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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation du CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Automne-Hiver 2008/2009}
\end{flushleft}

\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bfseries \scshape 4. G\'eom\'etrie euclidienne (suite)}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
\begin{center} \textbf{Angles, configurations classiques, repr\'esentation complexe}
\end{center}

\vspace{0.5cm} \emph{Sauf mention du contraire, les exercices ci-dessous ont pour cadre un plan affine euclidien $\rP$.}
\vspace{0.5cm}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.1 (Orthocentre et droite d'Euler d'un triangle)} --- Soient $\A\B\C$ un triangle non aplati, $\A'$ le milieu de $[\B\C]$, $\B'$ le milieu de $[\A\C]$ et $\C'$ le milieu de $[\A\B]$. On d\'esigne par $\G$ le centre de gravit\'e de $\A\B\C$.

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] D\'emontrer qu'il existe un unique cercle $\mathcal{C}$ passant par les points $\A$, $\B$ et $\C$ (\emph{cercle circonscrit}). On d\'esigne par $\Or$ le centre de ce cercle.
\item[(ii)] D\'emontrer que le triangle $\A'\B'\C'$ se d\'eduit de $\A\B\C$ par une homoth\'etie $h$ que l'on pr\'ecisera. Quel est le centre de gravit\'e de $\A'\B'\C'$?
\item[(iii)] Quelles sont les hauteurs de $\A'\B'\C'$?
\item[(iv)] D\'emontrer que les hauteurs du triangle $\A\B\C$ sont s\'ecantes au point $\Hr = h^{-1}(\Or)$.
\item[(v)] Que peut-on dire des points $\Hr$, $\G$ et $\Or$?
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.2 (Cercle d'Euler d'un triangle)} --- Les notations sont celles de l'exercice pr\'ec\'edent.

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que le centre $\Or'$ du cercle $\mathcal{C}'$ circonscrit au triangle $\A'\B'\C'$ est le milieu de $[\Hr\Or]$. 
\item[(ii)] Soient $\I$, $\J$ et $\K$ les milieux respectifs des segments $[\Hr\A]$, $[\Hr\B]$ et $[\Hr\C]$. D\'emontrer que le quadrilat\`ere $\C'\B'\K\J$ est un rectangle (commencer par d\'emontrer qu'il s'agit d'un parall\'elogramme).
\item[(iii)] D\'emontrer que $[\I\A']$, $[\J\B']$ et $[\K\C']$ sont des diam\`etres de $\mathcal{C}'$.
\item[(iv)] D\'emontrer finalement que $\mathcal{C}'$ passe par les pieds des hauteurs du triangle $\A\B\C$. Le cercle $\mathcal{C}'$ est le \emph{cercle des neufs points} (ou \emph{cercle d'Euler}) du triangle $\A\B\C$.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.3 (Bissectrices)} --- Soient $\Or$ un point de $\rP$ et $\mathbf{u}$, $\mathbf{u}'$ deux vecteurs unitaires non colin\'eaires de $\mathbf{\rP}$. On pose $\D = \Or + \mathbb{R}\mathbf{u}$, $\D' = \Or + \mathbb{R}\mathbf{u}'$. On d\'esigne par $\B_i$ la droite passant par $\Or$ dirig\'ee par $\mathbf{u} + \mathbf{u}'$ (\emph{bissectrice int\'erieure}) et par $\B_e$ la droite passant par $\Or$ dirig\'ee par $\mathbf{u} - \mathbf{u}'$ (\emph{bissectrice ext\'erieure}). D\'emontrer que : 

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] les droites $\B_i$ et $\B_e$ sont perpendiculaires ;
\item[(ii)] la r\'eflexion d'axe $\B_i$ \'echange $\D$ et $\D'$ ;
\item[(iii)] $\B_i \cup \B_e$ est l'ensemble des points de $\rP$ \'equidistants de $\D$ et $\D'$ ;
\item[(iv)] $\B_i - \{\Or\}$ est l'ensemble des points $\M \in \rP - \{\Or\}$ tels que $\widehat{(\mathbf{u},\overrightarrow{\Or\M})} = \widehat{(\overrightarrow{\Or\M}, \mathbf{u}')}$. 
\end{itemize}

%Soient $\mathbf{u}$ et $\mathbf{u}'$ deux vecteurs unitaires dans $\mathbf{P}$.

