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\begin{document}
\begin{flushleft} \textbf{Universit\'e de Lyon} \hfill \textbf{Pr\'eparation au CAPES}\\
\textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1} \hfill \textbf{Automne 2008}
\end{flushleft}

\hrule

\vspace{0.8cm} \begin{center} {\scshape {\bfseries CAPES de math\'ematiques}} \\
-------------
\end{center}


\vspace{0.3cm} \begin{center} {\scshape {\bfseries Concours externe - session de 1988}} \\
-------------
\end{center}

\vspace{0.3cm} \begin{center} {\scshape {\bfseries Deuxi\`eme composition de math\'ematiques}} \\
-------------
\end{center}

\vspace{0.8cm}
\begin{center} \textbf{Notations et objectifs du probl\`eme}
\end{center}

\vspace{0.4cm} On d\'esigne par $\mathcal{C}_n$ l'espace des configurations $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ constitu\'ees de $n$ points, distincts ou non, du plan euclidien orient\'e. Dans tout le probl\`eme, $n$ est un entier sup\'erieur ou \'egal \`a $3$. Lorsque les points $\A_1, \A_2, \ldots, \A_n$ ne sont pas align\'es on dit que $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ est un \emph{polygone} ; dans le cas contraire, on dit que la configuration $\rP$ est \emph{aplatie}. L'ensemble des polygones, \'el\'ements de $\mathcal{C}_n$, est not\'e $\mathcal{P}_n$ ; en particulier l'ensemble des \emph{triangles} est not\'e $\mathcal{P}_3$, l'ensemble des \emph{quadrilat\`eres} est not\'e $\mathcal{P}_4$. On dit qu'un polygone $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ est \emph{r\'egulier} s'il existe une rotation $r$ telle que $r(\A_j) = \A_{j+1}$ si $1 \leqslant j \leqslant n-1$ et $r(\A_n) = \A_1$. On sait qu'une telle rotation est unique, qu'une mesure de son angle est de la forme $\frac{2k\pi}{n}$ o\`u $1 \leqslant k \leqslant n-1$ ; son centre est appel\'e centre de $\rP$.

\vspace{0.1cm}
Le choix d'une origine $\Or$ et d'une base orthonorm\'ee directe permet d'identifier le plan \`a l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes en associant \`a tout point $\A$ de coordonn\'ees $(x,y)$ son affixe $z = x + i y$. \`A toute configuration $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ est ainsi associ\'e bijectivement un \'el\'ement $u = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$ de $\mathbb{C}^n$ qu'on appellera affixe de $\rP$ ; inversement, on dira que $\rP$ est l'image de $u$. On d\'esigne par $d$ l'op\'erateur de \emph{d\'ecalage} qui, \`a toute configuration $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ associe la configuration $d(\rP) = (\A_2,\A_3, \ldots, \A_n, \A_1)$ et par $m$ l'op\'erateur de \emph{passage aux milieux} qui \`a $\rP=(\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ associe $(\B_1, \B_2, \ldots, \B_n)$ o\`u, pour tout \'el\'ement $k$ de $\{1, \ldots, n-1\}$, $\B_k$ est le milieu du segment $[A_k,\A_{k+1}]$ et o\`u $\B_n$ est le milieu du segment $[A_n,\A_1]$.

\vspace{0.1cm}
Dans toute la suite on note $\D$ et $\M$ les endomorphismes du $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}^n$ d\'efinis par les relations : $$\D(z_1, \ldots, z_n) = (z_2, z_3, \ldots, z_n, z_1), \  \ \hspace{1cm} \ \M = \frac{1}{2}(\I + \D),$$
o\`u $\I$ d\'esigne l'application identique de $\mathbb{C}^n$. Dans ces conditions, pour toute configuration $\rP$ d'affixe $u$, les configurations $d(\rP)$ et $m(\rP)$ admettent pour affixes respectives $\D(u)$ et $\M(u)$.

