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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation du CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Hiver 2008-09}
\end{flushleft}

\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{1cm}
\begin{center}
{\scshape {\bfseries Le groupe des isom\'etries du cube}}               

\end{center}


\vspace{0.6cm}
\begin{center} \textbf{-----------------}  \end{center}

\tableofcontents

\begin{center} \textbf{-----------------}  \end{center}
\section{Mise en place}

Soit $\C$ un cube dans l'espace affine euclidien $\E$, de sommets $a, b, c, d, e, f, g$ et $h$. On d\'esigne pr\'ecis\'ement par $\C$ l'\emph{enveloppe convexe} de ces huit points. Pour donner une d\'efinition encore plus pr\'ecise, on peut dire que l'on consid\`ere quatre points coplanaires $a, b, c, d$ constituant les sommets d'un carr\'e --- i.e., $abcd$ est un parall\'elogramme, $(ab) \perp (bc)$ et $ab = bc$ --- puis on d\'efinit $e, f, g$ et $h$ comme les images de $a, b, c$ et $d$ respectivement par une translation de vecteur $\mathbf{n}$, normal au plan $(abc)$ et de norme $ab$. [Faire un dessin]

\vspace{0.2cm}
Les quatre droites $(ag), (bh), (ce)$ et $(df)$ sont s\'ecantes. Pour le justifier, il suffit de consid\'erer le centre $\omega$ du carr\'e $abcd$ et de poser $o = \omega + \frac{1}{2}\mathbf{n}$ ; en vertu du th\'eor\`eme de Thal\`es appliqu\'e dans les triangles $acg, bdf$, $cae$ et $bdh$, le point $o$ est le milieu de chacun des segments $[ag], [bh], [ce]$ et $[df]$.

La sym\'etrie de centre $o$ pr\'eserve l'ensemble $\mathcal{S}$ des sommets de $\C$, donc pr\'eserve \'egalement leur enveloppe convexe $\C$ puisqu'il s'agit d'une application affine.

On v\'erifie ais\'ement que $\C$ est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonn\'ees $(x,y,z)$ dans le rep\`ere orthogonal $\mathcal{R} = \left(o ; \frac{1}{2}\overrightarrow{ab}, \frac{1}{2}\overrightarrow{bc}, -\frac{1}{2}\mathbf{n}\right)$ satisfont \`a la condition suivante : $$\max(|x|,|y|,|z|) = 1.$$ Les sommets sont caract\'eris\'es par la condition $|x| = |y| = |z| = 1$. Au passage, on pourra remarquer que cela fournit une autre mani\`ere de d\'efinir un cube : il suffit de choisir un rep\`ere orthogonal de $\E$ et de consid\'erer l'enveloppe convexe des huit points de coordonn\'ees $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$.

\vspace{0.3cm}
\section{ Isom\'etries pr\'eservant le cube et isom\'etries pr\'eservant les sommets}

Soit $f$ une isom\'etrie de l'espace $\E$. Si $f$ pr\'eserve l'ensemble $\mathcal{S}$ des sommets de $\C$, i.e., $f(\mathcal{S}) = \mathcal{S}$, alors $f$ pr\'eserve n\'ecessairement leur enveloppe convexe $\C$ puisqu'il s'agit d'une application affine ; on a donc $f(\C) = \C$.

\vspace{0.1cm} Il est l\'eg\`erement plus d\'elicat de d\'emontrer l'assertion r\'eciproque : toute isom\'etrie $f$ de $\E$ conservant $\C$ pr\'eserve n\'ecessairement l'ensemble $\mathcal{S}$ des sommets de $\C$. Pour ce faire, nous devons mettre en \'evidence une propri\'et\'e caract\'eristique des sommets de $\C$ qui soit invariante par isom\'etrie. Un peu de r\'eflexion montre que l'on peut adopter la caract\'erisation suivante des sommets : pour qu'un point $p$ de $\C$ soit dans $\mathcal{S}$, il faut et il suffit qu'il existe un point $q \in \C$ tel que $pq = \sqrt{3}ab$. En effet : \begin{itemize} \item si $p$ est un sommet, on peut prendre pour $q$ le sommet oppos\'e, sym\'etrique de $p$ par rapport \`a $o$; \item si r\'eciproquement $p$ et $q$ sont deux points de $\C$ tels que $pq = \sqrt{3}ab$, leurs coordonn\'ees respectives $(x,y,z)$ et $(x',y',z')$ sont telles que $$\frac{1}{4}[(x'-x)^2 + (y' - y)^2 + (z' - z)^2]ab^2 = pq^2 = 3 ab^2,$$ soit encore $$(x'-x)^2 + (y'-y)^2 + (z'-z)^2 = 12.$$ Vu les conditions $\max (|x|,|y|,|z|) = \max(|x'|,|y'|,|z'|) = 1$, on a $|x-x'|, |y-y'|, |z-z'| \leqslant 2$ et l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente est possible si et seulement si $|x'-x| = |y'-y| = |z'-z| = 2$, ce qui implique $|x| = |y| = |z| = |x'| = |y'| = |z'| = 1$ et montre que $p$ et $q$ sont deux sommets oppos\'es. \end{itemize}

\vspace{0.2cm}
Ainsi, le groupe des isom\'etries du cube $\C$ est le sous-groupe $$\G = \{f \in {\rm Isom}(\E) \ | \ f(\C) = \C\} = \{f \in {\rm Isom}(\E) \ | \ f(\mathcal{S}) = \mathcal{S}\}$$ du groupe ${\rm Isom}(\E)$ des isom\'etries de l'espace. Tout \'el\'ement $f$ de $\G$ fixe le point $o$ car celui-ci est l'isobarycentre des points de $\mathcal{S}$; par suite, chaque \'el\'ement de $\G$ est de l'un des trois types suivants : \begin{itemize} \item[(i)] rotation (d\'eplacement) \item[(ii)] r\'eflexion (anti-d\'eplacement) \item[(iii)] anti-rotation (anti-d\'eplacement) \end{itemize}

