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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation au CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Automne 2008}
\end{flushleft}

\hrule

\vspace{0.8cm} \begin{center} {\scshape {\bfseries Correction du DM2}} \\
-------------
\end{center}

\vspace{0.5cm}
\begin{center} \textbf{III. Bijectivit\'e du passage aux milieux} \end{center}

\vspace{0.2cm} \noindent \textsc{1. Cas des triangles}

\vspace{0.1cm} a. L'isobarycentre $\G$ du triangle $\rP = (\A_1, \A_2, \A_3)$ v\'erifie $$2\overrightarrow{\G\B_1} + \overline{\G\A_3} = 2\overrightarrow{\G\B_2} + \overline{\G\A_1} = 2\overrightarrow{\G\B_3} + \overline{\G\A_2} = 0$$ par associativit\'e de la barycentration. Il en d\'ecoule que $\B_2$ (resp. $\B_3$ ; resp. $\B_1$) est l'image de $\A_1$ (resp. $\A_2$ ; resp. $\A_3$) par l'homoth\'etie $h$ de centre $\G$ et de rapport $-\frac{1}{2}$, d'o\`u $dm(\rP)= (\B_2, \B_3, \B_1) = h(\rP)$. Notons que les triangles $\rP$ et $h(\rP)$ ont le m\^eme isobarycentre : en effet, $h(\G) = \G$ et l'isobarycentre de $h(\rP)$ est l'image de l'isobarycentre de $\rP$ par l'application affine $h$.

\vspace{0.1cm} b. Soit $\eta : \mathcal{P}_3 \rightarrow \mathcal{P}_3$ l'application qui associe \`a un triangle $\rP = (\A_1,\A_2,\A_3)$ d'isobarycentre $\G$ son image par l'homoth\'etie de centre $\G$ et de rapport $-\frac{1}{2}$. Il s'agit manifestement d'une bijection, l'application r\'eciproque associant \`a un triangle d'isobarycentre $\G$ son image par l'homoth\'etie de centre $\G$ et de rapport $-2$.

L'application $d : \mathcal{P}_3 \rightarrow \mathcal{P}_3$ est \'egalement une bijection puisque $d^3 = {\rm id}$.

On a $d \circ m = \eta$ en vertu de la question pr\'ec\'edente, donc l'application $m  = d^{-1} \circ \eta$ est une bijection.

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'e un triangle $\Qr = (\B_1,\B_2,\B_3)$, l'unique triangle $\rP = (\A_1,\A_2,\A_3)$ tel que $\Qr = m(\rP)$ s'obtient par la construction g\'eom\'etrique suivante : d\'esignant par $\G$ l'isobarycentre de $\Qr$, le point $\A_1$ (resp. $\A_2$ ; resp. $\A_3$) est l'image du point $\B_2$ (resp. $\B_3$ ; resp. $\B_1$) par l'homoth\'etie de centre $\G$ et de rapport $-2$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textsc{2. Cas des quadrilat\`eres}

\vspace{0.1cm} a. Par d\'efinition des points $\B_i$, $$\overrightarrow{\B_1\A_1}+\overrightarrow{\B_1\A_2} = \overrightarrow{\B_2\A_2}+\overrightarrow{\B_2\A_3} = \overrightarrow{\B_3\A_3}+\overrightarrow{\B_3\A_4} = \overrightarrow{\B_4\A_4}+\overrightarrow{\B_4\A_1} = 0.$$ On obtient par suite $$\overrightarrow{\A_1\A_3} = \overrightarrow{\A_1\B_1} + \overrightarrow{\B_1\B_2} + \overrightarrow{\B_2\A_3} = \overrightarrow{\B_1\A_2} + \overrightarrow{\B_1\B_2} + \overrightarrow{\A_2\B_2} = 2\overrightarrow{\B_1\B_2}$$ et $$\overrightarrow{\A_1\A_3} = \overrightarrow{\A_1\B_4} + \overrightarrow{\B_4\B_3} + \overrightarrow{\B_3\A_3} = \overrightarrow{\B_4\A_4} + \overrightarrow{\B_4\B_3} + \overrightarrow{\A_4\B_3} = 2\overrightarrow{\B_4\B_3},$$ ce qui prouve que le quadrilat\`ere $(\B_1,\B_2,\B_3,\B_4)$ est un parall\'elogramme, \'eventuellement aplati.

\vspace{0.1cm} Le centre de sym\'etrie d'un parall\'elogramme est son isobarycentre. En vertu de la question I.1.a, il s'agit ici de l'isobarycentre de la configuration $\rP = (\A_1,\A_2,\A_3,\A_4)$.

\vspace{0.1cm} b. La compos\'ee de deux sym\'etries centrales $s, s'$ est une dilatation de rapport $1$, donc une translation. Notant $\A$ et $\A'$ les centres respectifs de $s$ et $s'$, $$(s' \circ s)(\A) = s'(s(\A)) = s'(\A) = \A + 2 \overrightarrow{\A\A'}$$ donc $s' \circ s$ est la translation de vecteur $2\overrightarrow{\A\A'}$.

Dans la situation qui nous int\'eresse, $s_2 \circ s_1$ est la translation de vecteur $2\overrightarrow{\B_1\B_2}$ et $s_4 \circ s_3$ est la translation de vecteur $2 \overrightarrow{\B_3\B_4}$. Il en d\'ecoule que $s_4 \circ s_3 \circ s_2 \circ s_1$ est la translation de vecteur $2\overrightarrow{\B_3\B_4} + 2\overrightarrow{\B_1\B_2}$, c'est-\`a-dire l'identit\'e du plan puisque $$\overrightarrow{\B_1\B_2} + \overrightarrow{\B_3\B_4} = 0$$ du fait que $\Qr=(\B_1,\B_2,\B_3,\B_4)$ est un parall\'elogramme.

