\magnification=1200
\input a4new
\hsize=13cm
\hfill
\auteurcourant={A. Randrianarivony et J. Zeng}
\titrecourant={Une extension des nombres d'Euler}
\def\rec{\mathop{\rm  rec}}
\def\recp{\mathop{\rm  recp}}
\def\reci{\mathop{\rm reci}}
\def\abstract{\bgroup\eightpoint\noindent Abstract\pointir} 
 \def\endabstract{\par\egroup} 
\def\demonstration{\newparwithcolon
                     \it D\'emonstration
                      \endnewparwithcolon}
\def\remarque{\newpara
                 \pc REMARQUES|
                  \endnewpar}

  
\def\tg{\mathop{\rm tg}\nolimits}
\ctitre
SUR UNE EXTENSION DES NOMBRES D'EULER ET LES
 RECORDS DES PERMUTATIONS ALTERNANTES
{\eightbf Par}
Arthur RANDRIANARIVONY et Jiang ZENG
 \endctitre
\abstract
We study the sequence of polynomials $C_n(x,y)$ defined
through the recurrence $C_0(x,y)=1$,
$C_n(x,y)=x(y+1)C_{n-1}(x+2,y+2)-xyC_{n-1}(x,y)$, 
which turns out to be an extension of Euler numbers. We give a
combinatorial interpretation of these numbers in terms of 
down-up permutations with respect to the numbers of even and
odd upper records, and a continued fraction expansion
for their ordinary generating function.
\endabstract
 
\sectiona 1. Introduction
\endsection
Dans [Du-Ra], \pd Dumont et \pd Randrianarivony ont trouv\'e
une extension polynomiale des nombres de Genocchi et de
Genocchi m\'edians. Dans cet article, 
on se propose d'\'etudier une extension analogue pour les 
nombres d'Euler.

Soit $(C_n(x,y))_{n\geq 0}$ la suite de polyn\^omes 
d\'efinie par la r\'ecurrence suivante :
$$\system{
C_0(x,y)&=&1,\cr
C_n(x,y)&=&x(y+1)C_{n-1}(x+2,y+2)-xyC_{n-1}(x,y), \qquad
(n\geq 1).\cr }\leqno (1)
$$

Les premi\`eres valeurs de ces polyn\^omes sont :
$$\eqalign{
C_1(x,y)&=x,\cr
C_2(x,y)&=x^2+2xy+2x,\cr
C_3(x,y)&=x^3+10x^2y+4xy^2+10x^2+20xy+16x.\cr
}$$

Posons $C(x,y;t)=\sum_{n\geq 0}C_n(x,y)t^n$.
La relation de r\'ecurrence (1) implique alors que
$$
(1+xyt)C(x,y;t) =1+x(y+1)tC(x+2,y+2;t).\leqno (2)
$$
D'o\`u
$$
C(x,y;t)={1\over 1+xyt}+{x(y+1)t\over
1+xyt}C(x+2,y+2;t),
$$ 
et par it\'eration on obtient le r\'esultat suivant.
\th Proposition 1
\enonce On a
$$
\eqalign{
\sum_{n\geq 0}C_n(x,y)t^n&={1\over 1+xyt} +{x(y+1)t\over
(1+xyt) (1+(x+2)(y+2)t)}+\cdots \cr
&=\sum_{n\geq 0}{2^{2n}({x\over 2})_n
({y+1\over 2})_nt^n\over  \prod_{k=0}^n
[1+(x+2k)(y+2k)t]}\cdot\cr } $$
o\`u $(x)_0=1$ et $(x)_n=x(x+1)\cdots (x+n-1)$ pour $n\ge 1$.
\endth
\medskip
L'objet principal de cet article est de d\'emontrer les
trois th\'eor\`emes suivants.

\th Th\'eor\`eme 2
\enonce On a la fraction continue formelle :
$$
\sum_{n\geq 0}C_n(x,y)t^n={1\over\displaystyle 1-
{\strut 1xt\over\displaystyle 1-
{\strut 2(y+1)t\over\displaystyle 1-
{\strut 3(x+2)t\over\displaystyle 1-
{\strut 4(y+3)t\over\displaystyle\ddots 
}}}}}\cdot
$$
\endth

Nous disons qu'une permutation $\sigma$ 
de $[n]:=\{1,2,\ldots, n\}$ est
{\sl alternante}, si 
$$
\sigma(1)>\sigma(2),\quad \sigma(2)<\sigma(3),\quad 
\sigma(3)>\sigma(4), \quad\cdots.\leqno (3)
$$ 
Un \'el\'ement $x\in [n]$ est dit {\sl record} de $\sigma$ si
pour un certain $i\in [n]$, on a
$$
x=\sigma(i)=max \{\sigma (1), \sigma (2), \ldots , \sigma (i)\}.
$$
On note respectivement $recp(\sigma)$ et $reci(\sigma)$ le
nombre de {\sl records pairs} et le nombre de {\sl records
impairs} de $\sigma$. Soit ${\goth S}_n$ (resp. $A_n$)
l'ensemble des permutations  (resp. permutations alternantes)
de $[n]$. Posons $f_0(x,y)=1$ et
$$
f_n(x,y)=\sum_{\sigma \in A_n}
x^{\recp(\sigma)}y^{\reci(\sigma )},\qquad n\geq 1.
\leqno (4)
$$ 