\vspace{0.4cm} \emph{L'objectif de ce probl\`eme est d'\'etudier l'op\'eration $m$ de passage aux milieux. Dans la partie I, on examine l'effet du passage aux milieux sur la barycentration, ainsi que la comparatibilit\'e avec les similitudes. La partie II est consacr\'ee aux propri\'et\'es du passage aux milieux dans le cas des polygones r\'eguliers, qui jouent un r\^ole fondamental pour l'ensemble du probl\`eme. Dans la partie III, on \'etudie la bijectivit\'e du passage aux milieux. Enfin, dans la partie IV, on caract\'erise les polygones dont la forme est stable par passage aux milieux.}

\newpage
\begin{center}
\textbf{I. Effet de la barycentration et compatibilit\'e avec les similitudes du plan}
\end{center}

\vspace{0.2cm} Pour toute transformation affine (bijective) $t$ du plan et pour toute configuration $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ on note $t(\rP)$ la configuration $(\A_1', \A_2', \ldots, \A_n')$ constitu\'ee des points $\A_j' = t(\A_j)$.

\vspace{0.3cm} \noindent 1. \textsc{Isobarycentre de $m(\rP)$ ; compatibilit\'e avec les translations.}

\vspace{0.1cm} Soient $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ une configuration et $\G$ l'isobarycentre de $\rP$, d\'efini par la relation : $$\overrightarrow{\G\A_1}+ \overrightarrow{\G\A_2} + \ldots + \overrightarrow{\G\A_n} = 0.$$

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] D\'eterminer l'isobarycentre de $m(\rP)$.

\vspace{0.1cm}
\item[b.] Soit $t$ une translation du plan. Comparer $m(t\rP)$ et $tm(\rP)$. D\'eterminer l'isobarycentre de $m(t\rP)$.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent 2. \textsc{Interpr\'etation dans $\mathbb{C}^n$}

\vspace{0.1cm} On note $e_0$ l'\'el\'ement de $\mathbb{C}^n$ d\'efini par la relation $e_0 = (1, 1, \ldots, 1)$ et $\Hr$ l'hyperplan de $\mathbb{C}^n$ d'\'equation :
$$z_1 + z_2 + \ldots +z_n = 0.$$

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] Montrer que $\mathbb{C}^n = \mathbb{C}e_0 \oplus \Hr$ et expliciter les projecteurs associ\'es \`a cette d\'ecomposition en somme directe. Montrer que les sous-espaces vectoriels $\mathbb{C}e_0$ et $\Hr$ sont stables par l'endomorphisme $\M$.

\vspace{0.1cm}
\item[b.] Soit $\rP$ une configuration d'affixe $u = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$. D\'eterminer l'affixe $\lambda$ de l'isobarycentre $\G$ de $\rP$. Caract\'eriser g\'eom\'etriquement les configurations $\rP$ telles que $u \in \Hr$ et celles qui v\'erifient la relation $u = \alpha e_0$, o\`u $\alpha \in \mathbb{C}$.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent 3. \textsc{Compatibilit\'e avec les similitudes.}

\vspace{0.1cm} Soit $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots,\A_n)$ une configuration d'affixe $u = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$. On note $\overline{\rP}$ la configuration d'affixe $\overline{u} = (\overline{z_1},\overline{z_2}, \ldots, \overline{z_n})$ et, pour tout nombre complexe $a$, on note $a\rP$ la configuration d'affixe $au = (az_1, az_2, \ldots, az_n)$.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] Par quelles transformations g\'eom\'etriques simples du plan $\overline{\rP}$ et $a\overline{\rP}$ se d\'eduisent-elles de $\rP$?

\vspace{0.1cm}
\item[b.] Comparer $m(\overline{\rP})$ et $\overline{m(\rP)}$, ainsi que $m(a\rP)$ et $am(\rP)$.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \begin{center} \textbf{II. Polygone des milieux d'un polygone r\'egulier et simlitudes directes}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
Dans toute la suite du probl\`eme, on note $\omega$ la racine $n$-i\`eme de l'unit\'e d\'efinie par la relation $\omega = {\rm exp}\left(\frac{2i\pi}{n}\right).$ Pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n-1$, on note $\R_k$ la configuration ayant pour affixe : $$e_k  = (1, \omega^k, \omega^{2k}, \ldots, \omega^{(n-1)k}).$$

\vspace{0.3cm} \noindent \textsc{1. Interpr\'etation dans $\mathbb{C}^n$ des polygones r\'eguliers.}

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] Prouver que, si $k \neq 0$ et $2k \neq n$, $\R_k$ est un polygone r\'egulier de centre $\Or$. D\'eterminer l'isobarycentre de $\R_k$. Quelle est la nature de $\R_0$, et de $\R_k$ lorsque $2k = n$?

