Journée de l'équipe AGL – 2026

Bases des espaces Hom dans les catégories diagrammatiques par la réécriture

Les catégories diagrammatiques apparaissent de plus en plus en algèbre et en topologie. Elles encodent des structures algébriques à un niveau supérieur. Dans de nombreux cas, ces catégories diagrammatiques sont définies par générateurs et relations, en tant que catégories monoïdale linéaires. Ainsi les Hom entre les objets sont des espaces vectoriels. Le calcul de bases de ces espaces vectoriels peut s'effectuer par des méthodes de réécriture, de façon constructive. Dans cette veine, j'expliquerai une nouvelle approche développée dans un travail en commun avec Zuan Liu et Philippe Malbos.

Pseudofinite primitive permutation groups of finite SU-rank

A (definably) primitive permutation group is a group G together with a faithful action on a set X such that there are no proper (definable) nontrivial G-invariant equivalence relations on X. They are the basic building blocks for all permutation groups and so, their classification in various categories, is of considerable interest. Borovik and Cherlin showed that if (G,X) is a definably primitive permutation of finite Morley rank then the dimension of G can be bounded in terms of the dimension of X. Similarly, we show that if (G,X) is a pseudofinite definably primitive permutation group of finite SU-rank then SU(G) can be bounded as a function of SU(X). Here, pseudofinite groups are the infinite groups which satisfy the first-order properties which are true in all finite groups. This is joint work with Nick Ramsey.

Dualité de Tannaka-Krein

Une représentation unitaire d'un groupe topologique G est une action linéaire isométrique sur un espace de Hilbert. Peut-on reconstruire G à partir de la seule donnée de ces actions ? La célèbre dualité de Pontryagin-van Kampen répond par l'affirmative pour les groupes abéliens localement compacts. C'est vrai aussi pour les groupes compacts (abélien ou non), par la dualité de Tannaka-Krein. Dans cet exposé, je reviendrai sur ces dualité classiques. Ensuite, je parlerai d'une classe de groupes motivée par la théorie des modèles dont la théorie des représentations unitaire ressemble beaucoup à celle des groupes compacts. J'expliquerai alors comment la dualité de Tannaka-Krein s'étend à cette classe de groupes.

Algèbres de Hall et comptage dans les catégories de Calabi-Yau

Résumé : La notion de cardinalité d'un ensemble fini a une généralisation naturelle aux groupoïdes et une autre généralisation connue aux espaces, appelée cardinalité homotopique. Je discuterai du remplacement de cette dernière notion dans le cadre des catégories de Calabi-Yau de dimension paire et de leurs généralisations relatives. Cela inclut les cas où la définition habituelle ne s'applique pas, tels que les catégories dg Z/2-graduées. En tant qu'application de la définition dans le cas relatif, nous définissons une version des algèbres de Hall pour les catégories de Calabi-Yau de dimension impaire. J'expliquerai sa relation avec certaines constructions non intrinsèques déjà connues des algèbres de Hall et avec les doubles de Drinfeld. Si le temps le permet, je discuterai également brièvement d'une autre application dans le contexte des invariants des entrelacs légendriens gradués, où nous prouvons une conjecture de Ng-Rutherford-Shende-Sivek reliant les invariants polynômiaux aux certaines catégories. C'est un travail en commun avec Fabian Haiden, arxiv:2409.10154.

Normes non-archimédiennes et géométrie de l'espace des modèles

J'expliquerai quelques notions liées à l'espace des normes ultramétriques, d'abord sur un espace vectoriel de dimension finie, puis plus généralement sur l'algèbre de sections d'un fibré en droites. C'est objet que l'on peut utiliser pour construire la complétion (au sens métrique) de l'espace des modèles d'une variété projective sur un corps non-archimédien. Ces modèles correspondent par exemple (dans le cas où le corps est celui des séries de Laurent sur C) aux différentes manières de construire une "limite" d'une famille de variétés complexes donnée.

Convergence forte de représentations

À toute représentation unitaire d'un groupe on peut associer une norme sur l'algèbre de ce groupe, qui correspond à la norme d'opérateur sur l'espace de Hilbert. On dit qu'une suite de représentations unitaires converge fortement si la suite de normes associées converge simplement. Cette forme de convergence est un renforcement considérable de la topologie usuelle sur l'espace des représentations unitaires d'un groupe : la topologie de Fell. Les premiers exemples intéressants ont été très difficiles à trouver, mais ont eu des applications remarquables, notamment en algèbres d'opérateurs (Haagerup-Thorbjornsen), théorie spectrale des variétés (Hide-Magee) ou surfaces minimales (Song). Mon exposé sera un survol de cette notion, avec exemples et contre-exemples. Si j'ai le temps de mentionner des résultats originaux, ceux-ci seront en collaboration avec Michael Magee de Durham.

Théorie de Smith