{\varphi} = e_{\varphi(1)} \wedge \ldots \wedge e_{\varphi(d)}$, o\`u $\varphi$ parcourt l'ensemble des applications strictement croissantes de $\{1, \ldots, d\}$ dans $\{1, \ldots, n\}$. L'homomorphisme $\lambda_{d,\R}$ associe alors \`a un automorphisme $\R$-lin\'eaire $g$ de $\V \otimes_k \R$, de matrice $\M = (m_{ij})$ dans la base $(e_i \otimes 1)$, l'automorphisme $\R$-lin\'eaire de $\Lambda^{d}(\V \otimes_k \R)$ dont la matrice $\Lambda^d \M = (x_{\varphi, \psi})$ dans la base $(e_{\varphi} \otimes 1)$ est d\'efinie par la condition suivante : $$x_{\varphi, \psi} = \det \left(m_{\varphi(i)\psi(j)}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant d}.$$ (C'est la matrice des d\'eterminants mineurs d'ordre $d$ de la matrice $\M$.)

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 3.3.4}} --- \emph{Soit $\W$ un sous-espace vectoriel de $\V$ de dimension $d$. Le sous-groupe ${\rm Stab}(\W)$ de ${\rm GL}_{\V}$ est le stabilisateur de la droite $\Lambda^d (\W)$ de $\Lambda^d (\V)$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Fixons une base de $\V$, disons $(e_1, \ldots, e_n)$, et consid\'erons la base $(e_{\varphi})$  de $\Lambda^d(\V)$ qui lui correspond. Posons $q = \binom{n}{d}$. En utilisant ces bases, nous sommes ramen\'es \`a d\'emontrer l'assertion suivante : pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et toute matrice $\M \in {\rm GL}_n(\R)$, les conditions \begin{itemize} \item[(a)] la matrice $\M$ est de la forme $\left(\begin{array}{c|c} \A & \B \\ \hline 0 & \D \end{array} \right)$ avec $\A \in {\rm GL}_{d}(\R), \ \B \in \M_{d, n-d}(\R)$ et $\D \in {\rm GL}_{n-d}(\R)$ ;
\item[(b)] la matrice $\Lambda^d \M$ est de la forme $\left(\begin{array}{c|c} a & \rP \\ \hline 0 & \Qr \end{array} \right)$ avec $a \in \R^{\times}, \ \rP \in \M_{1, q-1}(\R)$ et $\Qr \in {\rm GL}_{q-1}(\R)$\end{itemize} sont \'equivalentes.

Il est clair que (a) implique (b). Consid\'erons r\'eciproquement une matrice $\M = \left(\begin{array}{c|c} \A & \B \\ \hline \C & \D \end{array} \right)$, avec $\A \in \M_{d}(\R), \ \B \in \M_{d,n-d}(\R), \ \C \in \M_{n-d,d}(\R)$ et $\D \in \M_{n-d}(\R)$, telle que $\Lambda^d \M$ soit de la forme envisag\'ee en (b). La matrice $\A$ est inversible car $\det(\A) = a \in \R^{\times}$. Si l'on pose $\N = \left(\begin{array}{c|c} \A^{-1} & 0 \\ \hline 0 & \I_{n-d}\end{array}\right)$, alors $$\N\M = \left(\begin{array}{c|c} \I_d & \A^{-1}\B \\ \hline \C & \D \end{array} \right), \ \ \ \Lambda^d \N = \left(\begin{array}{c|c} a^{-1} & \rP' \\ \hline 0 & \Qr'\end{array}\right) \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \Lambda^d (\N\M) = (\Lambda^d \N)(\Lambda^d \M) = \left(\begin{array}{c|c} 1 & \rP'' \\ \hline 0 & \Qr'' \end{array}\right)$$ avec $\rP', \rP'' \in \M_{1,q-1}(\R)$ et $\Qr', \Qr'' \in {\rm GL}_{q-1}(\R)$ ; nous pouvons par suite supposer $\A = \I_d$. Sous cette hypoth\`ese, le coefficient $\M$ d'indice $(i,j)$ avec $i \in \{d+1, \ldots, n\}$ et $j \in \{1,\ldots,d\}$ est, au signe pr\`es, \'egal au coefficient de $\Lambda^d \M$ d'indice $(\varphi, \varphi_0)$, o\`u $\varphi_0$ est l'injection canonique de $\{1, \ldots, d\}$ dans $\{1,\ldots, n\}$ et $\varphi$ est l'application de $\{1, \ldots, d\}$ dans $\{1,\ldots, n\}$ d\'efinie par $$\varphi(\ell) = \left\{\begin{array}{ll} \ell & \textrm{ si } \ell < j \\ \ell+1 & \textrm{ si } j \leqslant \ell \leqslant d-1 \\ i & \textrm{ si } \ell = d\end{array} \right.$$ On obtient ainsi $\C = 0$. \hfill $\Box$


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 3.3.5}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$ et soit $\Hr$ un sous-groupe de $\G$. Il existe un espace vectoriel $\V$ de dimension finie et une repr\'esentation lin\'eaire $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ induisant un isomorphisme de $\G$ sur un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$ tels que $\Hr$ soit le stabilisateur d'une droite de $\V$.}

\vspace{0.1cm}
\noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Consid\'erons un $k$-espace vectoriel $\V'$ de dimension finie et une repr\'esentation lin\'eaire $\rho' : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V'}$ induisant un isomorphisme de $\G$ sur un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V'}$ tels que $\Hr$ soit le stabilisateur d'un sous-espace vectoriel $\W'$ de $\V'$ (th\'eor\`eme 3.1.1). D'apr\`es la proposition pr\'ec\'edente, $\Hr$ est le sous-groupe de $\G$ stabilisant la droite $\Lambda^d(\W')$ de $\Lambda(\V')$ dans la repr\'esentation lin\'eaire $\Lambda^d \rho = \lambda_d \circ \rho' : \G \rightarrow {\rm GL}_{\Lambda^d(\V')}$.

Posons $\V = \V' \oplus \Lambda^d(\V')$ et soit $\W$ la droite $\Lambda^d(\W')$ dans $\V$. La repr\'esentation $\rho = \rho' \oplus \Lambda^d \rho$ de $\G$ dans ${\rm GL}_{\V}$ induit un isomorphisme de $\G$ sur un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$ et $\Hr$ est le stabilisateur de la droite $\W$. \hfill $\Box$


\section{D\'ecomposition de Jordan}

\subsection{Introduction} Soit $\V$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $k$ suppos\'e alg\'ebriquement clos. Il est bien connu que tout endomorphisme $f$ de $\V$ s'\'ecrit d'une mani\`ere et d'une seule sous la forme $f = d + n$, o\`u $d$ et $n$ sont deux endomorphismes de $\V$ qui commutent, $d$  est diagonalisable et $n$ est nilpotent. C'est la \emph{d\'ecomposition de Jordan additive} de $f$, que l'on \'etablit ais\'ement en consid\'erant les sous-espaces caract\'eristiques de $f$.

Lorsque $f$ est inversible, cette d\'ecomposition peut s'\'ecrire de mani\`ere multiplicative : l'endomorphisme $d$ est en effet inversible (car $f$ et $d$ ont le m\^eme spectre), $$f = du = ud$$ avec $u = {\rm id} + d^{-1}n$, et la nilpotence de $n$ se traduit par le fait que toutes les valeurs propres de $u$ sont \'egales \`a $1$.


\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 4.1.1}} --- \emph{Soit $k$ un corps et soit $\V$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme $f$ de $\V$ est dit \begin{itemize} \item[(i)] \emph{unipotent}, si toutes ses valeurs propres sont \'egales \`a $1$, c'est-\`a-dire si l'endomorphisme $f - {\rm id}$ est nilpotent ; \item[(ii)] \emph{semi-simple}, s'il est diagonalisable sur une cl\^oture alg\'ebrique de $k$.\end{itemize}}


\vspace{0.2cm} On rappelle qu'un polyn\^ome $\rP$ \`a coefficient dans un corps $k$ est dit \emph{s\'eparable} si ses racines (dans une cl\^oture alg\'ebrique de $k$) sont simples ; cela revient \`a dire que $\rP$ et son polyn\^ome d\'eriv\'e $\rP'$ sont premiers entre eux. On rappelle \'egalement qu'un corps est dit \emph{parfait} si tout polyn\^ome irr\'eductible est s\'eparable. Un corps alg\'ebriquement clos est parfait (trivial) ; tout corps de caract\'eristique z\'ero est parfait tandis qu'un corps $k$ de caract\'eristique $p > 0$ est parfait si et seulement si l'endomorphisme de Frobenius $(k \rightarrow k, \ x \mapsto x^p)$ est surjectif ; en particulier, les corps finis sont parfaits.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 4.1.2}} --- \emph{Soit $k$ un corps et soit $\V$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie. Pour qu'un endomorphisme de $\V$ soit semi-simple, il faut et il suffit que son polyn\^ome minimal soit s\'eparable.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Soit $f$ un endomorphisme de $\V$ et soit $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k$. Il est facile de voir que l'endomorphisme $f \otimes {\rm id}$ de $\V \otimes_k \overline{k}$ a le m\^eme polyn\^ome minimal que $f$. Consid\'erons en effet la suite exacte de $k$-espaces vectoriels d\'efinissant le polyn\^ome minimal $m$ de $f$, soit $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & k[\X] \ar@{->}[r]^m & k[\X] \ar@{->}[r]^{\iota} & {\rm End}(\V)},$$ o\`u $\iota(\rP) = \rP(u)$. Cette suite reste exacte apr\`es tensorisation par $\overline{k}$ ; par ailleurs, l'application canonique de  ${\rm End}(\V) \otimes_k \overline{k}$ dans  ${\rm End}(\V \otimes_k \overline{k})$ est un isomorphisme, car tout endomorphisme de $\V \otimes_k \overline{k}$ est une combinaison $\overline{k}$-lin\'eaire d'endomorphismes de $\V$ (c'est \'evident du point de vue matriciel). Rempla{\c c}ant ${\rm End}(\V) \otimes_k \overline{k}$ par ${\rm End}(\V \otimes_k \overline{k})$ dans la suite exacte $$\xymatrix{0 \ar@{->}[r] & \overline{k}[\X] \ar@{->}[r]^m & \overline{k}[\X] \ar@{->}[r]^{\iota \otimes {\rm id} \hspace{0.4cm}} & {\rm End}(\V) \otimes_k \overline{k}},$$ il en d\'ecoule que $m$ engendre le noyau de l'application $$\overline{k}[\X] \rightarrow {\rm End}(\V \otimes_k \overline{k}), \ \ \ \rP \mapsto \rP(f \otimes {\rm id})$$ et c'est donc bien le polyn\^ome minimal de $f \otimes {\rm id}$.

\vspace{0.1cm} La conclusion s'obtient en utilisant le fait que l'endomorphisme $f \otimes {\rm id}$ est diagonalisable si et seulement si les racines de son polyn\^ome minimal son simples. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} Nous sommes maintenant en mesure d'\'enoncer le th\'eor\`eme principal de ce chapitre.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 4.1.3 (D\'ecomposition de Jordan)}} --- \emph{Soit $k$ un corps parfait et soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$. Tout \'el\'ement $g$ de $\G(k)$ s'\'ecrit d'une mani\`ere et d'une seule sous la forme $g = g_s g_u$, o\`u $g_s$ et $g_u$ sont des \'el\'ements de $\G(k)$ satisfaisant aux deux conditions suivantes : \begin{itemize} \item[(i)] $g_s g_u = g_u g_s$ ; \item[(ii)] pour toute repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$, $\rho_k(g_s)$ (resp. $\rho_k(g_u)$) est un automorphisme semi-simple (resp. unipotent) de $\V$. \end{itemize}}
\vspace{0.2cm} Ce th\'eor\`eme n'est certainement pas \'evident \`a premi\`ere vue : \'etant donn\'es une repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ et un \'el\'ement $g$ de $\G(k)$,  \begin{itemize} \item[-] $\rho_k(g) \in {\rm GL}(\V)$ s'\'ecrit comme le produit de deux automorphismes de $\V$ qui commutent, l'un semi-simple et l'autre unipotent, mais la construction de ceux-ci repose sur l'\'etude des sous-espaces caract\'eristiques de $\rho_k(g)$ est il n'est pas clair que l'on obtienne des \'el\'ements du sous-groupe $\rho_k(\G(k))$ de ${\rm GL}(\V)$ ; \item[-] le changement de repr\'esentation lin\'eaire pourrait ne pas pr\'eserver le caract\`ere semi-simple (resp. unipotent) de l'image de $g$.  \end{itemize}

\vspace{0.2cm} La d\'emonstration que l'on va donner est celle que l'on trouve dans le s\'eminaire Chevalley (Expos\'e 4, paragraphe 4.4) ; elle repose sur une caract\'erisation des \'el\'ements unipotents (resp. semi-simples) de ${\rm GL}(\V)$ ne faisant pas intervenir leurs valeurs propres.


\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}} --- L'hypoth\`ese \og corps parfait \fg \ est n\'ecessaire ainsi que le montre le contre-exemple classique suivant. On suppose $k$ de caract\'eristique $2$ non parfait et on consid\`ere un \'el\'ement $a$ de $k - k^2$. D\'esignant par $\alpha$ la racine carr\'ee de $a$ dans une cl\^oture alg\'ebrique $\overline{k}$ de $k$, l'identit\'e $$\left(\begin{array}{ll} 0 & a \\ 1 & 0 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ll} \alpha & 0 \\  0 & \alpha   \end{array}\right) \left(\begin{array}{ll} 0 & \alpha \\ \alpha^{-1} & 0 \end{array}\right)$$ est la d\'ecomposition de Jordan du membre de gauche dans ${\rm GL}_2(\overline{k})$. S'il existait une telle d\'ecomposition dans ${\rm GL}_2(k)$, la composante semi-simple serait l'homoth\'etie $\alpha \I_2$ et $\alpha$ appartiendrait \`a $k$...

\subsection{\'El\'ements unipotents}

\noindent \textbf{\emph{Proposition 4.2.1}} --- \emph{Soit $\V$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $k$ et soit $g \in {\rm GL}(\V)$.}

\emph{1. Si ${\rm car}(k) = p > 0$, les conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(i)] $g$ est unipotent ;
\item[(ii)] il existe un entier $\N \geqslant 0$ tel que $g^{p^{\N}} = 1.$\end{itemize}}

\emph{2. Si ${\rm car}(k) = 0$, les conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(i)] $g$ est unipotent ; \item[(ii)] il existe un homomorphisme $u : \mathbb{G}_{\rm a} \rightarrow \G$ et un \'el\'ement $t$ de $\mathbb{G}_{\rm a}(k) = k$ tel que $g = u_k(t)$.\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. 1. Traitons tout d'abord le cas d'un corps de caract\'eristique $p >0$.

\vspace{0.1cm}
Si $g$ est un automorphisme unipotent de $\V$, l'endomorphisme $g - {\rm id}$ est nilpotent et donc $(g-~{\rm id})^{p^{\N}}=0$ si l'entier $\N$ est suffisamment grand ; on obtient alors $g^{p^{\N}} - {\rm id} = 0$ et ainsi $g$ est bien d'ordre une puissance de $p$.

R\'eciproquement, s'il existe un entier $\N \geqslant 0$ tel que $g^{p^{\N}} = {\rm id}$, le polyn\^ome minimal de $g$ divise $\X^{p^{\N}} - 1 = (\X - 1)^{p^{\N}}$ et le spectre de $g$ est r\'eduit \`a $1$.

\vspace{0.2cm} 2. Traitons maintenant le cas d'un corps de caract\'eristique nulle.

\vspace{0.1cm} Supposons que $g$ soit unipotent et posons $n = g - {\rm id}$. Le polyn\^ome $\sum_{m \geqslant 1} (-1)^{m +1} \frac{n^{m}}{m}$ d\'efinit un endomorphisme de $\V$, que l'on note ${\rm Log}(g)$ ; ce dernier est nilpotent puisqu'il s'agit d'une somme d'endomorphismes nilpotents qui commutent. L'homomorphisme de foncteurs $u : \mathbb{G}_{\rm a} \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ d\'efini par $$u_{\R}(t) = \sum_{m \geqslant 0} \frac{t^m}{m!} {\rm Log}(g)^m$$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout $t \in \mathbb{G}_{\rm a}(\R) = \R$ est un homomorphisme de groupes alg\'ebriques car, pour toute $\mathbb{Q}$-alg\`ebre $\A$, la s\'erie formelle $${\rm exp}(\X) = \sum_{m \geqslant 0} \frac{\X^m}{m!} \in \A[[\X]]$$ v\'erifie l'identit\'e ${\rm exp}(\X + \Y) = {\rm exp}(\X) {\rm exp}(\Y)$. Enfin, comme ${\rm exp}({\rm Log}(\Y)) = \Y$ dans $k[[\Y]]$, $$g = u_k(1)$$ appartient bien \`a l'image de $\mathbb{G}_{\rm a}(k)$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons r\'eciproquement un homomorphisme de groupes alg\'ebriques $u : \mathbb{G}_{\rm a} \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ et v\'erifions que, pour tout $t \in k = \mathbb{G}_{\rm a}(k)$, l'automorphisme $u_k(t)$ est unipotent. Comme il s'agit d'\'etablir que toutes les valeurs propres de $u_k(t)$ sont \'egales \`a $1$, il est loisible de remplacer $k$ par une cl\^oture alg\'ebrique et donc de supposer que le corps $k$ est alg\'ebriquement clos. L'image de $u_k$ \'etant un groupe commutatif d'automorphismes de $\V$, il existe une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\V$ trigonalisant simultan\'ement tous ces automorphismes. Chacun d'entre eux induit un automorphisme de la droite vectorielle $\V_i = {\rm Vect}(e_1, \ldots, e_i)/{\rm Vect}(e_1, \ldots, e_{i-1}) = k \overline{e}_i$ et il existe donc une application $\chi_i : k \rightarrow k^{\times}$ telle que $$u_k(t) \overline{e_i} = \chi_i(t) \overline{e_i}$$ pour tout $t \in k$. L'application $\chi_i$ est clairement un homomorphisme du groupe additif de $k$ dans son groupe multiplicatif. Il s'agit en outre d'une application \emph{polynomiale} : en effet, si l'on utilise la base $(e_1, \ldots, e_n)$ pour identifier ${\rm GL}_{\V}$ avec ${\rm GL}_n$ et que l'on note $\rP_i$ le polyn\^ome $u^*(\X_{ii}) \in k[\T]$, alors $\chi_i (t) = \rP_i(t)$ pour tout $t \in k$.

\vspace{0.1cm} Le polyn\^ome $\rP_i$ ne s'annulant pas, il est constant puisque $k$ est alg\'ebriquement clos ; comme en outre $\rP_i(0) = 1$, nous obtenons $\rP_i = 1$. Ainsi, $u_k(t) \overline{e}_i = \overline{e}_i$ pour tout $t \in k$ et les matrices des automorphismes $u_k(t)$ sont donc triangulaires sup\'erieures avec des coefficients diagonaux tous \'egaux \`a $1$. Par cons\'equent, les automorphismes $u_k(t)$ sont tous unipotents. \hfill $\Box$


\vspace{0.2cm} La proposition pr\'ec\'edente s'\'etend ais\'ement \`a un groupe alg\'ebrique $\G$ quelconque.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 4.2.2}} --- \emph{Soit $k$ un corps et soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$. Pour tout \'el\'ement $g$ de $\G(k)$, les conditions suivantes sont \'equivalentes :
\begin{itemize}
\item[(i)] pour toute repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$, l'automorphisme $\rho_k(g)$ est unipotent ;
\item[(ii)] il existe une repr\'esentation lin\'eaire fid\`ele de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ telle que l'automorphisme $\rho(g)$ soit unipotent ;
\item[(iiia)] si ${\rm car}(k) = p > 0$, il existe un entier $\N \geqslant 0$ tel que $g^{p^{\N}} = e$ ;
\item[(iiib)] si ${\rm car}(k) = 0$, il existe un homomorphisme $u : \mathbb{G}_{\rm a} \rightarrow \G$ tel que $g$ appartienne \`a l'image de $u_k$.
\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. L'implication $(i) \Rightarrow (ii)$ est triviale et les implications $(iiia) \Rightarrow (i)$, $(iiib) \Rightarrow (i)$ sont des cons\'equences imm\'ediates de la proposition pr\'ec\'edente.

\vspace{0.1cm} Supposons finalement qu'il existe une repr\'esentation lin\'eaire fid\`ele de dimension finie $\rho : \G \hookrightarrow {\rm GL}_{\V}$ telle que l'automorphisme $\rho_{k}(g)$ soit unipotent. Les conditions (iiia) et (iiib) \'etant trivialement v\'erifi\'ees lorsque $g =e$, nous pouvons supposer $g \neq e$.

Si ${\rm car(k)} = p >0$, il existe un entier $n \geqslant 0$ tel que $\rho_k(g)^{p^n} = {\rm id}_{\V}$ donc $g^{p^n} = e$ puisque l'homomorphisme $\rho_k$ est injectif.

Si ${\rm car(k)} = 0$, il existe un homomorphisme $u : \mathbb{G}_{\rm a} \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ ainsi qu'un \'el\'ement $t$ de $\mathbb{G}_{\rm a}(k) = k$ tels que $g = u_k(t)$. Consid\'erons alors le diagramme commutatif $$\xymatrix{ & \mathbb{G}_{\rm a} \ar@{->}[rd]^{u} & \\ \G \times_{{\rm GL}_{\V}} \mathbb{G}_{\rm a} \ar@{->}[rd]_{j} \ar@{->}[ru]^i & & {\rm GL}_{\V} \\ & \G \ar@{->}[ru]_{\rho} & }$$ d\'efinissant le produit fibr\'e $\Hr = \G \times_{{\rm GL}_{\V}} \mathbb{G}_{\rm a}$ (cf. 2.3.3) ; l'homomorphisme $\rho$ faisant de $\G$ un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$, l'homomorphisme $i$ fait de $\Hr$ un sous-groupe de $\mathbb{G}_{\rm a}$. En outre, l'\'el\'ement $(g,t)$ de $\Hr(k)$ \'etant distinct de l'\'el\'ement neutre puisque $g \neq e$, $\Hr$ n'est pas le sous-groupe $0$ r\'eduit \`a un \'el\'ement. Dans ces conditions, il d\'ecoule de l'hypoth\`ese ${\rm car}(k) = 0$ et du lemme ci-dessous que $i$ est un isomorphisme. D\'esignant alors par $v$ l'homomorphisme $j \circ i^{-1}$ de $\mathbb{G}_{\rm a}$ dans $\G$, $\rho_k(v_k(t)) = u_k(t) = \rho_k(g)$ et donc $v_k(t) = g$ puisque l'homomorphisme $\rho_k$ est injectif.
\hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 4.2.3}} --- \emph{Soit $k$ un corps de caract\'eristique nulle. Le seul sous-groupe strict de $\mathbb{G}_{\rm a}$ est le sous-groupe $0$ r\'eduit \`a un \'el\'ement.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Consid\'erons un sous-groupe $\Hr$ de $\mathbb{G}_{\rm a}$ et soit $\I = (\rP)$ l'id\'eal de $k[\T]$ le d\'efinissant. D\'esignant par $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k$, $$\Hr(\overline{k}) = \{ t \in \overline{k} \ | \ \rP(t) = 0\}$$ est un sous-groupe de $\overline{k}$. Si $\Hr(\overline{k})$ contient un \'el\'ement non nul $t$ de $k$, alors $\Hr(\overline{k})$ contient le sous-groupe $\mathbb{Z}t$ ; ce dernier \'etant infini puisque $k$ est de caract\'eristique nulle, $\rP = 0$ et donc $\Hr = \mathbb{G}_{\rm a}$. Par cons\'equent, si le sous-groupe $\Hr$ est strict, alors $\Hr(\overline{k}) = \{0\}$ et $\rP = \T^n$ pour un certain entier $n \geqslant 1$.

\vspace{0.1cm} Il est n\'ecessaire de faire intervenir la big\`ebre $k[\T]$ de $\mathbb{G}_{\rm a}$ pour conclure. Que $\Hr$ soit un sous-groupe de $\mathbb{G}_{\rm a}$ \'equivaut aux conditions $$\Delta(\I) \subset \I \otimes_k k[\T] + k[\T] \otimes_k \I, \ \ \ 0^{*}(\I) = 0 \ \ \textrm{ et } \ \ \ \iota^{*}(\I) \subset \I.$$
Les deux secondes sont v\'erifi\'ees lorsque $\I = (\T^n)$ ; pour que la premi\`ere le soit, il faut et il suffit que l'\'el\'ement $(1 \otimes \T + \T \otimes 1)^n$ de $k[\T] \otimes_k k[\T]$ s'\'ecrive sous la forme $\sum_{p, q \geqslant 0} a_{pq} (1 \otimes \T)^p (\T \otimes 1)^q$ avec $a_{pq} = 0$ si $p < n$ et $q < n$. Comme $$(1 \otimes \T + \T \otimes 1)^n = (1\otimes \T)^n + n(1 \otimes \T)^{n-1}(\T \otimes 1) + \ldots + n(1 \otimes \T)(\T \otimes 1)^{n-1} + (\T \otimes 1)^n,$$ il d\'ecoule de nouveau de l'hypoth\`ese ${\rm car}(k) = 0$ que ceci n'est possible qu'avec $n = 1$. Ainsi, $\I = (\T)$ et le seul sous-groupe strict de $\mathbb{G}_{\rm a}$ est le sous-groupe $0$ r\'eduit \`a un \'el\'ement. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 4.2.4}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur un corps $k$. Un \'el\'ement $g$ de $\G(k)$ est dit \emph{unipotent} s'il satisfait \`a l'une des conditions \'equivalentes suivantes :
\begin{itemize}
\item[(i)] il existe une repr\'esentation lin\'eaire fid\`ele de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ telle que l'automorphisme $\rho_k(g)$ soit unipotent ;
\item[(iia)] si ${\rm car}(k) = p >0$, il existe un entier $\N \geqslant 0$ tel que $g^{p^{\N}} = e$ ;
\item[(iib)] si ${\rm car}(k) = 0$, il existe un homomorphisme $u : \mathbb{G}_{\rm a} \rightarrow \G$ et un \'el\'ement $t$ de $\mathbb{G}_{\rm a}(k) = k$ tel que $u_k(t) = g$.
\end{itemize}}

\vspace{0.2cm} Il est enfin \'evident que les \'el\'ements unipotents sont pr\'eserv\'es par tout homomorphisme de groupes alg\'ebriques.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 4.2.5}} --- \emph{Soit $f : \G \rightarrow \Hr$ un homomorphisme de groupes alg\'ebriques sur un corps $k$. Si $g \in \G(k)$ est unipotent, alors $f(g)$ est unipotent.}


%\item[(ii)] il existe un entier $n \geqslant 0$ tel que $g^{p^{n}} = 1.$}

%\emph{2. Si ${\rm car}(k) = 0$, les conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(i)] $g$ est unipotent ; \item[(ii)] il existe un homomorphisme $u : \mathbb{G}_{\rm a} \rightarrow \G$ et un \'el\'ment $t$ de $\mathbb{G}_{\rm a}(k) = k$ tel que $g = u_k(t)$.\end{itemize}}


%\textbf{\emph{D\'emonstration}}.

\subsection{Groupes diagonalisables et \'el\'ements semi-simples}

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{(4.3.1)}  Consid\'erons un groupe alg\'ebrique $\G$ sur un corps $k$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 4.3.1}} --- \emph{Un \emph{caract\`ere} de $\G$ est un homomorphisme $\chi : \G \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}$}.

