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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation du CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Hiver 2008-09}
\end{flushleft}

\vspace{0.1cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\bfseries \scshape 6. G\'eom\'etrie diff\'erentielle (suite) $\&$ Coniques}
\end{center}

\vspace{0.6cm} \emph{Sauf mention expresse du contraire, tous les exercices ont pour cadre un plan affine euclidien $\Pi$, que l'on supposera orient\'e si cela est n\'ecessaire.}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 6.1. (Abscisse curviligne)} --- Soient $\Ir \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert et $\gamma : \Ir \rightarrow \Pi$ une courbe param\'etr\'ee de classe $\mathrm{C}^1$.

\begin{itemize}
\item[(i)] Soit $\varphi : \Ir \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction contin\^ument d\'erivable dont la d\'eriv\'ee ne s'annule pas. Soit $\J = \varphi(\Ir)$. Justifier qu'il existe une unique application $\lambda : \J \rightarrow \Pi$ de classe $\mathrm{C}^1$ telle que $\gamma  = \lambda \circ \varphi$, puis relier $||\gamma'(t)||$ et $||\lambda'(\varphi(t))||$.
\item[(ii)] On suppose maintenant que le premier vecteur d\'eriv\'e $\gamma'(t)$ ne s'annule pour aucun $t \in \Ir$. On fixe $t_0 \in \Ir$ et on consid\`ere la fonction $$\varphi : \Ir \rightarrow \mathbb{R}, \ \ t \mapsto \int_{t_0}^t ||\gamma'(u)|| {\rm d}u.$$ Que peut-on dire du param\'etrage $\lambda$ d\'efini en (i)? Cette fonction $\varphi$ est appel\'ee \emph{abscisse curviligne}.
\item[(iii)] Soient $t_0, t_1 \in \Ir$ distincts. On d\'esigne par $\Lr(t_0,t_1) > 0$ la longueur de l'arc de courbe $\gamma([t_0,t_1])$ et par ${\rm d}(\gamma(t_0),\gamma(t_1))$ la longueur du segment $[\gamma(t_0),\gamma(t_1)]$. D\'emontrer que le rapport $$\frac{\Lr(t_0,t_1)}{{\rm d}(\gamma(t_0),\gamma(t_1))}$$ tend vers $1$ lorsque $t_1$ tend vers $t_0$.
\item[(iv)] D\'eterminer l'abscisse curviligne de la courbe param\'etr\'ee $\gamma : \mathbb{R} \rightarrow \Pi$ d\'efinie par l'\'equation polaire $\rho = \cos(\vartheta) + 1$ dans un rep\`ere orthonorm\'e de $\Pi$. Quelle est la longueur de cette courbe?
\end{itemize}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 6.2. (Courbure)} --- Soit $\Ir \subset \mathbb{R}$ un intervalle ouvert et soit $\gamma : \Ir \rightarrow \Pi$ une courbe param\'etr\'ee de classe $\mathrm{C}^2$. On suppose que pour tout  $t_0 \in \Ir$, les deux premiers vecteurs d\'eriv\'es $\gamma'(t_0)$ et $\gamma''(t_0)$ au point $\gamma(t_0)$ sont lin\'eairement ind\'ependants.

On rappelle que le \emph{rep\`ere de Frenet} au point $\gamma(t_0)$ est le rep\`ere orthonorm\'e \emph{direct} $(\gamma(t_0) ; \mathbf{t}(t_0), \mathbf{n}(t_0))$, o\`u $\mathbf{t}(t_0)= \gamma'(t_0)/||\gamma'(t_0)||$ est le vecteur tangent unitaire ; le vecteur $\mathbf{n}(t_0)$, uniquement d\'etermin\'e par ces condition, est
le \emph{vecteur normal unitaire}.

