Université de Lyon - Université Lyon 1 Semestre d’automne 2008 Cours de Master 2 : Groupes algébriques linéaires

Corrigé de l’examen partiel du 4 novembre 2008

Exercice I — Soit k un corps et soit n ⩾ 1 un nombre entier naturel. On considère un élément non nul a de k.

1. Étant donnée une k-algèbre R, on désigne par G(R) le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau R[T]/(T^{2} − a). Tout homomorphisme de k-algèbres f : R → R′ induit naturellement un homomorphisme d’anneaux R[T]/(T^{2} − a) → R′[T]/(T^{2} − a), lequel donne à son tour naissance à un homomorphisme de groupes G(f) : G(R) → G(R′). On a clairement G(id_{R}) = id_{G(R)} et G(f ∘ g) = G(f) ∘ G(g), donc la correspondance

R ↦ G(R), ( \xymatrix{R \ar[r]^{f} & R′}) ↦ ( \xymatrix{G(R) \ar[r]^{G(f)} & G(R′)})

est un foncteur de la catégorie des k-algèbres dans celle des groupes.

Soit R une k-algèbre. Désignant par t la classe de T, R[T]/(T^{2}− a) est un R-module libre de base (1,t) et la multiplication est donnée par l’identité (u+tv)(u′+tv′) = (uu′+avv′)+(uv′+u′v)t. La Ralgèbre R[T]/(T^{2}− a) admet par ailleurs un automorphisme naturel σ, défini par σ(u + tv) = u − tv, et on a

(u + tv)σ(u + tv) = (u + tv)(u − tv) = u^{2}− av^{2}

pour tous u,v ∈ R.

Si un élément x = u + tv de R[T]/(T^{2}− a) est inversible, il en est de même pour σ(x) et l’identité ci-dessus montre qu’alors u^{2} − av^{2} est un élément inversible de R. Réciproquement, si x = u + tv est un élément de R[T]/(T^{2} − a) tel que xσ(x) = u^{2} − av^{2} ∈ R^{×}, alors x est inversible, d’inverse (xσ(x))^{−1} σ(x).

On a ainsi des bijections fonctorielles

G(R) ≃ {(u,v) ∈ R^{2} | u^{2}− av^{2} ∈ R^{×} }
≃ {(u,v,w) ∈ R × R × R|(u^{2}− av^{2})w = 1}
≃ Hom_{Alg_{k}}(k[U,V,W]/((U^{2}− aV^{2})W − 1),R)

qui montrent que le foncteur en ensembles G est représenté par la k-algèbre de type fini k[U,V,W]/((U^{2}− aV^{2})W − 1). Le foncteur G est donc un groupe algébrique sur k.

2. Supposons que a = α^{2} soit un carré dans k et que le corps k soit de caractéristique différente de 2. Sous ces hypothèse, 2α est inversible dans k, donc dans toute k-algèbre R, et les idéaux (T − α),(T+α) de R[T] sont étrangers en vertu de l’identité \frac{1}{2α} (T+α)− \frac{1}{2α} (T−α) = 1. Comme T^{2}−a = (T − α)(T + α), l’application

\xymatrix{R[T]/(T^{2}− a) \ar[r]^{∼} & R[T]/(T − α) × R[T]/(T + α)} , f mod( T^{2}−a) ↦ (f mod(T − α),f mod(T + α))

est un isomorphisme d’anneaux en vertu du théorème chinois des restes. Cet isomorphismes est fonctoriel R. En composant par l’isomorphisme canonique

R[T]/(T − α) × R[T]/(T + α) → R × R, (f mod(T − α),f mod(T + α)) ↦ (f(α),f(−α)),

on obtient un isomorphisme de k-algèbres, fonctoriel en R, entre R[T]/(T^{2} − a) et R × R. Comme (R × R)^{×} = R^{×} × R^{×}, le groupe G est isomorphe au groupe produit 𝔾_{m}× 𝔾_{m}.

