Université de Lyon - Université Lyon 1 Semestre d’automne 2008

Cours de Master 2 : Groupes algébriques linéaires

Examen terminal du 12 janvier 2008

Durée : 3 heures

Les notes de cours sont autorisées.

Remarque importante : Ce sujet est constitué de trois exercices. Les résultats de l’exercice II sont utilisés au cours de l’exercice III (questions 9 et 10) ; on pourra les admettre pour traiter ce dernier.

Exercice I — Soit k un corps de caractéristique distincte de 2 et soit b une forme bilinéaire non dégénérée sur V. Un vecteur v ∈ V est dit isotrope si b(v,v) = 0.

1. Démontrer que le foncteur O(V,b) : Alg_{k} → Gr associant à toute k-algèbre R le sousgroupe O(V,b)(R) de GL(V ⊗_{k}R) constitué des automorphismes R-linéaires de V ⊗_{k}R préservant la forme bilinéaire symétrique b_{R} = b ⊗ 1 est un groupe algébrique.

2. Supposons que v soit un vecteur isotrope non nul. Démontrer qu’il existe un vecteur v′∈ V tel que

b(v,v′) = 1 et b(v′,v′) = 0

puis utiliser le sous-espace vectoriel Vect(v,v′) pour définir un isomorphisme entre 𝔾_{m} et un sous-groupe de O(V,b) admettant v comme vecteur propre.

3. Supposons réciproquement que le groupe O(V,b) possède un sous-groupe isomorphe à 𝔾_{m}. Démontrer qu’il existe un vecteur isotrope non nul dans V.

Exercice II — Soit k un corps.

1. Soit V un k-espace vectoriel de dimension finie et soit u un automorphisme de V. On désigne par ǔl’automorphisme du k-espace vectoriel dual V^{∨} défini par ǔ(φ) = φ ∘ u^{−1} .

Démontrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i) u est une homothétie ;

(ii) ǔ⊗ u est l’identité de V^{∨} ⊗_{k}V.

Soient G un k-groupe algébrique et H un sous-groupe de G. En vertu du théorème de Chevalley, il existe une représentation linéaire fidèle de dimension finie ρ : G ↪ GL_{V} et une droite vectorielle W ⊂ V telles que H = Stab_{G}(W).

2. Démontrer qu’il existe un k-espace vectoriel V′ de dimension finie et un homomorphisme f : G(k) → GL(V′) satisfaisant aux conditions suivantes :

(i) ker(f) = H(k) ;

(ii) f est continu relativement aux topologies de Zariski ;

(iii) l’image par f d’un élément semi-simple (resp. unipotent) est semi-simple (resp. uni-

potente). (Indication : considérer un vecteur non nul de W et le plus petit sous-espace G(k)-invariant de V le contenant.)

Exercice III — Étant donné un groupe abstrait Γ, on définit inductivement une suite décroissante (C^{m}(Γ))_{m⩾0} de sous-groupes distingués de Γ en posant

C^{0}(Γ) = Γ, C^{1}(Γ) = D(Γ) = (Γ,Γ) et C^{m+1}(Γ) = (Γ,C^{m}(Γ)),

où (A,B) désigne le sous-groupe de Γ engendré par les commutateurs [x,y] avec x ∈ A, y ∈ B.

On dit que le groupe Γ est nilpotent s’il existe un entier naturel n tel que C^{n}(Γ) = {1}.

Soit k un corps algébriquement clos. Cet exercice a pour objet de caractériser les groupes nilpotents parmi les sous-groupes fermés et connexes de GL_{N}(k).

Notation : si Γ est un sous-groupe de GL_{N}(k), on désigne par Γ_{s} (resp. Γ_{u}) l’ensemble des éléments semi-simples (resp. unipotents) de Γ.

Remarque préliminaire : on établit comme dans le cours (lemme 6.1.1) les inclusions

C^{m}(Γ) ⊂ C^{m}(\overline{Γ}) ⊂ \overline{C^{m}(Γ)}

pour tout sous-groupe Γ de GL_{N}(k) et tout nombre entier m. Ce fait peut être librement utilisé dans ce qui suit.

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Première partie — On considère tout d’abord un sous-groupe fermé et connexe Γ de GL_{N}(k) tel que

(i) Γ_{s} et Γ_{u} soient deux sous-groupes de Γ ;

(ii) Γ_{s} soit abélien.

1. Démontrer que Γ est le produit direct de Γ_{s} et Γ_{u}. En déduire que Γ_{s} est central, c’està-dire contenu dans le centre de Γ.

2. Démontrer que les deux projections Γ → Γ_{s} et Γ → Γ_{u} sont des applications polynomiales en les coefficients matriciels et l’inverse du déterminant. En déduire que Γ_{s} et Γ_{u} sont connexes.

3. Démontrer que Γ est nilpotent.

Deuxième partie — On considère maintenant un sous-groupe nilpotent Γ de GL_{N}(k), que l’on suppose connexe mais non nécessairement fermé.

4 Démontrer que Γ_{u} est un sous-groupe distingué de Γ.

5. Si Γ est en outre fermé, démontrer que Γ_{u} est fermé.

6. Démontrer que tout sous-groupe H de Γ formé d’éléments semi-simples est abélien, et que H est central si c’est un sous-groupe distingué.

Troisième partie — On considère finalement un sous-groupe Γ de GL_{N}(k), que l’on suppose fermé, connexe et nilpotent.

En raisonnant par récurrence sur le plus petit nombre entier n tel que C^{n}(Γ) = {1}, nous allons démontrer que Γ_{s} est un sous-groupe de Γ et qu’il est central. Le cas n = 0 étant trivial, on suppose n ⩾ 1 dans ce qui suit.

7. Démontrer que le centre Z de Γ est un sous-groupe fermé.

8. Vérifier que le sous-groupe C^{n−1} (Γ) est central ; en déduire que C^{n−1} (Γ/Z) est trivial.

9. En utilisant la question 2 de l’exercice I, démontrer que l’image de Γ_{s} dans Γ/Z est un sous-groupe central.

10. Posons Γ′= Γ/Z_{u}. En utilisant de nouveau la question 2 de l’exercice I et en considérant la suite exacte

\xymatrix{1 \ar[r] & Z_{s} \ar[r] & Γ′ \ar[r] & Γ/Z \ar[r] & 1,}

démontrer que l’image de Γ_{s} dans Γ′est un sous-groupe central.

11. Déduire de ce qui précède que Γ_{s} est contenu dans Z, puis qu’il s’agit d’un sous-groupe de Γ.

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