\begin{itemize}
\item[(i)] Soit $t_0 \in \Ir$ et d\'esignons par $s : \Ir \rightarrow \mathbb{R}$ l'abscisse curviligne d'origine $t_0$. On pose $\lambda  = \gamma \circ s^{-1}$. D\'emontrer que l'on a $\mathbf{t}(t_0) = \lambda'(0)$ et prouver qu'il existe un nombre r\'eel $\kappa(t_0)$ tel que $$\lambda''(0) = \kappa(t_0) \mathbf{n}(t_0) \ \textrm{ et } \  \mathbf{n}'(t_0) = - \kappa(t_0) \mathbf{t}(t_0).$$ Le scalaire $\kappa(t_0) \in \mathbb{R}$ est la \emph{courbure alg\'ebrique} au point $\gamma(t_0) = \lambda(0)$ ; si $\kappa(t_0) \neq 0$, son inverse $\R(t_0) = \kappa(t_0)^{-1}$ est le \emph{rayon de courbure alg\'ebrique} en ce point.
\item[(ii)] Discuter la position de la courbe par rapport \`a sa tangente au point $\gamma(t_0)$ en fonction du signe de $\kappa(t_0)$.
\item[(iii)] D\'emontrer la formule $$\kappa(t) = \frac{{\rm det}(\gamma'(t),\gamma''(t))}{||\gamma'(t)||^3}$$ pour tout $t \in \Ir$, le d\'eterminant \'etant calcul\'e dans une base orthonorm\'ee.
\item[(iv)] Si le param\'etrage $\gamma$ est de la forme $(t, f(t))$ dans un rep\`ere orthonorm\'e direct de $\Pi$, d\'emontrer que l'on a $$\kappa(t) = \frac{f''(t)}{(1+f'(t)^2)^{3/2}}.$$
\item[(v)] D\'eterminer le rep\`ere de Frenet et la courbure en un point dans le cas d'un param\'etrage polaire $\gamma(\vartheta) = \Or + \rho(\vartheta)\mathbf{u}_{\vartheta}$.
\item[(vi)] Calculer la courbure en un point d'un cercle, d'une cyclo\"{\i}de et d'une spirale logarithmique. (cf. Exercices 5.6 et 5.9).
\end{itemize}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 6.3. (Coniques affines)} --- Soit $(\Or ; \mathbf{i}, \mathbf{j})$ un rep\`ere cart\'esien de $\Pi$, non n\'ecessairement orthonorm\'e. \'Etudier les courbes d\'efinies par les \'equations suivantes.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] $x^2 - 2xy + y^2 -3x + 3 =0$.
\item[(ii)] $x^2 - 2xy -y^2 + 4x = 0$.
\item[(iii)] $x^2+ 4xy + 15y^2 + x - y + 1 =0$.
\item[(iv)] $x^2-3xy+2y^2 + x - 2y =0$.

\end{itemize}

\vspace{0.6cm}
\noindent \textbf{Exercice 6.4. (D\'efinition focale des coniques)} ---  1. Soient $\F$ un point de $\Pi$ (\emph{foyer}), $\Delta$ une droite ne passant pas par $\F$ (\emph{directrice}) et $e$ un nombre r\'eel strictement positif (\emph{excentricit\'e}). On d\'esigne par $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $\M$ du plan tels que ${\rm d}(\M,\F) = e {\rm d}(\M,\Delta)$.

En choisissant un rep\`ere orthonorm\'e ad\'equat, d\'emontrer que $\mathcal{C}$ est une \emph{ellipse} si $e < 1$, une \emph{parabole} si $e = 1$, une \emph{hyperbole} si $e > 1$.

\vspace{0.1cm} 2. Soit $(\Or; \mathbf{i}, \mathbf{j})$ un rep\`ere orthonorm\'e de $\Pi$. Pour chacune des courbes suivantes, d\'emontrer qu'il existe un foyer, une directrice et une excentricit\'e permettant de la d\'efinir. On discutera l'\'eventuelle unicit\'e de ces \'el\'ements.
\begin{itemize}
\item[(i)] La parabole $\mathcal{P}$ d'\'equation $x^2  = 2py$.
\item[(ii)] L'ellipse $\mathcal{E}$ d'\'equation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ avec $0 < b < a$.
\item[(iii)] L'hyperbole $\mathcal{H}$ d'\'equation $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ avec $a, b >0$.
\end{itemize}