\th Th\'eor\`eme 3
\enonce  On a
$$
\sum_{n\geq 0}f_{2n}(x,y)t^{2n}={1\over\displaystyle 1-
{\strut 1xt^2\over\displaystyle 1-
{\strut 2(y+1)t^2\over\displaystyle 1-
{\strut 3(x+2)t^2\over\displaystyle 1-
{\strut 4(y+3)t^2\over\displaystyle\ddots 
}}}}}\cdot
\leqno (i)
$$
$$
\sum_{n\geq 0}f_{2n+1}(x,y)t^{2n+1}={yt\over\displaystyle 1-
{\strut 1(x+1)t^2\over\displaystyle 1-
{\strut 2(y+2)t^2\over\displaystyle 1-
{\strut 3(x+3)t^2\over\displaystyle 1-
{\strut 4(y+4)t^2\over\displaystyle\ddots 
}}}}}\cdot
\leqno (ii)
$$
\endth

Le r\'esultat suivant est une cons\'equence imm\'ediate des
th\'eor\`emes 2 et 3.

\th Th\'eor\`eme 4
\enonce Pour tout $n\geq 1$, les polyn\^omes $C_n(x,y)$
ont l'interpr\'etation combinatoire suivante :
$$
\eqalign{
C_n(x,y)&=f_{2n}(x,y)=\sum_{\sigma \in
{A}_{2n}}x^{\recp(\sigma )}y^{\reci(\sigma )}, \cr
yC_{n-1}(x+1,y+1)&=f_{2n-1}(x,y)=
\sum_{\sigma \in {A}_{2n-1}}x^{\recp(\sigma
)}y^{\reci(\sigma )}. \cr 
}$$ 
\endth

Rappelons que les nombres d'Euler $E_n$ sont
classiquement d\'efinis par : 
$$
\sum_{n\geq 0}E_n{x^n\over n!}=\sec x+\tg x. 
$$
Il est bien connu [An, Fo-Sc] que $E_n=f_n(1,1)$, 
on d\'eduit donc du th\'eor\`eme 4 le 

\th Corollaire 5
\enonce On a :
$$
\eqalign{
E_{2n}&=C_n(1,1), \cr
E_{2n+1}&=C_n(2,2)={\partial\over\partial
x}C_{n+1}(x,y)|_{x=y=0}. \cr
}$$
\endth

Pour avoir la derni\`ere \'egalit\'e, il suffit de d\'eriver par
rapport \`a $x$ les deux membres de (1) puis on remplace $x$
et $y$ par $0$.

Par cons\'equent, dans la proposition 1, 
si l'on remplace $t$ par
$t^2$ et $x,\,y$ par 1 puis par 2,
on trouve successivement les identit\'es : 
$$\displaylines{
\sum_{n\ge 0}E_{2n}t^{2n}={1\over 1+1^2t^2}+{2!t^2\over
(1+1^2t^2)(1+3^2t^2)}
+{4!t^4\over (1+1^2t^2)(1+3^2t^2)
(1+5^2t^2)}+\cdots\cr
\sum_{n\ge 0}E_{2n+1}t^{2n+1}={t\over
1+2^2t^2}+{3!t^3\over
(1+2^2t^2)(1+4^2t^2)}
+{5!t^5\over (1+2^2t^2)(1+4^2t^2)
(1+6^2t^2)}\hfill\cr
\hfill+\cdots \cr 
}$$ 

{\it Remarque} : Ces deux formules sont diff\'erentes de celles
obtenues par l'application directe de la transformation
de Laplace \`a $\sec x$ et $\tg x$, voir [Ze].

En combinant ces deux identit\'es, nous obtenons le 
d\'eveloppement en s\'erie de fractions rationnelles
de la s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire des nombres d'Euler.