3. Supposons que a = α^{2} soit un carré dans k et que le corps k soit de caractéristique 2. Sous ces hypothèse, T^{2}−a = T^{2}−α^{2} = (T−α)^{2} et, posant X = T−α, on obtient un isomorphisme fonctoriel de R-algèbres R[T]/(T^{2}− a) ≃ R[X]/(X^{2}).

Désignant par x la classe de X, R[X]/(X^{2}) est le R-module libre R ⊕ Rx muni de la multiplication (u + vx)(u′+ v′x) = uu′+ (uv′+ u′v)x. Un élément u + vx est inversible si et seulement si u ∈ R^{×} : la condition est évidemment nécessaire, et elle est suffisante car u^{−2} (u + vx)(u − vx) = 1. Ainsi, (R[T]/(T^{2}))^{×} est le groupe d’ensemble sous-jacent R^{×} × R et de loi de multiplication

(u,v) • (u′,v′) = (uu′,uv′+ u′v).

L’application R^{×} ×R → R^{×} ×R, (u,v) ↦ (u,u^{−1} v) est une bijection transformant la loi de groupe • en la loi standard (u,v)(u′,v′) = (uu′,v + v′). Comme cette application est fonctorielle en R, on en déduit finalement que le groupe G est isomorphe au groupe 𝔾_{m}× 𝔾_{a}.

Exercice II — Première partie — 1. Pour toute k-algèbre R, on identifie les ensembles GL_{n}(R) et Hom_{Alg_{k}}(A,R) en associant à une matrice s ∈ GL_{n}(R) l’unique homomorphisme de k-algèbres \underline{s}: A → R tel que

\underline{s}(X_{ij}) = s_{ij} et \underline{s}(T) = det(s)^{−1} .

Lorsque R = k, cette bijection est reliée aux conventions adoptées dans l’énoncé : étant donné s ∈ GL_{n}(k),

\underline{s}(X_{ij}) = s_{ij} = \overline{X}_{ij}(s) et \underline{s}(T) = det(s)^{−1} = \overline{T}(s)

et donc

\underline{s}(f) = \overline{f} (s)

pour tout f ∈ A.

Étant donnés deux éléments s,t de GL_{n}(R), leur produit st dans GL_{n}(R) correspond à l’homomorphisme de k-algèbres

\overline{st}: \xymatrix{A \ar[r]^{Δ} & A \ar[r]^{(\underline{s},\underline{t})} & R} ,

où (\underline{s},\underline{t}) désigne l’unique homomorphisme de k-algèbres A ⊗_{k}A → R tel que (\underline{s},\underline{t})(a ⊗ 1) = \underline{s}(a) et (\underline{s},\underline{t})(1 ⊗ a) = \underline{t}(a).

Considérons finalement un élément f de A et écrivons Δ(f) sous la forme Δ(f) = ∑_{i∈I} g_{i}⊗ h_{i}. On a

\underline{st}(f) = ((\underline{s},\underline{t}) ∘ Δ)(f) = (\underline{s},\underline{t})Δ(f) = (\underline{s},\underline{t})( ∑_{i∈I}(g_{i}⊗ 1)(1 ⊗ h_{i})) = ∑_{i∈I} \underline{s}(g_{i})\underline{t}(h_{i})

et, si R = k, cette identité se réécrit de manière équivalente sous la forme

\overline{f} (st) = ∑_{i∈I} \overline{g_{i}}(s)\overline{h_{i}}(t).

