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\begin{document}
\begin{flushleft}
{\bfseries Universit\'e de Lyon - Universit\'e Lyon 1} \hfill \textbf{Semestre d'automne 2008} \\
{\bfseries Cours de Master 2 : \emph{Groupes alg\'ebriques lin\'eaires}}
\end{flushleft}

\vspace{1cm} \begin{center} {\scshape {\bfseries Corrig\'e de l'examen partiel du 4 novembre 2008}} \end{center}

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Exercice I} --- Soit $k$ un corps et soit $n \geqslant 1$ un nombre entier naturel. On consid\`ere un \'el\'ement \emph{non nul} $a$ de $k$.

\vspace{0.1cm} \textbf{1.} \'Etant donn\'ee une $k$-alg\`ebre $\R$, on d\'esigne par $\G(\R)$ le groupe multiplicatif des \'el\'ements inversibles de l'anneau $\R[\T]/(\T^2 - a)$. Tout homomorphisme de $k$-alg\`ebres $f : \R \rightarrow \R'$ induit naturellement un homomorphisme d'anneaux $\R[\T]/(\T^2 - a) \rightarrow \R'[\T]/(\T^2 - a)$, lequel donne \`a son tour naissance \`a un homomorphisme de groupes $\G(f) : \G(\R) \rightarrow \G(\R')$. On a clairement $\G({\rm id}_{\R}) = {\rm id}_{\G(\R)}$ et $\G(f \circ g) = \G(f) \circ \G(g)$, donc la correspondance $$\R \mapsto \G(\R), \ \ \ (\xymatrix{\R \ar@{->}[r]^f & \R'}) \mapsto (\xymatrix{\G(\R) \ar@{->}[r]^{\G(f)} & \G(\R')})$$ est un foncteur de la cat\'egorie des $k$-alg\`ebres dans celle des groupes.

\vspace{0.1cm} Soit $\R$ une $k$-alg\`ebre. D\'esignant par $t$ la classe de $\T$, $\R[\T]/(\T^2 - a)$ est un $\R$-module libre de base $(1,t)$ et la multiplication est donn\'ee par l'identit\'e $(u+tv)(u'+tv') = (uu'+avv') + (uv'+u'v)t.$  La $\R$-alg\`ebre $\R[\T]/(\T^2 - a)$ admet par ailleurs un automorphisme naturel $\sigma$, d\'efini par $\sigma(u+tv) = u-tv$, et on a
$$(u+tv)\sigma(u+tv) = (u+tv)(u-tv) = u^2 -av^2$$
pour tous $u, v \in \R$.

\vspace{0.1cm}
Si un \'el\'ement $x = u+tv$ de $\R[\T]/(\T^2 - a)$ est inversible, il en est de m\^eme pour $\sigma(x)$ et l'identit\'e ci-dessus montre qu'alors $u^2-av^2$ est un \'el\'ement inversible de $\R$. R\'eciproquement, si $x = u+tv$ est un \'el\'ement de $\R[\T]/(\T^2 - a)$ tel que $x\sigma(x) = u^2 - av^2 \in \R^{\times}$, alors $x$ est inversible, d'inverse $(x\sigma(x))^{-1}\sigma(x)$.

On a ainsi des bijections fonctorielles \begin{eqnarray*} \G(\R) & \simeq & \{(u,v) \in \R^2 \ | \ u^2 - av^2 \in \R^{\times}\} \\ & \simeq & \{(u,v,w) \in \R \times \R \times \R | (u^2 - av^2)w = 1\} \\
& \simeq & {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_{k}}(k[\U,\V, \W]/((\U^2 - a\V^2)\W - 1),\R) \end{eqnarray*}
qui montrent que le foncteur en ensembles $\G$ est repr\'esent\'e par la $k$-alg\`ebre de type fini $k[\U,\V,\W]/((\U^2 - a\V^2)\W - 1)$. Le foncteur $\G$ est donc un groupe alg\'ebrique sur $k$.

