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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation du CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Hiver 2008-09}
\end{flushleft}

\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bfseries \scshape 5. G\'eom\'etrie diff\'erentielle 1}
\end{center}

\vspace{0.1cm}
\begin{center}
{\bfseries  Corrig\'e partiel}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\begin{center} \textbf{-----------------} 
\end{center}
\vspace{0.2cm} 
\noindent \emph{Exercice 5.4 : \'equation cart\'esienne du support d'une courbe plane param\'etr\'ee plane.}
\noindent \emph{Exercice 5.8 : \'etude d'une courbe d\'efinie par une \'equation polaire relativement compliqu\'ee.}
\noindent \emph{Exercice 5.9 : d\'etermination de toutes les courbes param\'etr\'ees pour lesquelles l'angle entre la droite $(\Or \M)$ et la tangente au point $\M$ est constant}
\noindent \emph{Exercice 5.11 : \'equations polaires des cercles}
 
\vspace{0.2cm}
\begin{center} \textbf{-----------------} \end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 5.4} --- \emph{Sym\'etries}. On constate que $x(-t) = -x(t)$ et $y(-t) = -y(t)$, ce qui signifie que les points $\gamma(t)$ et $\gamma(-t)$ sont sym\'etriques par rapport \`a l'axe $(\Or x)$. Observer que l'abscisse est toujours du signe de $a$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{\'Etude des fonctions coordonn\'ees}.  Vu la sym\'etrie d\'ecel\'ee pr\'ec\'edemment, il suffit d'\'etudier la courbe lorsque $t$ varie entre $0$ et $+\infty$. Il n'y a pas de difficult\'e : l'abscisse et l'ordonn\'ee croissent si $a > 0$, d\'ecroissent si $a < 0$.

La courbe est r\'eguli\`ere pour toute valeur de $t$ distincte de $0$, i.e., $\gamma'(t) \neq 0$ si $t \neq 0$. L'\'etude locale en $t = 0$ d\'ecoule du d\'eveloppement limit\'e $$\gamma(t) = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{l} a \\ 0 \end{array}\right) t^2 + \left(\begin{array}{l} 0 \\ a \end{array}\right) t^3 + o(t^3)$$ au voisinage de $0$ : la tangente en $\gamma(0)$ est l'axe $(\Or x)$ et ce point est un point de rebroussement de premi\`ere esp\`ece.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Asymptote}. La droite d'\'equation $x=a$ est une asymptote car ${\rm lim}_{+ \infty} x = a$ et ${\rm lim}_{+\infty}  y = {\rm sgn}(a) \infty$.

\vspace{0.1cm} Pour le trac\'e de la courbe, voir la figure 1.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{\'Equation de la courbe}. L'\'enonc\'e demande de d\'eterminer un polyn\^ome de degr\'e $3$ en deux variables $\F~\in~\mathbb{R}[\X,\Y]$ tel que l'image de $\gamma$ soit l'ensemble $$\mathcal{C}_{\F} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ \F(x,y) = 0\}.$$
Pour ce faire, il suffit d'\emph{\'eliminer} le param\`etre $t$ \`a partir des deux \'equations $x(t) = \frac{at^2}{1+t^2}$ et $y(t) = \frac{at^3}{1+t^2}$.

On observe que l'on a $y(t) = tx(t)$ pour tout $t \in \mathbb{R}$. Si $t \neq 0$, alors $x(t) \neq 0$ et $t = y(t)/x(t)$ ; par substitution dans la formule donnant $x(t)$, on obtient l'identit\'e $$x(t) = \frac{ay(y)^2/x(t)^2}{1+y(t)^2/x(t)^2} = \frac{ay(t)^2}{x(t)^2 + y(t)^2}$$ et donc $\F(x(t),y(t))=0$ avec $$\F(\X,\Y) = \X(\X^2 + \Y^2) - a\Y^2.$$

Le point $\gamma(0) = (0,0)$ appartient \'egalement de mani\`ere \'evidente \`a $\mathcal{C}_{\F}$, donc $\gamma(\mathbb{R}) \subset \mathcal{C}_{\F}$.

R\'eciproquement, si $(x,y)$ est un point de $\mathbb{R}^2$ tel que $x(x^2+y^2)-ay^2 = 0$, alors \begin{itemize} \item soit $x = 0$, auquel cas $y = 0$ et donc $(x,y) = (0,0) = \gamma(0)$; \item soit $x \neq 0$, auquel cas l'identit\'e $x(x^2+y^2) - ay^2=0$ implique $$x = \frac{ay^2}{x^2+y^2} = \frac{a(y/x)^2}{1+(y/x)^2} \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ y = (y/x)x = \frac{a(y/x)^3}{1+(y/x)^2},$$ ou encore $(x,y) = \gamma(y/x)$. \end{itemize}
On obtient ainsi l'inclusion r\'eciproque $\mathcal{C}_{\F} \subset \gamma(\mathbb{R})$, et donc finalement $\gamma(\mathbb{R}) = \mathcal{C}_{\F}$.