\vspace{0.3cm}
\section{Compl\'ement : les sym\'etries affines du cube}

Nous avons utilis\'e une caract\'erisation des sommets de $\C$ reposant sur un argument de distance, donc utilisant la structure euclidienne. Il est int\'eressant d'observer que l'on peut \'egalement donner une caract\'erisation purement affine. On aimerait transcrire sous une forme math\'ematique pr\'ecise l'id\'ee intuitive que les sommets du cube $\C$ sont des points \og saillants \fg ; un peu de r\'eflexion conduit \`a d\'egager la condition suivante :

\begin{center}\emph{pour qu'un point $p$ de $\C$ soit un sommet, il faut et il suffit qu'il existe un plan $\Hr$ tel que \begin{itemize} \item[(a)] $\Hr \cap \C = \{p\}$ ; \item[(b)] $\C$ est enti\`erement contenu dans l'un des deux demi-espaces ferm\'es de fronti\`ere $\Hr$.\end{itemize}} \end{center}

\vspace{5cm}

\noindent \emph{D\'emontration}. Si $p$ est un sommet de $\C$, le plan $\Hr$ passant par $p$ et perpendiculaire \`a la diagonale de $\C$ issue de $p$ satisfait aux deux conditions pr\'ec\'edentes. En effet, si $q$ est le sym\'etrique de $p$ par rapport \`a $o$, les deux demi-espaces de fronti\`ere $\Hr$ sont $$\{m \in \E \ | \ \overrightarrow{pm} \cdot \overrightarrow{pq} \leqslant 0\} \ \textrm{ et } \ \{m \in \E \ | \ \overrightarrow{pm} \cdot \overrightarrow{pq} \geqslant 0\}.$$ Tous les points de $\mathcal{S}$ sont contenus dans le m\^eme demi-espace car $\overrightarrow{ps} \cdot \overrightarrow{pq} > 0$ pour tout sommet $s$ de $\C$ distinct de $p$ ; ce demi-espace \'etant convexe, il contient int\'egralement l'enveloppe convexe $\C$ de $\mathcal{S}$. Il est en outre clair que $\Hr \cap \C$ est r\'eduit au point $p$.

Supposons r\'eciproquement que $\Hr$ soit un plan contenant un unique point $p$ de $\C$ et tel que $\C$ soit enti\`erement contenu dans le m\^eme demi-espace de fronti\`ere $\Hr$. Consid\'erons une forme affine $\varphi : \E \rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\Hr = \{m \in \E \ | \ \varphi(m) = 0\}$ ; les deux demi-espaces ferm\'es de fronti\`ere $\Hr$ sont $$\{m \in \E \ | \ \varphi(m) \leqslant 0\} \ \textrm{ et } \{m \in \E \ | \ \varphi(m) \geqslant 0\}.$$ Quitte \`a replacer $\varphi$ par $-\varphi$, on peut supposer $\C \subset \{m \in \E \ | \ \varphi(m) \leqslant 0\}$. Dans le rep\`ere $\mathcal{R}$ introduit plus haut, $\varphi(x,y,z) = \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta$ avec $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R}$ et $(\alpha, \beta, \gamma) \neq (0,0,0)$. Notant $(x_0, y_0, z_0)$ les coordonn\'ees du point $p$ dans $\mathcal{R}$, on a par hypoth\`ese $\alpha x_0 + \beta y_0 + \gamma z_0 + \delta = 0$. Si $p$ n'est pas un sommet de $\C$, alors l'une de ses coordonn\'ees est de valeur absolue $<1$ ; supposons pour fixer les id\'ees que ce soit $x_0$. Pour tout nombre r\'eel $\varepsilon \in ]-(1-|x_0|), 1 - |x_0|[$, le point de coordonn\'ees $(x_0 + \varepsilon, y_0, z_0)$ appartient \`a $\C$ car $|x_0 + \varepsilon| \leqslant 1$ ; on a par cons\'equent $ \alpha \varepsilon = \varphi(x_0+\varepsilon, y_0, z_0) \leqslant 0$ pour tout $\varepsilon \in ]-(1-|x_0|), 1 - |x_0|[$, ce qui implique $\alpha = 0$. Quel que soit $\varepsilon \in ]-(1-|x_0|), 1 - |x_0|[$, on obtient par suite $\varphi(x_0 + \varepsilon, y_0, z_0) = \alpha \varepsilon = 0$, c'est-\`a dire $(x_0+\varepsilon, y_0, z_0) \in \Hr$ ; comme $(x_0 + \varepsilon, y_0, z_0) \in \C$, ceci contredit l'hypoth\`ese $\Hr \cap \C = \{p\}$. \hfill $\Box$

\vspace{0.1cm} Nous venons de mettre en \'evidence une caract\'erisation purement \emph{affine} des sommets. Il en d\'ecoule imm\'ediatement que toute \emph{bijection affine} $f$ de $\E$ (non n\'ecessairement isom\'etrique) pr\'eservant le cube $\C$ pr\'eserve \'egalement l'ensemble $\mathcal{S}$ de ses sommets : \'etant donn\'e $p \in \mathcal{S}$, on choisit un plan $\Hr$ n'intersectant $\C$ qu'en $p$ et tel que $\C$ soit enti\`erement contenu dans le m\^eme demi-espace ferm\'e $\E^+$ de fronti\`ere $\Hr$ ; puisque $f$ est une bijection affine, $f(\Hr)$ est un plan, $f(\Hr) \cap \C = f(\Hr) \cap f(\C) = f(\Hr \cap \C) = \{f(p)\}$ et $f(\E^+)$ est un demi-espace ferm\'e de fronti\`ere $f(\Hr)$ contenant enti\`erement $\C = f(\C)$ ; ces trois conditions garantissent que le point $f(p)$ est un sommet de $\C$. 

