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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation du CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Automne 2008}
\end{flushleft}

\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bfseries \scshape 2. G\'eom\'etrie affine plane axiomatique}
\end{center}

\vspace{0.2cm}

\begin{center} --------------------------- \end{center}
\vspace{0.1cm}

\noindent \textbf{\emph{Pr\'esentation}} --- \emph{Telle que nous l'\'etudions de nos jours, la g\'eom\'etrie \'el\'ementaire repose sur l'alg\`ebre lin\'eaire : on commence par d\'efinir les notions d'espace et d'application affines sur un corps $k$ \`a partir des notions de $k$-espace vectoriel et d'application lin\'eaire, puis, lorsque $k = \mathbb{R}$,  on introduit en outre des notions de distance et d'angles en consid\'erant un produit scalaire sur l'espace vectoriel associ\'e.}

\vspace{0.2cm} \emph{Ce point de vue, relativement r\'ecent, n'\'etait \'evidemment pas celui adopt\'e dans les textes classiques -- \`a commencer par les \emph{\'El\'ements} d'Euclide, o\`u l'on travaille \`a partir d'axiomes portant sur des notions premi\`eres (par exemple : points, droites, plan, etc.). Le grand avantage de l'approche contemporaine via l'alg\`ebre lin\'eaire est de fournir un cadre pr\'ecis et simple permettant en particulier de faire des calculs.}

\vspace{0.2cm} \emph{Cette fiche propose de comparer l'approche usuelle de la g\'eom\'etrie affine plane avec une approche \og \`a la Euclide \fg, reposant sur un certain nombre de donn\'ees premi\`eres et d'axiomes. Ce qui suit est tr\`es fortement inspir\'e par la pr\'esentation qu'en donne Emil Artin dans le livre \emph{Alg\`ebre g\'eom\'etrique} (\'Editions Jacques Gabay, 1962), cit\'e [Artin] par la suite. Ce que l'on va d\'emontrer, c'est qu'il existe une courte liste de cinq axiomes simples et de nature g\'eom\'etrique caract\'erisant exactement la g\'eom\'etrie des points et des droites dans un plan affine ; c'est un r\'esultat remarquable! Le plus frappant est sans doute que les cinq axiomes en question renferment de mani\`ere implicite la description compl\`ete du \emph{corps des scalaires}.}

\vspace{0.2cm} \emph{De mani\`ere g\'en\'erale, il est important de r\'ealiser que l'on peut toujours modifier un syst\`eme d'axiomes sans toucher au r\'esultat final ; la simplicit\'e, le faible nombre d'axiomes utilis\'es, etc. sont des crit\`eres de s\'election. Enfin, l'approche de la g\'eom\'etrie via l'alg\`ebre lin\'eaire peut se voir comme une description axiomatique : les axiomes utilis\'es sont ceux des corps, des espaces vectoriels et des espaces affines...}


\vspace{0.2cm} \emph{Une approche axiomatique compatable dans le cadre euclidien est \'egalement possible, mais plus compliqu\'ee \`a d\'ecrire. Les personnes int\'eress\'ees sont, par exemple, renvoy\'ees au livre \emph{Fondements de la g\'eom\'etrie} de David Hilbert (m\^eme \'editeur). 
}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Comment faire les exercices ci-dessous?}} --- \emph{Les r\`egles sont simples : il s'agit de r\'epondre aux questions en utilisant seulement les axiomes donn\'es et les r\'esultats des questions ant\'erieures. On aura int\'er\^et \`a raisonner en faisant des dessins avant de transcrire les arguments selon ces r\`egles.}

\begin{center} --------------------------- \end{center}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{1. D\'efinitions initiales et trois premiers axiomes}

\vspace{0.3cm} Nos donn\'ees initiales sont \begin{itemize} \item[(i)] un ensemble $\Pi$, dont les \'el\'ements sont appel\'es \og points \fg ;
\item[(ii)] une collection $\Delta$ de parties non vides de $\Pi$, appel\'ees \og droites \fg.
\end{itemize}

