Modifications mathématiques

Au cours de la démonstration du théorème principal (section 3, p.4), vous manquez un point important : vous n’établissez pas que les hypothèses nécessaires pour appliquer les deux lemmes analytiques, à savoir que les fonctions symétriques g_{1},...,g_{r}, définies et analytiques sur le complémentaire d’un fermé Zariski propre S de ℂ^{n} par construction, sont localement bornées en chaque point de S et à croissance polynomiale à l’infini.

Il y a là une légère subtilité, qu’il vous faut expliciter dans votre rédaction. Avec les notations du lemme 3, posons X′= V(F) ⊂ 𝔸^{n}× 𝔸^{1} et soit g le morphisme V(F) → 𝔸^{n} induit par la première projection. Le contenu du lemme 3 est le suivant : il existe des ouverts non vides V ⊂ 𝔸^{n} et U ⊂ X tels que

(i) U soit isomorphe à l’ouvert g^{−1} (V) de X′;

(ii) le morphisme g: g^{−1} (V) → V induit un revêtement topologique du point de vue de la topologie

complexe. Pour démontrer que l’espace topologique X(ℂ) est connexe, il suffit d’établir qu’il en est ainsi

pour l’ouvert non vide U(ℂ) en vertu du lemme 2. Par suite, la démonstration de la section 3 porte en fait sur la variété algébrique X′et on fait un usage décisif du fait que le polynôme unitaire F soit à coefficients dans ℂ[𝔸^{n}], et non simplement dans ℂ[V] : il est en effet indispensable que la base soit la variété 𝔸^{n}, et non pas un ouvert Zariski quelconque de celle-ci, pour que les deux lemmes analytiques puissent s’appliquer !

Il vous faut reprendre la rédaction de la section 3 pour tenir compte de ces remarques. Par exemple : p.4, il ne suffit pas d’établir la majoration

[θ ∘ f_{i}^{−1} |(z) ⩽ 1 + ∑_{ℓ=1}^{n} |a_{l}(z)| ⩽ C|z|^{k}

pour z ∈ V(ℂ)... D’une façon générale, la rédaction de la fin de la section 3 est trop lapidaire et il vous faut détailler davantage les différents arguments.

Remarques générales

1. Dans presque tout le texte (ainsi que dans les titre et résumé), remplacer irreductible par irreducible.

2. « Theorem » et non « Theoreme ».

3. Puisque vous ne mentionnez pas explicitement la construction des variétés algébriques en termes de spectres (maximaux), il est préférable d’employer systématiquement l’expression « Zariski topology » au lieu de « spectral topology ».

4. Il est souhaitable de ne jamais commencer une phrase par un symbole mathématique.

Remarques localisées

1.0 Abstract — « usual topology on the affine space » est préférable.

1.1 Algebraic varieties and maps — (ligne 1) « An algebraic variety is a subset of ℂ^{n} of the form [...] » plutôt que « An algebraic variety of ℂ^{n} is subset [...] ». En outre, dans la définition de V(I), utiliser une barre vecticale | (\mid) au lieu de \ (\setminus).

(ligne 2) « The variety ℂ^{n} = V(0) [...] » au lieu de « The variety ℂ^{n} [...] », pour mettre en évidence qu’il s’agit bien d’un cas particulier de la définition précédente.

(ligne 3) « The Zariski topology on ℂ^{n} » au lieu de « The Zariski topology of ℂ^{n} ». En outre, il serait préférable de reformuler cette phrase pour dire que les sous-variétés algébriques de ℂ^{n} satisfont aux axiomes des parties fermées d’une topologie sur ℂ^{n}, appelée topologie de Zariski. Préciser enfin que l’on munit chaque sous-variété algébrique de ℂ^{n} de la topologie induite.

(ligne 4) « [...] X is not the union of two proper closed subsets » plutôt que « [...] X is not union of two proper closed sets ».

(ligne 5) Seule l’implication (I premier ⟹ V(I) irréductible) est vraie. L’équivalence correcte est

(V(I) irréductible) ⟹ (\sqrt{I} premier).