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Remarque}. En s'inspirant du raisonnement pr\'ec\'edent, il n'est pas difficile de donner une caract\'erisation affine des \emph{ar\^etes} (resp. des faces) du cube $\C$ : ce sont pr\'ecis\'ement les parties de $\C$ de la forme $\Hr \cap \C$, o\`u $\Hr$ est un plan contenant exactement deux (resp. quatre) sommets de $\C$ et tel que l'un des deux demi-espaces ferm\'es de fronti\`ere $\Hr$ contienne enti\`erement $\C$. Il en d\'ecoule que toute bijection affine de l'espace pr\'eservant $\C$ transforme une ar\^ete (resp. une face) en une ar\^ete (resp. une face). 

Nous pouvons en tirer une cons\'equence remarquable : \emph{toute bijection affine de $\E$ pr\'eservant le cube $\C$ est une isom\'etrie}. Consid\'erons en effet une telle bijection affine $f$ ; puisque $f$ pr\'eserve les sommets et les ar\^etes du cube, l'image par $f$ du rep\`ere $(a ; \overrightarrow{ab}, \overrightarrow{ad}, \overrightarrow{ae})$ est de la forme $(p ; \overrightarrow{pq}, \overrightarrow{pr}, \overrightarrow{ps})$, o\`u $p, q, r, s \in \mathcal{S}$ sont des sommets tels que $[pq], [pr]$ et $[ps]$ soient des ar\^etes ; un tel rep\`ere est orthogonal et $pq = pr = ps = ab = ad = ae$, donc $f$ est une isom\'etrie.

\vspace{0.3cm}
\section{Action sur les diagonales} 

Rappelons que l'on d\'esigne par $\G$ le groupe des isom\'etries de l'espace pr\'eservant le cube $\C$. Comme chaque \'el\'ement $f$ de $\G$ tranforme un sommet en un sommet tout en pr\'eservant les distance, $f$ transforme une diagonale en une diagonale. Soit $\Delta = \{(ag), (bh), (ce), (df)\}$ l'ensemble des quatre diagonales du cube et soit $\mathfrak{S}(\Delta)$ le groupe des permutations de cet ensemble. Chaque isom\'etrie $f \in \G$ donne naissance \`a une permuation $\sigma_f \in \mathfrak{S}(\Delta)$ via la formule $\sigma_f (pq) = f(pq) = (f(p)f(q))$. L'application $$\pi : \G \rightarrow \mathfrak{S}(\Delta),  \ \ f \mapsto \sigma_f$$ ainsi d\'efinie est un homomorphisme de groupes : $$\sigma_{g \circ g}(pq) = (g(f(p)) g(f(q))) = \sigma_g(f(p)f(q)) = \sigma_g (\sigma_f(pq))$$ donc $$\sigma_{g \circ f} = \sigma_g \circ \sigma_f$$ pour tous $f, g \in \G$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Remarque}. Si l'on veut, on peut commencer par fixer une bijection $\nu : \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow  \Delta$ et l'utiliser pour identifier le groupe $\mathfrak{S}(\Delta)$ avec le groupe sym\'etrique standard $\mathfrak{S}_4$ via l'isomorphisme $$\mathfrak{S}(\Delta) \rightarrow \mathfrak{S}_4, \ \ \sigma \mapsto \nu^{-1} \circ \sigma \circ \nu.$$ 

\vspace{0.2cm} L'application $\pi$ est \emph{surjective}. Pour le d\'emontrer, on observe que son image $\pi(\G)$ est un sous-groupe de $\mathfrak{S}(\Delta)$ ; par suite, il suffit de v\'erifier que $\pi(\G)$ contient un ensemble de g\'en\'erateurs de $\mathfrak{S}(\Delta)$ pour en d\'eduire $\pi(\G) = \mathfrak{S}(\Delta)$. On sait que le groupe $\mathfrak{S}(\Delta)$ est engendr\'e par les six transpositions, permutations qui \'echangent deux \'el\'ements en fixant les deux autres. Pour chaque transposition $\tau$, on trouve sans difficult\'e une isom\'etrie $f$ dans $\G$ telle que $\tau = \pi(f)$ : \'etant donn\'ees deux diagonales $\D$ et $\D'$ de $\C$, la r\'eflexion par rapport au plan contenant les deux autres est une isom\'etrie pr\'eservant $\C$ et induisant la transposition \'echangeant $\D$ et $\D'$. Par exemple, pour $\D = (ag)$ et $\D' = (bh)$, la r\'eflexion par rapport au plan $(cde)$ convient.

\vspace{0.1cm} D\'eterminons enfin le noyau $\Hr$ de $\pi$, c'est-\`a-dire le sous-groupe de $\G$ constitu\'e des isom\'etries $f$ telles que $\pi(f)$ soit l'identit\'e ; cela signifie que $f$ pr\'eserve globalement chaque diagonale du cube. \'Etant donn\'e $f \in \Hr$, on a $f(a) = a$ ou $f(a) = g$, $f(b) = b$ ou $f(b) = h$ et $f(c) = c$ ou $f(c) = e$. 

Si $f(a) = a$, alors $f(b) \in \{b, d, e\}$ car $f$ pr\'eserve les ar\^etes ; on en d\'eduit $f(b) = b$. Appliquant le m\^eme raisonnement avec le sommet $b$, on obtient ensuite $f(c) = c$. Comme $f(o) = o$, les quatre points non coplanaires $a, b, c, o$ sont ainsi fix\'es et $f$ est donc l'identit\'e.