\vspace{0.2cm} L'ensemble $\X(\G)$ des caract\`eres de $\G$ est naturellement muni d'une structure de \emph{groupe ab\'elien} (not\'e additivement) : si $\chi$ et $\psi$ sont deux caract\`eres de $\G$, $\chi + \psi$ est le caract\`ere d\'efini par $$(\chi + \psi)_{\R}(g) = \chi_{\R}(g) \psi_{\R}(g)$$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout \'el\'ement $g$ de $\G(\R)$ ; l'\'el\'ement neutre $0$ est le caract\`ere trivial, d\'efini par $0_{\R}(g) = 1 \in \R^{\times} = \mathbb{G}_{\rm m}(\R)$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples}} --- 1. Le groupe additif $\mathbb{G}_{\rm a}$ n'a pas de caract\`ere non trivial en vertu de la proposition 2.2.3.

2. Le d\'eterminant ${\rm det} : {\rm GL}_n \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}$ est un caract\`ere de ${\rm GL}_n$.

\vspace{0.3cm} \vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 4.3.2}} --- \emph{Si $\A$ d\'esigne la big\`ebre de $\G$, le groupe $\X(\G)$ des caract\`eres de $\G$ est naturellement en bijection avec le sous-groupe de $\A^{\times}$ constitu\'e des \'el\'ements $a$ tels que $\Delta(a) = a \otimes a$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Un caract\`ere de $\G$ est par d\'efinition un homomorphisme $\chi : \G \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}$ et donc correspond \`a un homomorphisme de $k$-big\`ebres $\chi^* : k[\X,\X^{-1}] \rightarrow \A$. Ce dernier est enti\`erement d\'etermin\'e par l'\'el\'ement $a = \chi^{*}(\X)$ dans $\A^{\times}$, lequel doit satisfaire aux conditions suivantes : $$\Delta(a) = a \otimes a, \ \ \ e^*(a) = 1 \ \ \textrm{et} \ \ \ \iota^{*}(a) = a^{-1}.$$ Il d\'ecoule directement des axiomes des big\`ebres que les deux derni\`eres conditions sont des cons\'equences de la premi\`ere : quel que soit l'\'el\'ement $a \in \A$ tel que $\Delta(a) = a \otimes a$, $$a = [({\rm id}_{\A} \otimes e^{*}) \circ \Delta](a) = a \otimes e^{*}(a) \ \ \textrm{ et } \ \ e^*(a) = [{\rm mult} \circ ({\rm id}_{\A} \otimes\iota^*) \circ \Delta](a) = a\iota^{*}(a),$$ donc $e^{*}(a) = 1$ et $\iota(a) = a^{-1}$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 4.3.3}} --- \emph{Pour tout nombre entier $d \geqslant 1$, le groupe des caract\`ere du groupe $\mathbb{G}_{\rm m}^d$ est un groupe ab\'elien libre de rang $d$ dont une base est form\'ee des \'el\'ements $\X_1, \ldots, \X_d$ de $k[\X_1^{\pm 1},\ldots, \X_n^{\pm 1}]$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}} --- Les \'el\'ements inversibles de $k[\X_1^{\pm 1}, \ldots, \X_d^{\pm 1}]$ sont les \'el\'ements de la forme $a = \lambda \X_1^{\nu_1} \ldots \X_d^{\nu_d}$ avec $\lambda \in k^{\times}$ et $\nu_1, \ldots, \nu_d \in \mathbb{Z}$. La condition $\Delta(a) = a \otimes a$ est v\'erifi\'ee si et seulement si $\lambda =1$, de sorte que si l'on d\'esigne par $\chi_i$ le caract\`ere de $\mathbb{G}_{\rm m}^{d}$ tel que $\chi_i^{*}(\X) = \X_i$, alors l'application $(\mathbb{Z}^{d} \rightarrow \X(\G), \underline{\nu} \mapsto \nu_1 \chi_1 + \ldots + \nu_d \chi_d)$ est un homomorphisme de groupes surjectif. L'injectivit\'e est \'evidente : \'etant donn\'e $\underline{\nu} \in \mathbb{Z}^d$ distinct de $0$, il existe $i \in \{1, \ldots, d\}$ tel que $\nu_i \neq 0$ et, quitte \`a renum\'eroter les $\X_i$, il est loisible de supposer que l'on a $\nu_1 \neq 0$ ; quel que soit alors l'\'el\'ement $t$ d'une cl\^oture alg\'ebrique $\overline{k}$ de $k$ qui ne soit pas une racine $\nu_1$-\`eme de l'unit\'e, le caract\`ere $\nu_1 \chi_1 + \ldots + \nu_d \chi_d$ prend la valeur $t^{\nu_1} \neq 1$ au point $(t, 1, \ldots, 1)$ de $\mathbb{G}_{\rm m}^{d}(\overline{k}) = {\overline{k}^{\times}}^{d}$ et il est donc non trivial. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 4.3.4}} --- \emph{Si $n \geqslant 2$, tout caract\`ere de ${\rm GL}_n$ est une puissance enti\`ere du d\'eterminant et le groupe ${\rm SL}_n$ n'a pas de caract\`ere non trivial.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. La premi\`ere assertion s'obtient ais\'ement en observant que les \'el\'ements inversibles de la big\`ebre  $k[(\X_{ij}),{\rm det}(\X_{ij})^{-1}]$ de ${\rm GL}_n$ sont les \'el\'ements $a$ de la forme $\lambda {\rm det}(\X_{ij})^m$ avec $\lambda \in k^{\times}$ et $m \in \mathbb{Z}$. La condition $\Delta(a) = a \otimes a$ \'equivaut \`a $\lambda = 1$, ce qui prouve que les seuls caract\`eres de ${\rm GL}_n$ sont les puissances enti\`eres du d\'eterminant en vertu de la proposition pr\'ec\'edente.

\vspace{0.1cm} La d\'emonstration de la seconde assertion repose sur le fait suivant : si $n \geqslant 2$ et si $\K$ est un corps, le groupe ${\rm SL}_n(\K)$ est engendr\'e par les commutateurs, sauf si $n = 2$ et $\K = \mathbb{F}_2$ (voir par exemple dans le \emph{Cours d'alg\`ebre} de Daniel Perrin, \'editions Ellipses, IV, Th\'eor\`eme 3.1).

Soit $\chi$ un caract\`ere de ${\rm SL}_n$. D\'esignant par $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k$, il d\'ecoule de ce que l'on vient de dire que l'homomorphisme $\chi_{\overline{k}} : {\rm SL}_n(\overline{k}) \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}(\overline{k}) = \overline{k}^{\times}$ est trivial puisque le groupe $k^{\times}$ est commutatif. Le caract\`ere $\chi$ correspond \`a un \'el\'ement $a$ de la big\`ebre de ${\rm SL}_n$ tel que $a - 1$ s'annule identiquement sur ${\rm SL}_n(\overline{k})$ ; d'apr\`es le \emph{Nullstellensatz} de Hilbert, $a - 1$ est alors un \'el\'ement nilpotent de $\A$. On v\'erifie facilement que l'anneau $\A = \k[(\X_{ij})]/({\rm det}(\X_{ij}) - 1)$ est \emph{r\'eduit} : \begin{itemize} \item[-] l'homomorphisme $$\A[\T, \T^{-1}] \rightarrow k[(\X_{ij}), \T]/(\T {\rm det}(\X_ij) - 1)$$ d\'efini en envoyant $\T$ sur $\T$, $\T^{-1}$ sur ${\rm det}(\X_{ij})$, $\X_{11}$ sur $\T\X_{11}$ et $\X_{ij}$ sur $\X_{ij}$ si $(i,j) \neq (1,1)$ est un isomorphisme, dont l'inverse est donn\'e par $\T \mapsto \T$, $\X_{11} \mapsto \T^{-1}\X_{11}$ et $\X_{ij} \mapsto \X_{ij}$ si $(i,j) \neq (1,1)$ ; \item[-] l'anneau $k[(\X_{ij}), \T]/(\T {\rm det}(\X_{ij}) - 1)$ est int\`egre, car isomorphe \`a un localis\'e de l'anneau int\`egre $k[(\X_{ij})]$. \end{itemize} Par suite, $a - 1 = 0$ et $\chi$ est donc trivial. \hfill $\Box$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{(4.3.2)} Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur un corps $k$ et soit $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ une repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie. Un \emph{vecteur propre} de $\rho$ est un vecteur $v \neq 0$ dans $\V$ tel que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout \'el\'ement $g \in \V \otimes_k \R$, le sous-$\R$-module $\R (v \otimes 1)$ de $\V \otimes \R$ soit stabilis\'e par l'automorphisme $\rho_{\R}(g)$ ; il revient au m\^eme de demander qu'il existe un \'el\'ement $\chi_v(g)$ de $\R^{\times}$ tel que $$\rho_{\R}(g) (v \otimes 1) = \chi_{v,\R}(g) (v \otimes 1).$$
On v\'erifie imm\'ediatement que les applications $\chi_{v,\R} : \G(\R) \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}(\R) = \R^{\times}$ ainsi d\'efinies donnent naissance \`a un caract\`ere $\chi_v : \G \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}} --- On sait que la repr\'esentation $\rho$ est compl\`etement d\'etermin\'ee par la donn\'ee d'une l'application $k$-lin\'eaire $\rho^* : \V \rightarrow \V \otimes_k \A$ telle que $$(\rho^{*} \otimes {\rm id}_{\A}) \circ \rho^* = ({\rm id}_{\V} \otimes \Delta) \circ \rho^* \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ ({\rm id}_{\V} \otimes e^*) \circ \rho^* = {\rm id}_{\V}$$
(cf. proposition 3.1.5). De ce point de vue, un vecteur propre de $\rho$ est un vecteur non nul $v$ de $\V$ tel que $$\rho^*(v) = v \otimes a$$ pour un certain $a \in \A^{\times}$. Cet \'el\'ement $a$ de $\A$ est uniquement d\'etermin\'e : si l'on consid\`ere en effet une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\V$ telle que $e_1 = v$, alors $\V \otimes_k \A$ est un $\A$-module libre de base $(e_1 \otimes 1, \ldots, e_n \otimes 1)$ et les coordonn\'ees de $\rho^*(v)$ dans cette derni\`ere sont bien d\'efinis. En outre, \begin{eqnarray*} v \otimes a \otimes a & = & \rho^*(v) \otimes a \\ & = & [(\rho^* \otimes {\rm id}_{\A}) \circ \rho^* ] (v) \\ & = & [({\rm id}_{\V} \otimes \Delta) \circ \rho^*](v) \\ & = &  v \otimes \Delta(a) \end{eqnarray*} et donc $\Delta(a) = a \otimes a$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 4.3.5}} --- \emph{Un groupe alg\'ebrique $\G$ sur un corps $k$ est dit \emph{diagonalisable} si, pour toute repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$, l'espace vectoriel $\V$ est engendr\'e par des vecteurs propres de $\rho$.}

\vspace{0.2cm} Cette d\'efinition peut se reformuler ainsi : pour toute repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$, il existe une base de $\V$ telle que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, l'image de l'homomorphisme $\rho_{\R} : \G(\R) \rightarrow {\rm GL}_{\V}(\R) \simeq {\rm GL}_n(\R)$ soit contenue dans le sous-groupe constitu\'e des matrices diagonales.

\vspace{0.2cm} Les groupes diagonalisables ont une caract\'erisation simple en termes de leur big\`ebre.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 4.3.6}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$ de big\`ebre $\A$. Pour que $\G$ soit diagonalisable, il faut et il suffit que la $k$-alg\`ebre $\A$ soit engendr\'ee par les caract\`eres, c'est-\`a-dire les \'el\'ements $a$ de $\A^{\times}$  tels que $\Delta(a) = a \otimes a$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Supposons que $\G$ soit diagonalisable et soit $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ une repr\'esentation lin\'eaire fid\`ele de dimension finie. Puisque $\V$ est engendr\'e par les vecteurs propres de $\rho$, il existe une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\V$ form\'ee de vecteurs propres de $\rho$. Utilisant cette base pour identitifier ${\rm GL}_{\V}$ et ${\rm GL}_n$, l'homomorphisme $\G \rightarrow {\rm GL}_n$ d\'eduit de $\rho$ induit un isomorphisme entre $\G$ et un sous-groupe du groupe des matrices diagonales, lui-m\^eme isomorphe au groupe $\mathbb{G}_{\rm m}^{n}$. Par suite, la big\`ebre $\A$ de $\G$ est isomorphe \`a un quotient de la big\`ebre $k[\X_1^{\pm 1}, \ldots, \X_n^{\pm 1}]$ de $\mathbb{G}_{\rm m}^n$ et, comme cette derni\`ere est engendr\'ee par les $2n$ caract\`eres $\X_i^{\pm 1}$, $\A$ est engendr\'ee par des caract\`eres (les images des $\X_i^{\pm 1}$).

\vspace{0.1cm} Supposons r\'eciproquement que $\A$ soit engendr\'ee par des caract\`eres. Comme un produit de caract\`eres est encore un caract\`ere, $\A$ est \'egalement engendr\'e par des caract\`eres en tant que $k$-espace vectoriel et on peut donc consid\'erer une base $(a_i)_{i \in \I}$ de $\A$ sur $k$ constitu\'ee de caract\`eres.

Soit alors $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ une repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie de $\G$ et soit $\rho^* : \V \rightarrow \V \otimes_k \A$ l'application $k$-lin\'eaire qui lui correspond. \'Etant donn\'e un vecteur $v \in \V$, il existe une unique famille $(v_i)_{i \in \I}$ de vecteurs de $\V$ presque tous nuls telle que $$\rho^*(v) = \sum_{i \in \I} v_i \otimes a_i.$$
En vertu de l'identit\'e $(\rho^* \otimes {\rm id}_{\A})  \circ \rho^* = ({\rm id}_{\V} \otimes \Delta) \circ \rho^*$, \begin{eqnarray*} \sum_{i \in \I} \rho^*(v_i) \otimes a_i & = & [(\rho^* \otimes {\rm id}_{\A}) \circ \rho^*](v) \\ & = & [({\rm id}_{\V} \otimes \Delta) \circ \rho^*](v) \\ & = & \sum_{i \in \I} v_i \otimes \Delta(a_i) \\ & = & \sum_{i \in \I} v_i \otimes a_i \otimes a_i \end{eqnarray*} et donc $$\rho^*(v_i) = v_i \otimes a_i$$ pour tout $i$. Il d\'ecoule de ceci que $v$ est contenu dans un sous-espace vectoriel de $\V$ engendr\'e par des vecteurs propres de $\rho$, puis que ces derniers engendrent $\V$. Ainsi, le groupe $\G$ est diagonalisable. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 4.3.7}} --- \emph{1. Pour tout entier $d \geqslant 1$, le groupe $\mathbb{G}_{\rm m}^d$ est diagonalisable.}

\emph{2. Pour tout entier $n \geqslant 1$ premier \`a la caract\'eristique de $k$, le groupe $\mathbf{\mu}_n$ est diagonalisable.}

\emph{3. Tout sous-groupe d'un groupe diagonalisable est diagonalisable.}

\emph{4. Le produit de deux groupes diagonalisables est diagonalisable.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. 1. Le groupe $\mathbb{G}_{\rm m}^d$ est diagonalisable car sa big\`ebre $k[\X_1^{\pm 1}, \ldots, \X_n^{\pm 1}]$ est engendr\'ee par les $2n$ caract\`eres $\X_i^{\pm 1}$.

\vspace{0.1cm}
2. Si $n$ est premier \`a la caract\'eristique, le groupe $\mathbf{\mu}_n$ est diagonalisable car sa big\`ebre $k[\X]/(\X^n -1)$ est engendr\'ee par le caract\`ere $\X$. Noter que le groupe $\mathbf{\mu}_n$ n'est pas diagonalisable si $p = {\rm car}(k)$ divise $n$ : en effet, si l'on \'ecrit $n$ sous la forme $n = p^\alpha n'$ avec $\alpha \geqslant 1$ et $(n',p) = 1$ et si l'on d\'esigne par $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k$, la $\overline{k}$-alg\`ebre $$\overline{k} \otimes_k k[\X]/(\X^n - 1) = \overline{k}[\X]/((\X^{n'} - 1 )^{p^{\alpha}}) \cong \oplus_{\xi \in \mathbf{\mu}_{n'}(\overline{k})} \overline{k}[\X]/\left((\X - \xi)^{p^{\alpha}}\right) \simeq \oplus_{\xi \in \mathbf{\mu}_{n'}(\overline{k})} \overline{k}[\X]/(\X^{p^{\alpha}})$$ n'est clairement pas engendr\'ee pas ses \'el\'ements inversibles.

\vspace{0.1cm}
3. La big\`ebre $\B$ d'un sous-groupe $\Hr$ d'un groupe alg\'ebrique $\G$ est un quotient de la big\`ebre $\A$ de $\G$. Comme la projection canonique $\A \rightarrow \B$ transforme les caract\`eres en caract\`eres, $\Hr$ est diagonalisable si $\G$ l'est.

\vspace{0.1cm} 4. Si $\G$ et $\Hr$ sont deux groupes alg\'ebriques diagonalisables de big\`ebres respectives $\A$ et $\B$, alors $\G \times \Hr$ est le groupe alg\'ebrique de big\`ebre $\A \otimes_k \B$, la comultiplication \'etant d\'efinie par $\Delta(a \otimes b) = \Delta_{\G}(a) \otimes \Delta_{\Hr}(b)$. Par suite, si $(a_i)_{i \in \I}$ et $(b_j)_{j \in \J}$ sont des familles de caract\`eres de $\G$ et $\Hr$ respectivement engendrant les $k$-alg\`ebres $\A$ et $\B$, alors la $k$-alg\`ebre $\A \otimes \B$ est engendr\'ee par les caract\`eres $a_i \otimes b_j$ et donc $\G \times \Hr$ est diagonalisable.
\hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 4.3.8}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur un corps $k$. Pour que $\G$ soit diagonalisable, il faut et il suffit qu'il soit isomorphe \`a un groupe de la forme $$\mathbb{G}_{\rm}^d \times \mathbf{\mu}_{n_1} \times \ldots \times \mathbf{\mu}_{n_r}$$ avec $d \geqslant 0$ et $n_1, \ldots, n_r$ des entiers premiers \`a la caract\'eristique de $k$ tels que $n_{i+1} | n_i$ pour tout $i$. En outre, $d$ et le $r$-uplet $(n_1, \ldots, n_r)$ sont uniquement d\'etermin\'es.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Les groupes alg\'ebriques de la forme indiqu\'ee sont diagonalisables en vertu du corollaire pr\'ec\'edent.

Consid\'erons r\'eciproquement un groupe alg\'ebrique diagonalisable $\G$. Le groupe $\X(\G)$ des caract\`eres de $\G$ est de type fini. En effet, on a vu au cours de la d\'emonstration de la proposition 4.3.6 que la big\`ebre $\A$ de $\G$ est isomorphe \`a un quotient de la big\`ebre $k[\X_1^{pm 1}, \ldots, \X_{\N}^{\pm 1}]$ de $\mathbb{G}_{\rm m}^{\N}$ pour un entier $\N \geqslant 1$ convenable. Il en d\'ecoule que la $k$-alg\`ebre $\A$ est engendr\'ee par les caract\`eres $a_1^{\pm 1}, \ldots, a_{\N}^{\pm 1}$ ; en particulier, tout caract\`ere de $\A$ s'\'ecrit sous la forme d'une combinaison lin\'eaire finie des caract\`eres $a_1^{\nu_1} \ldots a_{\N}^{\nu_{\N}}$, $\nu \in \mathbb{Z}^{\N}$. Vu l'ind\'ependance lin\'eaire des caract\`ere (lemme ci-dessous), on en d\'eduit que tout caract\`ere de $\G$ est de la forme $a_1^{\nu_1} \ldots a_{\N}^{\nu_{\N}}$ pour un certain $\nu \in \mathbb{Z}^{\N}$ et le groupe $\X(\G)$ est donc bien de type fini.

\vspace{0.1cm} Il d\'ecoule \'egalement de ce que l'on vient de dire que la big\`ebre $\A$ est compl\`etement d\'etermin\'ee par le groupe $\X(\G)$ : notant $a_{\chi}$ l'\'el\'ement de $\A$ correspondant au caract\`ere $\chi \in \X(\G)$, $$\A = \bigoplus_{\chi \in \X(\G)} k a_{\chi}$$ en tant que $k$-espace vectoriel et $$a_{\chi} \cdot a_{\psi} = a_{\chi + \psi}, \ \ \ \Delta(a_{\chi}) = a_{\chi} \otimes a_{\chi}, \ \ \ \ e^{*}(a_{\chi}) = 1, \ \ \ \ \iota^*(a_{\chi}) = a_{\chi}^{-1} = a_{-\chi}$$ pour tous $\chi, \psi  \in \X(\G)$.

\vspace{0.1cm} Il reste \`a appliquer le th\'eor\`eme de structure des groupes ab\'eliens de type fini : il existe un entier $d \geqslant 0$ et des entiers $n_1, \ldots, n_r$ avec $n_{i+1} | n_i$ tels que $\X(\G)$ soit isomorphe au groupe $\mathbb{Z}^d \oplus \mathbb{Z}/n_1 \mathbb{Z} \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}/n_r \mathbb{Z}$ ; en outre, $d$ et le $r$-uplet sont uniquement d\'etermin\'es. Vu la description de la big\`ebre $\A$ donn\'ee pr\'ec\'edemment, celle-ci est isomorphe \`a \begin{multline*} k[\X_1^{\pm}, \ldots, \X_d^{\pm}, \X_{d+1}, \ldots, \X_{d+r}]/(\X_{d+1}^{n_1} - 1, \ldots, \X_{d+r}^{n_r} - 1) \\ = k[\X_1^{\pm 1}, \ldots, \X_d^{\pm 1}] \otimes_k k[\X]/(\X^{n_1} - 1) \otimes_k \ldots \otimes_k k[\X]/(\X^{n_r} - 1) \end{multline*} et donc $\G \simeq \mathbb{G}_{\rm m}^d \times \mathbf{\mu}_{n_1} \times \ldots \times \mathbf{\mu}_{n_r}$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 4.3.9 (Ind\'ependance lin\'eaire des caract\`eres)}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur un corps $k$ de big\`ebre $\A$. Toute famille $(a_i)_{i \in \I}$ de caract\`eres distincts de $\G$ est libre dans le $k$-espace vectoriel $\A$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Chaque $a_i$ \'etant inversible, les familles $\{a_i\}$ r\'eduites \`a un \'el\'ement sont libres. Consid\'erons alors un sous-ensemble $\J$ de $\I$ telle que la famille $(a_i)_{i \in \J}$ soit libre et maximale. Si $\I \neq \J$, choisissons $i_{0} \in \I - \J$ et consid\'erons une relation de d\'ependance lin\'eaire $$a_{i_0} = \sum_{i \in \J} \lambda_i a_i.$$ Appliquant $\Delta$, il vient \begin{eqnarray*} \sum_{i,j \in \J} \lambda_i \lambda_j a_i \otimes a_j & = & a_{i_0} \otimes a_{i_0} \\ & = & \sum_{i \in \J} \lambda_i a_i \otimes a_i. \end{eqnarray*} La famille $(a_i \otimes a_j)_{(i,j) \in \J^2}$ \'etant libre dans $\A \otimes_k \A$, $\lambda_i \lambda_j = 0$ pour tous $i,j$ distincts dans $\J$ et il existe donc un unique $i \in \J$ tel que $\lambda_i \neq 0$. L'identit\'e $a_{i_0} = \lambda_i a_i$ implique alors $\lambda_i = 1$ par application de $e^*$, de sorte que $a_{i_0} = a_i$. Par suite, si tous les $a_i$ sont distincts, $\J = \I$ et le lemme est d\'emontr\'e. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(4.3.3)} Nous sommes maintenant en mesure de caract\'eriser les automorphismes diagonalisables d'un espace vectoriel de dimension finie.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 4.3.10}} --- \emph{Soit $\V$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $k$. Les conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout automorphisme $g$ de $\V$ :
\begin{itemize}
\item[(i)] $g$ est diagonalisable ;
\item[(ii)] il existe un groupe alg\'ebrique diagonalisable $\D$ et homomorphisme $u : \D \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ tel que $g$ appartienne \`a l'image de $\D(k)$.
\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Si $g$ est diagonalisable, il existe une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\V$ form\'ee de vecteurs propres de $g$. Utilisant cette base pour identifier ${\rm GL}_{\V}$ et ${\rm GL}_n$, $g$ appartient donc \`a $\T(k)$, o\`u $\T$ est le sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$ correspondant au sous-groupe des matrices diagonales dans ${\rm GL}_n$. Comme $\T \simeq \mathbb{G}_{\rm m}^{n}$, $\T$ est diagonalisable en vertu du corollaire 4.3.7 et l'assertion (ii) est d\'emontr\'ee.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons r\'eciproquement un groupe alg\'ebrique diagonalisable $\D$ et un homomorphisme $u : \D \rightarrow {\rm GL}_{\V}$. Il existe par hypoth\`ese une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\V$ constitu\'ee de vecteurs propres de $u$. Utilisant cette base pour identifier ${\rm GL}_{\V}$ et ${\rm GL}_n$, l'image de $u$ est contenue dans le sous-groupe des matrices diagonales de ${\rm GL}_n$ ; en particulier, tout \'el\'ement de l'image de $\D(k)$ a une matrice diagonale dans la base $(e_1, \ldots, e_n)$ et donc est diagonalisable. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 4.3.11}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur un corps $k$ et soit $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k$. Les conditions suivantes sont \'equivalentes pour tout \'el\'ement $g$ de $\G(k)$ : \begin{itemize} \item[(i)] quelle que soit la repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}{\V}$, l'automorphisme $\rho_k(g)$ est semi-simple ; \item[(ii)] il existe une repr\'esentation lin\'eaire fid\`ele de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ telle que l'automorphisme $\rho_k(g)$ soit semi-simple ; \item[(iii)] il existe un $\overline{k}$-groupe alg\'ebrique diagonalisable $\D$ et un homomorphisme $u : \D \rightarrow \G \otimes_k \overline{k}$ tel que $g$ appartienne \`a l'image de $\D(\overline{k})$ dans $\G(\overline{k})$. \end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. L'implication $(i) \Rightarrow (ii)$ est triviale.

\vspace{0.1cm}
Si $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ est une repr\'esentation lin\'eaire fid\`ele de dimension finie telle que $\rho_k(g)$ soit semi-simple --- c'est-\`a-dire diagonalisable sur $\overline{k}$ --- il existe d'apr\`es la proposition pr\'ec\'edente un $\overline{k}$-groupe alg\'ebrique diagonalisable $\D$ et un homomorphisme $u : \D \rightarrow {\rm GL}_{\V \otimes_k \overline{k}} = {\rm GL}_{\V} \otimes_k \overline{k}$ tels que $\rho_{\overline{k}}(g)$ appartienne \`a l'image de $\D(\overline{k})$. Consid\'erons alors le diagramme commutatif $$\xymatrix{ & \D \ar@{->}[rd]^u & \\ (\G \otimes_k \overline{k}) \times_{{\rm GL}_{\V} \otimes_k \overline{k}} \D \ar@{->}[ru]^{i} \ar@{->}[rd]_{v} & & {\rm GL}_{\V} \otimes_k \overline{k} \\ & \G \otimes_k \overline{k} \ar@{->}[ru]_{\rho \otimes 1} & }$$ d\'efinissant le produit fibr\'e $\D' =  (\G \otimes_k \overline{k}) \times_{{\rm GL}_{\V} \otimes_k \overline{k}} \D$. Comme $\rho$ fait de $\G$ un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$, l'homomorphisme $i$ identifie $\D'$ \`a un sous-groupe de $\D$ et le groupe $\D'$ est donc diagonalisable en vertu du corollaire 4.3.7 ; en outre, il existe par construction un \'el\'ement $h$ de $\D'(\overline{k})$ tel que $\rho_{\overline{k}}(v_{\overline{k}}(h)) = \rho_{\overline{k}}(g)$ dans ${\rm GL}(\V \otimes_k \overline{k})$, donc tel que $v_{\overline{k}}(h) = g$ puisque l'homomorphisme $\rho_{\overline{k}}$ est injectif. L'assertion (iii) est ainsi \'etablie.