\vspace{0.1cm} Soit $\A_1$ un point un plan et posons $$\A_2 = s_1(\A_1), \ \ \A_3 = s_2(\A_2), \ \ \A_4 = s_3(\A_3).$$ Par construction, $\B_1$ (resp. $\B_2$ ; resp. $\B_3$) est le milieu du segment $[\A_1\A_2]$ (resp. $[\A_2\A_3]$ ; resp. $[\A_3\A_4]$). En outre, $$s_4(\A_4) = (s_4 \circ s_3 \circ s_2 \circ s_1)(\A_1) = \A_1$$ et donc $\B_4$ est le milieu du segment $[\A_4\A_1]$. Ainsi, la configuration $\rP = (\A_1,\A_2,\A_3,\A_4)$ dont nous venons de d\'ecrire une construction g\'eom\'etrique est telle que $m(\rP) = \Qr$.

Par ailleurs, si $\rP' = (\A_1,\A_2',\A_3',\A_4')$ est une configuration telle que $m(\rP') = \Qr$, alors $\B_1$ (resp. $\B_2$ ; resp. $\B_3$) est le milieu du segment $[\A_1\A_2']$ (resp. $[\A_2'\A_3']$ ; resp. $[\A_3'\A_4']$), donc $$\A_2' = s_1(\A_1) = \A_2, \ \ \A_3' = s_2(\A_2') = s_2(\A_2) = \A_3  \ \ \textrm{ et } \A_4' = s_3(\A_3') = s_3(\A_3) = \A_4$$ et $\rP' = \rP$. Il existe ainsi une et une seule configuration $\rP \in \mathcal{C}_4$ de point initial $\A_1$ telle que $m(\rP) = \Qr$.

\vspace{0.1cm} d. La condition $\A_1 = \A_2$ \'equivaut \`a $\A_1 = \B_1$ ; il suffit donc de choisir le point $\A_1$ confondu avec $\B_1$.

\vspace{0.1cm}
Il n'est par contre pas possible que l'on ait $\A_1 = \A_3$. En effet, si $\A_1 = \A_3$, alors les segments $[\A_1\A_2]$ et $[\A_2\A_3]$ co{\" \i}ncident et il en va de m\^eme de leurs milieux : $\B_1 = \B_2$. Le parall\'elogramme $(\B_1,\B_2,\B_3,\B_4)$ n'\'etant pas aplati, ceci est impossible.

\vspace{0.1cm} e. Soit $\rP = (\A_1,\A_2,\A_3,\A_4)$ un parall\'elogramme d'isobarycentre $\G$. Ce point \'etant le milieu des diagonales de $\rP$,  $\overrightarrow{\G\A_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{\A_3\A_1}$ et donc \begin{eqnarray*}\overrightarrow{\G\A_1} & = & \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\A_3\A_2} + \overrightarrow{\A_2\A_1} \right) \\ & = & \frac{1}{2}\left(2\overrightarrow{\B_2\A_2} + 2\overrightarrow{\A_2\B_1}\right) \\ & = & \overrightarrow{\B_2\B_1}. \end{eqnarray*}

\'Etant donn\'es un parall\'elogramme $\Qr = (\B_1,\B_2,\B_3,\B_4)$ et un point $\A_1$ du plan, ce calcul met en \'evidence une condition \emph{n\'ecessaire} pour que l'unique configuration $\rP \in \mathcal{C}_4$ de point initial $\A_1$ et v\'erifiant $m(\rP) = \Qr$ (cf. question b) soit un parall\'elogramme : il faut que l'on ait $\overrightarrow{\G\A_1} = \overrightarrow{\B_2\B_1}$, o\`u $\G$ d\'esigne l'isobarycentre de $\Qr$.

\vspace{0.1cm} Cette condition est \'egalement \emph{suffisante}. Soit en effet $\rP$ une configuration v\'erifiant $m(\rP) = \Qr$ et dont le point initial $\A_1$ est tel que $\overrightarrow{\G\A_1} = \overrightarrow{\B_2\B_1}$. En vertu de la question b, $$\A_3 = (s_2 \circ s_1)(\A_1) = \A_1 + 2 \overrightarrow{\B_1\B_2} = \A_1 + 2\overrightarrow{\G\A_1}$$ et donc  $\G$ est le milieu du segment $[\A_1\A_3]$. D\'esignant par $\G'$ le milieu du segment $[\A_2\A_4]$, on a alors \begin{eqnarray*}\G  & = & {\rm Ibar}(\A_1, \A_2,\A_3,\A_4) \\ & = & {\rm Ibar}(\G,\G'), \end{eqnarray*} d'o\`u $\G' = \G$. Ses diagonales se coupant en leur milieu, $\rP$ est un parall\'elogramme, \'eventuellement aplati. Notons que, si $\Qr$ n'est pas aplati, alors $\rP$ ne l'est pas non plus : il est en effet clair que l'application $m$ envoie une configuration aplatie sur une configuration aplatie.

\vspace{0.2cm} D'apr\`es la question a, l'application $m : \mathcal{C}_4 \rightarrow \mathcal{C}_4$ transforme toute configuration en un parall\'elogramme, \'eventuellement aplati. \'Etant donn\'e un parall\'elogramme $\Qr$ (\'eventuellement aplati), on vient d'autre part de d\'emontrer qu'il existe une unique configuration $\rP$ satisfaisant aux deux conditions suivantes : \begin{itemize} \item $m(\rP) = \Qr$ ; \item  $\rP$ est un parall\'elogramme (\'eventuellement aplati). \end{itemize} Ainsi, l'application $m$ induit une bijection de l'ensemble des parall\'elogrammes (\'eventuellement aplatis) sur lui-m\^eme.

