Université de Lyon Préparation du CAPES Université Claude Bernard Lyon 1 Automne-Hiver 2008/2009

4. Géométrie euclidienne (suite)

Angles, configurations classiques, représentation complexe

Sauf mention du contraire, les exercices ci-dessous ont pour cadre un plan affine euclidien P.

Exercice 4.1 (Orthocentre et droite d’Euler d’un triangle) — Soient ABC un triangle non aplati, A′le milieu de [BC], B′le milieu de [AC] et C′le milieu de [AB]. On désigne par G le centre de gravité de ABC.

(i) Démontrer qu’il existe un unique cercle C passant par les points A, B et C (cercle circonscrit). On désigne par O le centre de ce cercle.

(ii) Démontrer que le triangle A′B′C′se déduit de ABC par une homothétie h que l’on préci-

sera. Quel est le centre de gravité de A′B′C′? (iii) Quelles sont les hauteurs de A′B′C′? (iv) Démontrer que les hauteurs du triangle ABC sont sécantes au point H = h^{−1} (O).

(v) Que peut-on dire des points H, G et O ?

Exercice 4.2 (Cercle d’Euler d’un triangle) — Les notations sont celles de l’exercice précédent.

(i) Démontrer que le centre O′du cercle C′circonscrit au triangle A′B′C′est le milieu de [HO]. (ii) Soient I, J et K les milieux respectifs des segments [HA], [HB] et [HC]. Démontrer que le

quadrilatère C′B′KJ est un rectangle (commencer par démontrer qu’il s’agit d’un parallélogramme).

(iii) Démontrer que [IA′], [JB′] et [KC′] sont des diamètres de C′. (iv) Démontrer finalement que C′passe par les pieds des hauteurs du triangle ABC. Le cercle

C′est le cercle des neufs points (ou cercle d’Euler) du triangle ABC.

Exercice 4.3 (Bissectrices) — Soient O un point de P et u, u′deux vecteurs unitaires non colinéaires de P. On pose D = O + ℝu, D′= O + ℝu′. On désigne par B_{i} la droite passant par O dirigée par u + u′(bissectrice intérieure) et par B_{e} la droite passant par O dirigée par u − u′ (bissectrice extérieure). Démontrer que :

(i) les droites B_{i} et B_{e} sont perpendiculaires ; (ii) la réflexion d’axe B_{i} échange D et D′; (iii) B_{i}∪ B_{e} est l’ensemble des points de P équidistants de D et D′;

(iv) B_{i}− \{O\} est l’ensemble des points M ∈ P − \{O\} tels que { \atop (u,\overrightarrow{OM})} = { \atop (\overrightarrow{OM},u′)}.

Exercice 4.4 (Centre du cercle inscrit) — Soit ABC un triangle non plat. On désigne par δ_{A},δ_{B} et δ_{C} les bissectrices intérieures des angles Â, B̂ et Ĉ(cf. exercice précédent).

(i) Justifier que les droites δ_{A} et δ_{B} sont sécantes en un point I. (ii) Montrer que le point I appartient à l’enveloppe convexe des points A, B, C et qu’il est à

équidistance des droites (CA) et (CB). En déduire que les trois droites δ_{A}, δ_{B} et δ_{C} sont concourantes.

(iii) Démontrer qu’il existe un unique cercle C de centre I tangent aux droites (AB), (AC) et

(BC) ; c’est le cercle inscrit du triangle ABC. (iv) Déterminer des équations barycentriques des droites δ_{A}, δ_{B} et δ_{C} dans le repère affine

(A,B,C). (Indication : observer que la droite δ_{A} est dirigée par le vecteur \frac{1}{c} \overrightarrow{AB}+ \frac{1}{b}\overrightarrow{AC}.)

(v) En utilisant l’exercice 1.10, démontrer de nouveau que les droites δ_{A}, δ_{B} et δ_{C} sont concourantes.

Exercice 4.5 (Cocyclicité 1) — 1. Soient C un cercle de centre O et A, B deux points de C. Pour tout point M ∈ C − {A,B}, démontrer l’identité d’angles orientés de vecteurs

{ \atop (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AM})} = { \atop (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{MO})} et { \atop (\overrightarrow{BM},\overrightarrow{OB})} = { \atop (\overrightarrow{MO},\overrightarrow{BM})}.

En déduire que l’on a

{ \atop (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})} = 2{ \atop (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB})}.

En supposant A ≠ B, démontrer également l’égalité

{ \atop (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})} = 2{ \atop (\overrightarrow{AT},\overrightarrow{AB})},

où T désigne un point distinct de A sur la tangente à C en A.

2. Démontrer que quatre points A, B, C et D de P sont cocycliques ou alignés si et seulement si

{ \atop ((CA),(CB))}= { \atop ((CA),(CB))}

(égalité d’angles orientés de droites).

Exercice 4.6 (Cocyclicité 2) — Soient d et d′deux droites du plan affine eucidien, A un point n’appartenant pas à ces droites et ℓ une droite passant par A. On note δ (resp. δ′) la droite symétrique de ℓ par rapport à d (resp. à d′).