\th Corollaire 6
\enonce On a
$$
\sum_{n\geq 0}E_nt^n=\sum_{n\geq 0}{n!t^n\over
\prod_{0\leq k\leq [{n+1\over 2}]}(1+(n-2k+1)^2t^2)}\cdot
$$
o\`u $[x]$ d\'esigne le plus grand entier $\le x$.
\endth

Le th\'eor\`eme 3 implique \'egalement le 
\th Corollaire 7 
\enonce On a
$$
f_{2n+1}(x,y)=yf_{2n}(x+1,y+1).
$$
\endth

On remarque que lorsque $x=y$, 
ce r\'esultat a \'et\'e \'etabli par
\pc Carlitz| et \pc Scoville| [Ca-Sc] par la m\'ethode
classique. En effet, ils ont trouv\'e les fonctions
g\'en\'eratrices exponentielles suivantes : 
$$
\eqalign{
\sum_{n\geq 0}f_{2n}(x,x){t^{2n}\over (2n)!}&=(\sec t)^x, \cr
\sum_{n\geq 0}f_{2n+1}(x,x){t^{2n+1}\over (2n+1)!}&=
x\int_0^t{(\sec u)^{x+1}du}. \cr
}$$

Enfin, dans le th\'eor\`eme 3 (i), si l'on prend $x=y$ 
on retrouve alors un r\'esultat classique de \pc Stieltjes|
[Sti] et \pc Flajolet| [Fl] l'a d\'ej\`a d\'emontr\'e
combinatoirement en supposant que $x$ est un entier. 

Au paragraphe 2 nous allons donner deux
d\'emonstrations diff\'erentes du th\'eor\`eme 2. La
premi\`ere est analogue \`a celle utilis\'ee dans [Du-Ra], la
deuxi\`eme utilise un r\'esultat de Wall [Wa]. Au paragraphe 3
nous appliquons la th\'eorie combinatoire des fractions
continues de Flajolet [Fl] et la bijection de Fran\c
con-Viennot [Fr-Vi] pour d\'emontrer le th\'eor\`eme 3.
Nous terminons cet article avec quelques r\'esultats et
remarques suppl\'ementaires au paragraphe 4.


\sectiona
2. Deux d\'emonstrations du th\'eor\`eme 2
\endsection
1\up {\`ere} preuve : Pour $i\ge 1$, soit
$$
c_i=\cases{
i(x+i-1) & si $i$ est impair,\cr
i(y+i-1) & si $i$ est pair.\cr
}$$

 Consid\'erons 
le tableau de Stieltjes [St] des $s_{n,k}(x,y)$ d\'efini par la
r\'ecurrence suivante :
 $$
\system{
s_{0,0}(x,y)&=&1,\quad s_{n,k}(x,y)=0\ si\ k \notin [0,n], \cr
s_{n,k}(x,y)&=&s_{n-1,k}(x,y)+c_{n-k+1}s_{n,k-1}(x,y). \cr
}$$
Pour toute fonction $f(x,y)$, on pose 
$\Delta f(x,y)=f(x+2,y+2)-f(x,y)$.

\th Lemme 1
\enonce On a l'identit\'e :
$$
\Delta s_{n,k}(x,y)=(n-k+1)(n-k+2)s_{n+1,k-1}(x,y).\leqno (5)
$$
\endth
\demonstration
On proc\`ede par r\'ecurrence sur la somme $n+k=m$.
Il est clair que le lemme est vrai pour $m=1$.
Supposons que (5) est vrai pour $m-1$. Par d\'efinition, on a :
$$\eqalign{
&\Delta s_{n,k}(x,y)\cr
&=\Delta s_{n-1,k}(x,y)+\Delta (c_{n-k+1}(x,y)s_{n,k-1}(x,y))\cr
&=\Delta s_{n-1,k}(x,y)+c_{n-k+1}(x+2,y+2)\Delta s_{n,k-1}(x,y)
+s_{n,k-1}(x,y)\Delta c_{n-k+1}(x,y)\cr
&=\Delta s_{n-1,k}(x,y)+(n-k+1)((z+2+n-k)\Delta s_{n,k-1}(x,y)
+2s_{n,k-1}(x,y)).\cr
}$$
o\`u $z=x$ ou $y$ suivant que $m$ est pair ou impair.
D'autre part, par hypoth\`ese de r\'ecurrence, 
$$\eqalign{
\Delta s_{n-1,k}(x,y)
&=(n-k)(n-k+1)s_{n,k-1}(x,y),\cr
\Delta s_{n,k-1}(x,y)&=(n-k+2)(n-k+3)s_{n+1,k-2}(x,y).\cr
}$$

En reportant ces expressions dans l'identit\'e plus haut, on
 retrouve, apr\`es simplification, la relation (5) pour $n+k=m$ .
\qed 