2. Soit B la k-bigèbre du groupe algébrique G. Identifiant les foncteurs GL_{n} et Hom_{Alg_{k}}(A,·) (resp. G et Hom_{Alg_{k}}(B,·)), l’homomorphisme i : G → GL_{n} provient d’un homomorphisme de k-algèbres i^{∗} : A → B surjectif. Considérons alors le diagramme commutatif

\xymatrix{G(k) \ar[r]^{i_{k}} \ar[d]_{≃} & GL_{n}(k) \ar[d]^{≃} \\ Hom_{Alg_{k}}(B,k) \ar[r]_{(−)∘i^{∗}} & Hom_{Alg_{k}}(A,k)}

La flèche horizontale inférieure étant l’injection d’image {v ∈ Hom_{Alg_{k}}(A,k) | v(ℑ) = 0}, la flèche horizontale supérieure induit une bijection entre G(k) et le sous-ensemble fermé

\{s ∈ GL_{n}(k) | \overline{f} (s) = 0 pour tout f ∈ ℑ\}

de GL_{n}(k). Noter que ce sous-ensemble de GL_{n}(k) est un fait un sous-groupe puisque i_{k} est un homomorphisme de groupes.

3. Pour tout idéal ℑ de A, la bijection ( GL_{n}(k) [figure: ∼]Hom_{Alg_{k}}(A,k), s ↦ \underline{s}) introduite à

la question 1 identifie les sous-ensembles V(ℑ) = \{s ∈ GL_{n}(k) | \overline{f} (s) = 0 pour tout f ∈ ℑ\} et Hom_{Alg_{k}}(A/ℑ,k). Il nous faut donc vérifier l’identité Γ = V(J).

L’inclusion Γ ⊂ V(J) est évidente : pour tout γ ∈ Γ et tout f ∈ J, \overline{f} (γ) = 0 et donc γ ∈ V(J). Pour établir l’inclusion réciproque, on commence par remarquer que l’on a une inclusion I ⊂ J car \overline{f} _{|Γ} = 0 pour tout f ∈ I ; quel que soit alors l’élément s de V(J), \overline{f} (s) = 0 pour tout f ∈ I et donc s ∈ Γ. On obtient ainsi l’identité Γ = V(J).

4. On dispose pour toute k-algèbre C de bijections canoniques

Hom_{Alg_{k}}(B ⊗_{k}B,C) ≅ Hom_{Alg_{k}}(B,C)^{2} ≅ {(u,v) ∈ Hom_{Alg_{k}}(A,C)^{2} | u(J) = v(J) = 0}.

La bijection canonique

Hom_{Alg_{k}}(A,C)^{2} ≅ Hom_{Alg_{k}}(A ⊗_{k}A,C),

faisant correspondre à tout couple (u,v) ∈ Hom_{Alg_{k}}(A,C)^{2} l’unique homomorphisme de k-algèbres w: A ⊗_{k}A → C tel que w(a ⊗ 1) = u(a) et w(1 ⊗ a) = v(a), induit une bijection

Hom_{Alg_{k}}(A,C)^{2} | u(J) = v(J) = 0} ≅ {w ∈ Hom_{Alg_{k}}(A,C) | w(J ⊗_{k}A) = w(A ⊗_{k}J) = 0}
≅ Hom_{Alg_{k}}(A ⊗_{k}A/(J ⊗_{k}A + A ⊗_{k}J),C).

En vertu du lemme de Yoneda, la k-algèbre B⊗_{k}B est ainsi canoniquement isomorphe au quotient de A⊗_{k}A par l’idéal J⊗_{k}A+A⊗_{k}J. (Si l’on explicite toutes les bijections ci-dessus, on constate que cet isomomorphisme canonique n’est autre que l’homomorphisme p ⊗ p: A ⊗_{k}A → B ⊗_{k}B.)

5. Soit f un élément de A tel que Δ(f) ∈ J ⊗_{k}A + A ⊗_{k}J. On dispose par hypothèse d’une écriture de Δ(f) sous la forme Δ(f) = ∑_{α} g_{α} ⊗ h_{α} avec g_{α} ∈ J ou h_{α} ∈ J pour tout α. En vertu de la question 1,

\overline{f} (st) = ∑_{α} \overline{g_{α}} (s)\overline{h_{α}}(t)

pour tous s,t ∈ GL_{n}(k) ; appliquant cela avec s ∈ Γ et t = e l’élément neutre de Γ, on en déduit

\overline{f} (s) = \overline{f} (se) = ∑_{α} \overline{g_{α}} (s)\overline{h_{α}}(e) = 0

puisque g_{α} (s) = 0 ou h_{α} (e) = 0 pour tout α. Ainsi, \overline{f} s’annule identiquement sur Γ.