\vspace{0.1cm} L'implication $(iii) \Rightarrow (i)$ d\'ecoule directement de la proposition pr\'ec\'edente. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 4.3.12}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur un corps $k$. Un \'el\'ement $g$ de $\G(k)$ est dit semi-simple s'il satisfait aux conditions \'equivalentes suivantes :
\begin{itemize} \item[(i)] quelle que soit la repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}{\V}$, l'automorphisme $\rho_k(g)$ est semi-simple ; \item[(ii)] il existe une repr\'esentation lin\'eaire fid\`ele de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ telle que l'automorphisme $\rho_k(g)$ soit semi-simple ; \item[(iii)] il existe un $\overline{k}$-groupe alg\'ebrique diagonalisable $\D$ et un homomorphisme $u : \D \rightarrow \G \otimes_k \overline{k}$ tel que $g$ appartienne \`a l'image de $\D(\overline{k})$ dans $\G(\overline{k})$. \end{itemize}}


%\'Etant donn\'ee une repr\'esentation lin\'eaire $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ de $\G$, un \emph{vecteur propre} de $\rho$ est un vecteur non nul $v$ dans $\V$ tel que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout \'el\'ement $g$ de $\G(\R)$, l'automorphisme $\rho_{\R}(g)$ de $\V \otimes_k \R$ stabilise le $\R$-module monog\`ene $\R (v \otimes 1)$ ; il revient au m\^eme de dire que $\rho_{\R}(v \otimes 1)$ est une base du $\R$-module libre $\R (v \otimes 1)$. On v\'erifie imm\'ediatemment qu'\`a tout vecteur propre de $\rho$ est associ\'e un \emph{caract\`ere} $\chi_v$ de $\G$, caract\'eris\'e par l'identit\'e $$\rho_{\R}(g) (v \otimes 1) = \chi_v(g) (v \otimes 1)$$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tout \'el\'ement $g$ de $\G(\R)$.




%\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition}} --- \emph{Pour qu'un groupe alg\'ebrique $\G$ soit diagonalisable, il faut et il suffit que sa big\`ebre soit engendr\'ee par les \'el\'ements $a$ v\'erifiant la condition $$\Delta(a) = a \otimes a$$.

\subsection{D\'ecomposition de Jordan} Apr\`es le travail pr\'eliminaire que nous venons d'effectuer, le th\'eor\`eme 4.1.3 d\'ecoule ais\'ement du th\'eor\`eme de Chevalley.

\vspace{0.2cm} Soit $k$ un corps parfait et soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$. La d\'emonstration du th\'eor\`eme 4.1.3 se fait en trois \'etapes.

\vspace{0.3cm} \noindent \emph{Premi\`ere \'etape : r\'eduction au cas d'un corps alg\'ebriquement clos}.

\vspace{0.1cm} Supposons le th\'eor\`eme 4.1.3 \'etabli pour un corps alg\'ebriquement clos. Soit $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k$ ; comme $k$ est pafait, l'extension $\overline{k}/k$ est galoisienne.

\'Etant donn\'e un \'el\'ement $g$ de $\G(k)$, la d\'ecomposition de Jordan $g = g'_s g'_u$ dans $\G(\overline{k})$ est valable sur une extension galoisienne finie $k'$ de $k$ : en effet, les \'el\'ements $g'_s$ et $g'_u$ de $\G(\overline{k})$ correspondent \`a des $k$-homomorphismes de la big\`ebre $\A$ de $\G$ dans $\overline{k}$ et es images de ces derniers sont contenues dans une m\^eme extension finie de $k$ car $\A$ est de type fini.

Le groupe de Galois $\Gamma = {\rm Gal}(k'|k)$ op\`ere naturellement par automorphismes du groupe $\G(k')$ et $$\G(k) = \G(k')^{\Gamma} = \{h \in \G(k') \ | \ \gamma(h) = h\}.$$ Identifions en effet $\G(k')$ et ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k')$ et consid\'erons l'action de $\Gamma$ provenant de son action naturelle sur $k'$ : $$\gamma(h) = \gamma \circ h$$ pour tout $h \in {\rm Hom}_k(\A,k')$. \begin{itemize} \item[-] \'Etant donn\'es deux \'el\'ements $h, h'$ dans ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k')$, leur produit $hh'$ dans le groupe $\G(k')$ correspond \`a l'homomorphisme compos\'e $$\xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\Delta} & \A \otimes_k \A \ar@{->}[r]^{h \otimes h'} & k' \otimes_k k' \ar@{->}[r]^{{\rm mult}} & k'}$$ et donc \begin{eqnarray*}\gamma(hh') & = & \gamma \circ {\rm mult} \circ (h \otimes h') \circ \Delta \\ & = & {\rm mult} \circ \left((\gamma \circ h) \otimes_k (\gamma \circ h')\right) \circ \Delta \\ & = & \gamma(h)\gamma(h') \end{eqnarray*} puisque $\Gamma$ op\`ere par automorphismes du corps $k'$.

\item[-] Si $h$ est un \'el\'ement de ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k')$ tel que $\gamma(h) = h$ pour tout $\gamma \in \Gamma$, $h$ est \`a valeurs dans le sous-corps de $k'$ fix\'e par $\Gamma$, donc dans $k$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} Pour tout $\gamma \in \Gamma$, $$g = \gamma(g) = \gamma(g'_s)\gamma(g'_u) = \gamma(g'_u)\gamma(g'_s).$$ Il d\'ecoule par ailleurs de la proposition 4.2.2 et du corollaire 4.3.11 que les \'el\'ements $\gamma(g'_s)$ et $\gamma(g'_u)$ de $\G(\overline{k})$ sont respectivement semi-simples et unipotents. Par unicit\'e de la d\'ecomposition de Jordan dans $\G(\overline{k})$, nous en d\'eduisons $\gamma(g'_s) = g'_s$ et $\gamma(g'_u) = g'_u$ pour tout $\gamma \in \Gamma$. Posant $g_s = g'_s$ et $g_u = g'_u$, nous obtenons par suite une d\'ecomposition $g = g_s g_u = g_u g_s$ dans $\G(k)$ avec $g_s$ (resp. $g_u$) semi-simple (resp. unipotent) dans $\G(\overline{k})$. Quelle que soit la repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$, les automorphismes $\rho_{k}(g_s)$ et $\rho_{k}(g_u)$  sont respectivement semi-simples et unipotents sur $\overline{k}$ ; ils le sont donc \'egalement sur $k$. Nous avons ainsi \'etabli l'existence d'une d\'ecomposition de Jordan dans $\G(k)$ et l'unicit\'e vient de l'unicit\'e de cette d\'ecomposition dans $\G(\overline{k})$.

\vspace{0.1cm} Il reste \`a d\'emontrer le th\'eor\`eme 4.1.3 lorsque le corps $k$ est alg\'ebriquement clos.

\vspace{0.2cm} \noindent \emph{Deuxi\`eme \'etape : le cas $\G = {\rm GL}_{\V}$}.

\vspace{0.1cm} Il n'y a pratiquement rien \`a faire. \'Etant donn\'e $g \in {\rm GL}_{\V}(k) = {\rm GL}(\V)$, on sait (cf. 4.1) qu'il existe un unique couple $(g_s, g_u)$ d'automorphismes de $\V$ tels que $g = g_s g_u = g_u g_s$ avec $g_s$ semi-simple et $g_u$ unipotent. Si $\rho : {\rm GL}_{\V} \rightarrow {\rm GL}_{\W}$ est une repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie, ceci s'applique \'egalement \`a l'automorphisme $\rho_k(g)$ de $\W$ : $$\rho_{k}(g) = \rho_k(g)_s \rho_k(g)_u = \rho_k(g)_u \rho_k(g)_s$$ avec $\rho_k(g)_s$ semi-simple et $\rho_k(g)_u$ unipotent uniquement d\'etermin\'es. En vertu des propositions 4.2.1 et 4.3.10, les automorphismes $\rho_k(g_s)$ et $\rho_k(g_u)$ sont respectivement semi-simples et unipotents ; comme $$\rho_k(g) = \rho_k(g_s)\rho_k(g_u) = \rho_k(g)_u \rho_k(g_s),$$ nous en d\'eduisons $\rho_k(g_s) = \rho_k(g)_s$ et $\rho_k(g_u) = \rho_k(g)_u$.

Si l'on part r\'eciproquement d'une d\'ecomposition $g = g'_s g'_u = g'_u g'_s$ dans ${\rm GL}(\V)$ avec $g'_s$ et $g'_u$ d'images respectives semi-simples et unipotentes dans toute repr\'esentation lin\'eaire de ${\rm GL}_{\V}$, les automorphismes $g'_s$ et $g'_u$ sont respectivement semi-simples et unipotent en vertu des propositions 4.2.1, 4.2.2, 4.3.10 et du corollaire 4.3.11 et donc $g'_s = g_s$, $g'_u = g_u$. Ceci \'etablit le th\'eor\`eme 4.1.3 lorsque $\G = {\rm GL}_{\V}$, et on a en outre prouv\'e que la d\'ecomposition obtenue n'est autre que la d\'ecomposition de Jordan multiplicative \'el\'ementaire rappel\'ee en introduction.

\vspace{0.2cm} \noindent \emph{Troisi\`eme \'etape : cas g\'en\'eral}

\vspace{0.1cm} Le corps $k$ est toujours suppos\'e alg\'ebriquement clos. Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$ et soit $\rho : \G \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ une repr\'esentation lin\'eaire fid\`ele de $\G$ (th\'eor\`eme de Chevalley, cf. 3.3) ; on utilise $\rho$ pour identifier $\G$ \`a un sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$. En appliquant de nouveau le th\'eor\`eme de Chevalley, il existe une repr\'esentation lin\'eaire fid\`ele de dimension finie $\mu : {\rm GL}_{\V} \rightarrow {\rm GL}_{\W}$ et un sous-espace vectoriel $\W_0$ de $\W$ tels que $\G$ soit le sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$ stabilisant $\W_0$. Soit alors $g \in \G(k)$ et soit $g = g_s g_u = g_u g_s$ la d\'ecomposition de Jordan de $g$ dans ${\rm GL}(\V)$. D'apr\`es la deuxi\`eme \'etape, $\mu_k(g_s)$ et $\mu_k(g)_u$ ne sont autres que les automorphismes de $\W$ respectivement semi-simples et unipotents figurant dans la d\'ecomposition de Jordan multiplicative \'el\'ementaire de $\mu_k(g)$ ; on en d\'eduit que $\mu_k(g_s)$ et $\mu_k(g_u)$ s'expriment tous deux sous la forme de \emph{polyn\^omes} en $\mu_k(g)$ et $\mu_k(g)^{-1}$. Ceci implique aussit\^ot que les automorphismes $\mu_k(g_s)$ et $\mu_k(g_u)$ stabilisent le sous-espace $\W_0$ et donc appartiennent \`a l'image de $\G(k)$ ; comme en outre l'homomorphisme $\mu_k$ est injectif, nous en concluons \`a l'appartenance de $g_s$ et $g_u$ au sous-groupe $\G(k)$ de ${\rm GL}(\V)$.

\vspace{0.1cm}
Les \'el\'ements $g_s$ et $g_u$ de $\G(k)$ commutent et sont respectivement semi-simples et unipotents en vertu de la proposition 4.2.2 et du corollaire 4.3.11. Nous obtenons ainsi l'existence d'une d\'ecomposition de Jordan dans $\G(k)$ tandis que l'unicit\'e d\'ecoule imm\'ediatement de l'unicit\'e dans ${\rm GL}(\V)$. Le th\'eor\`eme 4.1.3 est ainsi d\'emontr\'e.



\section{Groupes alg\'ebriques et vari\'et\'es alg\'ebriques}

Le th\'eor\`eme de Chevalley permet de r\'ealiser (non canoniquement) tout groupe alg\'ebrique $\G$ sur un corps $k$ comme un sous-groupe d'un groupe lin\'eaire ${\rm GL}_n$ ; quelle que soit la $k$-alg\`ebre $\R$, le groupe $\G(\R)$ s'identifie par cons\'equent \`a un sous-groupe de ${\rm GL}_n(\R)$. Suivant l'approche fonctorielle que nous avons adopt\'ee, la connaissance du sous-groupe $\G(\R)$ de ${\rm GL}_n(\R)$ pour \emph{toutes} les $k$-alg\`ebres $\R$ permet de reconstituer $\G$. Il est toutefois naturel de se demander quelle quantit\'e d'information sur $\G$ est pr\'esente dans le seul sous-groupe $\G(k)$ de ${\rm GL}_n(k)$, et cette question conduit \`a s'int\'eresser aux sous-groupes de ${\rm GL}_n(k)$ d\'efinis par des \'equations polynomiales en les coefficients matriciels. On prolonge ces consid\'erations en associant \`a chaque groupe alg\'ebrique $\G$ un espace topologique intrins\`eque $|\G|$, dont on se borne essentiellement \`a \'etudier les composantes connexes. Pousser ces id\'ees plus avant n\'ecessiterait de faire r\'eellement de la g\'eom\'etrie alg\'ebrique.

\subsection{Groupes alg\'ebriques et groupes de matrices}

\noindent \textbf{(5.1.1)} Soit $\A = k[(\X_{ij}),\T]/(\T {\det}(\X_{ij}) - 1)$ la big\`ebre du groupe alg\'ebrique ${\rm GL}_n$. \`A chaque \'el\'ement $f$ de $\A$ correspond une fonction $\underline{f}$ sur le groupe ${\rm GL}_n(k)$ \`a valeurs dans $k$, d\'efinie par $$\underline{f}(s) = f((s_{ij}),{\rm det}(s)^{-1}).$$ Comme $$\underline{\X_{ij}}(s) = s_{ij} \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ \underline{\T}(s) = {\rm det}(s)^{-1},$$ les fonctions obtenues de la sorte sont pr\'ecis\'ement les fonctions polynomiales en les coefficients de $s$ et ${\rm det}(s)^{-1}$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 5.1.1}} --- \emph{(i) L'anneau $\A$ est int\`egre. \\
(ii) Si le corps $k$ est infini, l'application $$\A \rightarrow {\rm Hom}_{\mathbf{Ens}}({\rm GL}_n(k),k), \ \ f \mapsto \underline{f}$$ est injective.}


\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) Consid\'erons l'homomorphisme $$\iota : k[(\X_{ij}),\T] \rightarrow k(\X_{ij})$$ d\'efini en envoyant chaque ind\'etermin\'ee $\X_{ij}$ sur elle-m\^eme et $\T$ sur la fraction rationnelle ${\rm det}(\X_{ij})^{-1}$. Il est clair que $\iota$ s'annule identiquement sur l'id\'eal principal $\I$ de $k[(\X_{ij}),\T]$ engendr\'e par $\T{\rm det}(\X_{ij})$. Soit $\F \in k[(\X_{ij}),\T]$ un polyn\^ome, que l'on \'ecrit sous la forme $$\F = \sum_{\ell = 0}^{n} a_{\ell} \T^{\ell}$$ avec $a_{\ell} \in k[(\X_{ij})]$ et $a_n \neq 0$. Vu les identit\'es \begin{eqnarray*} {\rm det}(\X_{ij})^n \F & = & \sum_{\ell = 0}^{n} a_{\ell} {\rm det}(\X_{ij})^{n-\ell}(\T {\rm det}(\X_{ij}))^{\ell} \\ & \equiv  & \sum_{\ell = 0}^{n} a_{\ell} {\rm det}(\X_{ij})^{n-\ell} \ \ \ \ ({\rm mod} \ \I) \end{eqnarray*} et $$\iota(\F) = \frac{\sum_{\ell = 0}^{n} a_{\ell} {\rm det}(\X_{ij})^{n-\ell}}{{\rm det}(\X_{ij})^n},$$ $\iota(\F) = 0$ si et seulement si $\F$ appartient \`a $\I$. L'homomomorphisme $\iota$ induit ainsi un isomorphisme entre $\A$ et un sous-anneau du corps $k(\X_{ij})$, ce qui prouve l'int\'egrit\'e de $\A$.

\vspace{0.1cm} \noindent (ii) Soit $\F \in k[(\X_{ij}),\T]$ un polyn\^ome tel que $\F((s_{ij}),{\rm det}(s)^{-1}) = 0$ pour tout \'el\'ement $s$ de ${\rm GL}_n(k)$. Vu ce qui pr\'ec\`ede, il existe un entier naturel $n \geqslant 0$ et un polyn\^ome $\F \in k[(\X_{ij})]$ tels que $${\rm det}(\X_{ij})^n \F \equiv \G \ ({\rm mod} \ \I) \ ;$$ on a alors $\G(s) = \G((s_{ij})) = 0$ pour tout \'el\'ement $s \in {\rm GL}_n$. Quels que soient $s, t \in {\rm GL}_n(k)$ et $\lambda \in k$, la matrice $s + \lambda t$ appartient \`a ${\rm GL}_n(k)$ pour tout $\lambda$ distinct des racines du polyn\^ome non nul $${\rm det}(s + \lambda t) = \lambda^n {\rm det}(t) + \ldots + {\rm det}(s),$$ donc pour une infinit\'e de $\lambda$ dans $k$ puisque $k$ est infini. Il en d\'ecoule que le polyn\^ome en $\G(s + \X t) \in k[\X]$ admet une infinit\'e de racines dans $k$, donc est identiquement nul ; comme toute matrice $x \in \M_n(k)$ s'\'ecrit sous la forme $s + \lambda t$ avec $s, t \in {\rm GL}_n(k)$ et $\lambda \in k$ convenablement choisis, nous en concluons que le polyn\^ome $\G$ s'annule identiquement sur $k^{n^2}$. Le corps $k$ \'etant infini, ceci implique $\G = 0$ (raisonner par r\'ecurrence sur le nombre des variables du polyn\^ome $\G$) et donc $\F \in \I$. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \'Etant donn\'e un sous-groupe $\G \hookrightarrow {\rm GL}_n$, la big\`ebre de $\G$ est un quotient de $\A$ et il existe donc un id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$ tel que $$\G(k) = \{s \in {\rm GL}_n(k) \ | \ \underline{f}(s) = 0 , \ \ \forall f \in \mathfrak{I}\}.$$
Cette observation met en \'evidence une condition n\'ecessaire pour qu'un sous-groupe $\Gamma$ de ${\rm GL}_n(k)$ provienne d'un sous-groupe du groupe alg\'ebrique ${\rm GL}_n$ : $\Gamma$ doit \^etre un sous-ensemble de ${\rm GL}_n(k)$ d\'efini par des \'equations polynomiales en les coefficients et l'inverse du d\'eterminant des matrices $s \in {\rm GL}_n(k)$. Il s'av\`ere que cette condition est suffisante.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.1.2}} --- \emph{Soit $\Gamma$ un sous-groupe de ${\rm GL}_n(k)$ et soit $\mathfrak{I}$ l'id\'eal de $\A$ constitu\'e des \'el\'ements $f$ de $\A$ tels que la fonction $\underline{f}$ s'annule identiquement sur $\Gamma$.
\begin{itemize}
\item[(i)] L'anneau quotient $\A/\mathfrak{I}$ est la big\`ebre d'un sous-groupe alg\'ebrique $\G_{\Gamma}$ de ${\rm GL}_n$.
\item[(ii)] On a $$\G_{\Gamma}(k) = \{s \in {\rm GL}_n(k) \ | \ \underline{f}(s) = 0, \ \ \forall f \in \mathfrak{I}\} \ ;$$ en particulier, $\Gamma \subset \G_{\Gamma}(k)$.
\item[(iii)] Si $\Gamma$ est d\'efini par des \'equations polynomiales, alors $\G_{\Gamma}(k) = \Gamma$.
\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) Nous allons v\'erifier qu'il existe une unique structure de big\`ebre sur $\B = \A/\mathfrak{I}$ telle que la projection canonique $p : \A \rightarrow \B$ soit un homomorphisme de big\`ebres.

\vspace{0.1cm} D\'esignons par $\Delta$ la comultiplication de $\A$. \'Etant donn\'es un \'el\'ement $f \in \A$ et une \'ecriture de $\Delta(f)$ sous la forme $\Delta(f) = \sum_i g_i \otimes h_i$, $$\underline{f}(st) = \sum_{i} \underline{g_i}(s) \underline{h_i}(t)$$ (cf. 3.2). L'existence d'une application $k$-lin\'eaire $\overline{\Delta} : \B \rightarrow \B \otimes_k \B$ s'ins\'erant dans un diagramme commutatif $$\xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\Delta} \ar@{->}[d]_{p} & \A \otimes_k \A \ar@{->}[d]^{p \otimes p} \\ \B \ar@{->}[r]_{\overline{\Delta}} & \B \otimes_k \B}$$ \'equivaut \`a l'inclusion $\Delta(\mathfrak{I}) \subseteq \mathfrak{I} \otimes_k \A + \A \otimes_k \mathfrak{I}$.

Soit $(a_{\lambda})_{\Lambda}$ une base du $k$-espace vectoriel $\A$ contenant une base du sous-espace vectoriel $\mathfrak{I}$, disons $(a_{\lambda})_{\Lambda_0}$ avec $\Lambda_0 \subset \Lambda$. La famille $(a_{\lambda} \otimes a_{\lambda'})_{\Lambda^2}$ constitue une base de $\A \otimes_k \A$. Soit $f \in \mathfrak{I}$ et \'ecrivons $\Delta(f)$ sous la forme $$ \Delta(f) = \sum_{(\lambda_1,\lambda_2) \in \Lambda^2} c_{\lambda_1, \lambda_2} a_{\lambda_1} \otimes a_{\lambda_2}$$ avec $c_{\lambda_1, \lambda_2} \in k$. Quel que soit $s \in \Gamma$, la fonction translat\'ee $$\underline{f}(s \cdot) = \sum_{(\lambda_1, \lambda_2) \in \Lambda^2} c_{\lambda_1, \lambda_2} \underline{a_{\lambda_1}}(s) {a_{\lambda_2}}$$ s'annule identiquement sur $\Gamma$ ; on a donc $$\sum_{(\lambda_1, \lambda_2) \in \Lambda^2} c_{\lambda_1, \lambda_2} \underline{a_{\lambda_1}} (s) a_{\lambda_2} \in \mathfrak{I},$$ puis $c_{\lambda_1, \lambda_2} \underline{a_{\lambda_1}}(s) = 0$ pour tout couple $(\lambda_1, \lambda_2)$ dans $\Lambda \times (\Lambda - \Lambda_0)$. Comme $s$ est un \'el\'ement arbitraire de $\Gamma$, $$\sum_{\lambda_1 \in \Lambda, \lambda_2 \notin \Lambda_0} c_{\lambda_1, \lambda_2} a_{\lambda_1} \in \mathfrak{I}$$ et donc $c_{\lambda_1, \lambda_2} = 0$ si $\lambda_1 \notin \Lambda_0$. Au final, nous obtenons $c_{\lambda_1, \lambda_2} = 0$ pour tout couple $(\lambda_1, \lambda_2) \in (\Lambda - \Lambda_0)^2$ et $\Delta(f)$ appartient donc bien \`a $\mathfrak{I} \otimes_k \A + \A \otimes_k \mathfrak{I}$.

\vspace{0.1cm} La coassociativit\'e de $\overline{\Delta}$ se d\'eduit ais\'ement de la coassociativit\'e de $\Delta$. Le diagramme suivant
$$\xymatrix{\A \ar@{->}[rrr]^{\Delta} \ar@{->}[ddd]_{\Delta} \ar@{->}[rd]_p & & & \A \otimes_k \A \ar@{->}[ld]^{p \otimes p} \ar@{->}[ddd]^{{\rm id}_{\A} \otimes \Delta} \\ & \B \ar@{->}[r]^{\overline{\Delta}} \ar@{->}[d]_{\overline{\Delta}} & \B \otimes_k \B \ar@{->}[d]^{{\rm id}_{\B} \otimes \overline{\Delta}} & \\ & \B \otimes_k \B \ar@{->}[r]_{\overline{\Delta} \otimes {\rm id}_{\B}} & \B \otimes_k \B \otimes_k \B & \\ \A \otimes_k \A \ar@{->}[ru]^{p \otimes p} \ar@{->}[rrr]_{\Delta \otimes {\rm id}_{\A}} & & & \A \otimes_k \A \otimes_k \A \ar@{->}[lu]_{p \otimes p \otimes p} }$$ est en effet commutatif par construction de $\overline{\Delta}$ et donc \begin{eqnarray*} [(\overline{\Delta} \otimes {\rm id}_{\B}) \circ \overline{\Delta}] \circ p & = & (p \otimes p \otimes p) \circ [(\Delta \otimes {\rm id}_{\A}) \circ \Delta] \\ & = & (p \otimes p \otimes p) \circ [({\rm id}_{\A} \otimes \Delta) \circ \Delta] \\ & = & [({\rm id}_{\B} \otimes \overline{\Delta}) \circ \overline{\Delta}] \circ p. \end{eqnarray*}  L'identit\'e $({\rm id}_{\B} \otimes \overline{\Delta}) \circ \overline{\Delta} = (\overline{\Delta} \circ {\rm id}_{\B}) \circ \overline{\Delta}$ s'en d\'eduit puisque $p$ est une surjection.

\vspace{0.1cm} En proc\'edant de fa{\c c}on analogue, on prouve que la counit\'e $e^{*}$ et la coinversion $\iota$ de $\A$ induise respectivement des applications $k$-lin\'eaires $\overline{e}^* : \B \rightarrow k$ et $\overline{\iota} : \B \rightarrow \B$ v\'erifiant $\overline{e}^* \circ p = e^*$ et $p \circ \iota  = \overline{\iota} \circ p$, et telles que $(\B, \overline{\Delta}, \overline{e}^*, \overline{\iota})$ soit une big\`ebre.  On d\'esigne par $\G_{\Gamma}$ le sous-groupe de ${\rm GL}_n$ correspondant \`a ce quotient de $\A$.

\vspace{0.2cm} (ii) Par construction, $\G_{\Gamma}(k)$ est le sous-ensemble de ${\rm GL}_n(k)$ d\'efini par les \'equations $\underline{f}(s) = 0$, $f \in \mathfrak{I}$. L'inclusion $$\Gamma \subset \G_{\Gamma}(k)$$ est \'evidente puisque $\mathfrak{I}$ est par d\'efinition l'id\'eal des $f \in \A$ s'annulant identiquement sur $\Gamma$.