Si $f(a) = g$, un raisonnement analogue au pr\'ec\'edent montre qu'alors $f$ est la sym\'etrie $s_{o}$ de centre $o$. Une variante consiste \`a observer que $s_o$ pr\'eserve globalement chaque diagonale de $\C$ et appartient donc \`a $\Hr$ ; $s_o \circ f$ est alors un \'el\'ement de $\Hr$ fixant le sommet $a$, d'o\`u $s_o \circ f = {\rm id}$ et $f = s_o$. 

\vspace{0.1cm} Finalement, $\Hr = \{{\rm id}, s_o\}$ est le sous-groupe de $\G$ d'ordre $2$ engendr\'e par la sym\'etrie de centre $o$. Par passage au quotient, l'homomorphisme surjectif $\pi$ induit un \emph{isomorphisme} entre le groupe quotient $\G/\Hr$ et le groupe $\mathfrak{S}(\Delta)$. On en d\'eduit que ces deux groupes ont le m\^eme ordre $$|\G/\Hr| = |\mathfrak{S}(\Delta)| = 4! = 24,$$ ce qui montre finalement que $\G$ est un groupe fini d'ordre $$|\G| = |\Hr|.|\G/\Hr| = 48.$$ 

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{Remarque}. La section 7 est d\'evolue aux propri\'et\'es \'el\'ementaires de la notion de quotient.

\vspace{0.3cm}
\section{Description des isom\'etries pr\'eservant le cube} 
Maintenant que nous savons que le groupe $\G$ est fini et contient $48$ \'el\'ements, nous pouvons essayer d'en faire la liste. L'ensemble des d\'eplacements (isom\'etries directes) pr\'eservant $\C$ est un sous-groupe de $\G$, not\'e $\G^+$. L'inclusion $\G^+ \subset \G$ est stricte car $\G$ contient des anti-d\'eplacements, par exemple la r\'eflexion $\sigma$ par rapport au plan m\'ediateur du segment $[ab]$. L'application $$\G^+ \rightarrow \G, \ \ f \mapsto \sigma \circ f$$ est injective et son image est pr\'ecis\'ement l'ensemble $\G^-$ des anti-d\'eplacements de $\G$ ; on a donc $$|\G^+| = |\G^-| = \frac{1}{2}|\G| = 24.$$

\vspace{0.1cm}
Comme tous les \'el\'ements de $\G$ fixent le point $o$, les d\'eplacements constituant $\G^+$ sont tous des rotations de centre $o$. Les plus \'evidentes sont probablement les rotations autour d'un axe passant par les milieux de deux faces oppos\'ees, l'angle d'une telle rotation $r$ \'etant de mesure $\frac{\pi}{2}, \pi$ ou $\frac{3\pi}{2}$ si $r \neq {\rm id}$. Comme $\C$ poss\`ede trois paires de faces oppos\'ees, nous obtenons ainsi $9$ rotations dans $\G^+ - \{{\rm id}\}$. Il y a ensuite les rotations autour de l'une des quatre diagonales du cube, d'angle de mesure $\frac{2\pi}{3}$ ou $\frac{4\pi}{3}$ ; cela donne $8$ nouveaux \'el\'ements dans $\G^+ - \{{\rm id}\}$. Il y a enfin les retournements (rotations d'angle plat) autour d'un axe passant par les milieux de deux ar\^etes oppos\'ees de $\C$ ; comme $\C$ poss\`ede six paires d'ar\^etes oppos\'ees, cela fournit encore $6$ \'el\'ements dans $\G^+ - \{{\rm id}\}$. Il n'y a pas de place pour autre chose : $1 + 9 + 8 + 6 = 24$.

\vspace{0.1cm} Les \'el\'ements de $\G^-$ sont \emph{a priori} de deux types : r\'eflexions et anti-rotations (compos\'e commutatif d'une rotation $r$ et d'une r\'eflexion $s$ par rapport \`a un plan perpendiculaire \`a l'axe de $r$). 

Commen{\c c}ons par \'enum\'erer les r\'eflexions. Il y a de mani\`ere \'evidente : \begin{itemize} \item[(i)] les r\'eflexions par rapport \`a l'un des trois plans m\'ediateurs des ar\^etes, ne fixant aucun sommet ; \item[(ii)] les r\'eflexions par rapport \`a l'un des six plans contenant deux ar\^etes oppos\'ees, qui fixent quatre des huit sommets. \end{itemize} On constate ais\'ement que cette liste est compl\`ete en analysant les images possibles du sommet $a$ par une r\'eflexion de $\G^-$. Il y a donc $9$ r\'eflexions dans $\G^-$.

Passons maintenant aux anti-rotations. \'Etant donn\'ees une rotation non triviale $r \in \G^+$ et une r\'eflexion $s \in \G^-$ telles que l'axe de $r$ soit perpendiculaire au plan de $s$, $r \circ s = s \circ r$ est une anti-rotation dans $\G^-$. Remarque pr\'eliminaire : si l'angle de $r$ est plat, alors $s \circ r$ est la sym\'etrie de centre le point d'intersection de l'axe de $r$ et du plan de $s$. 

\begin{itemize} \item[(i)] Premi\`ere configuration : $r$ est un retournement dont l'axe passe par les milieux de deux faces oppos\'ees et $s$ est la r\'eflexion par rapport au plan m\'ediateur des ar\^etes perpendiculaires \`a ces deux faces. Tous les cas de figure conduisent au m\^eme r\'esultat : la sym\'etrie de centre $o$. \item[(ii)]  Premi\`ere configuration (bis) : $r$ est un retournement dont l'axe passe par les milieux de deux ar\^etes oppos\'ees et $s$ est la r\'eflexion par rapport au plan passant par les quatre sommets restant. On obtient de nouveau $s_o$.
\item[(iii)] Deuxi\`eme configuration : $r$ n'est pas un retournement, son axe passe par les milieux de deux faces oppos\'ees et $s$ est la r\'eflexion par rapport au plan m\'ediateur des ar\^etes perpendiculaires \`a ces faces. Il y a $6$ anti-rotations de ce type.
\end{itemize}
Il manque $15 - 7 = 8$ anti-rotations...

