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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation du CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Hiver 2008-09}
\end{flushleft}

\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bfseries \scshape 4. G\'eom\'etrie affine euclidienne (suite)}
\end{center}

\vspace{0.1cm}
\begin{center} {\bfseries Corrig\'e partiel} \end{center}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercices 4.5 et 4.6} --- \emph{\textbf{1. Rappels sur les angles orient\'es de droites.}} Soit $\Pi$ un plan affine euclidien. Les quelques lignes suivantes ont pour objet de rappeler comment on peut utiliser les angles orient\'es de vecteurs pour d\'efinir la notion d'\emph{angle orient\'e} d'un couple de \emph{droites} dans $\Pi$. On d\'esigne par $\mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi})$ le groupe (commutatif) des angles orient\'es de vecteurs et on note $\varpi$ l'angle \emph{plat}, c'est-\`a-dire l'angle $\widehat{(-\mathbf{v},\mathbf{v})}$ pour un quelconque vecteur unitaire $\mathbf{v} \in \overrightarrow{\Pi}$. Ayant fix\'e une orientation de $\overrightarrow{\Pi}$, on dispose d'un isomorphisme de groupes $${\rm mes} : \mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi}) \rightarrow \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$$ et alors ${\rm mes}(\varpi) = \pi \ (\textrm{mod} \ \pi).$

%rappelons que ses \'el\'ements sont les classes de couples de vecteurs unitaires $(\mathbf{u},\mathbf{v})$ pour la relation d'\'equivalence suivante : $$\left((\mathbf{u},\mathbf{v}) \sim (\mathbf{u}', \mathbf{v}') \right) \Longleftrightarrow \left(\exists f \in {\rm SO}(\overrightarrow{\Pi}), \ \mathbf{u}' = f(\mathbf{u}) \ \textrm{et} \ \mathbf{v}' = f(\mathbf{v}) \right)$$
\vspace{0.1cm}
Observons tout d'abord que chaque droite $d \subset \Pi$ poss\`ede \emph{deux} vecteurs directeurs unitaires, qui sont oppos\'es. Consid\'erons deux droites $d$ et $d'$ dans $\Pi$ et d\'esignons par $\pm \mathbf{u}$ et $\pm \mathbf{u'}$ les vecteurs directeurs unitaires de $d$ et $d'$ respectivement. Les identit\'es $$\widehat{(-\mathbf{u},\mathbf{v})} = \widehat{(\mathbf{u},\mathbf{v})} +\widehat{(-\mathbf{u},\mathbf{u})} = \widehat{(\mathbf{u},\mathbf{v})} +\varpi,$$
$$\widehat{(\mathbf{u},-\mathbf{v})} = \widehat{(\mathbf{u},\mathbf{v})} +\widehat{(\mathbf{v},-\mathbf{v})} = \widehat{(\mathbf{u},\mathbf{v})} +\varpi$$ et $$\widehat{(-\mathbf{u},-\mathbf{v})} = \widehat{(\mathbf{u},\mathbf{v})}$$ montrent que le couple $(d,d')$ d\'etermine sans ambigu\"{\i}t\'e une classe dans le groupe $\mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi})/\{0,\varpi\}$, quotient de $\mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi})$ par le sous-groupe $\{0,\varpi\}$ engendr\'e par $\varpi$. En termes de mesures : l'isomorphisme ${\rm mes} : \mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi}) \rightarrow \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ induit un isomorphisme de groupes $$\mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi})/\{0,\varpi\} \rightarrow \mathbb{R}/\pi\mathbb{Z},$$ encore not\'e ${\rm mes}$. 

\vspace{0.1cm}
Par d\'efinition, l'\emph{angle orient\'e} d'un couple de droites $(d,d')$ de $\Pi$ est la classe de $\widehat{(\mathbf{u},\mathbf{v})}$ dans le groupe quotient $\mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi})/\{0,\varpi\}$, o\`u $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont des vecteurs directeurs unitaires de $d$ et $d'$ respectivement. Cette classe est not\'ee $\widehat{(d,d')}$. Ayant fix\'e une orientation du plan, une \emph{mesure} de l'angle orient\'e $\widehat{(d,d')}$ est une mesure de l'angle orient\'e entre des vecteurs directeurs unitaires de $d$ et $d'$ ; c'est la classe d'un nombre r\'eel modulo $\pi \mathbb{Z}$.

\vspace{0.1cm} Les deux propri\'et\'es les plus importantes des angles orient\'es de droites sont les suivantes.
 