\vspace{0.2cm}
\'Etant donn\'es un point $\rP \in \Pi$ et une droite $d \in \Delta$, nous dirons que \emph{$d$ passe par $\rP$} si $\rP \in d$. Nous dirons par ailleurs que des points $\rP_1, \rP_2, \ldots, \rP_n \in \Pi$ sont \emph{align\'es} s'ils sont contenus dans une m\^eme droite.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 1}} --- \emph{Deux droites $d, \ d' \in \Delta$ sont dites \emph{parall\`eles} si $d = d'$ ou si $d \cap d' = \varnothing$ ; on \'ecrit alors $d \parallel d'$.}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Axiome 1}} --- \emph{\'Etant donn\'es deux points distincts $\rP, \ \Qr \in \Pi$, il existe une droite $d \in \Delta$ et une seule passant par $\rP$ et $\Qr$. Cette droite est not\'ee $d = (\rP \Qr)$.}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Axiome 2}} --- \emph{\'Etant donn\'es un point $\rP \in \Pi$ et une droite $d \in \Delta$, il existe une droite $\ell$ et une seule passant par $\rP$ et parall\`ele \`a $d$.}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Axiome 3}} --- \emph{Il existe trois points distincts non align\'es dans $\Pi$.}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 2}} --- \emph{Si l'ensemble $\Pi$ et la collection $\Delta$ satisfont aux trois axiomes pr\'ec\'edents, nous dirons que le couple $(\Pi, \Delta)$ est une \emph{g\'eom\'etrie}.}

\vspace{0.3cm} \begin{center} \emph{Dans tout ce qui suit, nous supposerons que $(\Pi,\Delta)$ est une g\'eom\'etrie} \end{center}

\vspace{0.3cm} \textbf{Question 1.1.} Si $d, \ d' \in \Delta$ sont deux droites non parall\`eles, d\'emontrer qu'il existe un unique point appartenant \`a $d$ et \`a $d'$ {\small (axiome 1)}.

\vspace{0.2cm} \textbf{Question 1.2.} D\'emontrer que le parall\'elisme est une relation d'\'equivalence sur l'ensemble des droites $\Delta$ {\small (axiome 2)}.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 2}} --- \emph{Les classes d'\'equivalence pour le parall\'elisme sont appel\'ees \emph{directions}.}

\vspace{0.1cm} La direction d'une droite $d$ est donc l'ensemble de toutes les droites $d' \in \Delta$ telles que $d' \parallel d$.

\vspace{0.3cm} \textbf{Question 1.3.} \'Etant donn\'ee une droite $d \in \Delta$, d\'emontrer qu'il existe un point $\rP$ dans $\Pi$ n'appartenant pas \`a $d$ {\small (axiome 3)}.

\vspace{0.2cm} \textbf{Question 1.4.} \'Etant donn\'ees deux droites $d, \ d' \in \Delta$, construire une bijection entre $d$ et $d'$ puis en d\'eduire que toute droite contient au moins deux points. {\small (axiomes 1, 2 et 3, question 1.1)}.

\vspace{0.2cm} \textbf{Question 1.5.} Consid\`erons la configuration suivante : \vspace{6cm} \begin{center} $\Pi = \{\A, \B, \C, \D\}, \ \ \Delta = \{(\A\B), (\A\C), (\A\D), (\B\C), \B\D), (\C\D)\}$ \end{center} 

\vspace{0.2cm} \begin{itemize} \item[(a)] V\'erifier qu'elle satisfait aux trois axiomes ci-dessus. \item[(b)] D\'emontrer que c'est la g\'eom\'etrie contenant le moins de points possibles. \item[(c)] Cette g\'eom\'etrie peut \^etre identifi\'ee \`a l'ensemble des points et des droites dans un plan affine sur un corps $k$ ; lequel? \end{itemize}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{2. Dilatations}.

\vspace{0.2cm} Nous allons maintenant introduire certaines \emph{transformations} de $\Pi$ conservant la direction.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 3}} --- \emph{Une \emph{dilatation} est une application $f$ de $\Pi$ dans $\Pi$ v\'erifiant la condition suivantes : \'etant donn\'es deux points distincts $\rP, \ \Qr \in \Pi$, $f(\rP) \neq f(\Qr)$ et a droite $(f(\rP)f(\Qr))$ est parall\`ele \`a la droite $(\rP \Qr)$. }

\vspace{0.1cm} Il est clair que l'identit\'e de $\Pi$ est une dilatation.

