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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation du CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Automne 2008}
\end{flushleft}

\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm} 
\begin{center}
{\bfseries \scshape 1. G\'eom\'etrie affine}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
\begin{center} \textbf{Espaces affines - Applications affines - Barycentres}
\end{center}


\vspace{0.2cm}

\begin{center} --------------------------- \end{center}

\vspace{0.1cm}

\noindent \emph{{\bfseries Rappels} -- Soit $k$ un corps et soit $\mathbf{E}$ un $k$-espace vectoriel.} 

\vspace{0.2cm}
\emph{1. Un \emph{espace affine} de \emph{direction} $\mathbf{E}$ est un ensemble $\E$ muni d'une action \emph{simplement transitive} du groupe $\mathbf{E}$, not\'ee $$\mathbf{E} \times \E \rightarrow \E, \ \ (\mathbf{u},\M) \mapsto \M + \mathbf{u}.$$
Dire que cette action est simplement transitive \'equivaut \`a la condition suivante : pour tous points $\M, \N \in \E$, il existe un \emph{unique} vecteur $\mathbf{u} \in \mathbf{E}$ tel que $\N = \M + \mathbf{u}$ ; ce vecteur est not\'e $\overrightarrow{\M\N}$.}

\vspace{0.2cm}
\emph{2. Par d\'efinition d'une action de groupe, $$\M + (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = (\M + \mathbf{u}) + \mathbf{v}$$ pour tous $\M \in \E$, $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbf{E}$. Quels que soient les points $\M, \N, \rP \in \E$, on a donc $$\M + (\overrightarrow{\M\N} + \overrightarrow{\N\rP}) = (\M + \overrightarrow{\M\N}) + \overrightarrow{\N\rP} =  \N + \overrightarrow{\N\rP} = \rP = \M + \overrightarrow{\M\rP},$$ d'o\`u $\overrightarrow{\M\N} + \overrightarrow{\N\rP} = \overrightarrow{\M\rP}$ (\emph{relation de Chasles}).} 

\vspace{0.2cm}
\emph{3. Un \emph{sous-espace affine} de $\E$ est une partie non vide $\F$ de $\E$ de la forme $\F = \A + \mathbf{F}$, o\`u $\A$ est un point de $\F$ et $\mathbf{F}$ est un sous-espace vectoriel de $\E$, appel\'e \emph{direction} de $\F$.}


\vspace{0.2cm}
\emph{4. La \emph{dimension} d'un sous-espace affine $\F$ de $\E$ est la dimension de sa direction $\mathbf{F}$.}
 
\vspace{0.2cm}
\emph{5. \'Etant donn\'es deux sous-espaces affines $\F$ et $\G$ de $\E$, on dit que $\E$ est \emph{parall\`ele} \`a $\G$ si $\mathbf{F} \subset \mathbf{G}$~\footnote{Attention, cette relation n'est \emph{pas} sym\'etrique!}. On dit que $\F$ et $\G$ sont \emph{parall\`eles} si $\F$ est parall\`ele \`a $\G$ et si $\G$ est parall\`ele \`a $\F$, ce qui revient \`a dire que $\F$ et $\G$ ont la m\^eme direction : $\mathbf{F} = \mathbf{G}$.}

\vspace{0.2cm} 
\emph{6. Soient $\E$ et $\F$ deux espaces affines de directions respectives $\mathbf{E}$ et $\mathbf{F}$. Une application $f : \E \rightarrow \F$ est dite \emph{affine} s'il existe une application lin\'eaire $\mathbf{f} : \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{F}$ telle que $$f(\M + \mathbf{u}) = f(\M) + \mathbf{f}(\mathbf{u})$$ pour tous $\M \in \E$ et $\mathbf{u} \in \mathbf{E}$. Si tel est le cas, l'application $\mathbf{f}$ est uniquement d\'etermin\'ee par $f$ et appel\'ee \emph{partie lin\'eaire} de $f$ ; on a $$\mathbf{f}(\overrightarrow{\M\N}) = \overrightarrow{f(\M)f(\N)}$$ pour tous $\M, \N \in \E$.}