\vspace{0.2cm} \noindent \emph{Remarque} --- \emph{L'\'enonc\'e est ambigu : pour qu'une configuration $\rP \in \mathcal{C}_4$ soit un \og parall\'elogramme \fg, est-il n\'ecessaire qu'elle ne soit pas aplatie? Tel est explicitement le cas pour les \og quadrilat\`eres \fg, mais il n'est dit nulle part qu'un parall\'elogramme est un quadrilat\`ere... Ceci \'etant, on peut d\'emontrer sans grande difficult\'e que l'application $m$ induit une bijection de l'ensemble des parall\'elogrammes non aplatis dans lui-m\^eme. Si $\Qr$ est un parall\'elogramme non aplati, on a d\'ej\`a vu qu'il existe un unique parall\'elogramme non aplati $\rP$ tel que $\Qr = m(\rP)$. Ce qui reste \`a v\'erifier, c'est que l'application $m$ pr\'eserve l'ensemble des parall\'elogrammes non aplatis : si $\rP$ est un parall\'elogramme non aplati, alors le parall\'elogramme $\Qr = m(\rP)$ ne l'est pas davantage. Raisonnons par l'absurde en supposant $\rP$ non aplati et $\Qr$ aplati. Les points $\B_1, \B_2, \B_3,\B_4$ sont align\'es sur une m\^eme droite $\D$. Si le point $\A_1$ appartenait \`a $\D$, alors il en serait de m\^eme pour $\A_2 = s_1(\A_1)$, $\A_3 = (s_2 \circ s_1)(\A_1)$ et $\A_4 = (s_3\circ s_2 \circ s_1)(\A_1)$, de sorte que la configuration $\rP$ serait aplatie. Le point $\A_1$ appartient ainsi \`a l'un des deux-demi plans ouverts de fronti\`ere $\D$ ; notons celui-ci $\Pi^+$ et soit $\Pi^-$ l'autre demi-plan. Toute sym\'etrie dont le centre est contenu $\D$ \'echange $\Pi^+$ et $\Pi^{-}$ ; on a donc $\A_2 \in \Pi^-$, puis $\A_3 \in \Pi^+$ et $\A_4 \in \Pi^-$ par le m\^eme raisonnement. On en d\'eduit que le segement $[\A_1\A_3]$ (resp. $[\A_2\A_4]$) est enti\`erement contenu dans $\Pi^+$ (resp. dans $\Pi^-$) car $\Pi^+$ et $\Pi^-$ sont des parties convexes du plan ; comme $\Pi^+ \cap \Pi^- = \varnothing$, ceci contredit le fait que ces segments se coupent en leur milieu! On a ainsi prouv\'e que le parall\'elogramme $\Qr = m(\rP)$ n'est pas aplati.}

\vspace{0.3cm} \noindent 3. \textsc{Bijectivit\'e du passage au milieu dans le cas o\`u $n$ est impair}

\vspace{0.1cm} a. Les valeurs propres de $\M$ sont les $n$ nombres complexes $\frac{1}{2}(1+\omega^k)$, o\`u $\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$ et $0 \leqslant k \leqslant n-1$. Comme
$$1+\omega^k = 0 \Leftrightarrow e^{\frac{2ik\pi}{n}}=e^{i\pi} \Leftrightarrow \frac{2k\pi}{n} \equiv \pi \ (\mathrm{mod} \ 2\pi) \Leftrightarrow 2k = n,$$
$0$ n'est pas une valeur propre de $\M$ lorsque $n$ est impair et l'endomorphisme $\M$ est donc injectif. En particulier, ${\rm ker}(\M_0) = \{0\}$.

\vspace{0.1cm} b. L'application $\M$ est bijective car tout endomorphisme injectif d'un espace vectoriel de dimension finie est bijectif. L'application $\alpha : \mathcal{C}_n \rightarrow \mathbb{C}^n$ associant \`a une configuration $\rP$ sont affixe est \'egalement bijective. Comme $m = \alpha^{-1} \circ \M \circ \alpha$, nous en d\'eduisons que $m$ est une bijection de l'ensemble $\mathcal{C}_n$ sur lui-m\^eme.

\vspace{0.1cm} Si une configuration $\rP$ est aplatie, alors il en est clairement de m\^eme de la configuration des milieux $m(\rP)$ et donc $m(\mathcal{C}_n - \mathcal{P}_n) \subset \mathcal{C}_n - \mathcal{P}_n$. Ceci \'equivaut \`a $m^{-1}(\mathcal{P}_n) \subset \mathcal{P}_n$ puisque $m$ est une bijection.

Consid\'erons maintenant une configuration $\rP = (\A_1,\ldots, \A_n) \in \mathcal{C}_n$ telle que la configuration $\Qr = m(\rP) = (\B_1,\ldots, \B_n)$ soit aplatie. Les points $\B_1,\ldots, \B_n$ sont par hypoth\`ese align\'es sur une droite $\D$. D\'esignons par $\Pi^+$ et $\Pi^-$ les deux demi-plans ferm\'es de fronti\`ere $\D$. Le point $\A_1$ appartient \`a l'un de ces demi-plans, disons $\Pi^+$ pour fixer les id\'ees (il peut appartenir aux deux) ; toute sym\'etrie de centre un point de $\D$ \'echangeant $\Pi^+$ et $\Pi^-$, nous en d\'eduisons $\A_2 \in \Pi^-$, puis $\A_3 \in \Pi^+$, $\ldots$ et finalement $\A_n \in \Pi^{+}$ puisque $n$ est impair. Comme $\A_1$ est le sym\'etrique de $\A_n$ par rapport au point $\B_n \in \D$, ceci implique $\A_1 \in \Pi^-$ et ainsi $\A_1$ appartient \`a $\Pi^+ \cap \Pi^-  = \D$. La droite $\D$ \'etant stable sous chacune des sym\'etries $s_1, \ldots, s_{n-1}$ de centres $\B_1, \ldots, \B_{n-1}$, la condition $\A_1 \in \D$ implique $\A_i  = s_{i-1} \circ \ldots \circ s_1 (\A_1) \in \D$ pour tout $i \geqslant 2$. La configuration $\rP$ est donc d\'eg\'en\'er\'ee, ce qui contredit notre hypoth\`ese.