\vspace{0.3cm} \begin{center} --------------------- \end{center}

\vspace{0.3cm} \textbf{Question 2.1.} D\'emontrer que toute dilatation $f$ est une bijection.

\vspace{0.1cm}
{\small (\emph{Indication} : \'etant donn\'e un point $\rP \in \Pi$, 
\begin{itemize} \item[(a)] justifier qu'il existe deux points distincts $\A, \ \B \in \Pi$ tels que les droites $(f(\A)\rP)$ et $(f(\B)\rP)$ soient s\'ecantes en $\rP$ ;
\item[(b)] en d\'eduire qu'il existe un point $\Qr \in \Pi$ tel que $\rP = f(\Qr)$.) \end{itemize}}

\vspace{0.2cm} \textbf{Question 2.2.} D\'emontrer qu'une dilatation $f$ est compl\`etement d\'etermin\'ee lorsqu'on conna\^{\i}t les images $f(\A)$ et $f(\B)$ de deux points distincts. En d\'eduire que $f$ a au plus un point fixe.

\vspace{0.1cm}
{\small (\emph{Indication} : d\'eterminer tout d'abord l'image d'un point $\rP$ n'appartenant pas \`a la droite $(\A\B)$ en utilisant les indications de la question pr\'ec\'edente puis traiter le cas $\rP \in (\A\B)$.)}

\vspace{0.2cm}  \textbf{Question 2.3.} Soit $f$ une dilatation. 
\begin{itemize}
\item[(i)] Si $f$ a un point fixe $\rP$, d\'emontrer que, pour tout $\Qr \in \Pi$, les points $\rP$, $\Qr$ et $f(\Qr)$ sont align\'es.
\item[(ii)] Si $f$ n'a pas de point fixe, d\'emontrer que toutes les droites $(\rP f(\rP))$ sont parall\`eles entre elles ($\rP \in \Pi$).
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{D\'efinition 3}} --- \emph{Une \emph{translation} est une dilatation n'ayant aucun point fixe ou bien l'identi\'e.}

\vspace{0.1cm} Si $t$ est une translation distincte de l'identit\'e, il d\'ecoule de la question 2.3 (ii) que toutes les droites $(\rP t(\rP))$ sont parall\`eles. Cette observation justifie la d\'efinition suivante.

\vspace{0.3cm}   \textbf{\emph{D\'efinition 4}} --- \emph{La \emph{direction} d'une translation $t \neq {\rm id}$ est la direction des droites parall\`eles $(\rP t(\rP))$, $\rP \in \Pi$.}

\vspace{0.2cm}   \textbf{Question 2.4.} D\'emontrer qu'une translation $t$ est compl\`etement d\'etermin\'ee lorsqu'on conna\^{\i}t l'image $t(\A)$ d'un point $\A$.

\vspace{0.2cm}   \textbf{Question 2.5.} D\'emontrer que l'ensemble des dilatations ${\rm Dil}$ est un groupe pour la composition.
 
\vspace{0.2cm}  \textbf{Question 2.6.} \'Etant donn\'ees une translation $t$ et une dilatation $f$, d\'emontrer que $f^{-1} t f$ est une translation ayant la m\^eme direction que $t$. En d\'eduire que l'ensemble $\T$ des translations est un sous-groupe distingu\'e de ${\rm Dil}$.

\vspace{0.2cm}  \textbf{Question 2.7.} Si l'on suppose qu'il existe deux translations de directions distinctes, d\'emontrer que le groupe $\T$ est commutatif.

