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\begin{document}
\begin{flushleft}
{\bfseries Universit\'e de Lyon - Universit\'e Lyon 1} \hfill \textbf{Semestre d'automne 2008} \\

\vspace{0.2cm}
{\bfseries Cours de Master 2 : \emph{Groupes alg\'ebriques lin\'eaires}}
\end{flushleft}

\vspace{0.6cm} \begin{center} {\scshape {\bfseries Examen terminal du 12 janvier 2008}} \end{center}

\vspace{0.4cm} \noindent \emph{Dur\'ee} : 3 heures

\vspace{0.4cm}
\noindent \emph{Les notes de cours sont autorisées.}

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{\emph{Remarque importante :}}  \emph{Ce sujet est constitu\'e de trois exercices. Les r\'esultats de l'exercice II sont utilis\'es au cours de l'exercice III (questions 9 et 10) ; on pourra les admettre  pour traiter ce dernier.}


\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice I} --- Soit $k$ un corps de caract\'eristique distincte de $2$ et soit $b$ une forme bilin\'eaire non d\'eg\'en\'er\'ee sur $\V$. Un vecteur $v \in \V$ est dit \emph{isotrope} si $b(v,v) = 0$.

\vspace{0.2cm} 1. D\'emontrer que le foncteur $\Or(\V,b) : \mathbf{Alg}_k \rightarrow \mathbf{Gr}$ associant \`a toute $k$-alg\`ebre $\R$ le sous-groupe $\Or(\V,b)(\R)$ de ${\rm GL}(\V \otimes_k \R)$ constitu\'e des automorphismes $\R$-lin\'eaires de $\V \otimes_k \R$ pr\'eservant la forme bilin\'eaire sym\'etrique $b_{\R} = b \otimes 1$ est un groupe alg\'ebrique. 

%On rappelle que le groupe orthogonal $\Or(\V,b)$ est est le sous-groupe de ${\rm GL}_{\V}$ d\'efini par $$\Or(\V,b)(\R) = \{g \in {\rm GL}(\V \otimes_k \R) \ | \ b(g

\vspace{0.2cm} 2. Supposons que $v$ soit un vecteur isotrope non nul. D\'emontrer qu'il existe un vecteur $v' \in \V$  tel que $$b(v,v') = 1 \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ b(v',v') = 0$$ puis utiliser le sous-espace vectoriel ${\rm Vect}(v,v')$ pour d\'efinir un isomorphisme entre $\mathbb{G}_{\rm m}$ et un sous-groupe de $\Or(\V,b)$ admettant $v$ comme vecteur propre.

\vspace{0.2cm} 3. Supposons r\'eciproquement que le groupe $\Or(\V,b)$ poss\`ede un sous-groupe isomorphe \`a $\mathbb{G}_{\rm m}$. D\'emontrer qu'il existe un vecteur isotrope non nul dans $\V$.

\vspace{0.6cm}
\noindent \textbf{Exercice II} --- Soit $k$ un corps.

\vspace{0.2cm} 1. Soit $\V$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie et soit $u$ un automorphisme de $\V$. On d\'esigne par $\check{u}$ l'automorphisme du $k$-espace vectoriel dual $\V^{\vee}$ d\'efini par $\check{u}(\varphi) = \varphi \circ u^{-1}$.

\vspace{0.1cm} D\'emontrer que les deux conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(i)] $u$ est une homoth\'etie ; \item[(ii)]  $\check{u} \otimes u$ est l'identit\'e de $\V^{\vee} \otimes_k \V$.\end{itemize}

\vspace{0.2cm} Soient $\G$ un $k$-groupe alg\'ebrique et $\Hr$ un sous-groupe de $\G$. En vertu du th\'eor\`eme de Chevalley, il existe une repr\'esentation lin\'eaire fid\`ele de dimension finie $\rho : \G \hookrightarrow {\rm GL}_{\V}$ et une droite vectorielle $\W \subset \V$ telles que $\Hr = {\rm Stab}_{\G}(\W)$.

\vspace{0.2cm} 2. D\'emontrer qu'il existe un $k$-espace vectoriel $\V'$ de dimension finie et un homomorphisme $f : \G(k) \rightarrow {\rm GL}(\V')$  satisfaisant aux conditions suivantes : \begin{itemize} \item[(i)] ${\rm ker}(f) = \Hr(k)$ ; \item[(ii)] $f$ est continu relativement aux topologies de Zariski ; \item[(iii)] l'image par $f$ d'un \'el\'ement semi-simple (resp. unipotent) est semi-simple (resp. unipotente). \end{itemize} (\emph{Indication : consid\'erer un vecteur non nul de $\W$ et le plus petit sous-espace $\G(k)$-invariant de $\V$ le contenant}.)