Nous n'avons pas utilis\'e jusqu'ici les $8$ rotations $r$ autour des diagonales car il n'existe pas de r\'eflexion $s \in \G^-$ telle que $s \circ r$ appartienne \`a $\G$ : il faudrait en effet que $s$ soit une r\'eflexion par rapport au plan m\'ediateur d'une diagonale, or celle-ci ne pr\'eserve pas $\C$. Pour fixer les id\'ees, consid\'erons la diagonale $(ag)$ ; le plan m\'ediateur $\rP$ du segment $[ag]$ passe par $o$ et est parall\`ele aux plans $(bde)$ et $(cfh)$. La rotation $r'$ d'axe $(ag)$ et d'angle de mesure $\frac{\pi}{3}$ (relativement \`a l'orientation faisant de $(bde)$ un triangle direct) transforme $(bde)$ en le triangle sym\'etrique par rapport \`a $(ab)$ ; si l'on applique alors la r\'eflexion $s'$ par rapport \`a $\rP$, on obtient le triangle $(chf)$. Il est maintenant clair que $r' \circ s'$ est une anti-rotation pr\'eservant $\C$ et d'axe $(ab)$. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer la projection orthogonale de $\C$ sur le plan $\rP$...

L'inverse $(r' \circ s')^{-1} = s' \circ {r'}^{-1} = {r'}^{-1} \circ s'$ de $r' \circ s'$ est \'egalement une anti-rotation d'axe $(ag)$ pr\'eservant $\C$. Rempla{\c c}ant $(ag)$ par l'une des trois autres diagonales, on obtient de la sorte $8$ nouvelles anti-rotations dans $\G^-$. Cette fois, $1+ 6 + 8 = 15$ et le compte y est.
 

\vspace{0.3cm}
\section{Structure du groupe des isom\'etries du cube} 

Revenons \`a l'homomorphisme $\pi : \G \rightarrow \mathfrak{S}(\Delta)$ introduit \`a la section 4, surjectif et de noyau $\Hr = \{{\rm id}, s_o\}$. La restriction de $\pi$ au sous-groupe $\G^+$ des d\'eplacements est un homomorphisme de groupes de noyau $\Hr \cap \G^+ = \{{\rm id}\}$, donc injectif ; comme par ailleurs $|\G^+| = 24 = |\mathfrak{S}(\Delta)|$, il s'agit donc d'un isomorphisme.

Observons que les deux \'el\'ements ${\rm id}$ et $s_o$ de $\Hr$ commutent avec \emph{tous} les \'el\'ements de $\G$ \footnote{Quelle que soit l'isom\'etrie $f$ de $\E$, $f \circ s_o \circ f^{-1}$ est la sym\'etrie de centre $s_{f(o)}$. Pour le voir, il suffit d'observer que la partie lin\'eaire de $f \circ s_o \circ f^{-1}$, \'etant conjugu\'ee \`a la partie lin\'eaire de $s_o$, a les m\^emes valeurs propres, en l'occurrence $-1$ avec multiplicit\'e $3$ ; cette partie lin\'eaire est donc la sym\'etrie par rapport \`a l'origine et, comme $f \circ s_o \circ f^{-1}$ fixe le point $f(o)$, il s'agit finalement bien de la sym\'etrie de centre $f(o)$.}.  Il en d\'ecoule que l'application $$\Hr \times \G^+ \rightarrow \G, \ \ (\varepsilon,f) \mapsto \varepsilon \circ f$$ est un homomorphisme de groupes puisque $$(\varepsilon \circ f)\circ(\varepsilon' \circ f') = (\varepsilon \circ \varepsilon') \circ (f \circ f')$$ pour tous $\varepsilon, \varepsilon' \in \Hr$ et $f, f' \in \G^+$. C'est par ailleurs une application surjective car tout anti-d\'eplacement $g$ dans $\G$ s'\'ecrit sous la forme $g = s_o \circ (s_o \circ g)$ ; les deux groupes \'etant du m\^eme ordre, il s'agit donc d'un isomorphisme.

\vspace{0.1cm} La structure du groupe $\G$ est ainsi parfaitement comprise : \emph{$\G$ est c'est isomorphe au produit direct du groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ par le groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_4$}. On notera au passage que le groupe $\G^+$ des d\'eplacements pr\'eservant le cube $\C$ fournit une r\'ealisation g\'eom\'etrique simple du groupe $\mathfrak{S}_4$.  


\vspace{0.3cm}
\section{Quelques remarques \'el\'ementaires sur les quotients }


La notion de quotient est parfois la source de difficult\'es qui n'ont pas lieu d'\^etre...