\vspace{0.2cm} (iii) Supposons qu'il existe un id\'eal $\mathfrak{J}$ de $\A$ tel que $$\Gamma = \{s \in {\rm GL}_n(k) \ | \ \underline(f)(s) = 0, \ \ \forall f \in \mathfrak{J}\}.$$ L'inclusion $\mathfrak{J} \subset \mathfrak{I}$ est \'evidente et implique $\G_{\Gamma}(k) \subset \Gamma$ ; comme on a toujours $\Gamma \subset \G_{\Gamma}(k)$, nous obtenons bien $$\Gamma = \G_{\Gamma}(k).$$ \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} L'assertion (ii) de la proposition pr\'ec\'edente a une cons\'equence qui m\'erite d'\^etre explicit\'ee.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 5.1.3}} --- \emph{Soit $\Gamma$ un sous-groupe de ${\rm GL}_n(k)$. D\'esignant par $\mathfrak{I}$ l'id\'eal des $f \in \A$ qui s'annulent identiquement sur $\Gamma$, le sous-ensemble $$\overline{\Gamma} = \{s \in {\rm GL}_n(k) \ | \ \underline{f}(s) = 0, \ \ \forall f \in \mathfrak{I}\}$$ de ${\rm GL}_n(k)$ est un sous-groupe contenant $\Gamma$.}

\vspace{0.3cm} On verra un peu plus loin que, lorsque $\mathfrak{I}$ parcourt l'ensembles des id\'eaux de $\A$, les parties de ${\rm GL}_n(k)$ de la forme $$\{s \in {\rm GL}_n(k) \ | \ \underline{f}(s) = 0, \ \ \forall f \in \mathfrak{I}\}$$ satisfont aux axiomes caract\'erisant les parties ferm\'ees d'une topologie sur ${\rm GL}_n(k)$, la \emph{topologie de Zariski}. De ce point de vue, le corollaire pr\'ec\'edent affirme que l'adh\'erence d'un sous-groupe de ${\rm GL}_n(k)$ est encore un sous-groupe.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(5.1.2)} Il reste \`a comparer les deux constructions dont nous disposons : \begin{itemize} \item[-] partant d'un sous-groupe $\G$ du groupe alg\'ebrique ${\rm GL}_n$, on consid\`ere le sous-groupe $\G(k)$ de ${\rm GL}_n(k)$ ;
\item[-] partant d'un sous-groupe $\Gamma$ de ${\rm GL}_n(k)$, on consid\`ere le sous-groupe ${\rm G}_{\Gamma}$ de ${\rm GL}_n$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} On sait d\'ej\`a que, pour tout sous-groupe $\Gamma$ de ${\rm GL}_n(k)$, $\G_{\Gamma}(k)$ est l'adh\'erence de $\Gamma$ dans ${\rm GL}_n(k)$ \'equip\'e de la topologie de Zariski.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.1.4}} --- \emph{Soit $\G$ un sous-groupe de ${\rm GL}_n$.
\begin{itemize}
\item[(i)] Le groupe alg\'ebrique $\G_{\G(k)}$ est un sous-groupe de ${\G}$.
\item[(ii)] Supposons que le corps $k$ soit \emph{alg\'ebriquement clos}. Pour que $\G_{\G(k)}$ co{\" \i}ncide avec $\G$, il faut et il suffit que la big\`ebre de $\G$ soit un anneau \emph{r\'eduit} (c'est-\`a-dire sans \'el\'ement nilpotent non nul). \end{itemize}}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) Soit $\mathfrak{J}$ l'id\'eal de $\A$ d\'efinissant le sous-groupe $\G$. Comme $$\G(k) = \{s \in {\rm GL}_n(k) \ | \ \underline{f}(s) = 0, \ \ \forall f \in \mathfrak{J}\},$$ $\mathfrak{J}$ est contenu dans l'id\'eal $\mathfrak{I}$ des $f \in \A$ s'annulant identiquement sur $\G(k)$ ; la big\`ebre $\A/\mathfrak{I}$ du groupe alg\'ebrique $\G_{\G(k)}$ est donc un quotient de la big\`ebre $\A/\mathfrak{J}$ de $\G$, ce qui signifie pr\'ecis\'ement que $\G_{\G(k)}$ est un sous-groupe de $\G$.

\vspace{0.1cm} (ii) Sans hypoth\`ese sur $k$,  ${\rm GL}_n(k)$ s'identifie naturellement \`a l'ensemble ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k)$ des homomorphismes de $k$-alg\`ebres de $\A$ dans $k$. Un tel homomorphisme est compl\`etement d\'etermin\'e par son noyau, lequel est un id\'eal maximal de $\A$ ; on obtient de la sorte une identification entre ${\rm GL}_n(k)$ et l'ensemble des id\'eaux maximaux $\mathfrak{m}$ de $\A$ tels que $\A/\mathfrak{m} = k$. Comme en outre l'\'evaluation $\underline{f}(s)$ d'un \'el\'ement $f$ de  $\A$ au point $s$ de ${\rm GL}_n(k)$ n'est autre que l'\'evaluation $s(f)$ de l'homomorphisme $s : \A \rightarrow k$ en $f$, la condition $\underline{f}(s) = 0$ signifie pr\'ecis\'ement que $f$ appartient \`a l'id\'eal maximal ${\rm ker}(s)$ de $\A$ correspondant \`a $s$.

Lorsque le corps $k$ est alg\'ebriquement clos, il d\'ecoule du Nullstellensatz (Appendice, 3) que \emph{tout} id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$ est tel que $\A/\mathfrak{m} = k$. D\'esignant toujours par $\mathfrak{J}$ l'id\'eal de $\A$ d\'efinissant $\G$, l'ensemble des \'el\'ements $f$ de  $\A$ qui s'annulent identiquement sur $\G(k)$ est par cons\'equent l'intersection de tous les id\'eaux maximaux de $\A$ contenant $\mathfrak{J}$, soit encore l'id\'eal $$\sqrt{\mathfrak{J}} = \{f \in \A \ ; \ \exists n \geqslant 0, \ \ f^n \in \mathfrak{J}\}$$ par une nouvelle application du Nullstellensatz. Le sous-groupe $\G_{\G(k)}$ de $\G$ correspondant par construction au quotient $\A/\sqrt{\mathfrak{J}}$ de $\A/\mathfrak{J}$, on obtient $\G = \G_{\G(k)}$ si et seulement si $\sqrt{\mathfrak{J}} = \mathfrak{J}$, donc si et seulement si l'anneau $\A/\mathfrak{J}$ est \emph{r\'eduit}. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples 5.1.5}} --- Il est facile d'illustrer la n\'ecessit\'e des diff\'erentes hypoth\`eses introduites en vue de comparer un sous-groupe de ${\rm GL}_n$ au sous-groupe $\G(k)$ de ${\rm GL}_n(k)$.

\vspace{0.1cm} a) Consid\'erons le groupe alg\'ebrique $\mathbf{\mu}_n$ sur $\mathbb{Q}$, que l'on voit comme un sous-groupe de ${\rm GL}_n$ en identifiant $\mathbf{\mu}_n(\R) = \{t \in \R \ | \ t^n = 1\}$ au groupe $\G$ des homoth\'eties ${\rm diag}(t, \ldots, t)$ de d\'eterminant $1$. Le sous-groupe $\Gamma = \G(\mathbb{Q})$ de ${\rm GL}_n(\mathbb{Q})$ est r\'eduit \`a l'identit\'e et $\G_{\Gamma}$ est le groupe trivial $\mathbf{1}$. Le groupe $\mathbf{\mu}_n$ est ainsi totalement annihil\'e si $n \geqslant 2$. Par contre, si l'on remplace $\mathbb{Q}$ par sa cl\^oture alg\'ebrique $\overline{\mathbb{Q}}$ dans $\mathbb{C}$, alors $\Gamma = \G(\overline{\mathbb{Q}})$ est le sous-groupe de ${\rm GL}_n(\overline{\mathbb{Q}})$ d\'efini par les \'equations $$\X_{ij} = 0 \ \ \textrm{ si } \ \ i \neq j, \ \ \X_{11}^n = 1, \ \ \X_{ii} - \X_{11} = 0 \ \ (1 \leqslant i \leqslant n) \ \ \textrm{ et } \ \  {\rm det}(\X_{ij}) = 1$$ et donc $\G_{\Gamma} \simeq \mathbf{\mu}_n$.

\vspace{0.1cm} b) Soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos de caract\'eristique $p > 0$. On consid\`ere le $k$-groupe alg\'ebrique $\alpha_p$, d\'efini par $\alpha_p(\R) = \{t \in \R \ | \ t^p = 0\}$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$. On voit $\alpha_p$ comme un sous-groupe de ${\rm GL}_2$ en identifiant $\alpha_p(\R)$ et le sous-groupe de ${\rm GL}_2(\R)$ constitu\'e des matrices $\left(\begin{array}{ll} 1 & t \\ 0 & 1\end{array} \right)$ avec $t^p = 0$. Le sous-groupe $\Gamma = \alpha_p(k)$ de ${\rm GL}_2(k)$ est r\'eduit \`a la matrice identit\'e et $\G_{\Gamma}$ est de nouveau le groupe trivial. La big\`ebre de $\alpha_p$ est l'anneau non r\'eduit $k[\T]/(\T^p)$.


\vspace{0.3cm} En vertu de la proposition pr\'ec\'edente, un sous-groupe $\G$ du groupe alg\'ebrique ${\rm GL}_n$ est enti\`erement  d\'etermin\'e par le sous-groupe $\G(k)$ de ${\rm GL}_n(k)$ lorsque le corps $k$ est alg\'ebriquement clos et la big\`ebre de $\G$ est un anneau r\'eduit.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 5.1.6}} --- \emph{Soit $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique du corps $k$. Un groupe alg\'ebrique $\G$ sur $k$ de big\`ebre $\A$ est dit \emph{lisse} si l'anneau $\A \otimes_k \overline{k}$ est r\'eduit.}

\vspace{0.2cm}

Signalons sans d\'emonstration le th\'eor\`eme important suivant, d\^u \`a P. \textsc{Cartier}.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 5.1.7}} --- \emph{Tout groupe alg\'ebrique sur un corps de caract\'eristique \emph{nulle} est lisse.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Voir [Milne], p. 22 ou [Waterhouse], p. 86. \hfill $\Box$

%\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice} --- Soit $k$ un corps \emph{infini}.
%\vspace{0.1} (i) Si $\Gamma = {\rm GL}_n(k)$, d\'emontrer que $\G_{\Gamma}$ est le groupe ${\rm GL}_n$.
%\vspace{0.1cm} (ii) Si $\Gamma = {\rm SL}_n(k)$, d\'emonter que $\G_{\Gamma}$ est le groupe ${\rm SL}_n$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(5.1.3)} Consid\'erons deux sous-groupes $\Gamma$ et $\Gamma'$ de ${\rm GL}_n(k)$ et ${\rm GL}_m(k)$ respectivement. \'Etant donn\'e un homomorphisme de groupes \og abstraits \fg \  $\varphi : \Gamma \rightarrow \Gamma'$, il est naturel de se demander s'il existe un homomorphisme de groupes alg\'ebriques $\Phi : \G_{\Gamma} \rightarrow \G_{\Gamma'}$ tel que $\varphi = \Phi_k$.

Notons  $\A$ (resp. $\A'$) la big\`ebre de ${\rm GL}_n$ (resp. de ${\rm GL}_m$) et soit $\mathfrak{I}$ (resp. $\mathfrak{I}'$) l'id\'eal de $\A$ (resp. $\A'$) d\'efinissant $\G_{\Gamma}$ (resp. $\G_{\Gamma'})$. Un homomorphisme de groupes alg\'ebriques $\Phi : \G_{\Gamma} \rightarrow \G_{\Gamma'}$ correspond \`a un homomorphisme de big\`ebres $\Phi^{*} : \A'/\mathfrak{I}' \rightarrow \A/\mathfrak{I}$ et, pour tout \'el\'ement $f$ de $\A'$,  $$\underline{\Phi^{*}(f)} = \underline{f} \circ \Phi_k$$ (identit\'e entre fonctions sur $\G_{\Gamma}(k)$). On obtient ainsi une condition n\'ecessaire \`a l'existence de $\Phi$ : l'application $${\rm Hom}_{\mathbf{Ens}}(\Gamma', k) \rightarrow {\rm Hom}_{\mathbf{Ens}}(\Gamma,k)$$ doit envoyer l'image de $\A'/\mathfrak{I}'$ dans l'image de $\A/\mathfrak{I}$. De mani\`ere imag\'ee : compos\'ee avec $\varphi$, toute fonction polynomiale sur $\Gamma'$ est une fonction  polynomiale sur $\Gamma$ (ici, \og polynomiale \fg \ veut dire \og polynomiale en les coefficients matriciels et l'inverse du d\'eterminant \fg).

\vspace{0.1cm} Il est ais\'e de voir que cette condition est \'egalement suffisante. En effet, si $\varphi : \Gamma \rightarrow \Gamma'$ est un homomorphisme de groupes tel que, pour tout $f \in \A'$, la fonction $\underline{f} \circ \varphi$ sur $\Gamma$ provienne d'un \'el\'ement de $\A$, ce dernier est uniquement d\'etermin\'e modulo l'id\'eal $\mathfrak{I}$ des \'el\'ement de $\A$ s'annulant identiquement sur $\Gamma$ et il existe donc un unique homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\Psi : \A' \rightarrow \A/\mathfrak{I}$ tel que $$\underline{f} \circ \varphi = \underline{\Psi(f)}$$ pour tout $f \in \A'$. Il s'agit automatiquement d'un homomorphisme de big\`ebres. Notant en effet $\Delta$ (resp. $\Delta'$) la comultiplication de $\A$ (resp. de $\A'$), \begin{eqnarray*} \underline{(\Delta \circ \Psi)(f)}(s,t) & = & \underline{\Psi(f)}(st) \\ & = & \underline{f}(\varphi(st)) \\ & = & \underline{f}(\varphi(s)\varphi(t)) \\  & = & \underline{((\Psi \otimes \Psi)\circ \Delta')(f)}(s,t) \end{eqnarray*} pour tous $s,t \in \Gamma$ et donc $$\Delta \circ \Psi = (\Psi \otimes \Psi) \circ \Delta'$$ en tant qu'homomorphismes de $\A' \otimes_k \A'$ dans $\A/\mathfrak{I} \otimes_k \A/\mathfrak{I}$ en vertu du lemme ci-dessous. Cette identit\'e \'etablit que l'homomorphisme $\Psi$ est compatible aux comultiplications ; un raisonnement analogue permet de v\'erifier que $\Psi$ est \'egalement compatible aux conuit\'es et aux coinversions, de sorte qu'il s'agit finalement d'un homomorphisme de big\`ebres. Finalement, l'homomorphisme de big\`ebres $\A'/\mathfrak{I}' \rightarrow \A/\mathfrak{I}$ induit par $\Psi$ d\'efinit un homomorphisme de groupes alg\'ebriques $\Phi : \G_{\Gamma} \rightarrow \G_{\Gamma'}$ tel que $\Phi_k = \varphi$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 5.1.8}} --- \emph{Avec les notations en vigueur, le noyau de l'application $$\A \otimes_k \A \rightarrow {\rm Hom}_{\mathbf{Ens}}(\Gamma \times \Gamma, k), \ \ \sum a_i \otimes b_i \mapsto \sum \underline{a_i}\underline{b_i}$$ est l'id\'eal $\mathfrak{I} \otimes_k \A + \A \otimes_k \mathfrak{I}$.}

\vspace{0.1cm}
\noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Soit $(a_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ une base du $k$-espace vectoriel $\A$ contenant une base $(a_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda_0}$ du sous-espace vectoriel $\mathfrak{I}$. Un \'el\'ement $f$ de $\A \otimes_k \A$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme $f = \sum_{(\lambda, \lambda') \in \Lambda^2} c_{\lambda, \lambda'} a_{\lambda} \otimes a_{\lambda'}$ avec $c_{\lambda, \lambda'} \in k$. Si $f$ s'annule identiquement sur $\Gamma \times \Gamma$, l'\'el\'ement $$\sum_{\lambda' \in \Lambda} \left(\sum_{\lambda \in \Lambda} c_{\lambda,\lambda'} \underline{a_{\lambda}}(s)\right) a_{\lambda'} = \sum_{(\lambda,\lambda') \in \Lambda} c_{\lambda, \lambda'} \underline{a_{\lambda}}(s) a_{\lambda'}$$ de $\A$ s'annule identiquement sur $\Gamma$ pour tout $s \in \Gamma$. Vu la d\'efinition de $\mathfrak{I}$, on en d\'eduit que $\sum_{\lambda} c_{\lambda, \lambda'} a_{\lambda}$ s'annule identiquement sur $\Gamma$ pour tout $\lambda' \in \Lambda - \Lambda_0$, puis $c_{\lambda, \lambda'} = 0$ pour tout couple $(\lambda, \lambda')$ appartenant \`a $(\Lambda - \Lambda_0)^2$. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} Nous pouvons r\'esumer et pr\'eciser la discussion qui pr\'ec\`ede.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.1.9}} --- \emph{\'Etant donn\'es des sous-groupes ferm\'es $\Gamma$ et $\Gamma'$ de ${\rm GL}_n(k)$, la correspondance $\Phi \mapsto \Phi_k$ \'etablit une bijection entre l'ensemble des homomorphismes de groupes alg\'ebriques $\G_{\Gamma} \rightarrow \G_{\Gamma}'$ et l'ensemble des homomorphismes de groupes $\Gamma \rightarrow \Gamma'$ transformant toute fonction polynomiale sur $\Gamma$ en une fonction polynomiale sur $\Gamma'$.}

\emph{En particulier : si le corps $k$ est alg\'ebriquement clos, tout homomorphisme d'un groupe alg\'ebrique lisse $\G$ dans un groupe alg\'ebrique $\Hr$ est compl\`etement d\'etermin\'e par l'homomorphisme qu'il induit de $\G(k)$ dans $\Hr(k)$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Pour ce qui est de la premi\`ere assertion, le seul point restant \`a v\'erifier est le fait qu'un homomorphisme $\Phi : \G_{\Gamma} \rightarrow \G_{\Gamma}$ est compl\`etement d\'etermin\'e par l'homomorphisme $\Phi_k$. C'est imm\'ediat : si $\Phi$ et $\Phi'$ sont deux homomorphismes tels que $\Phi_k = \Phi'_k$, alors $\underline{\Phi(f)} = \underline{\Phi'}(f)$ pour tout \'el\'ement $f$ de la big\`ebre de $\G_{\Gamma'}$, puis $\Phi(f) = \Phi'(f)$ par construction de $\G_{\Gamma}$ et donc finalement $\Phi = \Phi'$.

\vspace{0.1cm} La seconde assertion se d\'eduit ais\'ement de la premi\`ere : il suffit d'invoquer le th\'eor\`eme de Chevalley pour plonger $\Hr$ dans ${\rm GL}_n$ puis d'utiliser la proposition 5.1.4 pour \'ecrire les groupes lisses $\G$ et ${\rm GL}_n$ sous la forme $\G_{\Gamma}$ et $\G_{\Gamma'}$ avec $\Gamma = \G(k)$ et $\Gamma' = {\rm GL}_n(k)$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}} --- L'exponentielle d\'efinit un homomorphisme de groupes de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}^{\times}$ qui ne provient pas d'un homomorphisme de groupes alg\'ebriques $\mathbb{G}_{\rm a} \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}$ car la fonction polynomiale $\underline{\X}$ sur $\mathbb{C}^{\times}$ est transform\'ee en la fonction $t \mapsto e^t$ sur $\mathbb{C}$, laquelle n'est pas polynomiale. On sait d'ailleurs qu'il n'existe pas d'homomorphisme non trivial du groupe $\mathbb{G}_{\rm a}$ dans le groupe $\mathbb{G}_{\rm m}$ (Proposition 2.2.3).

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(5.1.4)} On peut illustrer les constructions pr\'ec\'edentes en associant un $k$-groupe alg\'ebrique $\underline{\Gamma}$ \`a tout groupe fini $\Gamma$ de telle sorte que $\underline{\Gamma}(k) = \Gamma$.

\vspace{0.2cm} Quel que soit le corps $k$, on sait en effet plonger tout groupe fini $\Gamma$ dans le groupe ${\rm GL}_n(k)$ avec $n = |\Gamma|$ : il suffit d'identifier $\Gamma$ \`a un sous-groupe du groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_n$, puis de plonger $\mathfrak{S}_n$ dans ${\rm GL}_n(k)$ de mani\`ere usuelle : \`a une permutation $\sigma$ correspond la matrice $m(\sigma)$ d\'efinie par $m(\sigma) e_i = e_{\sigma(i)}$ pour tout vecteur $e_i$ de la base canonique de $k^n$.

Par ailleurs, tout sous-ensemble \emph{fini} de ${\rm GL}_n(k)$ est d\'efini par des \'equations polynomiales : il suffit de le v\'erifier pour un ensemble r\'eduit \`a un point ---  car les parties de ${\rm GL}_n(k)$ d\'efinies par des \'equations polynomiales sont les ferm\'es d'une topologie sur ${\rm GL}_n(k)$ (cf. 5.2.1) --- auquel cas le r\'esultat est trivial puisque $\{s\}$ est le lieu des z\'eros des $n^2$ polyn\^omes $\X_{ij} - s_{ij}$. Vu la proposition 5.1.2, on d\'eduit de cette discussion que l'on peut attacher \`a tout groupe fini $\Gamma$ (plong\'e dans ${\rm GL}_n(k)$) un groupe alg\'ebrique $\G_{\Gamma}$ sur $k$ tel que $\G_{\Gamma}(k) = \Gamma$.

\vspace{0.2cm} Contrairement aux apparences, la construction pr\'ec\'edente est intrins\`eque : il suffit d'indexer les coefficients des matrices par les \'el\'ements de $\Gamma$, de sorte que la big\`ebre du groupe $\G_{\Gamma}$ soit un quotient de l'anneau $k[(\X_{\gamma \gamma'})_{(\gamma,\gamma') \in \Gamma^2}, \T]/({\rm det}(\X_{\gamma \gamma'})\T -1)$. Ceci dit, il s'av\`ere que l'on peut donner une description plus agr\'eable du groupe alg\'ebrique $\G_{\Gamma}$ (cf. Exercice 2, page 19). La $k$-alg\`ebre des fonctions sur $\Gamma$ \`a valeurs dans $k$ est munie d'une structure de $k$-big\`ebre comme suit : identifiant $k^{\Gamma} \otimes_k k^{\Gamma}$ et $k^{\Gamma \times \Gamma}$ via l'isomorphisme naturel $$k^{\Gamma} \otimes_k k^{\Gamma} \rightarrow k^{\Gamma \times \Gamma}, \ \ \sum a_i \otimes b_i \mapsto \sum a_ib_i,$$ on d\'efinit $\Delta$, $e^*$ et $\iota$ par les identit\'es suivantes : $$\Delta(f)(\gamma,\gamma') = f(\gamma \gamma'), \ \ \  e^*(f)(\gamma) = \delta_{\gamma, e} \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \iota^*(f)(\gamma) = f(\gamma^{-1}).$$

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{\emph{Proposition 5.1.10}} --- \emph{L'application canonique $$\Gamma \rightarrow \underline{\Gamma}(k) = {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(k^{\Gamma}, k), \ \ \ \gamma \mapsto (f \mapsto f(\gamma))$$ est un isomorphisme de groupes.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}.  L'injectivit\'e est \'evidente.

Les fonctions caract\'eristiques $(\mathbf{1}_{\gamma})_{\gamma \in \Gamma}$ constituent une base du $k$-espace vectoriel $k^{\Gamma}$ et v\'erifient $$\mathbf{1}_{\gamma}\mathbf{1}_{\gamma'} = \delta_{\gamma,\gamma'} \mathbf{1}_{\gamma}, \ \ \sum_{\gamma} \mathbf{1}_{\gamma} = 1.$$ Par suite, pour tout homomorphisme de $k$-alg\`ebres $u : k^{\Gamma} \rightarrow k$, $$u(\mathbf{1}_{\gamma})u(\mathbf{1}_{\gamma'}) = \delta_{\gamma, \gamma'} u(\mathbf{1}_{\gamma}) \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \sum_{\gamma} u(\mathbf{1}_{\gamma}) = 1$$ et il existe donc un unique $\gamma \in \Gamma$ tel que $u(\mathbf{1}_{\gamma}) \neq 0$ ; on a alors $u(\mathbf{1}_{\gamma}) = 1$ et donc finalement $u(f) = f(\gamma)$ pour toute fonction $f \in k^{\Gamma}$.

Enfin, cette application est bien un homomorphisme de groupes puisque $$f(\gamma \gamma') = \Delta(f)(\gamma, \gamma')$$ pour tous $\gamma, \gamma' \in k^{\Gamma}$, $f \in k^{\Gamma}$.
\hfill $\Box$



\subsection{La vari\'et\'e d'un groupe alg\'ebrique}

\vspace{0.1cm} On vient de voir qu'il est int\'eressant de consid\'erer les sous-ensembles de ${\rm GL}_n(k)$ d\'efinis par des \'equations polynomiales, c'est-\`a-dire de la forme $$\{s \in {\rm GL}_n(k) \ | \ \underline{f}(s) = 0, \ \ \forall f \in \mathfrak{I}\}$$ o\`u $\mathfrak{I}$ est un id\'eal de la big\`ebre $\A$ du groupe alg\'ebrique ${\rm GL}_n$.

L'ensemble ${\rm GL}_n(k)$ s'identifie naturellement \`a l'ensemble ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k)$ des homomorphismes de $k$-alg\`ebres de $\A$ dans $k$. \'Etant donn\'e $s \in {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k)$, l'application $\A/{\rm ker(s)} \hookrightarrow k$ induite par $s$ est un isomorphisme puisque $s(\lambda) = \lambda$ pour tout $\lambda \in k$ par $k$-lin\'earit\'e de $s$. Il d\'ecoule de cette observation que
\begin{itemize}
\item[(i)] le noyau de $s$ est un id\'eal maximal de $\A$ ;
\item[(ii)] l'homomorphisme $s$ est enti\`erement d\'etermin\'e par son noyau ${\rm ker}(s)$, car $s$ est le compos\'e de la projection canonique $\A \rightarrow \A/{\rm ker}(s)$ par l'inverse de l'isomorphisme canonique $\xymatrix{k \ar@{->}[r]^{\sim \hspace{0.5cm}} & \A/\mathrm{ker}(s)}$.
\end{itemize}
Notons que les conditions $\underline{f}(s)=0$ et $f \in {\rm ker}(s)$ sont tautologiquement \'equivalentes pour tous $f \in \A$, $s \in {\rm GL}_n(k)$.

\vspace{0.1cm}
Notant ${\rm Max}(\A)$ l'ensemble des id\'eaux maximaux de $\A$, nous obtenons ainsi une application \emph{injective} $${\rm GL}_n(k) = {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k) \rightarrow {\rm Max}(\A), \ \ \ s \mapsto {\rm ker}(s) = \{f \in \A \ | \ \underline{f}(s) = 0\}.$$ Lorsque le corps $k$ est alg\'ebriquement clos, cette application est surjective en vertu du Nullstellensatz ; en g\'en\'eral, il convient de remplacer ${\rm GL}_n(k)$ par ${\rm Max}(\A)$.

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{(5.2.1)} Soit $k$ un corps et soit $\A$ une $k$-alg\`ebre de type fini. On d\'esigne par ${\rm Max}(\A)$ l'ensemble des id\'eaux maximaux de $\A$. \'Etant donn\'e un id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$, on d\'esigne par $\V(\mathfrak{I})$ l'ensemble des id\'eaux maximaux $\mathfrak{m}$ de $\A$ contenant $\mathfrak{I}$ et on y pense comme le sous-ensemble de ${\rm Max}(\A)$ d\'efini par les \'equations $f = 0$, $f \in \mathfrak{I}$ ; ceci fait parfaitement sens si l'on d\'efinit $f(\mathfrak{m})$ comme l'image de $f$ dans le corps quotient $\A/\mathfrak{m}$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.2.1}} --- \emph{Il existe une unique topologie sur ${\rm Max}(\A)$ pour laquelle les parties ferm\'ees sont les sous-ensembles $\V(\mathfrak{I})$ de ${\rm Max}(\A)$ associ\'es aux id\'eaux $\mathfrak{I}$ de $\A$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. On a $\V(1) = \varnothing$ et $\V(0) = {\rm Max}(\A)$. Si $\mathfrak{I}$ et $\mathfrak{J}$ sont deux id\'eaux de $\A$, les conditions ($\mathfrak{I}\mathfrak{J} \subset \mathfrak{m}$) et ($\mathfrak{I} \subset \mathfrak{m}$ ou $\mathfrak{J} \subset \mathfrak{m}$) sont \'equivalentes (si $\mathfrak{I} \subsetneq \mathfrak{m}$ et $\mathfrak{J} \subsetneq \mathfrak{m}$, il existe $f \in \mathfrak{I}$ et $g \in \mathfrak{J}$ n'appartenant pas \`a $\mathfrak{m}$ et donc $fg \notin \mathfrak{m}$) ; par suite, $\V(\mathfrak{I}) \cup \V(\mathfrak{J}) = \V(\mathfrak{I}\mathfrak{J})$. Enfin, si $(\mathfrak{I}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$ est une famille d'id\'eaux de $\A$, $$\bigcap_{\lambda \in \Lambda} \V(\mathfrak{I}_{\lambda}) = \V\left(\sum_{\lambda \in \Lambda} \mathfrak{I}_{\lambda}\right).$$
Nous venons de v\'erifier que les parties de ${\rm Max}(\A)$ de la forme $\V(\mathfrak{I})$ satisfont aux conditions caract\'erisant les ferm\'es d'un espace topologique. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} La topologie que l'on vient de d\'efinir est appel\'ee \emph{topologie de Zariski}.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.2.2}} --- \emph{La correspondance $\mathfrak{I} \mapsto \V(\mathfrak{I})$ induit une bijection d\'ecroissante entre l'ensemble des id\'eaux de $\A$ \'egaux \`a leur racine et l'ensemble des parties ferm\'ees de ${\rm Max}(\A)$.}

\emph{Les id\'eaux \emph{premiers} correspondent aux ferm\'es non vides $\Y$ satisfaisant \`a la condition suivante : pour toute d\'ecomposition $\Y = \Y_1 \cup \Y_2$ de $\Y$ en la r\'eunion de deux ferm\'es non vides, $\Y = \Y_1$ ou $\Y = \Y_2$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. La premi\`ere assertion d\'ecoule directement du fait que, pour tout id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$, $$\bigcap_{\mathfrak{m} \in \V(\mathfrak{I})} \mathfrak{m} = \sqrt{\mathfrak{I}}$$ en vertu du Nullstellensatz (Appendice, 3).

