Marc Burger (ETH Zürich)

"Stabilité de Ulam"

Dans son livre paru en 1960 "A collection of mathematical problems", Stanislaw Ulam pose le problème de la stabilité de la notion d'homomorphisme de groupe f de G dans H, lorsqu'on remplace la condition f(xy)=f(x).f(y) par celle d'uniforme c-proximité de f(xy) et f(x).f(y) pour une distance invariante sur H. Dans cet exposé nous nous intéresserons au cas où H est le groupe des opérateurs unitaires d'un espace de Hilbert V, de dimension finie ou non. Pour tout espace de Hilbert V on a le théorème de Kazhdan qui dit que pour un groupe moyennable toute c-représentation est 10c proche d'une vraie représentation unitaire; nous montrons que cette propriété est mise  en defaut lorsque G contient un groupe libre non-abélien. Nous montrons ensuite que lorsque V est de dimension finie, l'analogue du théorème de Kazhdan vaut pour tous les groupes SL(n,Z) lorsque n est au moins trois. Ces résultats et d'autres font l'objet d'un travail en commun avec A. Thom et N. Ozawa.