\vspace{0.2cm} \textbf{2.} Supposons que $a = \alpha^2$ soit un carr\'e dans $k$ et que le corps $k$ soit de caract\'eristique diff\'erente de $2$. Sous ces hypoth\`ese, $2\alpha$ est inversible dans $k$, donc dans toute $k$-alg\`ebre $\R$, et les id\'eaux $(\T - \alpha),  (\T + \alpha)$ de $\R[\T]$ sont \'etrangers en vertu de l'identit\'e $\frac{1}{2\alpha}(\T + \alpha) - \frac{1}{2\alpha}(\T - \alpha) = 1$. Comme $\T^2 - a = (\T - \alpha)(\T + \alpha)$, l'application $$\xymatrix{\R[\T]/(\T^2 - a) \ar@{->}[r]^{\hspace{-0.6cm}\sim} & \R[\T]/(\T - \alpha) \times \R[\T]/(\T + \alpha)}, \ \ \ f \  \mathrm{mod} (\ T^2 - a) \mapsto \left(f \ \mathrm{mod} (\T - \alpha), f \ \mathrm{mod} \ (\T + \alpha)\right)$$ est un isomorphisme d'anneaux en vertu du th\'eor\`eme chinois des restes. Cet isomorphismes est fonctoriel $\R$. En composant par l'isomorphisme canonique $$\R[\T]/(\T - \alpha) \times \R[\T]/(\T + \alpha) \rightarrow \R \times \R, \ \ \left(f \ \mathrm{mod} (T - \alpha), f \ \mathrm{mod} (\T + \alpha)\right) \mapsto (f(\alpha), f(-\alpha)),$$ on obtient un isomorphisme de $k$-alg\`ebres, fonctoriel en $\R$, entre $\R[\T]/(\T^2 - a)$ et $\R \times \R$. Comme $(\R \times \R)^{\times} = \R^{\times} \times \R^{\times}$, le groupe $\G$ est isomorphe au groupe produit $\mathbb{G}_{\rm m} \times \mathbb{G}_{\rm m}$.

\vspace{0.2cm} \textbf{3.} Supposons que $a = \alpha^2$ soit un carr\'e dans $k$ et que le corps $k$ soit de caract\'eristique $2$. Sous ces hypoth\`ese, $\T^2 - a = \T^2 - \alpha^2 = (\T - \alpha)^2$ et, posant $\X = \T - \alpha$, on obtient un isomorphisme fonctoriel de $\R$-alg\`ebres $\R[\T]/(\T^2 - a) \simeq \R[\X]/(\X^2)$.

D\'esignant par $x$ la classe de $\X$, $\R[\X]/(\X^2)$ est le $\R$-module libre $\R \oplus \R x$ muni de la multiplication $(u+vx)(u'+v'x) = uu' + (uv'+u'v)x$. Un \'el\'ement $u + vx$ est inversible si et seulement si $u \in \R^{\times}$ : la condition est \'evidemment n\'ecessaire, et elle est suffisante car $u^{-2}(u+vx)(u-vx)=1$. Ainsi, $(\R[\T]/(\T^2))^{\times}$ est le groupe d'ensemble sous-jacent $\R^{\times} \times \R$ et de loi de multiplication $$(u,v) \bullet (u',v') = (uu', uv'+u'v).$$

\vspace{0.1cm} L'application $\R^{\times} \times \R \rightarrow \R^{\times} \times \R, \ \ \ (u,v) \mapsto (u, u^{-1}v)$ est une bijection transformant la loi de groupe $\bullet$ en la loi standard $(u,v)(u',v') = (uu', v+v')$. Comme cette application est fonctorielle en $\R$, on en d\'eduit finalement que le groupe $\G$ est isomorphe au groupe $\mathbb{G}_{\rm m} \times \mathbb{G}_{\rm a}$.

\vspace{0.7cm} \noindent \textbf{Exercice II} --- \textbf{\emph{Premi\`ere partie}} --- \textbf{1.} Pour toute $k$-alg\`ebre $\R$, on identifie les ensembles ${\rm GL}_n(\R)$ et ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\R)$ en associant \`a une matrice $s \in {\rm GL}_n(\R)$ l'unique homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\underline{s} : \A \rightarrow \R$  tel que $$\underline{s}(\X_{ij}) = s_{ij} \ \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ \ \ \underline{s}(\T) = {\rm det}(s)^{-1}.$$ Lorsque $\R = k$, cette bijection est reli\'ee aux conventions adopt\'ees dans l'\'enonc\'e : \'etant donn\'e $s \in {\rm GL}_n(k)$, $$\underline{s}(\X_{ij}) = s_{ij} = \overline{X}_{ij}(s) \ \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ \  \underline{s}(\T) = {\rm det}(s)^{-1} = \overline{\T}(s)$$ et donc $$\underline{s}(f) = \overline{f}(s)$$ pour tout $f \in \A$.