\vspace{0.1cm} Soit $\mathfrak{I}$ un id\'eal \'egal \`a sa racine et soit $\Y = \V(\mathfrak{I})$. Pour que $\mathfrak{I}$ soit premier, il faut et il suffit que $\mathfrak{I}$ soit un id\'eal propre de $\A$ satisfaisant \`a la condition suivante : $a \in \mathfrak{I}$ ou $b \in \mathfrak{I}$ pour tous $a, b \in \A$ tels que $ab \in \mathfrak{I}$. La non vacuit\'e de $\V(\mathfrak{I})$ \'equivaut \`a la condition $\mathfrak{I} \subsetneq \A$ en vertu du th\'eor\`eme de Krull, tandis que la condition $\V(\mathfrak{I}) = \V(\mathfrak{I_1}) \cup \V(\mathfrak{I}_2) = \V(\mathfrak{I}_1\mathfrak{I}_2)$ se traduit par $\mathfrak{I} = \sqrt{\mathfrak{I}_1 \mathfrak{I}_2}$. La premi\`ere assertion permet de supposer $\mathfrak{I}_1$ et $\mathfrak{I}_2$ \'egaux \`a leur racine. Si $\V(\mathfrak{I}) \neq \V(\mathfrak{I}_1), \V(\mathfrak{I}_2)$, alors $\mathfrak{I} \subsetneq \mathfrak{I}_1, \ \mathfrak{I}_2$ et il existe donc $a \in \mathfrak{I}_1 - \mathfrak{I}, \ b \in \mathfrak{I}_2 - \mathfrak{I}$ ; comme $ab$ appartient \`a $\mathfrak{I}_1\mathfrak{I}_2 \subset \sqrt{\mathfrak{I}_1\mathfrak{I}_2} = \mathfrak{I}$, l'id\'eal $\mathfrak{I}$ n'est pas premier.

Si l'on suppose r\'eciproquement que $\mathfrak{I}$ n'est pas premier et que l'on consid\`ere $a, b \in \A - \mathfrak{I}$ tels que $ab \in \mathfrak{I}$, alors $\V(\mathfrak{I}) = \V(\mathfrak{I} + \A a) \cup \V(\mathfrak{I} + \A b)$ et $\V(\mathfrak{I} + \A a), \V(\mathfrak{I} + \A b) \neq \V(\mathfrak{I})$. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} Les ferm\'es de ${\rm Max}(\A)$ associ\'es aux id\'eaux \emph{premiers} de $\A$ sont dits \emph{irr\'eductibles}. Il s'agit de mani\`ere \'equivalente des parties ferm\'ees non vides $\Y$ de ${\rm Max}(\A)$ qui ne peuvent pas s'\'ecrire comme r\'eunion de deux ferm\'es propres et non vides. Vu la proposition pr\'ec\'edente, les ferm\'es irr\'eductibles maximaux (au sens de l'inclusion) sont pr\'ecis\'ement les parties de la forme $\V(\mathfrak{p})$, o\`u $\mathfrak{p}$ est un id\'eal premier \emph{minimal} de $\A$ ; il s'agit par d\'efinition des \emph{composantes irr\'eductibles} de ${\rm Max}(\A)$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.2.3}} --- \emph{L'ensemble $(\Y_i)_{i \in \I}$ des composantes irr\'eductibles de ${\rm Max}(\A)$ est fini et $${\rm Max}(\A) = \bigcup_{i \in \I} \Y_i.$$}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Supposons que l'espace topologique $\X = {\rm Max}(\A)$ ait une infinit\'e de composantes irr\'eductibles. Comme $\X$ n'est pas irr\'eductible, il existe deux parties ferm\'ees propres $\Y_1$ et $\Y_1'$ telles que $\X = \Y_1 \cup \Y_1'$ ; vu notre hypoth\`ese, l'un au moins de ces ferm\'es poss\`ede une infinit\'e de composantes irr\'eductibles. En it\'erant ce processus, on obtient une suite strictement d\'ecroissante $(\Y_n)_{n}$ de parties ferm\'ees de $\X$. En vertu de la proposition pr\'ec\'edente, chaque ferm\'e $\Y_n$ s'\'ecrit sous la forme $\Y_n = \V(\mathfrak{I}_n)$ pour un unique id\'eal $\mathfrak{I}_n$ de $\A$ \'egal \`a sa racine. La suite $(\mathfrak{I}_n)$ ainsi obtenue est strictement croissante ;  comme $\A$ est une $k$-alg\`ebre de type fini, c'est un anneau noeth\'erien et nous aboutissons \`a une contradiction. \

\vspace{0.1cm}
Il est d'autre part clair que ${\rm Max}(\A)$ est la r\'eunion de ses composantes irr\'eductibles car tout id\'eal maximal contient un id\'eal premier minimal. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Exemples 5.2.4}} --- 1. Si $\A = k[\T]$, les points de ${\rm Max}(\A)$ sont en bijection avec les polyn\^omes irr\'eductibles unitaires dans $k[\T]$ : \`a un tel polyn\^ome $f \in k[\T]$ correspond l'id\'eal maximal $(f)$.  On identifie naturellement $k$ \`a un sous-ensemble de ${\rm Max}(\A)$ via l'application $$k \rightarrow {\rm Max}(\A), \ \ \ t \mapsto (\T - t).$$ La topologie induite sur $k$ par celle de ${\rm Max}(\A)$ se d\'ecrit ais\'ement : les ferm\'es sont les parties de la forme $$\{t \in k \ | \ f(t) = 0, \ \ \forall f \in \mathfrak{I}\},$$ o\`u $\mathfrak{I}$ est un id\'eal de $k[\T]$. Comme l'anneau $k[\T]$ est principal, il s'agit de mani\`ere \'equivalente des ensembles de racines d'un polyn\^ome $f \in k[\T]$ ; outre les ferm\'es triviaux $k$ (correspondant \`a $f = 0$) et $\varnothing$ (pour $f = 1$), on obtient pr\'ecis\'ement tous les sous-ensembles \emph{finis} de $k$. On constate sur cet exemple que la topologie de Zariski est par nature assez grossi\`ere. Notons en outre que les ferm\'es irr\'eductibles de ${\rm Max}(\A)$ sont les points et l'espace tout entier car les id\'eaux premiers de $\A$ sont les id\'eaux maximaux et l'id\'eal nul.

\vspace{0.1cm} 2. Consid\'erons maintenant $\A = k[\T_1, \T_2]$ et supposons pour simplifier que le corps $k$ soit alg\'ebriquement clos. Comme ${\rm Max}(\A)$ s'identifie \`a $k^2$ en vertu du Nullstellensatz, cet ensemble ${\rm Max}(\A)$ est le produit cart\'esien des ensembles ${\rm Max}(k[\T_1])$ et ${\rm Max}(k[\T_2])$. Toutefois, la topologie de Zariski sur $k^2$ n'est \emph{pas} le produit des topologies de Zariski sur $k$ : en effet, les parties ferm\'es de cette derni\`ere sont, outre $k^2$ et $\varnothing$, les r\'eunions finies de parties de la forme $\{t_1\} \times k$, $k \times \{t_2\}$ ou $\{(t_1,t_2)\}$ avec $t_1, t_2 \in k$ tandis que, pour tout polyn\^ome $f(\T_1,\T_2) \in k[\T_1,\T_2]$, l'ensemble $\{(t_1,t_2) \in k^2 \ | \ f(t_1, t_2) = 0\}$ est un ferm\'e Zariski de $k^2$.

\vspace{0.3cm} Il est ais\'e d'exhiber une base d'ouverts pour la topologie de Zariski sur ${\rm Max}(\A)$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.2.5}} --- \emph{Les parties de ${\rm Max}(\A)$ de la forme $$\D(f) = \{ \mathfrak{m} \in {\rm Max}(\A) \ | \ f \notin \mathfrak{m}\} = {\rm Max}(\A) - \V(f)$$ sont des ouverts, dits \emph{principaux}, et constituent une base de la topologie de ${\rm Max}(\A)$.}

\vspace{0.1cm}
\noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Il est clair que les parties de ${\rm Max}(\A)$ de la forme $\D(f)$ sont ouvertes. Tout ouvert $\U$ de ${\rm Max}(\A)$ est de la forme ${\rm Max}(\A) - \V(\mathfrak{I})$ pour un certain id\'eal $\mathfrak{I}$. On a alors \begin{eqnarray*} \U & = & \{ \mathfrak{m} \in {\rm Max}(\A) \ | \ \mathfrak{I} \notin \mathfrak{m}\} \\ & = & \{\mathfrak{m} \in {\rm Max}(\A) \ | \ \exists f \in \mathfrak{I}, \ \ f \notin \mathfrak{m} \} \\ & = & \bigcup_{f \in \mathfrak{I}} \D(f) \end{eqnarray*} et $\U$ est donc bien une r\'eunion d'ouverts principaux. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} Une cons\'equence imm\'ediate de la proposition pr\'ec\'edente est la \emph{quasi compacit\'e} de l'espace topologique ${\rm Max}(\A)$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.2.6}} --- \emph{L'espace topologique ${\rm Max}(\A)$ est \emph{quasi compact} : tout recouvrement ouvert poss\`ede un sous-recouvrement fini.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Vu la proposition pr\'ec\'edente, il suffit de d\'emontrer que tout recouvrement $(\D(f_i))_{i \in \I}$ de ${\rm Max}(\A)$ par des ouverts principaux poss\`ede un sous-recouvrement fini. L'hypoth\`ese ${\rm Max}(\A) = \bigcup_{i \in \I} \D(f_i)$ signifie pr\'ecis\'ement qu'il existe, pour chaque id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$, un indice $i \in \I$ tel que $f_i \notin \mathfrak{m}$ ; il revient au m\^eme de dire que l'id\'eal $\sum_{i \in \I} \A f_i$ engendr\'e par les $f_i$ n'est contenu dans \emph{aucun} id\'eal maximal de $\A$. Comme tout id\'eal propre de $\A$ est contenu dans un id\'eal maximal (th\'eor\`eme de Krull), ceci se traduit encore par la condition $\sum_{i \in \I} \A f_i = \A$ et on en d\'eduit qu'il existe un sous-ensemble fini $\J$ de $\I$ tel que $$1 = \sum_{i \in \J} a_i f_i$$ avec $a_i \in \A$. En vertu de ce qui pr\'ec\`ede, la condition $\sum_{i \in \J} \A f_i = \A$ que l'on vient d'obtenir est \'equivalente au fait que ${\rm Max}(\A)$ soit recouvert par les ouverts principaux $\D(f_i)$, $i \in \J$, et nous avons ainsi extrait un sous-recouvrement fini de notre recouvrement initial. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque 5.2.7}} --- Comme le montre l'exemple 5.2.4, les ouverts de ${\rm Max}(\A)$ sont en g\'en\'eral trop gros pour que deux points distincts soient contenus dans deux ouverts disjoints et l'espace topologique ${\rm Max}(\A)$ n'est donc g\'en\'eralement pas s\'epar\'e. On dispose d'une condition de s\'eparation plus faible : \'etant donn\'es deux points distincts $\mathfrak{m}, \mathfrak{m}' \in {\rm Max}(\A)$, il existe un ouvert contenant l'un et non l'autre (il suffit de consid\'erer un \'el\'ement $f$ de $\mathfrak{m'}$ n'appartenant pas \`a $\mathfrak{m}$ : $\mathfrak{m} \in \D(f)$ et $\mathfrak{m'} \notin \D(f)$).


On peut d\'emontrer que l'espace topologique ${\rm Max}(\A)$ est s\'epar\'e si et seulement si tous les id\'eaux premiers de $\A$ sont maximaux.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(5.2.2)} Consid\'erons deux $k$-alg\`ebres de type fini $\A$, $\B$ ainsi qu'un $k$-homomorphisme $\varphi : \A \rightarrow \B$. Pour tout id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\B$, $\varphi^{-1}(\mathfrak{m})$ est un id\'eal maximal de $\A$ (cf. Appendice, 3, assertion (iii) du \emph{Nullstellensatz}) et l'on dispose donc ainsi d'une application naturelle $$^{a}\varphi : {\rm Max}(\B) \rightarrow {\rm Max}(\A), \ \ \ \mathfrak{m} \mapsto \varphi^{-1}(\mathfrak{m}).$$
Il est facile de voir qu'il s'agit d'une application \emph{continue} : pour tout id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$, \begin{eqnarray*} (^{a}\varphi)^{-1}(\V(\mathfrak{I}) & = & \{\mathfrak{m} \in {\rm Max}(\B) \ | \ \mathfrak{I} \subset ^{a}\varphi(\mathfrak{m})\} \\  & = & \{\mathfrak{m} \in {\rm Max}(\B) \ | \ \mathfrak{I} \subset \varphi^{-1}(\mathfrak{m})\} \\ & = & \{\mathfrak{m} \in {\rm Max}(\B) \ | \ \varphi(\mathfrak{I}) \subset \mathfrak{m}\}  \\ & = & \V(\varphi(\mathfrak{I})). \end{eqnarray*}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(5.2.3)} Si $\G$ est un groupe alg\'ebrique sur $k$ de big\`ebre $\A$, on pose $|\G| = {\rm Max}(\A)$ ; cet espace topologique est bien d\'efini \`a un hom\'eomorphisme pr\`es (deux big\`ebres de $\G$ sont canoniquement isomorphes). Tout homomorphisme $f : \G \rightarrow \Hr$ entre deux groupes alg\'ebriques sur $k$ induit naturellement une application continue $|f| : |\G| \rightarrow |\Hr|$.

Le groupe $\G(k)$ s'identifie natutellement au sous-ensemble de $|\G| = {\rm Max}(\A)$ constitu\'e des id\'eaux maximaux $\mathfrak{m}$ de $\A$ tels que $\A/\mathfrak{m} = k$.


\vspace{0.1cm} Le groupe $\G(k)$ op\`ere naturellement par hom\'eomorphismes sur l'espace topologique $|\G|$ : pour tout $s \in \G(k)$, l'application $$\lambda_s : \A \rightarrow \A, \ \ f \mapsto [{\rm mult} \circ  (s \otimes {\rm id}_{\A}) \circ \Delta](f)$$ est un automorphisme de $k$-alg\`ebres induisant un hom\'eomorphisme de $|\G|$. L'application induite sur le sous-ensemble $\G(k)$ de $|\G|$ n'est autre que la translation \`a gauche par $s$ en vertu de l'identit\'e $$\underline{f}(st) = \underline{\lambda_s(f)}(t)$$ pour tous $t \in \G(k), f \in \A$.

\subsection{Connexit\'e}


Int\'eressons-nous maintenant \`a la connexit\'e de l'espace topologique ${\rm Max}(\A)$.

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{(5.3.1)} Dans ce paragraphe, $\A$ d\'esigne toujours une alg\`ebre de type fini sur un corps $k$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.3.1}} --- \emph{L'espace topologique ${\rm Max}(\A)$ n'a qu'un nombre fini de composantes connexes.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. La d\'emonstration de la proposition 5.2.3 se transcrit mot pour mot en rempla{\c c}ant \og composante irr\'eductible \fg \ par \og composante connexe \fg. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 5.3.2}} --- \emph{Les composantes connexes de l'espace topologique ${\rm Max}(\A)$ sont ses parties ouvertes et ferm\'ees minimales.}

\vspace{0.3cm} Rappelons qu'un \'el\'ement $e$ de $\A$ est dit \emph{idempotent} si $e^2 =e$. Il est clair que $1$ et $0$ sont idempotents, et on dit que $\A$ n'a pas d'idempotent non trivial si ce sont les seuls.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.3.3}} --- \emph{La correspondance $e \mapsto \D(e)$ r\'ealise une bijection entre l'ensemble des \'el\'ements idempotents de $\A$ et l'ensemble des parties ouvertes et ferm\'ees de ${\rm Max}(\A)$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Soit $e$ un \'el\'ement idempotent de $\A$. Vu l'identit\'e $e(e-1) = 0$, chaque id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$ contient $e$ ou $1-e$ ; en outre, comme $1 = e + (1-e)$, $\mathfrak{m}$ ne peut contenir simultan\'ement $e$ et $e-1$. On a donc $$\D(e) = \V(e-1) \ \ \textrm{ et } \ \ {\rm Max}(\A) = \D(e) \sqcup \V(e) = \D(e) \sqcup \D(1-e) = \V(1-e) \sqcup \V(e), $$ ce qui montre que $\D(e)$ est une partie ouverte et ferm\'ee de ${\rm Max}(\A)$.

\vspace{0.1cm} Supposons que $e$ et $e'$ soient deux \'el\'ements idempotents de $\A$ tels que $\D(e) = \D(e')$. On a \'egalement $\V(e) = \V(e')$, ce qui signifie que les id\'eaux $\A e$ et $\A e'$ ont la m\^eme racine ; il existe donc un entier naturel $n \geqslant 0$ tel que $e^n \in \A e'$ et ${e'}^n \in \A e$, soit encore $e^n = a e'$ et ${e'}^n = be$ avec $a, b \in \A$. Comme $e^2 = e$ et ${e'}^2 = e'$, il vient $e =  a e'$ et $e' = be$, puis $$e = a {e'}^2 = (ae')(be) = abee' \ \ \textrm{ et } \ \ e' = be^2 = (be)(ae') = abee'$$ et donc $e = e'$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons enfin une partie ouverte et ferm\'ee $\Omega$ de ${\rm Max}(\A)$. Il existe par hypoth\`ese deux id\'eaux $\mathfrak{I}$ et $\mathfrak{J}$ de $\A$ tels que $\Omega = \V(\mathfrak{I}) = {\rm Max}(\A) - \V(\mathfrak{J})$. Les conditions $\V(\mathfrak{I}\mathfrak{J}) = \V(\mathfrak{I}) \cup \V(\mathfrak{J}) = {\rm Max}(\A)$ et $\V(\mathfrak{I} + \mathfrak{J}) = \V(\mathfrak{I}) \cap \V(\mathfrak{J}) = \varnothing$ sont respectivement \'equivalentes aux conditions $$\mathfrak{I}\mathfrak{J} \subset {\rm Nil}(\A) \ \ \textrm{ et } \ \ \mathfrak{I} + \mathfrak{J} = \A.$$ On en d\'eduit que l'on peut \'ecrire $1$ sous la forme $1 = a+b$ avec $a \in \mathfrak{I}$, $b \in \mathfrak{J}$ et $ab \in {\rm Nil}(\A)$. Choisissons en entier naturel $n \geqslant 0$ tel que $(ab)^n = 0$ et \'elevons l'identit\'e $a+b = 1$ \`a la puissance $2n$ pour obtenir $a^n u + b^n v = 1$. Posant alors $e = b^n v$, on obtient $e(1-e) = a^n u b^n v = 0$ et donc $e$ est idempotent. On a par ailleurs $\A e \subset \A b \subset \mathfrak{J}$ et $\A(1-e) \subset \A a \subset \mathfrak{I}$, d'o\`u $\V(\mathfrak{J}) \subset \V(e)$ et $\V(\mathfrak{I}) \subset \V(1-e)$ puis $${\rm Max}(\A) = \V(\mathfrak{I}) \sqcup \V(\mathfrak{J}) = \V(e) \sqcup \V(1-e)$$ et donc, finalement, $\D(e) = \V(1-e) = \V(\mathfrak{I}) = \Omega$.  \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 5.3.4}} --- \emph{Pour que l'espace topologique ${\rm Max}(\A)$ soit connexe, il faut et il suffit que l'anneau $\A$ ne poss\`ede pas d'\'el\'ement idempotent non trivial.}

\vspace{0.2cm} Un \'el\'ement idempotent $e$ de $\A$ est dit \emph{primitif} si $\D(e)$ est une composante connexe de ${\rm Max}(\A)$. Noter que, si $\A \neq 0$, alors $0$ n'est pas un idempotent primitif puisque $\D(0) = \varnothing$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 5.3.5}} --- \emph{Soit $(e_i)_{i \in \I}$ l'ensemble des idempotent primitifs de $\A$. L'application $$\A \prod_{i \in \I} \A e_i, \ \ a \mapsto (ae_i)_{i \in \I}$$ est un isomorphisme d'anneaux.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{D\'emonstration}. Les ouverts $\D(e_i)_{i \in \I}$ forment par hypoth\`ese une partition de ${\rm Max}(\A)$.
\begin{itemize} \item[-] La condition ${\rm Max}(\A) = \bigcup_{i \in \I} \D(e_i)$ \'equivaut \`a $\sum_{i \in \I} \A e_i = \A$.
\item[-] Si $i \neq j$, la condition $\D(e_i) \cap \D(e_j) = \varnothing$ \'equivaut \`a $e_ie_j \in {\rm Nil}(\A)$, soit encore $e_i e_j = 0$ puisque $(e_i e_j)^2 = e_i e_j$.
\end{itemize}
Le premier point permet d'\'ecrire $1$ sous la forme $1 = \sum_{i \in \I} a_i e_i$ avec $a_i \in \A$ et le second fournit les identit\'es $e_i = a_ie_i^2 = a_i$ pour tout $i \in \I$. On obtient ainsi $1 = \sum_{i \in \I} e_i^2 = \sum_{i \in \I} e_i$, et il est imm\'ediat d'en d\'eduire que l'application $$\A \rightarrow \prod_{i \in \I} \A e_i, \ \ \ a \mapsto (ae_i)_{i \in \I}$$ est bijective. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple 5.3.6}} --- L'\'equation $e(e-1) = 0$ n'a que les deux solutions \'evidentes $e = 0$ et $e= 1$ si l'anneau $\A$ est \emph{int\`egre}, de sorte que ${\rm Max}(\A)$ est alors connexe. Cette observation permet souvent de d\'emontrer la connexit\'e de ${\rm Max}(\A)$ : il suffit de prouver que $\A$ est un anneau int\`egre. Cette condition n'est toutefois pas n\'ecessaire : par exemple, si $p$ est un nombre premier, l'anneau $\A = \mathbb{F}_p[\T]/(\T^p -1)$ n'est pas int\`egre mais ${\rm Max}(\A)$ est connexe car cet ensemble est r\'eduit \`a l'unique id\'eal maximal de $\A$.


\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque 5.3.7}} --- Soit $\A$ une $k$-alg\`ebre de type fini et soit $\overline{k}/k$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k$. En g\'en\'eral, ${\rm Max}(\A)$ peut \^etre connexe sans que ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$ ne le soit. Il n'est pas difficile de donner un exemple : si $k = \mathbb{Q}$ et $\A = \mathbb{Q}[\X]/(\X^2+1)$, alors ${\rm Max}(\A)$ est connexe car l'anneau $\A$ est int\`egre mais ${\rm Max}(\A \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{\mathbb{Q}})$ n'est pas connexe car l'anneau
$$\A \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{\mathbb{Q}} \cong \overline{\mathbb{Q}}[\X]/(\X^2+1) \cong \overline{\mathbb{Q}} \times \overline{\mathbb{Q}}$$ contient un idempotent non trivial, par exemple l'\'el\'ement $(1,0)$ de $\overline{\mathbb{Q}} \times \overline{\mathbb{Q}}$ (correspondant \`a l'\'el\'ement $\frac{-1}{2} \X \otimes i + \frac{1}{2} 1 \otimes 1$ de $\A \otimes_{\mathbb{Q}} \overline{\mathbb{Q}}$).

\vspace{0.1cm} Toutefois, si ${\rm Max}(\A)$ est connexe, l'existence d'un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $s : \A \rightarrow k$ suffit \`a garantir la connexit\'e de $\A \otimes_k \overline{k}$. En effet, l'application naturelle $p : {\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k}) \rightarrow {\rm Max}(\A)$ envoie chaque composante connexe de ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$ \emph{surjectivement} sur ${\rm Max}(\A)$ (cf. Appendice, 3) et sa fibre au-dessus d'un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$ est en bijection avec l'ensemble des $k$-plongements du corps $\A/\mathfrak{m}$ dans $\overline{k}$ (idem). Comme $\A/{\rm ker}(s) = k$, il y a un \emph{unique} point dans ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$ au-dessus de $s$ et l'espace topologique ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$ est donc connexe.


%\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme}} --- \emph{Si ${\rm Max}(\A)$ est connexe et s'il existe un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $s : \A \rightarrow k$, alors ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$ est connexe.}

%\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. On commence par observer que l'application naturelle  $$p : {\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k}) \rightarrow {\rm Max}(\A), \ \ \mathfrak{m} \maspto \mathfrak{m} \cap \A$$ se restreint en une \emph{surjection} sur \emph{chaque} composante connexe de ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$. Soit en effet $k^{\rm s}$ la cl\^oture s\'eparable de $k$ dans $\overline{k}$ ; comme l'application naturelle $${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k}) \rightarrow {\rm Max}(\A \otimes_k k^s)$$ est un hom\'eomorphisme (cf. ???), il suffit de le v\'erifier en rempla{\c c}ant $\overline{k}$ par $k^{\rm s}$. L'extension $k^{\rm s}$ est galoisienne et le groupe de Galois ${\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$ op\`ere par hom\'eomorphismes sur ${\rm Max}(\A \otimes_k k^{\rm s})$. Ses orbites sont

%\vspace{0.1cm}

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{(5.3.2)} Consid\'erons maintenant un groupe alg\'ebrique $\G$ sur $k$ et d\'esignons par $\A$ sa big\`ebre. La counit\'e $e^* : \A \rightarrow k$ permet d'isoler canoniquement un idempotent primitif dans $\A$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.3.8}} --- \emph{(i) Il existe un unique idempotent primitif $e_0 \in \A$ tel que $e^{*}(e_0) =1$. \\
(ii) Le quotient de $\A$ par l'id\'eal $\mathfrak{I}_0 = \{a \in \A \ | \ ae_0 = 0\}$ est la big\`ebre d'un sous-groupe $\G^{0}$ de $\G$ tel que $|\G^0|$ soit la composante connexe $\D(e_0)$ de $|\G|$. Ce sous-groupe est la \emph{composante neutre} de $\G$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) Notons $(e_i)_{i \in \I}$ l'ensemble des idempotents primitifs de $\A$. Leurs images par l'homomorphisme $e^* : \A \rightarrow k$ sont des idempotents de $k$ tels que $e^*(e_i) e^*(e_j) = 0$ pour tous $i \neq j$ et $1 = \sum_{i \in \I} e^*(e_i)$. Utilisant le fait que $k$ est un anneau int\`egre, il existe un unique indice $i \in \I$ tel que $e^*(e_i) = 1$ et $e^{*}(e_j) = 0$ pour tout $j \in \I - \{i\}$.