6. L’unicité de \overline{Δ} est claire : si deux homomorphismes u,v: B → B ⊗_{k}B sont tels que u ∘ p = v ∘ p, alors u = v car p est une application surjective. Pour établir l’existence de \overline{Δ}, il faut vérifier que l’application (p⊗p)∘Δ s’annule identiquement sur l’idéal J ou, de manière équivalente, que Δ(J) est contenu dans J ⊗_{k}A + A ⊗_{k}J.

Soit donc f ∈ J et considérons une base (a_{λ})_{λ∈Λ′∪Λ′′} de A comme k-espace vectoriel telle que (a_{λ})_{λ∈Λ′} soit une base du sous-k-espace vectoriel J. Comme (1 ⊗ a_{λ})_{λ∈Λ′∪Λ′′} est une base de A ⊗_{k}A, Δ(f) s’écrit de manière unique sous la forme

Δ(f) = ∑_{λ∈Λ′∪Λ′′} g_{λ} ⊗ a_{λ}

avec g_{λ} ∈ A. Quel que soit s ∈ Γ, l’élément

∑_{λ∈Λ′∪Λ′′} g_{λ}(s)a_{λ}

de A s’annule identiquement sur Γ en vertu de la question 1, donc appartient à J par définition de cet idéal. On en déduit que l’on a h_{λ}(s) = 0 pour tout λ ∈ Λ′′et tout s ∈ Γ, d’où h_{λ} ∈ J pour tout λ ∈ Λ′′. Ceci prouve que Δ(f) appartient à l’idéal J ⊗_{k}A + A ⊗_{k}J de A ⊗_{k}A, ce qu’il fallait démontrer.

7. En raisonnant comme pour la question 1, on vérifie que l’on a \overline{ι(f)}(s) = \overline{f} (s^{−1} ) pour tous f ∈ A, s ∈ GL_{n}(k). Appliquant ceci avec f ∈ J et s ∈ Γ, on obtient \overline{ι(f)}(s) = 0 puisque s^{−1} ∈ Γ et donc ι(f) ∈ J. L’application p ∘ ι : A → B se factorise donc à travers la projection p et, p étant surjective, il existe un unique homomorphisme \overline{ι}: B → B tel que le diagramme

\xymatrix{A \ar[r]^{ι} \ar[d]_{p} & A \ar[d]^{p} \\ B \ar[r]_{\overline{ι}} & B}

soit commutatif.

Enfin, comme e ∈ Γ, on a e^{∗}(f) = \overline{f} (e) = 0 pour tout f ∈ J. Il existe donc un unique homomorphisme \overline{e}^{∗} : B → k tel que e^{∗} = \overline{e}^{∗}∘ p.

8. Montrons que l’homomorphisme \overline{Δ} est coassociatif. On considère pour cela le diagramme

\xymatrix{A \ar[rrr]^{Δ} \ar[ddd]_{Δ} \ar[dr]_{p} &  &  & A ⊗_{k}A \ar[dl]^{p⊗p} \ar[ddd]^{id_{A}⊗Δ} \\  & B \ar[r]^{\overline{Δ}} \ar[d]_{\overline{Δ}} & B ⊗_{k}B \ar[d]^{id_{B}⊗\overline{Δ}} \\  & B ⊗_{k}B \ar[r]_{\overline{Δ}⊗id_{B}} & B ⊗_{k}B ⊗_{k}B \\ A ⊗_{k}A \ar@{-->}[ur]^{p⊗p} \ar[rrr]_{Δ⊗id_{A}} &  &  & A ⊗_{k}A ⊗_{k}A \ar[ul]_{p⊗p⊗p}}

Le carré extérieur est commutatif puisque (A,Δ,e^{∗},ι) est une bigèbre tandis que chacun des quatre trapèzes est commutatif en vertu de la question 6. On en déduit facilement l’identité (id_{B}⊗ \overline{Δ}) ∘ p = (\overline{Δ} ∘ id_{B}) ∘ p, puis

id_{B}⊗ \overline{Δ} = \overline{Δ} ∘ id_{B}

car p est une application surjective.

