Algèbre (M1)
automne 2025–2026
Équipe pédagogique
- Responsable du cours : Todor Tsankov
- Travaux dirigés : Alexis Tchoudjem
Avancement du cours
- 01/09 : Rappels sur les anneaux. Exemples : \(\mathbf{Z}\),
\(\mathbf{Z} / n \mathbf{Z}\), \(\mathbf{Z}[\sqrt{D}]\), polynômes en
une et plusieurs variables, matrices, anneaux de groupes. Corps.
Exemples : \(\mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C},
\mathbf{Q}(\sqrt{D}), \mathbf{F}_p\). Anneaux intègres. Idéaux,
quotients. Idéaux maximaux et premiers, caractérisation par le
quotient. Tout idéal est contenu dans un idéal maximal. Corps de
fractions. Anneaux euclidiens. Exemples : \(\mathbf{Z},
\mathbf{Z}[i], K[x]\). Tout idéal dans un anneau euclidien est
principal. Divisibilité. PGCD et algorithme d'Euclide.
Programme
Anneaux
- Rappels sur les anneaux.
- Anneaux principaux et anneaux factoriels.
- Anneaux de polynômes en une et en plusieurs variables.
Corps
- Extensions de corps.
- Polynôme minimal, corps de rupture.
- Corps algébriquement clos, clôture algébrique.
- Corps finis. Morphisme de Frobenius.
Représentations
- Représentations linéaires d'un groupe fini. Représentations irréductibles.
- Décomposition en irréductibles, théorème de Maschke.
- Lemme de Schur, représentations de groupes abéliens.
- Caractères, relations d'orthogonalité.
- Représentation régulière et sa décomposition en représentations irreducibles.
- Caractères des groupes abéliens, groupe dual. Analyse de Fourier sur les groupes abéliens finis.
Feuilles de TD
Bibliographie
- David Dummit et Richard Foote, Abstract algebra, John Wiley & Sons.
- Daniel Perrin, Cours d'algèbre, Ellipses.