\newpage
\noindent \textbf{Exercice 5.8} --- \'Etude de la courbe d'\'equation polaire $\rho = \sin (\vartheta) + \cos (\vartheta/2)$.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Sym\'etries}. On a \'evidemment $\rho(\vartheta + 4\pi) = \rho(\vartheta)$, donc on obtient tous les points en restreignant $\vartheta$ \`a un intervalle de longueur $4\pi$.

On a v\'erifie imm\'ediatement l'identit\'e $\rho(2\pi - \vartheta) = -\rho(\vartheta)$. Les vecteurs $- \mathbf{u}_{2\pi - \vartheta} = - \mathbf{u}_{-\vartheta}$ et $\mathbf{u}_{\vartheta}$ \'etant sym\'etriques par rapport \`a l'axe des \emph{ordonn\'ees}, celui-ci est un axe de sym\'etrie de la courbe ; d'autre part, l'application $\vartheta \mapsto 2\pi - \vartheta$ est la sym\'etrie de centre $\pi$. Cela sugg\`ere de choisir premier intervalle de milieu $\pi$, soit $[-\pi,3\pi]$, puis de se restreindre \`a $[-\pi,\pi]$ ; une fois connu la courbe sur ce dernier intervalle, on l'obtiendra sur $[-\pi, 3\pi]$ et donc sur $\mathbb{R}$ en appliquant la r\'eflexion par rapport \`a l'axe des ordonn\'ees.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{\'Etude de la fonction $\rho$}. Un calcul imm\'ediat fournit $\rho'(\vartheta) = \rP(\sin(\vartheta/2)$, o\`u $\rP$ est le polyn\^ome $-2\X^2 -\frac{1}{2}\X+1$. \'Ecrivant $$\rP = -2\left(\X + \frac{1}{8}\right)^2 - \frac{33}{8^2} = -2\left(\X - \frac{-1 - \sqrt{33}}{8}\right)\left(\X - \frac{-1+\sqrt{33}}{8}\right),$$ on obtient $$\rho'(\vartheta) = 0 \Longleftrightarrow \sin(\vartheta/2) = -\frac{1}{8} \pm \frac{\sqrt{33}}{8}$$ et il y a par cons\'equent deux z\'eros de $\rho'$ dans l'intervalle $[-\pi, \pi]$, not\'es $\vartheta_1$ et $\vartheta_2$ avec $\vartheta_1 <\vartheta_2$ ; en utilisant l'approximation $\sqrt{33} \simeq 5,745$, on obtient plus pr\'ecis\'ement les encadrements $$-\frac{3\pi}{4} < \vartheta_1 < -\frac{2\pi}{3}  < 0 <\frac{\pi}{3} < \vartheta_2 < \frac{\pi}{2}.$$

En \'ecrivant $\rho(\vartheta) = 2\cos(\vartheta/2)(\sin(\vartheta/2)+1/2)$, on obtient que les z\'eros de $\rho$ sur $[-\pi, \pi]$ sont $-\pi, -\frac{\pi}{3}$ et $\pi$. En particulier, le premier vecteur d\'eriv\'e $\mathbf{t}(\vartheta) = \rho'(\vartheta) \mathbf{u}_{\vartheta} + \rho(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta + \pi/2}$ n'est jamais nul ; les valeurs remarquables sont $$\mathbf{t}(-\pi) = -\frac{1}{2}\mathbf{u}_{-\pi}, \ \mathbf{t}(-\pi/3) = \frac{3}{2} \mathbf{u}_{-\pi/3}, \ \mathbf{t}(\vartheta_1) = \rho(\vartheta_1)\mathbf{u}_{\vartheta_1 + \pi/2},$$ $$\mathbf{t}(0) = \mathbf{u}_{0} + \mathbf{u}_{\pi/2}, \ \mathbf{t}(\vartheta_2) = \rho(\vartheta_2)\mathbf{u}_{\vartheta_2+\pi/2} \ \ \textrm{et} \ \ \mathbf{t}(\pi) = -\frac{3}{2}\mathbf{u}_{\pi}.$$