\vspace{0.1cm} Nous venons de d\'emontrer l'inclusion $m(\mathcal{P}_n) \subset \mathcal{P}_n$. Comme $m^{-1}(\mathcal{P}_n) \subset \mathcal{P}_n$, la bijection $m : \mathcal{C}_n \rightarrow \mathcal{C}_n$ induit une bijection de $\mathcal{P}_n$ dans $\mathcal{P}_n$.

\vspace{0.1cm} c. L'\'egalit\'e $m(\rP) = \Qr$ \'equivaut \`a $\M(u) = v$, ce qui se traduit par le syst\`eme lin\'eaire $$\left\{\begin{array}{lll} 2b_1 & = &z_1 + z_2 \\ 2b_2 & = & z_2 + z_3 \\ & \ldots & \\ 2b_n & = & z_1 + z_n \end{array}\right.$$

En faisant la somme altern\'ee des lignes, on obtient $$\sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} b_i = \frac{1}{2}\left((z_1+z_2) - (z_2+z_3) + \ldots + (-1)^{n+1} (z_n + z_1)\right) = z_1 $$ puisque $n$ est impair.

\vspace{0.1cm} L'identit\'e pr\'ec\'edente \'equivaut \`a dire que le point $\A_1$ est l'image du point $\Or$ par la translation de vecteur $$\overrightarrow{\B_2\B_1} + \overrightarrow{\B_4\B_3} + \ldots + \overrightarrow{\B_{n}\B_{n-1}}.$$ On en d\'eduit une construction g\'eom\'etrique simle de la configuration $\rP$ \`a partir de $\Qr = m(\rP)$ : \begin{itemize} \item[(i)] construire le point $\A_1$, image de $\Or$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{\B_2\B_1} + \overrightarrow{\B_4\B_3} + \ldots + \overrightarrow{\B_{n}\B_{n-1}}$ ; \item[(ii)] pour $i \in \{2,\ldots, n\}$, construire r\'ecursivement le point $\A_{i}$, sym\'etrique du point $\A_{i-1}$ par rapport \`a $\B_{i-1}$.
\end{itemize}


\vspace{0.1cm} d. Il ne sert \`a rien de restreindre $\M$ \`a l'hyperplan $\Hr$ dans cette question...

On a $$(\I + \D)(\I - \D + \D^2 + \ldots + \D^{2p}) = \I + \D^{2p+1} = 2\I$$ car $\D^{n}$ est l'identit\'e de $\mathbb{C}^n$. Comme $\M = \frac{1}{2}(\I + \D)$, on en d\'eduit $$\M^{-1} = \I -\D + \D^2 + \ldots + \D^{2p}.$$ En particulier, si $u = (z_1, \ldots, z_n) \in \mathbb{C}^n$ et $\M(u) = v =  (b_1, \ldots, b_n)$, alors $(z_1, \ldots, z_n) = \M^{-1}(b_1, \ldots, b_n)$ et donc $$z_1 =  b_1 - b_2 + b_3 - b_4 +  \ldots + b_n$$ car la premi\`ere coordonn\'ee de $\D^i(v)$ est $b_{i+1}$ ($1 \leqslant i \leqslant n-1$).

\vspace{0.3cm} \noindent 4. \textsc{Bijectivit\'e du passage au milieu dans le cas o\`u $n$ est pair}

\vspace{0.1cm} a. Les valeurs propres de $\M$ sont les $n$ nombres complexes $\frac{1}{2}(1+\omega^k)$, o\`u $\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$ et $0 \leqslant k \leqslant n-1$ (cf. question II.2.b). Comme $n=2p$ est pair, $1 + \omega^p = 0$ et donc $0$ est valeur propre de $\M$. Toutes les valeurs propres de $\M$ \'etant distinctes, chaque sous-espace propre est une droite et donc ${\rm ker}(\M) = \mathbb{C}e_p$. 

Le vecteur $e_p$ appartient \`a l'hyperplan $\Hr$ donc ${\rm Ker}(\M_0) = \mathbb{C}e_p$. 

\vspace{0.1cm}
Quel que soit $u = (z_1, \ldots, z_n) \in \F$, \begin{multline*}\frac{1}{2}(z_1+z_2) - \frac{1}{2}(z_2+z_3) + \frac{1}{2}(z_3+z_4) -  \ldots + \frac{1}{2}(z_{2p-1} + z_{2p}) - \frac{1}{2}(z_{2p}+z_1)   \\ = \frac{1}{2}(z_1 - z_2 + z_3 - \ldots +z_{2p-1} -z_{2p}) + \frac{1}{2}(z_2 - z_3 + \ldots +z_{2p} - z_1)  \\ = \frac{1}{2}(z_1 - z_2 + z_3 - \ldots +z_{2p-1} -z_{2p}) - \frac{1}{2}(z_1 - z_2 + z_3 - \ldots +z_{2p-1} -z_{2p})  =  0 \end{multline*}1
et donc $\M(u) \in \F$. Comme $\M$ stabilise par ailleurs l'hyperplan $\Hr$ (cf. question I.2.b), $\M_0=\M_{|\Hr}$ stabilise donc le sous-espace vectoriel $\Hr \cap \F$.

Le vecteur $e_p$ n'appartient pas au sous-espace $\F$ ; par suite, l'endomorphisme $\M_{00}$ de $\Hr \cap \F$ induit par $\M$ est injectif et il s'agit donc d'un automorphisme. On a $$\Hr = \mathbb{C}e_p \oplus (\Hr \cap \F)$$ car \begin{itemize} \item les sous-espaces vectoriels $\mathbb{C}e_p$ et $\Hr \cap F$ de $\Hr$ sont en somme directe puisque $e_p \in \Hr - \Hr \cap \F$ ; \item ${\rm dim}(\F \cap \Hr) \geqslant n-2$, et donc ${\rm dim}\left(\mathbb{C}e_p \oplus (\Hr \cap \F)\right) \geqslant n-1 = {\rm dim}(\Hr).$
\end{itemize}
 
On a donc ${\rm Im}(M_0) = \M_0(e_p) + \M_0(\Hr \cap \F) = \Hr \cap \F$. 

