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\begin{document}
%\begin{center} \textbf{\scshape{Un probl\`eme dans la d\'emonstration du th\'eor\`eme principal}} \end{center}

%\vspace{0.2cm} Pour que la d\'emonstation donn\'ee dans la partie 3 fonctionne, il est n\'ecessaire que les fonctions sym\'etriques $g_1, \ldots, g_r$ soient
%\begin{itemize} \item[(i)] analytiques sur le compl\'ementaire d'un ferm\'e (Zariski) propre $\Sr$ de $\mathbb{A}^n$;
%\item[(ii)] localement born\'ees au voisinage de tout point de $\Sr(\mathbb{C})$;
%\item[(iii)] \`a croissance au plus polynomiale.
%\end{itemize}

%\vspace{0.1cm}
%La d\'efinition des fonctions $g_i$ repose sur le fait que l'on a un morphisme fini surjectif $f : \U \rightarrow \V$ d'un ouvert (non vide) de $\X$ sur un ouvert de $\mathbb{A}^n$ qui, du point de vue de la topologie complexe, est un rev\^etement topologique. Par construction, ces fonctions sont d\'efinies sur l'ouvert $\V(\mathbb{C})$ de $\mathbb{C}^n$, lequel est bien le compl\'ementaire d'un ferm\'e Zariski puisque $\V$ est un ouvert Zariski.

%\vspace{0.1cm} Pour \'etablir les conditions (ii) et (iii), on a par contre besoin de mani\`ere d\'ecisive que $f$ soit la restriction d'un morphisme $\widetilde{f}$ de la forme $$\xymatrix{\V(\F) \ar@{^{(}->}[r] \ar@{->}[rd]_{\widetilde{f}} & \mathbb{A}^n \times \mathbb{A}^1 \ar@{->}[d]^{\rm pr_1} \\ & \mathbb{A}^n }$$ o\`u $\F(\T)$ est un polyn\^ome unitaire (irr\'eductible) \`a coefficients dans $\mathbb{C}[x_1,\ldots x_n]$. Notant $d \in \mathbb{C}[x_1, \ldots, x_n]$ le discriminant de $\F(\T)$, l'ouvert $\V$ est choisi dans le compl\'ementaire du ferm\'e $\mathbb{A}^n - \V(d)$ de sorte que $\widetilde{f}$ induise un rev\^etement topologique au-dessus de $\V(\mathbb{C})$.

\begin{center} \textbf{\scshape{Modifications math\'ematiques}}
\end{center}

Au cours de la d\'emonstration du th\'eor\`eme principal (section 3, p.4), vous manquez un point important : vous n'\'etablissez pas que les hypoth\`eses n\'ecessaires pour appliquer les deux lemmes analytiques, \`a savoir que les fonctions sym\'etriques $g_1, \ldots, g_r$, d\'efinies et analytiques sur le compl\'ementaire d'un ferm\'e Zariski propre $\Sr$ de $\mathbb{C}^n$ par construction, sont localement born\'ees en chaque point de $\Sr$ et \`a croissance polynomiale \`a l'infini.

\vspace{0.1cm} Il y a l\`a une l\'eg\`ere subtilit\'e, qu'il vous faut expliciter dans votre r\'edaction. Avec les notations du lemme 3, posons $\X' = \V(\F) \subset \mathbb{A}^n \times \mathbb{A}^1$ et soit $g$ le morphisme $\V(\F) \rightarrow \mathbb{A}^n$ induit par la premi\`ere projection. Le contenu du lemme 3 est le suivant : il existe des ouverts non vides $\V \subset \mathbb{A}^n$ et $\U \subset \X$ tels que
\begin{itemize}
\item[(i)] $\U$ soit isomorphe \`a l'ouvert $g^{-1}(\V)$ de $\X'$ ;
\item[(ii)] le morphisme $g : g^{-1}(\V) \rightarrow \V$ induit un rev\^etement topologique du point de vue de la topologie complexe.
\end{itemize}

Pour d\'emontrer que l'espace topologique $\X(\mathbb{C})$ est connexe, il suffit d'\'etablir qu'il en est ainsi pour l'ouvert non vide $\U(\mathbb{C})$ en vertu du lemme 2. Par suite, la d\'emonstration de la section 3 porte en fait sur la vari\'et\'e alg\'ebrique $\X'$ et on fait un usage d\'ecisif du fait que le polyn\^ome unitaire $\F$ soit \`a coefficients dans $\mathbb{C}[\mathbb{A}^n]$, et non simplement dans $\mathbb{C}[\V]$ : il est en effet indispensable que la base soit la vari\'et\'e $\mathbb{A}^n$, et non pas un ouvert Zariski quelconque de celle-ci, pour que les deux lemmes analytiques puissent s'appliquer!