\vspace{0.1cm}
\item[b.] Inversement, montrer que pour tout polygone r\'egulier $\rP = (\A_1, \A_2,\ldots, \A_n)$ de centre $\Or$, il existe un entier $k$ tel que $1 \leqslant k \leqslant n-1$ et $2k \neq n$, et une similitude directe $s$, de centre $\Or$, tels que $\rP = s\R_k$. D\'eterminer l'isobarycentre de $\rP$.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textsc{2. Polygone des milieux d'un polygone r\'egulier.}

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] Pour tout entier $k$ tel que $0 \leqslant k \leqslant n-1$, calculer $D(e_k)$ et $M(e_k)$.

\vspace{0.1cm}
\item[b.] En d\'eduire que les endomorphismes $\D$ et $\M$ sont diagonalisables et d\'eterminer leurs valeurs propres.

\vspace{0.1cm}
\item[c.] Prouver que, si $2k \neq n$, $m(\R_k)$ se d\'eduit de $\R_k$ par une similitude directe de centre $\Or$ dont on pr\'ecisera la rapport $\rho_k$ et une mesure $\vartheta_k$ de l'angle.

\vspace{0.1cm}
\item[d.] En d\'eduire que la configuration des milieux $\Qr = m(\rP)$ d'un polygone r\'egulier $\rP$ est encore un polygone r\'egulier et indiquer comment $\Qr$ se d\'eduit de $\rP$.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textsc{3. Caract\'erisation des polygones $\rP$ dont le polygone des milieux est directement semblable \`a $\rP$.}

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] Soit $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ un polygone dont l'isobarycentre est $\Or$, d'affixe $u$.
Montrer que $m(\rP)$ est directement semblable \`a $\rP$ si et seulement si $u$ est vecteur propre de $\M$. En d\'eduire que $\rP$ est de la forme $\rP = a\R_k$, o\`u $0 < k \leqslant n-1$, $2k \neq n$, et o\`u $a$ est un nombre complexe non nul.

\vspace{0.1cm}
\item[b.] D\'eterminer les polygones $\rP$ tels que $m(\rP)$ soit directement semblable \`a $\rP$.
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \begin{center} \textbf{III. Bijectivit\'e du passage aux milieux.}
\end{center}

\vspace{0.3cm} \noindent \textsc{1. Cas des triangles.}
\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] Soient $\rP = (\A_1, \A_2, \A_3)$ un triangle et $\G$ son isobarycentre. Construire un triangle $m(\rP) = (\B_1, \B_2, \B_3)$. Prouver que $dm(\rP)$ se d\'eduit de $\rP$ par une homoth\'etie $h$ de centre $\G$ dont on indiquera le rapport $\lambda$. 

\vspace{0.1cm}
\item[b.] En d\'eduire que $m$ induit une bijection de $\mathcal{P}_3$. \'Etant donn\'e un triangle $\Qr = (\B_1, \B_2, \B_3)$ indiquer une construction g\'eom\'etrique de l'unique triangle $\rP = (\A_1, \A_2, \A_3)$ tel que $m(\rP) = \Qr$.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textsc{2. Cas des quadralit\`eres.}

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] Soient $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ une configuration, $\G$ son isobarycentre et $m(\rP) = (\B_1, \B_2, \B_3, \B_4)$. Prouver que $\overrightarrow{\A_1\A_3} = 2\overrightarrow{\B_1\B_2} = 2\overrightarrow{\B_4\B_3}$ ; ainsi $(\B_1, \B_2, \B_3, \B_4)$ est un parall\'elogramme (\'eventuellement aplati) dont on indiquera le centre de sym\'etrie. Placer $\rP$ et $m(\rP)$ sur une m\^eme figure.

\vspace{0.1cm}
\item[b.] Inversement, soient $\Qr = (\B_1, \B_2,\B_3,\B_4)$ un parall\'elogramme et $s_1, s_2, s_3, s_4$ les sym\'etries centrales par rapport \`a chacun des sommets. Calculer $s_2 \circ s_1$ et $s_4 \circ s_3$ et montrer que $s_4 \circ s_3 \circ s_2 \circ s_1$ est l'identit\'e du plan. En d\'eduire que pour tout point $\A_1$ du plan il existe une configuration $\rP = (\A_1, \A_2, \A_3, \A_4)$ et une seule telle que $m(\rP) = \Qr$ et indiquer une construction g\'eom\'etrique des points $\A_2, \A_3, \A_4$.