Vous pouvez d’emblée remarquer qu’un idéal et sa racine définissent le même sous-ensemble de ℂ^{n} et dire que vous vous ne considérez que des idéaux égaux à leurs racines.

(lignes 6/7) « the ring of polynomial functions [...] » plutôt que « the set of polynomial functions[...] ».

(ligne 7) « If X is irreducible [...] » au lieu de « Let X is irreductible [...] ».

(ligne 8) « quotient field » au lieu de « field of fraction ».

(ligne 9) « [...] such that f = (f_{1},...,f_{m}) [...] » au lieu de « [...] such as f = (f_{1},...,f_{m}) [...] »

(ligne 10) Vous pouvez supprimer la mention des fonctions rationnelles (qui ne sont pas, au sens strict, des applications de X dans Y du fait des pôles) car vous ne les utilisez pas.

(lignes 11/12) Une phrase du style « Each regular map f : X → Y induces a ring homomorphism

f^{∗} : ℂ[Y] → ℂ[X], u ↦ u ∘ f

which makes ℂ[X] a ℂ[Y]-algebra »serait préférable.

(ligne 12) Il n’est pas vrai qu’un morphisme fini soit toujours surjectif. Contre-exemple : la projection canonique A → A/I fait de A/I une A-algèbre finie mais le morphisme de variétés correspondant n’est pas surjectif si V(I) est un fermé strict. Il est par contre vrai qu’un morphisme fini f est surjectif si l’homomorphisme d’anneaux f^{∗} est injectif. Écrivez donc plutôt « Any finite map f is surjective if f^{∗} is injective, in which case we can consider the field extension ℂ(X)/ℂ(Y) ».

(lignes 13/14) Les idéaux ne vivent pas dans ℂ^{n} et ℂ^{m}. Par ailleurs, onto signifie « surjectif » et c’est to qu’il faut employer ici. Vous pouvez enfin remarquer que ce qui précède fournit en particulier une notion d’isomorphisme entre variétés algébriques – correspondant à un isomorphisme entre leurs anneaux de coordonnées –, ce qui permet de donner à la notion de variété algébrique un sens ne dépendant pas du choix d’un plongement dans un ℂ^{n}.

(lignes 15/16) Écrivez plutôt « By Noether normalization lemma, there exists a finite map f : X → 𝔸^{n} for some n (ref) ».

(ligne 17) « [...] its coordinate ring [...] is integrally closed. ».

(lignes 18 et 20) « normalization » semble plus couramment employé que « normalisation ».

1.2 Complex topology and Zariski topology — (lignes 1/2) Il faudrait mieux écrire quelque chose comme « Let X be an algebraic variety in ℂ^{n}. We denote by X(ℂ) the set X endowed with the topology induced by the usual topology on ℂ^{n} [...] ».

(ligne 7) Énoncez plutôt le théorème 3 en lieu et place du théorème 1 et expliquez tout de suite après comment se ramener au cas irréductible. Vous pouvez alors énoncer le théorème 1, qui est celui que vous allez démontrer par la suite.

2. Preliminary Lemmas (ligne 4) « [...] and Y ⊊ X is a subvariety[...] » (ligne 5) « Let ν : X^{ν} → X denote the normalisation » (ligne 6) Votre justification de la densité de X^{ν}(ℂ)−Y^{ν}(ℂ) dans X^{ν}(ℂ) est trop rapide ; expliquez

pourquoi la non singularité de X^{ν} permet de conclure.

(ligne 10) « containing y but no irreducible [...] ». Par ailleurs, votre construction garantit seulement que X′ne contient aucune des composantes irréductibles de Y passant par y (ce qui suffit pour la suite).

