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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation du CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Automne 2008}
\end{flushleft}

\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bfseries \scshape 5. G\'eom\'etrie diff\'erentielle 1}
\end{center}


\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Exercice 5.1 (Param\'etrage)} --- Soit $\mathcal{C}$ le cercle de rayon $1$ centr\'e \`a l'origine dans $\mathbb{R}^2$ et soit $\Delta$ sa tangente au point $(1,0)$. En consid\'erant les demi-droites issues du point $\rP = (-1,0)$, donner un param\'etrage de $\mathcal{C} - \{\rP\}$ par des fractions rationnelles.

\vspace{0.6cm}
\noindent \textbf{Exercice 5.2 (\'Etude locale)} --- 1. Soit $k$ un nombre r\'eel. \'Etudier au voisinage de $t=0$ la courbe param\'etr\'ee $$x(t) = \cos t +k \frac{t^3}{6}, \ \ y(t) = \sin t - t + \frac{t^2}{2}.$$

2. \`A quelle condition sur $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ la courbe param\'etr\'ee $$\gamma : ]0,+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}^2, \ \ \ t \mapsto \left(2t + \frac{a}{t^2}, t^2 + \frac{2b}{t}\right)$$ poss\`ede-t-elle un point de rebroussement? Quel est l'ensemble des points $(a,b)$ ainsi obtenus?
 
\vspace{0.6cm} 

\noindent \textbf{Exercice 5.3 (\'Etude globale 1)} --- \'Etudier puis tracer la courbe param\'etr\'ee $$\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ \ t \mapsto (2\sin t + \cos t, \sin^3 t + 2 \cos^3 t ).$$

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 5.4 (\'Etude globale 2)} --- Soit $a$ un nombre r\'eel non nul. \'Etudier puis tracer la courbe param\'etr\'ee $$\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2, \ \ t \mapsto \left(\frac{at^2}{1+t^2}, \frac{at^3}{1+t^2} \right).$$ D\'emontrer que l'image de $\gamma$ est l'ensemble des points $(x,y)$ de $\mathbb{R}^2$ satisfaisant \`a la condition $\F(x,y) = 0$, o\`u $\F \in \mathbb{R}[\X,\Y]$ est un polyn\^ome de degr\'e $3$ que l'on d\'eterminera.

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 5.5 (Courbes de Lissajous)} --- \'Etant donn\'es deux nombres r\'eels $a$ et $\omega$, on consid\`ere la courbe param\'etr\'ee $$\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2, \ \ t \mapsto (\sin t, \sin (\omega t + a)).$$

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] \'Etudier et tracer la courbe en fonction de $a$ lorsque $\omega = 1$.
\item[(ii)] M\^eme question avec $\omega = 2$. Pour quelles valeurs de $a$ la courbe est-elle r\'eguli\`ere?
\item[(iii)] D\'emontrer que la courbe $\gamma$ est \emph{ferm\'ee} (c'est-\`a-dire que la fonction $\gamma$ est p\'eriodique) si et seulement si $\omega$ est un nombre rationnel.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 5.6 (Cyclo\"{\i}de)} --- On consid\`ere un cercle $\mathcal{C}$ de rayon $\R$ qui roule sans glisser sur une droite $\D$. La courbe trac\'ee par un point fixe de $\mathcal{C}$ est appel\'ee \emph{cyclo\"{\i}de}.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] Donner un param\'etrage de la cyclo\"{\i}de puis \'etudier ses points singuliers et la tracer.
\item[(ii)] Calculer l'abscisse curviligne.
\item[(iii)] Calculer la longueur d'arc de la cyclo\"{\i}de correspondant \`a un tour complet de $\mathcal{C}$.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 5.7 (Coordonn\'ees polaires 1)} --- Le plan euclidien $\rP$ est orient\'e et muni d'un rep\`ere orthonorm\'e direct $(\Or,\mathbf{i}, \mathbf{j})$.
On consid\`ere une courbe param\'etr\'ee $$\gamma : \I \rightarrow \rP, \ \ \vartheta \mapsto \M(\vartheta) = \Or + \rho(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta}, $$ o\`u $\I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, $\mathbf{u}_{\vartheta} = \cos \vartheta \mathbf{i} + \sin \vartheta \mathbf{j}$ est le vecteur unitaire d'angle polaire $\widehat{(\mathbf{i},\mathbf{u}_{\vartheta})} = \vartheta$ et $\rho$ est une fonction deux fois d\'erivable.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] D\'eterminer le vecteur $\mathbf{v}_{\vartheta} = \frac{{\rm d} }{{\rm d} \vartheta} \mathbf{u}_{\vartheta}$.
\item[(ii)] Exprimer le vecteur $\mathbf{t}_{\vartheta}$ tangent \`a $\gamma$ au point $\M(\vartheta)$ dans la base $(\mathbf{u}_{\vartheta}, \mathbf{v}_{\vartheta})$.
\item[(iii)] Exprimer l'abscisse curviligne de $\gamma$ en fonction de $\vartheta$.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 5.8 (Coordonn\'ees polaires 2)} --- (i) \'Etudier et tracer la courbe d'\'equation polaire $\rho(\vartheta) = \sin \vartheta + \cos \frac{\vartheta}{2}$.