\vspace{0.1cm}
a) \emph{Deux couples de droites $(d,d')$ et $(\delta,\delta')$ d\'efinissent le m\^eme angle orient\'e si et seulement s'il existe une isom\'etrie vectorielle directe $\mathbf{f} \in {\rm SO}(\overrightarrow{\Pi})$ telle que $\mathbf{f}(\overrightarrow{d}) = \overrightarrow{\delta}$ et $\mathbf{f}(\overrightarrow{d}') = \overrightarrow{\delta}'$.}

\vspace{0.1cm}
\noindent \emph{Preuve}. Choisissons des vecteurs unitaires $\mathbf{u}, \mathbf{u}', \mathbf{v}$ et $\mathbf{v}'$ des droites $d, d', \delta$ et $\delta'$ respectivement. Si $\widehat{(d,d')} = \widehat{(\delta, \delta')}$, alors $$\widehat{(\mathbf{u},\mathbf{u}')} = \widehat{(\mathbf{v},\mathbf{v}')}$$ ou $$\widehat{(\mathbf{u},\mathbf{u}')} = \widehat{(\mathbf{v},\mathbf{v'})} + \varpi = \widehat{(\mathbf{v},\mathbf{v}')} + \widehat{(\mathbf{v}',-\mathbf{v}')} = \widehat{(\mathbf{u},-\mathbf{v}')}.$$ Par cons\'equent, il existe une isom\'etrie vectorielle directe $\mathbf{f} \in {\rm SO}(\overrightarrow{\Pi})$ telle que \begin{itemize} \item $\mathbf{f}(\mathbf{u}) = \mathbf{v}$ et $\mathbf{f}(\mathbf{u}') = \mathbf{v}'$ dans le premier cas, \item $\mathbf{f}(\mathbf{u}) = \mathbf{v}$ et $\mathbf{f}(\mathbf{u}') = -\mathbf{v}'$ dans le second cas. \end{itemize} Dans chaque cas de figure, $\mathbf{f}(\overrightarrow{d}) = \overrightarrow{\delta}$ et $\mathbf{f}(\overrightarrow{d}') = \overrightarrow{\delta}'$.

R\'eciproquement, s'il existe une isom\'etrie directe $\mathbf{f} \in {\rm SO}(\overrightarrow{\Pi})$ telle que $\mathbf{f}(\overrightarrow{d}) = \overrightarrow{\delta}$ et $\mathbf{f}(\overrightarrow{d}') = \overrightarrow{\delta}'$, alors $\mathbf{f}(\mathbf{u}) = \pm \mathbf{v}$ et $\mathbf{f}(\mathbf{u}') = \pm \mathbf{v}'$, puis $\widehat{(d,d')} = \widehat{(\delta, \delta')}$ par d\'efinition des angles orient\'es de droites. \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} Avant d'\'enoncer la deuxi\`eme propri\'et\'e, remarquons que $2\alpha$ est un \'el\'ement de $\mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi})$ bien d\'efini pour toute classe $\alpha + \{0,\varpi\}$ dans $\mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi})$ car $2\varpi = 0$ dans $\mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi})$.

\vspace{0.1cm} b) \emph{Si $s$ et $s'$ sont les r\'eflexions par rapport \`a des droites $d$ et $d'$ respectivement, alors $s' \circ s$ est une isom\'etrie directe dont la partie lin\'eaire est la rotation d'angle $2\widehat{(d,d')}$}.

\vspace{0.1cm}
\noindent \emph{Preuve}. Posons $f = s \circ s'$ et soient $\mathbf{u}$ et $\mathbf{u}'$ des vecteurs directeurs unitaires des droites $d$ et $d'$ respectivement. On a $$\widehat{(\mathbf{u},\mathbf{f}(\mathbf{u}))}  = \widehat{(\mathbf{u},\mathbf{s}'(\mathbf{u}))} = \widehat{(\mathbf{u}, \mathbf{u}')} + \widehat{(\mathbf{u}',\mathbf{s}'(\mathbf{u}))}$$ et $$\widehat{(\mathbf{u}, \mathbf{u}')} = - \widehat{(\mathbf{s}(\mathbf{u}), \mathbf{s}'(\mathbf{u}'))} = - \widehat{(\mathbf{s}'(\mathbf{u}), \mathbf{u}')} = \widehat{(\mathbf{u}',\mathbf{s}'(\mathbf{u}))},$$ donc $$\widehat{(\mathbf{u},\mathbf{f}(\mathbf{u}))} = 2 \widehat{(\mathbf{u},\mathbf{u}')}.$$ On en d\'eduit que l'angle de la rotation vectorielle $\mathbf{f}$ est $$\widehat{(\mathbf{u},\mathbf{f}(\mathbf{u}))} = 2\widehat{(\mathbf{u}, \mathbf{u}')} = 2\widehat{(d, d')}.$$ \hfill $\Box$

\vspace{0.2cm} Les propri\'et\'es suivantes se d\'eduisent tr\`es facilement de la d\'efinition que l'on vient d'exposer et de leurs analogues pour les angles orient\'es de vecteurs. On les d\'emontrera \`a titre d'exercice.

