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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation du CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Automne 2008}
\end{flushleft}

\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bfseries \scshape 3. G\'eom\'etrie affine euclidienne 1} : \textbf{orthogonalit\'e, isom\'etries}
\end{center}



%\vspace{0.2cm}

%\begin{center} --------------------------- \end{center}

%\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{\emph{Rappels} --



%\vspace{0.1cm}
%\begin{center} --------------------------- \end{center}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 3.1. (Relation d'Euler)} --- Soient $\A$, $\B$, $\C$ et $\D$ quatre points d'un espace affine euclidien $\E$. 
\begin{itemize}
\item[(i)] D\'emontrer la relation d'Euler : $( \overrightarrow{\A\B} | \overrightarrow{\C\D}) + (\overrightarrow{\A\C} | \overrightarrow{\D\B}) + (\overrightarrow{\A\D} | \overrightarrow{\B\C}) = 0.$
\item[(ii)] En d\'eduire que les hauteurs d'un triangle non plats sont concourantes.
\item[(iii)] Montrer que, si un t\'etra\`edre poss\`ede deux couples d'ar\^etes oppos\'ees orthogonales, il en va de m\^eme pour le troisi\`eme couple.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm}
\noindent \textbf{Exercice 3.2.} --- Soient $\A$, $\B$ et $\C$ trois points de l'espace affine euclidien $\E$. D\'eterminer les ensembles de niveau de la fonction $$f : \E \rightarrow \mathbb{R}, \ \ \ \M \mapsto (\overrightarrow{\M\A} | \overrightarrow{\M\B}) + (\overrightarrow{\M\B}| \overrightarrow{\M\C}) + (\overrightarrow{\M\A}|\overrightarrow{\M\C}).$$

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 3.3 (Th\'eor\`eme de l'angle droit)} --- Soit $\E$ un espace affine euclidien de dimension $3$ et soit $\rP$ un plan de $\E$. On d\'esigne par $p$ la projection orthogonale de $\E$ sur $\rP$.

\vspace{0.1cm} On consid\`ere des points $\A, \B, \C$ et $\D$ dans $\E$ tels que $(\overrightarrow{\A\B} | \overrightarrow{\C\D}) = 0$.  D\'emontrer que les vecteurs $\overrightarrow{p(\A)p(\B)}$ et $\overrightarrow{p(\C)p(\D)}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{\A\B} \in \overrightarrow{\rP}$ ou $\overrightarrow{\C\D} \in \overrightarrow{\rP}$.

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 3.4} --- Soit $(\A \B \C \D)$ un quadrilat\`ere de l'espace affine euclidien tel que deux c\^ot\'es cons\'ecutifs soient toujours orthogonaux.

\begin{itemize}
\item[(i)] En utilisant l'exercice pr\'ec\'edent, d\'emontrer que ce quadrilat\`ere est plan.
\item[(ii)] Donner une d\'emonstration analytique en choisissant un rep\`ere ad\'equat.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 3.5 (D\'ecomposition canonique des isom\'etries affines)} --- Soit $\E$ un espace affine euclidien et soit $f$ une isom\'etrie de $\E$. Cet exercice a pour but de d\'emontrer le th\'eor\`eme suivant : \emph{il existe un unique couple $(g,\mathbf{v})$, constitu\'e d'une isom\'etrie $g$ de $\E$ ayant un point fixe et d'un vecteur $\mathbf{v} \in \overrightarrow{\E}$, tel que $f = g \circ t_{\mathbf{v}} = t_{\mathbf{v}} \circ g$.}

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que les sous-espaces ${\rm Ker}({\rm id} - \mathbf{f})$ et ${\rm Im}({\rm id} - \mathbf{f})$ sont suppl\'ementaires et orthogonaux dans $\overrightarrow{\E}$.
\item[(ii)] Soient $h$ une application affine de $\E$ et $\mathbf{u} \in \overrightarrow{\E}$ un vecteur. Montrer que l'on a $h \circ t_{\mathbf{u}} = t_{\mathbf{u}} \circ h$ si et seulement si $\mathbf{u} \in {\rm ker}({\rm id} - \mathbf{h})$.
\item[(iii)] Soit $h$ une application affine de $\E$ et soit $\mathbf{u} \in \overrightarrow{\E}$. Soit $\A$ un point de $\E$. D\'emontrer que l'application affine $t_{-\mathbf{u}} \circ h$ admet un point fixe si et seulement si $\overrightarrow{\A h(\A)} - \mathbf{u} \in {\rm Im}({\rm id} - \mathbf{h})$.
    \item[(iv)] Conclure.
    \item[(v)] Soit $\F$ l'ensemble des points fixes de $f$. Montrer que $\F  = \varnothing$ si et seulement si le vecteur $\mathbf{v} \neq 0$ n'appartient pas au sous-espace ${\rm Im}({\rm id} - \mathbf{f})$ de $\overrightarrow{\E}$. En d\'eduire que l'on alors $${\rm Ker}({\rm id} - \mathbf{f}) \neq \{0\}.$$
        \item[(vi)] Supposons que le vecteur $\mathbf{v}$ intervenant dans la d\'ecomposition canonique de $f$ soit non nul. \'Etant donn\'e un point $\M \in \E$, d\'emontrer qu'il existe un vecteur $\mathbf{w} \in \overrightarrow{\E}$ tel que $\overrightarrow{\M f(\M)} = \mathbf{v} + \mathbf{f}(\mathbf{w}) - \mathbf{w}$. En d\'eduire la valeur minimale de $||\overrightarrow{\M f(\M)}||$ lorsque $\M$ parcourt $\E$.
    \end{itemize}
    