\vspace{0.1cm}
\item[c.] \emph{Exemple o\`u} $\Qr$ \emph{est aplati et o\`u} $\rP$ \emph{ne l'est pas}. On se donne les points $\B_1, \B_2, \B_3, \B_4$ par leurs coordonn\'ees $(-3,0), (1,0), (3,0), (-1, 0)$. Construire $\rP$ sachant que $\A_1$ a pour coordonn\'ees $(-4,1)$.

\vspace{0.1cm}
\item[d.] \emph{Exemple o\`u} $\Qr$ \emph{est non aplati et o\`u les sommets de} $\rP$ \emph{ne sont pas distincts deux \`a deux}. \'Etant donn\'e un parall\'elogramme non aplati $\Qr$, d\'eterminer une configuration $\rP = (\A_1,\A_2,\A_3, \A_4)$ telle que $m(\rP) = \Qr$ et que $\A_1 = \A_2$. Peut-il arriver que $\A_1 = \A_3$?

\vspace{0.1cm}
\item[e.] Prouver que $m$ induit une bijection de l'ensemble des parall\'elogrammes sur lui-m\^eme. \`A cet effet, on pourra d'abord montrer qu'\'etant donn\'e un parall\'elogramme $\rP = (\A_1, \A_2, \A_3,\A_4)$ d'isobarycentre $\G$ et $m(\rP) = (\B_1, \B_2,\B_3, \B_4)$, alors $\overrightarrow{\G\A_1} = \overrightarrow{\B_2\B_1}$.
\end{itemize}

\newpage \noindent \textsc{3. Bijectivit\'e du passage au milieu dans le cas o\`u $n$ est impair.}

\vspace{0.1cm} On \'ecrit $n$ sous la forme $n = 2p +1$ o\`u $p \geqslant 1$.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] D\'eterminer le  noyau de l'endomorphisme $\M_0$ de $\Hr$ induit par $\M$.

\vspace{0.1cm}
\item[b.] En d\'eduire que $m$ est une bijection de $\mathcal{C}_n$. Prouver que $m$ induit une bijection de $\mathcal{P}_n$.

\vspace{0.1cm}
\item[c.] Soient $\Qr = (\B_1, \B_2, \ldots, \B_{2p+1})$ une configuration d'affixe $v = (b_1, b_2, \ldots, b_{2p+1})$ et d'isobarycentre $\Or$, $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_{2p+1})$ l'unique configuration telle que $m(\rP)= \Qr$ et $u = (z_1,z_2, \ldots, z_{2p+1})$ l'affixe de $\rP$. \'Ecrire le syst\`eme lin\'eaire traduisant l'\'equation $m(\rP) = \Qr$. Prouver que \begin{equation} z_1 = b_1 - b_2 + b_3 - b_4 + \ldots + b_{2p+1}.\end{equation}
    Indiquer un algorithme permettant de construire g\'eom\'etriquement $\A_1$, puis $\rP$, connaissant $\Qr$.

\vspace{0.1cm}
\item[d.] \emph{Expression de l'inverse de $\M$.} Soit $\D_0$ l'endomorphisme de $\Hr$ induit par $\D$. Calculer $(\I + \D_0)(\I - \D_0 + \D_0^2 + \ldots + \D_0^{2p})$. En d\'eduire $\M_0^{-1}$ en fonction de $\D_0$. Retrouver ainsi la formule (1).
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textsc{4. Bijectivit\'e du passage aux milieux dans le cas o\`u $n$ est pair.}

\vspace{0.1cm} On \'ecrit $n$ sous la forme $n = 2p$ o\`u $p \geqslant 2$ ; dans ces conditions $e_p = (1, -1, 1, -1, \ldots, 1, -1)$. On note $\F$ l'hyperplan de $\mathbb{C}^n$ d'\'equation : $$z_1 - z_2 + z_3 - z_4 + \ldots + z_{2p-1} - z_{2p} = 0.$$

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] D\'eterminer le noyau de l'endomorphisme $\M_0$ induit par $\M$ sur $\Hr$. Montrer que $\M_0$ stabilise $\F \cap \Hr$ et induit un automorphisme $\M_{00}$ de $\F \cap \Hr$ ; en d\'eduire l'image de $\M_0$.