\vspace{0.2cm}
\emph{7. Soient $\A_1, \ldots, \A_n$ des points d'un espace affine $\E$ et soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in k$ des scalaires. La \emph{fonction vectorielle de Leibniz} associ\'ee \`a la famille de points pond\'er\'es $\{(\A_1, \lambda_1), \ldots, (\A_n, \lambda_n)\}$ est l'application $$\Lr : \E \rightarrow \mathbf{E}, \ \ \M \mapsto \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \overrightarrow{\M\A_i}.$$ C'est une application affine, de partie lin\'eaire $-\lambda \rm{id}_{\mathbf{E}}$, o\`u $\lambda = \sum_{i=1}^n \lambda_i$. \\ 
\indent Si $\lambda = 0$, $\Lr$ est constante. Si $\lambda \neq 0$, $\Lr$ est une bijection et alors le \emph{barycentre} de la famille de points pond\'er\'es $\{(\A_1, \lambda_1), \ldots, (\A_n, \lambda_n)\}$ est l'unique point $\G$ de $\E$ tel que $\Lr(\G)  = \mathbf{0}$.}

\begin{center} --------------------------- \end{center}



\vspace{0.4cm} 

\noindent \textbf{Exercice 1.1. (Sous-espaces affines)} --- Soit $\E$ un espace affine. On suppose dans cet exercice que $k$ est de caract\'eristique diff\'erente de $2$, ce qui permet de parler du milieu d'un segment.

\vspace{0.1cm} \begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer qu'une partie non vide $\F$ de $\E$ est un sous-espace affine si et seulement si, pour tous points distincts $\M, \N \in \F$, la droite $(\M\N)$ est contenue dans $\F$. 
\item[(ii)] Fixons un point $\O$ dans $\E$ et consid\'erons deux sous-espaces affines $\F$ et $\F'$ de $\E$. \'Etant donn\'e un scalaire $\lambda \in k$, d\'emontrer que l'image de l'application $$\F \times \F' \rightarrow \E, \ \ (\M,\M') \mapsto \Or + \lambda \overrightarrow{\Or\M} + (1-\lambda)\overrightarrow{\Or\M'}$$ est un sous-espace affine de $\E$ dont on pr\'ecisera la direction.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}
\noindent \textbf{Exercice 1.2. (Intersection de sous-espaces affines)} --- Soit $\E$ un espace affine et soient $\F, \G$ deux sous-espaces affines de $\E$.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] D\'emontrer que $\F \cap \G$ est un sous-espace affine de $\E$ si et seulement si $\F \cap \G \neq \varnothing$. $\mathbf{E} = \mathbf{F} + \mathbf{G}$. Quelle est la direction de $\F \cap \G$? 
\item[(ii)] Si $\mathbf{E} = \mathbf{F} + \mathbf{G}$, montrer que $\F \cap \G$ est un sous-espace affine de $\E$. Que se passe-t-il si $\mathbf{E} = \mathbf{F} \oplus \mathbf{G}$?
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.3. (Applications affines)} --- 1. D\'emontrer qu'une application affine est injective (resp. surjective ; resp. bijective) si et seulement sa partie lin\'eaire est injective (resp. surjective ; resp. bijective).

\vspace{0.1cm}
2. Soit $\E$ un espace affine et soit $\Or$ un point fix\'e dans $\E$. 

\begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que toute application affine $f : \E \rightarrow \E$ s'\'ecrit d'une mani\`ere et d'une seule sous la forme $f = t \circ \widetilde{f}$, o\`u \begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\widetilde{f}$ est une application affine ayant la m\^eme partie lin\'eaire que $f$ et fixant $\Or$ ;
\item[$\bullet$] $t$ est une translation. \end{itemize}

Expliciter $\widetilde{f}$ et $t$ en fonction de $f$.

\item[(ii)] Pour tout vecteur $\mathbf{u} \in \mathbf{E}$, exprimer l'application affine $\widetilde{f} \circ t_{\mathbf{u}}$ sous la forme pr\'ec\'edente. 

\item[(iii)] Consid\'erons finalement deux applications affines $f, g : \E \rightarrow \E$, que l'on \'ecrit sous la forme $f = t_{\mathbf{u}} \circ \widetilde{f}$ et $g = t_{\mathbf{v}} \circ \widetilde{g}$ d\'ecrite en (i). D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede l'identit\'e $$g \circ f = t_{\mathbf{v} + \mathbf{g}(\mathbf{u})} \circ \widetilde{g} \circ \widetilde{f}.$$
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.4. (Projections affines)} --- Soit $\E$ un espace affine et soit $\F$ un sous-espace affine de $\E$.  