%\begin{itemize}
%\item[(i)] D\'emontrer qu'il existe exactement deux vecteurs unitaires $\mathbf{v}$ tel que $\widehat{(\mathbf{u},\mathbf{v})} = \widehat{(\mathbf{v},\mathbf{u}')}$ puis justifier que l'on a $\widehat{(\mathbf{u},\mathbf{u'}) = 2 \widehat{(\mathbf{u}, \mathbf{v})}.$  La demi-droite vectorielle $\mathbb{R}_{\geqslant O} \mathbf{v}$ est la \emph{bissectrice} des demi-droites $\mathbb{R}_{\geqslant 0} \mathbf{u}$ et $\mathbb{R}_{\geqslant O} \mathbf{u}'$.
%\item[(ii)] 
%\end{itemize} 

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.4 (Centre du cercle inscrit)} --- Soit $\A\B\C$ un triangle non plat. On d\'esigne par $\delta_{\A}, \delta_{\B}$ et $\delta_{\C}$ les bissectrices int\'erieures des angles $\widehat{\A}$, $\widehat{\B}$ et $\widehat{\C}$ (cf. exercice pr\'ec\'edent).

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize} \item[(i)] Justifier que les droites $\delta_{\A}$ et $\delta_{\B}$ sont s\'ecantes en un point $\I$.
\item[(ii)] Montrer que le point $\I$ appartient \`a l'enveloppe convexe des points $\A$, $\B$, $\C$ et qu'il est \`a \'equidistance des droites $(\C\A)$ et $(\C\B)$. En d\'eduire que les trois droites $\delta_{\A}$, $\delta_{\B}$ et $\delta_{\C}$ sont concourantes.
\item[(iii)] D\'emontrer qu'il existe un unique cercle $\mathcal{C}$ de centre $\I$ tangent aux droites $(\A\B)$, $(\A\C)$ et $(\B\C)$ ; c'est le \emph{cercle inscrit} du triangle $\A\B\C$.
    \item[(iv)] D\'eterminer des \'equations barycentriques des droites $\delta_{\A}$, $\delta_{\B}$ et $\delta_{\C}$ dans le rep\`ere affine $(\A, \B,\C)$. (\emph{Indication : observer que la droite $\delta_{\A}$ est dirig\'ee par le vecteur $\frac{1}{c}\overrightarrow{\A\B} + \frac{1}{b}\overrightarrow{\A\C}$}.)
        \item[(v)] En utilisant l'exercice 1.10, d\'emontrer de nouveau que les droites $\delta_{\A}$, $\delta_{\B}$ et $\delta_{\C}$ sont concourantes.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.5 (Cocyclicit\'e 1)} --- 1. Soient $\mathcal{C}$ un cercle de centre $\Or$ et $\A$, $\B$ deux points de $\mathcal{C}$. Pour tout point $\M \in \mathcal{C} - \{\A, \B\}$, d\'emontrer l'identit\'e d'angles orient\'es de vecteurs 
$$\widehat{(\overrightarrow{\Or\A},\overrightarrow{\A\M})} = \widehat{(\overrightarrow{\A\M},\overrightarrow{\M\Or})} \ \ \ \textrm{ et } \ \ \  \widehat{(\overrightarrow{\B\M},\overrightarrow{\Or\B})} = \widehat{(\overrightarrow{\M\Or},\overrightarrow{\B\M})}.$$ 
En d\'eduire que l'on a
$$\widehat{(\overrightarrow{\Or\A}, \overrightarrow{\Or\B})} = 2\widehat{(\overrightarrow{\M\A}, \overrightarrow{\M\B})}.$$ En supposant $\A \neq \B$, d\'emontrer \'egalement l'\'egalit\'e $$\widehat{(\overrightarrow{\Or\A}, \overrightarrow{\Or\B})} = 2 \widehat{(\overrightarrow{\A\T}, \overrightarrow{\A\B})},$$ o\`u $\T$ d\'esigne un point distinct de $\A$ sur la tangente \`a $\mathcal{C}$ en $\A$. 