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Trac\'e de la courbe}. Nous avons suffisamment d'informations pour d\'ecrire l'allure de la courbe.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize} \item La fonction $\rho$ est n\'egative sur $[-\pi,\vartheta_1]$ et $|\rho|$ cro\^{\i}t sur cet intervalle. Comme $-\mathbf{u}_{\vartheta} = \mathbf{u}_{\vartheta + \pi}$ et $\frac{\pi}{4} < \vartheta_1 < \frac{\pi}{3}$, l'arc obtenu est contenu dans le quart de plan sup\'erieur. Le vecteur tangent \`a l'origine est $\mathbf{t}(-\pi) = \frac{1}{2}\mathbf{u}_0$ ; le vecteur tangent \`a l'autre extr\'emit\'e $\M(\vartheta_1)$ est $\mathbf{t}(\vartheta_1) = |\rho(\vartheta_1)|\mathbf{u}_{\vartheta_1 + \pi + \pi/2} = |\rho(\vartheta_1)|\mathbf{u}_{\vartheta_1 + 3\pi/2}$. Voir la figure 2 pour le trac\'e de cet arc.
\item La fonction $\rho$ est n\'egative sur $[\vartheta_1,-\pi/3]$ et $|\rho|$ d\'ecro\^{\i}t sur cet intervalle. On obtient un arc reliant le point $\M(\vartheta_1)$ \`a l'origine dont le vecteur tangent en $\Or$ est $\mathbf{t}(-\pi/3) = \frac{3}{2} \mathbf{u}_{-\pi/3}$. Voir la figure 2 pour le trac\'e de cet arc.
\item La fonction $\rho$ est positive et croissante sur $[-\pi/3, \vartheta_2]$. Comme $\pi/3 < \vartheta_2 < \pi/2$, on obtient un arc issu de $\Or$, avec vecteur tangent $\mathbf{t}(-\pi/3) = \frac{3}{2} \mathbf{u}_{-\pi/3}$, et aboutissant au point $\M(\vartheta_2)$ du quart de plan sup\'erieur droit, avec vecteur tangent $\mathbf{t}(\vartheta_2) = \rho(\vartheta_2)\mathbf{u}_{\vartheta_2 + \pi/2}$. Cet arc est contenu dans le quart de plan inf\'erieur droit pour $\vartheta \in [-\pi/3, 0]$, dans le quart de plan sup\'erieur droit pour $\vartheta \in [0,\vartheta_2]$. Voir la figure 4 pour le trac\'e de cet arc.
\item La fonction $\rho$ est positive et d\'ecroissante sur $[\vartheta_2, \pi]$. On obtient un arc issu de $\M(\vartheta_2)$ avec vecteur tangent $\mathbf{t}(\vartheta_2) = \rho(\vartheta_2)\mathbf{u}_{\vartheta_2 + \pi/2}$ et aboutissant \`a l'origine avec vecteur tangent $\mathbf{t}(\pi) = \frac{3}{2}\mathbf{u}_{0}$. Cet arc est contenu dans le quart de plan sup\'erieur droit pour $\vartheta \leqslant \pi/2$ et dans le quart de plan sup\'erieur gauche pour $\pi/2 \leqslant \vartheta \leqslant \pi$. Voir la figure 5 pour le trac\'e de cet arc.
    \end{itemize}

Une fois connue la courbe pour $\vartheta \in [-\pi,\pi]$ (cf. figure 6), il reste \`a appliquer la r\'eflexion d'axe $(\Or y)$ (cf. figure 7).

\newpage
\noindent \textbf{Exercice 5.9} --- \'Etude de la \emph{spirale logarithmique}, d\'efinie par le param\'etrage $(e^{at}\cos(t), e^{at} \sin(t))$ avec $a \in \mathbb{R}_{<0}$.

\vspace{0.1cm} (i) Vu l'identit\'e $\gamma(t+\pi) = -e^{a\pi}\gamma(t)$, le point $\gamma(t+\pi)$ est l'image du point $\gamma(t)$ par l'homoth\'etie $h$ de centre $\Or$ et de rapport $-e^{a\pi}$ (de valeur absolue $e^{a\pi} < 1$). Par suite, il suffit d'\'etudier la courbe pour $t \in [0,\pi]$ puis d'appliquer les homoth\'eties $h^m$ avec $m \in \mathbb{Z}$ pour obtenir tous les points ; plus pr\'ecis\'ement, si l'on pose $\C = \gamma([0,\pi])$, alors $$\gamma([-\N\pi, (\N+1)\pi]) = \bigcup_{|m| \leq \N} h^m(\C)$$ pour tout entier $\N \in \mathbb{N}$.

L'\'etude des deux fonctions coordonn\'ees ne pose pas de probl\`eme : posant $t_1 = {\rm Arctan}(-1/a) \in [0,\pi/2]$ et $t_2 = {\rm Arctan}(a) + \pi \in [\pi/2, \pi]$,

\vspace{0.1cm}

\begin{itemize} \item l'abscisse d\'ecro\^{\i}t de $1$ \`a $e^{at_2}\cos(t_2)$ sur $[0,t_2]$ puis cro\^{\i}t de $e^{at_2}\cos(t_2)$ \`a $e^{a\pi}$ sur $[t_2,\pi]$;
\item l'ordonn\'ee cro\^{\i}t de $0$ \`a $e^{at_1}\sin(t_1)$ sur $[0,t_1]$ puis d\'ecro\^{\i}t de $e^{at_1}\sin(t_1)$ sur $[t_1, \pi]$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm}
En outre, $\gamma'(t) \neq 0$ pour tout $t$ et $$\gamma'(0) = \left(\begin{array}{l} a \\ 1 \end{array}\right), \ \ \gamma'(t_1) = \left(\begin{array}{l} (a+1/a)\cos(t_0) \\ 0 \end{array}\right), \ \ \gamma'(t_2) = \left(\begin{array}{l} 0 \\ (1+a^2)\cos(t_1) \end{array}\right) \ \ \textrm{et} \ \ \gamma'(\pi) = -e^{a\pi}\gamma'(0)$$

