Programme

• Définitions équivalentes de la moyennabilité
• Le paradoxe de Banach–Tarski
• Actions de groupes préservant une mesure de probabilité et équivalence orbitale
• Relations d’équivalence hyperfinies et le théorème de Connes–Feldman–Weiss
• Graphages et coût
• Des résultats de non orbite équivalence pour les groupes libres
• Propriété (T) et rigidité
• Applications à la théorie de la percolation

Avancement du cours

• [12/01, Gaboriau] Moyennes et ultrafiltres. Topologie faible$^*$ sur $\ell^\infty$, compacité. Actions moyennables, groupes moyennables. Exemples : groupes finis, $\mathbf{Z}$, groupes abéliens. Décompositions paradoxales. $\mathbf{F_2}$ n’est pas moyennable. Caractérisations de la moyennabilité : critères de Reiter et de Følner. Propriétés d’hérédité : quotients, sous-groupes, extensions, limites directes.

• [19/01, Tsankov] Ensembles équidécomposables, ensembles paradoxales. Lemme des mariages. Théorème de Tarski. Paradoxe de Banach–Tarski : tous deux ensembles bornés d’intérieur non vide dans $\mathbb{R}^3$ sont équidécomposables par isométries. Ensembles compacts convexes.

• [26/01, Gaboriau] Barycentre d’un compact convexe. Caractérisation de la moyennabilité par des propriétés de point fixe. Théorème de Hulanicki–Reiter. Propriété (T). Espaces boréliens standards, actions boréliennes, pmp, quasi-pmp. Ergodicité, exemples. Lemme de Neumann. Décalages de Bernoulli généralisés. Actions profinies. Équivalence orbitale, exemples. Relations d’équivalence dénombrables.

• [02/02, Tsankov] Relations d’équivalence boréliennes finies et dénombrables. Relations lisses. Relations hyperfinies et moyennables. Relations pmp. Lien entre la moyennabilité d’un groupe et les relations d’équivalence orbitales de ses actions. Toute relation hyperfinie est moyennable. Lemme d’approximation de relations $\mu$-hyperfinies par des relations finies. La réunion croissante de relations $\mu$-hyperfinies est $\mu$-hyperfinie. Théorème de Connes–Feldman–Weiss (énoncé). Graphes boréliens. Théorème de Lusin–Novikov (énoncé). Constante isopérimétrique d’un graphe.

• [09/02, Tsankov] Théorème de Kaimanovich. Théorème de Connes–Feldman–Weiss (preuve). Théorème de Dye : les relations hyperfinies sont celles engendrées par une action de $\mathbf{Z}$. L’algèbre de mesure.

• [16/02, Gaboriau] Graphages. Lien avec les graphes boréliens. Coût des graphages et interprétation en terme de valences. Coût des relations d’équivalence pmp. Coût(s) des groupes. Exemples graphages et graphes de Cayley, coût des relations d’équivalence pmp à classes finies, coût des actions de $\mathbf{Z}^2$. Les relations à classes infinies ont coût ≥ 1. Théorème : arborages réalisent le coût des relations d’équivalence pmp, avec preuve dans le cas coût fini. Coût des groupes libres, de $\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})$ et des produits amalgamés de groupes finis. Lemme de réalisation du coût dans chaque classe bi-Lipschitz de métrique sur les classes. Énonciation da formule d’induction pour le coût. Énonciation du théorème d’Abert-Nikolov.

• [23/02, Tsankov] Le groupe $\mathrm{Aut}(X, \mu)$, topologie faible, topologie uniforme. Le groupe plein d’une relation d’équivalence pmp. Ergodicité forte : invariance par équivalence orbitale. Représentation de Koopman. Trou spectral implique ergodicité forte. La représentation de Koopman d’un décalage de Bernoulli. Propriété (T). Théorème de Hjorth : tout groupe infini avec la propriété (T) admet $2^{\aleph_0}$ actions deux à deux non OE.

Exercices

• Feuille d’exercices

Bibliographie

• Wagon, The Banach–Tarski paradox, Cambridge University Press, 1985.
• Ceccherini-Silberstein, Grigorchuk, de la Harpe, Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and discrete metric spaces, arXiv:1603.04212.
• Kechris, Miller, Topics in orbit equivalence, Springer.
• Gaboriau, Coût des relations d’équivalence et des groupes. Invent. Math., 139(1), 41–98, link
• Marks, A short proof of the Connes–Feldman–Weiss theorem pdf
• Gaboriau, Around the orbit equivalence theory of the free group, cost and $\ell^2$-Betti numbers