\vspace{0.1cm} b. Les conditions $v = (b_1, \ldots, b_{2p}) \in \F$ et $b_1 + b_3 + \ldots + b_{2p-1} = b_2 + b_4 + \ldots + b_{2p}$ sont \'equivalentes. La seconde revient \`a dire que l'isobarycentre des points $(\A_1,\A_3, \ldots, \A_{2p-1})$ co\"{\i}ncide avec l'isobarycentre des points $(\A_2, \A_4,\ldots, \A_{2p})$.

Notant $\G'$ cet isobarycentre, on a alors $$\G = {\rm Ibar}(\A_1, \A_2, \ldots, \A_{2p}) = {\rm Ibar}(\G', \G') = \G'.$$

\vspace{0.1cm} c. On a prouv\'e \`a la question a que l'image de $\M$ est contenue dans $\F$. Le vecteur $e_p$ n'appartenant pas \`a $\F$, la restriction de $\M$ \`a $\F$ est un endomorphisme injectif, donc un automorphisme. Par suite, $\M(\F) = \F$ et donc ${\rm Im}(\M) = \F$. 

\'Etant donn\'e un \'el\'ement $v$ de $\F$, l'ensemble des vecteurs $u \in \mathbb{C}^n$ tels que $\M(u) = v$ est une droite affine dans $\mathbb{C}$ de direction ${\rm ker}(\M) = \mathbb{C}e_p$, donc de la forme $u_0 + \mathbb{C}e_0$ avec $\M(u_0) = v$. Comme $e_0 = (1, 1, \ldots, 1)$, il existe un unique vecteur dans cette droite dont la premi\`ere coordonn\'ee soit fix\'ee.

\vspace{0.1cm} Le sous-ensemble $\mathcal{E}_{2p}$ de $\mathcal{C}_{2p}$ est par d\'efinition constitu\'e des configurations dont l'affixe appartient au sous-espace vectoriel $\F$ de $\mathbb{C}^n$. Vu ce que l'on vient de d\'emontrer, il existe pour chaque configuration $\Qr \in \mathcal{E}_{2p}$ et chaque point $\A_1$ du plan une unique configuration $\rP \in \mathcal{C}_n$ telle que $m(\rP) = \Qr$ et dont le premier point est $\A_1$. Par ailleurs, l'application $m$ induit une bijection de l'ensemble $\mathcal{E}_{2p}$ sur lui-m\^eme car $\M$ induit un automorphisme de $\F$

\vspace{0.1cm} d. Le polyn\^ome $\X^2 - 1$ divise $\X^{2p}-1$ car $$\X^{2p}-1 = (\X^2)^p - 1 = (\X^2 - 1)(\X^{2(p-1)} + \X^{2(p-2)} + \ldots + \X^{2} + 1).$$ La division euclidienne du polyn\^ome $\V = \X^{2(p-1)} + \X^{2(p-2)} + \ldots + \X^{2} + 1$ par $1-\X $ fournit un polyn\^ome $\Qr$ et une constante $\R$ tels que $$\V = \Qr(1-\X) + \R;$$ on a en outre $\R = \V(1) = p$ et ${\rm deg}(\Qr) = {\rm deg}(\V) - 1 = 2p-3$. Posant $\B = -\frac{1}{p}$ et $\A = \frac{1}{p}\Qr$, on obtient la relation $$1 = \A (1-\X) - \B \V.$$ Le polyn\^ome $\A$ s'explicite ais\'ement : 
\begin{eqnarray*} \A & = & \frac{1}{p}\frac{\V - p}{1-\X} = \frac{1}{p} \frac{\sum_{i=1}^{p-1} (\X^{2i} - 1)}{1-\X} \\ & = & -\frac{1}{p} \sum_{i=1}^{p-1} (\X^{2i-1} + \X^{2i-2} + \ldots + \X + 1) \\ & = & - \frac{1}{p} \left[(\X^{2p-3} + \X^{2p-4}) + 2(\X^{2p-5} + \X^{2p-6}) + \ldots + (p-1)(\X +1)\right] \\ & = & - \frac{1}{p}(\X+1) \left[\X^{2p-4} + 2 \X^{2p-6} + \ldots + (p-1)\right] \\ & = & - \frac{1}{p} (\X+1) \sum_{k=1}^{p-1} k\X^{2p-2k-2}. \end{eqnarray*}

Le sous-espace vectoriel $\Hr \cap \F$ de $\mathbb{C}^n$ est stable par $\D$ ; comme $\D$ est diagonalisable, il en est de m\^eme de l'endomorphisme induit $\D_{00} = \D_{|\Hr \cap \F}$. Vu la d\'ecomposition $\mathbb{C}^n = \mathbb{C}e_0 \oplus \Hr = \mathbb{C}e_0 \oplus \mathbb{C}e_1 \oplus (\Hr \cap \F)$, l'endomorphisme $\D_{00}$ admet $2p-2$ valeurs propres distinctes qui sont les nombres complexes de la forme $\omega^k$ avec $1 \leqslant k \leqslant 2p-1$ et $k \neq p$. Ces nombres complexes n'\'etant autre que les racines $2p$-\`eme de $1$ dans $\mathbb{C}$ distinctes de $1$ et $-1$, ce sont pr\'ecis\'ement les racines du polyn\^ome $\V$ ci-dessus. Comme ${\rm deg}(\V) = {\rm dim}(\Hr \cap \F)$, $\V$ est par cons\'equent le polyn\^ome caract\'eristique de $\D_{00}$ et donc $\V(\D_{00}) = 0$. Notons au passage que l'on a $$\F \cap \Hr = \bigoplus_{1 \leqslant k \leqslant n, \ 2k \neq n-1} \mathbb{C}e_k.$$