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize} \item[(i)] \'Etant donn\'e un suppl\'ementaire $\mathbf{F'}$ de $\mathbf{F}$ dans $\mathbf{E}$, d\'emontrer qu'il existe une application affine et une seule $p : \E \rightarrow \F$ telle que $\overrightarrow{\M p(\M)} \in \mathbf{F'}$ pour tout point $\M \in \E$. Par d\'efinition, $p$ est la \emph{projection sur $\F$ parall\`element \`a $\mathbf{F'}$.}
\item[(ii)] Quelle est la partie lin\'eaire de $p$? 
\item[(iii)] V\'erifier que l'on a $p \circ p = p$. R\'eciproquement, montrer que toute application affine $f~:~\E \rightarrow \E$ v\'erifiant $f \circ f = f$ est une projection.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.5. (Sym\'etries affines)} --- Soit $\E$ un espace affine. On suppose dans cet exercice que le corps $k$ est de caract\'eristique diff\'erente de $2$.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] Soit $\F$ un sous-espace affine de $\E$ et soit $\mathbf{F'}$ un suppl\'ementaire de $\mathbf{F'}$ dans $\mathbf{E}$. On d\'esigne par $p$ la projection de $\E$ sur $\F$ parall\`element \`a $\mathbf{F}'$ (cf. exercice pr\'ec\'edent). D\'emontrer qu'il existe une unique application affine $s : \E \rightarrow \E$ telle que, pour tout point $\M$ de $\E$, $p(\M)$ soit le milieu du segment $[\M, s(\M)]$.
\item[(ii)] V\'erifier que l'on a $s \circ s = {\rm id}_{\E}$. R\'eciproquement, montrer que toute application affine $f~:~\E \rightarrow \E$ telle que $f \circ f = {\rm id}_{\E}$ est une sym\'etrie.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.6. (Expressions analytiques d'une application affine)} --- Soit $\E$ un espace affine de dimension $3$ muni d'un repr\`ere cart\'esien $(\Or ; \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$. 

\vspace{0.1cm} \begin{itemize}
\item[(i)] Donner l'expression analytique d'une homoth\'etie quelconque (resp. d'une translation quelconque) dans ce rep\`ere.
\item[(ii)] Exprimer analytiquement la projection sur le plan $\Pi$ d'\'equation $2x_1-x_2+x_3+3=0$ parall\`element \`a la droite vectorielle $\mathbf{D}$ de direction $\mathbf{e_1} + 2\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3$. M\^eme question avec la sym\'etrie par rapport \`a $\Pi$ et parall\`element \`a $\mathbf{D}$ (on suppose ici $k$ de caract\'eristique diff\'erente de $2$).
\item[(iii)] \'Etudier l'application affine $f$ de $\E$ dans lui-m\^eme envoyant un point de coordonn\'ees $(x_1, x_2,x_3)$ sur le point de coordonn\'ees $(x'_1, x'_2, x'_3)$, o\`u $$\left\{\begin{array}{lll} x'_1 & = & 1 - x_2 - x_3 \\ x_2' & = & 2 - 2x_1 -x_2 -2x_3 \\ x_3' & = & -2 + 2x_1 + 2x_2 + 3x_3 \end{array} \right.$$
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.7. (Parall\'elogrammes)} --- Soit $\E$ un espace affine. \'Etant donn\'es quatre points $\A$, $\B$, $\C$, $\D$ de $\E$, deux \`a deux distincts et non align\'es, d\'emontrer que les conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(a)] $\overrightarrow{\A\B} = \overrightarrow{\D\C}$ ;
\item[(b)] les droites $(\A \B)$ et $(\C \D)$ d'une part, $(\A \D)$ et $(\B \C)$ d'autre part, sont parall\`eles ;
\item[(c)] les segments $[\A\C]$ et $[\B\D]$ ont le m\^eme milieu.
\end{itemize}
Si ces conditions sont v\'erifi\'ees, d\'emontrer en outre que les quatre points $\A$, $\B$, $\C$, $\D$ sont coplanaires. 

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.8. (M\'edianes d'un triangle)} --- Soit $\rP$ un plan affine. 

\vspace{0.1cm} \begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que les m\'edianes d'un triangle non plat sont concourantes.
\item[(ii)] \'Etant donn\'ees trois droites concourantes, construire un triangle dont ce sont les m\'edianes. 
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.9. (Coordonn\'ees barycentriques)}  --- Soit $\E$ un espace affine de dimension $n$. On consid\`ere $n+1$ points $\A_0, \A_1, \ldots, \A_n$ dans $\E$.