\vspace{0.1cm} {\small \emph{Indication} : \begin{itemize} \item[(a)] Si $t_1$ et $t_2$ sont deux translations de directions distinctes, d\'emontrer que $t_1$ et $t_2$ commutent.
\item[(b)] Si $t_1$ et $t_2$ sont deux translations de m\^eme direction, consid\'erer une translation $t_3$ de direction distincte et v\'erifier que $t_1$ et $t_2 t_3$ ont des directions distinctes. Conclure en calculant $t_1t_2t_3$...) \end{itemize}}

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{3. Deux nouveaux axiomes}

\vspace{0.2cm} Nous introduisons finalement deux nouveaux axiomes assurant que l'on dispose de \og suffisamment \fg \ de dilatations.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Axiome 4}} --- \emph{ \'Etant donn\'es deux points quelconques $\rP, \ \Qr$ dans $\Pi$, il existe une translation $t$ telle que $t(\rP) = \Qr$.}

\vspace{0.1cm} La translation $t$ fournie par cet axiome est uniquement d\'etermin\'ee en vertu de la question 2.4 ; on la note $t_{\rP \Qr}$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Axiome 5}} --- \emph{Soient $\rP$, $\R$ et $\Qr$ trois points distincts et align\'es. Il existe une dilatation $f$ fixant $\rP$ et envoyant $\Qr$ sur $\R$.}

\vspace{0.1cm} La dilatation $f$ fournie par cet axiome est uniquement d\'etermin\'ee en vertu de la question 2.2.

\vspace{0.3cm} \textbf{Question 3.1.} D\'emontrer qu'il existe deux translations de directions distinctes. En d\'eduire que le groupe $\T$ des translations est commutatif. ({\small axiomes 3 et 4, question 2.7})

\vspace{0.2cm} \textbf{Question 3.2.} Soient $\A, \B, \C$ et $\D$ quatre points distincts de $\Pi$. D\'emontrer que les conditions sont \'equivalentes : 
\begin{itemize} 
\item[(i)] $(\A\B) \parallel (\C\D)$ et $(\A\C) \parallel (\B \D)$ ;
\item[(ii)] il existe une translation $t$ telle que $t(\A) = \B$ et $t(\C) = \D$ ;
\item[(iii)] $t_{\A\B} = t_{\C\D}$ \end{itemize}

\vspace{0.2cm} \textbf{Question 3.3.} (\emph{Th\'eor\`eme 1 de Desargues}) Soient $d_1, \ d_2$ et $d_3$ trois droites distinctes et parall\`eles. Soient $\rP, \ \rP'$ deux points sur $d_1$, $\Qr, \ \Qr'$ deux points sur $d_2$ et $\R, \R'$ deux points de $d_3$. Si $$(\rP \Qr) \parallel (\rP' \Qr') \ \textrm{ et } \ (\rP \R) \parallel (\rP' \R'),$$ alors  $(\Qr \R) \parallel (\Qr' \R').$

\vspace{0.2cm} \textbf{Question 3.4.} (\emph{Th\'eor\`eme 2 de Desargues}) Soient $d_1, \ d_2$ et $d_3$ trois droites distinctes passant par un point $\Or$. Soient $\rP, \ \rP'$ deux points sur $d_1$, $\Qr, \ \Qr'$ deux points sur $d_2$ et $\R, \R'$ deux points de $d_3$. Si $$(\rP \Qr) \parallel (\rP' \Qr') \ \textrm{ et } \ (\rP \R) \parallel (\rP' \R'),$$  alors $(\Qr \R) \parallel (\Qr' \R').$

\vspace{0.2cm} \textbf{Question 3.5.} Supposons que notre g\'eom\'etrie satisfasse seulement aux axiomes 1, 2 et 3. 
\begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que l'axiome 4 est vrai si le th\'eor\`eme 1 de Desargues est vrai.
\item[(ii)] D\'emontrer que l'axiome 5 est vrai si le th\'eor\`eme 2 de Desargues est vrai.
\end{itemize}



\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{\emph{Commentaire}} --- \emph{Ces deux derni\`eres questions illustrent l'importance des deux th\'eor\`emes de Desargues : la validit\'e de ces derniers est \'equivalente \`a celle des axiomes 4 et 5, c'est-\`a-dire \`a l'existence de suffisamment de dilatations dans notre g\'eom\'etrie ($\Pi, \Delta$)}.