\vspace{0.1cm} 3. (\emph{\'Equation polaire}) On reprend les notations de la question 1 et on consid\`ere le rep\`ere orthonorm\'e $(\F ; \mathbf{i}, \mathbf{j})$ avec $\mathbf{i}$ normal \`a $\Delta$ et $\mathbf{j}$ dirigeant $\Delta$ ; on choisit $\mathbf{i}$ de sorte que $\Delta$ soit la droite d'\'equation $x = a$ avec $a > 0$.
\begin{itemize}
\item[(i)] D\'emontrer que $\mathcal{C}$ est la courbe d'\'equation polaire $\rho(\vartheta) = \frac{e x_0}{1 + e \cos (\vartheta)}$.
\item[(ii)] Que se passe-t-il lorsqu'on fait tendre $e$ vers $0$?
\item[(iii)] Soit $\mathcal{C}'$ une courbe d'\'equation polaire $\rho = \frac{1}{\alpha + \beta \cos (\vartheta) + \gamma \sin(\vartheta)}$ avec $\alpha \neq 0$. D\'emontrer qu'il s'agit d'une conique de foyer l'origine.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 6.5.} --- On munit $\Pi$ d'un rep\`ere orthonorm\'e $(\Or ; \mathbf{i}, \mathbf{j})$. Soit $\rP \in \mathbb{R}[\X]$ un polyn\^ome de degr\'e $3$ et soit $\mathcal{C}_{\rP} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ \rP(x) = \rP(y)\}.$

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[(i)] Exhiber un axe de sym\'etrie de $\mathcal{C}_{\rP}$.
\item[(ii)] Donner une condition n\'ecessaire et suffisante sur le polyn\^ome $\rP$ pour que $\mathcal{C}_{\rP}$ soit une droite.
\item[(iii)] Supposons que $\mathcal{C}_{\rP}$ ne soit pas une droite. D\'emontrer qu'alors $\mathcal{C}_{\rP}$ est la r\'eunion d'une droite et d'une ellipse, puis calculer l'excentricit\'e de cette derni\`ere.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 6.6.  (Paraboles)} --- 1. Soit $\mathcal{P}$ une parabole. D\'emontrer que $\mathcal{P}$ admet un param\'etrage de la forme $(t,at^2)$ avec $a \neq 0$ dans un rep\`ere orthonorm\'e convenable. En d\'eduire l'existence d'une tangente en tout point de $\mathcal{P}$.

\vspace{0.1cm} 2. Soit $\mathcal{P}$ une parabole de directrice $\Delta$. En utilisant un rep\`ere orthonorm\'e ad\'equat, d\'emontrer que la tangente \`a $\mathcal{P}$ en un point $\M$ est la bissectrice int\'erieure des demi-droites $[\M\F)$ et $[\M\Hr)$, o\`u $\Hr$ d\'esigne le projet\'e orthogonal de $\M$ sur $\Delta$. En d\'eduire une construction g\'eom\'etrique de la tangente \`a $\mathcal{P}$ en un point.

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 6.7. (Ellipses)} --- 1. (\emph{D\'efinition bifocale}). Soient $\F$ et $\F'$ deux points distincts et soit $a$ un nombre r\'eel strictement positif tel que $2a > \F\F'$. D\'emontrer que l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $\M$ du plan tels que $\M\F + \M\F' = 2a$ est une ellipse de foyers $\F$ et $\F'$. Que se passe-t-il si $2a \leqslant \F\F'$?

\vspace{0.1cm} 2. R\'eciproquement, si $\mathcal{E}$ est une ellipse de foyers $\F$ et $\F'$, d\'emontrer qu'il existe un nombre r\'eel $a > \F\F'/2$ tel que $$\mathcal{E} = \{\M \in \Pi \ | \ \M\F + \M\F' = 2a\}.$$

\vspace{0.1cm} 3. Soit $\mathcal{E}$ une ellipse. D\'emontrer que $\mathcal{E}$ admet un param\'etrage de la forme $(a \cos(t), b \sin (t))$ avec $a, b > 0$ dans un rep\`ere orthonorm\'e ad\'equat, puis en d\'eduire l'existence d'une tangente \`a $\mathcal{E}$ en tout point.