\vspace{0.1cm}
\item[b.] Soit $\Qr = (\B_1, \B_2, \ldots, \B_{2p})$ une configuration d'affixe $v = (b_1, b_2, \ldots, b_{2p})$ et d'isobarycentre $\G$. Montrer que $r$ appartient \`a $\F$ si et seulement si les isobarycentres de $(\B_1, \B_3, \ldots, \B_{2p-1})$ et de $(\B_2, \B_4, \ldots, \B_{2p})$ co\"{\i}ncident avec $\G$. On note $\mathcal{E}_{2p}$ l'ensemble des configurations satisfaisant \`a cette propri\'et\'e.

\vspace{0.1cm}
\item[c.] Prouver que, pour toute configuration $\Qr = (\B_1, \B_2, \ldots, \B_{2p})$ de $\mathcal{E}_{2p}$ et pour tout point $\A_1$ du plan, il existe une configuration $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_{2p})$ et une seule telle que $m(\rP) = \Qr$.
    Montrer que $m$ induit une bijection de $\mathcal{E}_{2p}$ sur lui-m\^eme et que si $\rP$ est un polygone appartenant \`a $\mathcal{E}_{2p}$, $m(\rP)$ en est encore un.

\vspace{0.1cm}
\item[d.] \emph{Expression de l'inverse de $\M_{00}$}. Montrer que le polyn\^ome $\X^{2p} - 1$ est divisible par $\X^2 - 1$. Soit $\V$ le quotient. Montrer qu'il existe un polyn\^ome $\A$ de degr\'e $2p-3$ et une constante $\B$ tels que $\A(1-\X) - \B\V = 1$. Calculer $\B$ puis $\A$. Soit $\D_{00}$ l'endomorphisme de $\F \cap \Hr$ induit par $\D$. Prouver que $\V(\D_{00}) = 0$ ; en d\'eduire $\M_{00}^{-1}$ en fonction de $\D_{00}$.
    
\end{itemize}

\vspace{0.6cm} \begin{center} \textbf{IV. Caract\'erisation des polygones dont la forme est stable par passage aux milieux.}
\end{center}

\vspace{0.1cm} On munit l'espace vectoriel $\mathbb{C}^n$ du produit hermitien d\'efini par : $$(u|u') = \frac{1}{n}(\overline{z_1}z_1' + \overline{z_2}z_2' + \ldots + \overline{z_n}z_n').$$
On note $u \mapsto ||u||$ la norme hermitienne associ\'ee.

\vspace{0.3cm} \noindent \textsc{1. D\'ecomposition canonique de $\mathbb{C}^n$.}

\vspace{0.1cm} 
\begin{itemize}
\item[a.] Montrer que la base $(e_0, e_1, \ldots, e_{n-1})$ est orthonormale.

\vspace{0.1cm}
\item[b.] Comparer $e_{n-k}$ et $\overline{e_k}$ ; calculer $\D(\overline{e_k})$ et $\M(\overline{e_k})$.

\vspace{0.1cm}
\item[c.] Pour tout entier $k$ tel que $1 \leqslant k < \frac{n}{2}$, on note $\E_k$ le plan vectoriel de $\mathbb{C}^n$ engendr\'e par $e_k$ et $\overline{e_k}$, on note $\E$ la somme des sous-espaces $\E_k$. Montrer que $\E$ est somme directe orthogonale des plans $\E_k$. Prouver enfin que $\E = \Hr$ si $n$ est impair et $\E = \F \cap \Hr$ si $n$ est pair.