\vspace{0.1cm}
\'Etant donn\'es deux \'el\'ements $s, t$ de ${\rm GL}_n(\R)$, leur produit $st$ dans ${\rm GL}_n(\R)$ correspond \`a l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres $$\overline{st} : \xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\Delta} & \A \ar@{->}[r]^{(\underline{s},\underline{t})} & \R},$$ o\`u $(\underline{s},\underline{t})$ d\'esigne l'unique homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\A \otimes_k \A \rightarrow \R$ tel que $(\underline{s},\underline{t})(a \otimes 1) =  \underline{s}(a)$ et $(\underline{s},\underline{t})(1 \otimes a) = \underline{t}(a)$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons finalement un \'el\'ement $f$ de $\A$ et \'ecrivons $\Delta(f)$ sous la forme $\Delta(f) = \sum_{i \in \I}g_i \otimes h_i$. On a $$\underline{st}(f) = ((\underline{s}, \underline{t}) \circ \Delta)(f) = (\underline{s},\underline{t})\Delta(f) = (\underline{s},\underline{t}) \left(\sum_{i \in \I} (g_i \otimes 1)(1 \otimes h_i)\right) = \sum_{i \in \I} \underline{s}(g_i) \underline{t}(h_i)$$ et, si $\R = k$, cette identit\'e se r\'e\'ecrit de mani\`ere \'equivalente sous la forme $$\overline{f}(st) = \sum_{i \in \I} \overline{g_i}(s) \overline{h_i}(t).$$


\vspace{0.2cm} \textbf{2.} Soit $\B$ la $k$-big\`ebre du groupe alg\'ebrique $\G$. Identifiant les foncteurs ${\rm GL}_n$ et ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\cdot)$ (resp. $\G$ et ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\B,\cdot)$), l'homomorphisme $i : \G \rightarrow {\rm GL}_n$ provient d'un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $i^* : \A \rightarrow \B$ \emph{surjectif}. Consid\'erons alors le diagramme commutatif $$\xymatrix{\G(k) \ar@{->}[r]^{i_k} \ar@{->}[d]_{\simeq} & {\rm GL}_n(k) \ar@{->}[d]^{\simeq} \\ {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\B, k) \ar@{->}[r]_{(-) \circ i^{*}} & {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k)}$$ La fl\`eche horizontale inf\'erieure \'etant l'injection d'image $\{v \in {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k) \ | \ v(\mathfrak{I}) = 0\}$, la fl\`eche horizontale sup\'erieure induit une bijection entre $\G(k)$ et le sous-ensemble ferm\'e $$\{s \in {\rm GL}_n(k) \ | \ \overline{f}(s) = 0 \ \ \textrm{pour tout } f \in \mathfrak{I}\}$$ de ${\rm GL}_n(k)$. Noter que ce sous-ensemble de ${\rm GL}_n(k)$ est un fait un sous-groupe puisque $i_k$ est un homomorphisme de groupes.

\vspace{0.2cm} \textbf{3.} Pour tout id\'eal $\mathfrak{I}$ de $\A$, la bijection $\left({\rm GL}_n(k) \xymatrix{\ar@{->}[r]^{\sim} & } {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,k), \ \ s \mapsto \underline{s}\right)$ introduite \`a la question 1 identifie les sous-ensembles $\V(\mathfrak{I}) = \{s \in {\rm GL}_n(k) \ | \ \overline{f}(s) = 0 \ \textrm{ pour tout } f \in \mathfrak{I}\}$ et ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A/\mathfrak{I}, k)$. Il nous faut donc v\'erifier l'identit\'e $\Gamma = \V(\J)$.