Le raisonnement que l’on vient de faire s’applique à chacun des trois autres diagrammes à considérer (counité à gauche et à droite, coinversion).

9. La k-algèbre B = A/J est de type fini puisque quotient de la k-algèbre de type fini A. Utilisant la structure de bigèbre sur B que l’on vient de construire, on définit un groupe algébrique G muni d’un homomorphisme i : G → GL_{n} tel que i^{∗} = p. Enfin, l’application i_{k} induit un isomorphisme entre G(k) = Hom_{Alg_{k}}(B,k) et le sous-groupe fermé Γ ⊂ GL_{n}(k) en vertu de la question 3.

Seconde partie — 10. Quel que soit l’ensemble E, l’application canonique

ρ : E → Hom_{Alg_{k}}(F (E,k),k), e ↦ (φ ↦ φ(e))

est injective. Considérons en effet pour tout e ∈ E la fonction caractéristique 1_{e} : E → k de {e}:

1_{e}(e′) = \{ \begin{matrix}1 & si e′= e \\ 0 & si e′≠ e \end{matrix}

Si e ≠ e′, alors 1_{e}(e) = 1 ≠ 1′_{e}(e) et donc e et e′définissent des éléments distincts de Hom_{Alg_{k}}(F (E,k),k).

Lorsque l’ensemble E est supposé fini, l’application ρ est surjective. On a en effet

1 = ∑_{e∈E}1_{e} et 1_{e}1′_{e} = \{ \begin{matrix}1_{e} & si e′= e \\ 0 & sinon \end{matrix}

donc, pour tout homomorphisme de k-algèbre u: F (E,k) → k,

1 = ∑_{e∈E}u(1_{e}) et u(1_{e})u(1′_{e}) = \{ \begin{matrix}u(1_{e}) & si e′= e \\ 0 & sinon \end{matrix} .

L’identité u(1_{e})^{2} = u(1_{e}) équivaut à u(1_{e})(u(1_{e}) − 1) = 0 et donc implique u(1_{e}) = 0 ou u(1_{e}) = 1 puisque k est un corps. Vu la relation 1 = ∑_{e∈E} u(1_{e}), il existe au moins un e ∈ E tel que u(1_{e}) = 1, et on a alors u(1_{e′}) = 0 pour tout e′∈ E − {e} puisqu’alors u(1_{e})u(1′_{e}) = 0.

On obtient finalement 1′_{e}(u) = 1′_{e}(e) pour tout e′∈ E, donc u(φ) = φ(e) car les fonctions caractéristiques forment une base du k-espace vectoriel F (E,k).

11. Les deux homomorphismes naturels de k-algèbres F (E,k) → F (E × E,k) respectivement définis par

φ ↦ ((e,e′) ↦ φ(e)) et φ ↦ ((e,e′) ↦ φ(e′))

donnent naissance à un homomorphisme canonique

F (E,k) ⊗_{k}F (E,k) → F (E × E,k), ∑_{α} φ_{α} ψ_{α} ↦ ( (e,e′) ↦ ∑_{α} φ_{α} (e)ψ_{α} (e′))

qui envoie la base (1_{e}⊗ 1_{e′})_{(e,e′)∈E×E} de F (E,k) ⊗_{k}F (E,k) sur la base (1_{(e,e′)})_{(e,e′)∈E×E} de F (E × E,k) ; il s’agit donc d’un isomorphisme.

