Équipe pédagogique

• Responsable du cours : Todor Tsankov
• Travaux dirigés :
  • Groupe A : Abderezak Ould Houcine
  • Groupe B : Serge Parmentier
  • Groupe C : Todor Tsankov

Avancement du cours

• 06/09 [3h] : Opérations sur un ensemble. Opérations associatives et commutatives. Définition d’un groupe, exemples, règles algébriques de base. Notation multiplicative et additive. Ordre d’un groupe et d’un élément. Le groupe symétrique, définition. Support d’un élément. Permutations de supports disjoints commutent. Cycles. Décomposition d’une permutation en cycles disjoints.

• 13/09 [3h] : Sous-groupes, exemples. Critère pour être un sous-groupe. Le groupe diédral $D_{2n}.$ Définition de $D_{2n}$ comme un sous-groupe de $S_n$. Éléments et ordre du groupe diédral. Définition d’un morphisme de groupes. Isomorphisme. Exemples de groupes isomorphes. Critères simples pour que deux groupes ne soient pas isomorphes.

• 20/09 [3h] : Sous-groupe engendré par un ensemble. Le sous-groupe engendré par $S$ est égal à l’ensemble de produits d’éléments de $S$ et leurs inverses. Groupes cycliques. Classification des groupes cycliques à isomorphisme près. Relations d’équivalence. Fonctions « bien définies » sur les classes d’équivalence. Classes modulo un sous-groupe. Indice d’un sous-groupe. Théorème de Lagrange. L’ordre d’un élément divise l’ordre du groupe. Classification des groupes d’ordre $p$ pour $p$ premier. Corps, définition. Le corps $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$.

• 27/09 [3h] : Groupes de matrices : $\mathrm{GL}(n, F), \mathrm{SL}(n, F), \mathrm{O}(n), \mathrm{SO}(n)$. Morphismes : image et noyau. Sous-groupes distingués. Quotient d’un groupe par un sous-groupe distingué et structure de groupe sur le quotient. Produit de deux sous-groupes, critères pour que ce soit un groupe. Premier théorème d’isomorphisme. Deuxième théorème d’isomorphisme.

• 04/10 [3h] : Troisième théorème d’isomorphisme. Définition d’un groupe simple. $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ est simple. Signature d’une permutation. La signature est un morphisme. Calcul des signatures. Définition du groupe alterné. Action d’un groupe sur un ensemble et le morphisme dans le groupe symétrique associé. Exemples d’actions. Le noyau d’une action et actions fidèles. Stabilisateur et orbite. Identité $|G \cdot a| \cdot |G_a| = |G|$.

• 18/10 [1h30] : Actions transitives. Action $G \curvearrowright G/H$ par translation à gauche. Théorème de Cayley. Action par conjugaison. Centralisateurs et normalisateurs. Équation des classes.

• 25/10 [1h30] : Tout $p$-groupe fini a un centre non trivial. Classification des groupes d’ordre $p^2$. Classes de conjugaison dans le groupe symétrique. Description et cardinaux des classes de conjugaison dans $S_5$ et dans $A_5$.

• 08/11 [1h30] : Le groupe $A_5$ est simple. $p$-groupes, $p$-sous-groupes, sous-groupes de Sylow. Théorème de Sylow.

• 15/11 [1h30] : Exemples de sous-groupes de Sylow. Produit direct d’un nombre fini de groupes. Critère pour qu’un groupe soit un produit direct. Exemple : $D_{4n} \cong D_{2n} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ pour $n$ impair. Théorème chinois.

• 22/11 [1h30] : Produit semi-direct, définition et propriétés de base. Critère pour qu’un groupe soit le produit semi-direct de deux de ses sous-groupes. Critère pour qu’un produit semi-direct soit isomorphe à un produit direct. Exemples.

• 29/11 [1h30] : Sous-groupes finis de $\mathrm{SO}(2, \mathbf{R})$, $\mathrm{O}(2, \mathbf{R})$ et $\mathrm{SO}(3, \mathbf{R})$. Solides de Platon.

Programme

• Groupes, premières propriétés, exemples.
• Groupe symétrique. Groupe diédral. Groupes de matrices.
• Groupes cycliques et abéliens.
• Sous-groupes, classes modulo un sous-groupe. Théorème de Lagrange.
• Morphismes et quotients, sous-groupes distingués. Les théorèmes d’isomorphisme.
• Actions d’un groupe. Orbites et stabilisateurs.
• Action par conjugaison. Centralisateurs et normalisateurs.
• Théorèmes de Sylow.
• Produits semi-directs.

Calendrier

• 06/09, 13/09, 20/09, 27/09, 04/10 : cours 8h–11h15
• Pas de cours le 11/10
• 18/10, 25/10, 08/11, 15/11, 22/11, 29/11 : cours 9h45–11h15
• Contrôle partiel : le 25/10 8h–9h30 Sujet Corrigé
• Contrôle terminal : le 09/01 14h–16h Sujet Corrigé
• Consultation des copies : le 06/02 13h–14h dans l’amphi Jordan

Modalités de contrôle

• Contrôle partiel et Contrôle terminal
• Note finale = MAX(CT, (CP+CT)/2)

Avancement des TD

• Feuille 1 : 1,2,3,5.1+2,6,8,11,12,13,14,15,16,20,21.1,22
• Feuille 2 : 2,3,5,6,8,9,11,12,13,16,17,20,21,25ab
• Feuille 3 : 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,15,18,20,21,22,23,25
  • Liste complémentaire : 13,14,16,17,19,27ab,28,29
• Feuille 4 : 1,2,4,5,6,7,10,11,12,13,15,16,17,18,19,21,23,24,25,27
  • Liste complémentaire : 8,9,14,20,22,26,28,29

Feuilles de TD

• Feuille 1
• Feuille 2
• Feuille 3
• Feuille 4
• Feuille 5

Corrections de certains exercices de TD

• Exercices des feuilles 4 et 5
• Exercices de la feuille 5

Contrôles des années antérieures

• 2022 Partiel Terminal
• 2021 CC1 CC2 Terminal
• 2020 CC1 Terminal

Bibliographie

• Itaï Ben Yaacov, Cours de groupes, Polycopié (pdf).
• David Dummit et Richard Foote, Abstract algebra, John Wiley & Sons.
• Felix Ulmer, Théorie des groupes, Ellipses.
• Daniel Perrin, Cours d’algèbre, Ellipses.