En appliquant ce lemme, on a :
$$
\eqalign{
x(y+1)& s_{n-1,n-1}(x+2,y+2)-xys_{n-1,n-1}(x,y)\cr
&=x(y+1)[s_{n-1,n-1}(x,y)+2s_{n,n-2}(x,y)]-
xys_{n-1,n-1}(x,y)\cr 
&=x[s_{n-1,n-1}(x,y)+2(y+1)s_{n,n-2}(x,y)] \cr
&=xs_{n,n-1}(x,y)=s_{n,n}(x,y). \cr}
$$
Ainsi $s_{n,n}(x,y)$ v\'erifie la r\'ecurrence (1). Par
cons\'equent $s_{n,n}(x,y)=C_n(x,y)$.
\medskip
Posons $f_i(x,y;t)=\sum_{k\ge 0}s_{i+k,k}(x,y)t^k$,
alors $f_0(x,y;t)=\sum_{n\geq 0}C_n(x,y)t^n$. D'autre
part, on a
$f_0(x,y;t)=1+c_1f_1(x,y;t)$ et
$$
f_i(x,y;t)=f_{i-1}(x,y;t)+c_{i+1}tf_{i+1}(x,y;t), 
$$
d'o\`u 
$$
f_0(x,y;t)={1\over\displaystyle 1-c_1t{\strut f_1(x,y;t)\over\displaystyle
f_0(x,y;t)}}\virg \quad
{f_i(x,y;t)\over f_{i-1}(x,y;t)}={1\over\displaystyle 1-c_{i+1}t
{\strut f_{i+1}(x,y;t)\over\displaystyle f_i(x,y;t)}}\cdot
$$
et par it\'eration, on obtient le th\'eor\`eme 2.
\medskip 
2\up {i\`eme} preuve : Nous avons besoin
du lemme suivant d\^u \`a Wall [Wa] : 
\th Lemme 2
\enonce On a :
$$
{1+t\over\displaystyle 1-
{\strut (g_1-1)t\over\displaystyle 1-
{\strut (g_2-1)g_1t\over\displaystyle 1-
{\strut (g_3-1)g_2t\over\displaystyle\ddots
}}}}
=1+{g_1t\over\displaystyle 1-
{\strut (g_1-1)g_2t\over\displaystyle 1-
{\strut (g_2-1)g_3t\over\displaystyle 1-
{\strut (g_3-1)g_4t\over\displaystyle\ddots 
}}}}\cdot 
$$
\endth

Posons
$$
C(x,y;t)={1\over\displaystyle 1-
{\strut xy(g_1-1)t\over\displaystyle 1-
{\strut xy(g_2-1)g_1t\over\displaystyle 1-
{\strut xy(g_3-1)g_2t\over\displaystyle\ddots
}}}}\cdot\leqno (6) 
$$  

Soit $g'_i=g_i(x+2,y+2)$. En substituant (6) dans (2) et en
rempla\c cant $xyt$ par $t$, nous avons :
$$
{1+t\over\displaystyle 1-
{\strut (g_1-1)t\over\displaystyle 1-
{\strut (g_2-1)g_1t\over\displaystyle 1-
{\strut (g_3-1)g_2t\over\displaystyle\ddots
}}}}
=1+{(1+{1\over y})t\over\displaystyle 1-
{\strut (1+{2\over x})(1+{2\over y})(g'_1-1)t\over\displaystyle 1-
{\strut (1+{2\over x})(1+{2\over y})(g'_2-1)g'_1t\over\displaystyle 1-
{\strut (1+{2\over x})(1+{2\over y})(g'_3-1)g'_2t\over\displaystyle\ddots
}}}}\cdot  
$$

En appliquant le lemme de Wall, on trouve successivement :
$$
\eqalign{
g_1&=1+{1\over y}\virg\cr
g_2&=(1+{2\over x})(1+{2\over y}){g_1'-1\over
g_1-1}=1+{2\over x}\virg\cr g_3&=(1+{2\over x})(1+{2\over
y}){g_2'-1\over g_2-1}g_1' =1+{3\over y}\virg\cr
}$$
et plus g\'en\'eralement, pour $n\geq 1$, on a
$$
 g_{2n-1}=1+{2n-1\over y}\virg\qquad 
g_{2n}=1+{2n\over x}\cdot
$$
En portant ces valeurs dans (6), nous avons le r\'esultat.


\sectiona
3. \'Enum\'erations des nombres de records pairs et impairs
\endsection
On appelle {\sl chemin} de $n$ pas une suite
 $\gamma=(\gamma (0), \gamma (1), \ldots, \gamma (n))$ d'entiers de
 $\{0, 1, \ldots, n\}$ telle que $\gamma (0)=\gamma (n)=0$ et 
pour tout $k\in \{1, \ldots, n\}$, on a 
$|\gamma (k)-\gamma (k-1)|\leq 1$,
 autrement dit les pas $(\gamma (k-1), \gamma (k))$
sont, soit des {\sl mont\'ees} de $+1$, soit des {\sl paliers},
soit des {\sl descentes} de $-1$. On appelle $\gamma (k-1)$ le
niveau et $k$ la position du pas $(\gamma (k-1), \gamma (k))$,
qui est donc le k\up{i\`eme} pas du chemin $\gamma$.

A un palier situ\'e au niveau $k$ on associe la lettre $b_k$,
\`a une descente du niveau $k+1$ vers le niveau $k$ est
associ\'ee la lettre $c_{k+1}$ et \`a une mont\'ee du niveau
$k$ vers le niveau $k+1$ est associ\'ee la lettre $a_k$.
La {\sl valuation} d'un chemin $\gamma $, not\'ee $w(\gamma )$, est le
produit des lettres commutatives associ\'ees \`a ses pas. On note
$\Gamma(n)$ l'ensemble des chemins de $n$ pas.