\vspace{0.2cm}
a) La notion g\'en\'erale de quotient d'un ensemble $\E$ par une relation d'\'equivalence est rigoureusement \'equivalente \`a la notion de \emph{partition} d'un ensemble en sous-ensembles deux \`a deux disjoints. Partant d'une relation d'\'equivalence $\mathcal{R}$ sur $\E$, celui-ci est la r\'eunion disjointe des classes modulo $\mathcal{R}$ ; r\'eciproquement, la donn\'ee d'une partition $\mathcal{F}$ de $\E$ --- c'est-\`a-dire une famille $\mathcal{F}$ de sous-ensembles de $\E$ deux \`a deux disjoints dont $\E$ est la r\'eunion --- permet de d\'efinir sur cet ensemble une relation d'\'equivalence $\mathcal{R}_{\mathcal{F}}$ : quels que soient $x$ et $y$ dans $\E$, $x \mathcal{R}_{\mathcal{F}} y$ si et seulement si $x$ et $y$ appartiennent au m\^eme sous-ensemble dans $\mathcal{F}$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Exemples standard} : \begin{itemize} \item[(i)] L'\'egalit\'e est une relation d'\'equivalence ; elle correspond \`a la partition de $\E$ en singletons : $\E = \bigsqcup_{x \in \E} \{x\}.$ \`A l'oppos\'e, \`a la partition $\mathcal{F} = \{\E\}$ (un seul sous-ensemble) correspond  la relation d'\'equivalence brutale : pour tous $x, y \in \E$, $x \mathcal{R}_{\mathcal{F}} y$. \item[(ii)] La donn\'ee d'une application $f : \E \rightarrow \F$ fournit naturellement une relation d'\'equivalence $\mathcal{R}_f$ sur $\E$ : pour tous $x, y \in \E$, $x \mathcal{R}_f y$ si et seulement si $f(x) = f(y)$. Les classes d'\'equivalence sont les \emph{fibres} de l'application $f$ ; elles constituent la partition de $\E$ correspondant \`a $\mathcal{R}_f$. \end{itemize}

La situation (ii) se rencontre par exemple souvent dans des probl\`emes de d\'enombrement. Si $\E$ et $\F$ sont finis, on peut calculer le cardinal de $|\E|$ en comptant d'abord le nombre d'\'el\'ements de $\F$, puis en d\'eterminant le nombre d'ant\'ec\'edents de chacun d'entre eux, c'est-\`a-dire le cardinal de la fibre de $f$ correspondante :
$$|\E| = \sum_{y \in \F} |f^{-1}(y)|,$$ o\`u $|f^{-1}(y)| = |\varnothing| = 0$ si $y \notin f(\E)$.

\vspace{0.2cm} 
b) Le quotient $\E/\mathcal{R}$ d'un ensemble $\E$ par une relation d'\'equivalence $\mathcal{R}$ est simplement l'ensemble des classes d'\'equivalence modulo $\mathcal{R}$. On dispose d'une application naturelle $\pi : \E \rightarrow \E/\mathcal{R}$, souvent appel\'ee \emph{projection canonique}, associant \`a $x$ sa classe d'\'equivalence. Le passage de $\E$ \`a $\E/\mathcal{R}$ a pr\'ecis\'ement pour effet d'\emph{identifier} tous les \'el\'ements \'equivalents : pour tous $x,y \in \E$, $\pi(x) = \pi(y)$ si et seulement si $x \mathcal{R}y$. Ainsi, remplacer $\E$ par $\E/\mathcal{R}$ a pour effet de transformer la relation d'\'equivalence $\mathcal{R}$ en la relation d'\emph{\'egalit\'e}. 

On peut aussi interpr\'eter la construction de l'ensemble quotient comme suit : \emph{toute relation d'\'equivalence $\mathcal{R}$ sur un ensemble $\E$ peut se r\'ealiser comme la relation $\mathcal{R}_f$ associ\'ee \`a une application $f : \E \rightarrow \F$ convenable}. Parmi tous les choix possibles de $f$ et $\F$, il y en a un meilleur que les autres : $\F = \E/\mathcal{R}$ et $f = \pi$. En effet, supposons que l'on dispose d'une application $f : \E \rightarrow \F$ telle que $\mathcal{R}_f = \mathcal{R}$, c'est-\`a-dire dont les fibres sont exactement les classes modulo $\mathcal{R}$. Comme $f$ est constante sur chaque classe modulo $\mathcal{R}$, on peut d\'efinir une application $\overline{f} : \E/\mathcal{R} \rightarrow \F$ en associant \`a chaque classe $c$ la valeur commune de $f$ en les \'el\'ements de $f$. Par construction, on a l'identit\'e $f = \overline{f} \circ \pi$, laquelle se repr\'esente agr\'eablement sous la forme d'un diagramme $$\xymatrix{\E \ar@{->}[r]^f \ar@{->}[d]_{\pi} & \F \\ \E/\mathcal{R} \ar@{->}[ru]_{\overline{f}} & }$$ que l'on dit \emph{commutatif} : les deux chemins possibles pour aller de $\E$ \`a $\F$, en l'occurrence $f$ et $\overline{f} \circ \pi$, co\"{\i}ncident. Mieux, $f$ prend des valeurs diff\'erentes sur des classes diff\'erentes puisque les classes sont exactement les fibres de $f$ ; ainsi, $\overline{f}(c) \neq \overline{f}(c')$ si $c$ et $c'$ sont des classes  distinctes et $\overline{f}$ est donc une application \emph{injective}.

Du point de vue des valeurs prises dans $\F$, le passage de $f$ \`a $\overline{f}$ ne change rien et ces deux applications ont donc la m\^eme image. Ainsi, en rempla{\c c}ant $\E$ par l'ensemble quotient $\E/\mathcal{R}$ et $\F$ par le \emph{sous-ensemble} $f(\E)$, nous avons construit une application \emph{bijective} $$\overline{f} : \E/\mathcal{R} \rightarrow f(\E)$$ contenant la m\^eme information que $f$.

\vspace{0.2cm} c) \emph{Exemple : les angles orient\'es dans un espace vectoriel euclidien $\rP$ de dimension $2$}. 