L'inclusion $\Gamma \subset \V(\J)$ est \'evidente : pour tout $\gamma \in \Gamma$ et tout $f \in \J$, $\overline{f}(\gamma) = 0$ et donc $\gamma \in \V(\J)$. Pour \'etablir l'inclusion r\'eciproque, on commence par remarquer que l'on a une inclusion $\I \subset \J$ car $\overline{f}_{|\Gamma} = 0$ pour tout $f \in \I$ ; quel que soit alors l'\'el\'ement $s$ de $\V(\J)$, $\overline{f}(s) = 0$ pour tout $f \in \I$ et donc $s \in \Gamma$. On obtient ainsi l'identit\'e $\Gamma = \V(\J)$.

\vspace{0.2cm} \textbf{4.} On dispose pour toute $k$-alg\`ebre $\C$ de bijections canoniques $${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\B \otimes_k \B, \C) \cong {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\B,\C)^2 \cong \{(u,v) \in {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A, \C)^2 \ | \ u(\J) = v(\J) = 0\}.$$ La bijection canonique $${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\C)^2 \cong {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A \otimes_k \A, \C),$$ faisant correspondre \`a tout couple $(u,v) \in {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\C)^2$ l'unique homomorphisme de $k$-alg\`ebres $w : \A \otimes_k \A \rightarrow \C$ tel que $w(a \otimes 1) = u(a)$ et $w(1 \otimes a) = v(a)$, induit une bijection \begin{eqnarray*} {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A, \C)^2 \ | \ u(\J) = v(\J) = 0\} & \cong  & \{w \in {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A,\C) \ | \ w(\J \otimes_k \A) = w(\A \otimes_k \J) = 0\} \\ & \cong & {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\A \otimes_k \A/(\J \otimes_k \A + \A \otimes_k \J), \C).\end{eqnarray*}

\vspace{0.1cm} En vertu du lemme de Yoneda, la $k$-alg\`ebre $\B \otimes_k \B$ est ainsi canoniquement isomorphe au quotient de $\A \otimes_k \A$ par l'id\'eal $\J \otimes_k \A + \A \otimes_k \J$. (Si l'on explicite toutes les bijections ci-dessus, on constate que cet isomomorphisme canonique n'est autre que l'homomorphisme $p \otimes p : \A \otimes_k \A \rightarrow \B \otimes_k \B$.)

\vspace{0.2cm} \textbf{5.} Soit $f$ un \'el\'ement de $\A$ tel que $\Delta(f) \in \J \otimes_k \A  + \A \otimes_k \J$. On dispose par hypoth\`ese d'une \'ecriture de $\Delta(f)$ sous la forme $\Delta(f) = \sum_{\alpha} g_\alpha \otimes h_\alpha$ avec $g_\alpha \in \J$ ou $h_\alpha \in \J$ pour tout $\alpha$. En vertu de la question 1, $$\overline{f}(st) = \sum_{\alpha} \overline{g_{\alpha}}(s) \overline{h_{\alpha}}(t)$$ pour tous $s, t \in {\rm GL}_n(k)$ ; appliquant cela avec $s \in \Gamma$ et $t = e$ l'\'el\'ement neutre de $\Gamma$, on en d\'eduit $$\overline{f}(s) = \overline{f}(se) = \sum_{\alpha} \overline{g_{\alpha}}(s) \overline{h_{\alpha}}(e) = 0$$ puisque $g_{\alpha}(s) = 0$ ou $h_{\alpha}(e) = 0$ pour tout $\alpha$. Ainsi, $\overline{f}$ s'annule identiquement sur $\Gamma$.

\vspace{0.2cm} \textbf{6.} L'unicit\'e de $\overline{\Delta}$ est claire : si deux homomorphismes $u,v : \B \rightarrow \B \otimes_k \B$ sont tels que $u \circ p =v  \circ p$, alors $u = v$ car $p$ est une application surjective. Pour \'etablir l'existence de $\overline{\Delta}$, il faut v\'erifier que l'application $(p \otimes p) \circ \Delta$ s'annule identiquement sur l'id\'eal $\J$ ou, de mani\`ere \'equivalente, que $\Delta(\J)$ est contenu dans $\J \otimes_k \A + \A \otimes_k \J$.

