Algèbre (M1)
automne 2025–2026
Équipe pédagogique
- Responsable du cours : Todor Tsankov
- Travaux dirigés : Alexis Tchoudjem
Avancement du cours
- 01/09 : Rappels sur les anneaux. Exemples : \(\mathbf{Z}\),
\(\mathbf{Z} / n \mathbf{Z}\), \(\mathbf{Z}[\sqrt{D}]\), polynômes en
une et plusieurs variables, matrices, anneaux de groupes. Corps.
Exemples : \(\mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C},
\mathbf{Q}(\sqrt{D}), \mathbf{F}_p\). Anneaux intègres. Idéaux,
quotients. Idéaux maximaux et premiers, caractérisation par le
quotient. Tout idéal est contenu dans un idéal maximal. Corps de
fractions. Anneaux euclidiens. Exemples : \(\mathbf{Z},
\mathbf{Z}[i], K[x]\). Tout idéal dans un anneau euclidien est
principal. Divisibilité. PGCD et algorithme d'Euclide.
- 05/09 : Anneaux principaux. Dans un anneau principal tout idéal
premier est maximal. Éléments premiers et irréductibles. Anneaux
factoriels. Tout anneau principal est factoriel. Dans un anneau
factoriel, tout élément irréductible est premier. PGCD dans les
anneaux factoriels. Éléments irréductibles dans \(\mathbf{Z}[i]\).
- 12/09 : Anneaux de polynômes. Lemme de Gauss. Si \(R\) est un anneau
factoriel, \(R[x]\) en est un aussi. Corollaire : si \(K\) est un
corps, \(K[x_1, \dots, x_n]\) est factoriel. Anneaux noethériens.
Théorème de la base de Hilbert. Polynômes symétriques.
- 19/09 : Théorème fondamental des polynômes symétriques. Corps.
Caractéristique, sous-corps premier. Extensions de corps. Pour tout
polynôme \(p \in F[x]\), \(F\) admet une extension où \(p\) a une
racine. Extensions algébriques et transcendentes. Polynôme
minimal. Degré d'une extension et d'un élément algébrique.
Extensions quadratiques.
- 26/09 : Les éléments algébriques forment un corps. Corps de
décomposition d'un polynôme, existence et unicité. Clôture
algébrique, corps algébriquement clos. Existence de la clôture
algébrique. Lemme de Zorn.
- 03/10 : Unicité de la clôture algébrique. Polynômes séparables,
critère avec la dérivée, exemples. Tout polynôme irréductible sur
un corps de caractéristique \(0\) est séparable. Endomorphisme de
Frobenius. Tout polynôme irréductible sur un corps fini est
séparable. Existence et unicité des corps finis. Polynômes
cyclotomiques.
- 10/10 : Les polynômes cyclotomiques sont irréductibles.
Représentations linéaires (de groupes finis, dans des espaces
vectoriels de dimension finie sur \(\mathbf{C}\)). Équivalence de
représentations, exemples. Sous-représentations, représentations
irréductibles. Critère d'irréductibilité pour une représentation
de degré \(2\). Somme directe de deux représentations.
- 17/10 : Rappels sur les produits scalaires. Représentations
unitaires. Toute représentation unitaire se décompose en somme
directe de représentations irréductibles. Pour un groupe fini,
toute représentation est équivalente à une représentation
unitaire. Corollaire : théorème de Maschke. Morphismes entre
représentations. Lemme de Schur. Toute représentation irréductible
d'un groupe abélien est de degré \(1\). Rappels sur l'algèbre
\(\mathbf{C}G\). Produit de convolution.
- 07/11 : Coefficients matriciels. Relations d'orthogonalité de
Schur. Caractères. Fonctions centrales. Orthogonalité des
caractères irréductibles. Unicité de la décomposition en
représentations irréducitbles. Table de caractères. Exemple :
\(S_3\).
- 14/11 : La représentation régulière. Décomposition de la
représentation régulière en irréductibles. Le nombre des
représentations irréductibles est égal au nombre des classes de
conjugaison. Caractères des groupes cycliques. Prolongement de
caractères pour les groupes abéliens. Classification des groupes
abéliens finis.
Programme
Anneaux
- Rappels sur les anneaux.
- Anneaux principaux et anneaux factoriels.
- Anneaux de polynômes en une et en plusieurs variables. Lemme de Gauss.
- Polynômes symétriques.
Corps
- Extensions de corps.
- Polynôme minimal, corps de décomposition.
- Corps algébriquement clos, clôture algébrique.
- Extensions séparables.
- Corps finis. Morphisme de Frobenius.
- Polynômes cyclotomiques.
Représentations
- Représentations linéaires d'un groupe fini. Représentations irréductibles.
- Décomposition en irréductibles, théorème de Maschke.
- Lemme de Schur, représentations de groupes abéliens.
- Relations d'orthogonalité, caractères.
- Représentation régulière et sa décomposition en représentations irreducibles.
- Caractères des groupes abéliens, groupe dual. Analyse de Fourier sur les groupes abéliens finis.
Bibliographie
- David Dummit et Richard Foote, Abstract algebra, John Wiley & Sons.
- Daniel Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses.
- Benjamin Steinberg, Representation theory of finite groups: An introductory approach, Springer.