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{4. Le corps des scalaires}

\vspace{0.2cm} Il est tr\`es remarquable que les axiomes 1 \`a 5 caract\'erisent compl\`etement la g\'eom\'etrie plane affine sur un corps $k$ (non n\'ecessairement commutatif) au sens o\`u on la conna\^{\i}t usuellement, c'est-\`a-dire la g\'eom\'etrie des points et des droites dans un espace affine de dimension $2$ sur $k$.

\vspace{0.1cm} Nous avons un candidat \'evident pour l'espace vectoriel : le groupe $\T$. Nous allons maintenant voir qu'il existe naturellement un \emph{corps des scalaires} $k$ tel que $\T$ soit un $k$-espace vectoriel de dimension $2$. La d\'efinition suivante est fond\'ee sur une observation \'el\'ementaire : si $\V$ est un espace vectoriel sur un corps $k$, les \'el\'ements de $k$ d\'efinissent des homomorphismes du groupe ab\'elien $(\V, +)$ conservant le parall\'elisme.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{D\'efinition 5} --- \emph{Un \emph{scalaire} est un homomorphisme de groupes $\lambda : \T \rightarrow \T$ tel que, pour toute translation $t$, $$(\lambda(t) = {\rm id}) \ \ \textrm{ ou }  \ \ (t \textrm{ et } \lambda(t) \textrm{ ont la m\^eme direction }).$$ L'ensemble des scalaire est not\'e $k$.}

\vspace{0.1cm} L'application de $\T$ dans $\T$ envoyant toute translation sur l'identit\'e est un scalaire, not\'e $0$. L'identit\'e de $\T$ est un scalaire, not\'e $1$.

\vspace{0.1cm} On d\'efinit deux lois de composition interne $+$ et $\cdot$ sur $k$ : pour tous $\lambda, \ \mu \in k$,
\begin{itemize}
\item[(i)] $\lambda + \mu$ est le scalaire d\'efini par $$(\lambda + \mu)(t) = \lambda(t) \circ \mu(t) \ ;$$
\item[(ii)] $\lambda \mu$ est le scalaire $\lambda \circ \mu$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} On v\'erifie que ceci a bien un sens, c'est-\`a-dire que $\lambda + \mu$ et $\lambda \mu$ sont bien des scalaires.

\vspace{0.2cm} Les axiomes 1 \`a 5 permettent  de d\'emontrer le th\'eor\`eme suivant : 

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 6}} --- \emph{Muni de ces lois, l'ensemble $k$ des scalaires est un \emph{corps}, non n\'ecessairement commutatif.}

\vspace{0.1cm} Voir la d\'emonstration dans [Artin], pp. 58-62.

\vspace{0.3cm}  Pour toute dilatation $f$, l'application $\T \rightarrow \T, \ t \mapsto f^{-1} \circ t \circ f$ est un homomorphisme de groupes et $f^{-1} \circ t \circ f$ a la m\^eme direction que $t$ (question 2.6). On associe ainsi un scalaire $\lambda(f) \neq 0$ \`a toute dilatation $f$, son \emph{rapport} ; comme $\T$ est commutatif, $f^{-1} \circ t \circ f = t$ et donc $\lambda(f) = 1$ pour toute translation $f$. En utilisant les axiomes 1 \`a 5, on d\'emontre sans grande difficult\'e le th\'eor\`eme suivant.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Th\'eor\`eme 7}} --- \emph{Soit $\Or$ un point de $\Pi$ et soit ${\rm Dil}_{\Or}$ le sous-groupe de ${\rm Dil}$ form\'e des dilatations fixant le point $\Or$. L'application $$({\rm Dil}_{\Or}, \circ) \rightarrow (k - \{0\}, \cdot), \ \ f \mapsto \lambda(f)$$ est un isomorphisme de groupes.}

\vspace{0.1cm} Voir la d\'emonstration dans [Artin], pp. 60-61.

\vspace{0.3cm} En admettant les deux th\'eor\`emes pr\'ec\'edents, il s'av\`ere qu'il est possible de traduire la \emph{commutativit\'e} du corps $k$ par un \'enonc\'e g\'eom\'etrique simple, en l'occurrence le \emph{th\'eor\`eme de Pappus}.