%Soit $k$ un corps et soit $\G$ un groupe alg\'ebrique sur $k$, de big\`ebre $(\A, \Delta, e^*, \iota)$.

%\vspace{0.2cm} Pour tout nombre entier $n \geqslant 1$, le morphisme de foncteurs $\G^{2n} \rightarrow \G$ d\'efini par les applications $$\G(\R)^{2n} \rightarrow \G(\R), \ \ \ (x_1, y_1, \ldots, x_n, y_n) \mapsto (x_1 y_1 x_1^{-1} y_1^{-1})  \ldots (x_n y_n x_n^{-1} y_n^{-1})$$ provient en vertu du lemme de Yonedea d'un $k$-homomorphisme $\A \rightarrow \A^{\otimes 2n}$ dont on note $\I_n$ le noyau.

%\vspace{0.2cm} 1. V\'erifier que la suite $(\I_n)_{n \geqslant 1}$ est d\'ecroissante.

%\vspace{0.2cm} 2. D\'emontrer que l'on a $\Delta(\I_{2n}) \subset \I_n \otimes_k \A + \A \otimes_k \I_n$ et $\iota(\I_n) \subset \I_n$ pour tout $n \geqslant 1$. En d\'eduire que l'id\'eal $\mathfrak{I} = \bigcap_{n \geqslant 1} \I_n$ d\'efinit un sous-groupe $\G'$ de $\G$.

%\vspace{0.2cm} 3. Si $\G$ est connexe (resp. si l'anneau $\A$ est r\'eduit), d\'emontrer qu'il en est de m\^eme pour $\G'$ (resp. l'anneau $\A/\mathfrak{I}$ est r\'eduit).

%\vspace{0.2cm} 4. Soit $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k$. D\'emontrer que ${\rm Hom}_k (\A/\mathfrak{I}_n, \overline{k})$ est l'adh\'erence de l'image

%Soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos et soit $\G$ un sous-groupe du groupe alg\'ebrique $\mathbb{G}_{\rm m}^d$, o\`u $d \geqslant 1$.

%\vspace{0.1cm} On rappelle que l'ensemble $\X(\G)$ des homomorphismes de groupes alg\'ebriques $\chi : \G \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}$, muni de la loi de composition d\'efinie par $$(\chi \chi')_{\R}(g) = \chi_{\R}(g) \chi_{\R}(g')$$ pour toute $k$-alg\`ebre $\R$ et tous $g, g' \in \G(\R)$, est un groupe ab\'elien de type fini.

%\vspace{0.2cm} 1. \'Etant donn\'e un sous-groupe ferm\'e $\Gamma$ de $\G(k)$, d\'emontrer qu'il existe un homomorphisme de groupes alg\'ebriques $\chi : \G \rightarrow \mathbb{G}_{\rm m}$ trivial sur $\Gamma$ mais non sur $\G(k)$.

%\vspace{0.2cm} 2. Soit $n$ un nombre entier premier \`a la caract\'eristique de $k$ et soit $\Gamma_n$ le sous-groupe des points de $n$-torsion de $\G(k)$. D\'emontrer qu'un homomorphisme $\chi \in \X(\G)$ est trivial sur le sous-groupe $\Gamma_n$ si et seulement s'il appartient \`a $n\X(\G)$.

%\vspace{0.2cm} 3. D\'emontrer que le sous-groupe des \'el\'ements d'ordre fini de $\G(k)$ est dense.

%Soit $k$ un corps et soit $\G$ un sous-groupe de $\mathbb{G}_{\rm m}^d$ (avec $d \geqslant 1$).

%\vspace{0.2cm} 1. D\'emontrer que l'ensemble ${\rm Hom}_{k-\mathbf{Gr}}

%Soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos et soit $\G$ un $k$-groupe alg\'ebrique de big\`ebre $\A$.

%\vspace{0.2cm} 1. Soit $(\A_i,\varphi_i)_{i \in \I}$ une famille compos\'ees de $k$-alg\`ebres de type fini $\A_i$ et de $k$-homomorphismes $\varphi : \A \rightarrow \A_i$ satisfaisant aux conditions suivantes :

%\begin{itemize} \item[(i)] pour tout $i \in \I$, l'anneau $\A_i$ est int\`egre ;
%\item[(ii)]
%\end{itemize}
%\noindent \textbf{Exercice II} --- Soit $\V$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $k$ et soit $\lambda : \mathbb{G}_{\rm m} \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ un homomorphisme de groupes alg\'ebriques.