\vspace{0.1cm} Soit donc $f \in \J$ et consid\'erons une base $(a_{\lambda})_{\lambda \in  \Lambda' \cup \Lambda''}$ de $\A$ comme $k$-espace vectoriel telle que $(a_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda'}$ soit une base du sous-$k$-espace vectoriel $\J$. Comme $(1 \otimes a_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda' \cup \Lambda''}$ est une base de $\A \otimes_k \A$, $\Delta(f)$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme $$\Delta(f) = \sum_{\lambda \in \Lambda' \cup \Lambda''} g_{\lambda} \otimes a_{\lambda}$$ avec $g_{\lambda} \in \A$. Quel que soit $s \in \Gamma$, l'\'el\'ement $$\sum_{\lambda \in \Lambda' \cup \Lambda''} g_{\lambda}(s) a_{\lambda}$$ de $\A$ s'annule identiquement sur $\Gamma$ en vertu de la question 1, donc appartient \`a $\J$ par d\'efinition de cet id\'eal. On en d\'eduit que l'on a $h_{\lambda}(s) = 0$ pour tout $\lambda \in \Lambda''$ et tout $s \in \Gamma$, d'o\`u $h_{\lambda} \in \J$ pour tout $\lambda \in \Lambda''$. Ceci prouve que $\Delta(f)$ appartient \`a l'id\'eal $\J \otimes_k \A + \A \otimes_k \J$ de $\A \otimes_k \A$, ce qu'il fallait d\'emontrer.

\vspace{0.2cm} \textbf{7.} \vspace{0.1cm} En raisonnant comme pour la question 1, on v\'erifie que l'on a $\overline{\iota(f)}(s) = \overline{f}(s^{-1})$ pour tous $f \in \A$, $s \in {\rm GL}_n(k)$. Appliquant ceci avec $f \in \J$ et $s \in \Gamma$, on obtient $\overline{\iota(f)}(s) = 0$ puisque $s^{-1} \in \Gamma$ et donc $\iota(f) \in \J$. L'application $p \circ \iota : \A \rightarrow \B$ se factorise donc \`a travers la projection $p$ et, $p$ \'etant surjective, il existe un unique homomorphisme $\overline{\iota} : \B \rightarrow \B$ tel que le diagramme $$\xymatrix{\A \ar@{->}[r]^{\iota} \ar@{->}[d]_{p} & \A \ar@{->}[d]^{p} \\ \B \ar@{->}[r]_{\overline{\iota}} & \B}$$ soit commutatif.

\vspace{0.1cm} Enfin, comme $e \in \Gamma$, on a $e^{*}(f) = \overline{f}(e) = 0$ pour tout $f \in \J$. Il existe donc un unique homomorphisme $\overline{e}^* : \B \rightarrow k$ tel que $e^* = \overline{e}^* \circ p$.

\vspace{0.2cm} \textbf{8.} Montrons que l'homomorphisme $\overline{\Delta}$ est coassociatif. On consid\`ere pour cela le diagramme $$\xymatrix{\A \ar@{->}[rrr]^{\Delta} \ar@{->}[ddd]_{\Delta} \ar@{->}[rd]_p & & & \A \otimes_k \A \ar@{->}[ld]^{p \otimes p} \ar@{->}[ddd]^{{\rm id}_{\A} \otimes \Delta} \\ & \B \ar@{->}[r]^{\overline{\Delta}} \ar@{->}[d]_{\overline{\Delta}} & \B \otimes_k \B \ar@{->}[d]^{{\rm id}_{\B} \otimes \overline{\Delta}} & \\ & \B \otimes_k \B \ar@{->}[r]_{\overline{\Delta} \otimes {\rm id}_{\B}} & \B \otimes_k \B \otimes_k \B & \\ \A \otimes_k \A \ar@{->}[ru]^{p \otimes p} \ar@{->}[rrr]_{\Delta \otimes {\rm id}_{\A}} & & & \A \otimes_k \A \otimes_k \A \ar@{->}[lu]_{p \otimes p \otimes p} }$$

Le carr\'e ext\'erieur est commutatif puisque $(\A, \Delta, e^{*}, \iota)$ est une big\`ebre tandis que chacun des quatre trap\`ezes est commutatif en vertu de la question 6. On en d\'eduit facilement l'identit\'e $({\rm id}_{\B} \otimes \overline{\Delta})  \circ p = (\overline{\Delta} \circ {\rm id}_{\B})  \circ p$, puis $${\rm id}_{\B} \otimes \overline{\Delta} = \overline{\Delta} \circ {\rm id}_{\B}$$ car $p$ est une application \emph{surjective}. 