(ii)  \'Etudier et tracer la courbe d'\'equation polaire $\rho(\vartheta) = -\frac{a \cos 2\vartheta}{2\cos \vartheta}$.

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 5.9 (Spirale logarithmique)} --- Soit $a$ un nombre r\'eel strictement n\'egatif. La spirale logarithmique est la courbe param\'etr\'ee $$\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2, \ \ t \mapsto (e^{at}\cos t , e^{at} \sin t).$$

\vspace{0.1cm} 
\begin{itemize}
\item[(i)] Tracer cette courbe.
\item[(ii)] Calculer l'abscisse curviligne de $\gamma$ et d\'emontrer que la longueur d'arc entre $0$ et $t$ a une limite finie quand $t \rightarrow -\infty$.
\item[(iii)] Donner une \'equation polaire de cette courbe.
\item[(iv)] D\'emontrer que l'angle entre la tangente \`a $\gamma$ au point $\gamma(t)$ et la droite $(\Or\gamma(t))$ est constant, puis d\'eterminer toutes les courbes param\'etr\'ees ayant cette propri\'et\'e.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 5.10 (Enveloppes)} --- L'\emph{enveloppe} d'une famille de droite du plan est une courbe dont cette famille est l'ensemble des tangentes.

\vspace{0.1cm}
Consid\'erons une famille $\{\D_t\}_{t \in \mathbb{R}}$ de droites du plan d'\'equations $a(t)\X + b(t)\Y + c(t) = 0$, o\`u $a, b$ et $c$ sont des fonctions de classes ${\rm C}^1$ sur $\mathbb{R}$.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] Si une courbe param\'etr\'ee $(\gamma : t \mapsto (x(t), y(t)))$ est une enveloppe de la famille $\{\D_t\}_{t \in \mathbb{R}}$, d\'emontrer que les fonctions $x$ et $y$ sont solution du syst\`eme $$\left\{ \begin{array}{lll} a(t)x(t) + b(t)y(t) + c(t) & =  & 0 \\ a'(t)x(t) + b'(t)y(t) + c'(t) & = & 0\end{array} \right.$$ En d\'eduire l'existence d'une enveloppe sur tout intervalle sur lequel la fonction $ab' - a'b$ ne s'annule pas.
\item[(ii)] On consid\`ere un segment de longueur $\Lr$ dont les extr\'emit\'es glissent le long des c\^ot\'es d'un angle droit. D\'eterminer la fronti\`ere de la zone balay\'ee par le segment.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \noindent \textbf{Exercice 5.11 (Coordonn\'ees polaires 3)} --- On travaille dans un plan euclidien $\rP$ orient\'e muni d'un rep\`ere orthonorm\'e direct $(\Or,\mathbf{i}, \mathbf{j})$.

\vspace{0.1cm} \begin{itemize} \item[(i)] D\'emontrer que tout cercle de $\rP$ passant par $\Or$ admet une \'equation polaire de la forme $\rho(\vartheta) = \alpha \cos \vartheta + \beta \sin \vartheta.$ 
\item[(ii)] D\'eterminer les cercles passant par $\Or$ et tangents \`a la courbe d'\'equation polaire $\rho^2 = a^2\cos 2\vartheta$ (\emph{lemniscate\emph}). Quel est le lieu de leurs centres?
    \end{itemize}

\newpage

\end{document} 