\th Proposition 8 (\pc Flajolet| [Fl])
\enonce La s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire des valuations des
chemins de $n$ pas admet le d\'eveloppement en
fraction continue suivant :
$$
1+\sum_{n\geq 1}\left(\sum_{\gamma \in \Gamma(n)}w(\gamma
)\right)\,t^n= {1\over\displaystyle 1-b_0\,t-
{\strut a_0c_1\,t^2\over\displaystyle 1-b_1\,t
{\strut a_1c_2\,t^2\over\displaystyle \ddots
{\over\displaystyle 1-b_k\,t-
{\strut a_kc_{k+1}\,t^2\over\displaystyle\ddots
}}}}}\cdot
$$
\endth

On appelle {\sl chemin marqu\'e} de $n$ pas 
tout couple $(\gamma, s_1s_2\ldots s_n)$, o\`u $\gamma $ est un
chemin  de $n$ pas et $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$ une suite
d'entiers. 

\tha Th\'eor\`eme 9 (\pc Fran\c con| et \pc Viennot| [Fr-Vi])
\enonce Soit $\Pi_n$ (resp. $\Pi'_n$) l'ensemble des
chemins marqu\'es $(\gamma , s)$ de $n$ pas 
tels que $0\leq s_k\leq \gamma (k-1)$ si le
k\up{i\`eme} pas de $\gamma $ est une mont\'ee, $0\leq s_k\leq
\gamma (k-1)$ (resp. $0\leq s_k\leq \gamma (k-1)-1$) si le
k\up{i\`eme} pas de $\gamma $ est une descente
 et $0\leq s_k\leq 2\gamma (k-1)+1$ (resp. $0\leq s_k\leq
2\gamma (k-1)$) si le k\up{i\`eme} pas
de $\gamma $ est un palier.

(i) Il existe une bijection $\varphi$ de l'ensemble $\Pi_n$
sur l'ensemble des permutations ${\goth S}_{n+1}$.
 
(ii) Il existe une bijection $\varphi'$ de l'ensemble $\Pi_n'$
 sur l'ensemble des permutations $\sigma \in {\goth S}_{n+1}$ telles
que $\sigma (n+1)=n+1$. 
 \endth

On identifie chaque permutation $\sigma \in {\goth S}_n$ au mot
$\sigma (1)\sigma (2)\cdots \sigma (n)$. Rappelons qu'une valeur $x=\sigma (i)$
est un {\sl pic} (resp. un {\sl creux}, une {\sl double
mont\'ee}, une {\sl double descente}) de $\sigma$,
si $\sigma (i-1)<\sigma (i)>\sigma (i+1)$ (resp.
$\sigma (i-1)>\sigma (i)<\sigma (i+1)$, $\sigma
(i-1)<\sigma(i)<\sigma (i+1)$, $\sigma (i-1)>\sigma
(i)>\sigma (i+1)$), o\`u $\sigma (0)=\sigma (n+1)=0$. 

\th Proposition 10 ([Fr-Vi, Vi2])
\enonce Soit $(\gamma,s_1s_2\ldots s_n)$ un
chemin marqu\'e et $\sigma \in {\goth S}_{n+1}$ sa permutation
correspondante par la bijection $\varphi$ ou $\varphi'$. Alors 

(i) les creux (resp. pics,
doubles mont\'ees et doubles descentes) de $\sigma $
correspondent aux mont\'ees (resp. descentes, paliers) de
$(\gamma,s)$. 

(ii) Un entier $k\in [n]$ est un record de $\sigma $
ssi le k\up{i\`eme} pas de $\gamma $ est une descente ou un
palier et $s_k=0$.
\endth

Comme une permutation alternante de [2n+1] n'a pas de
double mont\'ee ni de double descente, le chemin
 correspondant n'a donc pas de palier, 
\ie, c'est un chemin de Dyck. 

Notons que dans un chemin de Dyck $\gamma =(\gamma (0), \gamma (1), \ldots, \gamma (n))$, 
le niveau $\gamma (k-1)$ et la position $k$ du pas $(\gamma (k-1), \gamma (k))$ 
sont toujours de parit\'es oppos\'ees. On en d\'eduit donc la

\th Proposition 11
\enonce Soit $(\gamma , s_1s_2\ldots s_{2n})$ un chemin marqu\'e et 
$\sigma \in A_{2n+1}$ sa permutation
correspondante par la bijection $\varphi$ ou $\varphi'$.
L'entier $k\in [2n]$ est un record pair (resp. impair) de $\sigma $
ssi le k\up{i\`eme} pas de $\gamma $ est une descente de niveau impair
(resp. pair) et $s_k=0$.
\endth