\vspace{0.1cm} Il vous faut reprendre la r\'edaction de la section 3 pour tenir compte de ces remarques. Par exemple : p.4, il ne suffit pas d'\'etablir la majoration $$[\theta \circ f_i^{-1}|(z) \leqslant 1 + \sum_{\ell = 1}^{n} |a_l(z)| \leqslant \C |z|^k$$ pour $z \in \V(\mathbb{C})$... \emph{D'une fa{\c c}on g\'en\'erale, la r\'edaction de la fin de la section 3 est trop lapidaire et il vous faut d\'etailler davantage les diff\'erents arguments}.

\vspace{0.6cm}
\begin{center} \textbf{\scshape{Remarques g\'en\'erales}} \end{center}

\vspace{0.2cm} 1. Dans presque tout le texte (ainsi que dans les titre et r\'esum\'e), remplacer \emph{irreductible} par \emph{irreducible}.

\vspace{0.2cm} 2. \og Theorem \fg \ et non \og Theoreme\fg.

\vspace{0.2cm} 3. Puisque vous ne mentionnez pas explicitement la construction des vari\'et\'es alg\'ebriques en termes de spectres (maximaux), il est pr\'ef\'erable d'employer syst\'ematiquement l'expression \og Zariski topology\fg \ au lieu de \og spectral topology\fg.

\vspace{0.2cm} 4. Il est souhaitable de ne jamais commencer une phrase par un symbole math\'ematique.

\vspace{0.6cm}
\begin{center} \textbf{\scshape{ Remarques localis\'ees}} \end{center}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{1.0 Abstract} --- \og usual topology \emph{on} the affine space \fg \  est pr\'ef\'erable.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{1.1 Algebraic varieties and maps} --- (ligne 1) \og An algebraic \emph{variety} is a subset of $\mathbb{C}^n$ \emph{of the form} [...]\fg \  plut\^ot que \og An algebraic variety of $\mathbb{C}^n$ is subset [...]\fg. En outre, dans la d\'efinition de $\V(\I)$, utiliser une barre vecticale $\mid$ (${\backslash}$mid) au lieu de $\setminus$ (${\backslash}$setminus).

\vspace{0.2cm} (ligne 2) \og The variety $\mathbb{C}^n = \V(0)$ [...]\fg \ au lieu de \og The variety $\mathbb{C}^n$ [...]\fg, pour mettre en \'evidence qu'il s'agit bien d'un cas particulier de la d\'efinition pr\'ec\'edente.

\vspace{0.2cm} (ligne 3) \og The Zariski topology \emph{on} $\mathbb{C}^n$ \fg \ au lieu de \og The Zariski topology \emph{of} $\mathbb{C}^n$ \fg. En outre, il serait pr\'ef\'erable de reformuler cette phrase pour dire que les sous-vari\'et\'es alg\'ebriques de $\mathbb{C}^n$ satisfont aux axiomes des parties ferm\'ees d'une topologie sur $\mathbb{C}^n$, appel\'ee topologie de Zariski. Pr\'eciser enfin que l'on munit chaque sous-vari\'et\'e alg\'ebrique de $\mathbb{C}^n$ de la topologie induite.

\vspace{0.2cm} (ligne 4) \og [...] $\X$ is not \emph{the} union of two proper closed \emph{subsets}\fg \ plut\^ot que \og [...] $\X$ is not union of two proper closed sets\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 5) Seule l'implication ($\I$ premier $\Longrightarrow$ $\V(\I)$ irr\'eductible) est vraie. L'\'equivalence correcte est $$(\V(\I) \textrm{ irr\'eductible}) \Longrightarrow (\sqrt{\I} \textrm{ premier}).$$ Vous pouvez d'embl\'ee remarquer qu'un id\'eal et sa racine d\'efinissent le m\^eme sous-ensemble de $\mathbb{C}^n$ et dire que vous vous ne consid\'erez que des id\'eaux \'egaux \`a leurs racines.