\vspace{0.1cm} (ii) Notons $ p$ la projection canonique de $\A$ sur $\A/\mathfrak{I}_O$ et soit $\Delta$ la comultiplication de $\A$. La d\'ecomposition $\A \cong \prod_{i \in \I} \A e_i$ induit une d\'ecomposition de $\A \otimes_k \A$ sous la forme $$\A \otimes_k \A \cong \prod_{(i,j) \in \I^2} \A e_i \otimes e_j.$$ \'Etant donn\'e $f \in \mathfrak{I}_0$, $\Delta(f)$ s'\'ecrit sous la forme $\Delta(f) = a_{0,0} e_0 \otimes e_0 + \sum_{(i,j) \neq (0,0)} a_{ij} e_i \otimes e_j$ ; l'identit\'e $[{\rm mult} \circ ({\rm id}_{\A} \otimes e^{*}) \circ \Delta] = {\rm id}_{\A}$ implique alors $$ f = a_{00} e_0 + \sum_{(i,j) \neq (0,0)} a_{ij} e_i e^*(e_j) = a_{0,0}e_0  + \sum_{i \in \I - \{0\}} a_{i0} e_i$$ et donc $$a_{00} = fe_0 = 0.$$ Ce calcul \'etablit l'inclusion $\Delta(\mathfrak{I}_0) \subset \mathfrak{I}_0 \otimes_k \A + \A \otimes_k \mathfrak{I}_0$, de laquelle on d\'eduit que $\Delta$ induit une application $k$-lin\'eaire $\overline{\Delta} : \A/\mathfrak{I}_0 \rightarrow (\A/\mathfrak{I}_0) \otimes (\A/\mathfrak{I}_0)$ telle que $\overline{\Delta} \circ p = (p \otimes p) \circ \Delta$. La fin de la d\'emonstration est la m\^eme que pour la proposition 5.1.2.

\vspace{0.1cm} L'id\'eal $\mathfrak{I}_0$ d\'efinissant le sous-groupe $\G_0$ est par construction tel que $|\G^0| = \V(\mathfrak{I}_0) = \D(e_0)$.
\hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 5.3.9}} --- \emph{Un groupe alg\'ebrique $\G$ sur un corps $k$ est dit \emph{connexe} si l'espace topologique $|\G|$ est connexe ; il revient au m\^eme de dire que $\G$ co\"{\i}ncide avec sa composante neutre $\G^0$.}

%\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.3.10}} --- \emph{Pour qu'un $k$-groupe alg\'ebrique $\G$ soit connexe, il suffit que sa big\`ebre soit un anneau int\`egre. Si $\G$ est lisse, cette condition est \'egalement n\'ecessaire.}

%\noindent \vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Les anneaux int\`egres n'ayant pas d'idempotent non trivial, la condition est \'evidemment suffisante.

%\vspace{0.1cm} Supposons r\'eciproquement de $\G$ soit lisse et connexe et notons $\A$ sa big\`ebre. Comme $\G$ est lisse, l'anneau $\A$ est r\'eduit ; par suite, dire que $\A$ n'est pas int\`egre, c'est dire que $|\G| = {\rm Max}(\A)$ poss\`ede au moins deux composantes irr\'eductibles distinctes $\Y_1$ et $\Y_2$. On peut supposer que l'intersection $\Y_1\cap \Y_2$ est non vide : en effet, les composantes irr\'eductibles $\Y_1, \ldots, \Y_n$ de ${\rm Max}(\A)$ sont par d\'efinition ferm\'ees ; comme elles sont en nombre fini (proposition ), elles seraient ouvertes si elles \'etaient mutuellement disjointes, en contradiction avec la connexit\'e de ${\rm Max}(\A)$.

%\vspace{0.1cm}
%Heuristiquement, la fin de la d\'emonstration d\'ecoule du fait que les points appartenant \`a $\Y \cap \Y'$ sont \og singuliers \fg \ et ne peuvent exister car l'espace topologique $|\G|$ poss\`ede un caract\`ere  d'\og homog\'en\'eit\'e \fg \ en raison du fait que $\G$ est un groupe alg\'ebrique.

%Il est facile de donner un sens pr\'ecis \`a cette id\'ee sous les hypoth\`eses additionnelles suivantes : \begin{itemize} \item[-] $\Y_1 \cap \Y_2$ contient un point de $\G(k)$ ; \item[-] il existe un point de $\G(k)$ n'appartenant qu'\`a une seule composante irr\'eductible de $|\G|$. \end{itemize} En effet, l'action de $\G(k)$ par translation \`a gauche sur $|\G|$ permute les composantes irr\'eductibles $\Y_1, \ldots, \Y_n$ ; si $s$ est un \'el\'ement de $\G(k)$ appartenant \`a $\Y_1 \cap \Y_2$, alors tout \'el\'ement $t = (ts^{-1})s$ de $\G(k)$ appartient aux deux composantes irr\'eductibles distinctes $(ts^{-1})\Y_1$ et $(ts^{-1})\Y_2$ de $|\G|$.

%Le cas g\'en\'eral se traite en rempla{\c c}ant $k$ par une cl\^oture alg\'ebrique $\overline{k}$. Comme le groupe $\G$ est suppos\'e lisse, l'anneau $\A \otimes_k \overline{k}$ est encore r\'eduit. Le groupe $\G \otimes_k \overline{k}$ est connexe en vertu de la remarque ??? et les deux conditions ci-dessus sont trivialement v\'erifi\'ees puisque $|\G \otimes_k \overline{k}|$ s'identifie \`a $\G(\overline{k})$. On en d\'eduit que l'anneau $\A \otimes_k \overline{k}$ est int\`egre, et il en est de m\^eme du sous-anneau $\A$. \hfill $\Box$


\vspace{0.3cm} Nous terminons ce paragraphe en comparant la connexit\'e d'un sous-groupe de ${\rm GL}_n(k)$ et celle du groupe alg\'ebrique qui lui est associ\'e (cf. 5.1.1).

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.3.10}} --- \emph{Soit $\Gamma$ un sous-groupe de ${\rm GL}_n(k)$. Pour que le groupe alg\'ebrique $\G_{\Gamma}$ soit connexe, il faut et il suffit que $\Gamma$ soit une partie connexe de ${\rm GL}_n(k)$. En particulier : $\Gamma$ est connexe si et seulement si son adh\'erence $\overline{\Gamma}$ est connexe.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. La big\`ebre $\B$ du groupe $\G_{\Gamma}$ est par d\'efinition le quotient de la big\`ebre $\A$ de ${\rm GL}_n$ par l'id\'eal $\mathfrak{I}$ des $f \in \A$ s'annulant identiquement sur $\Gamma$. Si $\G_{\Gamma}$ n'est pas connexe, l'anneau $\B$ contient un idempotent non trivial $e$. Choisissant un \'el\'ement $\tilde{e}$ de $\A$ relevant $e$, l'identit\'e $e(e-1) = 0$ se traduit par $\tilde{e}(\tilde{e}-1) \in \mathfrak{I}$ et donc $\underline{\tilde{e}}(s) = 0$ ou $\underline{\tilde{e}(s)}= 1$ pour tout $s \in \Gamma$. En outre, aucune des fonctions $\underline{\tilde{e}}$ et $\underline{\tilde{e}} - 1$ n'est identiquement nulle sur $\Gamma$ car sinon $\tilde{e} \in \mathfrak{I}$ ou $\tilde{e}- 1 \in \mathfrak{I}$ (par d\'efinition de $\mathfrak{I}$) et donc $e= 0$ ou $e-1 = 0$. On obtient par cons\'equent une d\'ecomposition $$\Gamma = \Gamma \cap \{\underline{e} = 0\} \sqcup \Gamma \cap \{\underline{e} = 1\}$$ de $\Gamma$ en la r\'eunion de deux parties ferm\'ees disjointes, ce qui montre que $\Gamma$ n'est pas connexe.


\vspace{0.1cm} Supposons r\'eciproquement que $\Gamma$ ne soit pas connexe et consid\'erons deux ferm\'es propres $\Y_1, \ \Y_2$ de $\Gamma$ tels que $\Gamma = \Y_1 \sqcup \Y_2$. On a $\Y_1 = \V(\mathfrak{I}_1) \cap {\rm GL}_n(k)$ et  $\Y_2 = \V(\mathfrak{I}_2) \cap {\rm GL}_n(k)$ avec deux id\'eaux $\mathfrak{I}_1$ et $\mathfrak{I}_2$ de $\A$ \'egaux \`a leur racine. Les inclusions $\mathfrak{I} \subset \mathfrak{I}_1$ et $\mathfrak{I} \subset \mathfrak{I}_2$ sont strictes, de sorte qu'il existe des \'el\'ements $f_1$ et $f_2$ de $\A$ ne s'annulant pas identiquement sur $\Gamma$ tels que $\underline{f_1f_2}_{|\Gamma} = 0$. Par d\'efinition de l'id\'eal $\mathfrak{I}$, cette derni\`ere condition \'equivaut \`a $f_1f_2 \in \mathfrak{I}$ et l'anneau $\A/\mathfrak{I}$ n'est donc pas int\`egre ; comme cet anneau est par construction r\'eduit, il en d\'ecoule que l'espace topologique ${\rm Max}(\A)$ admet au moins deux composantes irr\'eductibles distinctes. Dans ces conditions, la conclusion d\'ecoule du lemme suivant. \hfill $\Box$


\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 5.3.11}} --- \emph{Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur un corps $k$. Si $\G$ est connexe, l'espace topologique $|\G|$ est irr\'eductible.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Supposons que l'espace topologique $|\G|$ soit r\'eductible. Les composantes irr\'eductibles de $|\G|$ \'etant ferm\'ees, elles ne peuvent \^etre mutuellement disjointes si $|\G|$ est connexe et il existe alors deux composantes irr\'eductibles distinctes $\Y$ et $\Y'$ telles que $\Y \cap \Y' \neq \varnothing$.

\vspace{0.1cm} La fin de la d\'emonstration consiste \`a justifier qu'une telle situation est impossible : les points de $\Y \cap \Y'$ sont trop \og singuliers \fg \ pour ne pas violer l'\og homog\'en\'eit\'e \fg \  de $|\G|$.

\vspace{0.1cm} Il est facile de donner un sens pr\'ecis \`a cette id\'ee sous les hypoth\`eses additionnelles suivantes : \begin{itemize} \item[-] $\Y \cap \Y'$ contient un point de $\G(k)$ ; \item[-] il existe un point de $\G(k)$ n'appartenant qu'\`a une seule composante irr\'eductible de $|\G|$. \end{itemize} En effet, l'action de $\G(k)$ par translation \`a gauche sur l'espace topologique $|\G|$ permute ses composantes irr\'eductibles ; si $s$ est un \'el\'ement de $\G(k)$ appartenant \`a $\Y \cap \Y'$, alors tout \'el\'ement $t = (ts^{-1})s$ de $\G(k)$ appartient aux deux composantes irr\'eductibles distinctes $(ts^{-1})\Y$ et $(ts^{-1})\Y'$ de $|\G|$.

\vspace{0.1cm}
Le cas g\'en\'eral se traite en rempla{\c c}ant $k$ par une cl\^oture alg\'ebrique $\overline{k}$ et en consid\'erant l'application naturelle $p : |\G \otimes_k \overline{k}| \rightarrow |\G|$, continue et surjective (cf. Appendice, 3) :

\begin{itemize} \item[-] si l'espace topologique $|\G|$ n'est pas irr\'eductible, il en est de m\^eme de $|\G \otimes_k \overline{k}|$ : \'etant donn\'es deux ferm\'es propres $\Y$ et $\Y'$ recouvrant $|\G|$, alors $p^{-1}(\Y)$ et $p^{-1}(\Y')$ sont deux ferm\'es propres recouvrant $|\G \otimes_k \overline{k}|$ ;
\item[-] le corps $\overline{k}$ \'etant alg\'ebriquement clos, $|\G \otimes_k \overline{k}|$ co\"{\i}ncide avec $\G(\overline{k})$ et les deux conditions introduites pr\'ec\'edemment sont donc remplies.
\end{itemize}
Vu ce qui pr\'ec\`ede, il en d\'ecoule de ces deux observations que le groupe $\G \otimes_k \overline{k}$ n'est pas connexe ; cette conclusion vaut \emph{a fortiori} pour le groupe $\G$ en vertu de la remarque 5.3.7.
\hfill $\Box$


\subsection{Exemples}

\noindent \textbf{(5.4.1)} (i) Le groupe $\mathbb{G}_{\rm a}$ est connexe car sa big\`ebre $k[\T]$ est un anneau int\`egre.

\vspace{0.2cm} (ii) Pour tout $n \geqslant 0$, le groupe ${\rm GL}_n$ est connexe car sa big\`ebre est un anneau int\`egre (Lemme 5.1.1).

\vspace{0.2cm} (iii) Pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, l'application $${\rm GL}_n(\R) \rightarrow {\rm SL}_n(\R) \times \mathbb{G}_{\rm m}(\R), \ \ \ g \mapsto ({\rm det}(g)^{-1}g, {\rm det}(g))$$
est une bijection fonctorielle. On a ainsi d\'efini un isomorphisme de foncteurs en ensembles $$\xymatrix{{\rm h}_{\B \otimes_k k[\X,\X^{-1}]} \ar@{->}[r]^{\sim} & {\rm h}_{\A}},$$ o\`u $\A$ et $\B$ sont les big\`ebres respectives de ${\rm GL}_n$ et de ${\rm SL}_n$. Via le lemme de Yoneda, on en d\'eduit que les $k$-alg\`ebres $\A$ et $\B[\X,\X^{-1}]$ sont isomorphes. Comme $\A$ est un anneau int\`egre, il en est de m\^eme pour l'anneau $\B$ et nous avons ainsi \'etabli la connexit\'e du groupe ${\rm SL}_n$.

\vspace{0.2cm} (iii) Soit $n \geqslant 2$ un entier naturel \'ecrit sous la forme $n = p^{\alpha} m$, o\`u $p$ est la caract\'eristique du corps $k$ et $m$ est premier \`a $p$ ; si $k$ est de caract\'eristique nulle, alors $m = n$. Pour que le groupe alg\'ebrique $\mathbf{\mu}_n$ soit connexe, il faut et il suffit que l'on ait $m \geqslant 2$. La big\`ebre de ce groupe est en effet l'anneau $k[\X]/(\X^n -1)$ dont les id\'eaux maximaux correspondent biunivoquement aux facteurs irr\'eductibles de $\X^n-1$ dans $k[\X]$ ; l'espace topologique discret ${\rm Max}(\A$ est donc connexe si et seulement si $\X^n -1 = (\X -1)^n$.

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{(5.4.2)} \emph{Connexit\'e de ${\rm GL}_n$} --- Nous allons donner une autre d\'emonstration de la connexit\'e du groupe alg\'ebrique ${\rm GL}_n$ reposant sur la \emph{d\'ecomposition de Bruhat}.

\vspace{0.2cm} Consid\'erons les sous-groupes alg\'ebriques suivants de ${\rm GL}_n$ :  $\T$ est le sous-groupe des matrices diagonales, $\B$ le sous-groupe des matrices triangulaires sup\'erieures et $\U$ le sous-groupe des matrices triangulaires sup\'erieures \`a diagonale identit\'e. On d\'esigne en outre par $\W$ le sous-groupe de ${\rm SL}_n(k)$ image de l'homomorphisme $$\mathfrak{S}_n \rightarrow {\rm GL}_n(k), \ \ \sigma \mapsto m(\sigma),$$ o\`u $m(\sigma)$ est la matrice de permutation d\'efinie par $m(\sigma) e_i = e_{\sigma(i)}$ pour tout vecteur $e_i$ de la base canonique de $k^n$.

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{Exemple}} --- Si $n = 2$, $\W$ est constitu\'e des matrices $$m(1) = \left(\begin{array}{ll} 1 &  0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ m(1,2) = \left( \begin{array}{ll} 0 & 1  \\ 1 & 0 \end{array} \right).$$ Si $n = 3$, $\W$ est constitu\'e des matrices $$m(1) = \left(\begin{array}{lll} 1 &  0  & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \ \ m(1,2) = \left(\begin{array}{lll} 0 &  1  & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \ \ m(1,3) = \left(\begin{array}{lll} 0 &  0  & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right), \ \ m(2,3) = \left(\begin{array}{lll} 1 &  0  & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ et $$m(1,2,3) = \left(\begin{array}{lll} 0 &  0  & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right),  \ \ m(1,3,2) = \left(\begin{array}{lll}  0 &  1  & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right).$$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 5.4.1}} --- \emph{Tout \'el\'ement $g$ de ${\rm GL}_n(k)$ s'\'ecrit sous la forme $$g = u m(\sigma) b$$ avec $u \in \U(k)$, $b \in \B(k)$ et $\sigma \in \mathfrak{S}_n$.}
\emph{La permutation $\sigma$ est uniquement d\'etermin\'ee par cette condition et peut \^etre d\'ecrite comme suit : pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, $\sigma(i)$ est le plus grand $j \in \{1, \ldots, n\}$ tel que le d\'eterminant mineur $$\left|\begin{array}{llll} g_{\sigma(1) 1} & g_{\sigma(1) 2} & \ldots & g_{\sigma(1) i} \\ g_{ \sigma(2) 1} & g_{\sigma(2) 2} & \ldots & g_{\sigma(2) i} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \vdots \\ g_{j 1} & g_{j 2} & \ldots & g_{j i}\end{array} \right|$$ soit non nul.}


\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Pour tous $i, j \in \{1, \ldots, n\}$ avec $i < j$ et tout $\lambda \in k$, notons $u_{ij}(\lambda)$ l'\'el\'ement de $\U(k)$ d\'efini par $$u_{ij}(\lambda) e_{\ell} = e_{\ell} + \delta_{j\ell} \lambda e_{j}.$$ Quelle que soit la matrice $g \in {\rm SL}_n(k)$, $u_{ij}(\lambda)g$ (resp. $gu_{ij}(\lambda)$) se d\'eduit de $g$ en rempla{\c c}ant la ligne $i$ par la combinaison lin\'eaire $(\textrm{ligne } i) + \lambda (\textrm{ligne } j)$ (resp. la colonne $j$ par la combinaison lin\'eaire $(\textrm{colonne } j) + \lambda (\textrm{colonne } i)$).

\vspace{0.1cm} Soit $\sigma(1)$ le plus grand \'el\'ement de $\{1,\ldots,n\}$ tel que $g_{\sigma(1) 1} \neq 0$. Utilisant ce coefficient comme pivot, il existe $u_1 \in \U(k)$ et $b_1 \in \B(k)$ tels la matrice $g_1 = u_1 g b_1$ v\'erifie les conditions suivantes : $$(g_1)_{\alpha 1} = \delta_{\sigma(1) \alpha} \ \ \ \textrm{ et } \ \ \  (g_1)_{\sigma(1) \beta} = \delta_{1 \beta}$$ pour tous $\alpha, \beta \in \{1, \ldots, n\}$.

\vspace{0.1cm} On d\'efinit alors $\sigma(2)$ comme le plus grand \'el\'ement de $\{1,\ldots, n\}$ tel que $(g_1)_{\sigma(2) 2} \neq 0$ ; noter que $\sigma(2)$ est distinct de $\sigma(1)$ puisque $(g_1)_{\sigma(1) 2} = 0$. On obtient de nouveau par pivot des matrices $u_2 \in \U(k)$ et $b_2 \in \B(k)$ telles que les deux premi\`eres colonnes de la matrice $g_2 = u_2 g_1 b_2$ co\"{\i}ncident avec celles d'une matrice de permutation envoyant $1$ sur $\sigma(1)$ et $2$ sur $\sigma(2)$. It\'erant ce processus, on d\'efinit de proche en proche une permutation $\sigma$ de $\{1, \ldots, n\}$ et on aboutit finalement \`a des matrices $u^{-1} = u_n \ldots u_2 u_1 \in \U(k)$ et $b^{-1}  = b_1 b_2 \ldots b_n \in \B(k)$ telles que $g = um(\sigma)b$. Il est clair que la permutation $\sigma$ obtenue par ce proc\'ed\'e est celle d\'ecrite dans l'\'enonc\'e.

\vspace{0.1cm} Finalement, si $\sigma$ et $\tau$ sont deux permutations telles que $um(\sigma) = m(\tau)b$ avec $u \in \U(k)$ et $b \in \B(k)$, alors $b = m(\tau^{-1})um(\sigma)$ ; cette matrice se d\'eduisant de $u$ en permutant les colonnes selon $\sigma$ et les lignes selon $\tau$, $b_{ij} = u_{\tau(i) \sigma(j)}$ pour tous $i, j \in \{1, \ldots, n\}$. En particulier, $u_{\tau(i) \sigma(i)} \neq 0$ pour tout $i$, donc $\tau(i) \leqslant  \sigma(i)$ et finalement $\tau = \sigma$. \hfill $\Box$



\vspace{0.2cm} Pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, on d\'esigne par $\Omega(\sigma)$ le sous-ensemble de ${\rm GL}_n(k)$ form\'e des \'el\'ements $g$ s'\'ecrivant sous la forme $g = u m(\sigma) b$ avec $u \in \U(k)$ et $b \in \B(k)$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 5.4.2}} --- \emph{L'ensemble $\Omega(\sigma)$ est une partie localement ferm\'ee non vide et connexe de ${\rm GL}_n(k)$ pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. Si $\sigma_0$ d\'esigne la permutation $(1,n)(2,n-1) \ldots$, alors $\Omega(\sigma_0)$ est une partie ouverte de ${\rm GL}_n(k)$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Vu la proposition pr\'ec\'edente, $\Omega(\sigma)$ est le sous-ensemble de ${\rm GL}_n(k)$ d\'efini par les conditions suivantes : $$\left|\begin{array}{llll} \X_{\sigma(1) 1} & \X_{\sigma(1) 2} & \ldots & \X_{\sigma(1) m} \\ \X_{\sigma(2) 1} & \X_{\sigma(2) 2} & \ldots & \X_{\sigma(2) m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \X_{j1} & \X_{j2} & \ldots & \X_{jm} \end{array} \right| = 0 \ \ \ (m \in \{1, \ldots, n\}, \ \ j > \sigma(m))$$ \textrm{et} $$\left|\begin{array}{llll} \X_{\sigma(1) 1} & \X_{\sigma(1) 2} & \ldots & \X_{\sigma(1) m} \\ \X_{\sigma(2) 1} & \X_{\sigma(2) 2} & \ldots & \X_{\sigma(2) m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \X_{j1} & \X_{\sigma(m)2} & \ldots & \X_{\sigma(m)m} \end{array} \right| \neq 0 \ \ \ (m \in \{1,\ldots, m\}).$$ Ainsi $\Omega(\sigma)$ est-elle une partie localement ferm\'ee de ${\rm GL}_n(k)$, non vide puisque contenant $m(\sigma)$.

\vspace{0.1cm} La connexit\'e de $\Omega(\sigma)$ se d\'eduit imm\'ediatement du fait qu'il s'agit de l'image de l'espace connexe $\U(k) \times \B(k)$ par l'application continue $$\U(k) \times \B(k) \rightarrow {\rm GL}_n(k),  \ \ (u,b) \mapsto um(\sigma)b.$$

\vspace{0.1cm} La permutation $\sigma_0$, correspondant \`a la matrice $$m(\sigma_0) = \left(\begin{array}{llll} 0 & 0 & \ldots & 1 \\ \vdots & \vdots & & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ 1 & 0 & \ldots & 0\end{array} \right),$$ est telle que $\sigma_0(1) = n$, $\sigma_0(2) = n-1, \ldots, \sigma_0(n) = 1$. Le sous-ensemble $\Omega(\sigma_0)$ est par suite d\'efini par les $n$ conditions suivantes : $$\left| \begin{array}{llll} \X_{\sigma(1) 1} & \X_{\sigma(1) 2} & \ldots & \X_{\sigma(1) m} \\ \X_{\sigma(2) 1} & \X_{\sigma(2) 2} & \ldots & \X_{\sigma(2) m} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \X_{\sigma(m)1} & \X_{\sigma(m)2} & \ldots & \X_{\sigma(m)m} \end{array} \right| \neq 0 \ \ \ (1 \leqslant m \leqslant n)$$ et il s'agit donc d'une partie ouverte de ${\rm GL}_n(k)$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire 5.4.3}} --- \emph{Le groupe alg\'ebrique ${\rm GL}_n$ est connexe.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. \'Etant donn\'ee une matrice $g \in {\rm GL}_n(k)$, une permutation de ses colonnes permet d'obtenir une matrice appartenant \`a $\Omega(\sigma_0)$ ; par suite, $${\rm GL}_n(k) = \bigcup_{\tau \in \mathfrak{S}_n} \Omega(\sigma_0) m(\tau).$$

\vspace{0.1cm} Si le corps $k$ est alg\'ebriquement clos, on construit ais\'ement une matrice appartenant simultan\'ement aux ouverts $\Omega(\sigma_0) m(\tau)$ et $\Omega(\sigma_0)$. La connexit\'e de ${\rm GL}_n(k)$ s'en d\'eduit alors imm\'ediatement puisque toute r\'eunion de parties connexes deux \`a deux non disjointes est connexe. En g\'en\'eral, cet argument fournit la connexit\'e de ${\rm GL}_n(\overline{k})$, o\`u $\overline{k}$ est une cl\^oture alg\'ebrique de $k$, et la connexit\'e du groupe alg\'ebrique ${\rm GL}_n$ s'en d\'eduit par application de la proposition 5.3.10. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \textbf{\emph{Exercices}} \textbf{1.} Justifier avec soin l'assertion suivante : si le corps $k$ est \emph{infini}, l'ouvert $\Omega(\sigma_0) \cap \Omega(\sigma_0) m(\tau)$ de ${\rm GL}_n(k)$ est non vide. (\emph{Indication} : on pourra rechercher une matrice appartenant \`a cet ouvert sous la forme $\lambda m(\sigma_0) + \mu m(\sigma_0\tau)$ avec $\lambda, \mu \in k$).

\vspace{0.2cm}
\textbf{2.} On peut ais\'ement adapter les arguments qui pr\'ec\`edent pour d\'emontrer que le groupe ${\rm SL}_n$ est connexe.

\vspace{0.1cm} (i) Quelle que soit la permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, d\'emontrer que $\Omega(\tau) \cap {\rm SL}_n$ est une partie localement ferm\'ee connexe et non vide de ${\rm GL}_n(k)$. (\emph{Indication} : examiner s\'epar\'ement le cas d'une permutation paire et celui d'une permutation impaire ; dans le second cas, on pourra faire intervenir la matrice $\chi = {\rm diag}(-1, 1, \ldots, 1)$ appartenant \`a $\B(k)$.)

\vspace{0.1cm} (ii) Montrer que $\Omega(\sigma_0) \cap \Omega(\sigma_0)m(\tau)$ rencontre ${\rm SL}_n(k)$ pour toute permutation $\tau$. En conclure que ${\rm SL}_n(k)$ est connexe.

\vspace{0.2cm} \textbf{3.} Soit $k$ un corps de caract\'eristique distincte de $2$ et soit $\V$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie $n$. On consid\`ere une forme quadratique non d\'eg\'en\'er\'ee $q$ sur $\V$ et on note $b$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique correspondante. On d\'esigne enfin par ${\rm O}(\V,q)$ le sous-groupe de ${\rm GL}(\V)$ constitu\'e des automorphismes $g$ tels que $q(g(x),g(y)) = q(x,y)$ pour tous $x, y \in \V$ et on pose ${\rm SO}(\V,q) = {\rm O}(\V,q) \cap {\rm SL}(\V)$.

\vspace{0.1cm} Si $x \in \V$ est un vecteur tel que $q(x) \neq 0$ (on dit que $x$ est \emph{non isotrope}), l'application $$r_x : \V \rightarrow \V, \ \ \ y \mapsto y - 2\frac{b(y,x)}{q(x)} x$$ est un \'el\'ement de ${\rm O}(\V,q)$, appel\'e \emph{r\'eflexion}.

\vspace{0.1cm} (i) On munit ${\rm GL}(\V)$ de la topologie de Zariski (via le choix d'une base de $\V$). V\'erifier que ${\rm O}(\V,q)$ et ${\rm SO}(\V,q)$ sont des sous-espaces ferm\'es.

\vspace{0.1cm} (ii) En consid\'erant l'homomorphisme ${\rm det} : {\rm O}(\V,q) \rightarrow k^{\times}$, d\'emontrer que le groupe ${\rm O}(\V,q)$ n'est pas connexe.