On est maintenant en mesure de d\'emontrer le th\'eor\`eme 3.
Soit $(\gamma , s_1s_2\ldots s_n)$ un chemin marqu\'e, on associe \`a
chaque pas marqu\'e $((\gamma (k-1), \gamma (k)), s_k)$ 
la valuation 1 si $(\gamma (k-1), \gamma (k))$ est une mont\'ee ou une
descente et $s_k>0$ ; $x$ (resp. $y$) si $(\gamma (k-1), \gamma (k))$ est une
descente de niveau impair (resp. pair) et $s_k=0$, et 0 si
$(\gamma (k-1), \gamma (k))$ est un palier. On d\'efinit la {\sl valuation} du
chemin marqu\'e $(\gamma , s_1s_2\ldots s_n)$ par le produit des
valuations de tous ses pas marqu\'es $((\gamma (k-1), \gamma (k)), s_k)$,
$1\leq k\leq n$. 

On constate que la somme des
valuations ci-dessus des chemins marqu\'es de $\Pi_n$ 
est \'egale \`a celle des chemins de $n$ pas
avec les param\`etres suivants :
$$
a_{k-1}=k, \quad b_{k-1}=0,\quad
c_{2k-1}=x+2k-1\quad  \hbox{et} \quad
c_{2k}=y+2k,\quad (k\geq 1) ;
$$
et que celle des chemins marqu\'es de $\Pi_n'$ 
est \'egale \`a celle des chemins de $n$ pas avec les param\`etres :
 $$
a_{k-1}=k, \quad b_k=0,\quad c_{2k-1}=x+2k-2\quad 
\hbox{et} \quad c_{2k}=y+2k-1, \quad (k\geq 1). 
$$

Par ailleurs, comme $2n+1$ est toujours un record impair de
$\sigma \in A_{2n+1}$ et que les permutations $\sigma \in{\goth
S}_{2n}$ peuvent \^etre consid\'er\'ees comme des permutations de
${\goth S}_{2n+1}$ avec $\sigma (2n+1)=2n+1$, compte tenu
des propositions 10 et 11, les valuations des chemins marqu\'es 
de $\Pi_{2n}$ et $\Pi_{2n}'$ correspondent
respectivement aux polyn\^omes 
$$
\sum_{\sigma\in A_{2n+1}}x^{\recp \sigma}
y^{\reci \sigma -1}\qquad\hbox{et}\qquad
\sum_{\sigma\in A_{2n}}x^{\recp \sigma} y^{\reci \sigma}. 
$$

Par application de la proposition 8, on obtient d'apr\`es (4) que
$$ 
\sum_{n\ge 0}y^{-1}f_{2n+1}(x,y)
t^{2n}=
{1\over\displaystyle 1- {\strut 1(x+1)t^2\over\displaystyle 1-
{\strut 2(y+2)t^2\over\displaystyle 1- 
{\strut 3(x+3)t^2\over\displaystyle 1-
{\strut 4(y+4)t^2\over\displaystyle\ddots
}}}}}\virg
$$
et
$$
\sum_{n\ge 0}f_{2n}(x,y) 
t^{2n}={1\over\displaystyle 1-
{\strut 1xt^2\over\displaystyle 1-
{\strut 2(y+1)t^2\over\displaystyle 1- 
{\strut 3(x+2)t^2\over\displaystyle 1-
{\strut 4(y+3)t^2\over\displaystyle\ddots
}}}}}\cdot
$$
Ceci ach\`eve la d\'emonstration du th\'eor\`eme 3. \qed