\vspace{0.1cm}2.  D\'emontrer que quatre points $\A$, $\B$, $\C$ et $\D$ de $\rP$ sont cocycliques ou align\'es si et seulement si $$\widehat{((\C\A),(\C\B))} = \widehat{((\C\A),(\C\B))}$$ (\'egalit\'e d'angles orient\'es de droites).   

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.6 (Cocyclicit\'e 2)} --- Soient $d$ et $d'$ deux droites du plan affine eucidien, $\A$ un point n'appartenant pas \`a ces droites et $\ell$ une droite passant par $\A$. On note $\delta$ (resp. $\delta'$) la droite sym\'etrique de $\ell$ par rapport \`a $d$ (resp. \`a $d'$).

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize} \item[(i)] \`A quelle condition les droites $\delta$ et $\delta'$ sont-elles s\'ecantes?
\item[(ii)] On suppose cette condition v\'erifi\'ee. Quel est le lieu d\'ecrit par le point d'intersection de $\delta$ et $\delta'$ lorsque $\ell$ varie dans l'ensemble des droites passant par $\A$? (\emph{Indication : exprimer $\delta'$ en fonction de $\delta$ et observer que $\delta$ d\'ecrit l'ensemble des droites passant par le point $\B$, sym\'etrique de $\A$ relativement \`a $d$}.)
    \end{itemize}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.7 (Groupe des isom\'etries du cube)} --- Soit $\C$ un cube dans l'espace affine euclidien $\E$, c'est-\`a-dire un parall\'el\'epip\`ede rectangle dont toutes les ar\^etes de isom\'etriques. On d\'esigne par $\mathcal{S}$ l'ensemble des sommets de $\C$ et on pose $$\G = \{f \in {\rm Isom}(\E) \ | \ f(\C) = \C\}.$$ Il s'agit manifestement d'un sous-groupe du groupe ${\rm Isom}(\E)$ des isom\'etries de $\E$.  

\vskip2mm 1.
\begin{itemize}
\item[(i)] Pour toute isom\'etrie $f$ de $\E$, d\'emontrer que les conditions $f(\C) = \C$ et $f(\Sr) = \Sr$ sont \'equivalentes.
\item[(ii)] D\'emontrer que toute isom\'etrie $f \in \G$ fixe le centre $\Or$ de $\C$.
\end{itemize}

\vskip2mm 2. On d\'esigne par $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4$ les quatre diagonales de $\C$. 

\begin{itemize}
\item[(i)] D\'emontrer que tout \'el\'ement $f$ de ${\rm G}$ transforme une diagonale en une diagonale.
\item[(ii)] En d\'eduire qu'il existe un homomorphisme de groupes $$\varphi : \G \rightarrow \mathfrak{S}_4 \ \ \ f \mapsto \varphi(f) = \sigma_f$$ tel que $f(\Delta_i) = \Delta_{\sigma_f(i)}$ pour tout $i \in \{1, 2, 3, 4\}$.
\item[(iii)] Pour tout transposition $\tau \in \mathfrak{S}_4$, d\'emontrer qu'il existe une isom\'etrie $f \in \G$ telle que $\varphi(f) = \tau$. En d\'eduire que l'application $\varphi$ est surjective.
\end{itemize}

\vskip2mm 3. 
\begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que le noyau de $\varphi$ est constitu\'e de l'identit\'e et de la sym\'etrie de centre $\Or$. En d\'eduire que $\G$ est d'ordre $48$.
\item[(ii)] Dresser la liste de toutes les r\'eflexions apparaissant dans $\G$. M\^eme question avec les rotations.   
\end{itemize}



\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.8 (Similitudes)} --- Soit $\E$ un espace affine euclidien. On rappelle qu'une \emph{similitude} de $\E$ est une application affine $f$ de $\E$ dans lui-m\^eme qui multiplie toutes les longueurs par un m\^eme nombre r\'eel $k >0$ : $$f(\M)f(\N) = k \M\N$$ pour tous points $\M, \N \in \E$. Ce nombre r\'eel $k$ est le \emph{rapport} de la similitude $f$.

