Théorie des ensembles et théorie des modèles (M1)

printemps 2024–2025

Équipe pédagogique

[15/01] Paradoxe de Russell. Les axiomes de $\mathsf{ZFC}$ . Relations, fonctions. Ordres bien fondés et bons ordres. Induction. Segments initiaux.
[22/01] Comparaison entre deux bons ordres. Ensembles transitifs. Ordinaux, propriétés de base. Le supremum d’un ensemble d’ordinaux. Ordinaux successeurs et ordinaux limites. Ordinal de Hartogs d’un ensemble. Tout bon ordre est isomorphe à un ordinal.
[29/01] Induction transfinie. Définition d’une fonction par induction (récursion) sur les ordinaux. Opérations arithmétiques sur les ordinaux et leurs propriétés : addition, multiplication, exponentiation. Axiome du choix, principe du bon ordre, lemme de Zorn et leur équivalence dans $\mathsf{ZF}$ .
[05/02] Notion de cardinalité. Théorème de Cantor–Bernstein. Théorème de Cantor. Cardinaux. Opérations arithmétiques : somme, produit, exponentiation. $\kappa \cdot \kappa = \kappa$ pour tout $\kappa$ infini. Les alephs. CH et GCH.
[12/02] Sommes et produits infinis. Théorème de König. Cofinalité. Cardinaux réguliers et singuliers. Tout cardinal successeur est régulier. Cardinaux faiblement et fortement inaccessibles. Lemme de Kônig. Tout espace métrique complet parfait contient une partie homéomorphe à $2^\mathbf{N}$ (énoncé et début de preuve).

Cours : les mercredis 13h30–15h30 dans la salle 125, bâtiment Braconnier, La Doua
TD : les mercredis 15h45–17h45 dans la salle 125, bâtiment Braconnier, La Doua
Exceptionnellement le cours du 12/02 aura lieu dans la salle 112 du bâtiment Braconnier.

Polycopié Théorie des ensembles (pdf).
Polycopié Théorie des modèles (pdf).
Karel Hrbacek et Thomas Jech, Introduction to set theory, Marcel Dekker, 1999.
Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles, Cassini, 1998.
Wilfrid Hodges, A shorter model theory, Cambridge University Press, 1997.