On consid\`ere l'ensemble $\E$ des couples $(u,v)$ de vecteurs unitaires de $\rP$, que l'on munit de la relation d'\'equivalence $$(u,v) \mathcal{R}(u',v') \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \left(\exists f \in {\rm SO}(\rP)  \ | \  f(u) =  u', f(v) =v'\right).$$ Par ailleurs, \'etant donn\'e un couple $(u,v) \in \E$, on d\'emontre qu'il existe une \emph{unique} rotation $r \in {\rm SO}(\rP)$ telle que $v = r(u)$. On d\'eduit alors de la \emph{commutativit\'e} du groupe ${\rm SO}(\rP)$ que deux couples $(u,v)$ et $(u',v')$ dans $\E$ sont \'equivalents si et seulement si les rotations associ\'ees $r$ et $r'$ sont les m\^emes. Ainsi, les classes d'\'equivalence pour $\mathcal{R}$ sont pr\'ecis\'ement les fibres de l'application $f : \E \rightarrow {\rm SO}(\rP)$, d\'efinie en associant \`a $(u,v)$ l'unique rotation $r$ telle que $v = r(u)$. Cette application \'etant manifestement surjective, elle donne ainsi naissance \`a une \emph{bijection} $$\overline{f} : \E/\mathcal{R} \rightarrow {\rm SO}(\rP).$$
On en d\'eduit imm\'ediatement une structure de groupe commutatif sur l'ensemble $\E/\mathcal{R}$ : la somme de deux classes $\widehat{(u,v)}$ et $\widehat{(u',v')}$ est d\'efinie par la condition $$\overline{f}\left(\widehat{(u,v)} + \widehat{(u',v')}\right) = \overline{f}(\widehat{(u,v)}) \circ \overline{f}(\widehat{(u',v')}
).$$
Pour calculer effectivement $\widehat{(u,v)} + \widehat{(u',v')}$, on note $r = f(u,v)$ la rotation envoyant $u$ sur $v$, $r' = f(u',v')$ celle envoyant $u'$ sur $v'$ et on pose $w = r'(v)$. Par d\'efinition, $\widehat{(u,v)} + \widehat{(u',v')}$ est l'ant\'ec\'edent de $r' \circ r$ dans $\E/\mathcal{R}$. On a d'une part $\widehat{(v,w)} = \widehat{(u',v')}$ --- car $f(v,w) = r' = f(u',v')$ --- et d'autre part $w = r'(v) = (r' \circ r)(u)$, donc $f(u,w) = r' \circ r$. On obtient ainsi $$\widehat{(u,v)} + \widehat{(u',v')} = \widehat{(u,v)} + \widehat{(v,w)} = \widehat{(u,w)},$$ ce qui d\'emontre par la m\^eme occasion la relation de Chasles.

\vspace{0.2cm} d) Consid\'erons maintenant un groupe $\G$ et soit $\Hr$ un sous-groupe. La classe \`a droite d'un \'el\'ement $g$ de $\G$ modulo $\Hr$ est l'ensemble produits $gh$ de $g$ par un \'el\'ement $h$ de $\Hr$ ; on la note $g\Hr$. Remarquer que l'on obtient la m\^eme classe si l'on remplace $g$ par $gh$ avec $h \in \Hr$. Comme $\Hr$ contient l'\'el\'ement neutre, $g\Hr $ contient $g$ et donc $\G$ est la r\'eunion de toutes les classes \`a droite modulo $\Hr$. Si deux classes $g\Hr$ et $g'\Hr$ ont une intersection non vide, elles sont \'egales : en effet, il existe alors $h, h' \in \Hr$ tels que $gh = g'h'$ et par suite $g\Hr = (gh)\Hr =(g'h') \Hr = g'\Hr $. 
Les classes \`a droite d\'efinissent donc une partition de $\G$ ; la relation d'\'equivalence $\mathcal{R}_{\Hr}$ correspondante est $$g \mathcal{R}_{\Hr} g' \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ g^{-1}g' \in \Hr,$$ qui d\'ecr\`ete que deux \'el\'ements sont \'equivalents si l'on peut passer de l'un \`a l'autre par multiplication \`a droite par un \'el\'ement de $\Hr$. L'ensemble quotient $\G/\mathcal{R}_{\Hr}$ est not\'e $\G/\Hr$ ; ses \'el\'ements sont les classes \`a droite modulo $\Hr$.

\vspace{0.1cm}
En privil\'egiant la gauche, on d\'efinit de m\^eme les classes \`a gauche et l'ensemble quotient$\Hr\backslash \G$, dont les \'el\'ements sont les classes \`a gauche modulo $\Hr$.

\vspace{0.1cm}
Quel que soit $g \in \G$, la multiplication \`a droite par $g$ fournit une \emph{bijection} entre $\Hr$ et $g\Hr$. Lorsque $\G$ est \emph{fini}, on en d\'eduit que toutes les classes (\`a droite
ou \`a gauche) modulo $\Hr$ ont le m\^eme cardinal, \'egal \`a celui de $|\Hr|$ ; le nombre de classes \`a droite \'etant le cardinal de l'ensemble $|\G/\Hr|$, on obtient la formule $$|\G| = |\Hr|.|\G/\Hr|$$ utilis\'ee \`a la fin de la section 4. On peut encore interpr\'eter diff\'eremment cette identit\'e : la projection canonique $\pi : \G \rightarrow \G/\Hr, \ \ \ g \mapsto g\Hr$ est surjective et ses fibres sont (tautologiquement!) les classes \`a droite modulo $\Hr$ ; comme toutes ces classes sont de cardinal $\Hr$, la formule de d\'enombrement mentionn\'ee \`a la fin de a) fournit pr\'ecis\'ement cette identit\'e.
      
