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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation du CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Automne 2008}
\end{flushleft}

\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bfseries \scshape \`A propos des angles}
\end{center}


\vspace{0.5cm}

\noindent \textbf{1. Le groupe $\Or(\rP)$}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Proposition}} --- \emph{Soit $u$ un endomorphisme de $\rP$. Les trois conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(i)] $u$ est une isom\'etrie ; \item[(ii)] dans toute base orthonormale de $\rP$, la matrice de $u$ est de la forme $$\left(\begin{array}{ll} a & - b \\ b & a \end{array} \right) \ \ ou \ \ \left(\begin{array}{ll} a & b \\ b &- a \end{array} \right)$$ avec $a^2 + b^2 = 1$ ; \item[(iii)] il existe une base orthonormale de $\rP$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme $$\left(\begin{array}{ll} a & - b \\ b & a \end{array} \right) \ \ ou \ \ \left(\begin{array}{ll} a & b \\ b &- a \end{array} \right)$$ avec $a^2 + b^2 = 1$.\end{itemize}}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. (i) $\Longrightarrow$ (ii). Soit $(e_1, e_2)$ une base orthonormale de $\rP$ et soit $\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right)$ la matrice de $u$ dans celle-ci. On obtient ais\'ement $$a^2 + b^2 = ||u(e_1)||^2 = ||e_1||^2 = 1, \ \ c^2 + d^2 = ||u(e_2)||^2 = ||e_2||^2 = 1$$ et $$ac+bd = (u(e_1)|u(e_2)) = (e_1|e_2) = 0.$$ En outre, comme $$(ad-bc)^2 = (ad-bc)^2 + (ac + bd)^2 = (a^2+b^2)(c^2 + d^2) = 1$$ et \begin{eqnarray*} (ad-bc)^2 & = & a^2d^2 + b^2 c^2 - 2abcd \\  & = & a^2(1-c^2) + c^2(1-a^2) + 2a^2c^2 \\ & = & a^2 + c^2, \end{eqnarray*} il vient $b^2 = c^2$ et $a^2 = d^2$, soit $c = \pm b$ et $d = \pm a$. Finalement, si $a  \neq 0$ et $b \neq 0$, la condition $ac+bd = 0$ implique $$(c,d) = ((b, -a) \ \ \ \mathrm{ou} \ \ \ (c,d) = (-b, a).$$

\vspace{0.1cm} (ii) $\Longrightarrow$ (iii). Cette implication est \'evidente.

\vspace{0.1cm} (iii) $\Longrightarrow$ (i). Soit $(e_1, e_2)$ une base orthonormale de $\rP$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme $$\left(\begin{array}{ll} a & - b \\ b & a \end{array} \right) \ \ ou \ \ \left(\begin{array}{ll} a & b \\ b &- a \end{array} \right)$$ avec $a^2 + b^2 = 1$. On a alors $$u(e_1) = ae_1 + b e_2 \ \ \ \textrm{et} \ \ \ u(e_2) = -be_1 + ae_2 \ \ \textrm{ou} \ \ u(e_2) = be_1 - ae_2$$ et, dans chaque cas de figure $$(u(e_1)|u(e_2)) = 0, \ \ ||u(e_1)||^2 = ||u(e_2)||^2 = a^2 + b^2 = 1.$$ Ainsi, $(u(e_1),u(e_2))$ est une base orthonormale de $\rP$ et l'application lin\'eaire $u$, transformant une base orthonormale en une base orthonormale, est une isom\'etrie. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire}} --- \emph{Soit $u$ un endomorphisme de $\rP$. Si $u$ est une isom\'etrie, alors $|{\rm det}(u)| = 1$.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. Il suffit de calculer ${\rm det}(u)$ en utilisant la matrice de $u$ dans une base orthonormale de $\rP$ et d'appliquer la proposition. \hfill $\Box$

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Corollaire}} --- \emph{Le groupe ${\rm SO}(\rP)$ des isom\'etries directes est commutatif.}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{D\'emonstration}}. 

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{2. Angles non orient\'es de vecteurs}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{3. Angles orient\'es de vecteurs}

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{4. L'angle}



\end{document} 