\vspace{0.1cm} \begin{itemize}
\item[(i)] D\'emontrer que les deux conditions suivantes sont \'equivalentes : \begin{itemize} \item[(a)] les points $\A_0, \ldots, \A_n$ ne sont contenus dans aucun sous-espace affine propre de $\E$ ; \item[(b)] $(\A_0 ; \overrightarrow{\A_0\A_1}, \ldots, \overrightarrow{\A_0\A_n})$ est un rep\`ere cart\'esien de $\E$.
\end{itemize}
Si ces conditions sont v\'erifi\'ees, on dit que $(\A_0, \A_1, \ldots, \A_n)$ est un \emph{rep\`ere affine} de $\E$.
\item[(ii)] Supposons que $(\A_0, \ldots, \A_n)$ soit un rep\`ere affine de $\E$. D\'emontrer que, pour tout point $\M$ de $\E$, il existe une unique famille de scalaires $x_0, \ldots, x_n \in k$ telle que $\sum_{i=0}^{n} x_i = 1$ et $\M = {\rm Bar}((\A_0,x_0), (\A_1,x_1), \ldots, (\A_n, x_n))$ ; ce sont les \emph{coordonn\'ees barycentriques} de $\M$ dans le rep\`ere $(\A_0, \A_1, \ldots, \A_n)$. 
\item[(iii)] Comparer les coordonn\'ees barycentriques de $\M$ dans le rep\`ere affine $(\A_0, \ldots, \A_n)$ et ses coordonn\'ees cart\'esiennes dans le rep\`ere cart\'esien $(\A_0 ; \overrightarrow{\A_0\A_1}, \ldots, \overrightarrow{\A_0\A_n})$.
\item[(iv)] Consid\'erons $n+1$ points $\M_0, \M_1, \ldots, \M_n$ dans $\E$ et d\'esignons par $(x_{i0}, x_{i1}, \ldots, x_{in})$ les coordonn\'ees barycentriques de $\M_i$ dans le rep\`ere affine $(\A_0, \A_1, \ldots, \A_n)$. D\'emontrer qu'il existe un sous-espace affine propre de $\E$ contenant $\M_0, \M_1, \ldots, \M_n$ si et seulement si le d\'eterminant $$\left|\begin{array}{llll} x_{00} & x_{01} & \ldots & x_{0n} \\ x_{10} & x_{11} & \ldots & x_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{n0} & x_{n1} & \ldots & x_{nn} \end{array}\right|$$ est nul.
\end{itemize} 

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.10. (Coordonn\'ees barycentriques, suite)} --- Consid\'erons un plan affine $\rP$ et soit $(\A_0, \A_1, \A_2)$ un rep\`ere affine de $\rP$.

\vspace{0.1cm} \begin{itemize}
\item[(i)] D\'emontrer que trois points de $\rP$, de coordonn\'ees barycentriques respectives $(a_0,a_1, a_2)$, $(b_0, b_1, b_2)$ et $(c_0,c_1,c_2)$, sont align\'es si et seulement si $$\left|\begin{array}{lll} a_0 & b_0 & c_0 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array} \right| = 0.$$ 
\item[(ii)] En d\'eduire que toute droite de $\rP$ admet une \'equation barycentrique de la forme $\alpha x_0 + \beta x_1 + \gamma x_2 = 0$, avec $\alpha, \beta, \gamma \in k$ des scalaires non tous nuls.
\item[(iii)] Soient $\D$ et $\D'$ deux droites distinctes. D\'emontrer que les droites dont une \'equation barycentrique est une combinaison lin\'eaire des \'equations barycentriques de $\D$ et $\D'$ sont pr\'ecis\'ement les droites du faisceau d\'efini par $\D$ et $\D'$, c'est-\`a-dire \begin{itemize} \item[(a)] les droites parall\`eles \`a $\D$ et $\D'$ si $\D$ et $\D'$ sont parall\`eles ; \item[(b)] les droites passant par le point $\I$ si les droites $\D$ et $\D'$ sont concourantes en $\I$.
\end{itemize}
\item[(iv)] Consid\'erons trois droites $\D$, $\D'$ et $\D''$, dont des \'equations barycentriques sont $\alpha x_0 + \beta x_1 + \gamma x_2 = 0$, $\alpha' x_0 + \beta' x_1 + \gamma' x_2 = 0$ et $\alpha'' x_0 + \beta'' x_1 + \gamma'' x_2 = 0 $ respectivement. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que ces trois droites sont parall\`eles ou concourantes si et seulement si $$\left|\begin{array}{lll} \alpha & \alpha' & \alpha'' \\ \beta & \beta' & \beta'' \\ \gamma & \gamma' & \gamma'' \end{array} \right| = 0.$$ 
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.11. (Dilatations)} --- Soit $\E$ un espace affine. Une \emph{dilatation} est une application affine $f : \E \rightarrow \E$ dont la partie lin\'eaire est une homoth\'etie vectorielle, i.e. $\mathbf{f} = \lambda {\rm id}_{\mathbf{E}}$ avec $\lambda \in k^{\times} = k - \{0\}$.