Un calcul imm\'ediat fournit $$x''(t) = e^{at}[(a^2-1)\cos(t) - 2a\sin(t)] = e^{at}(a^2+1)\cos(t+\alpha)$$ et $$y''(t) = e^{at}[(a^2-1)\sin(t) + 2a\cos(t)] = e^{at}(a^2+1)\sin(t+\alpha)$$ avec $\cos(\alpha) = \frac{a^2-1}{a^2+1}$ et $\sin(\alpha) = \frac{2a}{a^2+1}$. Le deuxi\`eme vecteur d\'eriv\'e est donc toujours non nul, ce qui signifie que la courbe ne poss\`ede aucun point d'inflexion et, par cons\'equent, qu'elle se trouve toujours du m\^eme c\^ot\'e de sa tangente.

\vspace{0.1cm} Toutes ces informations permettent de tracer la courbe ; voir les figures 8 et 9.

\vspace{0.3cm}
(ii) \'Etant donn\'e $t_0 \in \mathbb{R}$, l'abscisse curviligne d'origine $\gamma(t_0)$ est l'injection croissante de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ d\'efinie par $$s(t) = \int_{t_0}^{t} ||\gamma'(u)|| {\rm d}u = \sqrt{a^2+1}\int_{t_0}^t e^{au} {\rm d}u = \frac{\sqrt{a^2+1}}{a}[e^{at} - e^{at_0}].$$ Prenant $t_0 = 0$, on obtient $s(t) = \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}(e^{at}-1)$. La longueur de la spirale $\gamma([0,+\infty[)$ est donc \'egale \`a ${\lim}_{+\infty} s = \frac{\sqrt{a^2+1}}{|a|} = \sqrt{1+\frac{1}{a^2}}$.

\vspace{0.1cm} (iii) Une \'equation polaire de la courbe consid\'er\'ee ici est \'evidemment $\rho = e^{a\vartheta}$.

\vspace{0.1cm} (iv) Il est commode ici d'utiliser des coordonn\'ees polaires.
La droite $(\Or \gamma(\vartheta))$ est dirig\'ee par le vecteur $\mathbf{u}_{\vartheta}$ tandis que la tangente \`a la courbe au point $\gamma(\vartheta)$ est dirig\'ee par le vecteur $\mathbf{t}(\vartheta) = \rho'(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta} + \rho(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta + \pi/2}$. L'angle orient\'e entre ces deux droites est constant si et seulement si l'angle orient\'e entre les vecteurs $\mathbf{u}_{\vartheta}$ et $\mathbf{t}(\vartheta)$ est constant modulo l'angle plat. Cette derni\`ere condition \'equivaut \`a la conjonction des deux conditions suivantes : $$\left\{\begin{array}{l} \textrm{ la valeur absolue de } \cos \widehat{(\mathbf{u}_{\vartheta}, \mathbf{t}(\vartheta)}) \textrm{ est constante } \\ \cos \widehat{(\mathbf{u}_{\vartheta}, \mathbf{t}(\vartheta)}) \textrm{ et } \sin \widehat{(\mathbf{u}_{\vartheta}, \mathbf{t}(\vartheta)}) \textrm{ sont \emph{toujours} de m\^eme signe ou \emph{toujours} de signes oppos\'es}. \end{array} \right.$$

Utilisant le fait que le rep\`ere $(\mathbf{u}_{\vartheta}, \mathbf{u}_{\vartheta + \pi/2})$ est orthonorm\'e et direct, $$\cos \widehat{(\mathbf{u}_{\vartheta}, \mathbf{t}(\vartheta)}) = \left(\mathbf{u}_{\vartheta} \left| \frac{\mathbf{t}(\vartheta)}{||\mathbf{t}(\vartheta)||} \right. \right) = \frac{\rho'(\vartheta)}{\sqrt{\rho(\vartheta)^2 + \rho'(\vartheta)^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}$$ et $$\sin \widehat{(\mathbf{u}_{\vartheta}, \mathbf{t}(\vartheta))} = \left(\mathbf{u}_{\vartheta + \pi/2} \left| \frac{\mathbf{t}(\vartheta)}{||\mathbf{t}(\vartheta)||} \right. \right) = \frac{\rho(\vartheta)}{\sqrt{\rho(\vartheta)^2 + \rho'(\vartheta)^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$

\vspace{0.1cm} Ces formules montrent que l'angle orient\'e entre le vecteur unitaire $\mathbf{u}_{\vartheta}$ --- dirigeant la demi-droite $[\Or \gamma(\vartheta))$ --- et le vecteur tangent au point $\gamma(\vartheta)$ est constant ; il en est donc \emph{a fortiori} de m\^eme de l'angle orient\'e entre la droite $(\Or \gamma(\vartheta))$ et la tangent au point $\gamma(\vartheta)$.