\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 3.6 (Isom\'etries du plan et de l'espace)} --- Soit $\E$ un espace affine euclidien et soit $f$ une isom\'etrie de $\E$. On d\'esigne par $\F$ l'ensemble des points fixes de $f$.

\vspace{0.1cm} \begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que, s'il est non vide, l'ensemble $\F$ est un sous-espace affine de $\E$ de direction ${\rm Ker}(\rm{id} - \mathbf{f})$.
\item[(ii)] Supposons ${\rm dim}(\E) = 2$. D\'ecrire $f$ en fonction de ${\rm dim}(\F)$ et distinguer les d\'eplacements des anti-d\'eplacements.
\item[(iii)] M\^eme question avec ${\rm dim}(\E) = 3$.
\end{itemize} 


\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 3.7 (Groupes de frises)} --- Soit $\D$ une droite du plan affine euclidien. \'Etant donn\'es un point $\A$ et un vecteur directeur $\mathbf{u}$ de $\D$, on consid\`ere l'ensemble $\mathcal{F} = \A + \mathbb{Z}\mathbf{u}$ des translat\'es de $\A$ par un multiple entier de $\pm \mathbf{u}$.

\vspace{0.1cm} D\'eterminer toutes les isom\'etries planes pr\'eservant $\mathcal{F}$.


\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 3.8 (R\'eflexions)} --- Soit $\E$ un espace affine euclidien. Cet exercice a pour but de d\'emontrer le th\'eor\`eme suivant : \emph{toute isom\'etrie est un produit de r\'eflexions.}

\vspace{0.1cm} 
On consid\`ere une isom\'etrie $f$ de $\E$ et on note $\F$ l'ensemble de ses points fixes.

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] Supposons qu'il existe un point $\A \in \E$ tel que $f(\A) \neq \A$. On d\'esigne par $\Hr$ l'\emph{hyperplan m\'ediateur} du segment $[\A f(\A)]$ et par $\sigma_{\Hr}$ la r\'eflexion par rapport \`a $\Hr$. D\'emontrer que $\F$ est contenu dans $\Hr$ et en d\'eduire que l'ensemble des points fixes de l'isom\'etrie $\sigma_{\Hr} \circ f$ contient strictement $\F$.
    \item[(ii)] En raisonnant par r\'ecurrence sur la dimension de $\F$, d\'emontrer que $f$ est un produit de r\'eflexions.
    \item[(iii)] Majorer simplement en fonction de $\F$ le nombre minimal de r\'eflexions dont $f$ est le produit.
    \item[(iv)] \'Ecrire explicitement une translation comme un produit de r\'eflexions.
\end{itemize}

    
\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 3.9} --- Soit $\rP$ un plan affine euclidien.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize} \item[(i)] Soient $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ trois r\'eflexions d'axes concourants en $\I$. Montrer que l'on a $$\sigma_3 \circ \sigma_2 \circ \sigma_1 = \sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3.$$ (\emph{Indication : calculer l'inverse de $\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3$})
\item[(ii)] Soit $\C$ un cercle de $\rP$ et soient $\mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2, \mathbf{D}_3$ trois droites vectorielles. \'Etant donn\'e un point $\M$ sur $\C$, on construit la suite $\M_1, \M_2, \M_3, \M_4, \M_5, \M_6$ de points de $\C$ tels que les droites $(\M\M_1), (\M_1\M_2), (\M_2\M_3), (\M_3\M_4), (\M_4\M_5)$ et $(\M_5\M_6)$ aient pour directions respectives $\mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2, \mathbf{D}_3, \mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2$ et $\mathbf{D}_3$. D\'emontrer que l'on a $\M_6 = \M$.
\end{itemize}



\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 3.10} --- Soient $r_1$, $r_2$ et $r_3$ trois rotations d'un plan affine euclidien orient\'e $\rP$ de centres respectifs $\Or_1, \Or_2$ et $\Or_3$. On suppose $r_1, r_2$ et $r_3$ distinctes de l'identit\'e et on d\'esigne par $\vartheta_1, \vartheta_2$ et $\vartheta_3$ des mesures des angles de $r_1, r_2$ et $r_3$.