%\vspace{0.2cm} On d\'esigne par $\V(\lambda)$ le sous-ensemble
%\vspace{0.3cm} 1.


%\vspace{0.7cm}
%\noindent \textbf{Exercice II} --- Soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos et soit $\Gamma$ un sous-groupe ferm\'e de ${\rm GL}_n(k)$. On d\'esigne par $\mathcal{R}$ l'ensemble des sous-groupes connexes et r\'esolubles de $\Gamma$, que l'ordonne par inclusion.

%\vspace{0.1cm} On se propose de d\'emontrer que les \'el\'ements maximaux de $\mathcal{R}$ sont conjugu\'es dans $\Gamma$.

%\vspace{0.2cm} 1. \'Etablir ce r\'esultat lorsque $\Gamma = {\rm GL}_n(k)$.

%\vspace{0.2cm} 2. Soit $\G_{\Gamma}$ le sous-groupe de ${\rm GL}_n$ associ\'e \`a $\Gamma$. \'Etant donn\'es une repr\'esentation lin\'eaire de dimension finie $\rho : \G_{\Gamma} \rightarrow {\rm GL}_{\V}$ et un \'el\'ement $\Hr$ de $\mathcal{R}$, d\'emontrer qu'il existe un drapeau complet $(\V_i)_{0 \leqslant i \leqslant d}$ de sous-espaces vectoriels de $\V$ \footnote{C'est-\`a-dire une suite croissante de sous-espaces vectoriels de $\V$ telle que ${\rm codim}(\V_i, \V_{i+1}) = 1$ pour tout $i \in \{0, \ldots, d-1\}$} tel que $\rho(g) \V_i = \V_i$ pour tous $i \in \{0, \ldots, d\}$ et $g \in \Hr$.

%\vspace{0.2cm} 3. En choisissant des drapeaux ad\'equats, d\'emontrer que les \'el\'ements maximaux de $\mathcal{R}$ sont conjugu\'es dans $\Gamma$.

\newpage
%\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice III} --- \'Etant donn\'e un groupe abstrait $\Gamma$, on d\'efinit inductivement une suite d\'ecroissante $(\C^m(\Gamma))_{m \geqslant 0}$ de sous-groupes distingu\'es de $\Gamma$ en posant $$\C^0(\Gamma) = \Gamma, \ \ \ \C^1(\Gamma) = \D(\Gamma) = (\Gamma, \Gamma) \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \C^{m+1}(\Gamma) = (\Gamma, \C^m(\Gamma)),$$
o\`u $(\A,\B)$ d\'esigne le sous-groupe de $\Gamma$ engendr\'e par les commutateurs $[x,y]$ avec $x \in \A, \ y \in \B$.

\vspace{0.2cm}
On dit que le groupe $\Gamma$ est \emph{nilpotent} s'il existe un entier naturel $n$ tel que $\C^n(\Gamma) = \{1\}$.

\vspace{0.3cm} Soit $k$ un corps alg\'ebriquement clos. Cet exercice a pour objet de caract\'eriser les groupes nilpotents parmi les sous-groupes ferm\'es et connexes de ${\rm GL}_{\rm \N}(k)$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Notation : }} \emph{si $\Gamma$ est un sous-groupe de ${\rm GL}_{\N}(k)$, on d\'esigne par $\Gamma_s$ (resp. $\Gamma_u$) l'ensemble des \'el\'ements semi-simples (resp. unipotents) de $\Gamma$.}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque pr\'eliminaire :}} \emph{on \'etablit comme dans le cours (lemme 6.1.1)  les inclusions $$\C^m (\Gamma) \subset \C^m(\overline{\Gamma}) \subset \overline{\C^m(\Gamma)}$$ pour tout sous-groupe $\Gamma$ de ${\rm GL}_{\N}(k)$ et tout nombre entier $m$. Ce fait peut \^etre librement utilis\'e dans ce qui suit.}

%\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Premi\`ere partie} --- On consid\`ere tout d'abord un sous-groupe ferm\'e $\G$ de ${\rm GL}_{\N}(k)$ que l'on suppose \emph{ab\'elien}.

%\vspace{0.2cm} 1. D\'emontrer que $\G_s$ est un sous-groupe ferm\'e de $\G$.