\vspace{0.2cm} D\'eterminons maintenant toutes les courbes param\'etr\'ees $\C$ ayant la propri\'et\'e ci-dessus, \`a savoir que l'angle orient\'e entre la droite $(\Or \M)$ et la tangente au point $\M$ ne d\'epende pas du point $\M \in \C$. Pour que cela ait un sens, on suppose qu'une telle courbe ne passe pas par l'origine $\Or$

\vspace{0.1cm}
Cherchons un param\'etrage polaire de $\C$ sous la forme $\M(\vartheta) = \Or + \rho(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta}$, o\`u $\rho$ est une fonction d\'erivable sur $\mathbb{R}$ ne s'annulant pas, donc de signe constant.

\vspace{0.1cm} Notant $\mathbf{t}(\vartheta) = \rho'(\vartheta) \mathbf{u}_{\vartheta} + \rho(\vartheta) \mathbf{u}_{\vartheta + \pi/2}$ le vecteur tangent au point $\M(\vartheta)$, le raisonnement pr\'ec\'edent conduit aux formules $$\cos \widehat{(\mathbf{u}_{\vartheta}, \mathbf{t}(\vartheta)}) = \frac{\rho'(\vartheta)}{\sqrt{\rho(\vartheta)^2 + \rho'(\vartheta)^2}} \ \textrm{et} \ \sin \widehat{(\mathbf{u}_{\vartheta}, \mathbf{t}(\vartheta))} = \frac{\rho(\vartheta)}{\sqrt{\rho(\vartheta)^2 + \rho'(\vartheta)^2}},$$  de sorte que l'angle entre la droite $(\Or \M(\vartheta))$ et la tangente au point $\M(\vartheta)$ est constant si et seulement s'il existe un nombre r\'eel $c$ tel que $$\left\{\begin{array}{l} |\rho'| = c\sqrt{\rho^2 + {\rho'}^2} \\ \rho'/\rho \geqslant 0 \ \textrm{ou} \ \rho'/\rho \leqslant 0. \end{array} \right.$$ Noter que l'on a n\'ecessairement $c \in [0,1[$ puisque $\rho \neq 0$. La premi\`ere condition \'equivaut \`a $(1 - c^2)(\rho')^2 = c^2 \rho^2$, soit encore $$\left(\frac{\rho'}{\rho}\right)^2 = \frac{c^2}{1-c^2}.$$ Compte-tenu de la seconde condition, nous pouvons reformuler le probl\`eme initial sous la forme suivante : pour que l'angle entre la droite $(\Or\M(\vartheta))$ et la tangente au point $\M(\vartheta)$ soit constant, il faut et il suffit qu'il existe un nombre r\'eel $\alpha$ tel que $$\rho' = \alpha \rho.$$

L'int\'egration de cette \'equation diff\'erentielle conduit \`a $\rho = \C e^{\alpha \vartheta}$ avec $\C \in \mathbb{R}_{>0}$. R\'eciproquement, il est clair d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede que toute courbe admettant une \'equation polaire de cette forme satisfait \`a la condition angulaire du probl\`eme.

\vspace{0.1cm} \noindent \emph{Conclusion}. Les courbes param\'etr\'ees telles, qu'en tout point $\M$, l'angle entre la droite $(\Or \M)$ et de la tangente en $\M$ soit constant sont les courbes d'\'equation polaire $\rho = \C e^{\alpha \vartheta}$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$ et $\C \in \mathbb{R} - \{0\}$.

Remarquer que l'on obtient les cercles de centre $\Or$ en consid\'erant $\alpha = 0$ et $\C >0$.

\vspace{1cm}

\noindent \textbf{Exercice 5.11} --- (i) Consid\'erons tout d'abord le cercle $\C_0$ centr\'e au point $\Ir = \Or + \mathbf{i}$ de l'axe $\Or +\mathbb{R}\mathbf{i}$. Pour tout $\vartheta \in ]-\pi/2,\pi/2[$, la droite $\Or + \mathbb{R}\mathbf{u}_{\vartheta}$ coupe $\C_0$ en deux points distincts, $\Or$ et un second point not\'e $\M(\vartheta)$ ; on pose par ailleurs $\M(\pi/2) = \M(\-\pi/2) = \Or$. D\'efinissant la fonction $\rho_0$ sur $[\pi/2,-\pi/2]$ par $\rho_0(\vartheta) = ||\overrightarrow{\Or \M(\vartheta)}||$, le cercle $\C_0$ est param\'etr\'e par l'application $$[-\pi/2, \pi/2] \rightarrow \mathbb{R}^2, \ \ \vartheta \mapsto \Or + \rho_0(\vartheta) \mathbf{u}_{\vartheta}$$ car tout point de $\C$ s'\'ecrit sous la forme $\M(\vartheta)$ pour un choix convenable de $\vartheta$ dans $[-\pi/2,\pi/2]$.