\vspace{0.1cm} Le raisonnement que l'on vient de faire s'applique \`a chacun des trois autres diagrammes \`a consid\'erer (counit\'e \`a gauche et \`a droite, coinversion).

\vspace{0.2cm} \textbf{9.} La $k$-alg\`ebre $\B = \A/\J$ est de type fini puisque quotient de la $k$-alg\`ebre de type fini $\A$. Utilisant la structure de big\`ebre sur $\B$ que l'on vient de construire, on d\'efinit un groupe alg\'ebrique $\G$ muni d'un homomorphisme $i : \G \rightarrow {\rm GL}_n$ tel que $i^* = p$. Enfin, l'application $i_k$ induit un isomorphisme entre $\G(k) = {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\B,k)$ et le sous-groupe ferm\'e $\Gamma \subset {\rm GL}_n(k)$ en vertu de la question 3.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{\emph{Seconde partie}} --- \vspace{0.2cm} \textbf{10.} Quel que soit l'ensemble $\E$, l'application canonique $$ \rho : \E \rightarrow {\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{F}(\E,k), k), \ \ e \mapsto (\varphi \mapsto \varphi(e))$$ est injective. Consid\'erons en effet pour tout $e \in \E$ la fonction caract\'eristique ${\mathbf 1}_e : \E \rightarrow k$ de $\{e\}$ : $$\mathbf{1}_{e}(e') = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \textrm{ si } e' = e \\ 0 & \textrm{ si } e' \neq e  \end{array} \right.$$ Si $e \neq e'$, alors $\mathbf{1}_e (e) = 1 \neq \mathbf{1}_e'(e)$ et donc $e$ et $e'$ d\'efinissent des \'el\'ements distincts de ${\rm Hom}_{\mathbf{Alg}_k}(\mathcal{F}(\E,k),k)$.

\vspace{0.1cm} Lorsque l'ensemble $\E$ est suppos\'e fini, l'application $\rho$ est surjective. On a en effet $$ 1 = \sum_{e \in \E} \mathbf{1}_e \ \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ \ \mathbf{1}_e \mathbf{1}_e' = \left\{\begin{array}{ll} \mathbf{1}_e & \textrm{ si } e' = e \\ 0 & \textrm{ sinon} \end{array} \right.$$
donc, pour tout homomorphisme de $k$-alg\`ebre $u : \mathcal{F}(\E,k) \rightarrow k$, $$1 = \sum_{e \in \E} u(\mathbf{1}_e) \ \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ \ u(\mathbf{1}_e) u(\mathbf{1}_e') = \left\{\begin{array}{ll} u(\mathbf{1}_e) & \textrm{ si } e' = e \\ 0 & \textrm{ sinon} \end{array} \right. . $$ L'identit\'e $u(\mathbf{1}_e)^2 = u(\mathbf{1}_e)$ \'equivaut \`a $u(\mathbf{1}_e)(u(\mathbf{1}_e) - 1) = 0$ et donc implique $u(\mathbf{1}_e) = 0$ ou $u(\mathbf{1}_e) = 1$ puisque $k$ est un corps. Vu la relation $1 = \sum_{e \in \E} u(\mathbf{1}_e)$, il existe au moins un $e \in \E$ tel que $u(\mathbf{1}_e) = 1$, et on a alors $u(\mathbf{1}_{e'}) = 0$ pour tout $e ' \in \E - \{e\}$ puisqu'alors $u(\mathbf{1}_e)u(\mathbf{1}_e') = 0$.

On obtient finalement $\mathbf{1}_e'(u) = \mathbf{1}_e'(e)$ pour tout $e' \in \E$, donc $u(\varphi) = \varphi(e)$ car les fonctions caract\'eristiques forment une base du $k$-espace vectoriel $\mathcal{F}(\E,k)$.