\vspace{0.2cm} (lignes 6/7) \og the \emph{ring} of polynomial functions [...] \fg \ plut\^ot que \og the \emph{set} of polynomial functions[...]\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 7) \og \emph{If} $\X$ is irreducible [...]\fg \ au lieu de \og \emph{Let} $\X$ is irreductible [...]\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 8) \og \emph{quotient field} \fg \ au lieu de \og field of fraction\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 9) \og [...] such \emph{that} $f = (f_1, \ldots, f_m)$ [...] \fg \ au lieu de \og [...] such \emph{as} $f = (f_1, \ldots, f_m)$ [...] \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 10) Vous pouvez supprimer la mention des fonctions rationnelles (qui ne sont pas, au sens strict, des applications de $\X$ dans $\Y$ du fait des p\^oles) car vous ne les utilisez pas.

\vspace{0.2cm} (lignes 11/12) Une phrase du style \og Each regular map $f : \X \rightarrow \Y$ induces a ring homomorphism $$f^* : \mathbb{C}[\Y] \rightarrow \mathbb{C}[\X], \ u \mapsto u \circ f$$ which makes $\mathbb{C}[\X]$ a $\mathbb{C}[\Y]$-algebra\fg serait pr\'ef\'erable.

\vspace{0.2cm} (ligne 12) Il n'est pas vrai qu'un morphisme fini soit toujours surjectif. Contre-exemple : la projection canonique $\A \rightarrow \A/\I$ fait de $\A/\I$ une $\A$-alg\`ebre finie mais le morphisme de vari\'et\'es correspondant n'est pas surjectif si $\V(\I)$ est un ferm\'e strict. Il est par contre vrai qu'un morphisme fini $f$ est surjectif si l'homomorphisme d'anneaux $f^*$ est injectif. \'Ecrivez donc plut\^ot \og Any finite map $f$ is surjective if $f^*$ is injective, in which case we can consider the \emph{field} extension $\mathbb{C}(\X)/\mathbb{C}(\Y)$\fg.

\vspace{0.2cm} (lignes 13/14) Les id\'eaux ne vivent pas dans $\mathbb{C}^n$ et $\mathbb{C}^m$. Par ailleurs, \emph{onto} signifie \og surjectif \fg \ et c'est \emph{to} qu'il faut employer ici. Vous pouvez enfin remarquer que ce qui pr\'ec\`ede fournit en particulier une notion d'\emph{isomorphisme} entre vari\'et\'es alg\'ebriques -- correspondant \`a un isomorphisme entre leurs anneaux de coordonn\'ees --, ce qui permet de donner \`a la notion de vari\'et\'e alg\'ebrique un sens ne d\'ependant pas du choix d'un plongement dans un $\mathbb{C}^n$.

\vspace{0.2cm} (lignes 15/16) \'Ecrivez plut\^ot \og By Noether \emph{normalization lemma}, there exists a finite map $f : \X \rightarrow \mathbb{A}^n$ for some $n$ (ref)\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 17)  \og [...] \emph{its} coordinate ring [...] \emph{is} integrally closed.\fg.

\vspace{0.2cm} (lignes 18 et 20) \og normalization \fg \ semble plus couramment employ\'e que \og normalisation\fg.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{1.2 Complex topology and Zariski topology} --- (lignes 1/2) Il faudrait mieux \'ecrire quelque chose comme \og Let $\X$ be an algebraic variety \emph{in} $\mathbb{C}^n$. \emph{We denote by} $\X(\mathbb{C})$ the \emph{set} $\X$ \emph{endowed} with the topology induced by the usual topology \emph{on} $\mathbb{C}^n$ [...]\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 7) \'Enoncez plut\^ot le th\'eor\`eme 3 en lieu et place du th\'eor\`eme 1 et expliquez tout de suite apr\`es comment se ramener au cas irr\'eductible. Vous pouvez alors \'enoncer le th\'eor\`eme 1, qui est celui que vous allez d\'emontrer par la suite.