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] D\'emontrer que les similitudes de $\E$ forment un sous-groupe du groupe affine.
\item[(ii)] D\'emontrer qu'une similitude de rapport $k \neq 1$ admet un unique point fixe ; c'est son \emph{centre}. 
\item[(iii)] Soit $f$ une similitude \`a centre. D\'emontrer que $f$ s'\'ecrit de mani\`ere unique sous la forme du produit commutatif d'une homoth\'etie de rapport positif et d'une isom\'etrie avec point fixe.
\item[(iv)] D\'ecrire toutes les similitudes en dimension $2$ (cf. exercice 3.6 (ii)).    
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.9 (Repr\'esentation complexe 1)} --- Le plan $\rP$ est suppos\'e orient\'e et on fixe un rep\`ere orthonormal direct $(\Or ; \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$. L'application $$\alpha : \mathbb{C} \rightarrow \rP, \ z=x+iy \mapsto \Or + xe_1 + ye_2$$ est une bijection et l'\emph{affixe} d'un point $\M \in \rP$ est l'unique nombre complexe $z$ tel que $\alpha(z) = \M$.

\vspace{0.2cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] \'Etant donn\'es des points $\A$, $\B$, $\C$ et $\D$ de $\rP$ d'affixes respectives $a$, $b$, $c$ et $d$, exprimer le produit scalaire $(\overrightarrow{\A\B}|\overrightarrow{\C\D})$ en fonction de $a$, $b$,  $c$ et $d$.
\item[(ii)] D\'emontrer que les similitudes de $\rP$ sont les applications d'expression complexe $z \mapsto az+b$ (cas direct) ou $z \mapsto a \overline{z} + b$ (cas indirect) avec $a \neq 0$. 
\item[(iii)] \'Etudier les similitudes plane d'expression complexe $$f_1 : z \mapsto (i+1) \overline{z} -1, \ \ \ f_2 : z \mapsto i\overline{z}+2.$$
\item[(iv)] \'Etudier la composition deux rotations en utilisant leurs expression complexe. 
\item[(v)] Soient $\A$, $\B$, $\C$ et $\D$ quatre points de $\rP$, d'affixes respectives $a$, $b$, $c$ et $d$. D\'emontrer que ces points sont align\'es ou cocycliques si et seulement si le nombre complexe $$\frac{(a-c)(b-d))}{(b-c)(a-d)}$$ est r\'eel.   
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.10 (Repr\'esentation complexe 2)} ---Les notations et conventions sont celles de l'exercice pr\'ec\'edent.
 
\vspace{0.2cm}
\begin{itemize} \item[(i)] Quels sont les nombres complexes $z$ tels que le triangle de sommets les points d'affixes $z$, $i$ et $iz$ soit \'equilat\'eral?
\item[(ii)] Soit $\A\B\C$ un triangle dont le centre du cercle circonscrit est l'origine $\Or$. D\'emontrer que l'affixe de l'orthocentre $\Hr$ de $\A\B\C$ est la somme des affixes des sommets $\A$, $\B$ et $\C$. En d\'eduire que les points $\Or$ et $\Hr$ sont align\'es avec le centre de gravit\'e de $\A\B\C$.
\item[(iii)] Soient $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ et $\mathcal{C}''$ trois cercles de m\^eme rayon $r$ et de centres $\rP$, $\Qr$, $\R$ passant par un m\^eme point $\Or$. D\'emontrer que les trois autres points $\A$, $\B$ et $\C$ en lesquels ces cercles se coupent sont sur un m\^eme cercle de rayon $r$. D\'emontrer ensuite que le point $\Or$ est l'orthocentre du triangle $\A\B\C$, puis que les triangles $\A\B\C$ et ${\rP}{\Qr}{\R}$ sont sym\'etriques par rapport \`a un point.
\end{itemize}

%\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 4.11 (Homographies)} --- \begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que l'application $$h : \mathbb{C} - \{i\} \rightarrow \mathbb{C}, \ \ z \mapsto \frac{z-i}{z+i}$$ transforme le demi-plan sup\'erieur $\{z \in \mathbb{C} \ | \ {\rm Im}(z) > 0\}$ en le disque unit\'e ouvert $\{z \in \mathbb{C} \ | \ |z| < 1\}$. \item[(ii)]  \end{itemize}
\newpage 
\end{document} 