\vspace{0.2cm} \textbf{11.} Les deux homomorphismes naturels de $k$-alg\`ebres $\mathcal{F}(\E, k) \rightarrow \mathcal{F}(\E \times \E, k)$ respectivement d\'efinis par $$\varphi \mapsto ((e,e') \mapsto \varphi(e)) \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ \varphi \mapsto ((e,e') \mapsto \varphi(e'))$$ donnent naissance \`a un homomorphisme canonique $$\mathcal{F}(\E,k) \otimes_k \mathcal{F}(\E,k) \rightarrow \mathcal{F}(\E \times \E,k), \ \ \ \sum_{\alpha} \varphi_{\alpha} \psi_{\alpha} \mapsto \left( (e,e') \mapsto \sum_{\alpha} \varphi_{\alpha}(e) \psi_{\alpha}(e') \right)$$ qui envoie la base $(\mathbf{1}_{e} \otimes \mathbf{1}_{e'})_{(e,e') \in \E \times \E}$ de $\mathcal{F}(\E,k) \otimes_k \mathcal{F}(\E,k)$ sur la base $(\mathbf{1}_{(e,e')})_{(e,e') \in \E \times \E}$ de $\mathcal{F}(\E \times \E,k)$ ; il s'agit donc d'un isomorphisme.

\vspace{0.2cm} \textbf{12.} \'Etant donn\'es deux \'el\'ements distincts $s$ et $t$ dans ${\rm GL}_n(k)$, il existe un \'el\'ement $f$ de $\A$ tel que $\overline{f}(s)=1$ et $\overline{f}(t) = 0$ : en effet, si $(i,j)$ est un indice tel que $s_{ij} \neq t_{ij}$, il suffit de consid\'erer le polyn\^ome $f = (s_{ij} - t_{ij})^{-1}(\X_{ij} - t_{ij})$. 

Si maintenant $\E$ est un sous-ensemble fini de ${\rm GL}_n(k)$, on choisit pour tout couple $(e,e') \in \E \times \E$ un \'el\'ement $f_{(e,e')}$ de $\A$ tel que $f_{(e,e')}(e) = 1$ et $f_{(e,e')}(e') = 0$. On pose $f_{e} = \prod_{e' \in \E - \{e\}} f_{(e,e')} \in \A$ et on constate que la restriction de $f_{e}$ \`a $\E$ est la fonction caract\'eristique $\mathbf{1}_e$. Comme les fonctions caract\'eristiquent engendrent le $k$-espace vectoriel $\mathcal{F}(\E,k)$, la surjectivit\'e de l'application $$\A \rightarrow \mathcal{F}(\E,k), \ \ f \mapsto f_{|\E}$$ en d\'ecoule imm\'ediatement.

\vspace{0.2cm} \textbf{13.} Consid\'erons encore un sous-ensemble fini $\E$ de ${\rm GL}_n(k)$ et soit $\I$ l'id\'eal noyau de l'homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\A \rightarrow \mathcal{F}(\E,k), \ \ \ f \mapsto \overline{f}_{|\E}$. L'inclusion $$\E \subset \{s \in {\rm GL}_n(k) \ | \ \overline{f}(s) = 0 \ \textrm{ pour tout } f \in \I\}$$ est \'evidente. D'autre part, tout \'el\'ement $s$ de ${\rm GL}_n(k)$ d\'efinit un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\underline{s} : \A \rightarrow k, \ \ f \mapsto \overline{f}(s)$. Si $\overline{f}(s) = 0$ pour tout $f \in \I$, alors $\underline{s}$ se factorise \`a travers la projection $\A \rightarrow \A/\I \cong \mathcal{F}(\E,k)$ et donc induit un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\mathcal{F}(\E,k) \rightarrow k$. On invoque alors la question 10 pour obtenir un \'el\'ement $e$ de $\E$ tel que $\overline{f}(e) = \overline{f}(s)$ pour tout $f \in \A$, ce qui implique finalement $e = s$ (cf. argument de la question 10).