\begin{itemize}
\item[(i)] D\'emontrer les dilatations forment un sous-groupe du groupe affine ${\rm GA}(\E)$.
\item[(ii)] D\'emontrer que toute dilatation est une translation ou une homoth\'etie.
\item[(iii)] \'Etant donn\'es quatre points $\A, \B, \A', \B'$ de $\E$ tels que $\A \neq \B$, $\A' \neq \B'$ et $(\A' \B') // (\A \B)$, d\'emontrer qu'il existe une unique dilatation $f$ telle que $f(\A) = \A'$ et $f(\B) = \B'$. 
\item[(iv)] Soit $f : \E \rightarrow \E$ une application (que l'on ne suppose pas \emph{a priori} affine) envoyant toute droite sur une droite parall\`ele. D\'emontrer que $f$ est une dilatation.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.12. (Deux constructions \`a la r\`egle seule)} --- On travaille dans un plan affine.

\vspace{0.1cm} \begin{itemize}
\item[(i)] Supposons donn\'es deux points distincts $\A$ et $\B$ ainsi que le milieu $\I$ du segment $[\A\B]$. Quel que soit le point $\rP$, montrer que l'on peut construire, \`a la r\`egle seule, la parall\`ele \`a $(\A\B)$ passant par $\rP$. 

(\emph{Indications} : Si $\rP \notin (\A\B)$, consid\'erer un point $\Or$ n'appartenant pas \`a $(\A\B)$ et soit $\Qr$ le point d'intersection de $(\Or \B)$ avec la parall\`ele \`a $(\A\B)$ passant par $\rP$. Montrer qu'il existe une unique homoth\'etie $h$ telle que $h(\A) = \Qr$ et $h(\B) = \rP$, puis prouver que son centre $\J$ appartient \`a la droite $(\Or \I)$. En d\'eduire une construction du point $\Qr$.) 
\item[(ii)] Soient $\D$ et $\D'$ deux droites parall\`eles distinctes et soit $\M$ un point du plan. En utilisant la question pr\'ec\'edente, montrer que l'on peut construire, \`a la r\`egle seule, la parall\`ele \`a $\D$ et $\D'$ passant par $\M$.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.13. (Construction d'un polyg\^one \`a partir des milieux de ses c\^ot\'es)} --- Soit $\E$ un espace affine. On suppose que le corps $k$ est de caract\'eristique diff\'erente de $2$.

\vspace{0.1cm}
\'Etant donn\'es des points $\A_1, \ldots, \A_n$ de $\E$, on cherche des points $\B_1, \ldots, \B_n, \B_{n+1} = \B_1$ de $\E$ tels que $\A_i$ soit le milieu de $[\B_i \B_{i+1}]$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$. 
\vspace{0.1cm} \begin{itemize}
\item[(i)] Pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, on d\'esigne par $h_i$ l'homoth\'etie de centre $\A_i$ et de rapport $-1$. Montrer que toute solution $(\B_1, \ldots, \B_n, \B_{n+1} = \B_1)$ du probl\`eme est telle que $\B_{i+1} = h_i(\B_i)$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.
\item[(ii)] En d\'eduire que l'ensemble des solutions du probl\`eme consid\'er\'e est en bijection avec l'ensemble des points fixes de l'application affine $h_{n} \circ \ldots \circ h_1$. 
\item[(iii)] Si $n$ est impair, d\'emontrer qu'il existe une unique solution. 
\item[(iv)] Si $n$ est pair, d\'emontrer que le probl\`eme admet une solution si et seulement si $$\overrightarrow{\A_1\A_2} + \overrightarrow{\A_3 \A_4} + \ldots + \overrightarrow{A_{n-1}\A_n} = \mathbf{0},$$ auquel cas l'ensemble des solutions est infini. 
\item[(v)] Donner une construction explicite pour $n=3$, et pour $n = 4$ lorsque $(\A_1 \A_2 \A_3 \A_4)$ est un parall\'elogramme.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.14. (Th\'eor\`eme de Desargues)} --- \emph{Soient $\A, \B, \C, \A', \B', \C'$ six points distincts d'un plan affine $\E$ tels que $(\A'\B') // (\A\B)$, $(\A'\C')//(\A\C)$ et $(\B'\C') // (\B\C)$. Alors les droites $(\A\A'), (\B\B')$ et $(\C\C')$ sont parall\`eles ou concourantes.}