(i) À quelle condition les droites δ et δ′sont-elles sécantes ?

(ii) On suppose cette condition vérifiée. Quel est le lieu décrit par le point d’intersection de δ et δ′ lorsque ℓ varie dans l’ensemble des droites passant par A ? (Indication : exprimer δ′en fonction de δ et observer que δ décrit l’ensemble des droites passant par le point B, symétrique de A relativement à d.)

Exercice 4.7 (Groupe des isométries du cube) — Soit C un cube dans l’espace affine euclidien E, c’est-à-dire un parallélépipède rectangle dont toutes les arêtes de isométriques. On désigne par S l’ensemble des sommets de C et on pose

G = {f ∈ Isom(E) | f(C) = C}.

Il s’agit manifestement d’un sous-groupe du groupe Isom(E) des isométries de E.

1.

(i) Pour toute isométrie f de E, démontrer que les conditions f(C) = C et f(S) = S sont équivalentes.

(ii) Démontrer que toute isométrie f ∈ G fixe le centre O de C.

2. On désigne par Δ_{1},Δ_{2},Δ_{3},Δ_{4} les quatre diagonales de C.

(i) Démontrer que tout élément f de G transforme une diagonale en une diagonale.

(ii) En déduire qu’il existe un homomorphisme de groupes

φ : G → 𝔖_{4} f ↦ φ(f) = σ_{f}

tel que f(Δ_{i}) = Δ_{σ_{f} (i)} pour tout i ∈ {1,2,3,4}.

(iii) Pour tout transposition τ ∈ 𝔖_{4}, démontrer qu’il existe une isométrie f ∈ G telle que φ(f) = τ. En déduire que l’application φ est surjective.

3.

(i) Démontrer que le noyau de φ est constitué de l’identité et de la symétrie de centre O. En déduire que G est d’ordre 48.

(ii) Dresser la liste de toutes les réflexions apparaissant dans G. Même question avec les rotations.

Exercice 4.8 (Similitudes) — Soit E un espace affine euclidien. On rappelle qu’une similitude de E est une application affine f de E dans lui-même qui multiplie toutes les longueurs par un même nombre réel k > 0 :

f(M)f(N) = kMN

pour tous points M,N ∈ E. Ce nombre réel k est le rapport de la similitude f.

(i) Démontrer que les similitudes de E forment un sous-groupe du groupe affine. (ii) Démontrer qu’une similitude de rapport k ≠ 1 admet un unique point fixe ; c’est son centre. (iii) Soit f une similitude à centre. Démontrer que f s’écrit de manière unique sous la forme

du produit commutatif d’une homothétie de rapport positif et d’une isométrie avec point fixe. (iv) Décrire toutes les similitudes en dimension 2 (cf. exercice 3.6 (ii)).

Exercice 4.9 (Représentation complexe 1) — Le plan P est supposé orienté et on fixe un repère orthonormal direct (O;e_{1},e_{2}). L’application

α : ℂ → P, z = x + iy ↦ O + xe_{1}+ ye_{2}

est une bijection et l’affixe d’un point M ∈ P est l’unique nombre complexe z tel que α(z) = M.

(i) Étant donnés des points A, B, C et D de P d’affixes respectives a, b, c et d, exprimer le produit scalaire (\overrightarrow{AB}|\overrightarrow{CD}) en fonction de a, b, c et d.

(ii) Démontrer que les similitudes de P sont les applications d’expression complexe z ↦ az+b

(cas direct) ou z ↦ a\overline{z}+ b (cas indirect) avec a ≠ 0. (iii) Étudier les similitudes plane d’expression complexe

f_{1} : z ↦ (i + 1)\overline{z}− 1, f_{2} : z ↦ i\overline{z}+ 2.

(iv) Étudier la composition deux rotations en utilisant leurs expression complexe.

(v) Soient A, B, C et D quatre points de P, d’affixes respectives a, b, c et d. Démontrer que ces points sont alignés ou cocycliques si et seulement si le nombre complexe

\frac{(a − c)(b − d))}{(b − c)(a − d)}

est réel.

Exercice 4.10 (Représentation complexe 2) —Les notations et conventions sont celles de l’exercice précédent.

(i) Quels sont les nombres complexes z tels que le triangle de sommets les points d’affixes z, i et iz soit équilatéral ?

(ii) Soit ABC un triangle dont le centre du cercle circonscrit est l’origine O. Démontrer que l’affixe de l’orthocentre H de ABC est la somme des affixes des sommets A, B et C. En déduire que les points O et H sont alignés avec le centre de gravité de ABC.

(iii) Soient C, C′et C′′trois cercles de même rayon r et de centres P, Q, R passant par un même point O. Démontrer que les trois autres points A, B et C en lesquels ces cercles se coupent sont sur un même cercle de rayon r. Démontrer ensuite que le point O est l’orthocentre du triangle ABC, puis que les triangles ABC et PQR sont symétriques par rapport à un point.

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