\begin{itemize} \item[(i)] Si $r_1 \circ r_2 \circ r_3 = {\rm id}$, d\'emontrer que les angles orient\'es $\widehat{(\overrightarrow{\Or_1\Or_2},\overrightarrow{\Or_1,\Or_2})}$, $\widehat{(\overrightarrow{\Or_2\Or_3},\overrightarrow{\Or_2,\Or_1})}$ et $\widehat{(\overrightarrow{\Or_3\Or_1},\overrightarrow{\Or_3,\Or_2})}$ sont de mesures respectives $\frac{\vartheta_1}{2}$, $\frac{\vartheta_2}{2}$ et $\frac{\vartheta_3}{2}$ (\emph{Indication : \'ecrire $r_1 \circ r_2$ comme un produit de r\'eflexions})
\item[(ii)] Soit $(\A \B \C)$ un triangle et soient $(\B\C\rP), (\A\C\Qr)$ et $(\A\B\R)$ les trois triangles \'equilat\'eraux ext\'erieurs, de centres respectifs $\I, \J$ et $\K$. D\'emontrer que le triangle $(\I\J\K)$ est \'equilat\'eral.
\end{itemize}

%\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 3.10 (Angles orient\'es de droites)} --- Soit $\E$ un plan affine euclidien. On d\'esigne par $\mathcal{S}$ l'ensemble des couples de droites vectorielles dans $\overrightarrow{\E}$ on consid\`ere l'application $$\lambda : \mathcal{S} \rightarrow {\rm SO}(\overrightarrow{E}), \ \ \ (\mathbf{D},\mathbf{D'}) \mapsto \sigma_{\mathbf{D}} \circ \sigma_{\mathbf{D'}}.$$

%\begin{itemize} \item[(i)] V\'erifier que la relation $$(\mathbf{D}_1, \mathbf{D}_1') \simeq (\mathbf{D}_2, \mathbf{D}'_2) \ \ \Longleftrightarrow \lambda(\mathbf{D}_1,\mathbf{D}_1') = \lambda(\mathbf{D}_2, \mathbf{D}_2')$$ est une relation d'\'equivalence sur $\mathcal{S}$ et que $\lambda$ induit une bijection entre ensemble quotient $\mathcal{A} = mathcal{S}/\simeq$ et ${\rm SO}(\overrightarrow{\E})$. Par d\'efinition, l'\emph{angle orient\'e} d'un couple de droites %vectorielles $(\mathbf{D}, \mathbf{D}')$ est sa classe d\'equivalence dans $\mathcal{A}$, not\'ee $\widehat{\mathbf{D},\mathbf{D}')}$.
%\item[(ii)] On munit l'ensemble $\mathcal{A}$ de la structure de groupe ab\'elien d\'eduite de celle de ${\rm SO}(\E)$ via $\lambda$. \`A quelle condition a-t-on $\widehat{(\D,\D')} = 0$? D\'emontrer la relation de Chasles : $$\widehat{(\mathbf{D},\mathbf{D}')} + \widehat{(\mathbf{D}',\mathbf{D}'')} = \widehat{(\mathbf{D},\mathbf{D}'')}.$$
%\item[(iii)] Si $\D$ et $\D'$ sont deux droites s\'ecantes de $\E$, on pose $\widehat{(\D,\D')} = \widehat{\mathbf{D},\mathbf{D}')}$. \'Etant donn\'ee une isom\'etrie $f$ de $\E$, d\'emontrer que l'on a $$\widehat{f(\D),f(\D'))} = \left\{ \begin{array}{ll} \widehat{(\D,\D')} & \textrm{ si } f \textrm{ est un d\'eplacement} \\ -\widehat{(\D,\D')} & \textrm{ si } f \textrm{ est un anti-d\'eplacement} \end{array} \right.$$


%\end{itemize}

%\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 3.11} --- Soient $d$ et $d'$ deux droites du plan affine eucidien, $\A$ un point n'appartenant pas \`a ces droites et $\ell$ une %droite passant par $\A$. On note $\delta$ (resp. $\delta'$) la droite sym\'etrique de $\ell$ par rapport \`a $d$ (resp. \`a $d'$).

%\begin{itemize} \item[(i)] \`A quelle condition les droites $\delta$ et $\delta'$ sont-elles s\'ecantes? 
%\item[(ii)] On suppose cette condition v\'erifi\'ee. Quel est le lieu d\'ecrit par le point d'intersection de $\delta$ et $\delta'$ lorsque $\ell$ varie dans l'ensemble des droites passant par $\A$? (\emph{Indication : exprimer $\delta'$ en fonction de $\delta$ et observer que $\delta$ d\'ecrit l'ensemble des droites passant par le point $\B$, sym\'etrique de $\A$ relativement \`a $d$}.)
%    \end{itemize}

\newpage


\end{document} 