\vspace{0.1cm} 4. Soit $\mathcal{E}$ une ellipse de foyers $\F$ et $\F'$. Quel que soit le point $\M \in \mathcal{E}$, d\'emontrer que la tangente \`a $\mathcal{E}$ en $\M$ est la bissectrice ext\'erieure des demi-droites $[\M\F)$ et $[\M\F')$. En d\'eduire la propri\'et\'e optique suivante : si un miroir $\Sigma$ est une portion de la surface obtenue en faisant tourner $\mathcal{E}$ autour de l'axe $(\F\F')$, alors $\Sigma$ r\'efl\'echit tous les rayons passant par $\F$ en des rayons passant par $\F'$.

\vspace{0.1cm} 5. (\emph{Construction des tangentes \`a une ellipse passant par un point}) Soit $\mathcal{E}$ une ellipse de foyers $\F$ et $\F'$ et soit $\rP$ un point du plan. Si $\Delta$ est une droite passant par $\rP$ et tangente \`a $\mathcal{E}$, d\'emontrer que le sym\'etrique de $\F$ par rapport \`a $\Delta$ appartient au cercle de centre $\rP$ et de rayon $\rP \F$, ainsi qu'au cercle de centre $\F'$ et de rayon $2a$, o\`u $a$ est le nombre r\'eel strictement positif tel que $\mathcal{E} = \{\M \in \Pi \ | \ \M\F + \M\F' = 2a\}$. En d\'eduire le nombre de tangentes \`a $\mathcal{E}$ passant par $\rP$, ainsi qu'une m\'ethode de construction.

\vspace{0.6cm}

\noindent \textbf{Exercice 6.8. (Hyperboles)} --- 1. (\emph{D\'efinition bifocale}). Soient $\F$ et $\F'$ deux points distincts et soit $a$ un nombre r\'eel strictement positif tel que $\F\F' > 2a$. D\'emontrer que l'ensemble $\mathcal{H}$ des points $\M$ du plan tels que $|\M\F - \M\F'| = 2a$ est une hyperbole de foyers $\F$ et $\F'$. Que se passe-t-il si $\F\F' \leqslant 2a$?

\vspace{0.1cm} 2. R\'eciproquement, si $\mathcal{H}$ est une hyperbole de foyers $\F$ et $\F'$, d\'emontrer qu'il existe un nombre r\'eel strictement positif $a < \F\F'/2$ tel que $$\mathcal{H} = \{\M \in \Pi \ | \ |\M\F - \M\F'| = 2a\}.$$

\vspace{0.1cm} 3. Soit $\mathcal{H}$ une hyperbole. D\'emontrer que $\mathcal{H}$ admet un param\'etrage de la forme $(a {\rm ch} (t), b {\rm sh}(t))$ avec $a, b > 0$ dans un rep\`ere orthonorm\'e ad\'equat, puis en d\'eduire l'existence d'une tangente \`a $\mathcal{H}$ en tout point.

\vspace{0.1cm} 4. Soit $\mathcal{H}$ une hyperbole de foyers $\F$ et $\F'$. Quel que soit le point  $\M \in \mathcal{H}$, d\'emontrer que la tangente \`a $\mathcal{H}$ en $\M$ est la bissectrice int\'erieure des demi-droites $[\M\F)$ et $[\M\F')$. En d\'eduire la propri\'et\'e optique suivante : si un miroir $\Sigma$ est une portion
 de la surface obtenue en faisant tourner $\mathcal{H}$ autour de l'axe $(\F\F')$, alors $\Sigma$ r\'efl\'echit tous les rayons passant par $\F$ en des rayons passant (virtuellement) par $\F'$.

\vspace{0.1cm} 5. (\emph{Construction des tangentes \`a une hyperbole passant par un point}) Soit $\mathcal{H}$ une hyperbole de foyers $\F$ et $\F'$ et soit $\rP$ un point du plan. Si $\Delta$ est une droite passant par $\rP$ et tangente \`a $\mathcal{H}$, d\'emontrer que le sym\'etrique de $\F$ par rapport \`a $\Delta$ appartient au cercle de centre $\rP$ et de rayon $\rP \F$, ainsi qu'au cercle de centre $\F'$ et de rayon $2a$, o\`u $a$ est le nombre r\'eel strictement positif tel que $\mathcal{E} = \{\M \in \Pi \ | \ |\M\F - \M\F'| = 2a\}$. En d\'eduire le nombre de tangentes \`a $\mathcal{H}$ passant par $\rP$, ainsi qu'une m\'ethode de construction.

\end{document}