\vspace{0.2cm}\textbf{Question 4.1.} D\'emontrer que les deux assertions suivantes sont \'equivalentes :
\begin{itemize} \item[(i)] Le corps $k$ est commutatif.
\item[(ii)] (\emph{Th\'eor\`eme de Pappus}) \'Etant donn\'es un point $\Or$ et deux droites distinctes $d$ et $d'$ passant par $\Or$, on consid\`ere  trois points distincts $\rP$, $\Qr$ et $\R$ sur $d - \{\Or\}$ et trois points distincts $\rP'$, $\Qr'$ et $\R'$ sur $d' - \{\Or\}$. Alors $$(\rP \Qr') \parallel (\Qr \rP') \textrm{ et } (\Qr \R') \parallel (\Qr' \R) \ \Longrightarrow \ (\rP \R') \parallel (\rP' \R).$$
    \end{itemize}
    
\vspace{0.2cm} Ainsi, le corps des scalaires que l'on vient de construire \`a partir de notre g\'eom\'etrie $(\Pi, \Delta)$ est commutatif si et seulement si le th\'eor\`eme de Pappus est vrai dans cette g\'eom\'etrie.    

\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{5. Conclusion} 

\vspace{0.2cm} Partons d'un corps commutatif $k$ et d'un espace affine $\E$ sur $k$ de dimension $2$. Posant $\Pi = \E$ et prenant pour $\Delta$ l'ensemble des droites de $\E$ au sens usuel, il est bien connu que les axiomes 1 \`a 5 ainsi que le th\'eor\`eme de Pappus sont vrais pour le couple $(\Pi, \Delta)$.

\vspace{0.3cm} R\'eciproquement, supposons que $(\Pi, \Delta)$ soit une g\'eom\'etrie dans laquelle les cinq axiomes ci-dessus ainsi que le th\'eor\`eme de Pappus soient vrais. On a d\'efini \`a l'\'etape 2 un groupe ab\'elien $\T$, le groupe des translations ; on convient de noter additivement sa loi de composition et $0$ son \'el\'ement neutre : $$t_1 + t_2 = t_1 \circ t_2 \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ 0 = {\rm id}.$$ On a construit \`a l'\'etape 4 un corps commutatif $k$ ainsi qu'une loi externe $$k \times \T \rightarrow \T, \ \ (\lambda, t) \mapsto \lambda \cdot t = \lambda(t)$$ satisfaisant aux conditions suivantes : \begin{itemize} \item[(a)] $0 \cdot t = 0$ et $1 \cdot t = t$ ;  ; \item[(b)] $\lambda \cdot (t_1 + t_2) = \lambda \cdot t_1 + \lambda \cdot t_2$ ; \item[(c)] $(\mu \cdot \lambda) \cdot t = \mu \cdot (\lambda \cdot t)$ \end{itemize} pour tous $t \in \T$, $\lambda, \ \mu \in k$. Ainsi, $\T$ est muni d'une structure de $k$-espace vectoriel.

\vspace{0.1cm} L'espace vectoriel $\T$ agit naturellement sur l'ensemble $\Pi$ via $$\T \times \Pi \rightarrow \Pi, \ (t, \rP) \mapsto t(\rP)$$ et cette action est \emph{simplement transitive} : quels que soient les points $\rP$ et $\Qr$ in $\Pi$, il existe une et une seule translation $t \in \T$ telle que $t(\rP) = \Qr$ (axiome 4 et question 2.4). Ainsi, l'ensemble $\Pi$ est muni d'une structure d'\emph{espace affine} sur $k$, de direction vectorielle $\T$.