\vspace{0.1cm} \begin{itemize} \item[(i)] Donner une d\'emonstration utilisant des dilatations.
\item[(ii)] Donner une d\'emonstration analytique (utiliser le rep\`ere $(\A ; \overrightarrow{\A\B}, \overrightarrow{\A\C})$).
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.15. (Th\'eor\`eme de Pappus)} --- \emph{Soient $\D$ et $\D'$ deux droites distinctes dans un plan affine et soient $\A, \B, \C$ (resp. $\A', \B', \C'$) trois points distincts sur $\D - \D \cap \D'$ (resp. sur $\D' - \D' \cap \D$). Si $(\A\B') // (\A'\B)$ et $(\B\C') // (\B'\C)$, alors $(\A\C') // (\A'\C)$.}

\vspace{0.1cm} \begin{itemize}
\item[(i)] Donner une d\'emonstration reposant sur le th\'eor\`eme de Thal\`es.
\item[(ii)] Donner une d\'emonstration utilisant des dilatations.
\end{itemize}


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.16. (Th\'eor\`eme de Menelaus)} --- \emph{Soit $\A \B \C$ un triangle non plat dans un plan affine et soient $\A'$, $\B'$, $\C'$ des points sur les droites $(\B\C)$, $(\A\C)$ et $(\A\B)$ respectivement, distincts de $\A$, $\B$ et $\C$. Les points $\A'$, $\B'$ et $\C'$ sont align\'es si et seulement si $$\frac{\overline{\A'\B}}{\overline{\A'\C}} \cdot \frac{\overline{\B'\C}}{\overline{\B'\A}} \cdot \frac{\overline{\C'\A}}{\overline{\C'\B}} = 1.$$} 

\vspace{0.1cm} \begin{itemize}
\item[(i)] Donner une d\'emonstration reposant sur le th\'eor\`eme de Thal\`es (consid\'erer la parall\`ele \`a $(\A'\B')$ passant par $\B$).
\item[(ii)] Donner une d\'emonstration utilisant des dilatations (consid\'erer les homoth\'eties $h_{\A'}$, $h_{\B'}$ et $h_{\C'}$, de centres respectifs $\A'$, $\B'$ et $\C'$, telles que $h_{\A'}(\B) = \C$, $h_{\B'}(\C) = \A$ et $h_{\C'}(\A) = \B$).
\item[(iii)] Donner une d\'emonstration reposant sur les coordonn\'ees barycentriques (utiliser l'exercice 1.9).
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 1.17. (Th\'eor\`eme de Ceva)} --- \emph{Soit $\A \B \C$ un triangle non plat dans un plan affine et soient $\A'$, $\B'$, $\C'$ des points sur les droites $(\B\C)$, $(\A\C)$ et $(\A\B)$ respectivement, distincts de $\A$, $\B$ et $\C$. Les droites $(\A\A')$, $(\B\B')$ et $(\C\C')$ sont concourantes ou parall\`eles si et seulement si $$\frac{\overline{\A'\B}}{\overline{\A'\C}} \cdot \frac{\overline{\B'\C}}{\overline{\B'\A}} \cdot \frac{\overline{\C'\A}}{\overline{\C'\B}} = -1.$$} 

\vspace{0.1cm} \begin{itemize}
\item[(i)] Donner une d\'emonstration reposant sur les th\'eor\`emes de Thal\`es (droites parall\`eles) et de Menelaus (droites concourantes).
\item[(ii)] Donner une d\'emonstration reposant sur les coordonn\'ees barycentriques (utiliser l'exercice 1.10).
\end{itemize}


\end{document}