\vspace{0.1cm}
\item[d.] Prouver que, pour tout $k$, les endomorphismes $\D$ et $\M$ stabilisent $\E_k$, et que, pour tout \'el\'ement $v$ de $\E_k$, $$||\M(v)|| = \rho_k ||v||.$$ 
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textsc{2. Interpr\'etation complexe des transformations affines du plan fixant $\Or$.}

\vspace{0.1cm} Soit $t$ une application du plan dans lui-m\^eme fixant $\Or$, et $\T$ l'application de $\mathbb{C}$ dans lui-m\^eme qui \`a tout nombre complexe $z = x + i y$ d'image $\A$ associe l'affixe $z' = x' + iy'$ de $\A' = t(\A)$.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] Prouver que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes : 
\begin{itemize}
\item  l'application $\T$ est un endomorphisme du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$ (autrement dit $t$ est affine) ;
\item il existe des nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $$\T(z) = az + b\overline{z}.$$
\end{itemize}
On explicitera $a$ et $b$ en fonction des coefficients de la matrice associ\'ee \`a $\T$ dans la base $(1,i)$.

\vspace{0.1cm}
\item[b.] Dans ces conditions, montrer que $\T$ est un automorphisme si et seulement si $|a| \neq |b|$.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm} \noindent \textsc{3. Stabilit\'e des polygones affines des polygones r\'eguliers.}

\vspace{0.1cm} On note $\mathcal{A}_n$ l'ensemble des \'el\'ements $\rP$ de $\mathcal{P}_n$ de la forme $\rP = \tau \R$ o\`u $\R$ est un polygone r\'egulier et $\tau$ est une transformation affine du plan. \'Etant donn\'es un endomorphisme $\T$ du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$ et un \'el\'ement $u = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$ de $\mathbb{C}^n$, on pose $\T(u) = (\T(z_1), \T(z_2), \ldots, \T(z_n))$. Enfin, pour tout entier $k$ tel que $1 \leqslant k < \frac{n}{2}$, on note $\Sr_k$ la similitude directe du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$ telle que $\Sr(e_k) = \M(e_k)$.

\vspace{0.1cm}
\begin{itemize}
\item[a.] Soit $\rP = (\A_1, \A_2, \ldots, \A_n)$ une configuration d'affixe $u = (z_1, z_2,\ldots, z_n)$ et d'isobarycentre $\Or$. Montrer qu'il est \'equivalent de dire : \begin{itemize}
    \item $\rP$ est un \'el\'ement de $\mathcal{A}_n$;
    \item il existe un entier $k$, o\`u $1 \leqslant k < \frac{n}{2}$, et des nombres complexes $\alpha$ et $\beta$ tels que : $$u = \alpha e_k + \beta \overline{e_k} \ \ \textrm{et} \ \ |\alpha| \neq |\beta|.$$
    \end{itemize}

\vspace{0.1cm}
\item[b.] \'Etant donn\'e un entier $k$ tel que $1 \leqslant k < \frac{n}{2}$, montrer que pour tout \'el\'ement $u_k$ de $\E_k$, il existe un endomorphisme $\W_k$ de $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$ \emph{et un seul} tel que $u_k = \W_k(e_k)$.

\vspace{0.1cm}
\item[c.] Prouver que pour tout \'el\'ement $\rP$ de $\mathcal{A}_n$, $\Qr = m(\rP)$ appartient encore \`a $\mathcal{A}_n$, et qu'il existe une transformation affine $t$ du plan et une seule telle que $t\rP = m(\rP)$.
    
    \vspace{0.1cm}
\item[d.] Inversement, soit $\rP$ un polygone d'affixe $u$ admettant $\Or$ pour isobarycentre et tel que $m(\rP) = t\rP$ o\`u $t$ est une transformation affine. Soit $\T$ l'endomorphisme du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$ associ\'e \`a $t$. Prouver d'abord que $u$ appartient \`a $\E$. Montrer qu'il existe un entier $k$ tel que $u$ appartienne \`a $\E_k$. \`A cet effet, on \'ecrira $u$ sous la forme $u = \Sigma \W_k(e_k)$, o\`u $1 \leqslant k < \frac{n}{2}$, et on montrera que, pour tout $k$, $\W_k \Sr_k = \T \W_k$. On en d\'eduira que si $\W_j \neq 0$, $\W_j$ est un automorphisme et on comparera les d\'eterminants de $\T$ et de $\Sr_j$.

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\item[e.] Prouver finalement que les \'el\'ements de $\mathcal{A}_n$ sont les seuls polygones $\rP$ dont le polygone des milieux se d\'eduit de $\rP$ par une transformation affine.    
\end{itemize}

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\end{document}
