Équipe pédagogique

• Enseignants : Abderezak Ould Houcine, Todor Tsankov et Frank Wagner.

Avancement du cours

• [17/01] Paradoxe de Russell. Les axiomes de $\mathsf{ZFC}$. Relations, fonctions. Ordres bien fondés et bons ordres. Induction. Segments initiaux.

• [24/01] Comparaison entre deux bons ordres. Ensembles transitifs. Ordinaux, propriétés de base. Le supremum d’un ensemble d’ordinaux. Ordinaux successeurs et ordinaux limites. Ordinal de Hartogs d’un ensemble. Tout bon ordre est isomorphe à un ordinal. Induction transfinie.

• [31/01] Définition d’une fonction par induction (récursion) sur les ordinaux. Opérations arithmétiques sur les ordinaux et leurs propriétés : addition, multiplication, exponentiation. Axiome du choix, principe du bon ordre, lemme de Zorn et leur équivalence dans $\mathsf{ZF}$. Notion de cardinalité. Théorème de Cantor.

• [07/02] Théorème de Cantor–Bernstein. Cardinaux. Opérations arithmétiques : somme, produit, exponentiation. $\kappa \cdot \kappa = \kappa$ pour tout $\kappa$ infini. Les alephs. CH et GCH. Sommes et produits infinis.

• [14/02] Théorème de König. Cofinalité. Cardinaux réguliers et singuliers. Tout cardinal successeur est régulier. Cardinaux faiblement et fortement inaccessibles. Lemme de Kônig. Tout espace métrique complet parfait contient une partie homéomorphe à $2^\mathbf{N}$.

• [21/02] Rang de Cantor–Bendixson. L’hypothèse du continu pour les espaces polonais. Topologie sur les ordinaux. Parties club de $\omega_1$. Lemme de Fodor. $\Delta$-lemme.

• [06/03] Langages et structures. Formules, satisfaction. Théories et modèles. Plongements. Plongements élémentaires.

• [20/03] Chaînes élémentaires. Test de Tarski. Skolemisation. Théorème de Löwenheim-Skolem descendant. Filtres et ultrafiltres. Ultraproduits. Théorème de Łoś. Théorème de compacité.

• [27/03] Théorème de compacité, interprétation topologique. Applications : ordinaux finis non standards, théorème de l’extension élémentaire commune, théorème de Löwenheim–Skolem ascendant, théories catégoriques. Application aux corps algébriquement clos : principe de transfert.

• [03/04] Ensembles définissables. Types. Élimination des quanteurs. Modèle complétude.

• [10/04] Types isolés, types algébriques, transitivité de l’isolation. Omission des types. Modèles kappa-catégoriques, Théorème de Morley/Shelah (énoncé). Théorème de Ryll-Nardzewski. Modèles atomiques. Deux modèles dénombrables atomiques d’une théorie complète sont isomorphes.

• [17/04] Modèles $\omega$-saturés.

Calendrier

• Cours : les mercredis 13h30–15h30 dans la salle 125, bâtiment Braconnier, La Doua
• TD : les mercredis 15h45–17h45 dans la salle 125, bâtiment Braconnier, La Doua
• Exceptionnellement le cours du 31/01 aura lieu dans la salle « séminaire 2 » au sous-sol du bâtiment Braconnier.
• Examen théorie des ensembles : 13/03 à 13h30.
• Examen théorie des modèles : 02/05 à 14h.

Modalités de contrôle

• Deux examens indépendants en théorie des ensembles et en théorie des modèles.
• Note finale = la moyenne des deux.

Feuilles de TD

• Feuille 1 (Exercices à préparer pour le 24/01 : 1,2,3,4,5,7,8,9)
• Feuille 2
• Feuille 3
• Feuille 4
• Feuille 5
• Feuille 6
• Feuille 7
• Feuille 8

Bibliographie

• Polycopié Théorie des ensembles (pdf).
• Polycopié Théorie des modèles (pdf).
• Karel Hrbacek et Thomas Jech, Introduction to set theory, Marcel Dekker, 1999.
• Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles, Cassini, 1998.
• Wilfrid Hodges, A shorter model theory, Cambridge University Press, 1997.