Tous les mon\^omes intervenant dans $\V$ \'etant de degr\'e pair, $\V(-\X) = \V(\X)$ et donc $\V(-\D_{00}) = \V(\D_{00})  = 0$. On obtient finalement $\A(-\D_{00})(\I + \D_{00}) = \I$, d'o\`u $$\M_{00}^{-1} = \left(\frac{1}{2}(\I + \D_{00})\right)^{-1} = 2 \A(-D_{00}) = \frac{1}{p} (\D_{00} - \I) \sum_{k=1}^{p-1} k\D_{00}^{2p-2k-2}.$$

\vspace{0.5cm} \begin{center} \textsc{IV. Caract\'erisation des polygones dont la forme est stable par passage aux milieux} \end{center}


\vspace{0.3cm} \noindent 1. \textsc{D\'ecomposition canonique de $\mathbb{C}^n$} 

\vspace{0.1cm} a. Quels que soient $k, k' \in \{0, \ldots, n-1\}$, $$(e_k|e_{k'}) = \frac{1}{n}(1 + \omega^{-k}\omega^{k'} + \omega^{-2k}\omega^{2k'} + \ldots + \omega^{-(n-1)k}\omega^{(n-1)k'}) = \sum_{\ell = 0}^{n-1} \omega^{\ell(k'-k)} = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \textrm{ si } k' \neq k \\ 1 & \textrm{ si } k = k' \end{array} \right.$$ car $\omega^{k' - k}$ est une racine $n$-\`eme de $1$, \'egale \`a $1$ si et seulement si $k' = k$. Ceci prouve que la base $(e_0, e_1, \ldots, e_{n-1})$ de $\mathbb{C}^n$ est orthonormale.

\vspace{0.1cm} b. On a $\omega^{n-k} = \omega^{-k} = \overline{\omega^k}$ donc $e_{n-k} = \overline{e_k}$. Par suite, $$\D(\overline{e_k}) = \D(e_{n-k}) = \omega^{n-k}e_{n-k} = \omega^{-k} \overline{e_k}$$ et $$\M(\overline{e_k}) = \M(e_{n-k}) = \frac{1}{2}(1+\omega^{n-k})e_{n-k} = \frac{1}{2}(1+\omega^{-k})\overline{e_k}.$$

\vspace{0.1cm} c. La base $(e_0, e_1, \ldots, e_n)$ \'etant orthonormale, les plans $\E_k = \mathbb{C}e_k \oplus \mathbb{C} \overline{e_k} = \mathbb{C} e_k \oplus \mathbb{C} e_{n-k}$, $1 \leqslant k < n/2$, sont deux \`a deux orthogonaux et le sous-espace $\E$ de $\mathbb{C}^n$ qu'ils engendrent est donc la somme directe orthogonale de ces $[n/2] - 1$ plans.

\vspace{0.1cm} Comme $\Hr = \bigoplus_{i=1}^{n} \mathbb{C}e_i$, $$\Hr = \bigoplus_{k=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} (\mathbb{C}e_k \oplus \mathbb{C}_{e_{n-k}}) = \bigoplus_{k=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \E_k = \E$$
si $n$ est impair et $$\Hr = \mathbb{C}e_{n/2} \oplus \bigoplus_{k=1}^{\left[\frac{n}{2}\right] - 1} (\mathbb{C}e_k \oplus \mathbb{C}_{e_{n-k}})  = \mathbb{C}e_{n/2} \oplus \bigoplus_{k=1}^{\left[\frac{n}{2}\right]-1} \E_k = \mathbb{C}e_{n/2} \oplus \E$$ si $n$ est pair. Dans ce dernier cas, $\E = \F \cap \Hr$ en vertu de l'observation faite \`a la question III.4.d.


\vspace{0.1cm} d. Les endomorphismes $\D$ et $\M$ stabilisent chaque plan $\E_k$ car $e_k$ et $\overline{e_{k}} = e_{n-k}$ sont des vecteurs propres de $\D$ et de $\M$. 

Tout \'el\'ement $v$ de $\E_k$ s'\'ecrit sous la forme $v = \alpha e_k + \beta \overline{e_k}$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ et $$||v||^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2.$$ On a donc
$$||\M(v)||^2 = ||\alpha \M(e_k) + \beta \M(\overline{e_k})||^2 = \left\|\alpha \frac{1}{2}(1+\omega^k) e_k+ \beta \frac{1}{2}(1+\omega^{-k})\overline{e_k} \right\|^2 = \left|\frac{1}{2}(1+\omega^k)\right|^2 (|\alpha|^2+|\beta|^2)$$ et $$||\M(v)|| =  \frac{1}{2}|1+\omega^k| \cdot ||v|| = \rho_k ||v||.$$

\vspace{0.3cm} \noindent 2. \textsc{Interpr\'etation complexe des transformations affines du plan fixant $O$}

\vspace{0.1cm} a. L'application $\T$ est un $\mathbb{R}$-endomorphisme de $\mathbb{C}$ si et seulement si $\T(z) = \T(x+iy) = x\T(1) + y \T(i)$ pour tout nombre complexe $z$ \'ecrit sous la forme $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$. Notant respectivement $u$ et $v$ les nombres complexes $\T(1)$ et $\T(i)$, on a alors $$\T(z) = \frac{z+\overline{z}}{2} u +  \frac{z - \overline{z}}{2i} v = \frac{u - iv}{2} z + \frac{u + iv}{2} \overline{z} = az + b\overline{z}$$ avec $a = \frac{u - iv}{2}$ et $b = \frac{u + iv}{2}$. R\'eciproquement, s'il existe des nombres complexes $a$ et $b$ tels que $\T(z) = az + b\overline{z}$ pour tout $z \in \mathbb{C}$, alors $$\T(x+iy) = (a+b)x + i(a-b)y$$ et l'application $\T$ est $\mathbb{R}$-lin\'eaire.