Il est ais\'e de d\'eterminer explicitement la fonction $\rho_0$ : en vertu du th\'eor\`eme de l'angle au centre, $$\M(\vartheta) = \Ir + \mathbf{u}_{2\vartheta}$$ avec $\Ir = \Or + \mathbf{i}$ et donc $$\rho_0(\vartheta)^2 = (1+\cos(2\vartheta))^2 + \sin(2\vartheta)^2 = 2 + 2\cos(2\vartheta) = 4\cos(\vartheta)^2.$$  Vu sa d\'efinition, la fonction $\rho_0$ est positive et donc $\rho_0(\vartheta) = 2\cos(\vartheta)$ pour tout $\vartheta \in [-\pi/2, \pi/2]$. Comme $\cos(\vartheta + \pi) = - \cos(\vartheta)$ et $\mathbf{u}_{\vartheta + \pi} = - \mathbf{u}_{\vartheta}$, $$\Or + \cos(\vartheta + \pi)\mathbf{u}_{\vartheta + \pi} = \Or + \cos(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta}$$ et l'on n'obtient pas de nouveau point en autorisant $\vartheta$ \`a varier dans $\mathbb{R}$ tout entier. Nous avons ainsi d\'emontr\'e que le cercle $\C_0$ peut \^etre d\'efini par l'\'equation polaire $\rho_0 = 2 \cos(\vartheta)$.

\vspace{0.1cm} Consid\'erons maintenant un cercle quelconque $\C$ passant par le point $\Or$, de centre $\Omega$ et de rayon $\R$. Si $\varphi$ est une mesure de l'angle entre les vecteurs $\mathbf{i}$ et $\overrightarrow{\Or\Omega}$, alors $\C$ est l'image de $\C_0$ par la similitude directe $s$ de rapport $\R$ et d'angle de mesure $\varphi$. Cette similitude s'exprime tr\`es ais\'ement sous la forme $$s(\Or + \rho \mathbf{u}_{\vartheta}) = \Or + \R \rho \mathbf{u}_{\vartheta + \varphi},$$ donc \begin{eqnarray*} \C = s(\C_0) & = & \{\Or + \R\rho_0(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta + \varphi} \ ; \ \vartheta \in \mathbb{R}\} \\ & = & \{\Or + 2\R\cos(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta + \varphi} \ ; \ \vartheta \in \mathbb{R}\} \\ & = & \{\Or + 2\R\cos(\vartheta - \varphi)\mathbf{u}_{\vartheta} \ ; \ \vartheta \in \mathbb{R}\}  \end{eqnarray*} et $$\rho = 2\R \cos(\vartheta - \varphi) = 2\R\cos(\vartheta_0)\cos(\vartheta) + 2\R\sin(\varphi)\sin(\vartheta)
$$ est une \'equation polaire de $\C$.

\vspace{0.1cm}
R\'eciproquement, toute \'equation polaire de la forme $\rho = \alpha \cos(\vartheta) + \beta \sin(\vartheta)$ d\'efinit un cercle passant par $\Or$. Il suffit en effet pour le voir d'\'ecrire $\rho$ sous la forme $$\rho = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} \cos(\vartheta - \varphi),$$ o\`u $\varphi$ est un nombre r\'eel tel que $\cos(\varphi) = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ et $\sin(\varphi) = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Ce cercle se d\'eduit de $\C_0$ par la similitude de centre $\Or$, de rapport $\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$ et d'angle de mesure $\varphi$ ; son centre est l'image du point $\Ir$, donc a pour coordonn\'ees $$\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) = \left(\frac{\alpha}{2}, \frac{\beta}{2}\right).$$

\vspace{0.5cm} (ii) Il convient de commen{\c c}ons par une br\`eve \'etude de la courbe d\'efinie par l'\'equation polaire $\rho^2 = a^2 \cos(2\vartheta)$, o\`u $a$ est un nombre r\'eel non nul. Quitte \`a appliquer une homoth\'etie de centre $\Or$, on peut sans probl\`eme supposer $a^2 = 1$. 

L'\'etude de cette courbe est ais\'ee, bornons-nous \`a en indiquer les sym\'etries. En vertu des identit\'es $\rho(\vartheta + \pi)^2 = \rho(-\vartheta)^2 = \rho(\vartheta)^2$, chaque valeur de $\vartheta$ telle que $\cos(2\vartheta) \geqslant 0$ donne naissance \`a quatre points : outre $\M(\vartheta) = \Or + \rho(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta} = \Or - \rho(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta + \pi}$, on dispose des points
 
 \begin{itemize} \item $\Or + \rho(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta + \pi}$, le sym\'etrique de $\M(\vartheta)$ par rapport \`a l'origine ; \item $\Or + \rho(\vartheta)\mathbf{u}_{-\vartheta}$, le sym\'etrique de $\M(\vartheta)$ par rapport \`a l'axe $(\Or x)$ ; \item $\Or - \rho(\vartheta) \mathbf{u}_{-\vartheta}$, sym\'etrique de $\M(\vartheta)$ par rapport \`a l'axe $(\Or y)$. \end{itemize} 
 