\vspace{0.1cm} c) (\emph{Relation de Chasles}) \emph{Pour toutes droites $d, d'$ et $d''$ dans $\Pi$, $$\widehat{(d,d'')} = \widehat{(d,d')} + \widehat{(d',d'')}.$$}

\vspace{0.1cm} d) (\emph{Effet d'une isom\'etrie}) \emph{Pour toutes droites $d$ et $d'$ dans $\Pi$ et toute isom\'etrie $f$, $$\widehat{(f(d),f(d'))} = \left\{ \begin{array}{ll} \widehat{(d,d')} & \textrm{ si } f \textrm{ est un d\'eplacement} \\ - \widehat{(d,d')} & \textrm{ si } f \textrm{ est un antid\'eplacement} \end{array} \right.$$ En particulier, $\widehat{(d',d)} = - \widehat{(d,d')}$.}

\vspace{0.1cm} e) \emph{Pour toute droite $d$ et toute rotation $r$, $\widehat{(d,r(d))}$ est la classe de l'angle de $r$ dans $\mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi})/\{0, \varpi\}$.}

\vspace{0.4cm} \emph{\textbf{2. Exercice 4.5.}} 2. Le crit\`ere de cocyclicit\'e se formule agr\'eablement en termes d'angles orient\'es de droites : quatre points distincts du plan $\A$, $\B$, $\C$ et $\D$ sont cocyclique ou align\'es si et seulement si $$\widehat{((\C\A),(\C\B))} = \widehat{((\D\A), (\D\B))}.$$

\vspace{0.1cm} Consid\'erons d'abord le cas d\'eg\'en\'er\'e o\`u les points $\A$, $\B$ et $\C$ sont align\'es. On a alors $(\C\A) = (\C\B)$ et $\widehat{((\C\A),(\C\B))} = 0$. Pour que le point $\D$ soit align\'e avec ces trois points, il faut et il suffit que l'on ait $(\D\A) = (\D\B)$, condition qui \'equivaut \`a l'\'egalit\'e $\widehat{((\D\A),(\D\B))} = 0 = \widehat{((\C\A),(\C\B))}$.

\vspace{0.1cm} On d\'emontre de m\^eme que, si les points $\A$, $\B$ et $\D$ sont align\'es, alors $\C$ est align\'e avec ces trois points si et seulement si $\widehat{((\C\A),(\C\B))} = \widehat{((\D\A),(\D\B))} = 0$.

\vspace{0.1cm} Supposons finalement que ni $\C$ ni $\D$ ne soit align\'e avec $\A$ et $\B$. On d\'esigne par $\mathcal{C}$ l'unique cercle passant par $\A$, $\B$ et $\C$ ; soit $\Or$ son centre. Si $\D$ appartient \`a $\mathcal{C}$, alors $$2\widehat{(\overrightarrow{\D\A},\overrightarrow{\D\B})} = \widehat{(\overrightarrow{\Or\A},\overrightarrow{\Or\B})} = 2\widehat{(\overrightarrow{\C\A},\overrightarrow{\C\B})}$$ par le th\'eor\`eme de l'angle au centre ; on en d\'eduit $$\widehat{(\overrightarrow{\D\A},\overrightarrow{\D\B})} = \widehat{(\overrightarrow{\C\A},\overrightarrow{\C\B})} \ \textrm{ ou } \ \widehat{(\overrightarrow{\D\A},\overrightarrow{\D\B})} = \widehat{(\overrightarrow{\C\A},\overrightarrow{\C\B})} + \varpi,$$ c'est-\`a-dire $$\widehat{((\D\A),(\D\B))} = \widehat{((\C\A), (\C\B))}.$$