\vspace{0.1cm} (iii) D\'emontrer que le groupe ${\rm O}(\V,q)$ est engendr\'e par les r\'eflexions (cf. D. Perrin, \emph{Cours d'alg\`ebre}, Ellipses, Chap. VIII, th\'eor\`eme 5.7) et v\'erifier qu'un \'el\'ement de ${\rm O}(\V,q)$ appartient \`a ${\rm SO}(\V,q)$ si et seulement s'il est le produit d'un nombre pair de r\'eflexions.

\vspace{0.1cm} (iv) Le choix d'une base permet d'identifier $\V$ et $k^n$. \'Etant donn\'e en entier naturel $m \geqslant 0$, d\'emontrer que l'application $$\V^m \rightarrow {\rm O}(\V,q), \ \ (x_1, \ldots, x_n) \mapsto r_{x_1} \circ \ldots \circ r_{x_m}$$ est polynomiale en les coordonn\'ees sur $\V^m \simeq k^{nm}$. En d\'eduire que le groupe ${\rm SO}(\V,q)$ est connexe.

\vspace{1cm}

\section{Groupes r\'esolubles et groupes unipotents}

\subsection{Groupes alg\'ebriques r\'esolubles}

\noindent \textbf{(6.1.1)} On rappelle qu'un groupe $\Gamma$ est dit \emph{r\'esoluble} s'il existe une suite de composition $$\{e\} = \Gamma_0 \lhd \Gamma_1 \lhd \ldots \lhd \Gamma_{n-1} \lhd \Gamma_n = \Gamma$$ \`a quotients ab\'eliens. Cette condition peut se reformuler de mani\`ere l\'eg\`erement diff\'erente en introduisant le \emph{groupe d\'eriv\'e} de $\Gamma$, c'est-\`a-dire le sous-groupe $\D(\Gamma)$ engendr\'e par les commutateurs $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ ($x, y \in \Gamma$) ; ce sous-groupe est distingu\'e, le quotient $\Gamma/\D(\Gamma)$ est ab\'elien et $\D(\Gamma)$ peut en fait \^etre caract\'eris\'e comme le plus petit sous-groupe distingu\'e de $\Gamma$ \`a quotient ab\'elien. Soit $(\D^n(\Gamma))_{n \geqslant 0}$ la suite de sous-groupes de $\Gamma$ d\'efinie par $$\D^0(\Gamma) = \Gamma \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ \ \D^{n+1}(\Gamma) = \D(\D^n(\Gamma)).$$ Il est imm\'ediat de v\'erifier que le groupe $\Gamma$ est r\'esoluble si et seulement s'il existe un entier $n \geqslant 0$ tel que $\D^n(\Gamma) = \{e\}$.


\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{(6.1.2)} Passons maintenant aux groupes alg\'ebriques ; pour simplifier, nous nous limiterons aux groupes de matrices $\Gamma \subseteq {\rm GL}_n$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 6.1.1}} --- \emph{Soit $\Gamma$ un sous-groupe de ${\rm GL}_n(k)$ et soit $\overline{\Gamma}$ son adh\'erence ; on a $\D(\overline{\Gamma}) \subset \overline{\D(\Gamma)}$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Consid\'erons l'application continue $$\iota_n : \overline{\Gamma}^{2n} \rightarrow \overline{\Gamma}, \ \ (x_1,y_1, \ldots, x_n,y_n) \mapsto [x_1,y_1] \ldots [x_n,y_n].$$  L'image r\'eciproque du sous-groupe ferm\'e $\overline{\D(\Gamma)}$ de $\overline{\Gamma}$ contient le sous-ensemble $\Gamma^{2n}$ ; ce dernier \'etant dense dans $\overline{\Gamma}^{2n}$, $\iota_n (\overline{\Gamma}) \subset \overline{\D(\Gamma)}$ et donc $$\D(\overline{\Gamma}) = \bigcup_{n \geqslant 0} {\rm im}(\iota_n) \subset \overline{\D(\Gamma)}.$$ \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition 6.1.2}} --- \emph{Soit $\Gamma$ un sous-groupe de ${\rm GL}_n(k)$ et soit $\overline{\Gamma}$ son adh\'erence. \begin{itemize} \item[(i)] Pour que le groupe $\Gamma$ soit r\'esoluble, il faut et il suffit que $\overline{\Gamma}$ le soit.
\item[(ii)] Si $\Gamma$ est connexe, $\D(\Gamma)$ est connexe.
\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) En vertu du lemme pr\'ec\'edent, $$\D^n(\Gamma) \leqslant \D^n(\overline{\Gamma}) \leqslant \overline{\D^n(\Gamma)}$$ pour tout entier $n \geqslant 0$. Les conditions $\D^n(\Gamma) = \{e\}$ et $\D^n(\overline{\Gamma}) = \{e\}$ sont donc \'equivalentes.

\vspace{0.1cm} (ii) Consid\'erons de nouveau l'application continue $$\iota_n : \overline{\Gamma}^{2n} \rightarrow \overline{\Gamma}, \ \ (x_1,y_1, \ldots, x_n,y_n) \mapsto [x_1,y_1] \ldots [x_n,y_n].$$ Si $\Gamma$ est connexe, il en est de m\^eme de $\Gamma^{2n}$ et l'image de $\iota_n$ est donc une partie connexe de $\Gamma$. On en d\'eduit que $$\D(\Gamma) = \bigcup_{n \geqslant 0} {\rm im}(\iota_n),$$ r\'eunion d'une suite croissante de parties connexes de $\Gamma$, est connexe. \hfill $\Box$

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{(6.1.3)} Le sous-groupe $\Gamma = {\rm B}_n(k)$ de ${\rm GL}_n(k)$ form\'e des matrices triangulaires sup\'erieures est r\'esoluble. D\'esignons en effet par $(e_1, \ldots, e_n)$ la base canonique de $k^n$ et posons $\V_0 = \{0\}$, $\V_i = {\rm Vect}(e_1, \ldots, e_i)$ ($1 \leqslant i \leqslant n$). Le sous-groupe $\B_n(k)$ de ${\rm GL}_n(k)$ est constitu\'e des automorphismes $g$ tels que $g(\V_i) = \V_i$ pour tout $i$. \'Etant donn\'e $\ell \geqslant 0$, d\'efinissons $\Gamma_{\ell}$ comme le sous-groupe de $\B_n(k)$ constitu\'e des automorphismes $g \in B_n(k)$ op\'erant trivialement sur les quotients $\V_{i+\ell}/\V_i$ pour tout $i \geqslant 0$ (o\`u $\V_{m} = \V_n$ pour tout $m \geqslant n$) ; chacun de ces sous-groupes est distingu\'e dans $\B_n(k)$. Si $\ell \geqslant 1$, les \'el\'ements de $\Gamma_{\ell}$ sont les matrices triangulaires sup\'erieures \`a diagonale identit\'e dont les $\ell - 1$ premi\`eres surdiagonales sont nulles.

On a $\Gamma_{n} = \{e\}$, $\Gamma_0 = {\rm B}_n(k)$ et $$\xymatrix{\Gamma_{0}/\Gamma_{1}  \ar@{->}[r]^{\sim \hspace{2cm}} & \prod_{i=0}^{n-1} {\rm GL}(\V_{i+1}/\V_i) \simeq \prod_{i =0}^{n-1} k^{\times}}. $$ Lorsque $\ell \geqslant 1$,  $\Gamma_{\ell}/\Gamma_{\ell +1}$ est isomorphe au produit de $n-\ell$ copies du groupe additif $k$. Ainsi, les sous-groupes $\Gamma_{\ell}$ de $\Gamma$ d\'efinissent une suite de composition \`a quotients ab\'eliens et le groupe $\Gamma$ est par cons\'equent r\'esoluble.


\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 6.1.3}} ---  \emph{Supposons que le corps $k$ soit alg\'ebriquement clos. Tout sous-groupe connexe et r\'esoluble $\Gamma$ de ${\rm GL}_n(k)$ est conjugu\'e \`a un sous-groupe de ${\rm B}_n(k)$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Il suffit de d\'emontrer que les \'el\'ements de $\Gamma$ poss\`edent un vecteur propre commun dans  $k^n$. Comme le groupe $\overline{\Gamma}$ est \'egalement connexe et r\'esoluble en vertu des propositions 5.3.10 et 6.1.2, nous pouvons supposer que $\Gamma$ est ferm\'e. Dans ces conditions, la conclusion d\'ecoule directement du lemme suivant puisque $\D^m(\Gamma) = \{e\}$ pour $m$ assez grand. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 6.1.4}} --- \emph{Soit $\Gamma$ un sous-groupe ferm\'e et connexe de ${\rm GL}_n(k)$. Si le groupe $\D(\Gamma)$ stabilise une droite dans $k^n$, il en est de m\^eme du groupe $\Gamma$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Soit $v$ un vecteur non nul dans $\V$ tel que le groupe $\D(\Gamma)$ stabilise la droite $k v$ et soit $\chi_{v} : \D(\Gamma) \rightarrow k^{\times}$ l'homomorphisme de groupes (caract\`ere) d\'efini par l'identit\'e $$n v = \chi_v (n) v \ \ \ \ \ (n \in \D(\Gamma)).$$ Quels que soient $n \in \D(\Gamma)$ et $g \in \Gamma$, $g^{-1}ng$ appartient \`a $\D(\Gamma)$ et donc $$n (g v) = g (g^{-1}ng)v = g (\chi_v(g^{-1}ng) v) = \chi_v(g^{-1}ng) (gv).$$ Cette identit\'e montre que $g v$ est \'egalement un vecteur propre pour le groupe $\D(\Gamma)$, associ\'e au caract\`ere $$\chi_{gv} = \chi_v(g^{-1} \cdot g).$$ Le sous-groupe $\Gamma_0$ de $\Gamma$ constitu\'e des \'el\'ements $g$ tels que $\chi_{\rho(g)v} = \chi_v$ est ferm\'e : en effet, $\Gamma_0$ est l'intersection des sous-ensembles $$\{g \in \Gamma \ | \ \chi_{v}(g^{-1}ng) = \chi_v(n)\},$$ $n \in \D(\Gamma)$, lesquels sont ferm\'es car l'application $$\Gamma \rightarrow k, \ \ g \mapsto \chi_v(g^{-1}ng)$$ est polynomiale en les coefficients et l'inverse du d\'eterminant de $g$. Par ailleurs, $\Gamma_0$ est d'indice fini dans $\Gamma$ : en effet, puisque des vecteurs propres correspondant \`a des caract\`eres diff\'erents sont lin\'eairement ind\'ependants, la finitude de ${\rm dim}(\V)$ implique celle de l'ensemble $\{\chi_{gv}, \ g \in \Gamma\}$ et donc celle de l'indice $(\Gamma : \Gamma_0)$.

\vspace{0.1cm} Tout sous-groupe ferm\'e d'indice fini est \'evidemment ouvert ; comme $\Gamma$ est suppos\'e connexe, $\Gamma_0 = \Gamma$ et donc $\chi_{gv} = \chi_v$ pour tout $g \in \Gamma$. Par suite, $$n (gv) = \chi_v(n) (gv)$$ et donc chaque \'el\'ement $n$ de $\D(\Gamma)$ op\`ere comme une homoth\'etie sur le sous-espace vectoriel $\V = {\rm Vect}(gv, \ g \in \Gamma)$. Comme $\D(\Gamma)$ est engendr\'e par les commutateurs, $\chi_v(n)^{{\rm dim} \V} = {\rm det}(n_{|\V}) = 1$ pour tout $n \in \D(\Gamma)$ ; en outre, $\D(\Gamma)$ \'etant connexe, son image par $\chi_v$ est une partie connexe de $k^{\times}$ et donc $\chi_v(n) = 1$ pour tout $n \in \D(\Gamma)$. Le groupe $\D(\Gamma)$ op\`ere ainsi \emph{trivialement} sur $\V$, ce qui implique que le groupe $\Gamma$ op\`ere via le quotient $\Gamma/\D(\Gamma)$ ; ce dernier \'etant un groupe ab\'elien, il poss\`ede un vecteur propre dans $\V$ puisque le corps $k$ est suppos\'e alg\'ebriquement clos et nous obtenons ainsi un vecteur propre pour $\Gamma$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}} --- Les hypoth\`eses introduites dans le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent sont toutes n\'ecessaires.

\vspace{0.1cm} (i) Un sous-groupe d'un groupe r\'esoluble est r\'esoluble. Comme le groupe ${\rm B}_n(k)$ est r\'esoluble, il est n\'ecessaire de supposer que $\Gamma$ soit r\'esoluble.

\vspace{0.1cm}
(ii) \emph{Contre-exemple lorsque $k$ n'est pas alg\'ebriquement clos} : le sous-groupe de ${\rm GL}_2(\mathbb{R})$ constitu\'e des matrices de la forme $\left(\begin{array}{ll} a & -b \\ b & a \end{array}\right)$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ est ab\'elien, mais il n'est pas trigonalisable car la matrice $\left(\begin{array}{ll} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ n'a pas de valeur propre r\'eelle.

\vspace{0.1cm} (iii) \emph{Contre-exemple lorsque $\Gamma$ n'est pas connexe} : consid\'erons le sous-groupe $$\Gamma = \left\{\left(\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & a\end{array}\right) , \ \ \left(\begin{array}{ll} 0 & b \\ b & 0\end{array}\right) \ ; \ \ a, b \in k^{\times}\right\}$$  de ${\rm GL}_2(k)$ constitu\'e des matrices \emph{monomiales}. Notant $\Gamma_0$ le sous-groupe des matrices diagonales, on dispose d'une suite exacte courte $$\xymatrix{e \ar@{->}[r] & \Gamma_0 \ar@{->}[r] & \Gamma \ar@{->}[r] & \mathfrak{S}_2 \ar@{->}[r] & e}$$  montrant que $\Gamma$ est un groupe r\'esoluble. C'est \'egalement un groupe non connexe puisque $\Gamma_0$ est un sous-groupe ferm\'e propre d'indice fini. Le groupe $\Gamma$ n'est pas trigonalisable car il n'existe pas vecteur propre commun \`a toutes les matrices le constituant.


\subsection{Groupes alg\'ebriques unipotents}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 6.2.1}} --- \emph{Un sous-groupe $\Gamma$ de ${\rm GL}_n(k)$ est dit \emph{unipotent} si tous ses \'el\'ements sont unipotents.}

\vspace{0.2cm} Un exemple standard de groupe unipotent est le sous-groupe $\U_n(k)$ de ${\rm GL}_n(k)$ constitu\'e des matrices triangulaires sup\'erieures \`a diagonale unit\'e.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 6.2.2}} --- \emph{Tout sous-groupe unipotent de ${\rm GL}_n(k)$ est conjugu\'e \`a un sous-groupe de ${\rm U}_n(k)$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Il suffit de d\'emontrer qu'il existe un vecteur non nul $v \in k^n$ fix\'e par chaque \'el\'ement de $\Gamma$ : en effet, l'image de $\Gamma$ dans ${\rm GL}(k^n/kv)$ est un sous-groupe unipotent et on construit ainsi it\'erativement une base de $k^n$ dans laquelle les \'el\'ements de $\Gamma$ ont une matrice triangulaire sup\'erieure \`a diagonale identit\'e. On cherche donc \`a d\'emontrer que le sous-espace vectoriel $$\V = \{v \in k^n \ | \ (g - {\rm id})v = 0, \ \ g \in \Gamma\}$$ est non nul ; il suffit de le v\'erifier apr\`es extension des scalaires \`a une cl\^oture alg\'ebrique de $k$, ce qui permet de supposer que le corps $k$ est alg\'ebriquement clos. Enfin, si $\W$ est un sous-espace vectoriel non nul de $k^n$ stabilis\'e par $\Gamma$, l'image de $\Gamma$ dans ${\rm GL}(\W)$ est un sous-groupe unipotent et il est loisible de remplacer $k^n$ par $\W$ ; nous pouvons donc supposer que l'action de $\Gamma$ sur $k^n$ est \emph{irr\'eductible}, c'est-\`a-dire qu'il n'existe pas de sous-espace vectoriel propre et non nul stabilis\'e par $\Gamma$.

\vspace{0.1cm} Comme chaque \'el\'ement $g$ de $\Gamma$ est unipotent, ${\rm Tr}(g) = n$ et donc $${\rm Tr}(({\rm id} - g)g') = {\rm Tr}(g') - {\rm Tr}(gg') = 0$$ pour tous $g, g' \in \Gamma$. L'action de $\Gamma$ \'etant irr\'eductible et le corps $k$ \'etant alg\'ebriquement clos, il d\'ecoule du th\'eor\`eme de Burnside (lemme 6.2.3) que l'espace vectoriel ${\rm End}(k^n)$ est engendr\'e par l'image de $\Gamma$. Par suite, $${\rm Tr}(({\rm id} - g)u) = 0$$ pour tous $g \in \Gamma$ et $u \in {\rm End}(k^n)$, ce qui implique imm\'ediatement $g = {\rm id}_{\V}$. Ainsi, les hypoth\`eses que l'on a faites impliquent $\Gamma = \{e\}$ et l'existence d'un vecteur non nul fix\'e par $\Gamma$ est maintenant triviale.
\hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 6.2.3 (Th\'eor\`eme de Burnside)}} --- \emph{Soit $k$ un corps alg\'ebriquement et soit $\Gamma$ un groupe op\'erant sur un $k$-espace vectoriel de dimension finie. Si l'action de $\Gamma$ est irr\'eductible --- c'est-\`a-dire, s'il n'existe pas de sous-espace vectoriel propre et non nul $\Gamma$-invariant --- alors l'espace vectoriel ${\rm End}(\V)$ est engendr\'e par $\Gamma$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Il d\'ecoule de l'hypoth\`ese d'irr\'eductibilit\'e que la $k$-alg\`ebre $$\R = \{u \in {\rm End}(\V) \ | \ u\circ g = g \circ u, \ \ \forall g \in \Gamma\}$$ des endomorphismes commutant aux \'el\'ements de $\Gamma$ est une alg\`ebre \`a division (un corps gauche) : en effet, tout \'el\'ement non nul $u$ de $\R$ est inversible car son noyau, sous-espace vectoriel propre et $\Gamma$-invariant, est nul. Par ailleurs, tout \'el\'ement de $\R$ est alg\'ebrique sur $k$ en vertu du th\'eor\`eme de Cayley-Hamilton. Le corps $k$ \'etant alg\'ebriquement clos, ces deux observations impliquent $\R = k$ : les seuls endomorphismes de $\V$ commutant aux \'el\'ements de $\Gamma$ sont les homomoth\'eties.

\vspace{0.1cm} Il reste \`a appliquer le th\'eor\`eme du bicommutant (lemme 6.2.4) : le sous-espace vectoriel de ${\rm End}(\V)$ engendr\'e par $\Gamma$ est co{\" \i}ncide avec son bicommutant, c'est-\`a-dire avec le commutant de $\R$ dans ${\rm End}(\V)$ ; comme $\R = k$, il s'agit de l'espace vectoriel ${\rm End}(\V)$ tout entier. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Lemme 6.2.4 (Th\'eor\`eme du bicommutant)}} --- \emph{Soit $\V$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $k$ et soit $\Gamma$ un groupe d'automorphisme de $\V$. On d\'esigne par $\R$ la sous-$k$-alg\`ebre de ${\rm End}(\V)$ engendr\'ee par $\Gamma$ et on pose $$\R' = \{u \in {\rm End}(\V) \ | \ u g = g u, \ \ \forall g \in \R\} \ \ (\textrm{ commutant}),$$ $$\R'' = \{u \in {\rm End}(\V) \ | \ uv = vu, \ \ \forall v \in \R'\} \ \ (\textrm{ bicommutant}).$$ Si l'action de $\Gamma$ sur $\V$ est irr\'eductible, alors $\R'' = \R$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Posons $n = {\rm dim}(\V)$ et consid\'erons l'action naturelle de $\Gamma$ sur $\V^n$.

Tout sous-espace $\Gamma$-invariant $\W \subset \V^n$ admet un suppl\'ementaire $\Gamma$-invariant. D\'esignons en effet par $\V_i \simeq \V$ la composante d'indice $i$ dans $\V^n$ ($1 \leqslant i \leqslant n$) et soit $\J$ le plus grand sous-ensemble de $\{1,\ldots, n\}$ tel que $\W \cap \sum_{i \in \J} \V_i = \{0\}$. Posons $\W' = \sum_{i \in \J} \V_i$ et consid\'erons $i$ dans $\{1, \ldots, n\} - \J$. Comme $(\W + \W') \cap \V_i$ est un sous-espace $\Gamma$-invariant de $\V_i$, $\W \cap \V_i = \{0\}$ ou $\W \cap \V_i = \V_i$ en vertu de l'hypoth\`ese d'irr\'eductibilit\'e ; le premier cas de figure \'etant exclu par maximalit\'e de $\J$, nous obtenons finalement $\W + \W' = \V^n$ et $\W'$ est ainsi un suppl\'ementaire $\Gamma$-invariant de $\W$.

\vspace{0.1cm} Identifions maintenant ${\rm End}(\V^n)$ et ${\rm M}_n({\rm End}(\V))$. Un \'el\'ement $g$ de $\R$ agissant diagonalement sur $\V^n$ d\'efinit un endomorphisme de $\V^n$ correspondant \`a la matrice diagonale par blocs ${\rm diag}(g, \ldots, g) \in {\rm M}_n({\rm End}(\V))$ ; par suite, les endomorphismes de $\V^n$ commutant aux \'el\'ements de $\Gamma$ correspondent aux \'el\'ements de ${\rm M}_n(\R')$. Enfin, il et clair que toute matrice diagonale par blocs dans ${\rm M}_n({\rm End}(\V))$ de la forme ${\rm diag}(v, \ldots, v)$ avec $v \in \R''$ d\'efinit un endomorphisme de $\V^n$ appartenant au bicommutant de $\Gamma$ dans ${\rm End}(\V^n)$.

\vspace{0.1cm} On consid\`ere une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\V^n$ et on d\'esigne par $\W$ le sous-espace vectoriel $\Gamma$-invariant de $\V^n$ engendr\'e par le  vecteur $\mathbf{e} = (e_1, \ldots, e_n)$ ; $\W = \R \mathbf{e}$. Dire que $\W$ admet un suppl\'ementaire $\Gamma$-invariant revient \`a dire qu'il existe un projecteur $\pi \in {\rm End}(\V^n)$ d'image $\W$ qui commute aux \'el\'ements de $\Gamma$. D'apr\`es ce que l'on vient de dire, $\pi \circ v = v \circ \pi$ pour tout \'el\'ement $v$ de $\R''$ op\'erant diagonalement sur $\V^n$ ; par suite, $v(\mathbf{e}) = \pi(v(\mathbf{e}))$ appartient \`a $\W$ et il existe donc $g \in \R$ tel que $g(\mathbf{e}) = v(\mathbf{e})$ ; on a ainsi $v(e_i) = g(e_i)$ pour tout $i$, d'o\`u finalement $v = g$. \hfill $\Box$

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{\emph{Exercices}} --- \textbf{1.} Soit $\Gamma$ un sous-groupe unipotent ${\rm GL}_n(k)$. Si $\Gamma \neq \{e\}$, d\'emontrer qu'il existe un homomorphisme non trivial $\G_{\Gamma} \rightarrow \mathbb{G}_{\rm a}$, o\`u $\G_{\Gamma}$ est le groupe alg\'ebrique associ\'e \`a $\Gamma$ (cf. 5.1).

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{2.} Soit $k$ un corps de caract\'eristique $p >0$ et soit $\W$ le $k$-groupe alg\'ebrique tel que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, $\W(\R)$ soit l'ensemble $\R^2$ muni de la loi de groupe d\'efinie par $$(x,y)(x',y') = (x+x', y+ y' + \Phi(x,x')),$$ o\`u $\Phi$ est le polyn\^ome \`a coefficients entiers d\'efini par la relation $$(\U + \V)^p = \U^p + \V^p + p\Phi(\U,\V).$$


\vspace{0.1cm} (i) D\'emontrer que $\W$ est isomorphe \`a un sous-groupe de ${\rm GL}_{p+1}$. Expliciter un tel plongement pour $p=2$ et $p=3$.

\vspace{0.1cm} (ii) D\'emontrer que, pour toute repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie $\rho : \W \rightarrow {\rm GL}(\V)$ et tout $g \in \W(k)$, l'automorphisme $\rho_k(g)$ est unipotent.

\vspace{0.1cm} (iii) D\'emontrer que l'application $$\W(k) \rightarrow \W(k), \ \ g \mapsto g^p$$ est un homomorphisme de groupes de noyau non trivial. En d\'eduire que $\W$ n'est pas isomorphe au groupe $\mathbb{G}_{\rm a} \times \mathbb{G}_{\rm a}$.

\vspace{0.2cm} \textbf{3.} Soit $\Gamma$ un sous-groupe ferm\'e de ${\rm GL}_n(k)$,  connexe et r\'esoluble, et soit $\Gamma_u$ le sous-ensemble form\'e des \'el\'ements unipotents.

\vspace{0.1cm} (i) D\'emontrer que $\Gamma_u$ est un sous-groupe ferm\'e de $\Gamma$. (\emph{Indication} : consid\'erer une cl\^oture alg\'ebrique $\overline{k}$ de $k$ et travailler dans ${\rm GL}_n(\overline{k})$)

\vspace{0.1cm} (ii) Si l'on suppose que tous les \'el\'ements de $\Gamma$ sont semi-simples, d\'emontrer que $\Gamma$ est commutatif.

%\section{Alg\`ebres de Lie}

%\subsection{L'alg\`ebre de Lie d'un groupe alg\'ebrique}

%\subsection{Repr\'esentations lin\'eaires}

%\subsection{Le cas de ${\rm SL_2}$}

\newpage

\section*{Appendice : notions d'alg\`ebre commutative
et de g\'eom\'etrie alg\'ebrique}

On renvoie pour toutes les questions d'alg\`ebre commutative au livre \emph{Intoduction to Commutative Algebra} de M.F. Atiyah et I.G. Macdonald.

\subsection*{1. D\'efinitions g\'en\'erales}

Tout anneau poss\`ede un \'el\'ement unit\'e, not\'e $1$. Sauf mention expresse du contraire, tous les anneaux consid\'er\'es sont \emph{commutatifs}.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{(1.1)} \emph{Alg\`ebres} --- Si $k$ est un anneau, une $k$-\emph{alg\`ebre} est la donn\'ee d'un anneau $\A$ et d'un homomorphisme d'anneaux $\xymatrix{k \ar@{->}[r]^u & \A.}$ Un \emph{homomorphisme} de $k$-alg\`ebres $f : (\A,u) \rightarrow (\B,v)$ est un homomorphisme d'anneaux $f : \A \rightarrow \B$ tel que $f \circ u = v$, c'est-\`a-dire tel que le diagramme $$\xymatrix{\A \ar@{->}[rr]^f & & \B \\ & k \ar@{->}[ul]^u \ar@{->}[ur]_v &}$$ soit commutatif. Formulation \'equivalente : les homomorphismes $u$ et $v$ permettent de faire de voir $\A$ et $\B$ comme des $k$-modules, et un homomorphisme de $k$-alg\`ebres est alors un homomorphisme d'anneaux $k$-lin\'eaire.

Les $k$-alg\`ebres et leurs homomorphismes forment une sous-cat\'egorie de la cat\'egorie des anneaux, que l'on note $\mathbf{Alg}_k$ ou $k-\mathbf{alg}$. En g\'en\'eral, si $(\A,u)$ est une $k$-alg\`ebre, on omet de mentionner l'homomorphisme $u$ et on parle simplement de la $k$-alg\`ebre $\B$.