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{2. Preliminary Lemmas}

\vspace{0.2cm} (ligne 4) \og [...] and $\Y \subsetneq \X$ \emph{is} a subvariety[...]\fg

\vspace{0.2cm} (ligne 5) \og Let $\nu : \X^{\nu} \rightarrow \X$ \emph{denote the} normalisation \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 6) Votre justification de la densit\'e de $\X^{\nu}(\mathbb{C}) - \Y^{\nu}(\mathbb{C})$ dans $\X^{\nu}(\mathbb{C})$ est trop rapide ; expliquez pourquoi la non singularit\'e de $\X^{\nu}$ permet de conclure.

\vspace{0.2cm} (ligne 10) \og containing $y$ \emph{but no} irreducible [...] \fg. Par ailleurs, votre construction garantit seulement que $\X'$ ne contient aucune des composantes irr\'eductibles de $\Y$ passant par $y$ (ce qui suffit pour la suite).

\vspace{0.2cm} (ligne 11) Dites que l'hyperplan consid\'er\'e est not\'e $\Lr$.

\vspace{0.2cm} (ligne 13) Autant dire que $f$ est une forme lin\'eaire...

\vspace{0.2cm} (ligne 14) \og \emph{Krull Hauptidealsatz} \fg \ au lieu de \og Haput-ideal-satz od Krull \fg. L'identit\'e $\V(\I) = {\rm Max}(\A/\I)$ n'a pas \'et\'e mentionn\'ee dans 1.1. Notez par ailleurs que ce n'est pas le spectre, mais seulement le spectre \emph{maximal}, que l'on peut d\'ecrire en termes de points de $\mathbb{C}^n$.

\vspace{0.2cm} (lignes 19/20) \'Ecrivez plut\^ot \og Thus every $y \in \Y(\mathbb{C})$ belongs to the closure of $\X(\mathbb{C}) - \Y(\mathbb{C})$ and it follows that [...] \fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 21) \og Let $\X$ be an irreducible variety [...] \fg \ ou \og Assume $\X$ to be irreducible and let $\Y \subsetneq \X$ be [...] \fg. Vous pouvez remarquer qu'il s'agit d'un fait \'el\'ementaire de topologie g\'en\'erale : l'adh\'erence d'une partie connexe est connexe.

\vspace{0.2cm} (ligne 30) \og [...] $\Lr(\mathbb{C}) \cap \V(\mathbb{C})$ is \emph{pathwise-connected}\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 31) \og [...] a Zariski open \emph{subset} $\U \subset \X$ [...]\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 34) \og and $f : \U \rightarrow \emph{V}$ is [...]\fg.


\vspace{0.2cm} (ligne 35) \og The continuous \emph{map} $f : \U(\mathbb{C}) \rightarrow \V(\mathbb{C})$ is a \emph{topological covering}\fg \ au lieu de \og The continuous map map $f : \U(\mathbb{C}) \rightarrow \V(\mathbb{C})$ is an unramified cover\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 36) \og By Noether normalisation, there exists [...] \fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 37)\og [...] finite \emph{field} extension [...] \fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 38)\og [...] and for \emph{any} $x \in \mathbb{C}[\X]$ [...]\fg. Il serait par ailleurs pr\'ef\'erable de r\'eserver la notation $x$ pour les points de $\X$ et d'utiliser une autre lettre (par exemple $\alpha$).

\vspace{0.2cm} (ligne 39) \og If $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ generate the $\mathbb{C}$-algebra $\mathbb{C}[\X]$, then $a = a_{\alpha_1} \ldots a_{\alpha_m}$ satisfies $a \mathbb{C}[\X] \subset \mathbb{C}[\mathbb{A}^n][\theta]$ \fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 40)\og Let $d \in \mathbb{C}[\mathbb{A}^n]$ denote the discriminant of $\F(\T)$ and set $\V = \mathbb{A}^n - \V(ad)$, $\U = \X - \V(ad) = f^{-1}(\V)$. \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 42) Poursuivez la phrase pr\'ec\'edente en mettant une virgule apr\`es $\mathbb{C}[\V][\theta]$. Il s'agit en outre de $\U$ et non de $\mathbb{C}[\U]$.