12. Étant donnés deux éléments distincts s et t dans GL_{n}(k), il existe un élément f de A tel que \overline{f} (s) = 1 et \overline{f} (t) = 0 : en effet, si (i,j) est un indice tel que s_{ij} ≠ t_{ij}, il suffit de considérer le polynôme f = (s_{ij} − t_{ij})^{−1} (X_{ij} − t_{ij}).

Si maintenant E est un sous-ensemble fini de GL_{n}(k), on choisit pour tout couple (e,e′) ∈ E × E un élément f_{(e,e′)} de A tel que f_{(e,e′)}(e) = 1 et f_{(e,e′)}(e′) = 0. On pose f_{e} = ∏ _{e′∈E−{e}} f_{(e,e′)} ∈ A et on constate que la restriction de f_{e} à E est la fonction caractéristique 1_{e}. Comme les fonctions caractéristiquent engendrent le k-espace vectoriel F (E,k), la surjectivité de l’application

A → F (E,k), f ↦ f_{|E}

en découle immédiatement.

13. Considérons encore un sous-ensemble fini E de GL_{n}(k) et soit I l’idéal noyau de l’homomorphisme de k-algèbres A → F (E,k), f ↦ \overline{f} _{|E}. L’inclusion

E ⊂ \{s ∈ GL_{n}(k) | \overline{f} (s) = 0 pour tout f ∈ I\}

est évidente. D’autre part, tout élément s de GL_{n}(k) définit un homomorphisme de k-algèbres \underline{s}: A → k, f ↦ \overline{f} (s). Si \overline{f} (s) = 0 pour tout f ∈ I, alors \underline{s}se factorise à travers la projection A → A/I ≅ F (E,k) et donc induit un homomorphisme de k-algèbres F (E,k) → k. On invoque alors la question 10 pour obtenir un élément e de E tel que \overline{f} (e) = \overline{f} (s) pour tout f ∈ A, ce qui implique finalement e = s (cf. argument de la question 10).

14. En faisant agir Γ sur lui-même par translation à gauche, on obtient un homomorphisme injectif Γ → 𝔖(Γ) ≃ 𝔖_{n}, où n = |Γ|. On obtient par ailleurs un isomorphisme entre 𝔖_{n} et un sous-groupe de GL_{n}(k) en considérant l’action suivante de 𝔖_{n} sur la base canonique (e_{1},...,e_{n}) de 𝔖_{n} :

σ · e_{i} = e_{σ(i)}.

Le groupe Γ est par conséquent isomorphe à un sous-groupe de GL_{n}(k) avec n = |Γ| et, en vertu de la question 9, on en déduit qu’il existe un groupe algébrique G sur k tel que G(k) ≃ Γ.

15. Pour toute fonction f ∈ F (Γ,k), \overline{Δ}(f) est la fonction sur Γ × Γ obtenue en composant la multiplication Γ × Γ → Γ par f et donc \overline{Δ}(f)(γ′,γ′′) = f(γ′γ′′). Par suite,

\overline{Δ}(1_{γ}) = ∑_{\begin{matrix}(γ′,γ′′) ∈ Γ^{2} \\ γ′γ′′= γ \end{matrix}} 1_{γ′}⊗ 1_{γ′′}.

On obtient de même

\overline{e}^{∗}(1_{γ}) = \{ \begin{matrix}1 & si γ = e \\ 0 & sinon \end{matrix} et \overline{ι}(1_{γ}) = 1_{γ^{−1}}.

16. On observe que la structure de bigèbre obtenue à la question précédente ne dépend pas du choix d’un isomorphisme entre Γ et un sous-groupe de GL_{n}(k). Il est donc loisible de définir directement une structure de k-bigèbre sur F (Γ,k) en utilisant les identités ci-dessus, ce qui conduit à un groupe algébrique \underline{Γ} sur k tel que \underline{Γ}(k) ≃ Γ.