R\'eciproquement, supposons que l'on ait $\widehat{((\D\A),(\D\B))} = \widehat{((\C\A), (\C\B))}.$ La droite $(\A\D)$ coupe le cercle $\mathcal{C}$ en $\A$ et un second point $\M$, \'eventuellement confondu avec $\A$. Si $\M = \A$, alors $(\A\D)$ est la tangente au cercle $\mathcal{C}$ au point $\A$ et on d\'eduit du th\'eor\`eme de l'angle au centre l'\'egalit\'e $\widehat{((\A\D),(\A\B))} = \widehat{((\C\A),(\C\B))}$ ; on obtient donc $\widehat{((\D\A),(\A\B))} = \widehat{((\D\A),(\D\B))}$, ce qui signifie que les droites $(\D\B)$ et $(\A\B)$ sont parall\`eles, donc confondues. Comme on a suppos\'e $\D \notin (\A\B)$, on aboutit \`a une contradiction et donc $\M \neq  \A$. Une nouvelle application du th\'eor\`eme de l'angle au centre fournit l'\'egalit\'e $\widehat{((\M\A),(\M\B))} = \widehat{((\C\A),(\C\B))}$, d'o\`u $$\widehat{((\D\A),(\M\B))} = \widehat{((\M\A),(\M\B))} = \widehat{((\C\A),(\C\B))} = \widehat{((\D\A),(\D\B))}.$$ Cette \'egalit\'e implique $(\M\B) = (\D\B)$, puis $$\{\D\} = (\D\A) \cap (\D\B) = (\M\A) \cap (\M\B) = \{\M\},$$ et nous avons ainsi prouv\'e que $\D$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.



\vspace{0.4cm} \emph{\textbf{3. Exercice 4.6.}} Cet exercice est une jolie application du crit\`ere de cocyclicit\'e.

\vspace{0.1cm}  \noindent \emph{Analyse du probl\`eme} --- Soient $s$ et $s'$ les r\'eflexions par rapport aux droites $d$ et $d'$ respectivement. Posons $\B = s(\A)$ et $\B' = s(\A')$. L'application $$\mathcal{D}_{\A} = \{\textrm{droites passant par } \A\} \rightarrow \mathcal{D}_{\B} = \{\textrm{droites passant par } \B \}, \ \ \ \ell \mapsto s(\ell),$$ est une bijection car $s$ est une application affine bijective. Si $\ell$ est une droite passant par $\A$ et si l'on pose $\delta = s(\ell)$, alors  $$\delta' = s'(\ell) = s'(s^{-1}(\delta)) = r(\delta),$$ o\`u $r = s' \circ s^{-1} = s' \circ s$.  Cette observation permet de reformuler le probl\`eme de mani\`ere plus agr\'eable : \begin{itemize} \item[(i)] \'Etant donn\'ee une droite $\delta$ passant par $\B$, \`a quelle condition les droites $\delta$ et $r(\delta)$ sont-elles s\'ecantes?
\item[(ii)] En supposant la condition pr\'ec\'edente v\'erifi\'ee, quel est l'ensemble $$\bigcup_{\delta \in \mathcal{D}_{\B}} \delta \cap r(\delta)?$$
\end{itemize}

L'application affine $r = s' \circ s$ est une isom\'etrie directe ; il s'agit donc soit d'une rotation d'angle $2\widehat{(d,d')}$, soit d'une translation de vecteur non nul. Le premier cas de figure se produit lorsque les droites $d$ et $d'$ sont s\'ecantes ou confondues, le second lorsque $d$ et $d'$ sont parall\`eles et non confondues.  

\vspace{0.2cm} \noindent  (i) Soit $\delta$ une droite passant par le point $\B$. Si $r$ est une translation de vecteur non nul, les droites $\delta$ et $\delta' = r(\delta)$ sont parall\`eles et non confondues. Si $r$ est une rotation, l'angle orient\'e entre les droites $\delta$ et $r(\delta)$ est la classe de l'angle de $r$ dans $\mathfrak{A}(\overrightarrow{\Pi})/\{0,\varpi\}$, soit $$\widehat{(\delta, r(\delta))} = 2\widehat{(d,d')}.$$ En termes de mesures : $${\rm mes} \widehat{(\delta, r(\delta))} \equiv 2{\rm mes}\widehat{(d,d')} \ (\textrm{mod} \ \pi).$$ Les droites $\delta$ et $r(\delta)$ sont parall\`eles si et seulement si $\widehat{(\delta, r(\delta))} = 0$, donc si et seulement si $2\widehat{(d,d')} = 0$. Cette derni\`ere condition \'equivaut \`a dire que les droites $d$ et $d'$ sont soit parall\`eles --- et elles sont alors confondues puisque $d \cap d' \neq \varnothing$ --- soit perpendiculaires. En termes de mesures : \begin{eqnarray*}\left(2{\rm mes}\widehat{(d,d')} \equiv 0 \ (\textrm{mod} \ \pi) \right) & \Longleftrightarrow & \left( {\rm mes}\widehat{(d,d')} \equiv 0 \ (\textrm{mod} \ \pi/2) \right) \\ & \Longleftrightarrow & \left(\widehat{(d,d')} \equiv 0 \ (\textrm{mod} \ \pi) \ \textrm{ou} \ \widehat{(d,d')} \equiv \frac{\pi}{2} \ (\textrm{mod} \ \pi)\right).\end{eqnarray*}
Au final : \begin{itemize} \item Si $d$ et $d'$ sont parall\`eles ou perpendiculaires, les droites $\delta$ et $\delta' = r(\delta)$ sont parall\`eles, quelle que soit la droite $\delta \in \mathcal{D}_{\B}$. \item Sinon, les droites $\delta$ et $\delta' = r(\delta)$ sont s\'ecantes, quelle que soit la droite $\delta \in \mathcal{D}_{\B}$. \end{itemize}