(ligne 11) Dites que l’hyperplan considéré est noté L. (ligne 13) Autant dire que f est une forme linéaire... (ligne 14) « Krull Hauptidealsatz » au lieu de « Haput-ideal-satz od Krull ». L’identité V(I) =

Max(A/I) n’a pas été mentionnée dans 1.1. Notez par ailleurs que ce n’est pas le spectre, mais seulement le spectre maximal, que l’on peut décrire en termes de points de ℂ^{n}.

(lignes 19/20) Écrivez plutôt « Thus every y ∈ Y(ℂ) belongs to the closure of X(ℂ) − Y(ℂ) and it follows that [...] ».

(ligne 21) « Let X be an irreducible variety [...] » ou « Assume X to be irreducible and let Y ⊊ X be [...] ». Vous pouvez remarquer qu’il s’agit d’un fait élémentaire de topologie générale : l’adhérence d’une partie connexe est connexe.

(ligne 30) « [...] L(ℂ) ∩ V(ℂ) is pathwise-connected ». (ligne 31) « [...] a Zariski open subset U ⊂ X [...] ». (ligne 34) « and f : U → Vis [...] ». (ligne 35) « The continuous map f : U(ℂ) → V(ℂ) is a topological covering » au lieu de « The

continuous map map f : U(ℂ) → V(ℂ) is an unramified cover ».

(ligne 36) « By Noether normalisation, there exists [...] ». (ligne 37)« [...] finite field extension [...] ». (ligne 38)« [...] and for any x ∈ ℂ[X] [...] ». Il serait par ailleurs préférable de réserver la notation x

pour les points de X et d’utiliser une autre lettre (par exemple α).

(ligne 39) « If α_{1},...,α_{m} generate the ℂ-algebra ℂ[X], then a = a_{α_{1}} ...a_{α_{m}} satisfies aℂ[X] ⊂ ℂ[𝔸^{n}][θ] ».

(ligne 40)« Let d ∈ ℂ[𝔸^{n}] denote the discriminant of F(T) and set V = 𝔸^{n}− V(ad), U = X − V(ad) = f^{−1} (V). »

(ligne 42) Poursuivez la phrase précédente en mettant une virgule après ℂ[V][θ]. Il s’agit en outre de U et non de ℂ[U].

(ligne 43) « Denote by [...] ». Ni v_{0} ni les notations d_{v_{0}} et F_{v_{0}} ne sont définies. (ligne 44) « the implicit function theorem » et non « the implicit functions theorem ». (ligne 45)« f is a homeomorphism [...] onto a neighborhood V_{v} of v [...] ». (ligne 47) « that f : U(ℂ) → V(ℂ) is a topological covering ».

3. Proof of the theorem — (ligne 1) Il n’est pas nécessaire de commencer par « Proof ». Écrivez par ailleurs « Corollary 1 » au lieu de « corollary (1) ».

(ligne 3) « Write U(ℂ) = M_{1} ⊔ M_{2} as the union of two disjoint non-empty closed subsets ». La phrase suivante est alors superflue.

(ligne 4) « Since f is a topological covering, f(M_{1}) is open [...]. By Lemma 2 [...] ». (ligne 6) « Let v ∈ V and denote by u_{1},...,u_{m} its preimages under f. » (ligne 7) « U_{1},...,U_{m} be [...] ». (ligne 8) « [...] contained in M_{1} or in M_{2}. We suppose that [...] »au lieu de « included in M_{1} or M_{2},

and we can suppose [...] ».

(ligne 9) idem (ligne 10) « [...] f_{1} is a topological covering ». (lignes 11/12) « [...] the number of preimages of [...] , and since V(ℂ) is connected, this number is

constant ». Il est clair que ce nombre est r.

(ligne 14) Écrivez plutôt « Denote by θ_{1},...,θ_{r} [...] ». (lignes 15/16) Écrivez plutôt « and define g_{1},...,g_{r} to be the elementary symmetric functions in

θ_{1},...,θ_{r}, namely : ».

