Titre : Géométrie des complexes cubiques CAT(0)

Orateur : Frédéric Haglund

Résumé :

Les complexes cubiques CAT(0) ont été introduits par M. Gromov à la fin des années 1980, comme une source d'exemples d'espaces géométriques combinatoires ayant des propriétés de courbure $\le 0$ (ou $\le -1$). Le sujet a depuis connu un grand développement (notamment grâce aux travaux de M. Sageev, G. Niblo, D. Wise...).

Nous présenterons d'abord diverses propriétés géométriques de ces complexes. Nous décrirons aussi plusieurs contextes dans lesquels apparaissent naturellement des complexes cubiques CAT(0) : espaces "à murs", sous-groupes "de codimension 1" dans un groupe, mais aussi groupes de diagramme etc... Nous mentionnerons au passage l'intéressante classe des espaces métriques médians, qui sont aux complexes cubiques CAT(0) ce que les arbres réels sont aux arbres simpliciaux.

Ensuite nous donnerons quelques propriétés des groupes agissant sur les complexes cubiques CAT(0). Nous insisterons en particulier sur les actions "spéciales" (introduites avec D. Wise), dont l'intérêt réside dans le résultat suivant : les groupes cubiques spéciaux (i.e. agissant discrètement cocompactement et spécialement sur un complexe cubique CAT(0)) sont linéaires sur les entiers, se surjectent virtuellement sur les entiers, et tous leurs sous-groupes quasi-convexes sont fermés dans la topologie profinie. Nous conclurons en montrant que certains groupes très familiers sont cubiques spéciaux.