\vspace{0.2cm} Voici un exemple fondamental de $k$-alg\`ebre : \'etant donn\'e un ensemble $\I$ et une famille d'ind\'etermin\'ees $(\X_i)_{i \in \I}$, l'anneau de polyn\^omes $k[(\X_i)_{i \in _I}]$ muni de l'homomorphisme canonique $k \rightarrow k[(\X_i)_{i \in _I}]$ (envoyant $\lambda \in k$ sur le polyn\^ome constant \'egal \`a $\lambda$) est une $k$-alg\`ebre. Cette $k$-alg\`ebre v\'erifie la propri\'et\'e universelle suivante : pour toute $k$-alg\`ebre $\A$, l'application $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(k[(\X_i)_{i \in \I}], \A) \rightarrow \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}}(\I,\A), \ \ f \mapsto f(\X_i)$$ est une bijection. En d'autres termes : si l'on d\'esigne par $\chi$ l'application $(\I \rightarrow k[(\X_i)_{i \in \I}], \ i \mapsto \X_i)$, le couple $(k[(\X_i)_{i \in \I}], \chi)$ repr\'esente le foncteur $$\mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \A \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}}(\I,\A).$$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{(1.2)} \emph{\'El\'ements nilpotents, diviseurs de z\'ero} --- Soit $\A$ un anneau. Un \'el\'ement $a$ de $\A$ est dit \emph{nilpotent} s'il existe un entier $n \geq 1$ tel que $a^n =0$. En vertu de la formule du bin\^ome, les \'el\'ements nilpotents constituent un id\'eal de $\A$, appel\'e \emph{nilradical} de $\A$ et not\'e $\mathfrak{N}(\A)$. On dit que l'anneau $\A$ est \emph{r\'eduit} s'il ne contient pas d'\'el\'ement nilpotent non nul, c'est-\`a-dire si $\mathfrak{N}(\A) = \{0\}$.

\vspace{0.2cm} Un \emph{diviseur de z\'ero} dans $\A$ est un \'el\'ement $a$ de $\A$ tel qu'il existe $b \in \A - \{0\}$ v\'erifiant $ab = 0$. On dit que l'anneau $\A$ est \emph{int\`egre} s'il est \emph{non nul} et s'il ne poss\`ede pas de diviseur de z\'ero. (On rappelle que l'anneau nul est le singleton $\{0\}$, muni de la structure d'anneau d\'efinie par $0+0=0-0 = 0$ et $1=0$.)

De mani\`ere \'evidente, tout anneau int\`egre est r\'eduit.

\vspace{0.2cm} Un \emph{corps} est un anneau int\`egre dans lequel tout \'el\'ement non nul est inversible.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{(1.3)} \emph{Id\'eaux premiers, maximaux} --- Soit $\A$ un anneau.

\vspace{0.1cm}
Un id\'eal $\mathfrak{p}$ de $\A$ est \emph{premier} si l'anneau quotient $\A/\mathfrak{p}$ est int\`egre. Cela revient manifestement \`a dire que $\mathfrak{p}$ est un id\'eal \emph{propre} (i.e. $\mathfrak{p} \neq \A$) tel que, pour tous $a,b \in \A$, si $ab \in \mathfrak{p}$ alors $a \in \mathfrak{p}$ ou $b \in \mathfrak{p}$.

\vspace{0.1cm}
Un id\'eal $\mathfrak{m}$ de $\A$ est \emph{maximal} si l'anneau quotient $\A/\mathfrak{m}$ est un corps. On v\'erifie facilement que ceci \'equivaut \`a dire que $\mathfrak{m}$ est un \'el\'ement maximal de l'ensemble des id\'eaux propres de $\A$ ordonn\'e par inclusion. Noter que tout id\'eal maximal est \emph{a fortiori} un id\'eal premier.

\vspace{0.2cm} Le \emph{spectre premier} de $\A$ est l'ensemble de ses id\'eaux premiers ; on le note $\mathrm{Spec}(\A)$. Le \emph{spectre maximal} de $\A$ est l'ensemble de ses id\'eaux maximaux ; on le note $\mathrm{Spm}(\A)$.

\vspace{0.1cm}
En utilisant le lemme de Zorn, on d\'emontre que tout id\'eal propre de $\A$ (c'est-\`a-dire distinct de $\A$) est contenu dans un id\'eal maximal de $\A$. En appliquant ceci \`a l'id\'eal $(0)$, on en d\'eduit que les trois conditions suivantes sont \'equivalentes : (i) $\mathrm{Spec}(\A) = \varnothing$, (ii) $\mathrm{Spm}(A) = \varnothing$ et (iii) $\A = \{0\}$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{(1.4)} \emph{Modules} --- Si $\A$ est un anneau, on note $\mathrm{Mod}(\A)$ la cat\'egorie des $\A$-modules (les fl\`eches sont les applications $\A$-lin\'eaires).

\'Etant donn\'e un ensemble $\I$, on d\'esigne par $\A^{(\I)}$ l'ensemble des applications $c : \I \rightarrow \A$ qui s'annulent sur le compl\'ementaire d'un sous-ensemble fini de $\I$. On munit $\A^{(\I)}$ d'une structure de $\A$-module en posant $(c+c')(i) = c(i) + c'(i)$ et $(ac)(i) = ac(i)$. Tout \'el\'ement $c$ de $\A^{(\I)}$ s'\'ecrit d'une mani\`ere et d'une seule sous la forme $c = \sum_{i \in \I} c(i) e_i$, o\`u $e_i \in \A^{(\I)}$ est d\'efini par $e_i(j) = \delta_{ij}$. Ceci montre que $\A^{(\I)}$ est un $\A$-module \emph{libre}, de base la famille $(e_i)_{i \in \I}$. Ce $\A$-module satisfait \`a la propri\'et\'e universelle suivante : pour tout $\A$-module $\M$ et toute application $u : \I \rightarrow \M$, il existe une unique application $\A$-lin\'eaire $\tilde{u} : \A^{(\I)} \rightarrow \M$ telle que $u = \tilde{u}(e_i)$. En d'autres termes : le couple constitu\'e du $\A$-module $\A^{(\I)}$ et de l'application $(\I \rightarrow \A^{(\I)}, \ i \mapsto e_i)$ repr\'esente le foncteur $$\mathbf{Mod}(\A) \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \M \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbf{Ens}}(\I,\M).$$


\subsection*{2. Produit tensoriel} Soit $k$ un anneau.

\noindent \textbf{(2.1)} \emph{Produit tensoriel de deux modules} --- \'Etant donn\'es deux $k$-modules $\M$ et $\N$, le \emph{produit tensoriel} $\M \otimes_{k} \N$ est un $k$-module muni d'une application $k$-bilin\'eaire $b : \M \times \N \rightarrow \M \otimes_{k} \N$ qui v\'erifie la propri\'et\'e universelle suivante : pour tout $k$-module $\rP$ et toute application $k$-bilin\'eaire $\Phi : \M \times \N \rightarrow \rP$, il existe une unique application $k$-lin\'eaire $\varphi : \M \otimes_{k} \N \rightarrow \rP$ telle que $\Phi = \varphi \circ b$. En d'autres termes : le couple $(\M \otimes_{k} \N, b)$ repr\'esente le foncteur $$\mathbf{Mod}(k) \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \rP \mapsto \mathrm{Bil}_{k}(\M \times \N, \rP).$$

\vspace{0.1cm} L'existence du $k$-module $\M \otimes_{k} \N$ se prouve en le construisant : on consid\'ere le $k$-module libre $k^{(\M \times \N)}$ que l'on quotiente par le sous-$k$-module $\R$ engendr\'e par les \'el\'ements $$\lambda e_{(m,n)} - e_{(\lambda m,n)}, \ \lambda e_{(m,n)} - e_{(m,\lambda n)}, \ e_{(m+m',n)} - e_{(m,n)} - e_{(m',n)}, \ e_{(m,n+n')} - e_{(m,n)} - e_{(m,n')}$$ et on d\'efinit une application $b : \M \times \N \rightarrow \M \otimes_{k} \N = k^{(\M \times \N)} / \R$ en associant au couple $(m,n)$ la classe de $e_{(m,n)}$, not\'ee $m \otimes n$. Il est tr\`es facile de v\'erifier que le couple $(\M \otimes_{k} \N, b)$ ainsi obtenu satisfait \`a toutes les conditions d\'esir\'ees.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{(2.2)} \emph{Extension des scalaires} --- Soit $f : k \rightarrow k'$ un homomorphisme d'anneaux. On voit $k'$ comme un $k$-module en faisant agir $k$ sur $k'$ via $a.b = f(a)b$.

\'Etant donn\'e un $k$-module $\M$, on v\'erifie ais\'ement qu'il existe une unique structure de $k'$-module sur $k' \otimes_{k} \M$ telle que $\mu(\mu' \otimes m) = (\mu \mu')\otimes m$ pour tous $\mu, \mu' \in k'$, $m \in \M$. Le $k'$-module $k' \otimes_{k} \M$ satisfait \`a la propri\'et\'e universelle suivante : pour tout $k'$-module $\rP$ et toute application $k$-lin\'eaire $u : \M \rightarrow \rP$, il existe une unique application $k'$-lin\'eaire $\tilde{u} : k' \otimes_{k} \rightarrow \rP$ telle que $u(m) = \tilde{u}(1 \otimes m)$ pour tout $m \in \M$.

\vspace{0.1cm}
D'autre part, si $\M$, $\N$ sont deux $k$-modules et $u : \M \rightarrow \N$ est une application $k$-lin\'eaire, on v\'erifie qu'il existe une unique application $k$-lin\'eaire $u_{k'} = k' \otimes_k u : k' \otimes_{k} \M \rightarrow k' \otimes_{k} \N$ telle que $u_{k'}(\mu \otimes m) = \mu \otimes u(m)$ pour tous $\mu \in k'$, $m \in \M$. On d\'efinit ainsi un foncteur $$k' \otimes_{k} \cdot : \mathrm{Mod}(k) \rightarrow \mathrm{Mod}(k'),$$ appel\'e \emph{extension des scalaires}.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{(2.3)} \emph{Produit tensoriel d'alg\`ebres} --- Soient $(\A,u)$ et $(\B,v)$ deux $k$-alg\`ebres ; on voit $\A$ et $\B$ comme des $k$-modules via $u$ et $v$ respectivement. On v\'erifie ais\'ement qu'il existe une unique structure d'anneau sur $\A \otimes_{k} \B$ telle que $(a \otimes b)(a' \otimes b') = (aa') \otimes (bb')$ pour tous $a, a' \in \A$, $b, b' \in \B$. Quel que soit $\lambda \in k$, on a $u(\lambda) \otimes 1 = 1 \otimes v(\lambda) = \lambda(1 \otimes 1)$ et on fait de cet anneau une $k$-alg\`ebre en consid\'erant l'homomorphisme $w : k \rightarrow \A \otimes_{k} \B, \ \lambda \mapsto w(\lambda) = u(\lambda) \otimes 1 = 1 \otimes v(\lambda)$.

\vspace{0.1cm}
D\'esignons respectivement par $i_{\A}$ et $i_{\B}$ les applications $(\A \rightarrow \A \otimes_{k} \B, a  \mapsto a \otimes 1)$ et $(\B \rightarrow \A \otimes_{k} \B, b \mapsto 1 \otimes b)$ ; ce sont manifestement des homomorphismes de $k$-alg\`ebres. On v\'erifie facilement que, pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tous homomorphismes de $k$-alg\`ebres $f_{\A} : \A \rightarrow \R$, $f_{\B} : \B \rightarrow \R$, il existe un unique homomorphisme de $k$-alg\`ebres $f : \A \otimes_{k} \B \rightarrow \R$ tel que $f_{\A} = f \circ i_{\A}$ et $f_{\B} = f \circ i_{\B}$. En d'autres termes : le triplet ($\A \otimes_{k} \B, i_{\A}, i_{\B})$ repr\'esente le foncteur $$\mathbf{Alg}_{k} \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \R \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_{k}}(\A,\R) \times \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_{k}}(\B,\R).$$

\vspace{0.1cm}
Plus g\'en\'eralement, \'etant donn\'ees trois $k$-alg\`ebres $\A$, $\B$ et $\C$ ainsi que des homomorphismes de $k$-alg\`ebres $$\xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{u_{\B}} \ar@{->}[d]_{u_{\C}} & \B \\ \C & },$$ la $k$-alg\`ebre $\B \otimes_{\A} \C$ repr\'esente le foncteur $$\mathbf{Alg}_{k} \rightarrow \mathbf{Ens}, \ \R \mapsto \left\{(f_{\B}, f_{\C}) \in \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_{k}}(\B,\R) \times  \mathrm{Hom}_{\mathbf{Alg}_{k}}(\C,\R) \ | \ f_\B \circ u_\B = f_{\C} \circ u_{\C} \right\}.$$
Autrement dit : pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, se donner un homomorphisme $f$ de $\B \otimes_{\A} \C$ dans $\R$ \'equivaut \`a se donner des homomorphismes $f_{\B} : \B \rightarrow \R$ et $f_{\C} : \C \rightarrow \R$ tels que le diagramme en traits pleins
$$\xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{u_{\B}} \ar@{->}[d]_{u_{\C}} & \B \ar@{->}[d]^{i_{\B}} \ar@/^/[ddr]^{f_{\B}} & \\ \C \ar@{->}[r]_{i_{\C}} \ar@/_/[drr]_{f_{\C}} & \B \otimes_{\A} \C \ar@{.>}[rd]^f & \\ & & \R}$$ soit commutatif.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{(2.4)} \textbf{\emph{Exercices}}. Les exercices suivants pr\'esentent des propri\'et\'es importantes du produit tensoriel que l'on \'etabliera en raisonnant en termes de repr\'esentation de foncteurs.

\vspace{0.1cm} \noindent 1. D\'eterminer les couples d'entiers naturels $(n,m)$ tels que le $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ soit nul.

\vspace{0.1cm} \noindent 2. \'Etant donn\'es un anneau $\A$, un id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$ et un $\A$-module $\M$, d\'emontrer que le $\A/{\mathfrak{I}}$-module $\A/\mathfrak{I} \otimes_{\A} \M$ est canoniquement isomorphe au $\A/\mathfrak{I}$-module $\M/\mathfrak{I}\M$.


\vspace{0.1cm} \noindent 3. Soit $\A \rightarrow \B$ un homomorphisme d'anneaux et soit $\I$ un ensemble. D\'emontrer que les $\B$-modules $\B \otimes_{\A} \A^{(\I)}$ et $\B^{(\I)}$ sont canoniquement isomorphes et expliciter cet isomorphisme.

\vspace{0.1cm} \noindent 4. Soit $k \rightarrow k'$ un homomorphisme d'anneaux. \'Etant donn\'es un ensemble $\I$ et des ind\'etermin\'ees $(\X_i)_{i \in \I}$, d\'emontrer que les $k'$-alg\`ebres $k' \otimes_k k[(\X_i)_{i \in \I}]$ et $k'[(\X_i)_{i \in \I}]$ sont canoniquement isomorphes.

\vspace{0.1cm}
\noindent 5. Soit $k$ un anneau. \'Etant donn\'es deux ensembles $\I$ et $\J$ ainsi que des ind\'etermin\'ees $(\X_i)_{i \in \I}$ et $(\Y_j)_{j \in \J}$, d\'emontrer que la $k$-alg\`ebre $k[(\X_i)_{i \in \I}] \otimes_k k[(\Y_j)_{j \in \J}]$ est canoniquement isomorphe \`a la $k$-alg\`ebre $k[(\Z_{\ell})_{\ell \in \I \cup \J}]$, o\`u $\Z_{\ell} = \X_{\ell} \otimes 1$ si $\ell \in \I$ et $\Z_{\ell} = 1 \otimes \Y_{\ell}$ si $\ell \in \J$.

\vspace{0.1cm}
\noindent 6. Soient $k$ un anneau et $\A$, $\B$ deux $k$-alg\`ebres. \'Etant donn\'es des id\'eaux $\mathfrak{I}$ et $\mathfrak{J}$ de $\A$ et $\B$ respectivement, d\'emontrer que la $k$-alg\`ebre$\A/\mathfrak{I} \otimes_k \mathfrak{B}/\mathfrak{J}$ est canoniquement isomorphe au quotient de la $k$-alg\`ebre $\A \otimes_k \B$ par l'id\'eal engendr\'e par $\mathfrak{I} \otimes_{k} \B + \A \otimes_{k} \mathfrak{J}$.

\subsection*{3. Alg\`ebres de type fini sur un corps}

Dans tout ce paragraphe, $k$ d\'esigne un corps. Une $k$-alg\`ebre $\A$ est dite \emph{de type fini} si elle est engendr\'ee, en tant que $k$-alg\`ebre, par un nombre fini d'\'el\'ements ; il revient au m\^eme de dire que que $\A$ est isomorphe au quotient d'un anneau de polyn\^omes $k[\T_1, \ldots, \T_n]$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(3.1)} La g\'eom\'etrie alg\'ebrique na\^{\i}t d'une formulation g\'eom\'etrique des propri\'et\'es alg\'ebriques d'une $k$-alg\`ebre de type fini, formulation dont le th\'eor\`eme suivant fournit le fondement.

\vspace{0.2cm}
\noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme (Nullstellensatz de Hilbert)}} --- \emph{Soit $\A$ une $k$-alg\`ebre de type fini.
\begin{itemize} \item[(i)] Pour tout id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$, le corps $\A/\mathfrak{m}$ est une extension finie de $k$. En particulier : si le corps $k$ est alg\'ebriquement clos, l'application canonique $${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k) \rightarrow {\rm Max}(\A), \ \ \ s \mapsto {\rm ker}(s)$$ est une bijection.
\item[(ii)] Tout id\'eal premier de $\A$ est l'intersection des id\'eaux maximaux le contenant.
\item[(iii)] Consid\'erons une $k$-alg\`ebre $\B$ et un homomorphisme $f : \B \rightarrow \A$. Pour tout id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\A$, $f^{-1}(\mathfrak{m})$ est un id\'eal maximal de $\B$.
\end{itemize}}

\vspace{0.2cm} Faisons quelques remarques importantes. \begin{itemize}
\item[1.] Supposons que le corps $k$ soit alg\'ebriquement clos. Appliqu\'ee \`a la $k$-alg\`ebre de type fini $k[\T_1, \ldots, \T_n]$, l'assertion (i) dit que l'application canonique $$k^n \rightarrow {\rm Max}(k[\T_1, \ldots, \T_n]), \ \ \ (t_1, \ldots, t_n) \mapsto (\T_1 - t_1, \ldots, \T_n - t_n)$$ est une bijection. En effet, un homomorphisme $u$ de $k[\T_1,\ldots, \T_n]$ dans $k$ s'identifie canoniquement au n-uplet $(t_1, \ldots, t_n) \in k^n$ des images des ind\'etermin\'ees $\T_1, \ldots, \T_n$ et son noyau est l'id\'eal $(\T_1 - t_1, \ldots, \T_n-t_n)$.
\item[2.] Soit $\mathfrak{I}$ un id\'eal maximal de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ et soit $\A = k[\T_1,\ldots, \T_n]/\mathfrak{I}$. L'ensemble ${\rm Max}(\A)$ des id\'eaux maximaux de $\A$ s'identifie canoniquement \`a l'ensemble des id\'eaux maximaux de $k[\T_1, \ldots, \T_n]$ contenant l'id\'eal $\mathfrak{I}$ ; si $k$ est alg\'ebriquement clos, il d\'ecoule de la remarque pr\'ec\'edente que ${\rm Max}(\A)$ s'identifie \`a l'ensemble des z\'eros des \'el\'ements de $\mathfrak{I}$ dans $k^n$ : $${\rm Max}(\A) \cong \{(t_1, \ldots, t_n) \in k^n \ | \ f(t_1, \ldots, t_n) = 0, \ \ \forall f \in \mathfrak{I}\}.$$
\item[3.] Si le corps $k$ est alg\'ebriquement clos, un polyn\^ome $f \in k[\T_1,\ldots, \T_n]$ est inversible si et seulement si $f(t_1, \ldots, t_n) \neq 0$ pour tous $t_1, \ldots, t_n \in k$. Cette condition est trivialement n\'ecessaire ; qu'elle soit suffisante d\'ecoule de (i) puisqu'un polyn\^ome $f$ ne s'annulant en aucun point de $k^n$ n'appartient \`a aucun id\'eal maximal de $k[\T_1, \ldots,\T_n]$ et donc est inversible.
\item[4.] L'assertion (ii) se g\'en\'eralise ais\'ement sous la forme suivante : pour tout id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$, l'intersection des id\'eaux maximaux de $\A$ contenant $\mathfrak{I}$ est l'id\'eal $$\sqrt{\mathfrak{I}} = \{f \in \A \ | \ \exists n \geqslant 0, \ \ f^n \in \mathfrak{I}\}$$ (la \emph{racine} de $\mathfrak{I}$). En effet, dans tout anneau commutatif la racine d'un id\'eal est l'intersection des id\'eaux premiers le contenant ; dans une $k$-alg\`ebre de type fini, c'est donc \'egalement l'intersection des id\'eaux maximaux le contenant.
\item[5.] L'assertion (iii) se d\'eduit ais\'ement de (i). En effet, $f$ induisant un homomorphisme injectif $\B/f^{-1}(\mathfrak{m}) \hookrightarrow \A/\mathfrak{m}$, il d\'ecoule de (i) que tout \'el\'ement $x$ de $\B/\mathfrak{m}$ est \emph{alg\'ebrique} sur $k$ ; on a donc une relation $x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0 = 0$ dans $\B/f^{-1}(\mathfrak{m})$ avec $a_i \in k$. Comme $\B/f^{-1}(\mathfrak{m})$ est isomorphe \`a un sous-anneau d'un corps, c'est un anneau int\`egre ; si $x$ est non nul, on en d\'eduit facilement que l'on peut supposer $a_0 \neq 0$ (consid\'erer une relation de degr\'e minimal). Dans ces conditions, l'identit\'e $xa_0^{-1}(x^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \ldots + a_1) = 1$ montre que $x$ est inversible dans $\B/f^{-1}(\mathfrak{m})$ ; ce dernier anneau est donc un corps et $f^{-1}(\mathfrak{m})$ est un id\'eal maximal de $\B$.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{(3.2)} Consid\'erons une cl\^oture alg\'ebrique $\overline{k}$ de $k$ et soit $k^{\rm s}$ la cl\^oture s\'eparable de $k$ dans $\overline{k}$, c'est-\`a-dire la r\'eunion des extensions finies s\'eparables de $k$ dans $\overline{k}$. L'extension $k^{\rm s}/k$ est galoisienne tandis que l'extension $\overline{k} / k^{\rm s}$ est purement ins\'eparable : si le corps $k$ n'est pas parfait et de caract\'eristique $p >0$, chaque \'el\'ement $\alpha$ de $\overline{k}$ v\'erifie $\alpha^{p^n} \in k^{\rm s}$ pour un certain entier $n \geqslant 0$. Enfin, tout $k$-automorphisme du corps $\overline{k}$ stabilise le sous-corps $k^{\rm s}$ et l'application de restriction $${\rm Aut}(\overline{k}|k) \rightarrow {\rm Aut}(k^{\rm s}|k) = {\rm Gal}(k^{\rm s}|k) ,  \ \ \ \sigma \mapsto \sigma_{|k^{\rm s}}$$ est un isomorphisme.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition}} --- \emph{Pour toute $k$-alg\`ebre de type fini $\A$, l'application $$\iota : {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A, \overline{k}) \rightarrow {\rm Max}(\A), \ \ \ s \mapsto {\rm ker}(s)$$ identifie les id\'eaux maximaux de $\A$ aux orbites de l'action naturelle de ${\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$ sur ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\overline{k})$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. L'argument invoqu\'e \`a la remarque 5 ci-dessus montre que le noyau d'un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\A \rightarrow \overline{k}$ est un id\'eal maximal de $\A$. L'application $\iota$ est manifestement constante sur les orbites de ${\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$ et elle est surjective en vertu de l'assertion (i) du Nullstellensatz. Enfin, si deux homomorphismes $s, s' : \A \rightarrow \overline{k}$ ont le m\^eme noyau $\mathfrak{m}$, tous deux induisent un $k$-plongement du corps $\A/\mathfrak{m}$ dans $\overline{k}$ ; les extensions $s : \A/\mathfrak{m} \hookrightarrow \overline{k}$ et $s' : \A/\mathfrak{m} \hookrightarrow \overline{k}$ \'etant deux cl\^otures alg\'ebriques de ce corps, on d\'eduit de l'unicit\'e \`a isomorphisme pr\`es des cl\^otures alg\'ebriques l'existence d'un automorphisme $\sigma$ de $\overline{k}$ tel que $s' = \sigma \circ s$ ; comme $s$ et $s'$ sont en outre $k$-lin\'eaires, $\sigma$ induit l'identit\'e sur $k$ et $\sigma$ appartient donc \`a ${\rm Aut}(\overline{k}|k) \cong {\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition}} --- \emph{L'application naturelle $$p : {\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k}) \rightarrow {\rm Max}(\A), \ \ \ \mathfrak{m} \mapsto \mathfrak{m} \cap \A$$ applique chaque composante connexe de ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$ sur une composante connexe de ${\rm Max}(\A)$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Les composantes connexes de ${\rm Max}(\A)$ sont de la forme $\D(e) = \V(e-1)$, o\`u $e$ est un idempotent primitif de $\A$. Comme $\V(e-1) \cong {\rm Max}(\A/(e-1)\A)$, nous pouvons, quitte \`a remplacer $\A$ par $\A/(e-1)$, supposer que ${\rm Max}(\A)$ est connexe.

\vspace{0.1cm} Observons tout d'abord que les idempotents de $\A \otimes_k \overline{k}$ appartiennent tous au sous-anneau $\A \otimes_k k^{\rm s}$. En effet, si le corps $k$ est imparfait de caract\'eristique $p >0$, alors il existe pour chaque \'el\'ement $a$ de $\A \otimes_k \overline{k}$ un entier $n \geqslant 0$ tel que $a^{p^n} \in \A \otimes_k k^{\rm s}$ ; appliquant ceci \`a un idempotent $e$ de $\A \otimes_k \overline{k}$, on en d\'eduit que $e$ appartient \`a $\A \otimes_k k^{\rm s}$ puisque $e = e^2$.

\vspace{0.1cm} L'action naturelle du groupe ${\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$ sur $\A \otimes_k k^{\rm s}$ permute les \'el\'ements idempotents en pr\'eservant le caract\`ere primitif puisque ${\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$ permute les composantes connexes de ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$. \'Etant donn\'ee une composante connexe $\C$ de ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$, la r\'eunion $\widetilde{\C}$ des conjugu\'es de $\C$ est une partie ouverte et ferm\'ee de ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$ invariante sous ${\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$. Cette partie est donc de la forme $\widetilde{\C} = \D(e)$, o\`u $e$ est un idempotent de $\A \otimes_k k^{\rm s}$ invariant sous ${\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$ ; ceci implique $e \in \A$ et donc $e =1$ puisque ${\rm Max}(\A)$ est connexe. On a ainsi $\widetilde{\C} = \D(1) = {\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$ et l'action du groupe ${\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$ sur ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$ permute donc transitivement les composantes connexes.

\vspace{0.1cm} Nous pouvons maintenant conclure : \'etant donn\'e un point $x$ de ${\rm Max}(\A)$, il existe un point $x'$ de ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$ au-dessus de $x$ car l'application $p$ est surjective (cf. proposition pr\'ec\'edente). Quelle que soit la composante connexe $\C$ de ${\rm Max}(\A \otimes_k \overline{k})$, il existe un \'el\'ement $\sigma$ de ${\rm Gal}(k^{\rm s}|k)$ tel que $x'$ appartienne \`a $\sigma(\C)$ ; on a alors $\sigma^{-1}(x') \in \C$ --- ce qui prouve que $\C$ rencontre la fibre de $p$ au-dessus de $x$ --- et ainsi  $p(\C) = {\rm Max}(\A)$. \hfill $\Box$



%\noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme (Lemme de normalisation de Noether)}} --- \emph{Soit $\A$ une $k$-alg\`ebre de type fini int\`egre. Il existe des \'el\'ements $\xi_1, \ldots, \xi_n \in \A$ alg\'ebriquement ind\'ependants sur $k$ tels que l'homomorphisme $$k[\T_1, \ldots,\T_n] \rightarrow \A, \ \T_i \mapsto \xi$$ soit entier.}


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\tableofcontents
\end{document}