\vspace{0.1cm} Si $$\left(\begin{array}{ll} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{array} \right)$$ est la matrice de $\T$ dans la base $(1,i)$, alors $\T(1) = \alpha + i \gamma$, $\T(i) = \beta + i \delta$ et $$a = \frac{\T(1) - i\T(i)}{2} = \frac{1}{2}\left((\alpha + \delta) + i(\beta - \gamma)\right), \ \ \ b = \frac{\T(1) + i\T(i)}{2} = \frac{1}{2}\left((\alpha - \delta) + i(\beta + \gamma)\right).$$

\vspace{0.1cm} b. Supposons que l'application $\T$ soit $\mathbb{R}$-lin\'eaire. Pour que $\T$ soit un automorphisme, il faut et il suffit que l'on ait ${\rm Ker}(\T) = \{0\}$. La condition $\T(z) = 0$ \'equivaut \`a $az+b\overline{z} = 0$, soit encore $b = -\frac{z}{\overline{z}}a$ si $z \neq 0$. Par suite, si ${\rm ker}(\T) \neq \{0\}$, alors $|a| = |-z/\overline{z}||b| = |b|$. 

R\'eciproquement, si $|a|= |b|$, alors $a = e^{2i\vartheta}b$ avec $\vartheta \in \mathbb{R}$; comme $e^{2i\vartheta} = -z/\overline{z}$ avec $z = ie^{i\vartheta}$, il en d\'ecoule ${\rm ker}(\T) \neq \{0\}$.

Finalement, l'application $\T$ est un automorphisme si et seulement si $|a| \neq |b|$.

\vspace{0.3cm} \noindent 3. \textsc{Stabilit\'e des polygones affines des polygones r\'eguliers}

\vspace{0.1cm} a. Soit $\rP = (\A_1, \ldots, \A_n)$ une configuration d'isobarycentre $\Or$ et d'affixe $u$. Supposons qu'il existe un polyg\^one r\'egulier $\R$ et une application affine $\tau$ tels que $\rP = \tau(\R)$. Notant $\G$ le centre de $\R$ et d\'esignant par $t$ la translation de vecteur $\overrightarrow{\Or\G}$, alors $$\rP = (\tau \circ t)(t^{-1}(\R)),$$ $\tau \circ t$ est une application affine fixant $\Or$ et $t^{-1}\R$ est un polyg\^one r\'egulier de centre $\Or$. Ainsi, quitte \`a modifier $\R$ et $\tau$, on peut supposer que $\R$ est centr\'e en $\Or$ et que l'application affine $\tau$ fixe la point $\Or$. En outre, l'application affine $\tau$ est bijective car $\rP$ est une configuration non d\'egen\'er\'ee.

\vspace{0.1cm}
D'apr\`es la question II.1.b, il existe un entier $k$ tel que $1 \leqslant k \leqslant n-1$, $2k \neq n$ et $\R = \R_{k}$ ; quitte \`a remplacer $k$ par $n-k$, on peut supposer $1 \leqslant k < n/2$. Appliquant les questions 2.a et 2.b ci-dessus, l'application affine $\tau$ du plan dans lui-m\^eme correspond \`a une application $\T$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ telle que $\T(z) = \alpha z + \beta \overline{z}$ pour tout $z \in \mathbb{C}$, avec $\alpha, \ \beta \in \mathbb{C}$ tels que $|\alpha| \neq |\beta|$. On a alors $$u = \T(e_k) = \alpha e_k + \beta \overline{e_k}.$$

\vspace{0.1cm} R\'eciproquement, s'il existe un entier $k$ et des nombres complexes $\alpha$ et $\beta$ tels que $1 \leqslant k < n/2$, $|\alpha| \neq |\beta|$ et $$u = \alpha e_k + \beta \overline{e_k},$$ alors l'application $\T : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ d\'efinie par $\T(z) = \alpha z + \beta \overline{z}$ correspond \`a une bijection affine $\tau$ du plan fixant $\Or$ et telle que $\rP = \tau(\R_k)$. Ainsi, $\rP \in \mathcal{A}_n$.

\vspace{0.1cm} b. Soit $k$ un nombre entier tel que $1 \leqslant k < n/2$. \'Etant donn\'e $u_k \in \E_k$, il existe un unique couple $(a,b) \in \mathbb{C}^2$ tel que $u_k = ae_k + b\overline{e_k}$ et l'endomorphisme $\mathbb{R}$-lin\'eaire $\W_k$ de $\mathbb{C}$ d\'efini par $\W_k(z) = az + b\overline{z}$ v\'erifie $\W_k(e_k) = a e_k + b\overline{e_k} = u_k$. R\'eciproquement, si $\W_k'$ est un endomorphisme $\mathbb{R}$-lin\'eaire de $\mathbb{C}$ tel que $u_k = \W_k'(e_k)$, alors $\W_k(z) = \alpha z + \beta \overline{z}$ pour tout $z \in \mathbb{C}$ et donc $u_k = \alpha e_k + \beta \overline{e_k}$ ; on a par suite $\alpha = a$, $\beta = b$ et $\W_k' = \W_k$.

\vspace{0.1cm} c. Soit $\rP$ une configuration d'affixe $u$. Si $\rP \in \mathcal{A}_n$, alors $u$ s'\'ecrit sous la forme $\alpha e_k + \beta \overline{e_k}$ avec $1 \leqslant k < n/2$ et $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ ; on a alors $\M(u) = \alpha \M(e_k) + \beta \M(\overline{e_k}) = \alpha \omega^k e_k + \beta \omega^{-k} \overline{e_k}$, ce qui montre que la configuration $\Qr = m(\rP)$, d'affixe $\M(u)$, appartient encore \`a $\mathcal{A}_n$.

En vertu de la question pr\'ec\'edente, il existe une unique application affine $t$ du plan telle que $m(\rP) = t(\rP)$. Nous avons ainsi montr\'e que si $\rP$ est l'image d'un polygone r\'egulier par une transformation affine du plan, alors $m(\rP)$ se d\'eduit de $\rP$ par une transformation affine.

