Chloé Perin (Université de Strasbourg)

"Logique du premier ordre sur les groupes libres"

On s'intéresse aux propriétés d'un groupe qui s'expriment par des formules du premier ordre. Les formules du premier ordre sont des énoncés mathématiques particulièrement simples auxquels on peut penser comme à des équations généralisées. Sela et Kharlampovich-Myasnikov ont montré que les groupes libres non abéliens satisfont tous les mêmes propriétés du premier ordre (problème de Tarski), c'est-à-dire que la logique du premier ordre ne permet pas de distinguer entre deux groupes libres de rangs différents. Les techniques de Sela, de nature essentiellement géométrique, ont permis d'obtenir ensuite de nombreux autres résultats concernant les propriétés du premier ordre des groupes libres et des groupes hyperboliques. On peut montrer par exemple que si deux éléments d'un groupe libre F satisfont les mêmes formules du premier ordre, alors il existe un automorphisme de F qui envoie l'un sur l'autre. Ceci n'est en revanche pas vrai dans les groupes de surface.