\vspace{0.2cm} (ligne 43) \og Denote \emph{by} [...] \fg. Ni $v_0$ ni les notations $d_{v_0}$ et $\F_{v_0}$ ne sont d\'efinies.

\vspace{0.2cm} (ligne 44) \og the implicit function theorem \fg \ et non \og the implicit functions theorem\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 45)\og $f$ is \emph{a} homeomorphism [...] onto a neighborhood $\V_v$ of $v$ [...] \fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 47) \og that $f : \U(\mathbb{C}) \rightarrow \V(\mathbb{C})$ is a topological covering\fg.

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{3. Proof of the theorem} --- (ligne 1) Il n'est pas n\'ecessaire de commencer par \og Proof\fg. \'Ecrivez par ailleurs \og Corollary 1 \fg \ au lieu de \og corollary (1) \fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 3) \og Write $\U(\mathbb{C}) = \M_1 \sqcup \M_2$ \emph{as the union of} two disjoint \emph{non-empty} closed \emph{subsets}\fg. La phrase suivante est alors superflue.

\vspace{0.2cm} (ligne 4) \og Since $f$ is a \emph{topological covering}, $f(\M_1)$ is open [...]. By \emph{Lemma 2} [...] \fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 6) \og Let $v \in \V$ and \emph{denote by} $u_1, \ldots, u_m$ its \emph{preimages under} $f$.\fg


\vspace{0.2cm} (ligne 7) \og $\U_1, \ldots, \U_m$ \emph{be} [...] \fg.


\vspace{0.2cm} (ligne 8) \og [...] \emph{contained} in $\M_1$ or in $\M_2$. We suppose that [...]\fg au lieu de \og included in $\M_1$ or $\M_2$, and we can suppose [...]\fg.


\vspace{0.2cm} (ligne 9) idem


\vspace{0.2cm} (ligne 10) \og [...] $f_1$ is a \emph{topological covering}\fg.

\vspace{0.2cm} (lignes 11/12) \og [...] the number of \emph{preimages} of [...] , and since $\V(\mathbb{C})$ is connected, \emph{this number} is constant\fg. Il est clair que ce nombre est $r$.

\vspace{0.2cm} (ligne 14) \'Ecrivez plut\^ot \og \emph{Denote by} $\theta_1, \ldots, \theta_r$ [...] \fg.


\vspace{0.2cm} (lignes 15/16) \'Ecrivez plut\^ot \og and define $g_1, \ldots, g_r$ \emph{to be} the elementary symmetric functions in $\theta_1, \ldots, \theta_r$, \emph{namely} : \fg.


\vspace{0.2cm} (ligne 18) \og where $f_{(l)}$ is the restriction of $f$ to $\U_l$.\fg

\vspace{0.2cm} (ligne 19) \og All \emph{functions} $\theta \circ f_{(l)}^{-1}$ are analytic on $\V_v$ [...] on $\V(\mathbb{C})$. \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 24) \og The number $\theta \circ f_i^{-1}(z)$ is \emph{a} root [...] \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 25) \og [...] extended \emph{to} $\mathbb{A}^n(\mathbb{C})$ [...] \fg. Par ailleurs, il y a l\`a une erreur math\'ematique : les fonctions $\theta \circ f_i^{-1}$ sont de nature fondamentalement \emph{locale} (l'expression d'une racine via le th\'eor\`eme des fonctions implicites) ne peuvent \emph{pas} \^etre d\'efinies sur tout $\V(\mathbb{C})$ ; seules leurs fonctions sym\'etriques de ces fonctions sont bien d\'efinies sur tout $\V(\mathbb{C})$.

\vspace{0.2cm} (ligne 29) \'Ecrivez plut\^ot \og It follows that $\rP_1(\theta) = 0$ or $\rP_2(\theta) = 0$, which contradicts $m=[\mathbb{C}(\X) : \mathbb{C}(\mathbb{A}^n)]$.\fg.