%\vspace{0.2cm} 2. D\'emontrer que $\G_u$ est un sous-groupe ferm\'e de $\G$.

%\vspace{0.2cm} 3. D\'emontrer que $\G$ est le produit direct des sous-groupes $\G_s$ et $\G_u$

%\vspace{0.2cm} 4. D\'emontrer que les deux projections $\G \rightarrow \G_s$ et $\G \rightarrow \G_u$ sont des applications polynomiales en les coefficients matriciels et l'inverse du d\'eterminant.

%\vspace{0.2cm} 5. En d\'eduire que, si $\G$ est connexe, alors $\G_s$ et $\G_u$ sont connexes.

\vspace{0.4cm}
\begin{center} ------------------
\end{center}

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{Premi\`ere partie} --- On consid\`ere tout d'abord un sous-groupe ferm\'e et connexe $\Gamma$ de ${\rm GL}_{\N}(k)$ tel que
\begin{itemize} \item[(i)] $\Gamma_s$ et $\Gamma_u$ soient deux sous-groupes de $\Gamma$ ;
\item[(ii)] $\Gamma_s$ soit ab\'elien.
\end{itemize}

\vspace{0.2cm} 1. D\'emontrer que $\Gamma$ est le produit direct de $\Gamma_s$ et $\Gamma_u$. En d\'eduire que $\Gamma_s$ est \emph{central}, c'est-\`a-dire contenu dans le centre de $\Gamma$.

\vspace{0.2cm} 2. D\'emontrer que les deux projections $\Gamma \rightarrow \Gamma_s$ et $\Gamma \rightarrow \Gamma_u$ sont des applications polynomiales en les coefficients matriciels et l'inverse du d\'eterminant. En d\'eduire que $\Gamma_s$ et $\Gamma_u$ sont connexes.

\vspace{0.2cm} 3. D\'emontrer que $\Gamma$ est nilpotent.

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{Deuxi\`eme partie} --- On consid\`ere maintenant un sous-groupe \emph{nilpotent} $\Gamma$ de ${\rm GL}_{\N}(k)$, que l'on suppose connexe mais non n\'ecessairement ferm\'e.

\vspace{0.2cm} 4 D\'emontrer que $\Gamma_u$ est un sous-groupe distingu\'e de $\Gamma$.

\vspace{0.2cm} 5. Si $\Gamma$ est en outre ferm\'e, d\'emontrer que $\Gamma_u$ est ferm\'e.

\vspace{0.2cm} 6. D\'emontrer que tout sous-groupe $\Hr$ de $\Gamma$ form\'e d'\'el\'ements semi-simples est ab\'elien, et que $\Hr$ est central si c'est un sous-groupe distingu\'e.

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{Troisi\`eme partie} --- On consid\`ere finalement un sous-groupe $\Gamma$ de ${\rm GL}_{\N}(k)$, que l'on suppose ferm\'e, connexe et \emph{nilpotent}.

En raisonnant par r\'ecurrence sur le plus petit nombre entier $n$ tel que $\C^n(\Gamma) = \{1\}$, nous allons d\'emontrer que $\Gamma_s$ est un sous-groupe de $\Gamma$ et qu'il est central. Le cas $n = 0$ \'etant trivial, on suppose $n \geqslant 1$ dans ce qui suit.

\vspace{0.2cm} 7. D\'emontrer que le centre $\Z$ de $\Gamma$ est un sous-groupe ferm\'e.

\vspace{0.2cm} 8. V\'erifier que le sous-groupe $\C^{n-1}(\Gamma)$ est central ; en d\'eduire que $\C^{n-1}(\Gamma/\Z)$ est trivial.

\vspace{0.2cm} 9. En utilisant la question 2 de l'exercice I, d\'emontrer que l'image de $\Gamma_s$ dans $\Gamma/\Z$ est un sous-groupe central.

\vspace{0.2cm} 10. Posons $\Gamma' = \Gamma/\Z_u$. En utilisant de nouveau la question 2 de l'exercice I et en consid\'erant la suite exacte $$\xymatrix{1 \ar@{->}[r] & \Z_s \ar@{->}[r] & \Gamma' \ar@{->}[r] & \Gamma/\Z \ar@{->}[r] & 1,}$$ d\'emontrer que l'image de $\Gamma_s$ dans $\Gamma'$ est un sous-groupe central.

\vspace{0.2cm} 11. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que $\Gamma_s$ est contenu dans $\Z$, puis qu'il s'agit d'un sous-groupe de $\Gamma$.

\newpage

\end{document} 