printemps 2024–2025
[15/01] Paradoxe de Russell. Les axiomes de . Relations, fonctions. Ordres bien fondés et bons ordres. Induction. Segments initiaux.
[22/01] Comparaison entre deux bons ordres. Ensembles transitifs. Ordinaux, propriétés de base. Le supremum d’un ensemble d’ordinaux. Ordinaux successeurs et ordinaux limites. Ordinal de Hartogs d’un ensemble. Tout bon ordre est isomorphe à un ordinal.
[29/01] Induction transfinie. Définition d’une fonction par induction (récursion) sur les ordinaux. Opérations arithmétiques sur les ordinaux et leurs propriétés : addition, multiplication, exponentiation. Axiome du choix, principe du bon ordre, lemme de Zorn et leur équivalence dans .
[05/02] Notion de cardinalité. Théorème de Cantor–Bernstein. Théorème de Cantor. Cardinaux. Opérations arithmétiques : somme, produit, exponentiation. pour tout infini. Les alephs. CH et GCH.
[12/02] Sommes et produits infinis. Théorème de König. Cofinalité. Cardinaux réguliers et singuliers. Tout cardinal successeur est régulier. Cardinaux faiblement et fortement inaccessibles. Lemme de Kônig. Tout espace métrique complet parfait contient une partie homéomorphe à (énoncé et début de preuve).
[19/02] Tout espace métrique complet parfait contient une partie homéomorphe à (fin de la preuve). Rang de Cantor–Bendixson. L’hypothèse du continu pour les espaces polonais. Parties club et stationnaires de . Lemme de Fodor.
[12/03] Langages et structures. Formules, satisfaction. Implication, équivalence. Théories et modèles. Théories complètes. Équivalence élémentaire. Morphismes, plongements.
[19/03] Sous-structures/extensions élémentaires. Test de Tarski, Théorème de Löwenheim-Skolem descendant. Va-et-vient, infini-équivalence. L’énoncé du théorème de compacité et quelques applications.
[26/03] Quelques applications du théorème de compacité : la réalisation commune des familles de formules finiment satisfaisables, le théorème de l’extension élémentaire commune, le théorème de Löwenheim–Skolem ascendant, la catégoricité d’une théorie. La démonstration du théorème de compacité par les ultraproduits.
[02/04] La topologie des espaces de théories complètes dans un langage fixé. Ensembles définissables, types. Le théorème de Svenonius. Élimination des quanteurs.
[09/04] La démonstration de l’élimination des quanteurs. Types isolés, types algébriques. Le théorème d’omission des types (énoncé). Le théorème de Ryll-Nardzewski énoncé, partiellement démontré.
[16/04] Le théorème de Ryll-Nardzewski, la démonstration terminée. Les modèles atomiques, minimaux, premiers. Les modèles -saturés, l’existence d’extensions élémentaires -saturées. L’étude d’exemples de théories.