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{4. Examples} --- (ligne 2) \og [...] hence is connected by Lemma 2\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne  9) \'Ecrivez plut\^ot \og Let $\X_1,\ldots, \X_p$ denote the irreducible components of $\X$. \emph{Consider a decomposition} $\X(\mathbb{C}) = \M_1 \sqcup \M_2$ into two disjoint closed \emph{subsets}.\fg.

\vspace{0.2cm} (ligne 10) \og \emph{Since} $\X_i(\mathbb{C})$ [...]\fg

\vspace{0.2cm} (ligne 11) \og either $\X_i(\mathbb{C}) \subset \M_1$ \emph{or} $\X_{i}(\mathbb{C}) \subset \M_2$.\fg

\vspace{0.2cm} (ligne 12) \'Ecrivez plut\^ot \og $\X_1(\mathbb{C}), \ldots, \X_r(\mathbb{C}) \subset \M_1$ and  $\X_{r+1}(\mathbb{C}), \ldots, \X_p(\mathbb{C}) \subset \M_2$. Since \emph{all} $\X_i$ are closed [...] \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 13) \og $\X_1 \cup \ldots \cup \X_r  = \X$ or $\X_{r+1} \cup \ldots \X_p = \X$, which implies $\M_1 = \X(\mathbb{C})$ or $\M_2 = \X(\mathbb{C})$\fg. Il manque par ailleurs un argument : les inclusions $\X_1(\mathbb{C}), \ldots, \X_r(\mathbb{C}) \subset \M_1$ et $\X_{r+1}(\mathbb{C}), \ldots, \X_p(\mathbb{C}) \subset \M_2$ impliquent que l'identit\'e  $$\X = (\X_1 \cup \ldots \cup \X_r) \cup (\X_{r+1} \cup \ldots \cup \X_p)$$ est une \'ecriture de $\X$ comme r\'eunion de ferm\'es Zariski \emph{disjoints}.

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{5. Analytic lemmas} --- (lignes 1/2) \og [...] an algebraic subvariety \emph{of} $\mathbb{A}^n$ [...] on $\mathbb{A}^n(\mathbb{C}) - \Sr(\mathbb{C})$ which [...] Then $g$ can be extended \emph{to} $\mathbb{A}^n(\mathbb{C})$ \fg

\vspace{0.2cm} (lignes 3/4) \og [...] $g$ can be extended \emph{to} [...] in $\mathbb{A}^n(\mathbb{C})$.\fg

\vspace{0.2cm} (ligne 11) \og of roots of an algebraic equation, there exist [...] \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 12) \'Ecrivez plut\^ot \og $\forall (z', z_n) \in \mathbb{C}^2, \ \ (|z'| \leqslant \varepsilon \ \textrm{and} \ |z_n| = r) \Longrightarrow f(z',z_n) \neq 0$ \fg \ et passez \`a la ligne pour donner l'interpr\'etation.

\vspace{0.2cm} (lignes 13/15) \'Ecrivez plut\^ot \og We can therefore define a function $\G$ on $\U = \{(z',z_n) \in \mathbb{C}^2 \ | \ |z'| \leqslant \varepsilon, \ |z_n|<r\}$ by [...] \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 14) La diff\'erentielle int\'egr\'ee est $\frac{g(z',w)}{w - z_n} dw$.

\vspace{0.2cm} (ligne 16) \og the function $(z',z_n) \mapsto \frac{g(z',w)}{w-z_n}$ is analytic \emph{on} $\U$ [...] \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 17) \og [...] we deduce that $\G$ is analytic on $\U$. \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 18) \'Ecrivez plut\^ot \og analytic outside the points $z_n$ such that $f(z',z_n) = 0$ [...] \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 20) L'\'egalit\'e $\G(z',z_n) = g(z',z_n)$ est valable pour tout couple $(z',z_n)$ tel que $f(z',z_n) \neq 0$. Concluez explicitement.

\vspace{0.2cm} (ligne 22) \og [...] on $\mathbb{A}^n(\mathbb{C})$ and [...] \fg. Pr\'ecisez en outre que $\C$ est une constante r\'eelle positive.

\vspace{0.2cm} (ligne 24) \og [...] of the Taylor \emph{series} of $f$ \fg

\vspace{0.2cm} (ligne 28) \og \emph{Consider} the Taylor \emph{series} of $g$\fg
\end{document}