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Remarque}} --- \emph{Pour tout couple $(\A,\B)$ de points de $\Pi$, il existe une unique translation $t_{\A\B} \in \T$ envoyant $\A$ sur $\B$. D'apr\`es la question 3.2, deux couples $(\A,\B)$ et $(\C,\D)$ d\'efinissent la m\^eme translation si et seulement si $$(\A\B) \parallel (\C\D) \ \ \textrm{ et } \ \ (\A \C) \parallel (\B\D)$$ et nous pouvons donc identifier les \'el\'ements de $\T$ avec les classes d'\'equivalence de couples de points de $\Pi$ pour la relation ci-dessus. Ceci est la d\'efinition usuelle des \emph{vecteurs} en g\'eom\'etrie \'el\'ementaire.}

\vspace{0.3cm} \textbf{Question 5.1.} Soit $\Or \in \Pi$ un point et soient $t_1$ et $t_2$ deux translations de directions diff\'erentes (question 3.1). On consid\`ere une translation $t_3 \in \T$. Posant $d_1 = (\Or t_1(\Or))$ et $d_2 = (\Or t_2(\Or))$, la droite parall\`ele \`a $d_2$ (resp. $d_1$) et passant par $t_3(\Or)$ coupe $d_1$ (resp. $d_2$) en un point $\Qr_1$ (resp. $\Qr_2$). En vertu de l'axiome 5, il existe des dilatations $h_1, \ h_2 \in {\rm Dil}_{\Or}$ telles que $h_1(t_1(\Or)) = \Qr_1$
et $h_2(t_2(\Or)) = \Qr_2$.
\begin{itemize}
\item[(i)] Posant $a_1 = \lambda(h_1)$ et $a_2 = \lambda(h_2)$, v\'erifier que l'on a $(a_1 \cdot t_1)(\Or) = \Qr_1$ et $(a_2 \cdot t_2)(\Or) = \Qr_2$.
\item[(ii)] En d\'eduire que l'on a $a_1 \cdot t_1 + a_2 \cdot t_2 = t_3$.
\item[(iii)] Justifier qu'il n'existe pas scalaires $a_1 \neq 0$ et $a_2 \neq 0$ tels que $a_1 \cdot t_1 + a_2 \cdot t_2 = 0$. En d\'eduire que $\T$ est de dimension $2$.
\end{itemize}

\vspace{0.2cm} \noindent \textbf{\emph{Commentaire}} --- \emph{Pourquoi obtient-on n\'ecessairement une g\'eom\'etrie de dimension $d = 2$ alors qu'aucun de nos cinq axiomes ne semble l'affirmer? Les axiomes 3 et 4, garantissant l'existence de deux translations de directions distinctes, imposent simplement la minoration $d \geqslant 2$. Lorsqu'on analyse la question pr\'ec\'edente, on s'aper{\c c}oit qu'un point crucial est l'unicit\'e de la droite passant par un point donn\'e et parall\`ele \`a une droite sp\'ecifi\'ee -- c'est-\`a-dire l'axiome 2 -- car cela permet de d\'efinir la projection sur une droite parall\`element \`a une autre droite. Par suite, l'axiome 2 contient essentiellement la majoration $d \leqslant 2$}.

\vspace{0.2cm} On vient de v\'erifier que $\Pi$ est un naturellement un \emph{plan affine} sur le corps $k$. La derni\`ere \'etape consiste \`a s'assurer que les \'el\'ements de $\Delta$ sont bien les droites de $\Pi$ au sens usuel.

\vspace{0.2cm} \textbf{Question 5.2.} Consid\'erons une droite $d \in \Delta$ et soient $\A, \ \B$ deux points distincts de $d$ (question 1.4). Soit $\rP \in \Pi$. \begin{itemize}
\item[(i)] S'il existe un scalaire $a \in k$ tel que $t_{\A\rP} = a \cdot t_{\A\B}$, v\'erifier que $\rP$ appartient \`a $d$. ({\small d\'efinition 5 et axiome 2}) 
\item[(ii)] R\'eciproquement, si $\rP \in d$, d\'emontrer qu'il existe un scalaire $a \in k$ tel que $t_{\A\rP} = a \cdot t_{\A\B}$. ({\small axiome 5 et th\'eor\`eme 7})    
\end{itemize}

\vspace{0.2cm} \textbf{Question 5.3.} D\'emontrer que $\Delta$ est pr\'ecis\'ement l'ensemble des droites du plan affine $\Pi$ telles que d\'efinies de mani\`ere usuelle.

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\end{document} 