\vspace{0.1cm} Par suite, il suffit d'\'etudier l'arc d\'efini par les conditions $$\left\{\begin{array}{l} \vartheta \in [0,\pi/4] \\ \rho = \sqrt{\cos(2\vartheta)}\end{array} \right.$$ puis de lui appliquer successivement la sym\'etrie par rapport \`a l'axe des abscisses et par rapport \`a l'axe des ordonn\'ees ; la courbe ainsi obtenue est la r\'eunion des deux branches $$\left\{\begin{array}{l} \vartheta \in [-\pi/4,\pi/4] \\ \rho = \sqrt{\cos(2\vartheta)}\end{array} \right. \ \ \textrm{ et } \ \ \left\{\begin{array}{l} \vartheta \in [-\pi/4,\pi/4] \\ \rho = -\sqrt{\cos(2\vartheta)}\end{array} \right.$$ Toute autre valeur de $\vartheta \in \mathbb{R}$ tel que $\cos(2\vartheta) \geqslant 0$ donne naissance \`a des points appartenant d\'ej\`a \`a cette courbe.


\vspace{0.1cm} Pour le trac\'e, voir la figure 10.

\vspace{0.3cm} a) Int\'eressons-nous maintenant aux cercles passant par $\Or$ et tangent \`a la lemniscate $\mathcal{L}$ en un point $\M$. Vu les sym\'etries d\'ecel\'ees pr\'ec\'edemment, il suffit de se restreindre \`a l'arc $\mathcal{L}^+$ d\'efini par les conditions $\vartheta \in [0,\pi/4]$ et $\rho \geqslant 0$.

\vspace{0.1cm} Si $\M = \M(\pi/4) = \Or$, ces cercles ne sont autres que ceux passant par $\Or$ et tangents \`a l'une des deux diagonales $\Or + \mathbb{R}(\mathbf{i} \pm \mathbf{j})$ ; il y en a une infinit\'e, leur centre pouvant \^etre n'importe quel point de ces deux droites.


\vspace{0.1cm}
\'Etant donn\'e $\vartheta_0 \in ]-\pi/4, \pi/4[$, il existe un \emph{unique} cercle $\C$ passant par $\Or$ et tangent \`a $\mathcal{L}$ au point $\M(\vartheta_0)$. En effet :  \begin{itemize} \item vu $(i)$, il revient au m\^eme de dire que le cercle $\C$ passe par $\Or$ ou qu'il admet une \'equation polaire de la forme $\rho = \alpha \cos(\vartheta) + \beta \sin(\vartheta)$ avec $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 - \{(0,0)\}$ ;
\item le vecteur tangent \`a ce cercle au point $\M(\vartheta_0)$ est $(-\alpha \sin(\vartheta_0) + \beta \cos (\vartheta_0)) \mathbf{u}_{\vartheta_0} + (\alpha \cos(\vartheta_0) + \beta \sin (\vartheta_0)) \mathbf{u}_{\vartheta_0 + \pi/2}$ ;
\item le vecteur tangent \`a $\mathcal{L}$ au point $\M(\vartheta_0)$ est $\rho'(\vartheta_0) \mathbf{u}_{\vartheta_0} + \rho(\vartheta_0) \mathbf{u}_{\vartheta_0 + \pi/2}$.
\end{itemize} 

\vspace{0.1cm} Comme les deux vecteurs tangents ont la \emph{m\^eme} composante selon $\mathbf{u}_{\vartheta_0 + \pi/2}$, ils sont colin\'eaires si et seulement s'ils sont \'egaux et nous sommes ainsi ramen\'es \`a la d\'etermination de tous les couples $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 - \{(0,0)\}$ tels que $$\left\{\begin{array}{lll} \alpha \cos(\vartheta_0) + \beta\sin(\vartheta_0) & = & \rho(\vartheta_0) \\ -\alpha \sin (\vartheta_0) + \beta \cos(\vartheta_0) & =  & \rho' (\vartheta_0).\end{array} \right.$$ Le d\'eterminant de ce syst\`eme \'etant \'egal \`a $1$, il existe un unique couple solution dans $\mathbb{R}^2$ ; on a en outre $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$ car $\rho(\vartheta_0) \neq 0$.

\vspace{0.1cm} Nous venons d'\'etablir l'existence et l'unicit\'e du cercle passant par $\Or$ et tangent \`a l'arc $\mathcal{L}^+$ en un point $\M$ distinct de $\Or$ ; on le notera $\C_{\M}$. Par sym\'etrie, cette assertion est vraie en tout point $\M$ de la lemniscate distinct de $\Or$.

\vspace{0.3cm} b) Il reste \`a d\'eterminer le lieu $\mathcal{E}$ des centres des cercles passant par $\Or$ et tangents \`a la lemniscate en un point $\M$. On se restreint de nouveau \`a l'arc $\mathcal{L}^+$ : l'ensemble $\mathcal{E}$ se d\'eduit de $$\mathcal{E}^+ = \{\textrm{centres des cercles passant par $\Or$ et tangents \`a } \mathcal{L}^+\}$$ en appliquant successivement les r\'eflexions d'axes $(\Or x)$ et $(\Or y)$.