\vspace{0.1cm} d. Le fait que $\rP$ admette $\Or$ pour isobarycentre se traduit par $u \in \Hr$. Si $n$ est impair, $\E = \Hr$ et donc $u \in \E$ (cf. question IV.1.c). Si $n = 2p$ est pair, $u$ s'\'ecrit sous la forme $u = u' + \lambda e_p$ avec $u' \in \Hr \cap \F = \E$ et $\lambda \in \mathbb{C}$ (idem) ; on a alors $\M(u) = \M(u')$ car $\M(e_p) = 0$ et $\T(u) = au + b \overline{u} = (au' + b\overline{u'}) + \lambda(a+b)e_p$ car $\overline{e}_p = e_p$. L'identit\'e $m(\rP) = t(\rP)$ \'equivaut \`a $$\M(u') = (au'+b\overline{u'}) + \lambda(a+b)e_p,$$ soit $\M(u') = au'+b\overline{u'}$ et $0 = \lambda(a+b)$ car $au' + b\overline{u'}$ appartient \`a $\E$. Si $\lambda \neq 0$, la seconde identit\'e implique $a+b = 0$, d'o\`u $a = -b$ et $|a|=|b|$. L'application affine $t$ n'est alors pas injective, ce qui implique que la configuration $m(\rP) = t(\rP)$ soit d\'eg\'en\'er\'ee. 

Par suite, si l'on suppose que la configuration $m(\rP)$ n'est pas d\'eg\'en\'er\'ee, alors l'affixe $u$ de $\rP$ appartient \`a $\E$.

\vspace{0.1cm} \'Ecrivons $u$ sous la forme $u = \sum_{1 \leqslant k < n/2} u_k$ avec $u_k \in \E_k$. En vertu de la question b, il existe pour chaque $k$ un unique endomorphisme $\mathbb{R}$-lin\'eaire $\W_k$ de $\mathbb{C}$ tel que $u_k = \W_k(e_k)$. On a $\M(\overline{e_k}) = \overline{\M(e_k)}$ en vertu de la question I.3.b et, posant $W_k(z) = a_k z + b_k \overline{z}$, $$ \M \W_k (e_k)  = a_k \M(e_k) + b_k \M(\overline{e_k}) = a_k \M(e_k) + b_k \overline{\M_k(e_k)} = \W_k \M(e_k).$$ Par suite, la condition $\M(u) = \T(u)$ se traduit par l'identit\'e $$\sum_{1 \leqslant k < n/2} \W_k \M(e_k) = \sum_{1 \leqslant k < n/2} \M\W_k(e_k) = \sum_{1 \leqslant k < n/2} \T \W_k(e_k),$$  soit $\W_k \M(e_k) = \T\W_k(e_k)$ pour tout $k$. Comme $\M(e_k) = \Sr_k(e_k)$, on aboutit finalement \`a $$\W_k \Sr_k = \T \W_k$$ pour tout $k$ en vertu de la question b.

Si $v \in \E_k$ est tel que $\W_k(v) =0$, alors $\W_k\Sr_k(v) = \T \W_k(v) = \T(0) = 0$ et donc ${\rm ker}(\W_k)$ est un sous-$\mathbb{R}$-espace vectoriel de $\mathbb{C}$ stable par la similitude directe $\Sr_k$. Cette derni\`ere est la multiplication par $\frac{1}{2}(1+\omega^k)$ dans $\mathbb{C}$ et, comme $1 \leqslant k < n/2$, la partie imaginaire de ce nombre complexe est non nulle. Par suite, les seuls sous-espaces vectoriels r\'eels de $\mathbb{C}$ stables sous $\Sr_k$ sont $\{0\}$ et $\mathbb{C}$ et donc $\W_k = 0$ ou $\W_k$ est un automorphisme.

\vspace{0.1cm} Si $\W_k$ est un automorphisme, alors $\T = \W_k^{-1} \Sr_k \W_k$ et donc $${\rm det}(\T) = {\rm det}(\Sr_k) = \rho_k^2 = |\cos (\pi k/n)| = \cos(\pi k/n).$$ L'entier $k$ \'etant compris entre $1$ et $n/2$, il est compl\`etement d\'etermin\'e par la donn\'ee de $\cos(\pi k/n)$ et donc par ${\rm det}(\T)$. Par suite, il existe au plus un entier $k$ tel que $1 \leqslant k < n/2$ et $\W_k \neq 0$. L'application $\T$ \'etant d'autre part suppos\'ee bijective, $\T(u) = \sum_{1 \leqslant k < n/2} \T\W_k(e_k) \neq 0$ et il existe au moins un $k$ tel que $\W_k(e_k) \neq 0$. Au final, il existe un unique entier $k$ tel que $1 \leqslant k < n/2$ et $\W_k(e_k) \neq 0$ ; on a ainsi $u \in \E_k$.

\vspace{0.1cm} e. D'apr\`es la question c, toute configuration $\rP \in \mathcal{A}_n$  est telle que la configuration des milieux $m(\rP)$ se d\'eduise de $\rP$ par une transformation affine du plan. R\'eciproquement, si $\rP \in \mathcal{C}_n$ est une configuration d'isobarycentre $\Or$ et d'affixe $u$ telle que $m(\rP)$ se d\'eduise de $\rP$ par une transformation affine du plan, la question pr\'ec\'edente montre qu'il existe alors un entier $k$ tel que $1 \leqslant k < n/2$ et $u = \W_k(e_k)$, o\`u $\W_k$ est un automorphisme $\mathbb{R}$-lin\'eaire de $\mathbb{C}$. On a par suite $u = \alpha e_k + \beta \overline{e_k}$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ v\'erifiant $|\alpha| \neq |\beta|$, ce qui implique $\rP \in \mathcal{A}_n$ en vertu de la question a.

\end{document} 