\vspace{0.2cm} \noindent (ii) On suppose donc que les droites $d$ et $d'$ ne sont ni parall\`eles, ni perpendiculaires ; cela revient \`a dire que $r$ est une rotation d'angle diff\'erent de $0$, $\varpi$. Soit $\Or$ le centre de $r$, c'est-\`a-dire le point d'intersection de $d$ et $d'$.

Consid\'erons une droite $\delta$ passant par $\B$ et soit $\M$ le point d'intersection de $\delta$ et $r(\delta)$. Comme $\B' = s'(\A) = r(\B)$, la droite $r(\delta)$ passe par le point $\B'$ et il y a deux cas particuliers : \begin{itemize} \item $\delta = (\B\B')$, auquel cas $\M = \B'$; \item $\delta = r^{-1}(\B\B')$, auquel cas $\M = \B$. \end{itemize}

Supposons que $\M$ soit distinct de $\B$ et $\B'$. On a alors $\delta = (\M\B)$ et $\delta' = (\M\B')$. Comme $(\Or\B') = r(\Or\B)$ et $(\M\B') = r(\M\B)$, il vient $$\widehat{\left((\M\B),(\M\B')\right)} = \widehat{\left((\Or\B),(\Or\B')\right)}$$ et les quatre points $\M$, $\Or$, $\B$ et $\B'$ sont donc align\'es ou cocycliques. Les points $\Or$, $\B$ et $\B'=r(\B)$ ne sont pas align\'es car la rotation $r$ est d'angle distinct de $0$, $\varpi$, donc le point $\M$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ passant par $\Or$, $\B$ et $\B'$. Nous venons ainsi de d\'emontrer l'inclusion $$\bigcup_{\delta \in \mathcal{D}_{\B}} \delta \cap r(\delta)  \subset \mathcal{C}.$$

R\'eciproquement, soit $\M$ un point du cercle $\mathcal{C}$. Si $\M = \B$, c'est le point d'intersection des droites $(\B\B')$ et $r^{-1}(\B\B')$ ; si $\M = \B'$, c'est le point d'intersection des droites $(\B\B')$ et $r(\B\B')$. Si $\M$ est distinct de $\B$ et $\B'$, alors $$\widehat{\left((\M\B),(\M\B')\right)} = \widehat{\left((\Or\B),(\Or\B')\right)}$$ en vertu du crit\`ere de cocyclicit\'e. Comme $(\Or\B') = r(\Or\B)$, on en d\'eduit $$\widehat{\left((\M\B),(\M\B')\right)} = \widehat{\left((\M\B),r(\M\B)\right)}$$ et $(\M\B')$ est donc la droite parall\`ele \`a $r(\M\B)$ passant par le point $\M$. Ces deux droites contenant le point $\B'= r(\B)$, elles sont confondues ; on obtient donc $(\M\B') = r(\M\B)$ puis $\{\M\} = (\M\B) \cap r(\M\B)$, ce qui \'etablit l'inclusion r\'eciproque $$\mathcal{C} \subset \bigcup_{\delta \in \mathcal{D}_{\B}} \delta \cap r(\delta).$$

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Conclusion} : Si les droites $d$ et $d'$ ne sont ni parall\`eles, ni perpendiculaires, alors, lorsque $\ell$ d\'ecrit l'ensemble des droites passant par $\A$, le lieu des points d'intersection des droites $s(\ell)$ et $s'(\ell)$ est le cercle passant par $\B = s(\A)$, $\B' = s'(\A)$ et par le point d'intersection $\Or$ des droites $d$ et $d'$.
\newpage
\noindent \textbf{Exercice 4.7} ---

\newpage
\noindent \textbf{Exercice 4.8} ---

\newpage
\noindent \textbf{Exercice 4.9} ---

\newpage
\noindent \textbf{Exercice 4.10} ---

\end{document} 