\vspace{0.1cm}
L'ensemble $\mathcal{E}^+$ contient la r\'eunion $\mathcal{A}$ des centres des cercles passant par $\Or$ et tangents \`a $\mathcal{L}^+$ en ce point. Nous avons d\'ej\`a vu que $\mathcal{A}$ est la r\'eunion des deux diagonales $\Or + \mathbb{R}(\mathbf{i} \pm \mathbf{j})$.

\vspace{0.1cm} \'Etant donn\'e $\vartheta \in ]-\pi/4, \pi/4[$, il d\'ecoule du point (i) et de ce qui pr\'ec\`ede que le centre du cercle $\C_{\M(\vartheta)}$ est le point de coordonn\'ees $\left(\alpha(\vartheta)/2, \beta(\vartheta)/2\right)$, o\`u $$\left(\begin{array}{l} \alpha(\vartheta) \\ \beta(\vartheta) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ll} \cos(\vartheta) & -\sin(\vartheta) \\ \sin(\vartheta) & \cos(\vartheta) \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} \rho(\vartheta) \\ \rho'(\vartheta) \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} \rho(\vartheta)\cos(\vartheta) - \rho'(\vartheta)\sin(\vartheta) \\ \rho(\vartheta)\sin(\vartheta) + \rho'(\vartheta) \cos(\vartheta) \end{array}  \right).$$ Un peu d'attention conduit aux identit\'es \begin{eqnarray*}\alpha(\vartheta)^2 - \beta(\vartheta)^2 & = & (\cos(\vartheta)^2 - \sin(\vartheta)^2) \rho(\vartheta)^2 - (\cos(\vartheta)^2 - \sin(\vartheta)^2) \rho'(\vartheta)^2 - 4\rho(\vartheta) \rho'(\vartheta) \cos(\vartheta) \sin(\vartheta) \\ & = & \cos(2\vartheta)^2 - \cos(2\vartheta)^2 \tan(2\vartheta)^2 + 2\sin(2\vartheta)^2 \\ & = & \cos(2\vartheta)^2 + \sin(2\vartheta)^2 \\ & = & 1, \end{eqnarray*} l'avant derni\`ere \'etape reposant sur la formule $2\rho'(\vartheta) \rho(\vartheta) = -2\sin(2\vartheta)$, obtenue en d\'erivant la relation $\rho^2 = \cos(2\vartheta)$. Le centre du cercle $\C_{\M(\vartheta)}$ appartient donc \`a l'hyperbole $\mathcal{H}$ d'\'equation $x^2 - y^2 = \frac{1}{4}$ dans le rep\`ere $(\Or ; \mathbf{i}, \mathbf{j})$.

\vspace{0.1cm} R\'eciproquement, v\'erifions que tout point $\Omega$ de l'arc de cette hyperbole d\'efini par les conditions $x \geqslant 0$ et $y \leqslant 0$ appartient \`a $\mathcal{E}^+$.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize} \item Il existe $\vartheta \in [0,\pi/4[$ tel que l'abscisse $x$ de $\Omega$ soit \'egale \`a $\alpha(\vartheta)$ : en effet, la fonction $\alpha(\vartheta) = \rho(\vartheta)\cos(\vartheta) - \rho'(\vartheta)\sin(\vartheta)$ est continue, $\alpha(0) = \rho(0) = 1$ et $\lim_{\pi/4} \alpha = - \frac{\sqrt{2}}{2} \lim_{\pi/4} \rho' = +\infty$ car $\rho' = -\sin(2\vartheta)/\rho(\vartheta) = -\sqrt{\tan(2\vartheta)} \sqrt{\sin(2\vartheta)}$ ; l'intervalle $\alpha([0,\pi/4[)$ contient donc l'intervalle $[0, +\infty[$, et il existe par suite $\vartheta \in [0,\pi/4[$ tel que $x = \alpha(\vartheta)/2$.
\item L'ordonn\'ee $y$ de $\Omega$ v\'erifie par construction $y^2 = x^2 - \frac{1}{4} = (\alpha(\vartheta)/2)^2 - \frac{1}{4} = (\beta(\vartheta)/2)^2$ ;  comme $y \leqslant 0$, il nous reste \`a \'etablir l'in\'egalit\'e $\beta(\vartheta) \leqslant 0$. Cela d\'ecoule directement de l'identit\'e $\rho' \rho = -2\sin(2\vartheta)$, $$\beta(\vartheta) = \rho(\vartheta)\sin(\vartheta) + \rho'(\vartheta) \cos(\vartheta) = \rho(\vartheta)\cos(\vartheta)\left[\tan(\vartheta) - \tan(2\vartheta) \right] \leqslant 0$$ puisque $\vartheta \in [0,\pi/4[$ et $\rho \geqslant 0$. On a donc $y = \beta(\vartheta)/2$ et $\Omega$ est ainsi le centre du cercle $\C_{\M(\vartheta)}$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} Au final, il d\'ecoule de tout ce que l'on vient de dire que l'ensemble $\mathcal{E}$ est le r\'eunion de l'hyperbole $\mathcal{H}$ et de ses deux asymptotes : $$\mathcal{E} = \mathcal{H} \cup \mathcal{A}.$$


\end{document} 