\vspace{0.2cm} \textbf{14.} En faisant agir $\Gamma$ sur lui-m\^eme par translation \`a gauche, on obtient un homomorphisme injectif $\Gamma \rightarrow \mathfrak{S}(\Gamma) \simeq \mathfrak{S}_n$, o\`u $n = |\Gamma|$. On obtient par ailleurs un isomorphisme entre $\mathfrak{S}_n$ et un sous-groupe de ${\rm GL}_n(k)$ en consid\'erant l'action suivante de $\mathfrak{S}_n$ sur la base canonique $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\mathfrak{S}_n$ : $$\sigma \cdot e_i = e_{\sigma(i)}.$$

Le groupe $\Gamma$ est par cons\'equent isomorphe \`a un sous-groupe de ${\rm GL}_n(k)$ avec $n = |\Gamma|$ et, en vertu de la question 9, on en d\'eduit qu'il existe un groupe alg\'ebrique $\G$ sur $k$ tel que $\G(k) \simeq \Gamma$.


\vspace{0.2cm} \textbf{15.} Pour toute fonction $f \in \mathcal{F}(\Gamma,k)$, $\overline{\Delta}(f)$ est la fonction sur $\Gamma \times \Gamma$ obtenue en composant la multiplication $\Gamma \times \Gamma \rightarrow \Gamma$ par $f$ et donc $\overline{\Delta}(f)(\gamma', \gamma'') = f(\gamma'\gamma'')$. Par suite, $$\overline{\Delta}(\mathbf{1}_{\gamma}) = \sum_{{\tiny \begin{array}{l} (\gamma', \gamma'') \in \Gamma^2 \\ \gamma' \gamma'' = \gamma \end{array} }} \mathbf{1}_{\gamma'} \otimes \mathbf{1}_{\gamma''}.$$
On obtient de m\^eme $$\overline{e}^*(\mathbf{1}_{\gamma}) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \textrm{ si } \gamma = e  \\ 0 & \textrm{ sinon} \end{array} \right. \ \ \textrm{ et } \ \ \overline{\iota}(\mathbf{1}_{\gamma}) = \mathbf{1}_{\gamma^{-1}}.$$

\vspace{0.2cm} \textbf{16.} On observe que la structure de big\`ebre obtenue \`a la question pr\'ec\'edente ne d\'epend pas du choix d'un isomorphisme entre $\Gamma$ et un sous-groupe de ${\rm GL}_n(k)$. Il est donc loisible de d\'efinir directement une structure de $k$-big\`ebre sur $\mathcal{F}(\Gamma,k)$ en utilisant les identit\'es ci-dessus, ce qui conduit \`a un groupe alg\'ebrique $\underline{\Gamma}$ sur $k$ tel que $\underline{\Gamma}(k) \simeq \Gamma$.

%\vspace{0.2cm} \textbf{17.} Soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$ et soit $i : \G \rightarrow {\rm GL}_n$ un isomorphisme sur un sous-groupe de ${\rm GL}_n$, dont l'existence est garantie par le th\'eor\`eme de Chevalley (pour un certain entier $n$). Le morphisme $i$ correspond \`a un homomorphisme surjectif de $k$-alg\`ebres $i^* : \A \rightarrow \B$, o\`u $\A$ (resp. $\B$) d\'esigne l'anneau de coordonn\'ees de ${\rm GL}_n$ (resp. de $\G$). Notons $\I$ le noyau de $i^{*}$.

%\vspace{0.1cm} Si $\lambda : \Gamma \rightarrow \G(k)$ est un homomorphisme \emph{injectif} d'un groupe fini dans $\G(k)$, les \'el\'ements de $\I$ s'annulent %identiquement sur l'image de $\Gamma$ dans ${\rm GL}_n(k)$ et l'application $$\A \rightarrow \mathcal{F}(\Gamma,k), \ \ f \mapsto \overline{f} \circ \lambda$$ se factorise \`a travers la projection $i^* : \A \rightarrow \B$. On en d\'eduit un homomorphisme de $k$-alg\`ebres $\B \rightarrow \mathcal{F}(\Gamma,k)$ qui est automatiquement un homomorphisme de $k$-big\`ebres en vertu de la surjectivit\'e de $p$.



\end{document} 