\sectiona
4. Quelques remarques pour conclure
\endsection
(I) On se propose d'abord de trouver une formule explicite
pour $C_n(x,y)$.
\th Proposition 12
\enonce On a
$$
C_n(x,y)=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^j(-1)^{n-k}
{({x+y\over 2}+2k)({x\over 2})_j({y+1\over 2})_j
\over k!(j-k)!({x+y\over 2}+k)_{j+1}}
(x+2k)^n(y+2k)^n.
$$
\endth
\demonstration Pour tout $j\ge 0$, posons
$$
{2^{2j}t^j\over \prod_{l=0}^j [1+(x+2l)(y+2l)t]}
=\sum_{k=0}^j{\alpha _k(j)\over
1+(x+2k)(y+2k)t}\cdot 
$$
On voit facilement que
$$
\alpha _k(j)={(-1)^k({x+y\over 2}+2k)\over
k!(j-k)!({x+y\over 2}+k)_{j+1}}\virg \qquad 0\leq k\leq j.
$$
Or, d'apr\`es la Proposition 1, le polyn\^ome $C_n(x,y)$ est
le c\oe fficient de $t^n$ dans le d\'eveloppement de
$$
\sum_{j=0}^n{2^{2j}({x\over 2})_j({y+1\over 2})_j
t^j\over \prod_{l=0}^j [1+(x+2l)(y+2l)t]}
=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^j
{\alpha _k(j)({x\over 2})_j({y+1\over 2})_j\over 
1+(x+2k)( y+2k)t}\cdot
$$
D'o\`u le r\'esultat. \qed
\medskip
\def\Inv{\rm {Inv}}
(II) Il est facile de voir que le degr\'e de $C_n(x,y)$ est 
\'egal \`a $n$. Soit $M_n(x,y)$ la somme des mon\^omes de plus
haut degr\'e dans $C_n(x,y)$.
 Rappelons que, si $\sigma \in {\goth S}_n$, $\sigma (i)$ est un
pic de cycle de $\sigma $ si $i<\sigma (i)>\sigma ^2(i)$.
Notons $p(\sigma )$ (resp. $i(\sigma )$) le nombre de pics 
de cycle pairs (resp. impairs) de $\sigma $ et
$\Inv (2n)$ l'ensemble des involutions sans
{\it {point fixe}} de $[2n]$.
\th Proposition 13
\enonce On a, pour tout $n\ge 1$,
$$
M_n(x,y)=\sum_{\sigma } x^{p(\sigma )}y^{i(\sigma )}\qquad (\sigma \in \Inv (2n)).
$$
\endth
\demonstration 
A chaque permutation $\sigma \in A_{2n}$ on associe l'involution
$\sigma'$ de $\Inv (2n)$ d\'efinie par 
$$
\sigma'(\sigma (2i-1))=\sigma (2i), \qquad
\sigma'(\sigma (2i))=\sigma (2i-1),\qquad (i\in [n]). 
$$ 
Si $\sigma $ a $n$ records, le nombre de ses records pairs
(resp. impairs) est \'egal au nombre de pics de cycle pairs
(resp. impairs) de $\sigma '$. De plus l'application 
$\sigma \rightarrow \sigma '$ est une bijection de l'ensemble 
des permutations alternantes de $[2n]$ ayant $n$ records
sur l'ensemble $\Inv (2n)$. On en d\'eduit alors le r\'esultat. \qed
\medskip

Pour tout polyn\^ome $p(x,y)$ en les variables $x,\,y$ 
on d\'efinit l'op\'erateur $\cal D$ :   
$$
\cal D(p(x,y))=\hbox{la somme des mon\^omes de degr\'e plus haut de}\; p(x,y).
$$
On a donc
$$
M_n(x,y)=\cal D(C_n(x,y)). \leqno (7)
$$

On remarque d'autre part que
$$\eqalign{
\cal D\left[(x+2)^l(y+2)^m-x^ly^m\right]
&=2(lx^{l-1}y^m+mx^ly^{m-1})\cr
&= 2({\partial \over \partial x}+
{\partial \over \partial y})x^ly^m.\cr
}$$
o\`u $l,\, m$ sont deux entiers positifs. D'o\`u et par la lin\'earit\'e 
de $\cal D$,
$$
\cal D\left[C_n(x+2\virg  y+2)
-C_n(x\virg y)\right]=2({\partial \over \partial x}
+{\partial \over \partial y})M_n(x,y).
$$
De m\^eme on a
$$
\cal D\left[xC_{n-1}(x+2, y+2)\right]=xM_{n-1}(x,y). 
$$

On d\'eduit donc de (1) la relation de r\'ecurrence pour $M_n(x,y)$
suivante, due \`a \pc Dumont| [Du].
\th Corollaire 14
\enonce Les polyn\^omes $M_n(x,y)$ satisfont la relation de 
r\'ecurrence :
$$\system{
M_1(x,y)&=&x,\cr
M_n(x,y)&=&2xy({\partial \over \partial x}+{\partial 
\over \partial y})M_{n-1}(x,y)+xM_{n-1}(x,y)\cdot\cr
}\leqno (8)$$
\endth

Du th\'eor\`eme 2 on d\'eduit imm\'ediatement d'apr\`es (7) 
 un autre r\'esultat de \pd Dumont [Du].
\th Corollaire 15
\enonce La s\'erie g\'en\'eratrice ordinaire des polyn\^omes
$M_n(x,y)$ admet le d\'eveloppement en fraction continue
formelle suivant :
$$
\sum_{n\geq 0}M_n(x,y)t^n={x\over\displaystyle 1-
{\strut 1xt\over\displaystyle 1-
{\strut 2yt\over\displaystyle 1-
{\strut 3xt\over\displaystyle 1-
{\strut 4yt\over\displaystyle\ddots 
}}}}}\cdot
$$
\endth
\medskip
(III) Les permutations alternantes consid\'er\'ees plus haut sont parfois 
appel\'ees permutations ``down-up''. On peut aussi envisager
des extensions analogues pour les permutations ``up-down'', 
\ie., les permutations $\sigma \in {\goth S}_n$ satisfaisant
$$
\sigma(1)<\sigma(2),\quad \sigma(2)>\sigma(3),\quad 
\sigma(3)<\sigma(4), \quad\cdots.
$$ 
Soit $B_n$ l'ensemble des permutations ``up-down'' sur $[n]$.
On pose
$$
E_{2n+1}(x)=\sum_{\sigma \in B_{2n+1}}x^{\rec \sigma}.
$$