(ligne 18) « where f_{(l)} is the restriction of f to U_{l}. » (ligne 19) « All functions θ ∘ f_{(l)}^{−1} are analytic on V_{v} [...] on V(ℂ). » (ligne 24) « The number θ ∘ f_{i}^{−1} (z) is a root [...] » (ligne 25) « [...] extended to 𝔸^{n}(ℂ) [...] ». Par ailleurs, il y a là une erreur mathématique : les fonc-

tions θ ∘ f_{i}^{−1} sont de nature fondamentalement locale (l’expression d’une racine via le théorème des fonctions implicites) ne peuvent pas être définies sur tout V(ℂ) ; seules leurs fonctions symétriques de ces fonctions sont bien définies sur tout V(ℂ).

(ligne 29) Écrivez plutôt « It follows that P_{1}(θ) = 0 or P_{2}(θ) = 0, which contradicts m = [ℂ(X) : ℂ(𝔸^{n})]. ».

4. Examples — (ligne 2) « [...] hence is connected by Lemma 2 ».

(ligne 9) Écrivez plutôt « Let X_{1},...,X_{p} denote the irreducible components of X. Consider a decomposition X(ℂ) = M_{1}⊔ M_{2} into two disjoint closed subsets. ».

(ligne 10) « Since X_{i}(ℂ) [...] » (ligne 11) « either X_{i}(ℂ) ⊂ M_{1} or X_{i}(ℂ) ⊂ M_{2}. » (ligne 12) Écrivez plutôt « X_{1}(ℂ),...,X_{r}(ℂ) ⊂ M_{1} and X_{r+1} (ℂ),...,X_{p}(ℂ) ⊂ M_{2}. Since all X_{i}

are closed [...] »

(ligne 13) « X_{1}∪ ...∪ X_{r} = X or X_{r+1} ∪ ...X_{p} = X, which implies M_{1} = X(ℂ) or M_{2} = X(ℂ) ». Il manque par ailleurs un argument : les inclusions X_{1}(ℂ),...,X_{r}(ℂ) ⊂ M_{1} et X_{r+1} (ℂ),...,X_{p}(ℂ) ⊂ M_{2} impliquent que l’identité

X = (X_{1}∪ ...∪ X_{r}) ∪ (X_{r+1} ∪ ...∪ X_{p})

est une écriture de X comme réunion de fermés Zariski disjoints.

5. Analytic lemmas — (lignes 1/2) « [...] an algebraic subvariety of 𝔸^{n} [...] on 𝔸^{n}(ℂ) − S(ℂ) which [...] Then g can be extended to 𝔸^{n}(ℂ) »

(lignes 3/4) « [...] g can be extended to [...] in 𝔸^{n}(ℂ). » (ligne 11) « of roots of an algebraic equation, there exist [...] »

(ligne 12) Écrivez plutôt « ∀(z′,z_{n}) ∈ ℂ^{2}, (|z′| ⩽ ε and |z_{n}| = r) ⟹ f(z′,z_{n}) ≠ 0 » et passez à la ligne pour donner l’interprétation.

(lignes 13/15) Écrivez plutôt « We can therefore define a function G on U = {(z′,z_{n}) ∈ ℂ^{2} | |z′| ⩽ ε, |z_{n}| < r} by [...] »

(ligne 14) La différentielle intégrée est \frac{g(z′,w)}{w−z_{n}}dw. (ligne 16) « the function (z′,z_{n}) ↦ \frac{g(z′,w)}{w−z_{n}} is analytic on U [...] » (ligne 17) « [...] we deduce that G is analytic on U. » (ligne 18) Écrivez plutôt « analytic outside the points z_{n} such that f(z′,z_{n}) = 0 [...] » (ligne 20) L’égalité G(z′,z_{n}) = g(z′,z_{n}) est valable pour tout couple (z′,z_{n}) tel que f(z′,z_{n}) ≠ 0.

Concluez explicitement.

(ligne 22) « [...] on 𝔸^{n}(ℂ) and [...] ». Précisez en outre que C est une constante réelle positive. (ligne 24) « [...] of the Taylor series of f » (ligne 28) « Consider the Taylor series of g »