\vspace{0.2cm} e) Rappelons que les constructions expos\'ees en b) s'adaptent au cadre des groupes. Soit $\varphi : \G \rightarrow \G'$ un homomorphisme de groupes. La relation d'\'equivalence naturellement associ\'ee \`a $\varphi$, soit $$g\mathcal{R}_\varphi g' \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \varphi(g) = \varphi(g'),$$ peut se r\'e-\'ecrire sous la forme $$g\mathcal{R}_\varphi g' \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ g^{-1}g' \in {\rm Ker}(\varphi) \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ g'g^{-1} \in {\rm Ker}(\varphi)$$ et donc \begin{itemize} \item[(i)] les classes  \`a droite  modulo le sous-groupe ${\rm Ker}(\varphi)$ sont les m\^emes que les classes \`a droite : $g {\rm Ker}(\varphi) = {\rm Ker}(\varphi)g$ ; \item[(ii)] les fibres de $\varphi$ sont donc pr\'ecis\'ement les classes modulo ${\rm Ker}(\varphi)$.\end{itemize} 

\vspace{0.1cm} Le point (i) permet de munir l'ensemble quotient $\G/\mathcal{R}_\varphi = \G/{\rm Ker}(\varphi)$ d'une structure de groupe de telle sorte que la projection canonique $\pi : \G \rightarrow \G/{\rm Ker}(\varphi)$ devienne un homomorphisme de groupes. On n'a pas le choix :  on doit d\'efinir le produit des classes $\pi(g)$ et $\pi(g')$ par $\pi(gg')$ ; pour que cela ait un sens, il faut que tous les $(gh)(g'h')$ soient dans la m\^eme classe lorsque $h$ et $h'$ parcourent ${\rm Ker}(\varphi)$. Tel est bien le cas : l'identit\'e ${\rm Ker}(\varphi)g' = g' {\rm Ker}(\varphi)$ permet d'\'ecrire $hg'$ sous la forme $g'h''$ avec $h'' \in {\rm Ker}(\varphi)$, donc $(gh)(gh') = g(hg')h' = g(g'h'')h' = (gg')(h''h')$ appartient \`a $gg' \Hr$. L'\'el\'ement neutre est la classe $\pi(e)$ de l'\'el\'ement neutre et les axiomes des groupes sont automatiquement v\'erifi\'es.  

Lorsqu'on munit l'ensemble $\G/{\rm Ker}(\varphi) = \G/\mathcal{R}_\varphi$ de la structure de groupe que l'on vient de d\'efinir, l'application injective $\overline{\varphi} : \G/{\rm Ker}(\varphi) \rightarrow \G'$ construite \`a la fin de b) devient un homomorphisme de groupes. La conclusion est la m\^eme : en rempla{\c c}ant $\G$ par le groupe quotient $\G/{\rm Ker}(\varphi)$ et $\G'$ par le sous-groupe image $\varphi(\G)$, on obtient un \emph{isomorphisme de groupes} $$\overline{\varphi} : \G/{\rm Ker}(\varphi) \rightarrow \varphi(\G)$$ contenant la m\^eme information que $\varphi$. 

\vspace{0.1cm} On dit qu'un sous-groupe $\Hr$ de $\G$ est \emph{distingu\'e} si les classes \`a gauche et \`a droite co\"{\i}cident ou, de mani\`ere \'equivalente, si $g\Hr g^{-1} = \Hr$ pour tout $g \in \G$. Si $\Hr$ est distingu\'e, on peut comme pr\'ec\'edemment  munir l'ensemble $\G/\Hr = \Hr \ \G$ des classes modulo $\Hr$ d'une structure de groupe de telle sorte que la projection $\pi$ devienne un homomorphisme de groupes. L'\'el\'ement neutre de $\G/\Hr$ \'etant la classe $\Hr$, le noyau de cet homomorphisme n'est autre que $\Hr$ lui-m\^eme. Au final, cela montre que \emph{les sous-groupes distingu\'es de $\G$ sont tr\`es pr\'ecis\'ement ceux que l'on peut r\'ealiser comme le noyau d'un homomorphisme de groupes convenable}. 

\vspace{0.2cm} f) Tout ce que l'on a dit pour les groupes s'applique aux espaces vectoriels sur un corps commutatif $k$, la multiplication du groupe (resp. les sous-groupes ; resp. les homomorphismes de groupes) \'etant remplac\'es par l'addition des vecteurs (resp. les sous-espaces vectoriels ; resp. les applications lin\'eaires). Tous les sous-espaces sont distingu\'es puisque l'addition est commutative. 

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'e un espace vectoriel $\V$ et un sous-espace $\W$, l'espace vectoriel quotient $\V/\W$ a pour \'el\'ements les classes $v + \W = \W + v$ modulo $\W$ et $$\lambda ( v+ \W) + \mu(v'+\W) = (\lambda v + \mu v') + \W$$ pour tous $v, v' \in \V$ et $\lambda, \mu \in k$. 

Il est important d'observer que ces classes ne sont pas autre chose que les \emph{sous-espaces affines} de $\V$ de direction $\W$, ce qui permet de visualiser tr\`es facilement l'espace vectoriel quotient $\V/\W$, au moins si ${\rm dim}(\V) \leqslant 2$.
 
Si $\W'$ est un suppl\'ementaire de $\W$ dans $\V$, alors la restriction de la projection canonique $\pi : \V \rightarrow \V/\W$ induit un \emph{isomorphisme} entre $\W'$ et $\V/\W'$ : en effet, $\pi_{|\W'}$ est une application lin\'eaire injective --- car ${\rm Ker}(\pi) \cap \W' = \W \cap \W' = \{0\}$ --- et elle est surjective car $\pi(v) = v + \W = w' + \W = \pi(w')$, o\`u  $w'$ est le projet\'e de $v$ sur $\W'$ parall\`element \`a $\W$.

R\'eciproquement, si $\W'$ est un sous-espace vectoriel de $\V$ tel que $\pi_{|\W'} : \W' \rightarrow \V/\W$ soit un isomorphisme, alors $\W'$ est un suppl\'ementaire de $\W$ dans $\V$ (exercice!). Ainsi, on peut voir le choix d'un suppl\'ementaire de $\W$ dans $\V$ comme une r\'ealisation de l'espace vectoriel quotient $\V/\W$ dans $\V$. Parce qu'il n'y a pas de mani\`ere naturelle de le faire, i.e., de choix meilleur que les autres, il est souvent plus facile de travailler directement avec $\V/\W$...

\end{document} 