\pc Carlitz| et \pc Scoville| [Ca-Sc] ont d\'eja montr\'e par
la m\'ethode classique que
$$
\sum_{n\geq 0}E_{2n+1}(x){t^{2n+1}\over (2n+1)!}=
(\sec t)^x\int_0^t(\sec u)^{-x}du.
$$ 
Par la m\^eme m\'ethode et en utilisant une astuce due \`a \pc Strehl| [Str],
on obtient
$$
\sum_{n\geq 1}E_{2n+1}(x){t^{2n}\over (2n)!}= 
x\sum_{n\geq 1}{(x/2)_n\over (2n-1)!!}(1-\cos 2t)^n,\leqno (9)
$$
o\`u $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdots (2n-1)$.

D'autre part, si l'on pose 
$$\system{
F_1(x)=&1&,\cr
F_{n+1}(x)&=&(x+1)^2F_n(x+1)-x^2F_n(x), \qquad n\geq 1,\cr
}\leqno (10)
$$
alors \pc Carlitz| [Ca] a d\'eja d\'emontr\'e que
$$
\sum_{n\geq 1}(-1)^nF_n(x){t^{2n}\over (2n)!}=
{1\over x}\sum_{n\geq 1}(-1)^n{(x)_nn!\over (2n)!}
(e^{t/2}-e^{-t/2})^{2n}.\leqno (11)
$$

On d\'eduit donc de (9) et (11) que
$$
E_{2n+1}(x)=2^{2n-1}x^2F_n(x/2), \qquad n\geq 1. \leqno (12)
$$

\remarque  \pc Viennot| [Vi1] a d\'eja obtenu 
cette derni\`ere identit\'e d'une fa\c con combinatoire
en s'appuyant sur un r\'esultat de \pc Strehl| [Str].

Comme $E_1(x)=x$, les identit\'es (10) et (12) impliquent que
$$\system{
E_1(x)=&x&,\cr
E_{2n+1}(x)&=&x^2E_{2n-1}(x+2)-x^2E_{2n-1}(x), \qquad (n\geq 1).\cr
}\leqno (13)
$$

D'o\`u et en appliquant le lemme 2 on obtient la proposition suivante.
\th Proposition 16
\enonce On a
$$
\sum_{n\geq 0}E_{2n+1}(x)t^{2n+1}={xt\over\displaystyle 1-
{\strut 2xt^2\over\displaystyle 1-
{\strut 2(x+2)t^2\over\displaystyle 1-
{\strut 4(x+2)t^2\over\displaystyle 1-
{\strut 4(x+4)t^2\over\displaystyle\ddots 
}}}}}\cdot
$$
\endth
 
(IV) On peut aussi consid\'erer le probl\`eme analogue pour
toutes les permutations de $[n]$. 
Posons $g_n(x,y)=\sum_{\sigma \in {\goth
S}_n}x^{\recp \sigma}y^{\reci \sigma}$. 
\th Proposition 17
\enonce Les polyn\^omes $g_n(x,y)$ ont l'expression explicite
suivante :
$$ \eqalign{
g_{2n}(x,y)&=x(y+1)\cdots (x+2n-2)(y+2n-1),\cr
g_{2n+1}(x,y)&=y(x+1)\cdots (y+2n-2)(x+2n-1)(y+2n).\cr
}$$
\endth
\demonstration
Il suffit en effet de montrer que $g_{n+1}(x,y)=(y+n)g_n(y,x)$.
Pour ce faire, on va exhiber une bijection entre 
$[n+1]\times {\goth S}_n$ et ${\goth S}_{n+1}$.
\'Etant donn\'e $(k, \sigma )\in [n+1]\times {\goth S}_n$, on construit 
la permutation $\sigma '$ de
${\goth S}_{n+1}$ de la fa\c con suivante : 
$$ 
\sigma '(i)=\cases{
\sigma (i)+1& si $1\leq i\leq k-1$,\cr
1& si $i=k$,\cr
\sigma (i-1)+1& si $k+1\leq i\leq n+1$.\cr}
$$
Il est facile de voir que
si $k=1$, alors $\recp(\sigma ')=\reci(\sigma)$ et
$\reci(\sigma ')=\recp(\sigma)+1$ ; sinon $\recp(\sigma
')=\reci(\sigma)$ et $\reci(\sigma ')=\recp(\sigma)$. 
Ceci explique la relation de r\'ecurrence
$g_{n+1}(x,y)=(y+n)g_n(y,x)$. \qed  

\bigskip
%\eightpoint
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{\obeylines{\sl
D\'epartement de Math\'ematiques
Universit\'e Louis-Pasteur
7, rue Ren\'e Descartes
67084 Strasbourg Cedex, France}




\bye
